DE THI HSG VINH TUONG 20102011

<span class='text_page_counter'>(1)</span>phòng giáo dục - đào tạo vÜnh têng. §Ò thi chän häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2010-2011 M«n: to¸n. §Ò chÝnh thøc. Thêi gian lµm bµi 150 phót. 2 C©u1: a) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n b c; a  b c vµ c 2(ac  bc  ab) . Chøng minh r»ng: a 2  (a  c) 2 a  c  2 b c b2   b  c . A  4  5 3  5 48  10 7  4 3. b) Rót gän: C©u 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 3 2 a) x  2 x  x  2 0 2. b) x  7  9  x  x  16 x  66 C©u 3: a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: E 2 x 2  2 xy  5 y 2  8 x  22 y  2011 b) Cho đẳng thức:. a(b  c) x 2  b  c  a  xy  c  a  b  y 2 d  x  y . 2. đúng với mọi x, y. 2 1 1   b a c. vµ cho a, b, c kh¸c 0. Chøng minh r»ng: 2 C©u 4: a) Chøng minh r»ng nÕu b lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× An3219b lµ hîp sè víi mäi sè tù nhiªn n.. 2 2 2 b) Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ m·n x  y  z 2 . Chøng minh r»ng:. x  y  z  xyz  2 Câu 5: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF của hai đờng tròn sao cho A và E cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là '. đờng thẳng OO. ’.  A, E  (O); B, D  (O )  .. ' a) Gäi M lµ giao ®iÓm cña AB vµ EF. Chøng minh r»ng AOM BMO . b) Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BF. c) Gäi N lµ giao ®iÓm cña AE vµ BF. Chøng minh r»ng ba ®iÓm O, N, O’ th¼ng hµng. 2 2 y  3 x lµ c¸c sè x  3 y C©u 6: a) H·y t×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng x, y sao cho vµ chÝnh ph¬ng. b) ở vơng quốc ”Sắc màu kỳ ảo” có 45 hiệp sĩ trong đó có 13 hiệp sĩ tóc đỏ, 15 hiệp sÜ tãc vµng vµ 17 hiÖp sÜ tãc xanh. Khi hai hiÖp sÜ cã mµu tãc kh¸c nhau gÆp nhau th× tãc cña họ lập tức chuyển sang màu tóc thứ ba (ví dụ khi hiệp sĩ tóc đỏ gặp hiệp sĩ tóc vàng thì tóc của cả hai đổi sang màu xanh). Hỏi có thể xảy ra trờng hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau nh vậy thì ở vơng quốc ”Sắc màu kỳ ảo” tất cả các hiệp sĩ có cùng một màu tóc đợc không ? t¹i sao ?. Ghi chó: Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Hä vµ tªn thÝ sinh.................................................................................sè b¸o danh.......... ................. phòng giáo dục - đào tạo vÜnh têng. híng dÉn chÊm thi chän hSG líp 9. n¨m häc 2010-2011 M«n: to¸n. --------------------------------------------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chú ý: Nếu thí sinh làm đúng theo cách khác đáp án vẫn cho điểm tối đa. C©u 1 (2®). Néi dung tr×nh bµy. §iÓm. a) (1®) Ta cã: 2. a 2  (a  c ) 2 a 2  c 2  c 2   a  c  a 2  c 2  2(ac  bc  ab)   a  c  2. 2. (a 2  c 2  2ac)  2b(a  c)   a  c   a  c   2b(a  c )   a  c . 2. 2. 0,5®. 2. 2  a  c   2b(a  c) 2  a  c   a  c  b  2. 2 Chøng minh t¬ng tù ta cã: b   b  c  2  b  c   b  c  a . 2. 2. 2. 2. a  ( a  c). VËy b   b  c . . 0,5®. 2( a  c)(a  c  b) a  c  2(b  c)(a  c  b) b  c. b) (1®) Ta cã:. . 74 3  2 3. . 2. .  3  5  3 .   10 7  4 3  10 2  3  20  10 3.  48  10 7  4 3 48  20  10 3 28  10. .  5 48  10 7  4 3 5 5 . 2. . 3 25  5 3. 0,5®. 0,5®.  A  4  5 3  5 48  10 7  4 3  4  5 3  25  5 3  4  5 3. 2 (1,5®). a) (0,5®)  x 2 3 2 x  2 x  x  2 0   x  2   x  1  x  1 0   x 1  x  1. 0,25® 0,25®. VËy ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ: S  1; 2;  1 b) (1®) §KX§: 7 x 9 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: ( x  7  9  x ) 2 2  2 .  x  7   9  x  2   x  7    9  x   4 0,5®. x  7  9  x 2(1). MÆt kh¸c: 2. x 2  16 x  66  x  8   2 2(2). Tõ (1),(2) suy ra: x  7  9  x  x 2  16 x  66(3). Dấu bằng ở (3) xảy ra khi đồng thời xảy ra dấu bằng ở (1) và (2) tức là khi:  x  7 9  x  x 8  2   x  8  0 (tho¶ m·n §KX§). VËy ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ:. S  8. 