Full 8 chuyên đề toán 9 đại số có lời giải

8 CĐ

|

ĐS

8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
ĐỒNG HÀNH VÀO 10

MỤC LỤC
A. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC ....................................................................... 4
 Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương. .......................................... 5
 Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức

A2  A ............................................................... 6

 Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức

A2  A .............. 6

 Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích
thành nhân tử; …) .................................................................................................................. 9
 Dạng 5. Bài toán chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ. ................. 12
 Bài tập tự luyện: ............................................................................................................ 28
B. CÁC BÀI TỐN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ................................................................ 31
. Kiến thức cơ bản........................................................................................................... 31
. Ví dụ minh họa ............................................................................................................. 32
. Bài tập. ............................................................................................................................ 33
. Bài tập tự luyện ............................................................................................................ 37

. Giải hệ phương trình và một số ý phụ..................................................................... 40
. Giải hệ phương trình bậc cao .................................................................................... 48
C. GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH....................................... 52
. KIẾN THỨC CẦN NHỚ................................................................................................. 52
. PHÂN DẠNG TOÁN ..................................................................................................... 52
Dạng 1. Tốn về quan hệ số............................................................................................... 52
Ví dụ minh họa: ............................................................................................................... 53
Bài tập tự luyện: ............................................................................................................... 55
Dạng 2: Toán chuyển động ................................................................................................ 56
Ví dụ minh họa: ............................................................................................................... 57

Tốn Họa

 0986 915 960

1


|

8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Bài tập tự luyện: ............................................................................................................... 60
Dạng 3: Tốn về năng suất – Khối lượng cơng việc - % ............................................... 62
Ví dụ minh họa: ............................................................................................................... 62
Bài tập tự luyện: ............................................................................................................... 69
Dạng 4: Tốn có nội dung hình học ................................................................................. 70
Ví dụ minh họa: ............................................................................................................... 70
Bài tập tự luyện: ............................................................................................................... 72
Dạng 5. Các dạng toán khác .............................................................................................. 73

Ví dụ minh họa: ............................................................................................................... 73
Bài tập tự luyện: ............................................................................................................... 75
D. GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ........................... 77
. KIẾN THỨC CẦN NHỚ................................................................................................. 77
. PHÂN DẠNG TỐN ..................................................................................................... 77
Dạng 1. Tốn về quan hệ số............................................................................................... 77
Ví dụ minh họa: ............................................................................................................... 78
Bài tập tự luyện: ............................................................................................................... 79
Dạng 2: Tốn chuyển động ................................................................................................ 79
Ví dụ minh họa: ............................................................................................................... 80
Bài tập tự luyện: ............................................................................................................... 85
Dạng 3: Toán về năng suất – Khối lượng cơng việc - % ............................................... 87
Ví dụ minh họa: ............................................................................................................... 87
Bài tập tự luyện: ............................................................................................................... 91
Dạng 4: Tốn có nội dung hình học ................................................................................. 92
Ví dụ minh họa: ............................................................................................................... 92
Bài tập tự luyện: ............................................................................................................... 93
Dạng 5. Các dạng tốn khác .............................................................................................. 94
Ví dụ minh họa: ............................................................................................................... 94
Bài tập tự luyện: ............................................................................................................... 96
Toán Họa

 0986 915 960

2


|

8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

E. HÀM SỐ BẬC NHẤT ........................................................................................................ 97
. KIẾN THỨC CẦN NHỚ................................................................................................. 97
. BÀI TẬP ............................................................................................................................. 98
. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ..................................................................................................... 104
F. HÀM SỐ BẬC HAI ........................................................................................................... 106
. KIẾN THỨC CẦN NHỚ............................................................................................... 106
. BÀI TẬP ........................................................................................................................... 107
Sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc hai. ..................................... 110
. PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN ........................................................................................ 121
G. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG ..... 124
Dạng 1: Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai ...................... 124
1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản. ............................................................................... 124
1.2. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai ....................................................... 126
1.2.1. Phương trình trùng phương ..................................................................................... 126
1.2.3. Giải phương trình đưa về phương trình tích. ......................................................... 131
1.2.4. Giải phương trình chứa căn bậc hai. ....................................................................... 133
a) Phương trình chứa căn bậc hai đơn giản (quy được về phương trình bậc hai)....... 133
b) Phương trình vơ tỉ. ....................................................................................................... 134
1.2.5. Giải phương trình chứa dấu GTTĐ ........................................................................ 135
Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng ....................................................................................... 136
Dạng 3: Phương trình chứa tham số ..................................................................................... 141
. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ..................................................................................................... 172
H. BẤT ĐẲNG THỨC .......................................................................................................... 174
. KIẾN THỨC LÍ THUYẾT .............................................................................................. 174
. BÀI TẬP ........................................................................................................................... 175
 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên. .................................... 180
 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm .............................. 185
. BÀI TẬP TỰ LUYỆN ..................................................................................................... 192

