Dap an De thi HSG NGHE AN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD&ĐT NGHỆ AN. Đề chính thức. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS NĂM HỌC 2011 – 2012. Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (5.0 điểm): 2 2 a) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn điều kiện: a  b 7 . Chứng minh rằng a và b đều chia hết cho 7. b) Cho A = n + n + 1 Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nhận giá trị là một số nguyên tố. Câu 2 (4.5 điểm): a) Giải phương trình:. 4 1  x  x  x x. 2x . 5 x. b) Cho x, y, z là các số thực khác 0 thoả mãn: xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức: yz zx xy M 2  2  2 x y z Câu 3 (4.5 điểm): a) Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2  3 b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a3 b3 c3 P 2 2  2 2  2 2 a b b c c a Câu 4 (6.0 điểm): Cho đường tròn (O;R) và một dây BC cố định không đi qua O. Từ môt điểm A bất kỳ trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn ( M và N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC).Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P. a) Chứng minh rằng: NP song song với BC b) Gọi giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng OI là K. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn nhất. -------- Hết --------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Họ và tên thí sinh:................................................................................ Số báo danh: ...................................... SỞ GD&ĐT NGHỆ AN. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS NĂM HỌC 2011 – 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – BẢNG A. ( Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) Câu. Nội dung. Giả sử a không chia hết cho 7  b không chia hết cho 7  a 6  17   6 b  17. 5.0đ. 0.5 0.5. (1) a => a + b -2 7 2.5đ Ta có a + b = (a + b )(a - ab + b)  7 (Do a + b  7) (2). Câu 1. Điểm. 0.5 0.5. Từ (1); (2) suy ra: 2 7. 0.25. Điều này vô lý, do đó a và b đều chia hết cho 7. 0.25. Khi n = 0 thì A = 1 (không thoả mãn). 0.25. Khi n = 1 thì A = 3 (Thoả mãn). 0.5. Với n > 1 , ta có : A = n - n + n - n + n +n +1 = n ( n - 1) + n( n - 1) + n +n +1 = ( n - 1)( n + n) + (n +n +1). 0.5. b 2.5đ. Vì n - 1 n - 1. 0.5. Nên. n - 1 n +n +1. 0.25. A  n +n +1. 0.25. Do đó :. Câu 2. 2.0đ. a 2.5đ. Dễ thấy : A> n +n +1 với mọi n > 1 nên khi n > 1 thì A là hợp số. Vậy với n = 1 thì A có giá ttrị là một số nguyên tố Đặt: a x. 1 5 ; b  2x  ; x x. (a; b 0). Ta có: a - b = - x; do đó phương trình đã cho trở thành: a - b + a - b =0. 0.25. 0.5 0.5 0.25. (a - b)(a + b + 1) =0. 0.25.  a = b (Do a + b + 1 > 0) 1.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu. Nội dung. Điểm. 0.25 Lúc đó: x. 1 x =. 2x . 0.25. 5 x. => x - = 2x => x =  2. 0.25. Thay vào ta được x = 2 thoả mãn, do đó phương trình có nghiệm duy nhất là x =2 Ta có: xy + yz +zx = 0 (1) Chia cả hai vế của (1) cho xyz ≠ 0 ta có. 0.25. =>. 0.25. + + =0 . b 2.0đ. 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1  3 3 (   )( 2  2  2    ) 0 3 x y z xyz x y z x y z xy yz zx 1 1 1 ( Do   0) x y z. 0.25. 0.5. 1 1 1 3  3 3 3 => x y z xyz. 0.5. xy yz zx  2  2  2 3 z x y. 0.5 Câu 3. 4.0đ). Ta có: a2 + b2  2ab nên: a 2.5đ. 0.5. ab 2 ab 2 b  a 2  b 2  2ab 2. Do đó : a3 ab 2 b  a  2 2 2 2 a b a b  a - 2. 0.5. Tương tự, ta có: b3 b2  c2  b c3 c2  a2  c -. 0.5. Từ đó suy ra được: P = Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi a = b = c =1 2. 0.5 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu. Nội dung. Ta có:. b. 2.0đ. Điểm. 2. x + 1  2x y2 + 1  2y z2 + 1  2z 2(x2 + y2 + z2)  2(xy + yz + zx). 0.25 0.25 0.25 0.25. Cộng 4 bất đẳng thức trên, ta được: 3( x2 + y2 + z2) + 3  2(xy + yz + zx + x + y + z). 0.5.  3(x2 + y2 + z2) + 3  12. 0.25. (Do xy + yz + zx + x + y + z = 6).  x2 + y2 + z2  3 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. 0.25 K. M. A. C. B. I. a 3.0đ. E. O. N. P F. Gọi giao điểm của OI với cung lớn BC là F.. 0.5. Dễ thấy các điểm O; I; M; A; N cùng thuộc đường tròn đường kính AO.   Do đó: IAN  NMI (cùng chắn cung IN). 0.5 0.5. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Câu. Nội dung   OF IAN N. Điểm. Mà tứ giác AION nội tiếp nên:. 0.5.   => NMI NOF. 0.5.  OF  1 N  2 Sđ NP => Sđ. 0.5.  F là điểm chính giữa cung NP  OF NP hay NP// BC Gọi E là giao của OA và MN. 0.25. Ta có: KEO AIO  OE.OA = OI.OK. (1). 0.25. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OMA có đường cao ME, ta có: OM2 = OE.OA (2). b 3.0đ. Từ (1) và (2) suy ra: OI.OK = OM2  OK = =  OK không đổi Vẽ NH  OI tại H, ta thấy : SNOK lớn nhất khi NH lớn nhất; Mà NH ON dấu đẳng thức xẩy ra khi ON  OI Lúc đó OIAN là hình chữ nhật, do đó : IA = R Vậy khi A ở trên tia đối của tia BC sao cho IA = R thì tam giác NOK có diện tích lớn nhất.. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25. Lưu ý:. - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn.. 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>