ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TÔT NGHIỆP 2009 ĐẦY ĐỦ

Đề CƯƠNG ÔN THI TốT NGHIệP Môn toán
Năm học 2008-2009
Biên soạn: Nhóm giáo viên bộ môn Toán Tr ờng THPT Lang Chánh
Ph n th nh t: CU TRC THI NGHIP THPT NM 2009
I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu Ni dung kin thc im
I
Kho sỏt, v th ca hm s.
Cỏc bi toỏn liờn quan n ng dng ca o hm v th ca hm s: Chiu
bin thiờn ca hm s. Cc tr. Tip tuyn, tim cn (ng v ngang) ca
th ca hm s. Tỡm trờn th nhng im cú tớnh cht cho trc; tng giao
gia hai th (mt trong hai th l ng thng);...
3,0
II
Hm s, phng trỡnh, bt phng trỡnh m v lụgarit.
Giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s.
Tỡm nguyờn hm, tớnh tớch phõn.
Bi toỏn tng hp.
3,0
III
Hỡnh hc khụng gian (tng hp): Tớnh din tớch xung quanh ca hỡnh nún trũn
xoay, hỡnh tr trũn xoay; tớnh th tớch khi lng tr, khi chúp, khi nún trũn
xoay, khi tr trũn xoay; tớnh din tớch mt cu v th tớch khi cu.
1,0
II. PHN RIấNG (3,0 im)
Thớ sinh hc chng trỡnh no thỡ ch c lm phn dnh riờng cho chng trỡnh ú
(phn 1 hoc phn 2).
1. Theo chng trỡnh Chun:
Cõu Ni dung kin thc im
IV.a
Phng phỏp to trong trong khụng gian:

Xỏc nh to ca im, vect.
Mt cu.
Vit phng trỡnh mt phng, ng thng.
Tớnh gúc; tớnh khong cỏch t im n mt phng. V trớ tng i ca
ng thng, mt phng v mt cu.
2,0
1
V.a
S phc: Mụun ca s phc, cỏc phộp toỏn trờn s phc. Cn bc hai ca s
thc õm. Phng trỡnh bc hai h s thc cú bit thc õm.
ng dng ca tớch phõn: Tớnh din tớch hỡnh phng, th tớch khi trũn xoay.
1,0
2. Theo chng trỡnh Nõng cao:
Cõu Ni dung kin thc im
IV.b
Phng phỏp to trong trong khụng gian:
Xỏc nh to ca im, vect.
Mt cu.
Vit phng trỡnh mt phng, ng thng.
Tớnh gúc; tớnh khong cỏch t im n ng thng, mt phng; khong
cỏch gia hai ng thng. V trớ tng i ca ng thng, mt phng v
mt cu.
2,0
V.b
S phc: Mụun ca s phc, cỏc phộp toỏn trờn s phc. Cn bc hai ca s
phc. Phng trỡnh bc hai vi h s phc. Dng lng giỏc ca s phc.
th hm phõn thc hu t dng
2
+ +
=

+
ax bx c
y
px q
v mt s yu t liờn
quan.
S tip xỳc ca hai ng cong.
H phng trỡnh m v lụgarit.
ng dng ca tớch phõn: Tớnh din tớch hỡnh phng, th tớch khi trũn xoay.
1,0
phần chung cho tất cả các thí sinh
CHủ Đề khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
2
và các bài toán liên quan
i. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1. Dạng 1
: Hàm bậc ba y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (
0a
)
1.1. Các bớc khảo sát và vẽ đồ thị.
3
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
* Ta có y

= 3ax

2
+ 2bx + c
- Xét dấu y

từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
* Tìm cực trị.
- Tìm cực trị tức là tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số (nếu có)
- Cách tìm:
+ Nếu tại x = x
0
mà y

đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại tại x = x
0
và giá trị
cực đại là y
CĐ
= y(x
0
)
+ Nếu tại i x = x
0
mà y

đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiếu tại x = x
0
và giá trị
cực tiểu là y
CT
= y(x

0
)
L u ý
: Nếu qua x
0
mà y

đổi dấu thì hàm số đạt cực trị tại x
0
, ngợc lại x
0
không là cực trị
của hàm số.
* Tìm các giới hạn:
{
}
{
}
3 2 3
2 3
3 2 3
2 3
lim ( ) lim (1 )
,
,
lim ( ) lim (1 )
,
,
x x
x x

b c d
ax bx cx d ax
ax ax ax
b c d
ax bx cx d ax
ax ax ax
+ +

+ + + + = + + +
+

=



+ + + + = + + +
+

=




* Lập bảng biến thiên.
nếu a > 0
nếu a < 0
nếu a < 0
nếu a > 0
3. Vẽ đồ thị:
Khi vẽ đồ thị hàm số ngoài các chú ý đ trình bày trong SGK học sinh cần lã u ý thêm một

số điểm sau các bớc sau:
- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ.
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên
hệ trục toạ độ.
1.2. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x
3
+ 3x
2
4
1.3. Hớng dẫn
4
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
* Ta có y