Toán Họa

 0986 915 960

3


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

Chủ đề

|

CÁC BÀI TOÁN

1

RÚT GỌN CĂN THỨC

A. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN CĂN THỨC
 CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
1.

 A nÕu A  0
A2  A  
 A nÕu A < 0

2.

AB 

3.

A

B

4.

A2 B  A

(Với A  0; B  0 )

A. B

A
B

(Với A  0; B  0 )
(Với B  0 )

B

(Với A  0; B  0 )

5.

A B 

6.

A B   A2 B

A2 B

7.

A
1

B
B

8.

A
A B

B
B

(Với A  0; B  0 )

AB

(Với A  0; B  0 )
(Với B  0 )



9

C AB
C

A  B2
AB

10

C
C

A B

11

 A
3

Toán Họa

3



3





A B
A B

(Với A  0; A  B2 )



(Với A  0; B  0; A  B )

A3  A

 0986 915 960

4


|

8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

 CÁCH TÌM ĐKXĐ CỦA MỘT BIỂU THỨC TRONG BÀI TOÁN RÚT GỌN
BIỂU THỨC - ĐKXĐ:
1.
2.

A

A

B

VÍ DỤ
Ví dụ:

ĐKXĐ: A  0

x  2018

ĐKXĐ: B  0

Ví dụ:

x4
x7

ĐKXĐ:

x  2018

ĐKXĐ:

x7

3.

A
B

ĐKXĐ: B  0

Ví dụ:

x 1
x3

ĐKXĐ:

x3

4.

A
B

ĐKXĐ: A  0; B  0

Ví dụ:

x
x3

ĐKXĐ:

x  0
 x 3

x  3

A

B

 A  0

B  0
ĐKXĐ: 
A  0

  B  0

ĐKXĐ:

 x  1  0

  x  2  0   x  2
x  1
 x  1  0


  x  2  0

5.

Ví dụ:

x 1
x2

Cho a > 0 ta có:
6.

7.

x  a

x  a
x a
 x   a

2
Ví dụ: x  1  

2

 x   a

Cho a > 0 ta có:
2

x a a  x a

2
Ví dụ: x  4  2  x  2

 Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương.
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
M  45  245  80
A  12  27  48

N  5 8  50  2 18

B  2 3  3 27  300

P  125  4 45  3 20  80
C  (2 3  5 27  4 12) : 3

Hướng dẫn giải

M  45  245  42.5

N  5 8  50  2 18

 32.5  7 2  5  42.5
3 5 7 54 5 6 5

 5.2 2  5 2  2.3 2

P  5 5  12 5  6 5  4 5
 5 5

 10 2  5 2  6 2
 (10  5  6) 2  9 2

Toán Họa

 0986 915 960

5


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|
A  12  27  48

B  2 3  3 27  300

C  (2 3  5 27  4 12) : 3

 2 33 34 3

 2 3  3 32.3  102.3
 2 3  3.3. 3  10 3

 (2 3  5.3 3  4.2 3) : 3

 3

 5 3 : 3  5

 3

Nhận xét: Đây là một dạng tốn dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để giải, đa phần áp
A2 B  A

dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán.

B (B0 )

Tự luyện:





B  2 32  5 27  4 8  3 75

A  3 50  5 18  3 8 . 2

 Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức

C  20  45  2 5

A2  A

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)

3  2 2 

d)

3 

2

3  2 2 



2

2 

1 

2

2

 5  2 6 2   5  2 6 2

b)

2



e)

2

5  2 



5  2

2

c)

 2  3 2  1  3 2

f)



2

2  1 



2  5

2

Giải mẫu:

3  2 2 

a)

2



3  2 2 

2

 32 2  32 2  32 2 32 2  6

Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
b) 4 6

Kết quả:

 A nÕu A  0
A2  A  
 A nÕu A  0

c) 1

d) 4

e) 2 5

 Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức

f) 2 2  4

A2  A

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A  4  2 3  7  4 3 .
Hướng dẫn giải
A  3  2 3 1  4  4 3  3



2







3 1  2  3

3 1 



2  3 


 3  1  2  3  3

Toán Họa

2

.

