Bài tập Hình học 12 Chuyên đề Thể tích khối đa diện có yếu tố gốc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.62 MB, 58 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CÓ YẾU TỐ GÓC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa: ̂ (𝑃)) = 900 Nếu 𝑑 ⊥ (𝑃) ⇒ (𝑑; A d. d'. I. H. (P). ̂ ̂ ̂ với 𝑑' là hình chiếu của d lên (𝑃) (𝑃)) = (𝑑; Nếu 𝑑 ⊥ (𝑃) ⇒ (𝑑; 𝑑') = (𝐴𝐼𝐻) ̂ (𝑃)) ≤ 900 Chú ý: 00 ≤ (𝑑; 2. Góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa: Cách 1: Dùng định nghĩa: Tìm hai đường thẳng 𝑎, 𝑏 lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (𝑃) và (𝑄). Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (𝑃) và (𝑄) chính là góc giữa hai đường thẳng a và b b a. . . . c. Cách 2: Ta thực hiện theo 2 bước Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q). Bước 2: Tìm 1 điểm I thuộc d sao cho trong mp (P) ta dễ dàng tìm được một đường thẳng a đi qua I và vuông góc với đường thẳng d và trong mp(Q) ta tìm được một đường thẳng b cũng đi qua I và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó: Góc giữa hai mp(P) và mp(Q) chính bằng góc giữa a và b. b. d. a I. 5. Thể tích khối đa diện a. Công thức tính thể tích khối chóp 1 V = S.h 3 Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp. Chú ý: Cho khối chóp S.ABC và A ' , B ' , C ' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA , SB , SC ta có. 1.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = . . . VS . ABC SA SB SC b. Công thức thể tích khối lăng trụ : 𝑉 = 𝐵. ℎ (𝐵là diện tích đáy, ℎlà chiều cao) XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc Ví dụ: Hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt cạnh bên vuông góc với đáy. phẳng đáy, tức 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) thì chiều cao của hình chóp là 𝑆𝐴.. S. C. A. B. b) Hình chóp có 1 mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.. c) Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.. Ví dụ: Hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có mặt bên (𝑆𝐴𝐵) vuông góc với mặt phẳng đáy (𝐴𝐵𝐶𝐷) thì chiều cao của hình chóp là 𝑆𝐻 là chiều cao của Δ𝑆𝐴𝐵.. S. A. D. H B. C. Ví dụ: Hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có hai mặt bên (𝑆𝐴𝐵) và (𝑆𝐴𝐷) cùng vuông góc với mặt đáy (𝐴𝐵𝐶𝐷) thì chiều cao của hình chóp là 𝑆𝐴.. S. D. A B. d) Hình chóp đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy. Đối với hình chóp đều đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G của tam giác đều.. Ví dụ: Hình chóp đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có tâm đa giác đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 thì có đường cao là 𝑆𝑂.. XÁC ĐỊNH DIỆN TÍCH ĐÁY HAY GẶP 1. Diện tích tam giác vuông. S= nửa tích 2 cạnh góc vuông. Pitago: 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 = 𝐴𝐶 2. 2. Diện tích tam giác đều. √3. S= (cạnh)2. 4 √3. h= (cạnh). 2. 2. C S. A. D O. B. C.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3. Diện tích hình vuông: . S= (cạnh)2 . Pitago: 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐷2 = 𝐵𝐷2 .Đường chéo hình vuông bằng cạnh.√2 4. Diện tích hình chữ nhật: . S= dài x rộng.. 5. Diện tích hình thoi: 1 . 𝑆 = 2 . 𝐴𝐶. 𝐵𝐷 . S= 2.SABC=2.SADC. 6. Diện tích hình thang: . S= nửa chiều cao x (đáy lớn+bé) 1 . 𝑆 = 2 𝐴𝐻. (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷). II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Thể tích khối đa diện Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng Công thức tỉ số thể tích Khoảng cách từ 1 điểm tới mặt phẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA-BDG 2020-2021) Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 𝑎, cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy, góc giữa 𝑆𝐴 và mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) bằng 45°( tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 bằng:. A.. 𝑎3. . 8. B.. 3𝑎3. √3𝑎3. .. 𝑎3. C. 12 . D. 4 . 8 Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính thể tích biết chiều cao khối đa diện biết góc giữa mặt bên và mặt đáy. 2. HƯỚNG GIẢI: B1: Tính diện tích đáy B2: tính thể tích khối lăng trụ 𝑉 = 𝑆. ℎ Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn A Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶 thì 𝐴𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 và 𝑆𝐴 ⊥ 𝐵𝐶 nên 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐴𝑀). 3.
<span class='text_page_counter'>(4)</span> ̂ = 45°. Từ đây dễ thấy góc cần tìm là 𝛼 = 𝐴𝑆𝑀 Do đó tam giác 𝑆𝐴𝑀 vuông cân tại 𝐴 và 𝑆𝐴 = 𝐴𝑀 = 1 𝑎√3 𝑎2 √3. Suy ra 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 3 .. 2. .. 4. =. 𝑎3 8. 𝑎√3 2. .. Bài tập tương tự và phát triển:. Mức độ 1 Câu 1. Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3𝑎2 và chiều cao bằng 2𝑎. Thể tích của khối chóp bằng A. 6𝑎3 . B. 2𝑎3 . C. 3𝑎3 . D. 𝑎3 . Lời giải Chọn B 1 1 Ta có 𝑉 = 3 𝑆đ . ℎ = 3 3𝑎2 . 2𝑎 = 2𝑎3 . Câu 2.. Câu 3.. Câu 4.. Câu 5.. Câu 6.. Thể tích 𝑉 của khối chóp có chiều cao bằng ℎ và diện tích đáy bằng 3𝐵 là 1 1 A. 𝑉 = 3𝐵ℎ. B. 𝑉 = 3 𝐵ℎ. C. 𝑉 = 6 𝐵ℎ. D. 𝑉 = 𝐵ℎ. Lời giải Chọn D 1 Ta có 𝑉 = . 3𝐵. ℎ = 𝐵ℎ. 3 Khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp thay đổi như thà nào? A. Tăng 4 lần. . B. Tăng 8 lần.. C. Tăng 2 lần. D. Không thay đổi. Lời giải Chọn B 1 Thể tích khối chóp là: 𝑉 = 3 𝐵. ℎ. Độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích mặt đáy tăng 22 = 4 lần. Cạnh bên tăng lên 2 lần thì chiều cao của hình chóp tăng lên 2 lần. Vậy khi tăng độ dài các cạnh của một khối chóp lên 2 lần thì thể tích của khối chóp tăng lên 8 lần. Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy 𝐵 và chiều cao ℎ là 4 1 1 A. 𝑉 = 3 𝐵ℎ. B. 𝑉 = 3 𝐵ℎ. C. 𝑉 = 𝐵ℎ. D. 𝑉 = 2 𝐵ℎ. Lời giải Chọn B 1 Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy 𝐵 và chiều cao ℎ là 𝑉 = 3 𝐵ℎ. Khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 cố định và 𝑆 chạy trên đường thẳng song song với 𝐴𝐶. Khi đó thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 sẽ: A. Giảm phân nửa.. B. Tăng gấp đôi.. C. Tăng gấp bốn. D. Giữ nguyên.. Lời giải. Chọn D Gọi Δ là đường thẳng qua 𝑆 và song song 𝐴𝐶. 1 Ta có: 𝑉 = 3 𝐵. ℎ +Δ song song𝐴𝐶nên Δ ∥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ⇒ 𝑑(𝑆, (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑑(Δ, (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = ℎ không đổi. +𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 cố định nên diện tích tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 cũng không đổi. Vì vậy thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 sẽ giữ nguyên. Cho khối chóp (𝐻) có thể tích là 2𝑎3 , đáy là hình vuông cạnh 𝑎√2. Độ dài chiều cao khối chóp (𝐻) bằng. A. 3𝑎. B. 𝑎. C. 4𝑎. D. 2𝑎. Lời giải Chọn A 1. Câu 7.. 1. 6𝑎3. 𝑉 = 3 𝐵. ℎ = 3 (√2𝑎)2 = 2𝑎3 ⇒ ℎ = 2𝑎2 = 3𝑎. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎 và thể tích bằng 𝑎3 .Tính chiều cao ℎ của hình chóp đã cho. 4.
<span class='text_page_counter'>(5)</span> A. ℎ = 𝑎... B. ℎ = 2𝑎... D. ℎ = √3𝑎... C. ℎ = 3𝑎.. Lời giải. Chọn C 1. Câu 8.. 3𝑎3. 3𝑉. Ta có:𝑉 = 3 𝑆. ℎ ⇒ ℎ = 𝑆 = 𝑎2 = 3𝑎.. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác đều cạnh 2𝑎 và thể tích bằng 3𝑎3 . Tính chiều cao ℎ của hình chóp đã cho. A. ℎ =. √3𝑎 . 3. √3𝑎 . 2. B. ℎ =. C. ℎ = √3𝑎. Lời giải. D. ℎ =. √3𝑎 . 6. Chọn C Do đáy là tam giác đều nên 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 1. Mà 𝑉 = 3 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 . ℎ ⇒ ℎ = 𝑆. 3𝑎3. 3𝑉. Δ𝐴𝐵𝐶. Câu 9.. (2𝑎)2 √3. = 𝑎2. √3. 4. = 𝑎2 √3.. = √3𝑎.. Nếu độ dài chiều cao của khối chóp tăng lên 5 lần, diện tích đáy không đổi thì thể tích của khối chóp sẽ tăng lên A. 5lần. B. 20lần. C. 15 lần. D. 10 lần. Lời giải Chọn A Thể tích khối chóp sẽ tăng lên 5 lần.. Câu 10. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác đều cạnh 𝑎 và chiều cao 4𝑎. Tính thể tích của hình chóp đã cho. A. 𝑉 =. 2𝑎3 √3 3. B. 𝑉 =. .. 4𝑎3 √3. C. 𝑉 = Lời giải. .. 3. 𝑎3 √3 3. .. D. 𝑉 =. 𝑎3 √3 4. .. Chọn C Do đáy là tam giác đều nên 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 1. 1. 𝑎2. 𝑎2 √3 4 √3 . 3. .. 𝑎3. √3. Mà 𝑉 = 3 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 . ℎ = 3 . 4 . 4𝑎 = Câu 11. Cho hình chóp tam giác 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông tại 𝐴,𝐴𝐵 = 𝑎 ,𝐴𝐶 = 2𝑎, cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎 . Tính thể tích V của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶. A. 𝑉 = 𝑎3 .. B. 𝑉 =. 𝑎3. C. 𝑉 = Lời giải. . 2. 𝑎3. . 3. D. 𝑉 =. 𝑎3 4. .. Chọn B. 1. Diện tích đáy 𝐵 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 2 𝑎. 2𝑎 = 𝑎2 Chiều cao: ℎ = 𝑎 1. 1. 𝑎3. 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐴'𝐵'𝐶' = 3 𝐵. ℎ = 3 𝑎2 . 𝑎 = 3 Câu 12. Cho hình chóp tam giác 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh a , cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt đáy và 𝑆𝐴 = 𝑎 . Tính thể tích V của khối chóp𝑆. 𝐴𝐵𝐶. A. 𝑉 =. 2𝑎3 3. B. 𝑉 =. 𝑎3 √3. C. 𝑉 = Lời giải. 12. 5. 𝑎3 √3 3. D. 𝑉 =. 𝑎3 √3 4. ..
<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chọn B. Diện tích đáy 𝐵 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 = Chiều cao: ℎ = 𝑎. 𝑎2 √3 4. 1 1 𝑎2 √3 𝑎3 √3 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐴'𝐵'𝐶' = 𝐵. ℎ = .𝑎 = 3 3 4 12 Câu 13. Cho khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 vuông góc với (𝐴𝐵𝐶), đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴,𝐵𝐶 = 2𝑎 , góc giữa 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là 30°. Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶. A.. 𝑎3 √6 9. .. B.. 𝑎3 √6. 𝑎3 √3. .. 3. C. Lời giải. 3. .. D.. 𝑎3 √2 4. .. Chọn A S. A. C 30° B. ̂ = 30°. Ta có 𝐴𝐵 là hình chiếu của 𝑆𝐵 lên (𝐴𝐵𝐶) suy ra góc giữa 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là góc 𝑆𝐵𝐴 Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴, 𝐵𝐶 = 2𝑎 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑎√2 . 𝑎√6 √3 = . 3 3 1 1 𝑎√6 . 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 3 . 3 . 𝑎2 3. Xét Δ𝑆𝐴𝐵 vuông tại 𝐴 có 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵. 𝑡𝑎𝑛 3 0° = 𝑎√2. 1. Ta có 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐵 2 = 𝑎2 . Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 =. =. 𝑎3 √6 9. .. Câu 14. Cho khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật,𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑎√3, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) tạo với đáy một góc 60𝑜 . Tính thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. A. 𝑉 = 3𝑎3 .. B. 𝑉 =. √3𝑎3 . 3. C. 𝑉 = 𝑎3 . Lời giải. Chọn C. 6. D. 𝑉 =. 𝑎3 3. ..
<span class='text_page_counter'>(7)</span> S. 60. a. A. a 3. B. C. D. Ta có 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵. 𝐴𝐷 = 𝑎. 𝑎√3 = √3𝑎2 . ̂ = 60𝑜 . Dễ thấy 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐵; 𝐵𝐶 ⊥ 𝑆𝐵 ⇒ 𝑆𝐵𝐴 𝑆𝐴 Xét tam giác vuông 𝑆𝐴𝐵(𝐴̂ = 1𝑣) có: 𝑡𝑎𝑛 6 0𝑜 = 𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 𝑡𝑎𝑛 6 0𝑜 = 𝑎√3 1. 1. Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 . 𝑆𝐴 = 3 𝑎2 √3. 𝑎√3 = 𝑎3 . Câu 15. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 = 𝑎 và vuông góc với đáy 𝐴𝐵𝐶. Biết rằng tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều và mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) hợp với đáy (𝐴𝐵𝐶) một góc 30°. Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶. 𝑎3 √3. A. 𝑉 =. 3. 2𝑎3. B. 𝑉 =. .. 3. 𝑎3 √3. C. 𝑉 = Lời giải:. .. 12. .. 𝑎3. D. 𝑉 =. 3. .. Chọn A. ̂ = 30° Gọi 𝐼 là trung điểm 𝐵𝐶, ta có 𝑆𝐼𝐴 Xét tam giác 𝑆𝐼𝐴 vuông tại 𝐴 ta có 𝑆𝐴 = 𝑎 ⇒ 𝐴𝐼 = 𝑎√3 Ta có 𝐴𝐼 = 𝐴𝐵. √3 2. ⇒ 𝐴𝐵 = 2𝑎.. Diện tích 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 2. √3 4. = 𝑎2 √3 𝑎3 √3. 1. Thể tích 𝑉 = 3 . 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 3 Câu 16. Cho khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 vuông góc với (𝐴𝐵𝐶), đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴,𝐵𝐶 = 2𝑎 , góc giữa 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là 30°. Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶. A.. 𝑎3 √6 9. .. B.. 𝑎3 √6 3. .. C. Lời giải:. Chọn A. 7. 𝑎3 √3 3. .. D.. 𝑎3 √2 4. ..
