Tong hop ly thuyet Giai tich 12

G I Á O D Ụ C L À V Ũ K H Í M Ạ N H N H ẤT M À N G Ư Ờ I TA C Ó T H Ể S Ử D Ụ N G Đ Ể T H AY Đ Ổ I
CẢ THẾ GIỚI.
N.MANDELA

H Ọ C VẤ N D O N G Ư Ờ I S I Ê N G N Ă N G Đ ẠT Đ Ư Ợ C , TÀ I S Ả N D O N G Ư Ờ I T I N H T Ế S Ở H Ữ U ,
Q U Y Ề N LỢ I D O N G Ư Ờ I D Ũ N G CẢ M NẮ M G I Ữ , T H I Ê N Đ Ư Ờ N G D O N G Ư Ờ I L Ư Ơ N G
T H I Ệ N X ÂY D Ự N G .
FRANKLIN (MỸ)

… M U Ố N X ÂY D Ự N G Đ ẤT N Ư Ớ C , T R Ư Ớ C H Ế T P H Ả I P H ÁT T R I Ể N G I Á O D Ụ C . M U Ố N
T R Ị N Ư Ớ C , P H Ả I T R Ọ N G D Ụ N G N G Ư Ờ I TÀ I …
CHIẾU LẬP HỌC



LỤ C T R Í T U Y Ê N

T Ổ N G H Ợ P LÝ T H U Y Ế T
GIẢI TÍCH 12

N H À X U ẤT B Ả N H O C T R A C N G H I E M . V N


Bản quyền © 2019 Lục Trí Tun
xuất bả n bởi n h à x uất bản h octracnghiem.vn
Điều khoản bản quyền theo luật sở hữu trí tuệ số 50/2005/QH11; bạn không được phép sao chép tài liệu này ngoại trừ sự
cho phép của tác giả. Bạn có thể tìm hiểu thêm về luật bản quyền tại . Ngoại trừ sự cho phép của
tác giả, mọi hành vi i n sao , mua bán, kinh doan h thứ cấp đều vi phạm bản quyền theo luật bản quyền.
Xuất bản lần đầu, Tháng 5 năm 2019

Mục lục
1 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
1.1 Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Điều kiện đồng biến, nghịch biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Điều kiện của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng. . . .
1.1.3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa và cách tìm cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Cực trị hàm số bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Cực trị hàm số trùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Phương pháp chung tìm GTLN, GTNN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Ứng dụng cho hàm nhiều biến và bài toán thực tế. . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Tiệm cận của đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Tiệm cận ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Tiệm cận đứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ax + b
1.4.3 Bài toán hay về tiệm cận hàm y =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cx + d
1.5 Nhận dạng đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Đồ thị các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Suy đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Đồ thị của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Tương giao đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Số nghiệm, số giao điểm trường hợp cô lập được tham số . . . . . . . . . . .
1.6.2 Số giao điểm, tọa độ giao điểm dựa vào phương trình hồnh độ giao điểm.
1.7 Phương trình tiếp tuyến, tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Các dạng cơ bản về phương trình tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7.2 Điều kiện hai đồ thị tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Điểm bất động của họ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Điểm trên đồ thị có tính chất theo u cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Quỹ tích điểm trên họ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 MŨ VÀ LOGARIT
2.1 Lũy thừa và hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Lũy thừa và các công thức lũy thừa . . . . .
2.1.2 Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Công thức lãi gộp và ứng dụng lũy thừa . .
2.2 Logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa và công thức Logarit . . . . . . .
2.3 Hàm số mũ và hàm số Logarit . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Tổng hợp hàm số mũ và hàm số logarit . . .
2.4 Phương trình và bất phương trình mũ . . . . . . . .
2.4.1 Phương trình và bất phương trình mũ cơ bản
2.4.2 Các phương pháp cơ bản . . . . . . . . . . .
2.5 Phương trình và bất phương trình Logarit . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
1
2
5
7
7
8
10
12
12
13
14
15
15
15

. . . 16
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

17
17
19
21
23
24
24
28
28
29
29
29
30
30

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

31
31

31
33
33
36
36
37
37
38
39
39
41


2.5.1 Phương trình và bất phương trình logarit cơ bản
2.5.2 Các phương pháp cơ bản . . . . . . . . . . . . .
Hệ phương trình mũ và logarit . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Phương pháp thường dùng . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