0,5®.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3 (1®). a) (0,5®) E  2011 2 x 2  2 xy  5 y 2  8 x  22 y  2( E  2011) 4 x 2  4 xy  10 y 2  16 x  44 y 2. 4 x 2  4 xy  16 x  10 y 2  44 y 4 x 2  4 x ( y  4)   y  4   9( y 2  4 y  4)  52 2. 0,25®. 2.  2 x  y  4   9  y  2   52  52  E  2011  26  E 2011  26 1985. DÊu b»ng x¶y ra khi: 2 x  y  4 0    y  2 0.  x 1   y 2. 0,25®.  x 1  VËy Min E = 1985  y 2. b) (0,5®) Do đẳng thức đã cho xảy ra với mọi x, y nên: a b  c  d (1) +Víi x = 1, y = 0 th× ta cã: . 0,25®. +Víi x = 0, y = 1 th× ta cã: c  a  b  d (2). 0,25®. 2 1 1 a  b  c  c(a  b)  2ac b  a  c     b a c Tõ (1),(2) suy ra. 4 (1,5). a) (0,5®) 2 Do b lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 suy ra b  13. 0,5®. A 3n  2  1993b 2 3  n  1  664b 2   b 2  13. Do đó Mµ A > 3 suy ra A lµ hîp sè víi mäi sè tù nhiªn n. b) (1®) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:. x. x  y  z  xyz x(1  yz )  ( y  z ).1 . 2.  y  z. 2.    1  yz . 2.  12. MÆt kh¸c:. x. 2. 2.  (1). 2.   1   1  yz    x  y  z  2 yz   2  2 yz   yz    2  2 yz   2  2 yz   yz   4  4 yz  2 y z  4 yz  4 y z  2 y z 2.  y  z. 2. 2. 2. 2. 2 2. 2 2. 3 3. 4   2 y z  2 y z  (2) 3 3. 0,5®. 0,25®. 2 2. 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 Ta l¹i cã 2  y  z 2 yz  2 y z 2 y z  2 y z  2 y z 0(3) Tõ (1);(2);(3) suy ra x  y  z  xyz  4 2  x  y  z xyz  2. 0,25®.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 5 (3®). A. M I. B. E K O. N. O. ‘. F. a)(1®) Theo tính chất hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau ta có: Hai tia MO vµ MO’ theo thø tù lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc AME vµ BMF. ' Suy ra MO  MO .  AOM BMO ' ' Suy ra AOM BMO ( g.g ) .. 0,5® 0,5®. b)(1®) '. Ta cã MO  AE ; MO  BF ; MO  MO Suy ra AE vu«ng gãc víi BF.. '. c) (1®) Gäi I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AE. Gäi K lµ giao ®iÓm cña MO’ vµ BF. ' Ta có AOM BMO và hai tam giác này có hai đờng cao tơng ứng là AI vµ BK. OI MK   OM MO'. 1®. 0,5®. Ta l¹i cã MK = IN (v× tø gi¸c MINK lµ h×nh ch÷ nhËt) OI IN  OM MO'  OIN OMO ' ( g .g )  ION MOO '  Hai tia ON vµ OO’ trïng nhau . VËy ba ®iÓm O, N, O’ th»ng hµng.. 6 (1®). a) (0,5®) Ta sẽ chứng minh có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: 2. x 2  3 y   x  2  ; y 2  3x   y  2 . 2. 0,5®.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Thật vậy giả sử cả hai bất đẳng thức trên đều sai thì: 2. 2. x 2  3 y  x  2  ; y 2  3x  y  2   0  x  y  8 (v« lý v× x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng) 2 Kh«ng mÊt tæng qu¸t gi¶ sö: x  3 y   x  2  Suy ra 2. 2. 2. x 2  x 2  3 y   x  2   x 2  3 y  x  1  3 y 2 x  1. 0,25®.  x 3k  1; y 2k  1( k  N )  y 2  3 x 4k 2  13k  4 2. 2. 2 2k  3  4k 2  13k  4   2k  4  + NÕu k > 5 th×:  suy ra y  3 x kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng.. + NÕu. k   1; 2;3; 4. 2 th× y  3x kh«ng lµ sè chÝmh ph¬ng.. 0,25®. 2 + NÕu k = 0 th× y  3x = 22 suy ra x = y = 1. 2. + NÕu k = 5 th× y  3x = 132 suy ra x = 16; y = 11. Thử lại thấy đúng. VËy c¸c cÆp sè (x,y) ph¶i t×m lµ (1,2) ;(16,11),(11,16). b) (0,5®) Sau méi lÇn hai hiÖp sÜ cã mµu tãc kh¸c nhau gÆp nhau th× mµu tãc mçi lo¹i t¨ng them 2 hoÆc gi¶m ®i 1. Nh vËy, hiÖu sè hiÖp sÜ cã hai mµu tãc kh¸c nhau tríc vµ sau mçi lÇn nh vËy cã cïng sè d khi chia cho 3. 0,25® Giả sử xảy ra trờng hợp tất cả 45 hiệp sĩ đó đều có cùng một màu tóc và sè hiÖp sÜ cã hai mµu tãc kia lµ 0. Ta cã: 45  03; 45  03; 0  03 . Mặt khác lúc đầu 15  13 2;17  15 2;17  13 4 đều không chia hết cho 0,25® 3. Do đó điều giả sử là sai. Vậy không thể xảy ra trờng hợp tất cả các hiệp sĩ đều có cùng một màu tãc. -------------------------------------.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>