<span class='text_page_counter'>(8)</span> S. C. A. 30° B. ̂ = 30°. 𝐴𝐵 là hình chiếu của 𝑆𝐵 lên (𝐴𝐵𝐶) suy ra góc giữa 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là góc 𝑆𝐵𝐴 Tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴, 𝐵𝐶 = 2𝑎 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑎√2 . 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵. 𝑡𝑎𝑛 3 0° = 𝑎√2. 1. √3 3. =. 𝑎√6 3. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐵 2 = 𝑎2 . 1. . 𝑎3 √6. 1 𝑎√6. 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 3 . 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 3 . 3 . 𝑎2 = 9 . Câu 17. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 2𝑎, tam giác 𝑆𝐴𝐵 là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶. A. 𝑉 =. 𝑎3. B. 𝑉 = 𝑎3 .. . 2. C. 𝑉 =. 3𝑎3 2. .. D. 𝑉 = 3𝑎3 .. Lời giải: Chọn B. Gọi 𝐻 là trung điểm của 𝐴𝐵. (𝑆𝐴𝐵) ⊥ (𝐴𝐵𝐶) (𝑆𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵𝐶) = 𝐴𝐵 } ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐵 𝑆𝐻 ⊂ (𝑆𝐴𝐵) 𝑆𝐻 =. 𝐴𝐵√3 2. = 𝑎√3, 𝑆𝐴𝐵𝐶 =. 1. 𝐴𝐵2 √3 4. = 𝑎2 √3.. 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 3 𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎3 . Câu 18. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật. Tam giác 𝑆𝐴𝐵 đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy(𝐴𝐵𝐶𝐷). Biết 𝑆𝐷 = 2𝑎√3 và góc tạo bởi đường thẳng 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷)bằng 300 . Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. A. 𝑉 =. 2𝑎3 √3 7. .. B. 𝑉 =. 𝑎3 √3 13. C. 𝑉 = Lời giải. .. Chọn D.. 8. 𝑎3 √3 4. D. 𝑉 =. 4𝑎3 √6 3.
<span class='text_page_counter'>(9)</span> … 0 ̂ ̂ = Ta có 𝑆𝐶 = 𝑆𝐷 = 2𝑎√3, 𝑆𝐼 = 𝑆𝐶. 𝑠𝑖𝑛 𝑆𝐶𝐼 = 2𝑎√3. 𝑠𝑖𝑛 3 0 = 𝑎√3, 𝐶𝐼 = 𝑆𝐶.cos𝑆𝐶𝐼 0 2𝑎√3.cos30 = 3𝑎. 𝑆𝐼 =. 𝐴𝐵√3 2. ⇒ 𝐴𝐵 = 2𝑎. 𝐵𝐶 = √𝐶𝐼 2 − 𝐵𝐼 2 = √(3𝑎)2 − 𝑎2 = 2𝑎√2. Từ đó: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵. 𝐵𝐶 = 2𝑎. 2𝑎√2 = 4𝑎2 √2 1. 1. 4𝑎3 √6. Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 . 𝑆𝐼 = 3 . 4𝑎2 √2. 𝑎√3 = 3 . Câu 19. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐷 = 2𝑎. Hình chiếu của 𝑆 lên mặt phẳng(𝐴𝐵𝐶𝐷) trùng với trung điểm cạnh 𝐴𝐵. Biết rằng𝑆𝐶 = 𝑎√5. Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. A. 𝑉 =. 𝑎3 √5 4. B. 𝑉 =. 𝑎3 √15. 𝑎3 √15. 3. 4. . C. 𝑉 = Lời giải. D. 𝑉 =. .. 2𝑎3 √5 3. .. Chọn C. S. D. A M B. C. Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐴𝐵. Ta có: 𝑀𝐶 = √𝐵𝐶 2 + 𝑀𝐵 2 = 1 𝑎√15 (𝑎+2𝑎)𝑎. 𝑎3 √15. 𝑎√5 2. suy ra 𝑆𝑀 =. 𝑎√15 2. .. Nên 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 2 . 2 = 4 . Câu 20. Cho khối chóp tam giác đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có cạnh đáy bằng 𝑎 và cạnh bên bằng 2𝑎. Tính thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 A. 𝑉 =. √13𝑎3 . 12. B. 𝑉 =. √11𝑎3 . 12. C. 𝑉 = Lời giải. √11𝑎3 . 6. D. 𝑉 =. √11𝑎3 . 4. Chọn B. S. A. C O. I. B. Do đáy là tam giác đều nên gọi 𝐼 là trung điểm cạnh 𝐵𝐶, khi đó 𝐴𝐼 là đường cao của tam giác đáy. Theo định lý Pitago ta có 𝐴𝐼 = √𝑎2 − 9. 𝑎2 4. =. 𝑎√3 2. 2. , và 𝐴𝑂 = 3 𝐴𝐼 =. 2𝑎√3 3.2. =. 𝑎√3 3. ..
<span class='text_page_counter'>(10)</span> Trong tam giác 𝑆𝑂𝐴 vuông tại 𝑂 ta có 𝑆𝑂 = √4𝑎2 − Vậy thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 là 𝑉 =. 1 1. 𝑎√3 √11𝑎 . 𝑎 . 3 2 2 √3. 𝑎2 3. =. =. √11𝑎. √3 √11𝑎3 . 12. Mức độ 2 Câu 1. Cho khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với đáy và 𝑆𝐶 tạo với mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) một góc 300 . Tính thể tích 𝑉 của khối chóp đã cho. √2𝑎3 . 3. A. 𝑉 =. B. 𝑉 =. √6𝑎3 . 3. C. 𝑉 = Lời giải. 2𝑎3 3. D. 𝑉 = √2𝑎3 .. .. Chọn A. ̂ = 300 Ta có 𝐶𝐵 ⊥ (𝑆𝐴𝐵) ⇒ [𝑆𝐶; (𝑆𝐴𝐵)] = (𝑆𝐶; 𝑆𝐵) = 𝐶𝑆𝐵 Suy ra 𝑆𝐵 = 𝐵𝐶. 𝑐𝑜𝑡 3 00 = 𝑎√3; 𝑆𝐴 = √𝑆𝐵 2 − 𝐴𝐵 2 = 𝑎√2 √2𝑎3. 1. Câu 2.. Thể tích khối chóp : 𝑉 = 3 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 . 𝑆𝐴 = 3 . Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎, 𝑆𝐴 = 2𝑎, 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷). Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 tính theo 𝑎. A.. 8𝑎3. B.. 3. 4𝑎3. 6𝑎3. D. 4𝑎3. C. 3 Lời giải. 3. Chọn B. Ta có 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵. 𝐶𝐷 = 2𝑎2 . 1. 1. Thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 là 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 2𝑎. 2𝑎2 = Câu 3.. 4𝑎3 3. .. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐶, 𝐴𝐵 = 𝑎√5, 𝐴𝐶 = 𝑎. Cạnh bên 𝑆𝐴 = 3𝑎 và vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶). Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶. A.. 𝑎3 √5 2. .. B. 𝑎3 .. C. 3𝑎3 .. D. 2𝑎3 .. Lời giải. Câu 4.. Chọn B. Vì tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐶 nên 𝐵𝐶 = √𝐴𝐵 2 − 𝐴𝐶 2 = √5𝑎2 − 𝑎2 = 2𝑎. 1 1 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐶. 𝐵𝐶 = . 𝑎. 2𝑎 = 𝑎2 . 2 2 1 1 2 3 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 3 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 3 . 3𝑎. 𝑎 = 𝑎 (đvtt). . Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎, đường thẳng 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) và 𝑆𝐴 = 3𝑎. Thể tích của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 bằng A. 2𝑎3 . B. 3𝑎3 . C. 6𝑎3 . D. 𝑎3 . 10.
<span class='text_page_counter'>(11)</span> Lời giải Chọn A S. 3a. D. A a 2a. B. C. 1. Câu 5.. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta có 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 𝑎. 2𝑎. 3𝑎 = 2𝑎3 . Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với mặt phẳng đáy (𝐴𝐵𝐶). Biết 𝑆𝐴 = 𝑎, tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác vuông cân tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 2𝑎. Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶. A. 𝑉 =. 𝑎3 2. B. 𝑉 = 2𝑎3. C. ⇒ Lời giải. D. 𝑉 =. 2𝑎3 3. S. C. A. B. Chọn D. Câu 6.. 1 1 1 1 2 Ta có: V = .SA.SABC = 3 𝑆𝐴. 2 . 𝐴𝐵. 𝐴𝐶 = 6 . 𝑎. (2𝑎)2 = 3 𝑎3 (dvtt). 3 Cho khối chóp tam giác 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶), tam giác 𝐴𝐵𝐶 có độ dài 3 cạnh là 𝐴𝐵 = 5𝑎; 𝐵𝐶 = 8𝑎; 𝐴𝐶 = 7𝑎, góc giữa 𝑆𝐵 và (𝐴𝐵𝐶) là 45°. Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶.. A. 50√3𝑎3 .. B.. 50√3 3. 50. 𝑎3 .. C. 3 𝑎3 . Lời giải. D.. 50√7 3. 𝑎3 .. Chọn B. Ta có nửa chu vi Δ𝐴𝐵𝐶 là 𝑝 =. 𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶 2. = 10𝑎.. Diện tích Δ𝐴𝐵𝐶 là 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = √10𝑎. 5𝑎. 3𝑎. 2𝑎 = 10√3𝑎2 . 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶) nên Δ𝑆𝐴𝐵 vuông, cân tại 𝐴 nên 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = 5. 1. Câu 7.. 1. 50√3. Thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 là 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 3 𝑆𝐴. 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 3 5𝑎. 10√3𝑎2 = 3 𝑎3 . Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶) vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶), 𝑆𝐴𝐵 là tam giác 11.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> đều cạnh 𝑎√3, 𝐵𝐶 = 𝑎√3 đường thẳng 𝑆𝐶 tạo với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) góc 60°. Thể tích của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 bằng A.. 𝑎3 √3 3. .. B.. 𝑎3 √6 2. 𝑎3 √6. .. C. Lời giải. 6. D. 2𝑎3 √6.. .. Chọn C B. S. A 60o. H C. Ta thấy tam giác 𝐴𝐵𝐶 cân tại 𝐵, gọi 𝐻 là trung điểm của 𝐴𝐵 suy ra 𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐶. Do (𝑆𝐴𝐶) ⊥ (𝐴𝐵𝐶) nên 𝐵𝐻 ⊥ (𝑆𝐴𝐶). Ta lại có 𝐵𝐴 = 𝐵𝐶 = 𝐵𝑆 nên 𝐵 thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝐴𝐵𝐶 ⇒ 𝐻 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 𝑆𝐴𝐶 ⇒ 𝑆𝐴 ⊥ 𝑆𝐶. ̂ = 600 . Do 𝐴𝐶 là hình chiếu của 𝑆𝐶 lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) 𝑆𝐶𝐴 𝑆𝐴 Ta có 𝑆𝐶 = 𝑆𝐴. 𝑐𝑜𝑡 6 00 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑠𝑖𝑛 600 = 2𝑎 ⇒ 𝐻𝐶 = 𝑎 ⇒ 𝐵𝐻 = √𝐵𝐶 2 − 𝐻𝐶 2 = 𝑎√2. 1. Câu 8.. 𝑎3 √6. 1. 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 3 𝐵𝐻. 𝑆𝑆𝐴𝐶 = 6 𝐵𝐻. 𝑆𝐴. 𝑆𝐶 = 6 . Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 2𝑎, cạnh 𝑆𝐵 vuông góc với đáy và mặt phẳng (𝑆𝐴𝐷) tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. A. 𝑉 =. 3𝑎3 √3 4. .. B. 𝑉 =. 3𝑎3 √3 8. .. C. 𝑉 = Lời giải. 8𝑎3 √3. .. 3. D. 𝑉 =. 4𝑎3 √3 3. .. Chọn C. 𝑆𝐵 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) } ⇒ 𝑆𝐵 ⊥ 𝐴𝐷 mà 𝐴𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 ⇒ 𝐴𝐷 ⊥ 𝑆𝐴. 𝐴𝐷 ⊂ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ( SAD ) ( ABCD ) = AD ̂ = 60° AB ⊥ AD, AB ( ABCD ) ((𝑆𝐴𝐷); (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = (𝑆𝐴; 𝐴𝐵) = 𝑆𝐴𝐵 SA ⊥ AD, SA ( SAD ) . Ta có:. 1. Câu 9.. 1. 8𝑎3 √3. Ta có: 𝑆𝐵 = 𝐵𝐷. 𝑡𝑎𝑛 6 0° = 2𝑎√3. Vậy 𝑉 = 3 𝑆𝐵. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 2𝑎√3. 4𝑎2 = 3 . Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, hai mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) và (𝑆𝐴𝐷) cùng vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷); góc giữa đường thẳng 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng 60°. Tính theo 𝑎 thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. 12.
<span class='text_page_counter'>(13)</span> A. 3𝑎3 .. B.. 𝑎3 √6. 𝑎3 √6. .. 9. C. Lời giải. 3. D. 3√2𝑎3 .. .. Chọn C. (𝑆𝐴𝐵) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) Ta có {(𝑆𝐴𝐷) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ⇒ 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) (𝑆𝐴𝐵) ∩ (𝑆𝐴𝐷) = 𝑆𝐴 ⇒ 𝐴𝐶 là hình chiếu vuông góc của 𝑆𝐶 lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) ̂ ̂ = 60° ⇒ (𝑆𝐶, (𝐴𝐵𝐶𝐷) ) = 𝑆𝐶𝐴 Tam giác 𝑆𝐴𝐶 vuông tại 𝐴 có 𝑆𝐴 = 𝐴𝐶. 𝑡𝑎𝑛 6 0° = 𝑎√6. 1. 1. Khi đó 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 𝑎√6. 𝑎2 =. 𝑎3 √6 3. .. Câu 10. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật với 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 𝑎√3. Cạnh bên 𝑆𝐴 vuông góc với đáy và đường thẳng 𝑆𝐶 tạo với mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵) một góc 30°. Tính thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 theo 𝑎. A. 𝑉 =. 2√6𝑎3 3. .. B. 𝑉 =. 2𝑎3 3. C. 𝑉 = √3𝑎3 . Lời giải. .. D. 𝑉 =. √3𝑎3 . 3. Chọn A. 𝐵𝐶 ⊥ 𝑆𝐴 Ta có: { ⇒ 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐴𝐵) ⇒ 𝑆𝐵 là hình chiếu của 𝑆𝐶 lên mặt phẳng (𝑆𝐴𝐵). 𝐵𝐶 ⊥ 𝐴𝐵 ̂ ̂ = 30°. (𝑆𝐴𝐵)) = (𝑆𝐶, ⇒ (𝑆𝐶,̂ 𝑆𝐵) = 𝐶𝑆𝐵 𝐵𝐶. Xét tam giác 𝑆𝐵𝐶 vuông tại 𝐵 có 𝑡𝑎𝑛 3 0° = 𝑆𝐵 ⇒ 𝑆𝐵 = 3𝑎. Xét tam giác 𝑆𝐴𝐵 vuông tại 𝐴 có 𝑆𝐴 = √𝑆𝐵 2 − 𝐴𝐵 2 = 2𝑎√2. Mà 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵. 𝐵𝐶 = 𝑎2 √3. 2𝑎3 √6. 1. Vậy 𝑉 = 3 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 . 𝑆𝐴 = 3 . Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cạnh đáy bằng 𝑎 và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 . Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. A. 𝑉 =. 𝑎3 √6 2. .. B. 𝑉 =. 𝑎3 √6 3. .. C. 𝑉 = Lời giải. Chọn.D.. 13. 𝑎3 √3 2. .. D. 𝑉 =. 𝑎3 √6 6.