= -3x
2
+ 6x
y

= 0

x = 0, x = 2
Xét dấu y

(bảng xét dấu này học sinh có thể làm ngoài giấy nháp)
x -

0 2 +

y - 0 + 0 -
Từ bảng xét dấu y

ta có
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-

; 0) và (2; +

)
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
* Cực trị:
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= y(0) = -4
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ
= y(2) = 0
* Các giới hạn:
{
}
3 2 3
3
3 4
lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + )
x x
x x+ +
= =
{
}
3 2 3

3
3 4
lim (-x + 3x - 4) lim -x (1 - + )
x x
x x
= = +
* Bảng biến thiên.
x -

0 2 +

y - 0 + 0 -
y
+


-

- 4
0
4
2
-2
-4
-6
-5 5
3-1
2
O
3. Vẽ đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
Giao với Ox (-1; 0), (2; 0)
Giao với trục Oy (0; -4)
Chọn x = -2, y = 16
X = 3, y = -4
1.4. Bài tập tự giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1. y = x
3
+ 3x
2
- 4
2. y = -x
3
+3x 2
3. y = x
3
+ x
2
+ 9x
4. y = -2x
3
+ 5
5. y = x
3
+ 4x
2
+ 4x
6. y = x
3

3x + 5
7. y = x
3
3x
2
8. y = x
3
+ 3x
2
2
9. y = x
3
6x
2
+ 9
2. Dạng 2
: Hàm trùng phơng y = ax
4
+ bx
2
+ c (
0a
)
2.1. Các bớc khảo sát và vẽ đồ thị.
2.2. Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
- 2x
2
+ 2
2.3. Hớng dẫn

5
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
* Ta có y

= 4ax
3
+ 2bx = 2x(2ax
2
+ b)
- Xét dấu y

từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
* Tìm cực trị.
Cách tìm cực trị hàm bậc bốn đợc làm tơng tự nh hàm bậc ba
* Tìm các giới hạn:
{
}
4 2 4
2 4
,
lim ( ) lim (1 )
,
x x
b c
ax bx c ax
ax ax

+

+ + + = + + =




* Lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị:
- Khi vẽ đồ thị hàm số bậc bốn học sinh củng cần lơu ý một số điểm nh vẽ đồ thị hàm bậc
ba.
nếu a<0
nếu a>0
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
* Ta có y

= 4x
3
- 4x = 4x(x
2
- 1)
y

= 0

x = 0, x = 1, x = -1
Bảng xét dấu y

x -

-1 0 1 +

4x - - 0 + +
x
2
- 1 + 0 - - 0 +
y

- 0 + 0 - 0 +
Từ bảng xét dấu y

ta có
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +

)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-

; -1) và (0; 1)
* Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= y(0) = 2
Hàm đạt cực tiếu tại x =

1, y
CT
= y(

1) = 1
* Giới hạn:
{

}
4 2 4
2 4
2 2
lim ( 2 2) lim (1 )
x x
x x x
x x

+ + = + =+
* Bảng biến thiên
x -

-1 0 1 +

y

- 0 + 0 - 0 +
y
+

+

3. Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 2)
2.4. Bài tập tự giải:
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
1. y = -x
4
+ 8x

2
- 1
4. y =
4 2
2 3x x + +
7. y = x
4
2x
2
6
1
2
1
6
4
2
-2
-4
-5 5
1
1-1
f x
( )
= x
4
-2

x
2
( )

+2
2. y = -x
4
2x
2
+ 3
3. y =
4 2
1 3
2 2
x x+
5. y =
4
2
3
2 2
x
x +
6. y =
4 2
1 3
3
2 2
x x +
8. y = x
4
+ x
2
+ 1
9. y =

4 2
1 1
1
4 2
x x+ +
3. Dạng 3
: Hàm phân thức hữu tỷ B1/B1
( 0)
ax b
y ac
cx d
+
=
+
3.1. Các bớc khảo sát và vẽ đồ thị.
3.2. Ví dụ
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2
2 1
x
y
x
+
=
+
7
1. Tập xác định: D =
\
d
R

c




2. Sự biến thiên
* Ta có
2
( )
ad cb
y
cx d


=
+
- Nếu ad cb > 0 thì hàm số đồng biến trên các khoảng (
;
d
c

) và (
;
d
c
+
)
- Nếu ad cb < 0 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng (
;
d

c

) và (
;
d
c
+
)
* Hàm số không có cực trị
L u ý
: Loại hàm số này không có cực trị
* Tìm các giới hạn:
lim , lim
d
x
x
c
ax b a ax b
cx d c cx d