41
42
42
43

3 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG.
3.1 Nguyên hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Khái niệm nguyên hàm và các tính chất. . . . . .
3.1.2 Bảng các nguyên hàm cơ bản và ứng dụng. . . .
3.1.3 Phương pháp đổi biển số. . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Phương pháp nguyên hàm từng phần. . . . . . .
3.2 Tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Khái niệm tích phân và các tính chất. . . . . . .
3.2.2 Đọc thêm: Tích phân có cận là hàm số . . . . . .
3.2.3 Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Phương pháp tích phân từng phần. . . . . . . .
3.2.5 Đọc thêm: Một số dạng tích phân đặc biệt. . . .
3.2.6 Đọc thêm: tích phân hàm ẩn . . . . . . . . . . .
3.3 Ứng dụng của tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Diện tích hình phẳng. . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Thể tích vật thể khi biết diện tích thiết diện. . . .
3.3.3 Thể tích khối trịn xoay. . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Ứng dụng trong vật lí và một số ứng dụng khác.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

44

44
44
45
46
49
50
50
51
52
53
53
56
60
60
62
64
65

4 SỐ PHỨC
4.1 Định nghĩa số phức và các phép toán . . . . . . . .
4.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Tính chất các phép tốn . . . . . . . . . . .
4.2 Phương trình trên tập số phức . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Phương trình quy về phương trình bậc hai
4.3 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện . . . . . . . . . .
4.3.1 Số phức thỏa mãn z1 z + z2 z = z3 . . . . . .
4.3.2 Số phức thỏa mãn điều kiện chứa z, z và |z|

4.3.3 Số phức thỏa mãn hệ thức chỉ chứa z và |z|
4.4 Dạng lượng giác của số phức (đọc thêm) . . . . . .
4.4.1 Định nghĩa dạng lượng giác của số phức .
4.4.2 Ứng dụng dạng lượng giác của số phức . .
4.5 Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . .
4.5.1 Xác định điểm biểu diễn số phức . . . . . .
4.5.2 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức . . . .
4.6 GTLN-GTNN của mô đun số phức . . . . . . . . .
4.6.1 Có ràng buộc về đường thẳng, đường trịn
4.6.2 Có ràng buộc về Elip . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Có ràng buộc khác . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

68

68
68
69
69
70
70
70
71
71
71
72
72
73
73
73
74
74
74
75
75
79
80

2.6

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.


Giới thiệu
Cuốn sách này tổng hợp lý thuyết các dạng tốn và cơng thức
nhanh giải bài tập giải tích 12 nhằm giúp học sinh ôn thi THPTQG được đầy đủ và thuận tiện.
Lục Trí Tuyên



ĐT: 0972.17.77.17

Chương 1
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
1.1 Sự biến thiên của hàm số
1.1.1 Điều kiện đồng biến, nghịch biến
Định lý 1.1.1: Điều kiện biến thiên
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên (a; b) nếu có:
f ′ (x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì đồng biến trên (a; b)
f ′ (x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì nghịch biến trên (a; b)
f ′ (x) = 0 ∀x ∈ (a; b) ⇔ y = c (hàm hằng) trên (a; b)
Điều ngược lại không đúng bởi:
Nếu f ′ (x) ≥ 0 (hoặc f ′ (x) ≤ 0) ∀x ∈ (a; b) (không đổi dấu trên (a; b)) và f (x) không là hàm
hằng trên (a; b) thì hàm số vẫn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b).
y

Trường hợp hàm hằng (y = c) thì hàm số không đồng biến
cũng không nghịch biến trên miền xác định của nó.

2

Về đặc đ iể m đồ t hị , hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) thì
đồ thị có hình dáng đi lên tính từ trái qua phải. Hàm số nghịch
biến trên (a; b) thì đồ thị có hình dáng đi xuống tính từ trái qua
phải.
Ví dụ, với hàm số có đồ thị hình 1.1, ta thấy ngay hàm số đồng
biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞). Hàm số nghịch biến
trên (0; 2).
Bảng b iế n th i ên cũng là một công cụ trực quan để quan sát
được các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Chẳng hạn,
hàm số y = −x4 + 4x2 − 3 có bảng biến thiên như hình 1.2.
x