<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ta có: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2 . ̂= Chiều cao 𝑆𝑂: 𝑆𝑂 = 𝑂𝐵. 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐵𝑂 1. 𝑎√2. 2 1 2 𝑎√6 .𝑎 . 2 3. . 𝑡𝑎𝑛 6 00 = 𝑎3. 𝑎√6 2. .. √6. Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 . 𝑆𝑂 = = 6 . Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cạnh đáy bằng 𝑎 và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 . Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. A. 𝑉 =. 𝑎3 √6 2. B. 𝑉 =. .. 𝑎3 √6 3. C. 𝑉 = Lời giải. .. 𝑎3 √3 2. .. D. 𝑉 =. 𝑎3 √6 6. Chọn D.. Ta có: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2 . ̂ Gọi 𝑀 là trung điểm 𝐵𝐶, góc giữa mặt bên (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶𝐷) là 𝑆𝑀𝑂 1 𝑎 Ta có 𝑂𝑀 = 2 𝐴𝐵 = 2 . 𝑎. ̂ = . 𝑡𝑎𝑛 6 00 = Chiều cao 𝑆𝑂: 𝑆𝑂 = 𝑂𝐵. 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐵𝑂 2 1. 1. Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 . 𝑆𝑂 = 3 . 𝑎2 .. 𝑎√3 2. =. 𝑎3 √3 6. 𝑎√3 2. .. .. ̂ = 120° , góc Câu 13. Cho lăng trụ đứng 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ có đáy là tam giác cân tại 𝐴, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 2𝑎, 𝐶𝐴𝐵 ′ giữa (𝐴 𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶) là 45°. Tính thể tích lăng trụ đã cho. A. 𝑉 =. 𝑎3 √6 2. .. B. 𝑉 =. 𝑎3 √3 3. .. C. 𝑉 = Lời giải. 𝑎3 √3 2. .. D. 𝑉 = 𝑎3 √3. Chọn D.. ̂ = 60°( doΔ𝐴𝐵𝐶cân tại 𝐴) Gọi 𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶. Ta có 𝐴𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 và 𝐶𝐴𝑀 14.
<span class='text_page_counter'>(15)</span> ′ 𝑀𝐴 = 45° Ta xác định được góc giữa (𝐴′ 𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶) là 𝐴̂ 1 1 ̂ = . (2𝑎)2 𝑠𝑖𝑛 1 20° = 𝑎2 √3 và Ta có 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐵. 𝐴𝐶.sin𝐵𝐴𝐶 2 ′ 𝑀𝐴 = 𝑎 ̂ = 2𝑎.cos60° = 𝑎; 𝐴𝐴′ = 𝐴𝑀. 𝑡𝑎𝑛 𝐴̂ 𝐴𝑀 = 𝐴𝐶 𝑐𝑜𝑠 𝑀𝐴𝐶. Vậy𝑉𝐴𝐵𝐶.𝐴′ 𝐵′𝐶 ′ = 𝐴𝐴′ . 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑎3 √3 (đơn vị thể tích). Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 𝑎 và cạnh bên tạo đáy góc 600 . Thể tích của khối chóp đó bằng: A.. 𝑎3 √3 12. .. B.. 𝑎3 √3 6. 𝑎3 √3. .. C. 36 . Lời giải. D.. 𝑎3 √3 18. .. Chọn A S. 60 A. C O M B. 𝑎2 √3. Ta có: 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 4 . Gọi 𝑂 là trọng tâm của tam giác 𝐴𝐵𝐶, suy ra 𝑆𝑂 ⊥ (𝐴𝐵𝐶). Ta có 𝐴𝑂 là hình chiếu của 𝑆𝐴 lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶). ̂ = 600 . Xét tam giác 𝑆𝐴𝑂 vuông tại 𝑂, ta có: Suy ra (𝑆𝐴, (𝐴𝐵𝐶)) = (𝑆𝐴, 𝐴𝑂) = 𝑆𝐴𝑂 𝑆𝑂. 2. 2. ̂= ̂ = 𝐴𝑀. 𝑡𝑎𝑛 6 00 = . 𝑎. 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐴𝑂 ⇒ 𝑆𝑂 = 𝐴𝑂. 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐴𝑂 𝐴𝑂 3 3 1. 1. 𝑎2. √3. 𝑎3. √3 . √3 2. = 𝑎.. √3. Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 3 𝑆𝐴𝐵𝐶 . 𝑆𝑂 = 3 . 4 . 𝑎 = 12 . Câu 15. Cho hình lăng trụ đều 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ . Mặt phẳng (𝐴′ 𝐵𝐶)tạo với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶) một góc 30° và tam giác 𝐴′ 𝐵𝐶 có diện tích bằng 8𝑎2 . Tính thể tích khối lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ . A. 𝑉 =. √2𝑎3 . 12. B. 𝑉 = 8𝑎3 √3.. C. 𝑉 = Lời giải. √8𝑎3 . 6. D. 𝑉 =. √2𝑎3 . 4. Chọn B.. Kẻ đường cao 𝐴𝑀 của tam giác 𝐴𝐵𝐶. Khi đó 𝑀 là trung điểm của 𝐵𝐶 ⇒ 𝐵𝐶 ⊥ (𝐴′ 𝐴𝑀) Tam giác 𝐴' 𝐴𝑀vuông tại 𝐴 nên góc 𝐴'𝑀𝐴 là góc nhọn. ′ 𝑀𝐴, bằng Góc giữa hai mặt phẳng (𝐴'𝐵𝐶)và (𝐴𝐵𝐶)bằng góc giữa 𝐴′ 𝑀và 𝐴𝑀và bằng góc 𝐴̂ 30° Tam giác 𝐴𝐵𝐶 là hình chiếu vuông góc của tam giác𝐴′ 𝐵𝐶 trên (𝐴𝐵𝐶) Suy ra 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴'𝐵𝐶 . 𝑐os30𝑜 = 4𝑎2 √3. Đặt 𝐴𝐵 = 𝑥 > 0. Diện tích tam giác đều 𝐴𝐵𝐶 theo 𝑥 là 𝑆𝐴𝐵𝐶 = Vậy có. 𝑥2. √3 4. = 4𝑎2 √3 ⇔ 𝑥 = 4𝑎 ⇒ 𝐴𝑀 = 15. 𝑥√3 2. = 2𝑎√3. 𝑥 2 √3 4. ..
<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tam giác 𝐴′ 𝑀𝐴vuông tại 𝐴, 𝐴𝐴′ = 𝐴𝑀. 𝑡𝑎𝑛 3 0𝑜 = 2𝑎√3.. 1. = 2𝑎.. √3 2. Thể tích của lăng trụ 𝐴𝐵𝐶. 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ là 𝑉 = 𝐴𝐴′ . 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 2𝑎. 4𝑎 √3 = 8𝑎3 √3. Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ 𝐷′ có đáy là hình vuông, cạnh bên bằng 4𝑎 và đường chéo 5𝑎 .Tính thể tích hình hộp chữ nhật này. A. 𝑉 = 3𝑎3 . B. 𝑉 = 9𝑎3 . C. 𝑉 = 𝑎3 . D. 𝑉 = 6𝑎3 . Lời giải Chọn B. C'. D' A' B' 4a. 5a C. D A. B. 𝐵𝐷2 = 𝐵𝐷'2 − 𝐷𝐷'2 = 9𝑎2 ⇒ 𝐵𝐷 = 3𝑎 9a 2 3a ABCD là hình vuông AB = B = S ABCD = 4 2 3 Vậy 𝑉 = 𝐵. ℎ = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 . 𝐴𝐴' = 9𝑎 Câu 17. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 2𝑎. Hình chiếu vuông góc của 𝑆 lên (𝐴𝐵𝐶) là trung điểm 𝑀 của 𝐴𝐶. Góc giữa 𝑆𝐵 và đáy bằng 60°. Thể tích 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 là bao nhiêu? A.. 𝑎3 √3 2. .. B.. 𝑎3. 𝑎3. . 2. C. 4 . Lời giải. D.. 𝑎3 √2 12. .. Chọn B.. 1. √3. Diện tích ABC : 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐵. 𝐵𝐶 = 2 𝑎2 ̂ = 600 ⇒ 𝑆𝑀 = 𝑀𝐵. 𝑡𝑎𝑛 6 00 = 𝑎√3 *𝑆𝐵𝑀 𝑎3. 1. Thể tích S.ABC : 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 3 𝑆𝑀. 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 2 . Câu 18. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật với 𝐴𝐵 = 2𝑎, 𝐴𝐷 = 𝑎. Hình chiếu của 𝑆 lên mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) là trung điểm 𝐻 của cạnh 𝐴𝐵, đường thẳng 𝑆𝐶 tạo với đáy một góc450 . Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. A. 𝑉 =. 2√2𝑎3 3. .. B. 𝑉 =. 𝑎3. . 3. C. 𝑉 = Lời giải. Chọn A.. 16. 2𝑎3 3. .. D. 𝑉 =. √3𝑎3 2.
<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ta có 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2𝑎. 𝑎 = 2𝑎2 . Do𝑆𝐶 tạo với đáy một góc450 nên 𝑆𝐻 = 𝐻𝐶. 1 1 Mà 𝐻𝐶 = √𝐵𝐻 2 + 𝐵𝐶 2 = √𝑎2 + 𝑎2 = 𝑎√2. Vậy 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 . 𝑆𝐻 = 3 . 2𝑎2 . 𝑎√2 = 2𝑎3 √2. . Câu 19. Cho khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 2𝑎, Δ𝑆𝐴𝐷 cân tại 𝑆 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa (𝑆𝐵𝐶) và mặt đáy bằng 60𝑜 . Tính thể tích 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 bằng: 3. A.. 2𝑎3 √3. .. 3. B.. 8𝑎3 √3 3. 4𝑎3 √3. .. C. Lời giải. 3. D. 2𝑎3 √3.. .. Chọn B. Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐷. (𝑆𝐴𝐷) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) Ta có: {(𝑆𝐴𝐷) ∩ (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴𝐷 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷). 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 2𝑎 nên𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 2 = 4𝑎2 . Tam giác 𝑆𝐵𝐶 cân tại 𝑆 ⇒ 𝑆𝑀 ⊥ 𝐵𝐶, mà 𝐻𝑀 ⊥ 𝐵𝐶 ⇒ góc giữa mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và mặt ̂ . Theo bài ra có phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) là góc giữa hai đường thẳng 𝐻𝑀, 𝑆𝑀 chính là góc 𝑆𝑀𝐻 𝑜 ̂ = 60 . 𝑆𝑀𝐻 ⇒ 𝑆𝐻 = 2𝑎. 𝑡𝑎𝑛 6 0𝑜 = 2𝑎√3. 1. 1. Vậy thể tích 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 2𝑎√3. 4𝑎2 =. 8𝑎3 √3 3. .. Câu 20. Cho hình chóp tam giác đều 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có cạnh đáy bằng 𝑎√3 , cạnh bên bằng 2𝑎. Tính thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶. A. 𝑉 =. 𝑎3 √3 4. .. B. 𝑉 =. 3𝑎3 √3 2. .. C. 𝑉 = Lời giải. Chọn D. 17. 3𝑎3 √3 4. .. D. 𝑉 =. 3𝑎3 4. ..
<span class='text_page_counter'>(18)</span> 2. Diện tích đáy 𝐵 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐻 =. 𝐴𝐵. =. √3. 𝑎√3 √3. (𝑎.√3) √3 4. =. 3𝑎2 √3 4. ;. =𝑎. Chiều cao: ℎ = 𝑆𝐻 = √𝑆𝐴2 − 𝐴𝐻 2 = √4𝑎2 − 𝑎2 = 𝑎√3 1 3𝑎2 √3. 1. 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 3 𝐵. ℎ = 3. 4. . 𝑎√3 =. 3𝑎3 4. Mức độ 3 Câu 1. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), 𝑆𝐴 = 𝑎. Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝑆𝐶𝐷. Tính thể tích khối chóp 𝐺. 𝐴𝐵𝐶𝐷. 1 1 2 1 A. 6 𝑎3 . B. 12 𝑎3 . C. 17 𝑎3 . D. 9 𝑎3 . Lời giải Chọn D S. N. G D A M B. C. Gọi 𝑀, 𝑁 lần lượt là trung điểm của 𝐶𝐷 và 𝑆𝐷. 1. Ta có 3 = Câu 2.. 𝐺𝑀 𝑆𝑀. =. 𝑑(𝐺,(𝐴𝐵𝐶𝐷)) 𝑑(𝑆,(𝐴𝐵𝐶𝐷)) 1. . 𝑎3. 1 1. Ta có 𝑉𝐺.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 𝑑(𝐺, (𝐴𝐵𝐶𝐷)). 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 3 𝑆𝐴. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 9 . Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵, 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐵𝐶 = 2𝑎. Tam giác 𝑆𝐴𝐵 cân tại 𝑆 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, mặt phẳng (𝑆𝐴𝐺) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối tứ diện 𝐴𝐶𝐺𝑆 bằng A. 𝑉 =. 𝑎3 √6 36. B. 𝑉 =. 𝑎3 √6 18. C. 𝑉 = Lời giải. Chọn A 18. 𝑎3 √3 27. D. 𝑉 =. 𝑎3 √6 12.
<span class='text_page_counter'>(19)</span> S. K. A. C. I G. H. N. B 1. 𝑎2. 1. Ta có: 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 2 . 𝐴𝐵. 𝐵𝐶 = 𝑎2 ⇒ 𝑆Δ𝐴𝐶𝐺 = 3 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 3 . Gọi 𝐻 là trung điểm của 𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶). Gọi 𝑁 là trung điểm của 𝐵𝐶, 𝐼 là trung điểm của 𝐴𝑁 và 𝐾 là trung điểm của 𝐴𝐼. Ta có 𝐴𝐵 = 𝐵𝑁 = 𝑎 ⇒ 𝐵𝐼 ⊥ 𝐴𝑁 ⇒ 𝐻𝐾 ⊥ 𝐴𝑁. ̂ = 60°. Do 𝐴𝐺 ⊥ (𝑆𝐻𝐾) nên góc giữa (𝑆𝐴𝐺) và đáy là 𝑆𝐾𝐻 1. Ta có: 𝐵𝐼 = 2 𝐴𝑁 =. 𝑎√2 2. 1. ⇒ 𝐻𝐾 = 2 𝐵𝐼 =. 𝑎√2. , 𝑆𝐻 = 𝑆𝐾. 𝑡𝑎𝑛 6 0° =. 1. Vậy 𝑉 = 𝑉𝐴𝐶𝐺𝑆 = 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐺 = 3 . 𝑆𝐻. 𝑆Δ𝐴𝐶𝐺 = Câu 3.. 4 𝑎3 √6 36. 𝑎√6. .. 4. .. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐵, 𝐴𝐶 = 𝑎√2, mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶) vuông góc với mặt đáy(𝐴𝐵𝐶). Các mặt bên (𝑆𝐴𝐵), (𝑆𝐵𝐶) tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60°. Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶. A. 𝑉 =. √3𝑎3 2. B. 𝑉 =. √3𝑎3 4. C. 𝑉 = Lời giải. √3𝑎3 6. D. 𝑉 =. √3𝑎3 12. Chọn D. Ta có: (𝑆𝐴𝐶) ⊥ (𝐴𝐵𝐶) và (𝑆𝐴𝐶) ∩ (𝐴𝐵𝐶) = 𝐴𝐶. Trong mặt phẳng (𝑆𝐴𝐶), kẻ 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐶 thì 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶). ̂ ̂ (𝐴𝐵𝐶)) = 𝑆𝐼𝐻 Gọi 𝐼, 𝐾 lần lượt là hình chiếu vuông góc của 𝐻 lên cạnh 𝐴𝐵 và 𝐴𝐶 thì ((𝑆𝐴𝐵), ̂ ̂. (𝐴𝐵𝐶)) = 𝑆𝐾𝐻 và ((𝑆𝐴𝐶), ̂ = 𝑆𝐾𝐻 ̂ = 60° nên 𝐻𝐼 = 𝐻𝐾 ⇒ tứ giác 𝐵𝐼𝐻𝐾 là hình vuông ⇒ 𝐻 là trung điểm cạnh Mà 𝑆𝐼𝐻 𝐴𝐶. 𝑎. Khi đó tứ giác 𝐵𝐼𝐻𝐾 là hình vuông cạnh 2 và 𝑆𝐻 = 𝐻𝐼. 𝑡𝑎𝑛 6 0° = 1. Câu 4.. 1 𝑎√3 (𝑎√2). 2. 𝑎3 √3. 𝑎√3 2. .. Vậy 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = 3 𝑆𝐴𝐵𝐶 . 𝑆𝐻 ⇔ 𝑉𝑆𝐴𝐵𝐶 = 3 . 2 . 4 = 12 . Hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông cạnh 𝑎, 𝑆𝐴𝐵 là tam giác cân tại 𝑆 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (𝐴𝐵𝐶𝐷). Biết côsin của góc tạo bởi mặt phẳng (𝑆𝐶𝐷) và 19.