 0986 915 960

6

8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|

Nhận xét: Các biểu thức 4  2 3 ; 7  4 3 đều có dạng m  p n trong đó với a 2  b 2  m
p n  2 ab . Những biểu thức như vậy đều viết được dưới dạng bình phương của một

biểu thức.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức B  5  2 6  5  2 6 .
Hướng dẫn giải

Cách 1:
B  52 6  52 6






3 2 

3 2

 3 2



2









3 2

2

3 2



3 2 2 2.

Cách 2:
B  52 6  52 6

Ta có:

5  2 6 5  2 6   10  2

B2  5  2 6  5  2 6  2

18

Vì B  0 nên B  8  2 2 .
Nhận xét: Các biểu thức 5  2 6 và 5  2 6 là hai biểu thức liên hợp. Gặp những biểu

thức như vậy, để tính B ta có thể tính B 2 trước rồi sau đó suy ra B.
Bài 1: Rút gọn
a) A  6  2 5

b) B  4  12

c) C  19  8 3

d) D  5  2 6
Hướng dẫn giải

a) A  6  2 5 





2

5 1



5 1  5 1



b) B  4  12  4  2 3 
c) C  19  8 3 

4  3 

d) D  5  2 6 



Toán Họa



3 1

2



3 1

2

3 2

 4 3  4 3



2



3 2  3 2

 0986 915 960

7


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|
Bài 2: Rút gọn
a) A  4  2 3

b) B  8  2 15

c) C  9  4 5

d) D  7  13  7  13

e) E  6  2 5  6  2 5

f) F  7  2 10  20 

1
8
2

Hướng dẫn giải
a) A 

42 3 

b) B  8  2 15 
c) C  9  4 5 





2

3 1



 3 1



15  1

2  5 

1 

2





2

13  1 

 15  1

2

d) D  7  13  7  13 



2



 52

1
2

 14  2 13 

14  2 13



2
13  1   2





e) E  6  2 5  6  2 5  5  2 5  1  5  2 5  1
 ( 5  1) 2  ( 5  1) 2 | 5  1|  | 5  1| 5  1  5  1  2

f) F  7  2 10  20 


1
8
2



5 2



2

1
 2 5  .2 2
2

5 2 2 5 2  5 22 5 2 3 5

Bài 3: Rút gọn (Bài tự luyện)
a) 5  2 6  5  2 6

b)

7  2 10  7  2 10

c)

d)

24  8 5  9  4 5

e) 17  12 2  9  4 2

f)

6  4 2  22  12 2

g) 2  3  2  3

h) 21  12 3  3

i)

j) 13  30 2  9  4 2

42 3  42 3

5  3  29  12 5

k) 5  13  4 3  3  13  4 3

Toán Họa

l) 1  3  13  4 3  1  3  13  4 3

 0986 915 960

8


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|

 Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức, phân tích
thành nhân tử; …)
Bài 1: Rút gọn:
62 5
52 6

5 1
3 2
1
1
1
1
C


 ... 

1 2
2 3
3 4
99  100
3 34
34

2 3 1
52 3

E

3
4
1


5 2
6 2
6 5

B

A

D

1
 74 3
2 3

F

1
2
2


2 3
6 3 3

Hướng dẫn giải

a) A 

62 5
52 6
5 1
3 2



2
5 1
3 2
5 1
3 2

b) B 

3
3
4
1



5 2
6 2
6 5



5 2
3

  4

6 2
4





6 5



 5 2 6 2 6 5 2 6

c) C 




1
1
1
1


 ... 
1 2
2 3
3 4
99  100

 

2 1 

 

3 2 



4  3  ... 