+ +
= =
+ +
, do đó đồ thị hàm số nhận các đờng thẳng x =
d
c

làm
tiệm cận đứng và y =

a
c
làm tiệm cận ngang.
,
lim
,
,
lim
,
d
x
c
d
x
c
ax b
cx d
ax b
cx d

+


ữ



ữ

+
=

+
+



+
=

+
+

* Lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị:
Khi vẽ đồ thị hàm số b1/b1, ngoài các lu ý trong SGK học sinh cần lu thêm một số điểm sau:
- Vẽ các đờng tiệm cận lên hệ trục toạ độ
- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ
trục tạo độ.
nếu ad cb > 0
nếu ad cb < 0
nếu ad cb > 0
nếu ad cb < 0
3.3. Hớng dẫn
3.4. Bài tập tự giải
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
8
1. Tập xác định D =

1
\
2
R




2. Sự biến thiên
* Ta có
( )
2
5
0,
2 1
y x D
x

= <
+
Do đó hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng
1
( ; )
2

và (
1
;
2
+

)
* Hàm số không có cực trị
* Giới hạn
1 1
2 2
2 1 2 2
lim ; lim ; lim
2 1 2 2 1 2 1
x
x x
x x x
x x x
+



ữ ữ

+ + +
= = =+
+ + +
Do đó đò thị hàm số nhận các đờng thẳng x =
1
2

làm tiệm cận đứng và đờng thẳng y =
1
2

làm tiệm cận ngang.

* Bảng biến thiên
x
-

-
1
2
+

y

- -
y
-
1
2
3. Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với trục Ox: (2; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục Oy: (0; 2)
-
-
+
6
4
2
-2
-4
-5 5
O
-

1
2
-
1
2
f x
( )
=
-x+ 2
2

x+1
1. y =
2
1
x
x
+

+
2. y =
2
2 1
x
x

+
3. y =
1
1

x
x

+
4. y =
3
1
x
x
+

5. y =
1 2
2 4
x
x


6. y =
5
1
x
x


7. y =
2 3
2
x
x

+

8. y =
3
1
x
x
+
+
9. y =
1
1
x
x

+
Ii. Một số dạng toán liên quan đến bài toán khảo sát hàm số
4. Dạng 1: Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình F(x;m) =0 (1).
4.1. Cách gii:
4.2. Ví dụ: Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
4
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa và đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình: -x
3
+ 3x
2
- 4 - m = 0 (1)

4.3. Hớng dẫn:
4.4 Bài tập tự giải:
1. Cho hàm số y = x
3
+ 4x
2
+ 4x
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
9
Bài toán này thờng đi kèm theo sau bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = f(x) vì thế để
sử dụng đợc đồ thị hàm số vừa vẽ trớc hết ta biến đổi phơng trình (1) tơng đơng: f(x) = g(m).
Khi đó số nghiệm của phơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đờng
thẳng y = g(m).
Dựa và đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phơng trình (1).
a/ Việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đ được trình bày (xem bài 1.2).ã
b/ Phương trình (1) tương đương: -x
3
+ 3x
2
- 4 = m(2).
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x
3
+ 3x
2
- 4 và đường thẳng y = m (luôn song song hoặc trùng với
trục Ox).
Dựa vào đồ thị (hình 4.3) ta có:
* Khi m<-4 hoặc m>0: Phương trình (1) vô nghiệm
* Khi m = 0 hoặc m = -4: Phương trình (1) có hai nghiệm
* Khi -4<m<0: Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

4
2
-2
-4
-6
-5 5
y = m
y = m
y = m
f x
( )
= - x
3
+3

x
2
( )
-4
Hình 4.3
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình x
3
+ 4x
2
+ 4x + 2 m = 0(1)
2. Cho hàm số y = y = x
3
3x + 5
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình x

3
3x + 5 +
3
m
= 0(1)
3. Cho hàm số y =
4
2
3
2 2
x
x +
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình
4
2
1
2
x
x +
+ m = 0(1)
4. Cho hàm số y =
4 2
1 3
3
2 2
x x +
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình
4 2

1 3
3
2 2
x x +
+ m = 0(1)
5. Cho hàm số y = x
3
3x
2
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x
3
3x
2
3 + m = 0(1)
5. Dạng 2 Bài tơng giao giữa đờng thẳng y = px + q và đồ thị hàm số y = f(x).
5.1 Cách giải:
5.2 Ví dụ Cho hàm số y =
3
1
x
x
+
+
(C). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng (d): y =
2x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
5.3 Hớng dẫn
10
Số giao điểm của đờng thẳng y = px + q với đồ thị hàm số y = f(x) là số nghiệm của phơng
trình hoành độ giao điểm: f(x) = px + q(1)

Nh vậy để xét sự tơng giao của đờng thẳng và đồ thị hàm số ta giảI và biện luận phơng
trình (1).
Dựa và số nghiệm của phơng trình (1) ta kết luận về sự tơng giao của đờng thẳng y = px +
q với đồ thị hàm số y = f(x).
Ta có phơng trình hoành độ giao điểm:
3
1
x
x
+
+
= 2x+m (1).
Đờng thẳng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m khi và chỉ khi phơng trình (1) luôn có
hai nghiệm phâm biệt với mọi m.
Thật vậy
3
1
x
x
+
+
= 2x+m
3 (2 )( 1)
1
x x m x
x
+ = + +