<span class='text_page_counter'>(20)</span> (𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng A. 𝑉 =. 𝑎3. √13 . 6. 2√17 17. . Thể tích 𝑉của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 là B. 𝑉 =. 𝑎3 √17. C. 𝑉 = Lời giải. .. 6. 𝑎3 √17 2. D. 𝑉 =. .. 𝑎3 √13 2. .. Chọn A. Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), 𝐾 là trung điểm 𝐶𝐷 ⇒ 𝐶𝐷 ⊥ 𝑆𝐾 ̂ ̂ . 𝑐𝑜𝑠 𝑆𝐾𝐻 ̂ = 𝐻𝐾 ⇒ 𝑆𝐾 = 𝑎√17 ⇒ 𝑆𝐻 = 𝑎√13 Ta có ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = (𝑆𝐾, 𝐻𝐾) = 𝑆𝐾𝐻 𝑆𝐾 2 2 1. Câu 5.. 𝑎3 √13. 1 𝑎√13. Vậy 𝑉 = 3 . 𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 2 . 𝑎2 = 6 . Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 với đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐷, đáy nhỏ của hình thang là 𝐶𝐷, cạnh bên 𝑆𝐶 = 𝑎√15. Tam giác 𝑆𝐴𝐷 là tam giác đều cạnh 2𝑎 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi 𝐻 là trung điểm cạnh 𝐴𝐷, khoảng cách từ 𝐵 tới mặt phẳng (𝑆𝐻𝐶) bằng 2√6𝑎. Tính thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷? A. 𝑉 = 8√6𝑎3 . B. 𝑉 = 12√6𝑎3 . C. 𝑉 = 4√6𝑎3 . D. 𝑉 = 24√6𝑎3 . Lời giải Chọn C S. A. B. H D. C F. (𝑆𝐴𝐷) ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐴𝐷 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑆𝐻 ⊥ 𝐴𝐷, 𝑆𝐻 ⊂ (𝑆𝐴𝐷) Ta có 𝑆𝐻 = √𝑆𝐷2 − 𝐷𝐻 2 = 𝑎√3, 𝐻𝐶 = √𝑆𝐶 2 − 𝑆𝐻 2 = √15𝑎2 − 3𝑎2 = 2√3𝑎. 𝐶𝐷 = √𝐻𝐶 2 − 𝐻𝐷2 = √12𝑎2 − 𝑎2 = 𝑎√11. 𝐵𝐹 ⊥ 𝐵𝐶 Ta có { ⇒ 𝐵𝐹 ⊥ (𝑆𝐻𝐶) nên 𝑑(𝐵, (𝑆𝐻𝐶)) = 𝐵𝐹 = 2√6𝑎. 𝐵𝐹 ⊥ 𝑆𝐻 1 1 𝑆𝐻𝐵𝐶 = 𝐵𝐹. 𝐻𝐶 = . 2√3𝑎. 2√6𝑎 = 6√2𝑎2 2 2 1 𝑎 1 𝑎2 √11 Đặt 𝐴𝐵 = 𝑥 nên 𝑆𝐴𝐻𝐵 = 2 𝐴𝐻. 𝐴𝐵 = 2 . 𝑥; 𝑆𝐶𝐷𝐻 = 2 𝐷𝐻. 𝐷𝐶 = 2 {. 1. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 2 (𝐶𝐷 + 𝐴𝐵)𝐴𝐷 = (𝑎√11 + 𝑥)𝑎.. 20.
<span class='text_page_counter'>(21)</span> 𝑎. 𝑆𝐴𝐻𝐵 = 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑆𝐶𝐷𝐻 − 𝑆𝐵𝐻𝐶 ⇔ 2 . 𝑥 = (𝑎√11 + 𝑥)𝑎 −. 𝑎2 √11 2. − 6√2𝑎2 ⇔ 𝑥 = (12√2 −. √11)𝑎. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = (𝑎√11 + (12√2 − √11)𝑎)𝑎 = 12√2𝑎2 . 1. Câu 6.. 1. Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 . 𝑎√3. 12√2𝑎2 = 4√6𝑎3 . Cho hình chóp𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐷 ; biết 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 2𝑎, 𝐶𝐷 = 𝑎. Góc giữa hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) và (𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng 600 . Gọi 𝐼 là trung điểm của 𝐴𝐷, biết hai mặt phẳng (𝑆𝐵𝐼) và (𝑆𝐶𝐼) cùng vuông góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷). Tính thể tích của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. A.. 3√5𝑎3 8. .. B.. 3√15𝑎3 5. 3√5𝑎3. .. C. Lời giải. 5. .. D.. 3√15𝑎3 8. .. Chọn B. . Như đã nhắc ở Câu trước thì do hai mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vuông góc với ( ABCD ) nên SI ⊥ ( ABCD ) nên 𝑆𝐼 là đường cao của 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. Kẻ IK ⊥ BC tại 𝐾. Khi đó ta chứng minh được SKI = ( (SBC ) ; ( ABCD) ) = 60 . Ta vẽ hình phẳng của mặt đáy. Ta có M = AD BC ta chứng minh được 𝐶𝐷 là đường tủng bình của tam giác 𝐴𝐵𝑀. Khi đó AM = 4a; BM = . 2. 2. = 2a 5; IM = 3a . Ta có KMI. AMB. IM IK 3a 3a = IK = .2a = . BM AB 2a 5 5. Khi đó SI = IK.tan 60 = Câu 7.. ( 2a ) + ( 4a ). 3a 5. . 3=. 3a 3 5. 1 3a 3 1 3a3 15 . ( a + 2a ) .2a = . 3 5 5 2. .V= .. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình vuông tâm 𝑂, mặt bên (𝑆𝐴𝐵) là tam giác vuông cân tại 𝑆 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích của khối chóp 𝑆. 𝑂𝐶𝐷 bằng 𝑎3 3. . Tính khoảng cách ℎ từ 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷) ?. A. ℎ =. 2√6𝑎 3. .. B. ℎ =. 𝑎√3 3. .. C. ℎ = Lời giải. Chọn A. 21. 2√3𝑎 3. .. D. ℎ = 2√3𝑎..
<span class='text_page_counter'>(22)</span> . 1 12. 𝑥. 1 3 𝑎3. Gọi 𝑥 là độ dài 𝐴𝐵,kẻ 𝑆𝐹 ⊥ 𝐴𝐵 tại 𝐹, ta có 𝑆𝐹 = 2 ⇒ 𝑉 4 12 𝑆𝐹 = 24. 3. √2. 𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆.𝑂𝐶𝐷. .. Do 𝐹 là trung điểm của𝐴𝐵 nên khoảng cách ℎ từ 𝐴 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷) gấp 2 lần khoảng 𝐹𝐵 𝑥 cách 𝑑 từ 𝐹 đến mặt phẳng (𝑆𝐵𝐷)mà 𝐸𝐹 = 𝑠𝑖𝑛 45𝑜 = 2√2 = 𝑎. Tính 𝑑: kẽ 𝐹𝐸 ⊥ 𝐷𝐵; 𝐹𝐻 ⊥ 𝑆𝐸, ta chứng minh được 𝑆𝐻 ⊥ (𝑆𝐵𝐷), 1. Câu 8.. 3. 𝑎√6. = 𝑑, vậy ℎ = 2𝑑 =. =. 1. 𝐹𝐸 2. +. 1. 𝐹𝑆 2. =. 1. 𝑎2. +. 2√6𝑎. . . 1 Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình thang vuông tại 𝐴 và 𝐵, 𝐵𝐶 = 2 𝐴𝐷 = 𝑎. Tam giác 𝑆𝐴𝐵 đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa 𝑆𝐶 và mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶𝐷) 2𝑎2. = 2𝑎2 ⇒ 𝐹𝐻 =. 1. 𝐹𝐻 2. 3. bằng 𝛼 sao cho 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = A. 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 =. 𝑎3. √15 . 5. Tính thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐶𝐷 theo 𝑎.. B. 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 =. . 2. 3. 𝑎3. C. 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = Lời giải. . 3. 𝑎3 √2 6. .. D. 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 =. 𝑎3 √3. .. 6. Chọn D. ̂ = 𝛼. Gọi 𝐻 là trung điểm 𝐴𝐵, từ giả thiết ta có: 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), (𝑆𝐶, (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑆𝐶𝐻 𝑥2. 𝑥2. Đặt 𝐴𝐵 = 𝑥, ta có: 𝐻𝐶 = √𝐵𝐻 2 + 𝐵𝐶 2 = √ 4 + 𝑎2 , 𝑆𝐻 = 𝐻𝐶. 𝑡𝑎𝑛 𝛼 = √ 4 + 𝑎2 . Mặt khác 𝑆𝐻 =. 2 (𝐴𝐷+𝐵𝐶).𝐴𝐵. Câu 9.. 𝑥2. 𝑥√3. . Vậy ta có: √ 4 + 𝑎2 . 3𝑎2. √15 5. =. 𝑥√3 2. √15 . 5. ⇔ 𝑥 = 𝑎.. 2. 𝑎3 √3. 1. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = = 2 ; 𝑆𝐴𝐶𝐷 = 3 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎2 ; 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = 3 𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐶𝐷 = 6 . 2 Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷có đáy là hình chữ nhật; 𝐴𝐵 = 𝑎; 𝐴𝐷 = 2𝑎. Tam giác 𝑆𝐴𝐵 cân tại 𝑆 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng 𝑆𝐶 và mp(𝐴𝐵𝐶𝐷) bằng 45°. Gọi 𝑀 là trung điểm của 𝑆𝐷. Tính theo 𝑎 khoảng cách 𝑑 từ điểm 𝑀 đến (𝑆𝐴𝐶). A. 𝑑 =. 𝑎√1513 89. .. B. 𝑑 =. 2𝑎√1315 89. .. C. 𝑑 = Lời giải 22. 𝑎√1315 89. .. D. 𝑑 =. 2𝑎√1513 89. ..
<span class='text_page_counter'>(23)</span> Chọn A. Gọi 𝐻 là trung điểm đoạn𝐴𝐵 ⇒ 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷). Xét △ 𝐵𝐶𝐻 vuông tại 𝐵, có: 𝐶𝐻 = √4𝑎2 + Xét △ 𝑆𝐻𝐶 vuông cân tại 𝐻, có: 𝑆𝐻 =. 𝑎√17 2. 17𝑎2. Xét △ 𝑆𝐴𝐻 vuông tại 𝐻, có: 𝑆𝐴 = √ Xét △ 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐵, có: 𝐴𝐶 = ⇒ 𝑆△𝑆𝐴𝐶 =. 4 2 √𝑎 +. √89 2 𝑎 . 4. 4. 𝑎3 √17. 𝑎3 √17. 3 1. =. 𝑎√17. .. ; 𝑆𝐶 = 𝑎2. 4 4𝑎2. 1. Ta có: 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑉 = 3 . 𝑆𝐻. 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 1. +. 𝑎2. =. 2 𝑎√34. 3√2 2. .. 2. 𝑎.. = 𝑎√5. 1. ; 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = 2 𝑉 =. 𝑎3 √17 6. . 𝑎√1513. √89. 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝑀 = 2 𝑉𝑆.𝐴𝐶𝐷 = 12 . Mà 𝑉𝑆.𝑀𝐴𝐶 = 3 . 𝑑. 𝑆△𝑆𝐴𝐶 = 12 𝑎2 . 𝑑 ⇒ 𝑑 = 89 . Câu 10. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, tam giác 𝑆𝐴𝐷 vuông tại 𝑆 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cho biết 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝑆𝐴 = 2𝑆𝐷. Mặt phẳng (𝑆𝐵𝐶) tạo với đáy một góc 60𝑜 . Thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 là A.. 3𝑎3. B.. 2. 5𝑎3. C. 5𝑎3. 2. D.. 15𝑎3 2. Lời giải Chọn B S. D. C I. H a. A. B. Gọi 𝐻 là hình chiếu của 𝑆 lên cạnh 𝐴𝐷, 𝐼 là hình chiếu của 𝐻 lên cạnh 𝐵𝐶, ta có ̂ = 60𝑜 . Suy ra 𝑆𝐻 = 𝑎√3. 𝑆𝐻 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) và 𝐵𝐶 ⊥ (𝑆𝐻𝐼) ((𝑆𝐵𝐶); (𝐴𝐵𝐶𝐷)) = 𝑆𝐼𝐻 Trong tam giác vuông 𝑆𝐴𝐷 đặt 𝑆𝐴 = 2𝑆𝐷 = 2𝑥 nên từ 𝑆𝐻 = Do đó 𝑥 =. 𝑎√15 2. . Suy ra 𝐴𝐷 = 𝑥√5 =. 𝑆𝐴.𝑆𝐷 𝐴𝐷. ta có 𝑎√3 =. 2𝑥. .. √5. 5𝑎√3. .. 2 5𝑎√3. 1. 5𝑎3. Thể tích khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 là 𝑉 = 3 𝑎. 2 . 𝑎√3 = 2 . Câu 11. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷 có đáy 𝐴𝐵𝐶𝐷 là hình chữ nhật, mặt bên 𝑆𝐴𝐷 là tam giác vuông tại 𝑆. Hình chiếu vuông góc của 𝑆trên mặt phẳng đáy là điểm 𝐻 thuộc cạnh 𝐴𝐷 sao cho 𝐻𝐴 = 3𝐻𝐷. Biết rằng 𝑆𝐴 = 2𝑎√3 và 𝑆𝐶 tạo với đáy một góc bằng 30°. Tính theo 𝑎 thể tích 𝑉 của khối chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶𝐷. A. 𝑉 = 8√6𝑎3 .. B. 𝑉 =. 8√6𝑎3 3. .. C. 𝑉 = 8√2𝑎3 . Lời giải 23. D. 𝑉 =. 8√6𝑎3 9. ..