100  99  9

d) D 

1
1
1
 74 3 
 44 33 
 (2  3) 2
2 3
2 3
2 3



1
2 3
2 3
2 3 
2 3 
2 3  4
1
2 3
(2  3)(2  3)

e) E 

3 34
34


2 3 1
52 3

3


2 3

 

3  4 2 3 1
2

52

1



22  11 3
26  13 3

 2 3  2 3
11

13



42 3
42 3
1 



2
2
2

Toán Họa





2

3 1 



 0986 915 960




 2 3

3  4 5 2 3
2

2 
3 1 




9


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|
1
2





3




3

 

 3  1  2  2  3 
3  3  1 2  3 
2



3 1 2  3



3 1

2 3



3 1  2  3

2 34



1
.(2)   2
2



3 1  3 1 

1
1
2
1
2
2





3
2 3
6 3 3 2 3
3 3 1

f) F 







3  3  1



  3


3





32



  3

3

 3



3 1





3 1

3 1

3
3

 1

3



2. 3


3 1 2  3

3 1
3



Bài 2: Rút gọn
A  ( 3  4) 19  8 3

C

7 5  7 5

B  ( 5  2)( 5  2) 
D

 32 2

7  2 11

E

8  15
30  2

F

4



2 5

3 1
3 1



2



74 3
32
4

2  5 

2

3 1



3 1

Hướng dẫn giải

a) A  ( 3  4) 19  8 3 
2

2

b) B  ( 5)  2 

c) B 



(2  3) 2
32

7 5  7 5

2

34

 4  3  





3  4 4  3  16  3  13

2 3
 1  ( 1)  2
32

 54

 32 2

7  2 11
2

 7  5  7  5  14  2 44
7 5  7 5
 
Ta có 
2
 2



7  2 11
7  2 11
7  2 11



 B  2  3 2 2  2 

Toán Họa





2 1

2

 2  2 1  1

 0986 915 960

10


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|
4

d) D 

2  5 
2





2 5

2

4



2  5 

2



2 5

2



22

2  5

2

2
2
2


5 2
52

22



2  5



2

  5  2
 5  2 5  2
52 2

2 5 42 5 4
8
5 4



8  15
1
16  2 15
1
15  1 1

.

.

4
2
2
30  2
15  1
15  1

e) E 

3 1

f) F 



3 1

3 1
3 1



2



 

3 1 

3 1



2

3 1



42 3 42 3
4
2

Bài 3: Rút gọn - Bài tập tự luyện
a)

c)

e)

7 5 62 7
6
5



2
4
7 2 4 7
1
3 2 5

1
3



1
3 2





b)

2
6 2



2
6 2



5
6

 6 2 5 
1

d) 
 :
5 5 2
 1 3

1
3 2 5

1

5
1

3 12

6

f)

2 3  3  13  48
6 2

Bài 4: Rút gọn – Bài tập tự luyện

1
1

5 2 6 52 6

1)

A

3)

C

5)

E

7)

G  62 5 

9)

I

Toán Họa

3
2 3

3
3 1
3 5
5 3

3 5
5 3
15  3
3

2)

B

1
1

32
32

4)

D

15  12
1

52
2 3

6)

F

5 2 5 3 3


5
3

8)

H

4

2  5 


10  2 2  2


5 1
2 1

10) J   1 



 0986 915 960

2





5 3



4

2  5 

2

2 2   2 2 
 . 1 

1 2   1 2 

11


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|
11) K 

2
2

2 5 2 5

13) M 

3 2 2 3 1
:
3 2 6

 6 2

1
 3:
 1 3
 2 3
6
1

14) N 
1 7

7
12) L  

3 2 2 3 2 2
1


3 2
1 2 2  3
 6 2 5 

17) Q  
. 5  2
5
 1 3
15) O 





1
2
1


:
5  3  21  12 3
2 5


19) S  

2
2

5 1
3 5

21) U 

5 3

23) W=

3 5  3

5 3



16) P 

2
2

1 2 1 2

18) R 

2
2

74 3 74 3

20) T 

4
15  13

1 3
1 5

22) V 

2
2

3 1
63 3

24) Y 

3 5  3

2
2 2  3 5

Kinh nghiệm: Đôi khi một số bài toán rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn nếu chúng ta
trục căn thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề toán. Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực

hiện các phép tính rất phức tạp. Vì vậy trước khi làm bài tốn rút gọn, học sinh cần quan sát
kỹ đề tốn từ đó có định hướng giải đúng đắn để lời giải được ngắn gọn, chính xác.

 Dạng 5. Bài tốn chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý toán phụ.
 Rút gọn.
Bước 1:

Tìm điều kiện xác định.

Bước 2:

Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân
tích tử thành nhân tử.

Bước 3:

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

Bước 4:

Khi nào phân thức tối giản thì ta hồn thành việc rút gọn.

