De thi HSG lop 9 Nam hoc 20112012

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường TH&THCS Lê Văn Hiến. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: Toán. ĐỀ ĐỀ XUẤT. Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao, nhận đề). ĐỀ BÀI Bài 1: ( 3,5 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x,y) sao cho x (x+1) = y + 1 Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình : x - 3x + 6 - 3 = 0 Bài 3: (3,5điểm) Cho x = + y= + Tính giá trị của biểu thức: p = x + y - 3( x+ y) - 2010 Bµi 4: (2,5 ®iÓm) : a/ Cho 2011 sè nguyªn d¬ng a1, a2 , ... , a2011 Tho¶ m·n : a1  a2  a3  ...  a2011 30 5 5 5 5 Chøng minh r»ng : a 1  a 2  a 3  ...  a 2011 30. Bµi 5: (4,5 ®iÓm) Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P. Vẽ c¸t tuyÕn PMN (M n»m gi÷a P vµ N). VÏ AD vµ BC vu«ng gãc víi MN; BC c¾t nöa đờng tròn tại I. Chứng minh rằng: a/ Tø gi¸c AICD lµ h×nh ch÷ nhËt b/ DN = CM c/ AD.BC = CM.CN d/ BC2 + CD2 + DA2 = 2AD.BC + AB2. Bài 1. §¸p ¸n ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 – MÔN TOÁN Lời giải sơ lược Điểm 2 2 2 2 2 2 x (x+1) = y +1 ⇔ x +x= y +1 ⇔ 4x +4x+1= 4y +5 ⇔ (2x+1) - 3® (2y)2=5 1,75 ⇔ (2x+2y+1)(2x-2y+1)=5 Vì x, y z nên 2x+2y+1; 2x-2y+1; là ước của 5 nên. TH1. ¿ 2x+2y +1=1 2x-2y +1=5 ¿{ ¿. ⇔. ¿ x=1 y=− 1 ¿{ ¿. TH2. ¿ 2x+2y +1=−1 2x-2y +1=− 5 ¿{ ¿. ⇔. 1,0.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 0,25. ¿ x=−2 y =1 ¿{ ¿ ¿ 2x+2y +1=5 2x-2y +1=1 ¿{ ¿. TH3 ¿ x=−2 y=− 1 ¿{ ¿. ⇔. ¿ x =1 y=1 ¿{ ¿. TH4. ¿ 2x+2y +1=−5 2x-2y +1=− 1 ¿{ ¿. ⇔. Vậy: Các cặp số (x,y) phải tìm là: (1;-1); (1;1); (-2;1); (-2;-1) 2. 3. ` 4. ĐK: x R x2- 3x + 6 - 3 √ x2 −3 x+ 4 =0 Đặt √ x2 −3 x+ 4 = t (t 0) phương trình trở thành t2 - 3t + 2 = 0 ⇒ t1 = 1; t2 = 2 thỏa mãn điều kiện. Với t1 = 1 ⇒ x2 - 3x + 4 = 1 ⇒ x2 - 3x + 3 = 0 (vô nghiệm) Với t2 = 2 ⇒ x2 - 3x + 4 = 4 ⇒ x2 - 3x = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm x1=0; x2=3. 2,5®. Đặt √3 3+2 √2 =a; √3 3− 2 √ 2 =b ⇒ a3+b3=6; ab=1; x=a+b ⇒ x3=(a+b)3=( a3+b3)+3ab(a+b)=6+3x ⇒ x3 - 3x = 6 Đặt √3 17+12 √2 = m; √3 17− 12 √ 2 = n ⇒ m3 + n3 = 34; mn = 1; y =m + n ⇒ y3=(m+n)3=( m3+n3)+3mn(m+n)=34+3y ⇒ y3- 3y=34 Khi đó p=(x3-3x) + (y3-3y) + 2010 = 2050. 3® 1,25. 1,0. 1,5. 1,25 0,5 3,5®. . Tríc hÕt ta chøng minh a vµ a5 cã cïng ch÷ sè tËn cïng : ThËt vËy 15 ; 25; 35; 45 ; 55; 65; 75 ; 85; 95 lÇn lît cã ch÷ sè tËn cïng lµ : 1 ; 2; 3; 4; 5 ; 1,0 6; 7 ; 8; 9 Suy ra : a vµ a5 cã cïng ch÷ sè tËn cïng (1) a vµ a5 Chia cho 3 cã cïng sè d : ThËt vËy +) a = 3k + 1 => a5 = (3k + 1)5 chia cho 3 cã sè d lµ 15 = 1 +) a = 3k + 2 => a5 = (3k + 2)5 chia cho 3 cã sè d lµ d cña 25 chia cho 3, 1,0 mµ 25 = 32 chia cho 3 d 2. +) a = 3k => a5 = 3k5 chia cho hÕt 3 VËy a vµ a5 Chia cho 3 cã cïng sè d (2) Ta cã : A = a1  a2  a3  ...  a2011 30 => A = a1  a2  a3  ...  a2011 2.3.5 A chia hÕt cho 2 vµ 5 => A cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0, C¨n cø vµo (1) 5. 5. 5. 5. => B = a 1  a 2  a 3  ...  a 2011 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0 => B chia hÕt cho 2 vµ 5 (I) A chia hÕt cho 3, c¨n cø vµo (2) => B còng chia hÕt cho 3 (II) 5 5 5 5 Tõ (I) vµ (II) Suy ra : a 1  a 2  a 3  ...  a 2011 30 (§PCM). 1,5 7,5®.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> C. 5. N. 0,5. I H M D. P. B. A O. 1,0. 1,5 a/ Tø gi¸c AICD lµ h×nh ch÷ nhËt OA = OB = OI = R => Tam gi¸c IAB vu«ng t¹i I => Tø gi¸c AICD cã 3 gãc D, C, I vu«ng => Tø gi¸c AICD lµ h×nh ch÷ nhËt (®pcm) b/ DN = CM K OA = OB, OH//AD//BC => HD = HC (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã : MN + (HD – HM) = MN + (HC – HN) Hay : MN + MD = MN + NC Hay : DN = CM (®pcm) c/ AD.BC = CM.CN Dễ dàng chứng minh đợc : CIM đồng dạng với CNB (góc – góc) CI CM   CI .BC CM .CN => CN CB Do AICD lµ h×nh ch÷ nhËt (c©u a) => CI. = AD Thay vµo ta cã : AD.BC = CM.CN (®pcm) d/ BC2 + CD2 + DA2 = 2AD.BC + AB2 Ta cã : AB2 = AI2 + BI2 = CD2 + BI2( do CD = AI) =>2AD.BC + AB2 = 2AD.BC + CD2 + BI2 Mµ BI = BC – CI = BC – AD => 2AD.BC + AB2 = 2AD.BC + CD2 + (BC – AD)2 = 2AD.BC + CD2 + BC2 – 2AD.BC + DA2 => 2AD.BC + AB2 = CD2 + BC2 + DA2 =BC2 + CD2 + DA2 (®pcm). -------------------------------- HÕt --------------------------------. 1,5. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>

<span class='text_page_counter'>(5)</span>