<span class='text_page_counter'>(24)</span> Chọn B. 𝑆𝐻 2 = 𝐻𝐷. 𝐻𝐴 = 3𝐻𝐷2 ⇒ 𝑆𝐻 = √3𝐻𝐷 𝑆𝐻. ̂= 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐷𝐻 = √3 𝑆𝐴 𝑆𝐴 𝐷𝐻 Có: { ⇒ 𝑆𝐷 = √3 ⇒ 𝑆𝐷 = = 2𝑎 ⇒ 𝐷𝐴 = √𝑆𝐷2 + 𝑆𝐴2 = 4𝑎. 𝑆𝐴 √3 ̂= 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐷𝐻 𝑆𝐷 1. 𝐷𝐻 = 4 𝐷𝐴 = 𝑎.. ̂ = 𝑆𝐻 ⇒ 𝑡𝑎𝑛 3 0° = 𝑆𝐻 ⇒ 𝐻𝐶 = 𝑆𝐻 = 3𝑎. Tam giác 𝑆𝐻𝐶 có 𝑡𝑎𝑛 𝑆𝐶𝐻 𝐻𝐶 𝐻𝐶 𝑡𝑎𝑛 30° Tam giác 𝐷𝐻𝐶 có 𝐷𝐶 = √𝐷𝐻 2 + 𝐻𝐶 2 = 2√2𝑎 1. 1. Vậy 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶𝐷 = 3 𝑆𝐻. 𝐴𝐷. 𝐷𝐶 = 3 . √3𝑎. 4𝑎. 2√2𝑎 =. 8√6𝑎3 3. .. ̂ = 𝑆𝐶𝐵 ̂ = 90°. Gọi 𝑀 là trung Câu 12. Cho hình chóp 𝑆. 𝐴𝐵𝐶 có đáy là tam giác đều cạnh 2𝑎, 𝑆𝐴𝐵 6𝑎 điểm của 𝑆𝐴. Biết khoảng cách từ 𝐴 đến (𝑀𝐵𝐶) bằng . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A.. 8𝑎3 √39 3. .. B.. √21 4𝑎3 √13. 10𝑎3 √3 9. .. C. Lời giải. 3. D. 2𝑎3 √3.. .. Chọn A S. M. A. D. I C G N B. Trong mp (𝐴𝐵𝐶) xác định điểm 𝐷 sao cho tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 vuông tại 𝐴 và 𝐶 𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐷 𝐶𝐵 ⊥ 𝐶𝐷 Khi đó ta có: { ⇒ 𝐴𝐵 ⊥ 𝑆𝐷; { ⇒ 𝐶𝐵 ⊥ 𝑆𝐷 𝐴𝐵 ⊥ 𝑆𝐴 𝐶𝐵 ⊥ 𝑆𝐶 1 Vậy 𝑆𝐷 ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷) ⇒ 𝑉𝑆.𝐴𝐵𝐶 = 3 𝑆𝐷. 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 Có tam giác 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cạnh 2𝑎 ⇒ 𝑆Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑎2 √3 Ta đi tìm SD Gọi 𝐼 là trung điểm 𝐴𝐶 vì tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều, 𝐴𝐵𝐶𝐷 nội tiếp đường tròn đường kính 𝐵𝐷 𝐼 ∈ 𝐵𝐷 ⇒ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 Gọi 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶 và 𝑁 là trung điểm 𝐵𝐶 Vì tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều AN ⊥ BC AN // CD , tương tự CG // BD 24.
<span class='text_page_counter'>(25)</span> 2 2 3 2 3a AN = 2a = (1) 3 3 2 3 Xét hình chóp S. ANCD có đáy ANCD là hình thang vuông tại C, N. 6a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MNC ) bằng vì ( MNC ) ( MBC ) . 21. Dễ thấy AGCD là hình thoi CD = AG =. S. P M F H. E. A D. C N. Trong mp ( ABCD ) gọi E = CN AD Trong mp ( SAD ) kẻ tia At / / SD gọi P = EM At Gọi K là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( CMB ). AP / / SD AP ⊥ CN ( APN ) ⊥ CN Khi đó ta có AN ⊥ CN Trong mp ( APN ) kẻ AH ⊥ PN ta có AH = d ( A, ( MCN ) ) =. 6a 21. Mà tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a AN = a 3 1 1 1 1 21 1 1 = + = − 2 = 2 AP = 2a Từ 2 2 2 2 2 AH AP AN AP 36a 3a 4a Dễ thấy APM = SFM SF = AP = 2a ( 2 ). ED CD 2 = = (theo (1) ) EA AN 3 FD ED FD 2 4a = = FD = ( 3) Xét tam giác EAP có FD / / PA nên PA EA PA 3 3 10a Từ ( 2 ) và ( 3) ta có SD = SF + FD = 3 1 1 10a 2 10a 3 3 .a 3 = Vậy VS . ABC = SD .S ABC = . . 3 3 3 9 Câu 13. Cho hình chóp S.ABC biết rằng SA = SB = SC = a , ASB = 120 , BSC = 60 và ASC = 90 . Thể tích khối chóp S.ABC là a3 2 a3 2 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 12 6 4 8 Lời giải Chọn A Xét tam giác EAN có CD / / AN nên. 25.
<span class='text_page_counter'>(26)</span> Ta có SB = SC = a , BSC = 60 suy ra tam giác BSC đều BC = a . Lại có SA = SC = a , ASC = 90 suy ra tam giác ASC vuông cân tại S AC = a 2 . Mặt khác, SA = SB = a , ASB = 120 , áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB , ta được:. AB2 = SA2 + SB2 − 2SA.SB.cos ASB = 3a 2 AB = a 3 . Xét tam giác ABC có BC 2 + AC 2 = a2 + 2a2 = 3a2 = AB2 suy ra tam giác ABC vuông tại C . 1 a2 2 Vậy diện tích tam giác ABC là: SABC = AC.BC = . 2 2 Gọi O là trung điểm của cạnh AB suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Mà SA = SB = SC SO ⊥ ( ABC ) . 2. 3a a Xét tam giác vuông ASO vuông tại O có SO = SA − AO = a − = . 2 2 2. 2. 2. 1 1 a 2 2 a a3 2 . = Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: VS . ABC = .S ABC .SO = . . 3 3 2 2 12 Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có AB = 7cm, BC = 8cm, AC = 9cm . Các mặt bên tạo với đáy góc 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . Biết hình chiếu vuông góc của S trên ( ABC ) thuộc miền trong của tam giác ABC . 20 3 3 cm3 . A. B. 20 3 ( cm ) . 3. (. ). C. Lời giải. Chọn A. Ta có p =. AB + BC + AC = 12 ( cm ) . 2. 26. 63 3 ( cm3 ) . 2. 3 D. 72 3 ( cm ) ..
<span class='text_page_counter'>(27)</span> Diện tích tam giác ABC là S =. p ( p − AB )( p − AC )( p − BC ) = 12 5 ( cm2 ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên ( ABC ) . Gọi K , N , M là hình chiếu vuông góc của H trên AB, BC , CA . Theo bài ra ta có SKH = SNH = SMH = 30 . Ta có SKH = SNH = SMH vì. SHK = SHN = SHM = 90 , SH chung,. SKH = SNH = SMH = 30 .. Suy ra KH = NH = MH . Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . S Khi đó KH = NH = MH = ABC = 5 ( cm ) . p. SH = HK tan 30 =. 15 ( cm ) . 3. (. ). 1 1 15 20 3 = cm3 . Thể tích khối chóp S.ABC là V = SH .S ABC = .12 5. 3 3 3 3 Câu 15. Cho hình chóp S. ABC có AB = AC = 4 , BC = 2 , SA = 4 3 , SAB = SAC = 30º . Tính thể tích khối chóp S. ABC. A. VS . ABC = 8 . B. VS . ABC = 6 . C. VS . ABC = 4 . D. VS . ABC = 12 . Lời giải Chọn C. Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Vì D ABC cân tại A (do AB = AC = 4 ) nên AM ^ BC . 1 AM = AC 2 - MC 2 = 15 ; SD ABC = AM .BC = 15 . 2 D SAB = D SAC (c - g - c ) nên SB = SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ( ABC ) suy ra H Î AM . Áp dụng định lí cosin cho D SAB , ta có: SB2 = SA2 + AB2 - 2SA.AB.cos30° = 16 Þ SB = 4 .. SB 2 - MB 2 = 15 . SM 2 + AM 2 - SA2 3 =- . Áp dụng định lí cosin cho D SAM , ta có cos SMA = 2.SM . AM 5 4 Þ sin SMA = 1- cos 2 SMA = . 5 4 4 15 Þ SH = SM .sin SMA = 15. = . 5 5 1 1 4 15 = 4. Vậy VS . ABC = SD ABC .SH = . 15. 3 3 5 Cách 2: 27. D SMB vuông tại M nên SM =.
<span class='text_page_counter'>(28)</span> Áp dụng định lí cosin cho D ABC , ta có AB 2 + AC 2 - BC 2 7 cos A = = . 2 AB. AC 8 abc 1- cos 2 - cos 2 - cos 2 + 2cos cos cos Sử dụng công thức V = 6 2. æ7 ÷ ö çç ÷ + 2cos 30°.cos 30°. 7 = 4 . çè8 ÷ ø 8. AB. AC.SA Þ V= 1- cos 2 30°- cos 2 30°6. Câu 16. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh x , BAD = 60° , gọi I là giao điểm AC và BD . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD) là H sao cho H là trung điểm của BI . Góc giữa SC và ( ABCD) bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD . A. V =. 39 x3 . 12. B. V =. 39 x3 . 36. C. V =. 39 x3 . 24. D. V =. 39 x3 . 48. Lời giải Chọn C. Tam giác ABD đều cạnh x Þ. BD = x Þ IH =. Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC : AC = Xét tam giác IHC vuông tại I : HC =. x 4 x 2 + x 2 - 2 x.x.cos120° = x 3 Þ IC =. IH 2 + IC 2 =. x 3 2. x 2 3x 2 x 13 + = 16 4 4. Do tam giác SHC vuông tại H , có SCH = (SC, (ABCD)) = 45° nên tam giác SHC vuông cân tại H . Suy ra: HC = SH =. x 13 4. 1 1 1 x 13 x3 39 = Vậy thể tích khối chóp S. ABCD : VS . ABCD = . . AC.BD.SH = .x 3.x. 3 2 6 4 24 Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt a 15 a 15 phẳng (SBC ) là , khoảng cách giữa SA và BC là . Biết hình chiếu của S lên mặt 5 5 28.
<span class='text_page_counter'>(29)</span> phẳng ( ABC ) nằm trong tam giác ABC , tính thể tích khối chóp S.ABC . A.. a3 . 4. B.. a3 3 . 8. C.. a3 . 8. D.. a3 3 . 4. Lời giải Chọn D. Dựng hình bình hành ABCD . Gọi O là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABCD) . Dựng đường thẳng d đi qua O , vuông góc với BC và cắt BC, AD lần lượt tại H , M . Khi đó AD, BC ^ (SHM ) . Trong D SHM , dựng HK ^ SM ( K Î SM ) và MN ^ SH ( N Î SH ) . Ta có MN ^ SH và MN ^ BC nên MN ^ (SBC) . Vì vậy MN = d ( M , ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) =. a 15 . 5. a 15 . 5 Do D SHM có hai đường cao MN = HK nên cân tại S . Suy ra O là trung điểm của MH . a 3 Ta có MH = d ( AD, BC ) = d ( A, BC ) = (do D ABC đều, cạnh bằng a ). Suy ra 2 a 3 MO = . 4 Xét hai tam giác đồng dạng MKH và MOS , ta có a 3 a 15 ´ KH MK MO.KH a 3 4 5 = Þ SO = = = . 2 2 SO MO MK 2 æa 3 ö æ ö a 15 ÷ ÷ çç ÷ ÷ - ççç ÷ ççè 2 ø ÷ èç 5 ø÷ ÷ Do BC / / (SAD ) nên d ( BC, SA) = d ( BC,(SAD)) = d ( H ,(SAD)) = HK . Suy ra HK =. 1 1 a 3 a 2 3 a3 SO ´ SD ABC = ´ ´ = . 3 3 2 4 8 Câu 18. Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh BC = a 6 . Góc giữa mặt phẳng ( ABC ) và mặt phẳng ( BCC B ) bằng 60 . Tính thể tích khối đa diện ABCAC . Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V =. a3 3 A. 3. 3 3a 3 B. 2. a3 3 C. 2 Hướng dẫn giải. Chọn D. 29. 3 D. a 3.
<span class='text_page_counter'>(30)</span> A A'. B'. a 6 C'. 2 B B' I. B. A. a 6. I. a. H. a 6. C. C. C'. a 6 AI ⊥ BC AI ⊥ ( BBC C ) và AI = Gọi I là trung điểm BC , ta có (trung tuyến trong 2 AI ⊥ CC tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền). Kẻ IH ⊥ BC mà AI ⊥ BC suy ra AH ⊥ BC Vậy góc giữa mặt phẳng ( AB C ) và mặt phẳng ( BCC B ) là AHI = 60 .. AI a 2 2 2 = ; CH = CI − IH = a tan 60 2 IH CH IH .CB Mặt khác CIH CBB = BB = =a 3. BB CB CH 1 1 a 6 VABCAC = VABBC C = . AI .S BCC B = . .a 3.a 6 = a 3 3 3 3 2 Ta có IH =. Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a và ABC = 60 . Biết rằng SA = SC , SB = SD và ( SAB ) ⊥ ( SBC ) . G là trọng tâm tam giác ( SAD ) . Tính thể tích V của tứ diện GSAC . a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. V = B. V = C. V = D. V = 96 48 24 12 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 Ta có VGSAC = d ( G, ( SAC ) ) .S SAC . 3 * Tính SSAC ?. 30.
<span class='text_page_counter'>(31)</span> SA = SC SO ⊥ AC SO ⊥ ( ABCD ) . Gọi O = AC BD , do SB = SD SO ⊥ BD Kẻ OH ⊥ SB , do AC ⊥ ( SBD ) nên SB ⊥ ( AHC ) .. Suy ra ( SAB ) , ( SBC ) = ( AH , CH ) = AHC = 90 . Do OH ⊥ AC và OH là trung tuyến nên tam giác AHC vuông cân tại H . 1 a a 3 Khi đó OH = AC = và OB = . 2 2 2 1 1 1 a 6 = + SO = Mà tam giác SOB vuông tại O có đường cao OH nên . 2 2 2 OH OS OB 4 1 1 a 6 a2 6 .a = Vậy S SAC = .SO. AC = . . 2 2 4 8 * Tính d ( E , ( SAC ) ) ? d ( G, ( SAC ) ) SG 2 = = . Gọi E là trung điểm của AD thì d ( E , ( SAC ) ) SE 3. 1 a 3 Gọi F là trung điểm của OA thì EF ⊥ ( SAC ) d ( E , ( SAC ) ) = EF = OD = . 2 4 2 2 a 3 a 3 = Suy ra d ( G, ( SAC ) ) = d ( E , ( SAC ) ) = . . 3 3 4 6 1 1 a 3 a2 6 2a 3 . = Vậy VG.SAC = d ( G, ( SAC ) ) .S SAC = . . 3 3 6 8 48 Câu 20. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN = 2 ND . Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN . 1 1 1 1 A. V = a3 . B. V = a 3 . C. V = a 3 . D. V = a 3 36 6 8 12 Hướng dẫn giải. Chọn D. 1 a3 Cách 1. Ta có VS . ABCD = SA.S ABCD = 3 3 1 1 1 1 a3 VNDAC = NH .SDAC = . a. a 2 = 3 3 3 2 18 1 1 a 1 a3 VMABC = MK .SABC = . . a 2 = 3 3 2 2 12. 31.