2
( ) 2 ( 1) 3 0(2)
1
g x x m x m
x

= + + + =




Xét phơng trình (2), ta có:

2
6 25 0
( 1) 2 0
m m
m
g

= + >


=

. Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm khác -1. Do đó đờng
thẳng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

5.4. Bài tập tự giải.
1. Cho hàm số y =
1
1
x
x
+

(C). CMR đờng thẳng 2x-y+m=0 luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
thuộc 2 nhánh của (C.)
2. Tìm m để đờng thẳng y = x +m cắt đồ thị (C): y =
3
1
x
x
+

tại hai diểm phân biệt.
3. Cho hàm số y =
3 2
1
x
x


.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đờng thẳng y = mx+2 cắt đồ thị
hàm số đ cho tại hai điểm phân biệt.ã
6. Dạng 6: Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm M(x
0
, y

0
) thuộc đồ thị y = f(x).
6.1. Cách giải
6.2. Ví dụ Cho hàm số y = x
3
3x + 5. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(1; 3).
6.3 Hớng dẫn:
11
* Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x
0
, y
0
) thuộc đồ thị có dạng:
y-y
0
= f

(x
0
)(x-x
0
) (1)
* Tìm f

(x
0
) thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến cần tìm.
* Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(1, 3) thuộc đồ thị có dạng:
y-y
0

= f

(x
0
)(x-x
0
) (1)
* Ta có y

= f

(x) = 3x-3

f

(1) = 0 thay vào (1) ta đợc PTTT cần tìm là: y = 3
6.4 Bài tập tự giải:
1. Cho hàm số y =
4 2
2 3x x + +
. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(2, 3)
2. Cho hàm số y =
4
2
3
2 2
x
x +
Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(1, 0)
3. Cho hàm số y =

4 2
1 3
3
2 2
x x +
. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(1, -2)
4. Cho hàm số y = x
3
3x
2
Viết PTTT của đồ thị tại các giao điểm của nó với trục Ox.
5. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
2. Viết PTTT của đồ thị tại điểm M(2, 2)
6. Cho hàm số y =
1 2
2 4
x
x


Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox.
7. Cho hàm số y =
5
1
x
x

Viết PTTT của đồ thị tại giao điểm của nó với trục Ox
7.Dạng 7 Tính diện tích hình phẳng đợc giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đờng thẳng x = a,
x = b, trục Ox.
7.1. Cách giải:
7.2 Ví dụ: Cho hàm số y = x
3
- 4x.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số với các đờng x = -1, x = 2
7.3 Hớng dẫn.
a/ Bạn đọc tự giải, đồ thị (hình 7.3)
12
* Ta có diện tích
( )
b
a
S f x dx=

.
Để tính S ta phảI phá dấu trị tuyệt đối của biểu thức dới dấu tích phân, muốn vậy ta làm nh sau:
Cách 1: Lập bảng xét dấu f(x), từ đó ta có thể phá dấu trị tuyệt đối.
Cách 2: Nếu trên khoảng (a; b) đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành thì
( ) ( )f x f x=
Ngợc lại, nếu đồ thị nămg phía dới trục hoành thì
( ) ( )f x f x=
.
Sau khi phá dấu trị tuyệt đối ta tính tích phân bình thờng, kết quả đó chính là diện tích cần tìm.
b. Cách 1

* Ta có diện tích cần tìm
2
3
1
4S x x dx

=

.
* Phá dấu trị tuyệt đối: Đặt f(x) = x
3
- 4x = x(x
2
- 4)
Trên khoảng (-1; 2), ta có x
3
- 4x = 0

x = 0, x = 2.
* Lập bảng xét dấu f(x).
x -1 0 2
x - 0 +
x
2
-4 - -4 -
f(x) + 0 -
Từ bảng xét dấu, ta có
2 0 2 0 2
3 3 3 3 3
1 1 0 1 0

0 2
3 3
1 0
4 4 4 ( 4 ) ( 4 )
( 4 ) ( 4 )
S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx


= = + =
=


Tính kết quả trên ta suy ra diện tích cần tìm.
Cách 2: Từ đồ thị của hàm số (hình 7.3), ta có:
Trên khoảng (-1; 0) đồ thị nằm phía trên trục hoành và trên khoảng (0; 2) đồ thị nằm phía dới trục
hoành, nên ta có:
2 0 2 0 2
3 3 3 3 3
1 1 0 1 0
0 2
3 3
1 0
4 4 4 ( 4 ) ( 4 )
( 4 ) ( 4 )
S x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx


= = + =

=


Tính kết quả trên ta suy ra diện tích cần tìm.
6
4
2
-2
-4
-5 5 10
O
1
-1
f x
( )
= x
3
-4

x
Hình 7.3
7.4. Bài tập tự giải
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1. y = x
3
3x
2
và các đờng thẳng x = -1, x = 2, trục Ox.
2. y = x
3

+ 3x
2
2 và các đờng thẳng x = -1, x = 2, trục Ox
3. y = x
3
6x
2
+ 9 và các đờng thẳng x = -2, x = 1, trục Ox
4. y =
4 2
2 3x x + +
và các đờng thẳng x = 0, x = 1, trục Ox
5. y =
4
2
3
2 2
x
x +
và các đờng thẳng x = -1, x = 1, trục Ox
6. y =
4 2
1 3
3
2 2
x x +
và các đờng thẳng x = -2, x = 1, trục Ox
8. Dạng 8: Tìm Điều kiện của tham số m để đồ thị hàm bậc ba y = ax
3
+ bx

2
+ cx + d
a/ Có cực trị.
b/ Luôn đồng biến hoặc nghịc biến trên R.
8.1 Cách giải:
13
CH PHNG TRèNH
BT PHNG TRèNH M V LễGARIT
14
a/ * Tìm tập xác định D = R
* Tính y

= 3ax
2
+ 2bx + c
Hàm số có cực trị (cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi phơng trình y

= 0 có hai nghiệm phân
biệt.
0
y
m

>
cần tìm
b/ * Tìm tập xác định D = R
* Tính y

= 3ax
2

+ 2bx + c
Hàm số luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi

0,y x R



0
0
y
y
m
a







>


cần tìm
Hàm số luôn nghịch biến trên R khi và chỉ khi
0,y x R



0

0
y
y
m
a







<


cần tìm
A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Kiến thức cơ bản
1 – Các tính chất của luỹ thừa.
2– Các tính chất của hàm số mũ.
3 – Phương pháp giải phương trình mũ.
3.1- Phương trình mũ đơn giản nhất.
*
( )
= ⇔ = < ≠
x b
a a x b 0 a 1
*
( )
= ⇔ = < ≠ >

x
a
a b x log b 0 a 1, b 0
Ví dụ 3
x
= 5
⇔
x = log
3
5
3.2 Phương trình mũ thường gặp
a. Phương pháp đưa về cùng một cơ số.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
= ⇔ = < ≠
f x g x
a a f x g x 0 a 1
Ví dụ:
3
2 8 2 2 3
x x
x= ⇔ = ⇔ =
Bài tập: Giải các phương trình sau
1)
 
=
 
 
x
1

5
5
2) 5.5
x
– 5
x
= 2
x+1
+ 2
x+3
3)
−
=
x 1
x
x
5 .8 500
4) 16
-x
= 8
2(1-x)
5) 5
2x
= 625
b. Phương pháp đặt ẩn số phụ
15
1.1
( )
−
= = = ≠

0 1 n
n
1
a 1, a a, a a 0
a
1.2
+ −
= =
m
m n m n m n
n
a
a .a a , a
a
1.3
( ) ( )
= =
m n
n m m.n
a a a
1.4
( )
 
= =
 
 
n
n
n
n n

n
a a
a b a.b ,
b b
1.5
=
m
mn
n
a a
Cho hàm số
=
x
y a

( )
< ≠0 a 1
2.1 Tập xác đònh D = R.
2.2 Tập giá trò : T = (0; +∞).
2.3 Hàm số
=
x
y a
đồng biến khi a > 1 và nghòch biến khi 0 < a < 1.
2.4
= ⇔ =
x t
a a x t
2.5
> < <

 
⇒ > ⇒ <
 
> >
 
x t x t
a 1 0 a 1
x t ; x t
a a a a
Đặt
=
x
t a
(t > 0) {chọn cơ số a thích hợp}
Ví dụ: Giải pt :
4 3.2 2 0
x x
− + =

Giải .
Biến đổi pt
4 3.2 2 0
x x
− + =

2 2
(2 ) 3.2 2 0 (2 ) 3.2 2 0
x x x x
⇔ − + = ⇔ − + =
(1) .

• Đặt t=2
x
, đk t>0 .
• Pt (1)
2
1
3 2 0
2
t
t t
t
=

⇔ − + = ⇔

=

.
• Với t=1
0
2 1 2 2 0
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =
.
• Với t=2
1
2 2 2 2 1
x x
x⇒ = ⇔ = ⇔ =

Đáp số : Nghiệm của phương trình là x=0 , x=1 .
Bài tập: Giải các phương trình
1)
+ = +
x x x
8.3 3.2 24 6
2)
+ + +
+ = +
x 1 x 4 x 2
4 2 2 16
3)
+ +
− + =
4x 8 2x 5
3 4.3 27 0
4)
− + −
− =
2 2
x x 2 x x
2 2 3
5)
991010
22
11
=−
−+
xx
c) Phương pháp lấy lôragit (cơ số thích hợp) hai vế.