Bài 1: Cho biểu thức P 





3 x  2 2 x 3 3 3 x 5



.
x 1 3  x x  2 x  3

a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị của P, biết x  4  2 3 ;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn giải

Tốn Họa

 0986 915 960

12


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|
ĐKXĐ: x  0; x  9 .
a)

3 x  2 2 x 3


x 1
x 3

P











3

x 2





3 3 x 5





x 1



x 3



 
 x  1  33
 x  1 x  3

x 3  2 x 3

x 5



3 x  9 x  2 x  6  2 x  2 x  3 x  3  9 x  15





x 1

x 3



5 x  17 x  6





x 1

x 3



5 x  15 x  2 x  6



5




x 1

x 3



 x  3  5
x  1 x  3
x 2

x 2
.
x 1

2

 3  1  x  3  1 ;
5  3  1  2 5 3  3  5 3  3 2  3 


7
Do đó: P 
3

2
3

1

1
3

2
2

3
 

 

b)

Ta có x  4  2 3 

c)

Ta có P 

P  5

3 9.

5 x 2 5 x 57

x 1
x 1

7
x 1 .

Vì

7
 0 nên P có giá trị nhỏ nhất 
x 1



x  1 nhỏ nhất  x  0 .

7
lớn nhất
x 1

Khi đó min P  5  7  2 .

 x 1 2 x
5 x 2 3 x x


Bài 2: Cho biểu thức Q  
:
4  x  x  4 x  4
x 2
 x 2

Toán Họa

 0986 915 960

13


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|
a) Rút gọn Q;
b) Tìm x để Q  2 ;

c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm.
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: x  0; x  4; x  9 .

 x 1 2 x
5 x 2 3 x x

Q  


:
4  x  x  4 x  4
x 2
 x 2

a)













x 1

x 2 2 x



x 2





 

x 2  5 x 2
x 2



x  3 x  2  2x  4 x  5 x  2



x 2



x  2 x



x 2

x 2



.





b)

Q  2 


x 2



.



x 2



2





2



x 3 x



2

x 2

x 2
x 3

x 2
2
x 3

x 2  2 x 6

  x  8 

c)

2

x 3 x

 .  x  2 

 x  2 x  2 x 3  x 

 x





x 2

 : x 3  x 
 x  2

Q0

x  8  x  64 .(Thỏa mãn ĐKXĐ).

x 2
0
x 3

 x  3  0 (vì

x  2  0 )

x  3  x  9.

Kết hợp với điều kiện xác định ta có Q  0 khi 0  x  9 và x  4 .

Bài 3: Cho biểu thức B 

a

3
a2


với a  0; a  9
a 3
a 3 a 9

a) Rút gọn B.
b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên
Hướng dẫn giải

a)

Với a  0; a  9 ta có:
Tốn Họa

 0986 915 960

14


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|

B

b)

a
3
a2
a
3
a2




=
a 3
a  3 ( a  3)( a  3)
a 3
a 3 a 9



a ( a  3)
3( a  3)
a2


( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3)



a 3 a 3 a 9a  2
11


a 9
a  3)( a  3)

Để B  Z 

11
 Z  11 ( a  9)  ( a  9)  U (11)
a 9

U (11)  1;11; 1;  11

Khi đó ta có bảng giá trị
a 9

-11

-1

1

11

a

-2

8

10

20

Không thoả mãn

Thoả mãn

Thoả mãn

Thoả mãn

Vậy a  8;10; 20 thì B  Z
 x 3
x 2
9 x   3 x 9 


Bài 4: Cho biểu thức P  
 : 1 

x  9 
 2  x 3 x x  x 6  

(với x  0; x  4; x  9 )
a) Rút gọn biểu thức P.
4  2 3.( 3  1)

b) Tính giá trị biểu thức P khi x 

62 5  5
Hướng dẫn giải

a)

P



 x  9   4  x    9  x  : x  9  3

 2  x 3  x 
4 x

 2  x 3  x 

Toán Họa

:



x 9

x 9

x 3
x





x 3

x 3



  2

x
x

 0986 915 960

15


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|

b)

x



2

  3  1  

5  5

3 1

1 
Nên P 

2



3 1

2

3 1

1 5  5

2 2
 2 1
2

Bài 5: Với x > 0, cho hai biểu thức A 

2 x
x 1 2 x 1

và B 
x

x
x x

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để

A 3

B 2

Hướng dẫn giải

a)