<span class='text_page_counter'>(32)</span> 1 a3 d ( A, ( SMN ) ) .SSMN = 3 18 1 1 2 1 a a3 V = NL . S = . a. a. = . Suy ra NSAM SAM 3 3 3 2 2 18 1 1 a3 Mặt khác VC .SMN = d ( C , ( SMN ) ) .SSMN = d ( A, ( SMN ) ) .SSMN = 3 3 18 3 3 3 a a a a3 a3 1 3 Vậy VACMN = VS . ABCD − VNSAM − VNADC − VMABC − VSCMN = − − − − = a . 3 18 18 12 18 12 Cách 2. Gọi O là giao điểm của AC và BD . 1 a3 Ta có VS . ABCD = SA.S ABCD = . Vì OM //SD nên SD // ( AMC ) . 3 3 Do đó d ( N ; ( AMC ) ) = d ( D; ( AMC ) ) = d ( B; ( AMC ) ). 1 a3 VACMN = VN .MAC = VD.MAC = VB.MAC = VM . BAC = VS . ABCD = . 4 12 o Câu 21. Cho lăng trụ ABC. ABC là lăng trụ đứng, AC = a, BC = 2a góc · ACB bằng 120 . Góc giữa đường thẳng AC ¢ và mặt phẳng ( ABB¢A¢) bằng 30o . Tính thể tích lăng trụ đã cho. A. V =. 13a 3 . 12. B. V =. a 3 105 . 14. C. V =. 104a 3 . 6. D. V =. 105a 3 . 4. Lời giải Chọn B.. Kẻ C ¢K ^ A¢B¢. Vì lăng trụ ABC. ABC là lăng trụ đứng nên C ¢K ^ AA¢. Do đó C ¢K ^ ( ABB¢A¢) . ·¢AK và bằng 30° (tam giác C ¢AK vuông tại K nên Góc giữa AC ¢ và ( ABB¢A¢) bằng góc C góc C ' AK nhọn) Xét tam giác ABC , áp dụng định lý cosin cho cạnh AB có: AB2 = AC 2 + BC 2 - 2.AB.AC.cos120o = 7a2 Þ A¢B¢2 = 7a2 . 1 1 a2 3 S A¢B¢C ¢ = S ABC = CA.CB.sin ACB = a.2a.sin120o = . 2 2 2 1 1 Mặt khác S A¢B¢C ¢ = C ¢K . A¢B¢= C ¢K .a 7 2 2 1 a2 3 a 3 Û C ¢K = Do đó C ¢K .a 7 = 2 2 7 3a Xét tam giác AKC ' vuông tại K nên AK = C ¢K .cot 30o = C ¢K . 3 = 7 A ' C ' K K Xét tam giác vuông tại nên 32.
<span class='text_page_counter'>(33)</span> A¢K = Þ AA¢=. A¢C ¢2 - KC ¢2 = AK 2 - A¢K 2 =. a2 -. 3a 2 2a = 7 7. a 5 7. a 5 a 2 3 a 3 105 . = . 2 14 7 Câu 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , AB = a, BC = a 3, SA = a . Một mặt phẳng ( ) qua A vuông góc SC tại H. Thể tích của lăng trụ ABC. ABC là V = AA¢.S ABC =. và cắt SB tại K . Tính thể tích khối chóp S. AHK theo a . a3 3 a3 3 a3 3 A. VS .AHK = . B. VS . AHK = . C. VS . AHK = . 20 30 60 Lời giải Chọn B. AK ⊥ SC ( AK ⊥ ( ) ) Ta có , suy ra AK ⊥ ( SBC ) AK ⊥ SB AK ⊥ BC BC ⊥ SAB ( ) ( ) Vì SAB vuông cân tại A nên K là trung điểm của S SB . Ta có: VS . AHK SA.SK .SH SH H = = . Ta có VS . ABC SA.SB.SC 2 SC. D. VS . AHK. a3 3 = . 90. AC = AB 2 + BC 2 = 2a SC = AC 2 + SA2 = a 5 , khi đó SH SH .SC SA2 1 = = = SC SC 2 SC 2 5 V SH 1 S . AHK = = , lại có VS . ABC 2SC 10. K C. A B. 3. 1 1 a 3 VS . ABC = SA. . AB.BC = 3 2 6 a3 3 . 60 Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC tam giác vuông cân đỉnh A, AB = AC = a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BC . Mặt phẳng ( SAB ) hợp với. Vậy VS . AHK =. mặt phẳng đáy một góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 2 a3 3 a3 3 . . . A. V = B. V = C. V = 4 6 12 Lời giải Chọn D. S. A. B H. K C 33. D. V =. a3 3 . 12.
<span class='text_page_counter'>(34)</span> Góc giữa mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng đáy là góc SKH SKH = 60 . VABC . ABC =. a 2 3 3a 3a 3 3 a 3 0 . = có SH = KH .tan 60 = . 4 2 8 2. 1 a3 3 . Do đó V = .SH .S ABC = ... = 3 12 Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , có BC = a ; Mặt bên ( SAC ). vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp SABC . a3 a3 a3 3 A. . B. a . C. . D. . 24 12 6 Lời giải Chọn A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AC nên SH ⊥ ( ABC ) . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh AB và AC . Khi đó, góc tạo bởi hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) tạo với đáy lần lượt là SEH , SFH cùng bằng 45 . Hai tam giác SEH , SFH có SHE = SHF = 90 , SH chung , HSE = HSF = 45 nên hai tam giác bằng nhau hay HE = HF . Mà ABC là tam giác vuông cân nên H là trung điểm của AC . BC a 1 1 a 2 a a3 = . Vậy VS . ABC = S ABC .SH = . . = . Ta có: SH = HE = 2 2 3 3 2 2 12 Câu 25. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) . Góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABCD ) là 300 . Thể tích của khối chóp S. ABCD là: A.. 2a 3 3 . 3. B.. a3 3 . 2. C. Lời giải. Chọn A. 34. 4a 3 3 . 3. D. 2a3 3 ..
<span class='text_page_counter'>(35)</span> S. A. B 30°. H. M. D. C. +) Gọi H lần lượt là trung điểm của AD SH ⊥ AD (vì SAD đều). Gọi M là trung điểm của BC HM ⊥ SH (vì ( SAD ) và ( ABCD ) vuông góc với nhau). Suy ra SH ⊥ ( ABCD ) +) Tam giác SBC cân tại S SM ⊥ BC , mà HM ⊥ BC góc giữa mặt phẳng ( SBC ) và mặt phẳng ( ABCD ) là góc giữa hai đường thẳng HM , SM chính là góc SMH . Theo bài ra có SMH = 300 . +) Vì SAD là tam giác đều cạnh 2a nên ta có SH = a 3 HM =. a 3 =a. tan 300. S ABCD = AB. AD = 2a 2 . Vậy thể tích của của khối chóp S. ABCD là. 1 1 2a 3 3 VABCD = .SH .S ABCD = .a 3.2a 2 = . 3 3 3. Câu 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a 2 , AC = a 5 . Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC . Biết rằng góc giữa mặt phẳng ( SAB ) và mặt phẳng ( ASC ) bằng 60 . Thể tích của khối chóp S.ABC là A.. 5a 3 6 . 12. B.. 5a 3 10 . 12. C.. a 3 210 . 24. Lời giải Chọn D. ( SAB ) ( SAC ) = SA , kẻ BE ⊥ SA và GH BE ,. suy ra. ( ( SAC ) , ( SAB ) ) = ( GH , ( SAC ) ) = HGI = 60 .. Đặt SH = h , ta tính được SA = h 2 +. 7a 2 5a 2 và SP = h 2 + . 4 4. 35. D.. a 3 30 . 12.
<span class='text_page_counter'>(36)</span> 5a 2 a 2 .h 2SSAB BE SH . HM 4 HG = 2 = HI = = Vậy BE = , SA 2 SM 7a 2 a2 h2 + h2 + 4 2 Tam giác GIH vuông tại I có a 2. h2 +. a 2 5a 2 a 2 . h2 + h. 2 4 IH 3 2 4 = 2 h4 + 7a h2 − 15a = 0 h = 2a 3 sin 60 = . HG 2 4 8 4 7a 2 a2 h2 + h2 + 4 2 Vậy VSABC =. 1 a 3 30 AB. AC.SH = . 6 12. Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có ASB = 60 , ASC = 90 , CSB = 120 và SA = 1 , SB = 2 , SC = 3 . Khi đó thể tích khối chóp S.ABC là 2 2 2 A. . B. . C. 2 . D. . 4 2 6 Lời giải S. N O. A M. C. B Chọn B Lấy M là trung điểm của SB và lấy N SC sao cho SN = 1 . Ta có SA = SM = SN = 1 nên hình chiếu vuông góc của S lên ( AMN ) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN . Ta có: AM = 1 vì tam giác SAM đều (cân tại S và có một góc bằng 60 ) AN = 2 vì là cạnh huyền của tam giác vuông SAN có cạnh góc vuông bằng 1. MN = SM 2 + SN 2 − 2SM .SN .cos120 = 3. Dễ đánh giá được tam giác AMN vuông tại A nên có S AMN =. 2 2. AM . AN .MN 2. 3 3 = = 4.S AMN 2 2 4. 2 3 1 Suy ra SO = SA2 − AO 2 = 1 − = 4 2 1 1 2 2 = Suy ra VS . AMN = . . 3 2 2 12 V 2 1 1 1 Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có S . AMN = suy ra VS . ABC = 6.VS . AMN = 2 VS . ABC 1 2 3 OA =. Câu 28. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a và AC = a 2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Biết MN = a và MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD . Tính thể tích tứ diện ABCD . 36.
<span class='text_page_counter'>(37)</span> A.. a3 6 . 2. B.. a3 6 . 3. C.. a3 3 . 2. D.. a3 3 . 3. Lời giải Chọn D. Dựng hình hộp chữ nhật chứa tứ diện ABCD như hình vẽ. 2 2 Ta có: AE = AC − DE = a. BC = AB 2 − AE 2 = a 3 1 1 a3 3 V = V = . a . a . a 3 = Vậy ABCD . 3 3 3 Câu 29. Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm SB , N là điểm trên SC sao cho NS = 2NC , là điểm trên SA sao cho PA = 2PS . Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là thể tích khối chóp V BMNP và S.ABC . Tính tỉ số 1 . V2 V 1 V 3 V 2 V 1 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 9 V2 4 V2 3 V2 3. Lời giải. Chọn A. 1 d N , SAB ) ) .S BMP VN .BMP 3 ( ( Ta có ; = 1 VC .SAB d ( C , ( SAB ) ) .S SAB 3 d ( N , ( SAB ) ) NS 2 V 1 1 1 2 1 1 = = ; S SBM = S BPS = . .S SAB N .BMP = . = . Suy ra 2 2 3 VC .SAB 3 6 9 d ( C , ( SAB ) ) CS 3 Câu 30. Cho hình chóp đều S. ABCD. Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A. 37.
<span class='text_page_counter'>(38)</span> Mặt phẳng ( MNC ) chia khối chóp S. ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là V1 , V2 với. V1 V2 . Tính tỉ số A.. V1 5 = .. V2 7. V1 . V2. B.. V1 5 = .. V2 11. V1 5 = .. V2 9 Lời giải. C.. D.. V1 5 = . V2 13. Chọn A S N E B. M F. A C. D. Gọi h, S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp S. ABCD . Khi đó 1 VS . ABCD = S .h. Nối MN cắt SA tại E , MC cắt AD tại F . Tam giác SBM có A, N lần 3 lượt là trung điểm của BM và SB suy ra E là trọng tâm tam giác SBM . Tứ giác ACDM là hình bình hành nên F là trung điểm MC. Ta có VBNC. AEF = VABCEN + VE. ACF . V SE SN 2 1 1 1 . = = ⎯⎯ → VS .ENC = VS . ABC S .ENC = VS . ABC SA SB 3 2 3 3 2 21 1 ⎯⎯ →VABCEN = VS . ABC = VS . ABCD = VS . ABCD . 3 32 3 1 1 1 1 1 VE . ACF = SACF .d E , ( ACF ) = . S . h = VS . ABCD . 3 3 4 3 12 1 1 5 Do đó VBNC . AEF = VABCEN + VE. ACF = VS . ABCD + VS . ABCD = VS . ABCD = V1. 3 12 12 V1 5 7 → = . Suy ra V2 = VS . ABCD ⎯⎯ 12 V2 7 Mức độ 4 Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1 , biết khoảng cách từ A đến ( SBC ) là 6 , từ B đến ( SCA ) là 15 , từ C đến ( SAB ) là 30 và hình chiếu vuông góc 4 20 10 của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp VS . ABC .. A.. 1 36. B.. 1 48. 1 12 Lời giải. C.. Chọn B. 38. D.. 1 24.
<span class='text_page_counter'>(39)</span> Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AC, BC, AB .. 1 3 h 3 = Đặt SH = h VS . ABC = .h. . 3 4 12 2S 6VS . ABC h 3 30 Ta có AP = SAB = 2SSAB = = : = h 10 AB 2 20 d ( C; ( SAB ) ) Tương tự, tính được HM = 2h, HN = h. PH = SP 2 − SH 2 = 3h Ta có S ABC = S HAB + S HAC + S HBC =. 1 3 3 ( HP + HM + HN ) 3h = h = 2 4 12. 3 3 1 . = . 12 12 48 Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng ( SBC ) , với 45 . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S. ABCD .. Vậy VS . ABC = Câu 2.. A. 4a3. B.. 8a 3 3. C.. 4a 3 3. D.. 2a 3 3. Lời giải Chọn C S. D'. D A H C. B. Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD . Khi đó DD//SA mà SA ⊥ ( SBC ) (vì SA ⊥ SB , SA ⊥ BC ) nên D là hình chiếu vuông góc của D lên ( SBC ) . Góc giữa SD và ( SBC ) là = DSD = SDA , do đó SA = AD.tan = 2a.tan . Đặt tan = x , x ( 0;1) . 1 1 2 Gọi H là hình chiếu của S lên AB , theo đề ta có VS . ABCD = .S ABCD .SH = 4a .SH . 3 3. 39.
<span class='text_page_counter'>(40)</span> Do đó VS . ABCD đạt giá trị lớn nhất khi SH lớn nhất. Vì tam giác SAB vuông tại S nên SA.SB SA. AB 2 − SA2 2ax 4a 2 − 4a 2 x 2 x2 + 1 − x2 = 2ax 1 − x 2 2a = = =a AB AB 2a 2 2 Từ đó max SH = a khi tan = . 2 1 4 3 2 Suy ra max VS . ABCD = .a.4a = a . 3 3 ABCD Xét tứ diện có các cạnh AC = CD = DB = BA = 2 và AD , BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng 16 3 32 3 16 3 32 3 A. . B. . C. . D. . 27 9 9 27 Lời giải Chọn B A SH =. Câu 3.. M. B. D N C. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Theo giả thiết ta có: ABD và ACD là các tam giác cân có M là trung điểm của AD nên BM ⊥ AD và CM ⊥ AD AD ⊥ ( BMC ) . Và có BM = CM MBC cân tại. Trong tam giác MBC có MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên MN 2 = MB 2 −. BC 2 4. AD 2 + BC 2 AD 2 BC 2 MN = 4 − MN = AB − − . 4 4 4 2. 2. Khi đó diện tích tam giác MBC là: SMBC Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD. 1 1 AD 2 + BC 2 = MN .BC = BC. 4 − 2 2 4. 1 1 AD 2 + BC 2 = . AD.S MBC = .BC. AD. 4 − . 3 3 4. 1 x2 + y 2 Đặt AD = x , BC = y ta có: VABCD = .x. y. 4 − . 3 4 x 2 + y 2 xy x2 + y 2 xy 2 2 − − . x + y 2 xy Ta có: 4 2 4 2 1 xy 2 2 Do đó: VABCD 3 .x. y. 4 − 2 VABCD 6 ( xy ) ( 8 − xy ) . Dấu bằng xảy ra khi x = y . 3. xy xy 2 + 2 + 8 − xy xy xy 2 4.83 xy 8 − xy 4. = 4. . . 8 − xy = ( ) ( ) . ( ) Ta lại có: 2 2 3 27 . 40.