( ) ( )
( )
= < ≠ < ≠
f x g x
a b 0 a 1,0 b 1
Lấy lôgarit cơ số a ta được:
( ) ( )
=
a
f x g x log b
Ví dụ: Giải pt
2
3 .2 1
x x
=
.
Giải
Lấy Lơgarit cơ số 3 hai vế , ta được :
2 2 2
2
3 3 3
2
3 3 3 3
2 2
3 3
3
3 .2 1 log (3 .2 ) log 1 log (3 .2 ) 0
log 3 log 2 0 log 2 0 (1 log 2) 0
0
0 0

1 1
log 3 log
1 log 2 0 log 2 1
log 2 3
x x x x x x
x x
PT
x x x x
x
x x
x
x x
= ⇔ = ⇔ =
⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =
=

= =
 

⇔ ⇔ ⇔
−
 

= = − =
+ = = −
 


Bài tập: Giải các phương trình
1)

722.3
1
)12(3
=
+
−
x
x
x
2)
1
32
2
−
=
xx
,
3)
50085
1
=
−
x
x
x
4)log
x+1
(x
2
+ 3x - 1) = 1 5)

4
10
ln
1
x
x
x
=
B. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Kiến thức cơ bản
Cho
0, 1a a> ≠
;
1 2
0, 0, 0x x x> > >
.
1) Đònh nghóa
16
log
b
a
x b x a= ⇔ =
Chú ý:
( ) ( )
( ) ( )
a
log x
x
a
1 x a x 0

2 x log a x R
= ∀ >
= ∀ ∈
2) Tính chất
( )
( )
1 2 1 2
1
1 2
2
1) log 1, log 1 0
2) log . log log
3) log log log
4) log log ,
log
5) log 0 1
log
α
α α
= =
= +
= −
= ∀ ∈
= < ≠
a a
a a a
a a a
a a
b
a

b
a
x x x x
x
x x
x
x x R
x
x b
a
Chú ý:
1 1
log ; log log , 0
log
α
α
α
= = ≠
a a
a
b
b x x
a
3) Phương pháp giải
a) Đưa về cùng một cơ số
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )

b
a
a a
log f x b f x a
f x 0 hoặc g x 0
log f x log g x
f x g x
+ = ⇔ =

> >

+ = ⇔

=



Áp dụng:
Giải pt :
0)12(log)3(log
2
12
=+++
xx
Giải
ĐK: x >
2
1
−
0)12(log)3(log

2
12
=+++
xx

⇔

0)12(log)3(log
22
=+−+
xx

⇔

)12(log)3(log
22
+=+
xx

⇔
x + 3 = 2x + 1

⇔
x = 2
Chú ý: Khi không sử dụng công thức tương đương nhớ đặt điều kiện để hàm số
lôgarit có nghóa (cơ số phải lớn hơn 0 và khác 1, biểu thức lấy lôgarit phải dương).
Bài tập Giải các phương trình

( )
2

3
1) log x 2x 1+ =
( )
3 3
2) log x log x 2 1+ + =
17
( )
( )
2
3) lg x 2x 3 lg x 3+ − = −
( ) ( )
2
2 1
2
1
4) log x 1 log x 4 0
2
− + + =
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
5) log x 3 log x 1 log 4x
2 4
+ + − =
2 2
x
6) log 2 log 4x 3+ =
b) Đặt ẩn số phụ

Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đổi phương trình đã cho thành một phương
trình đại số.
Áp dụng:
Giải pt :
13log2)12(log
123
+=+
+
x
x
Giải
ĐK:
1
2
1
≠<−
x
13log2)12(log
123
+=+
+
x
x

⇔

01
)12(log
2
)12(log

3
3
=−
+
−+
x
x
Đặt t = log
3
(2x - 1)
Ta được
01
2
=−−
t
t
⇔
t
2
- t - 2 = 0
⇒
t = -1, t = 2
Với t = -1
⇒
log
3
(2x - 1) = -1
⇔
2x + 1 = 3
-1

=
3
1
⇔
x =
3
1
−
t = 2
⇒
log
3
(2x - 1) = 2
⇔
2x + 1 3
2
= 9
⇔
x = 4
Bài tập: Giải các phương trình sau
1).
3
log log 9 3
x
x + =
. 2).
2
2
2
log 3.log 2 0x x− + =

.
3). Lg
4
(x - 1)
2
+ lg
2
(x - 1)
3
= 25 4).log
3
(2x + 1) = 2log
2x+1
+ 1
5) 2log
4
(3x - 2) + 2log
3x-2
= 5
C. BÊt ph¬ng tr×nh mò
1. sư dơng tÝnh ®¬n ®iƯu
1) 2
x
< 3
x/2
+ 1 x<2(chia cho2
x
)
2) 2.2
x