Với x = 64 ta có A 

b)

B

c)

Với x > 0 ta có:

2  64 2  8 5


8
4

64

( x  1)( x  x )  (2 x  1) x x x  2 x
1

 1

x (x  x)
x xx
x 1
A 3
2 x 2 x 3
 
:
 
B 2
x
x 1 2

x 2
x 1

x 1 3

2
x

 2 x  2  3 x  x  2  0  x  4 ( Do x>0)

Bài 6: Cho hai biểu thức A 

x 4
3 x 1
2

và B 
với x  0; x  1
x 1
x 2 x 3
x 3

a) Tính giá trị biểu thức A khi x  9
b) Chứng minh B 

1
x 1

c) Tìm tất cả các giá trị của x để

A x
 5
B 4

Hướng dẫn giải
a)

Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta có

A

9  4 3 4 7

 .
9 1 3 1 2

Toán Họa

 0986 915 960

16


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|

b)

c)

B

3 x 1
2

x2 x 3
x 3



3 x 1
2

( x  3)( x  1)
x 3



3 x  1  2( x  1)
( x  3)( x  1)



x 3

( x  3)( x  1)

A x
 5
B 4

1
x 1

x 4
1
x
:
 5
x 1 x 1 4

 4( x  4)  x  20  x  4 x  4  0 

x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì

Bài 7: Cho biểu thức A 



x 2



2

 0  x 2  0 x  4

A x
 5
B 4

x2 x
x 1
1  2x  2 x


( Với x  0, x  1 )
x x 1 x x  x  x
x2  x

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn giải
a)

A

x 2
.
x  x 1

b)
Cách 1: Với x  0, x  1  x  x  1  x  1  1.
Vậy 0  A 

x 2

x  x 1

x 2
1
 1
 2.
x 1
x 1

Vì A nguyên nên A = 1 

x 2
 1  x  1 ( Không thỏa mãn).

x  x 1

Vậy khơng có giá trị ngun nào của x để giả trị A là một số nguyên.
Cách 2: Dùng miền giá trị

Toán Họa

 0986 915 960

17


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|

x 2
 Ax+(A-1) x  A  2  0
x  x 1

A

Trường hợp 1: A  0  x  2  x  
1
Trường hợp 2: A  0    (A  1) 2  4 A( A  2)  3 A2  6 A  1  0  A2  2 A   0
3
 A2  2 A  1 

4
4

 (A  1) 2   A  1; 2 doA  Z , A  0
3
3

Với A = 1 => x = 1 ( loại)
Với A = 2 

x 2
 2  x  0 ( loại).
x  x 1

1   x 1 1  x 


Bài 8: Cho biểu thức P  1 
 , (với x  0 và x  1 ).
:
x   x
x  x 

a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của biểu thức P tại x  2022  4 2018  2022  4 2018 .
Hướng dẫn giải
a)

Ta có 1 

x 1 1  x x 1 1  x




x
x x
x 1 x

Và



nên P 
b)

1
x 1

x
x

x 1 x 1
.

x
x 1








x  1
x 1

x

x

x 1
x 1

x 1
.
x

Có x  2022  4 2018  2022  4 2018







2018  2 

2018  2



2





2018  2



2

2018  2  2018  2  2018  2  4 thỏa mãn điều kiện x  0 và x  1 .

+ Vậy giá trị của biểu thức P tại x  4 là:

Toán Họa

4 1 3
 .
2
4

 0986 915 960

18


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|

 6
 ( a  1)2
10  2 a

(với a  0; a  1 ).
Bài 9: Cho biểu thức B  
 .
a

1
a
a

a

a

1
4
a


a) Rút gọn biểu thức B .
b) Đặt C  B.(a  a  1) . So sánh C và 1.
Hướng dẫn giải
a)

Với a  0; a  1 , ta có:

 6

10  2 a  ( a  1)2
B

.
 a  1 (a  1)( a  1)  4 a


b)

4 a 4
( a  1)2
4( a  1)
( a  1)2
1
1
.

.

.
. Vậy B 
(a  1)( a  1) 4 a
( a  1)( a  1)( a  1) 4 a
a
a

a  a 1
( a  1)2
1 
 0. Vậy C  1.