<span class='text_page_counter'>(41)</span> Dấu bằng xảy ra khi. xy 16 4 = 8 − xy xy = . x= y= 2 3 3. Vậy giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD là: tập xác định max VABCD = =. Câu 4.. 2 6. 4.83 27. 32 3 . 27. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, BC Tính thể tích khối chóp A.BCNM . Biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) .. a 3 15 A. . 32. 3a 3 15 B. . 32. 3a 3 15 C. . 16. 3a 3 15 D. . 48. Lời giải Chọn B. E là trung điểm BC nên CB ⊥ AE, CB ⊥ SH. ⎯⎯ → CB ⊥ ( SAE ) → CB ⊥ SE . SE vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên SBC cân tại S. → SF ⊥ MN , SF = F là giao điểm của MN với SE ⎯⎯. 1 SE . 2. ( AMN ) ⊥ ( SBC ) SF ⊥ MN ⎯⎯⎯ ⎯ → SF ⊥ ( AMN ) AMN SBC = MN ( ) ( ) . Giả thiết . 1 3a → SE ⊥ AF và SF = SE nên SAE cân tại A → AE = AS = 2 2 2 2 3a a 5 AH = AE = . = a ⎯⎯ → SH = SA2 − AH 2 = 3 3 2 2 3 2 1 1 3 a 5 a 15 VS . ABC = S ABC .SH = . a 3 . = . 3 3 4 2 8 VS . AMN SM SN 1 a3 15 . = . = ⎯⎯ →VS . AMN = VS . ABC SB SC 4 32. (. Vậy V = VS . ABC − VS . AMN = Câu 5.. ). 3a 3 15 . 32. Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = a, ABC = 1200 , SAB = SCB = 90 và khoảng cách từ B 0. đến mặt phẳng ( SAC ) bằng. 2a 21 . Tính thể tích khối S.ABC . 21. 41.
<span class='text_page_counter'>(42)</span> A. V =. a3 5 . 10. B. V =. a 3 15 . 10. C. V =. a 3 15 . 5. D. V =. a3 5 . 2. Lời giải Chọn B S. S. K E D A a. I C. a. E. B. D. I. B. Hạ SE ⊥ ( ABC ) tại E có AB ⊥ SE 0 AB ⊥ ( SAE ) AB ⊥ AE BAE = 90 . AB ⊥ SA 0 Chứng minh tương tự có BCE = 90 .. Hai tam giác vuông BCE và BAE bằng nhau suy ra CBE = ABE = 60 . Gọi D là trung điểm của BE suy ra tứ giác ABCD là hình thoi và BD = DE = a . Gọi I là tâm hình thoi ABCD có 1 1 2a 21 2a 21 . BI = EI d ( B, ( SAC ) ) = d ( E , ( SAC ) ) d ( E , ( SAC ) ) = 3. = 3 3 21 7 CA ⊥ BD CA ⊥ ( SEI ) ( SAC ) ⊥ ( SEI ) . CA ⊥ SE 0. Hạ EK ⊥ SI tại K ta có EK ⊥ ( SAC ) tại K suy ra d ( E , ( SAC ) ) = EK EK =. 2a 21 . 7. Tam giác SBE vuông tại E đường cao EK có 1 1 1 1 1 1 7 4 5 6a 5 . = 2+ = − 2 = − 2 = SE = 2 2 2 2 2 2 EK EI SE SE EK EI 12a 9a 36a 5 1 11 1 3 6a 5 a 3 15 = Vậy VSABC = SABC .SE = BA.BC.sin1200 .SE = a 2 . . . 3 3 2 6 2 5 10 Câu 6.. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB = a , BAC = 120 , SBA = SCA = 90 . 3 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) . Khi cos = thì thể tích khối chóp đã 4 cho bằng 3a 3 a3 3 3 A. 3a . B. a . C. . D. . 4 4 Lời giải Chọn D. 42.
<span class='text_page_counter'>(43)</span> Kẻ SH ⊥ ( ABC ) , H ( ABC ) suy ra SH ⊥ AB và SH ⊥ AC .. SH ⊥ AB AB ⊥ ( SBH ) AB ⊥ BH . Khi đó ta có SB ⊥ AB Chứng minh tương tự ta có AC ⊥ CH suy ra tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn đường kính AH . Do đó góc BHC bằng 60 . Dễ thấy AHB = AHC HB = HC nên HBC đều. ABC cân tại A có AB = a, BAC = 120 suy ra BC = 3a . 2. 2. Do đó HB = HC = BC = 3a . Dễ thấy SHB = SHC SB = SC nên SAB = SAC . Trong mặt phẳng ( SAB ) kẻ BK ⊥ SA, ( K SA ) . 2. 2. 2. 2. Trong mặt phẳng ( SAC ) kẻ CK1 ⊥ SA, ( K1 SA ) . Xét hai tam giác vuông KAB và K1 AC có AB = AC , BAK = CAK1 (vì SAB = SAC ) suy ra KAB = K1 AC AK = AK1 mà K và K1 nằm giữa S và A nên K K1 . Từ đó ta có CK ⊥ SA và BK = CK . BK 2 + CK 2 − BC 2 3 2 BK 2 − BC 2 3 = = (1) . Do đó cos = cos BKC 2 2 BK .CK 4 4 2 BK Đặt SH = x, ( x 0 ) . 2 2 2 2 2 Xét SHB có SB = SH + HB = 3a + x . 1 1 1 1 1 1 = + 2 = 2+ 2 Xét SAB vuông tại B có 2 2 2 BK BA BS BK a 3a + x 2 a 2 ( 3a 2 + x 2 ) 2 BK = . 4a 2 + x 2. 2a 2 ( 3a 2 + x 2 ). Thay vào (1) ta có. Câu 7.. − 3a 2. 4a + x 2a 2 ( 3a 2 + x 2 ) 2. 2. =. 3 x = a 3. 4. 4a 2 + x 2 1 1 1 1 2 a3 . SH . . AB . AC .sin BAC = . a 3. a . sin120 = Vậy thể tích khối chóp S.ABC là . 3 2 3 2 4 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 , M và N lần lượt là hai điểm di động trên hai cạnh AB, AC ( M và N không trùng với A ) sao cho mặt phẳng ( DMN ) luôn vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích lớn nhất và nhỏ nhất của tứ diện ADMN . Tính tích V1.V2 . A. V1.V2 =. 2 . 27. B. V1.V2 =. 2 . 24. C. V1.V2 = 43. 1 . 324. 8 D. V1.V2 = . 9.
<span class='text_page_counter'>(44)</span> Lời giải Chọn C. Kẻ DH ⊥ MN DH ⊥ ( ABC ) (vì ( DMN ) ⊥ ( ABC ) ). Suy ra H là trọng tâm của tam giác đều ABC . Như vậy M và N là hai điểm di động nhưng MN luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC . Đặt AM = x, AN = y , ( 0 x 1 , 0 y 1 ) 1 2 + DH 2 = DA2 − AH 2 = 1 − = DH = 3 3. 2 . 3. 1 3 AM . AN .sin MAN = xy (*) 2 4 3 1 + SAMN = SAMH + SANH = AH . ( x + y ) .sin 30 = ( x + y ) (**) 12 2 1 3 2 2 1 xy = xy Do đó VADMN = DH .SAMN = (***) 3 4 3 3 12 Mặt khác từ (*) và (**) suy ra x + y = 3xy , ( 0 x 1 , 0 y 1 ). 2 0 t 3 0 3t 2 4 2 Đặt xy = t x + y = 3t . Điều kiện: 2 4 t . 9 3 9t − 4t 0 t 9 t 0. + SAMN =. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X 2 − 3tX + t = 0 (1) ,. 4 2 t . 9 3. 4 2 Ta tìm t ; để (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc ( 0;1 hoặc có nghiệm kép thuộc ( 0;1 9 3 X2 1 Ta có X = không phải là nghiệm của (1) nên (1) t = . 3 3X −1 X = 0 X2 3X 2 − 2 X Đặt g ( X ) = , X ( 0;1 . Ta có: g ( X ) = =0 2. 2 X = 3X −1 3 X − 1 ( ) 3 Bảng biến thiên của g ( X ). 44.
<span class='text_page_counter'>(45)</span> Dựa vào BBT, (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc ( 0;1 hoặc có nghiệm kép thuộc ( 0;1 4 1 4 1 t (thỏa điều kiện) hay xy . 9 2 9 2 2 2 2 2 1 VADMN V1 = Kết hợp (***) ta có , V2 = . V1.V2 = 27 24 24 27 324 Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm. Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác ABC, ABD, ACD. Tính thể tích V của khối chóp AMNP. . Câu 8.. A. V =. 2 cm3 . 162. B. V =. 2 2 3 cm . 81. C. V =. 4 2 3 cm . 81. D. V =. 2 cm3 . 144. Lời giải Chọn C A. N M B. K. P D. H. E. F C. Tam giác BCD đều DE = 3 DH = AH = AD 2 − DH 2 =. 2 3 3. 2 6 3. 1 1 1 1 3 SEFK = .d( E , FK ) .FK = . d( D,BC ) . BC = 2 2 2 2 4 1 1 2 6 3 2 AH .S EFK = . . = . 3 3 3 4 6 AM AN AP 2 = = = Mà AE AK AF 3 V AM AN AP 8 8 4 2 . . = VAMNP = VAEKF = Lại có: AMNP = . VAEKF AE AK AF 27 27 81 Cho hình chóp S.ABC có AB = 5 cm , BC = 6 cm , CA = 7 cm . Hình chiếu vuông góc của S VSKFE =. Câu 9.. 45.
<span class='text_page_counter'>(46)</span> xuống mặt phẳng. ( SCA ). ( ABC ). nằm bên trong tam giác ABC . Các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) ,. đều tạo với đáy một góc 60 . Gọi AD , BE , CF là các đường phân giác của tam giác. ABC với D BC , E AC , F AB . Thể tích S.DEF gần với số nào sau đây? A. 2,9 cm3. B. 4,1 cm3. C. 3,7 cm3 Lời giải. D. 3,4 cm3. Chọn D S. E. A F H. C. I. 60°. D. B. Vì các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SCA ) đều tạo với đáy một góc 60 và hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ( ABC ) nằm bên trong tam giác ABC nên ta có hình chiếu của S chính là tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC . AB + BC + CA =9. Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì p = 2 S 2 6 Ta có : S ABC = p ( p − AB )( p − BC )( p − AC ) = 6 6 và r = = . p 3 Suy ra chiều cao của hình chóp là : h = r.tan 60 = 2 2 A. E F I. C. B. D. Vì BE là phân giác của góc B nên ta có :. EA BA = . EC BC. FA CA DB AB = = , . FB CB DC AC S AE AF AB AC . = . Khi đó : AEF = . S ABC AC AB AB + BC AC + BC S S CA CB BC BA . . Tương tự : CED = , BFD = . S ABC CA + AB CB + AB S ABC BC + CA BA + CA Do đó,. Tương tự :. 46.
<span class='text_page_counter'>(47)</span> ab bc ac S DEF = S ABC 1 − − − , a + c b + c b + a c + a a + b c + b ( )( ) ( )( ) ( )( ) AB = c 2abc 210 6 = .S ABC = . 143 ( a + b )( b + c )( c + a ). với. BC = a ,. AC = b ,. 1 210 6 280 3 .2 2 = cm3 ) 3, 4 ( cm3 ) Suy ra VS .DEF = . ( 3 143 143 Câu 10. Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính bằng a , thể tích V của khối chóp có thể tích nhỏ nhất. 8a 3 10a3 32a3 A. V = . B. V = . C. V = 2a3 . D. V = . 3 3 3 Lời giải Chọn D. Giả sử SO = x ta có: SI = x − a ; SE = Xét SEI ∽ SON ta có:. ( x − a). 2. − a 2 = x 2 − 2ax. IE.SO SE IE NO = = = SE SO NO. ax x − 2ax 2. 2. 1 2ax 4a 2 x 2 = Thể tích khối chóp là: V = x. 2 3 x − 2ax 3 ( x − 2a ) x2 ( 0 2a x ) f x = Xét hàm số ( ) x − 2a x 2 − 4ax ; f ( x ) = 0 x = 4a (do 0 2a x ) f ( x) = 2 ( x − 2a ) Bảng biến thiên. 32a3 . 3 Câu 11. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thỏa mãn AB = a, AC = a 3 , BC = 2a . Biết tam giác SBC cân tại S , tam giác SCD vuông tại C và khoảng cách từ D đến 47 Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích là: V =.
<span class='text_page_counter'>(48)</span> mặt phẳng (SBC ) bằng. 2a 3 A. . 3 5. a 3 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 3 a3 a3 B. . C. . 3 5 3 3 Lời giải. a3 D. . 5. Chọn A. Nhận thấy tam giác ABC vuông tại A ( do AB2 + AC 2 = BC 2 ). Gọi E là điểm đối xứng của B qua A ta có tứ giác ACDE là hình chữ nhật, và tam giác EBC là tam giác đều cạnh 2a . 1 AD ( SBC ) d ( D, ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) = d ( E , ( SBC )) 2 2a 3 Hay d ( E , ( SBC )) = 2.d( D, ( SBC )) = 3 Gọi I là trung điểm của đoạn BC , ta có: BC ⊥ EI , BC ⊥ SI BC ⊥ (SEI ) . Trong mp(SEI ) kẻ EH vuông góc với SI tại H . Khi đó: d ( E , ( SBC )) = EH =. 2a 3 . 3. Ta có CD ⊥ (SAC ) ( Do CD ⊥ SC, CD ⊥ AC ) Suy ra AB ⊥ (SAC ) . Xét tam giác SBE có SA vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác SBE cân tại S . Xét hình chóp S.EBC có đáy là tam giác đều EBC , các cạnh bên SE = SB = SC . Nên gọi F = EI CA ta có SF ⊥ ( EBC ) . 2a 3 HE 2 Tam giác EHI vuông tại H nên sin I = = 3 = . EI 3 a 3. 2 1 sin I 1 2a 3 = a 3. = Tam giác SIF vuông tại F nên SF = FI .tan I = EI . . 3 2 2 15 1 − sin 2 I 3 1− ( ) 3 3 1 1 1 2a 2a . VS . ABCD = SF .S ABCD = SF . AB.CA = .a.a 3 = 3 3 3 15 3 5 Câu 12. Cho hình chóp S.ABC , đáy là tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC .. 48.
<span class='text_page_counter'>(49)</span> A.. a3 2 . 6. B.. a3 2 . 2. C.. a3 6 . 12. D.. a3 6 . 4. Lời giải Chọn C. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy ( ABC ) ; M , N , K lần lượt là hình chiếu của S trên AB, BC, CA .. 1 1 1 SM . AB = SN .BC = SK .CA 2 2 2 và vì tam giác ABC đều nên ta có SM = SN = SK HM = HN = HK . TH1: nếu H nằm trong tam giác ABC H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC . 2 a 3 Khi đó ta có AH = AN = và SA = SB = SC = a 3 3 3 3a 2 2a 6 = SH = SA2 − AH 2 = 3a 2 − 9 3 Vì diện tích các mặt bên của hình chóp bằng nhau nên ta có. 1 1 a 2 3 2a 6 a 3 2 . = VS . ABC = S ABC .SH = . . 3 3 4 3 6 TH2: Nếu H nằm ngoài tam giác ABC . Không mất tính tổng quát giả sử H nằm khác phía với A so với đường thẳng BC. Tương tự như trên ta vẫn có HM = HN = HK . Vì tam giác ABC đều nên H là tâm đường 3a BN a 1 = : =a, HB = tròn bàng tiếp góc A và AM = AB + BN = 2 cos60 2 2 3a 3 AH = AM : cos30 = : = a 3 . Vì thế cạnh SA không thể bằng a 3 SB = SC = a 3 2 2 1 1 a2 3 a3 6 .a 2 = SH = SB 2 − BH 2 = 3a 2 − a 2 = a 2 VS . ABC = S ABC .SH = . . 3 3 4 12 49.