+ 3.3
x
> 6
x
-1 . x < 2 (chun 1 sang tr¸i vµ chia hai vÕ cho 6
x
)
18
3) 8
x
+ 18
x
2.27
X
x 0
2. Đa về cùng cơ số
1) 2.14
x
+ 3.49
x
4
x
0 x log
2/7
3 (chia hai vế cho 49
x
và đặt t = (2/7)
x
)
2) 2

x
+ 2
x + 1
3
x
+ 3
x 1
x 2
3) 96]
12
3
1
3
3
1
1
12
>






+

+
xx
-1<x < 0
4)
1
2
3
1
3
2









xx
xx
x 2
5) 3
x + 1
2
2x + 1
- 12
x/2
< 0 x > 0(chia cho 3

x
và đặt ẩn phụ t = (
3/4
)
x
)
6)
1
23
23.2
2



+
xx
xx
0<x log
3/
23 (chia cả tử và mẫu cho 2x)
7)
( ) ( )
1
1
1
2525
+


+

x
x
x
x 1,-2 x<-1
Chủ đề Nguyên hàm-tích phân
A.nguyên hàm
I. Kiến thức cơ bản
19
1, Định nghĩa nguyên hàm:
F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu:
F'(x)=f(x),
( )
;x a b
3, Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thờng gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (u=u(x))
dx x C= +

1
( 1)
1
x
x dx C




+
= +
+

ln ( 0)
dx
x C x
x
= +

x x
e dx e C= +

(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + <

cos sinxdx x C= +

sin cosxdx x C= +

2
cos
dx
tgx C
x
= +

2

cot
sin
dx
gx C
x
= +

du u C= +

1
( 1)
1
u
u dx C




+
= +
+

ln ( 0)
du
u C x
u
= +

u u
e du e C= +

(0 1)
ln
u
u
a
a du C a
a
= + <

cos sinudu u C= +

sin cosudu u C= +

2
cos
du
tgu C
u
= +

2
cot
sin
du
gu C
u
= +

II. Các dạng toán cơ bản

1. Dạng 1 . áp dụng công thức biến đổi
1.2 Ví dụ
20
2, Tính chất của nguyên hàm:
1.
( )
'
( ) ( )f x dx f x=

2.
( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a=

3.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx =

4.
( ) ( ) ( ( )) '( ) ( ( ))f t dt F t C f u x u x dx F u x C= + = +

.
1.
( ) ( ) ( 0)af x dx a f x dx a=

2.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx =

a)
( )

+
dxxx 532
2
=

dxx
2
2
-

xdx3
+

dx5
=

dxx
2
2
-

xdx3
+

dx5
=
Cx
xx
++
5

2
3
3
2
23
b)








dx
x
x
2
cos
2
sin3
=


dx
x
dxx
2
cos
1

2sin3
= 3cosx 2tgx + C
c)
dx
x
xxx

++
2
1
3
1
4
3
32
=




++
dxxdxxdxx
2
1
3
2
4
1
32
=

C
xxx
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
2
1
3
1
3
1
2
1
4
1
1
2
1
1
3
2
1
4

1
=
Cxxx
+++
2
1
3
1
4
3
66
3
4
1.3 Bài tập tự giải
Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a, f(x)=
3
1
cosx x
x
+
b, f(x)=
4
2
1
5 2
cos
x x
x
+

c, f(x)=
4
3 2
5sin x
x x
+ +
d, f(x)=
4 3
2
3 2 5x x
x
+
(x

0),
2. Dạng 2. áp dụng nguyên hàm đổi biến số dạng 1
2.1. Dạng I =

+
dxbax
n
)(
2.1.1 Cách giảI tổng quát
Đặt u =
bax
+
2.1.2 Ví dụ Tìm I =
( )

+

dxx
5
35
Ta có
)35()35(
5
1
)35()35(
5
1
)35(
555
++=++=+
xdxdxxxdxx
Đặt u = 5x + 3 ta đợc:
( ) ( ) ( )

++=+
3535
5
1
35
55
xdxdxx
=

+=
C
u
duu

6
.
5
1
5
1
6
5
=
( ) ( )
C
x
C
x
+
+
=+
+
30
35
6
35
.
5
1
66
2.1.3 Bài tập tự giải
Tìm các nguyên hàm sau
a,
( )

+
dxx
4
23
b,
( )


dxx
3
34
c,
( )


dxx
6
16
d,
( )


dxx
5
52
2.2 Dạng 2: I =

+
dxbax

n
2.2.1 Cách giải
21
Đặt u = ax+b
2.2.2 Ví dụ Tìm I =

+
dxx
3
32
Ta có :
dxx
3
32
+
=
)32()32(
2
1
)32()32(
2
1
3
1
3
1
++=

++
xdxdxxx

Đặt: u = 2x + 3 ta đợc:

+
dxx
3
32
=
CxCuduuxdx
++=+==++

3
4
3
4
3
1
3
1
)32(
8
3
4
3
.
2
1
2
1
)32()32(
2

1
2.2.3 Bài tập tự giải
Tìm các nguyên hàm sau
a,


dxx
3
5
b,

+
dxx
5
43
c,


dxx
4
32
d,


dxx
3
53
2.3 Dạng 3 I =

+

dxe
bax
2.3.1 Cách giải
Đặt u = ax + b
2.3.2 Ví dụ Tìm :

