De thi HSG cap huyen mon Toan 1213

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN CHÂU THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC-ĐAO TẠO. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2012-2013 - Môn thi: - Ngày thi: - Thời gian:. TOÁN 9 13-01-2013 150 phút (không kể phát đề). Bài 1: (3 điểm) a) Giải hệ phương trình sau:. ¿ X −Y =1 3 X +4 Y =10 ¿{ ¿. b) Từ kết quả câu a) suy ra nghiệm của hệ phương trình sau: ¿ 1 1 − =1 x y 3 4 + =10 x y ¿{ ¿. Bài 2: (5,5 điểm) a) Một quầy bán bánh phục vụ hai chiếc bánh pizza tròn có cùng độ dày nhưng kích cỡ khác nhau. Chiếc nhỏ hơn có đường kính 30cm giá 30 ngàn đồng. Chiếc to hơn có đường kính 40cm giá 40 ngàn đồng. Hãy tính và cho biết chiếc bánh pizza nào rẻ hơn? (phép tính lấy với 2 chữ số thập phân). b) Giải phương trình sau: x3 – 3x2 - 3x + 9 = 0. c) Với giá trị nào của m và n thì hàm số: y = (m2 – 5m +6)x2 + (m2 + mn – 6n2)x + 3 là hàm số bậc nhất ? Bài 3: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC tùy ý, từ một điểm M nằm trong tam giác và không thuộc bất kỳ một đường thẳng nào chứa một cạnh của tam giác dựng các đoạn thẳng MH vuông góc AB (H thuộc đường thẳng AB), MK vuông góc BC (K thuộc đường thẳng BC), MP vuông góc CA (P thuộc đường thẳng CA). Chứng minh AB.MH+BC.MK+CA.MP có giá trị không đổi với bất kỳ vị trí nào của M. Bài 4: (4 điểm) ¿. a) Giải hệ phương trình:. b) Chứng minh đẳng thức:. |x+1|+| y − 1|=5 |x +1|− 4 y+ 4=0 ¿{ ¿ √ a − √ b ¿2 + 4 √ ab ¿ ¿ ¿. (a>0, b>0).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn (O). Các đường phân giác trong của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại P, Q, R (các tia phân giác là AP, BQ, CR). a) Chứng minh PQ CR. b) I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tam giác ICP cân.. --- HẾT --ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học 2012-2013 Môn thi: TOÁN 9 Câu ¿ 1 X −Y =1(1) (3.0 a) 3 X +4 Y =10(2) . ). Q. Nội dung. ¿{ ¿. Từ phương trình (1) ta có: X = 1+ Y (3) thay vào (2) ta được: 3(1+Y) + 4Y = 10 ⇔ 7Y = 7 ⇔ Y = 1 Thay Y=1 vào (3) ta được X = 2. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (X ;Y) = (2 ;1). b). 2 (5,5 ). ¿ 1 1 − =1 x y 3 4 + =10 x y ¿{ ¿. d1 2 ¿ =π .152 =706 ,5 (cm 2) 2 π¿. 0.25 0.25. 0.25. d2 2 ¿ =π .202 =1256(cm2 ) 2 π¿. (1). Do đó 1 ngàn ta mua được 1256/40 = 31.4 (cm2) (2) Từ (1) và (2) suy ra chiếc bánh pizza lớn có giá rẻ hơn chiếc bánh pizza nhỏ. b) Phương trình x3 – 3x2 - 3x + 9 = 0 (1) Ta có: x3 – 3x2 - 3x + 9 = x2(x-3) – 3(x-3) = 0. 0.25 0.25 0.25. 0,5. Do đó 1 ngàn ta mua được 706,5/30 = 23,55 (cm2) Tương tự, S2 =. 0.5 0.75 0,5 0.25. 0.25. Đặt 1/x = X; 1/y = Y Theo kết quả câu a) hệ có nghiệm X =2; Y=1, ta có: X = 1/x = 2 ⇔ x = ½ Y = 1/y = 1 ⇔ y = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là : (x ;y) = (1/2 ; 1) a) Do hai chiếc bánh cùng độ dày nên ta gọi: d1, S1 lần lượt là đường kính, diện tích bánh pizza nhỏ. d2, S2 lần lượt là đường kính, diện tích bánh pizza lớn. Ta có: S1 =. Điểm. 0,25 0,25 0,25 0,5. ⇔. (x2-3)(x-3) = 0 (2). 