<span class='text_page_counter'>(50)</span> a3 2 a3 6 a3 6 , Vậy Vmin = min . = 12 12 6 Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB = a , BAC = 120, SBA = SCA = 90 .. 3 , khoảng cách từ S đến mặt đáy nhỏ 8. Gọi là góc giữa SB và ( SAC ) thỏa mãn sin = hơn 2a . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3a3 3a3 A. . B. . C. 4 6 Lời giải. Chọn C. 3a3 . 12. 3a3 . 24. D.. S. K. C. D. A B. I. Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên đáy ( ABC ) , đặt SD = x ( 0 x 2a ) .. AC ⊥ SC AC ⊥ ( SDC ) AC ⊥ DC . Tương tự ta cũng có AB ⊥ DB . Ta có AC ⊥ SD Tam giác ABC cân tại A và CAB = 120 BC = a 3 và DBC = DCB = 60 DBC đều cạnh a 3 . 2 2 Tam giác SDC vuông tại D SC = 3a + x = SB. Kẻ DK ⊥ SC tại K DK ⊥ ( SAC ) d ( D, ( SAC ) ) = DK =. x.a 3 3a 2 + x 2. .. Gọi I = BD AC , xét DIC vuông tại C và BDC = 60 DC 1 DI = = 2a 3 B là trung điểm của DI d ( B, ( SAC ) ) = d ( D, ( SAC ) ) . 2 cosBDC. (. ). Theo giả thiết = SB, ( SAC sin =. d ( B, ( SAC ) ) SB. . 3 xa 3 = 8 2 ( 3a 2 + x 2 ). 2 x = a x x x2 + 3a2 − 4ax = 0 − 4 + 3 = 0 . So sánh với điều kiện suy ra x = a . a a x = 3a. 1 a3 3 Vậy VS . ABC = .S ABC .SD = . 3 12 Câu 14. Cho tứ diện ABCD có DAB = CBD = 90º ; AB = a; AC = a 5; ABC = 135 . Biết góc giữa hai mặt phẳng ( ABD ) , ( BCD ) bằng 30 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng A.. a3 . 2 3. B.. a3 . 2. C. Lời giải.. Chọn D 50. a3 . 3 2. D.. a3 . 6.
<span class='text_page_counter'>(51)</span> D. F. E. C. H A. a 5. B. a. Dựng DH ⊥ ( ABC ) .. BA ⊥ DA BA ⊥ AH . Tương tự Ta có BA ⊥ DH. BC ⊥ DB BC ⊥ BH . BC ⊥ DH. Tam giác AHB có AB = a , ABH = 45o HAB vuông cân tại A AH = AB = a . Áp dụng định lý cosin, ta có BC = a 2 . 1 1 2 a2 = Vậy SABC = .BA.BC.sin CBA = .a.a 2. . 2 2 2 2 HE ⊥ DA HE ⊥ ( DAB ) và HF ⊥ ( DBC ) . Dựng HF ⊥ DB Suy ra. ( ( DBA) , ( DBC ) ) = ( HE, HF ) = EHF. Đặt DH = x , khi đó HE =. ax a +x 2. 2. , HF =. và tam giác HEF vuông tại E .. xa 2 2a 2 + x 2. .. HE 3 x 2 + 2a 2 1 a3 = = x = a .Vậy VABCD = .DH .SABC = . HF 4 3 6 2 x 2 + 2a 2 Câu 15. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB = BC = a 3 , SAB = SCB = 90 và khoảng cách từ điểm A đến ( SBC ) bằng a 2 . Diện tích của mặt cầu Suy ra cos EHF =. ngoại tiếp hình chóp S. ABC bằng A. 2 a 2 . B. 8 a2 .. C. 16 a2 .. D. 12 a2 .. Lời giải. Chọn D. Gọi H là hình chiếu của S lên ( ABC ) .. BC ⊥ SC HC ⊥ BC . Ta có: SH ⊥ BC Tương tự AH ⊥ AB . Và ABC vuông cân tại B nên ABCH là hình vuông. Gọi O = AC BH , O là tâm hình vuông. Dựng một đường thẳng d qua O vuông góc với ( ABCH ) , dựng mặt phẳng trung trực của SA qua trung điểm J cắt d tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp. 51.
<span class='text_page_counter'>(52)</span> Ta hoàn toàn có IJ ⊥ SA IJ // AB I là trung điểm SB , hay I = d SC . 2 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: rS . ABC = AI = IJ + JA ; IJ =. Do AH // ( SBC ) d ( A, ( SBC ) ) = d ( H , ( SBC ) ) = HK .. a 3 = 2 2. ( K là hình chiếu của H lên SC và BC ⊥ ( SHC ) HK ⊥ ( SBC ) ). HK = a 2 . Tam giác SHC vuông tại H SH = a 6 . Tam giác SHA vuông tại H SA = 3a . SA 3a JA = = rS . ABC = AI = a 3 Smc = 4 r 2 = 12 a 2 . 2 2. Câu 16. Cho hình lăng trụ đều ABC. ABC có cạnh đáy a ; biết khoảng cách giữa hai đường thẳng a 15 AB và A¢C bằng . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC tính theo a bằng: 5 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 8 2 8 4 Lời giải Chọn D. Ta có AB / / AB AB / / ( ABC ) d ( AB , AC ) = d ( AB ,( ABC )) = d ( B ,( ABC )) = Đặt AA = x 0 .. a 15 5. 2 2 Tam giác CAB cân tại C , CA = CB = a + x .. 1 a2 1 3a 2 + 4 x 2 1 = a. = a 3a 2 + 4 x 2 Diện tích tam giác CAB là SCAB = .a. a 2 + x 2 − 2 4 2 2 4. Thể tích lăng trụ V = x.. a2 3 4. (1). 1 a 15 1 . a. 3a 2 + 4 x 2 . Lại có V = 3VB. ABC = 3. d( B ,( ABC )) .S ABC = 3 5 4 2 a 3 a 15 1 = . a. 3a 2 + 4 x 2 5 x 3 = 15. 3a 2 + 4 x 2 x = a 3 . Do đó x. 4 5 4 2 3 a 3 3a V = x. = . 4 4 Câu 17. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , đáy ABC là tam giác cân tại C , cạnh AB = a và góc a .Thể tích của khối BAC = 30 . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB ¢ bằng 2 lăng trụ ABC. ABC tính theo a bằng:. 52.
<span class='text_page_counter'>(53)</span> A.. a3 . 8 3. B.. 3a 3 . 2. C.. 2 3a 3 . 3. D.. 4 3a 3 . 3. Lời giải Chọn A. a Ta có AB / / AB AB / / ( ABC ) d( AB , BC ) = d( AB ,( ABC )) = d( B ,( ABC )) = . 2 Đặt AA = x 0 . a Tính được AC = BC = . 3 1 a2 o S = . AC . CB .sin120 = ABC Diện tích tam giác là ABC . 2 4 3. Tam giác CAB cân tại C , CA = CB = Diện tích tam giác cân CAB là SCAB = Thể tích lăng trụ là V = AA.S ABC = x. Lại có V = 3VB. ABC. a2 a 2 + 3x 2 + x2 = . 3 3 1 1 a a 2 + 3x 2 a 2 a a 2 + 12 x 2 AB.CH = . . − = . 2 2 2 3 4 4 2 3. a2 4 3. 1 a a a 2 + 12 x 2 = 3. d( B,( ABC )) .S ABC = . . 3 2 4 2 3. a2 a a a 2 + 12 x 2 a a3 = . . x = V = . 2 4 3 2 4 2 3 8 3 Câu 18. Cho hình lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' , có cạnh đáy bằng a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt a phẳng ( A¢BC ) bằng . Thể tích của khối lăng trụ ABC. ABC tính theo a bằng: 2 3 2a 3 5 2a 3 2a 3 5 2a 3 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 8 Lời giải Chọn A Do đó x.. 53.
<span class='text_page_counter'>(54)</span> Gọi H là trung điểm của BC , I là hình chiếu vuông góc của A trên AH . a Chứng minh được khoảng cách từ A đến ( A ' BC ) là AI = . 2 Đặt AA = x 0 . Xét tam giác AAH vuông tại A : 1 1 1 1 4 4 a 3 = + 2 + 2 = 2 x= Ta có AI là đường cao: . 2 2 2 AI AA AH x 3a a 2 2 a 3 a 2 3 3 2a 3 . = . 16 2 2 4 · = 1200 . Góc Câu 19. Cho lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và ABC 0 giữa cạnh bên AA ' và mặt đáy bằng 60 . Đỉnh A ' cách đều các điểm A , B , D . Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho. a3 3 a3 3 3a 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = a 3 3 . 2 2 6 Lời giải Chọn C. Thể tích lăng trụ là V = x.S ABC =. ABC = 120° nên góc BAD = 60 , suy ra tam giác ABD đều cạnh Hình thoi ABCD cạnh a , · a. a2 3 a2 3 = Diện tích đáy ABCD là S = 2.S ABD = 2. . 4 2 Gọi H là trọng tâm tam giác ABD . Ta có AH ⊥ ( ABCD ) . a 3 a 3 , AH = . 2 3 Góc giữa AA ' và mặt đáy bằng góc AAH và bằng 60° . a 3 . 3 =a. Ta có AH = AH .tan 60 = 3. Tính được AO =. a 2 3 a3 3 = . 2 2 Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , Các mặt bên của hình chóp cùng tạo với mặt đáy một góc 45 và hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy năm fngoài tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a3 a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 8 4 6 24 Lời giải Chọn A. Thể tích lăng trụ V = AH .S = a.. 54.
<span class='text_page_counter'>(55)</span> Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC ) . Gọi hình chiếu của H lên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là P, Q, R . Dễ dàng có được góc giữa các mặt bên với đáy chính là các góc SPH = SQH = SRH = 45 . Vậy ta có ba tam giác vuông cân bằng nhau SHP, SHQ, SHR , suy ra HP = HQ = HR . H là tâm đường tròn bàng tiếp ABC . Do ABC đều, không mất tính tổng quát, ta coi H là tâm đường tròn báng tiếp góc A . S a 3 = Gọi ra là bán kính đường tròn bàng tiếp góc A thì ra = p−a 2 a 3 2 1 1 a 3 a 2 3 a3 = . Vậy VS . ABC = SH .S ABC = 3 3 2 4 8 Câu 21. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = 2a , tam giác ABC vuông ở C có AB = 2a , góc CAB = 30 . Gọi H là hình chiếu của A trên SC . Gọi B là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng ( SAC ) . Tính thể tích khối chóp H .ABB . SH = ra =. A.. 2a 3 3 . 7. B.. 2a 3 3 . 7. C.. 6a 3 3 . 7. D.. Lời giải Chọn A. 1 1 1 1 1 7 = 2+ = 2+ 2 = 2 2 AH SA AC 4a 3a 12a 2 1 3 3a 2 2 3a 3a AH = ; HC = AC 2 − AH 2 = ; S HAC = AH .HC = 2 7 7 7. Ta có BC = a , AC = a 3 . Ta có:. 55. a3 3 . 7.
<span class='text_page_counter'>(56)</span> 1 1 3 3a 2 a3 3 2a 3 3 VHABC = S HAC .BC = .a = VHAB ' B = 2VHABC = 3 3 7 7 7 Câu 22. Cho hình chóp tứ giá đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 600 . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm SC .Mặt phẳng ( BMN ) chia. khối chóp S. ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng: 7 1 7 6 A. . B. . C. . D. . 5 7 3 5 Lời giải Chọn A. Gọi V là thể tích khối chóp S. ABCD V1 là thể tích khối chóp PDQ.BCN và V2 là thể tích của khối chóp còn lại, khi đó V1 + V2 = V MB cắt AD tại P → P là trung điểm của AD . MN cắt SD tại Q → Q là trọng tâm của SMC VM .PDQ MP MD MQ 1 1 2 1 = . . = . . = Ta có VM .BCN MB MC MN 2 2 3 6 5 Mặt khác VM .BCN = VM .PDQ + V1 V1 = VM .BCN 6 1 Mà SMBC = S ABCD , d ( S ;( ABCD)) = d ( S ;( ABCD)) 2 1 V 5 7 Suy ra VM .BCN = VN .MBC = VS . ABCD = V1 = V V2 = V V2 : V1 = 7 : 5 . 2 2 12 12 Câu 23. Cho tứ diện S.ABC , M và N là các điểm thuộc SA và SB sao cho MA = 2SM , SN = 2NB , ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng ( ) , trong đó ( H 1 ) chứa điểm S , ( H 2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H 1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số A.. 4 . 5. B.. 5 . 4. 3 . 4 Lời giải.. C.. Chọn A. 56. V1 . V2. D.. 4 . 3.
<span class='text_page_counter'>(57)</span> Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện S.ABC . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của ( ) với các đường thẳng BC , AC . Ta có NP//MQ//SC . Khi chia khối ( H 1 ) bởi ( QNC ) , ta được hai khối chóp N.SMQC và N .QPC . VN .SMQC. Ta có. VB. ASC. d ( N , ( SAC ) ) d ( B, ( SAC ) ). S AMQ S ASC. =. d ( N , ( SAC ) ) SSMQC . . d ( B, ( SAC ) ) SSAC. =. NS 2 = . BS 3. 2. S SMQC 5 V AM 4 2 5 10 = = .Suy ra N .SMQC = . = . = S ASC 9 VB. ASC 3 9 27 AS 9. VN .QPC VS . ABC. =. d ( N , ( QPC ) ) SQPC NB CQ CP 1 1 2 2 . = . . = . . = . d ( S , ( ABC ) ) S ABC SB CA CB 3 3 3 27. V1 VN .SMQC VN .QPC 10 2 4 V1 V 4 4 = + = + = = 1 = . V VB. ASC VS . ABC 27 27 9 V1 + V2 9 V2 5 Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = a,. SAB = SCB = 900. Góc giữa SB và mặt phẳng ( ABC ) là thỏa mãn tan = 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm SA . Thể tích SMGB là a3 A. . 3. a3 C. . 18. a3 B. . 15 Lời giải. Chọn C. Lấy điểm D sao cho ABCD là hình vuông Ta có BC ⊥ CD, BC ⊥ SC BC ⊥ SD , tương tự AB ⊥ SD. 57. D.. a3 . 6.
<span class='text_page_counter'>(58)</span> 1 1 1 Ta có VSMGB = VSABG = VSABC = VS . ABCD . 2 6 12 1 1 2a 3 2 Ta có VS . ABCD = SD.S ABCD = .2a.a = 3 3 3 3 a Vậy VSMGB = . 18 Câu 25. Cho hình lăng trụ ABC. ABC có thể tích V . Gọi M là trung điểm AC ; N là điểm nằm trên cạnh BC sao cho CN = 2 NB ; K là trung điểm AB . Hãy tính theo V thể tích khối tứ diện CMNK : 11V 2V 5V V A. . B. . C. . D. . 15 18 12 36 Lời giải Chọn D. Ta có: d ( C ; ( MNK ) ) = d ( C ; ( ABC ) ) = d ( B ; ( ABC ) ) Lại có SMNK = SABC − SAMK − SMNC − SBNK AM AK CM CN BN BK = SABC − . SABC − . SABC − . SABC AC AB AC CB BC AB 1 1 1 2 1 1 1 = SABC − . SABC − . SABC − . SABC = SABC 2 2 2 3 3 2 4 1 1 1 1 1 1 V VC MNK = d ( C ; ( MNK ) ) .SMNK = d ( B ; ( ABC ) ) . S ABC = VBABC = . V = . 3 3 4 4 4 3 12. 58.
<span class='text_page_counter'>(59)</span>