+
dxe
x 52
Ta có :
dxe
x 52
+
=
)52()52(
5252
+=

+
++
xdedxxe
xx
Đặt u = 2x + 5 ta đợc

+
dxe
x 52
=
CeCeduexde
xuux

+=+==+
++

5252
2
1
2
1
2
1
)52(
2
1
2.3.3 Bài tập tự giải
Tìm các nguyên hàm sau
a,


dxe
x 32
b,

+
dxe
x 73
c,


dxe
x35

c,

+
dxe
x 65
2.4 Dạng 4: I =

+
dx
bax
n
)(
1
2.4.1 Cách giải
Đặt u = ax + b
2.4.2 Ví dụ Tìm I =

+
dx
x
5
)23(
1
Ta có:
)23(
)23(
1
3
1
)23(

)23(
1
3
1
)23(
1
555
+
+
=

+
+
=
+
xd
x
dxx
x
dx
x
Đặt u = 3x + 2 ta đợc :
C
x
C
u
C
u
du
u

xd
x
+
+
=+=+

==+
+


44
4
55
)23(12
1
12
1
4
.
3
11
3
1
)23(
)23(
1
3
1
22
2.4.3 Bài tập tự giải

Tìm các nguyên hàm sau
a,


dx
x
5
)24(
1
b,

+
dx
x
3
)37(
1
c,


dx
x
5
)23(
1
d,

+
dx
x

7
)25(
1
3 Dạng 3 áp dụng nguyên hàm từng phần
3.1 Công thức nguyên hàm từng phần

=
vduuvudv
3.2 Dạng 1: I =

+
dxebax
x
)(
.
Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv =
dxe
x
3.3 Dạng 2: I =

+
xdxbax cos)(
Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv =
xdxcos
3.4 Dạng 3: I =

+
sixdxbax )(
Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv =
xdxsin

3.5 Dạng 4: I =

+
xdxbax ln)(
Phơng pháp: Đặt u = ax + b, dv =
xdxln
3.6 Dạng 5: I =

xdxx
n
ln
Phơng pháp:Đặt u =
n
x
, dv =
xdxln
3.7 Ví dụ Tìm: I =

+
dxex
x
)12(
Giải
Đặt



=
+=
dvdxe

xu
x
12





=
=
x
ev
dxdu 2

I =

+
dxex
x
)12(
= (2x + 1) -

dxe
x
2
=2x + 1 2
x
e
+ C
3.8 Bài tập tự giải

Tìm các nguyên hàm sau
a,
( )


xdxx sin2
; b,


xdxx cos)23(
;
23
c,
dxxx

+
ln)53(
; d,


dxex
x
)53(
; e,
dxxx

ln
3
B. tích phân
I. kiến thức cơ bản

1. Công thức tính tích phân:
2. Tính chất của tích phân:
II. Phơng pháp tích phân:
1. Phơng pháp đổi biên số

Qui tắc:
24
1. Đặt t=v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục
2. Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx=g(t)dt
3. Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)
4. Tính
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
v b
v b
v a
v a
g t dt G t=

5. Kết luận
( )
( )
( ) ( )
v b
b
a
v a

f x dx G t=

.
1.
( ) 0
a
a
f x dx =

2.
( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx=

3.
( ) ( )
b b
a a
af x dx a f x dx=

; a R
4.
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx =

5.

( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx= +

( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= =

trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên [a; b]
1.1 Ví dụ tính tích phân sau: 1)
4
0
I tgxdx

=

1.2 Hớng dẫn
Ta có

==
4
0
4
0
cos

sin

dx
x
x
tgxdxI
Đặt t = cosx

dt = - sinxdx

sinxdx = - dt
Cận đổi: x = 0

t = 1; x =
4



t =
2
2
Khi đó I =
2
2
ln
1
2
2
ln
1

2
2
1
==

tdt
t
1.3 Bài tập tập tự giải
Tính các tích phân sau
1)

+
=
2
0
cos31
sin

dx
x
x
I
2)
dx
x
x
I
e

+

=
1
ln1
3)

=
2
0
3
cossin

xdxxI
;
4)

=
2
0
sin
cos

xdxeI
x
; 5)

+=
6
0
cossin41

xdxxI

2 Tích phân từng phần
2.1 Công thức tích phân từng phần
.
b
b b
a a
a
udv u v vdu
=

2.2 Ví dụ Tính tích phân
( )

=
6
0
3sin2

xdxxI
Giải
Đặt





==
==

xvdvxdx
dxduxu
3cos
3
1
3sin
2
I
( )

=
6
0
3cos
3
1
0
6
3cos2
3
1


xdxxx
9
7
0
6
3sin
9

1
3
2
==

x
2.3 Bài tập tự giải
Tính các tích phân sau
25