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nghiệm của (2) là nghiệm nghiệm của các phương trình :. x 2 −3=0( 3) ¿ x − 3=0 (4) ¿ ¿ ¿ ¿. 0.25 0.25 0.25 0.25. Giải (3) ta được các nghiệm: x1,2 = ± √ 3 Giải (4) ta có nghiệm: x3 = 3 Vậy phương trình (2) và cũng là phương trình (1) có các nghiệm là: x1,2 = ± √3 ; x=3.. 0.75. c) Hàm số y = (m2 – 5m +6)x2 + (m2 + mn – 6n2)x + 3 có dạng: y = Ax2 + Bx +C. Nó là hàm số bậc nhất khi và chỉ khi: A=0 B≠0 ⇔ 2 ¿ m −5 m+6=0 m2 + mn − 6 n2 ≠ 0 ⇔ m=2 ¿ ¿ m=3 ¿ ¿( m−2 n)(m+3 n)≠ 0 ¿ ¿{ ¿ ¿¿. 0.5. 0.5. Từ đó, ta xét các trường hợp:. 3 (3,5 ). ¿ m=2 (m− 2 n)( m+3 n) ≠0 ⇔ ¿ m=2 * n ≠1 2 n ≠− 3 ¿{ ¿ ¿ m=3 (m− 2 n)( m+3 n) ≠0 ⇔ ¿ m=3 * n≠ − 1 3 n≠ 2 ¿{ ¿. Ta có: MH là đường cao trong Δ MAB nên MH.AB = 2 SMAB. MK là đường cao trong Δ MBC nên MK.BC = 2 SMBC.. A P H. 0.75 0.5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> B. K. MP là đường cao trong Δ MCA nên MP.CA = 2 SMCA. Vậy: AB.MH+BC.MK+CA.MP = 2 SABC Do A, B, C cố định nên diện tích tam giác ABC không đổi hay AB.MH+BC.MK+CA.MP không đổi (đpcm). 4 (4,0 ). C 0.5 0.75 0.5 0.5. ¿. |x+1|+| y − 1|=5 (1) a) |x +1|− 4 y+ 4=0(2) ¿{ ¿. Từ (2) suy ra: |x +1|=4 y −4 , thay vào (1): 4y + | y −1| = 9 * Xét y 1, ta có 4y +y -1=9 ⇔ y = 2 (thỏa đk y 1) Giải ra tìm được: x = 3 hoặc x = -5 * Xét y<1, ta có 4y -y +1=9 ⇔ y = 8/3 (loại vì không thỏa đk y<1) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ;y) = (3 ;2) ; (-5 ;2). b). √ a − √ b ¿2 + 4 √ ab ¿ ¿ ¿. 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25. (a>0, b>0). Thực hiện vế trái ta có:. 0,5. 2. √ a − √ b ¿ + 4 √ ab ¿. 0,75. √ b ¿2 +4 √ ab. ¿ 2 a ¿ − 2 √ab+ ¿ √ ¿ ¿ ¿. 0,75. √ a+√ b ¿2 =. = 5 (4,0 ). ¿ b √a −√¿ ¿ √ab ¿ ¿ ¿ a+ √ √ b −( √ a − √ b)=2 √ b. a) Chứng minh PQ CR A Gọi K là giao điểm của PQ và CR. Vì AP là tia phân giác của góc BAC nên R ∠BAP =∠PAC ⇒ cung BP = cung PC. Tương tự cung Ả = cung RB và cung AQ = cung QC B. (đpcm). Q. I. 0.5 K. C. P Do ∠ QKC là góc có đỉnh ở trong đường tròn, nên Sđ ∠ QKC = ½ (Sđcung QC+Sđcung BR+Sđcung BP) = ¼ (Sđcung AC+Sđcung AB+Sđcung BC) = 3600/4 = 900 Vậy PQ CR (đpcm) b) Chúng minh ∆ ICP cân: Ta có Sđ góc ICP = ½ (Sđcung BP+Sđcung BR) ( ∠ ICP là góc nội tiếp). 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Sđgóc PIC = ½ (Sđcung PC+Sđcung RA) ( ∠ PIC là góc có đỉnh ở trong đường tròn) Vì cung BP = cung PC và cung BR = cung RA nên ∠ ICP = ∠ PIC ⇒ ∆ IPC cân tại P (đpcm). Phụ chú: - Nếu học sinh có cách giải khác chính xác, lý luận chặt chẽ vẫn hưởng điểm tối đa. - Điểm thi không làm tròn.. 0.5 0.5 0.5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>