Với a  0; a  1 , ta có: C  1 
a
a

Bài 10: Cho biểu thức A 

x 1
x

:

x4 x 4  x2 x

x 
 , với x  0 .
x 2

a. Rút gọn biểu thức A .
b. Tìm tất cả các giá trị của x để A 

1
3 x

.

Hướng dẫn giải
a)

Ta có: A 



b)

x 1
x
x 
x 1

:


x4 x 4  x2 x
x  2  ( x  2)2

x 1
( x  2)2


x
x 
x 1
x ( x  1)
: 

:

 
2
x 2

x  2  ( x  2)
 x 2

Với x  0 ta có A 

Khi đó A 


x
x 
:


x 2
 x ( x  2)

1
3 x

1
và
x ( x  2)

1


x



x 2





x  0;
1

3 x



1
x ( x  2)

x  2  0.

x 23 

x 1  x 1

Suy ra: 0  x  1 .

Toán Họa

 0986 915 960

19

8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|

 x x x x
x 3
x 1
1

(với x  0; x  1 và x  ).
.
4
1  x  2x  x 1
 x x 1

Bài 11: Cho biểu thức B  

Tìm tất cả các giá trị của x để B  0 .
Hướng dẫn giải
a)

Ta có A  25  3 4.2  2 9.2  5  6 2  6 2  5 . Vậy A  5 .

b)


Ta có B  







x x  x 1






x


 x 1





x 1 x  x 1







x  3

x 1
.
x 1  2x  x  1





x 1
x 3
.
x 1  2 x 1


x  1

x 1

2 x  3 x 1 2 x  3
.

.
x 1 2 x 1 2 x 1

Vì x  0 nên 2 x  3  0 , do đó B  0 khi 2 x  1  0  x 
Mà x  0; x  1 và x 

1
.
4

1
1
nên ta được kết quả 0  x  .
4
4

1  x 2
 1

Bài 12: Cho biểu thức V  
với x  0, x  0 .

x 2
x
 x 2
a) Rút gọn biểu thức V .
1
b) Tìm giá trị của x để V  .
3

Hướng dẫn giải
a)

1  x 2
 1
V 




x 2
x
 x 2

b)

V

1

3

Toán Họa

x 2 x 2



x 2



x 2



x 2

x

2
x 2

2
1
  x  2  6  x  64 ( thỏa mãn)
x 2 3

 0986 915 960

20


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|

x 2
3
20  2 x

và B 
với x  0, x  25 .
x  25
x 5
x 5

Bài 13: Cho hai biểu thức A 

1) Tính giá trị biểu thức A khi x  9 .

1
.
x 5

2) Chứng minh rằng B 

3) Tìm tất cả các giá trị của x để A  B. x  4 .
Hướng dẫn giải
1)

Tính giá trị biểu thức A khi x  9 .

9  2 3 2
5


2
9 5 35

Khi x  9 ta có A 

2)

1
.
x 5

Chứng minh rằng B 

Với x  0, x  25 thì B 

3

3)





x  5

x  5  20  2 x
x 5





3
20  2 x


x  15
x 5
3 x  15  20  2 x



x 5



x 5



3

x 5



20  2 x



x 5



x 5

x 5



x 5



x 5







1
(đpcm)
x 5

Tìm tất cả các giá trị của để A  B. x  4 .
Với x  0, x  25 Ta có: A  B. x  4



x 2

x 5

1
. x4  x 2  x4
x 5

Nếu x  4, x  25 thì (*) trở thành :
 x x 6  0 

Do



x  2  0 nên

x 3



Toán Họa

x 2 x4



x 2 0

x  3  x  9 (thỏa mãn)

Nếu 0  x  4 thì (*) trở thành :
 x x 20 

(*)





x 1

x 2  4 x



x 2 0

 0986 915 960

21


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|
Do

x  2  0 nên

x  1  x  1 (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị x  1 và x  9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

x
x  x x  6
x 1
, với x  0, x  1 .


x 2
x  x 2

x 1

Bài 14: Cho biểu thức : P 

a) Rút gọn biểu thức P .

 x  27  .P

b) Cho biểu thức Q 



x 3



x 2

, với x  0, x  1, x  4 . Chứng minh Q  6.



Hướng dẫn giải
a)

Ta có
x
x  x x  6
x 1



x 2
x x 2
x 1

P

x






b)





x 1  x  x x  6 





x 1



x 2



x 1

x 2





x  x  x x x 6 x 3 x 2





x 1

x 2

x  x x  4 x  4





x 1

x 2










 x 1

x 1  x  4
x 2



 x 2.

Với x  0, x  1, x  4 , ta có
 x  27  .P  x  27  x  9  36
Q
x 3
x 3
x 3
x 2



 x 3





36
 6 
x 3

Dấu “=” xẩy ra khi





x 3 

x 3

36
 6  12  6 . (co-si)
x 3

36

x 3



x 3



2

 36  x  9 .


 1
1 a
1 a
1

 1   với 0 < a < 1.
Bài 15: Cho biểu thức P  

2

a
1  a 2  1  a  a
 1 a  1 a

Toán Họa

 0986 915 960

22

8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|
Chứng minh rằng P = –1

Hướng dẫn giải

Với 0 < a < 1 ta có:


1 a
P

 1 a  1 a




1 a



2

1  a 1  a   


1 a



 1 a  1 a
1 a


2


2
  1  a  1 
2
2

a 
1 a   a





  (1  a )(1  a)  1 


a2
a
1 a  


 1 a 
 1 a 




  1  a. 1  a 1 
1 a
1 a


 

a2
a
1  a  1  a  
 1 a  1 a


1  a  1  a 2 1  a . 1  a  (1  a)  (1  a)
.
2a
1 a  1 a

1 a  1 a 

.
1 a  1 a





1 a  1 a





1 a  1 a



2

2a
1 a  1 a



2a
1 a 1 a
2a

 1
2a
2a

Bài 16: 1) Tính giá trị biểu thức : A 

x 1
khi x = 9.
x 1

1  x 1
 x2

2) Cho biểu thức P  
với x > 0; x  1 .
.
x  2  x 1
 x2 x
a) Chứng minh P 

x 1
.
x

b) Tìm giá trị của x để 2P = 2 x  5 .
Hướng dẫn giải

Toán Họa

 0986 915 960

23


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|
1.

Với x = 9 thì

2)

a) Chứng minh P 

x  9 3 A

3 1 4
 2
3 1 2

x 1
.
x

- Với x > 0; x  1 ta có


 x 1
x2
x
P  

 .
x
(
x

2)

x
(
x

2)

 x 1
P

P

x x 2
x 1
.
x ( x  2) x  1

x 1
x

( x  1)( x  2) x  1
.
=
x ( x  2)
x 1

- Vậy với x > 0; x  1 ta có P 

b)

- Với x > 0; x  1 ta có: P 

- Để 2P = 2 x  5 nên

x 1
.
x

x 1
x

2 x 1
 2 x 5
x

- Đưa về được phương trình 2 x  3 x  2  0

 x  2 (lo¹i)
1
 x  thỏa mãn điều kiện x > 0; x  1
- Tính được 
1
 x
4

2
Vậy với x 

1
thì 2P = 2 x  5
4

Bài 17: Cho hai biểu thức A = 9  4 5  5 và B =

x x
x 1

(x>0, x  1)
x
x 1

a) Rút gọn biểu thức A và B.
b) Tìm giá trị của x để 3 A  B  0 .
Hướng dẫn giải
a)

Ta có: A = 9  4 5  5  ( 5  2) 2  5

Toán Họa

 0986 915 960

24


8 Chủ đề Đại số 9 – Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 - THPT

|


B=

5  2  5  5  2  5  2 (vì

5  2)

x x
x 1
x.( x  1) ( x  1).( x  1)



x
x 1
x
x 1

 x 1 x 1  2 x

b)

3A + B = 0

 6  2 x  0 với x  0, x  1
x  3  x  9 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

2 x 6
Vậy với x = 9 thì 3A + B = 0
Bài 18: Cho biểu thức





A = 2 3  5 27  4 12 : 3

B=

(2  3) 2  3
2 3

a) Rút gọn biểu thức A và B
b) Tìm x biết B - 3 2 x  7 = A
Hướng dẫn giải
a)





A = 2 3  5 27  4 12 : 3





= 2 3  15 3  8 3 : 3
= 5 3 : 3 = -5

B

(2  3) 2  3




2 3


b)

 2  3 . 2  3  

2 3



2

2 3
 2  3. 2  3

(2  3)
43 1

7
B - 3 2 x  7 = A (ĐK: x  )
2

 1 - 3 2x  7 = - 5
 2 x  7 = 2  2x - 7 = 4  x  5, 5 (TMĐK)

Toán Họa

 0986 915 960

25