√
− 2

−∞

y′

+

0

√

0
−

0

1

+

+∞

2

0

2
0

x

Hình 1.1: Đồ thị hàm số cho thấy hàm số đồng
biến trên (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên
(0; 2)
Hình 1.2: Bảng biến thiên của hàm số chỉ√
ra hàm
số √
đồng biến trên các khoảng
(−∞;
−
√
√ 2) và
(0; 2), nghịch biến trên (− 2; 0) và ( 2; +∞)

−

1

y
−∞

−3

−∞

Nh ư vậy , nếu ta xét dấu được đạo hàm của hàm số thì mọi
thơng tin về hàm số sẽ được sáng tỏ. Có thể nói, đạo hàm là trái
tim của hàm số. Do vậy, học sinh chỉ cần nắm chắc quy tắc xét dấu
một hàm số (biểu thức một biến) bất kỳ, thì có thể làm chủ được
bất cứ hàm số nào.
1


Lục Trí Tuyên

Định lý 1.1.2: Quy tắc xét dấu f ′ (x)
Hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′ (x) trên tập xác định D (f ′ (x) có thể khơng xác định trên D).
Ta xét dấu f ′ (x) theo các bước sau:
• Tìm các giá trị của x ∈ D sao cho f ′ (x) = 0 hoặc f ′ (x) không xác định (mẫu của f ′ (x) = 0).
Chẳng hạn x = x1 , x2 , ....
• Lập bảng xét dấu của f ′ (x) (cũng suy ra bảng biến thiên) bằng cách kiểm tra dấu của f ′ (x)
tại các khoảng đã được định ra. Có dạng:
x

−∞

y′

x1

x2
−

+

0

x3
+

+∞ +∞

0

+∞
−

Kiểm tra dấu bằng cách thay mỗi
khoảng một giá trị đại diện vào
f ′ (x) hoặc theo quy tắc: đổi dấu
qua nghiệm bội lẻ và không đổi
dấu qua nghiệm bội chẵn.

f (x3 )

y
−∞

−∞

f (x2 )

1.1.2 Điều kiện của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
khoảng.
Định lý 1.1.3: Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai
P (x) = ax + bx + c, a ̸= 0
2

+ Với ∆ ≤ 0: a.P (x) ≥ 0 ∀x ∈ R
+ Với ∆ > 0:
a.P (x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞; x1 ) ∪ (x2 ; +∞)
a.P (x) < 0 ⇔ x ∈ (x1 ; x2 )

Hệ quả:
P (x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔
P (x) ≤ 0 ∀x ∈ R ⇔

Ch ú ý :
Đối với hàm f (x) liên tục trên (a; b) và có f ′ (x) khơng đồng
nhất bằng 0 thì1 :
f (x) đồng biến trên (a; b) ⇔ f ′ (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b)
f (x) nghịch biến trên (a; b) ⇔ f ′ (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b)
Nếu f (x) liên tục trên [a; b] thì hàm số đồng biến (nghịch biến)

khoảng (a; b) hay trên đoạn [a; b] là tương đương. Khi đó, bài
tốn hỏi về điều kiện biến thiên trên khoảng hay trên đoạn không
cần phân biệt nữa.

2

{
a>0
∆≤0
{
a<0
∆≤0

f ′ (x) được gọi là đồng nhất bằng 0 trên (a; b)
nếu f ′ (x) = 0, ∀x ∈ (a; b)

1


ĐT: 0972.17.77.17

Hà m bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d, a ̸= 0
Dạng 1: Hàm bậc 3 đồng biến (nghịch biến) trên R
Ta có: f ′ (x) = Ax2 + Bx + C, A ̸= 0
Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi ⇔

{
A>0

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi ⇔

∆f ′ ≤ 0
{
A<0
∆f ′ ≤ 0

Dạng 2: Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a; b)
Ta có y ′ = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C. Nếu cơ lập được tham số thì khơng cần xét trường
hợp A = 0, nếu dùng định lý về dấu của tam thức bậc 2 thì phải xét riêng A = 0 nếu A chứa
tham số.
Cô lập được tham số m trong y ′ :
Hàm số đồng biến trên (a; b)
cô lập tham số m

⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ∈ [a; b]
←→
k(m), ∀x ∈ [a; b] ⇔ k(m) ≤ ming(x)
[a;b]

Hàm số nghịch biến trên (a; b)
cô lập tham số m

⇔ y ′ ≤ 0, ∀x ∈ [a; b]
←→
k(m), ∀x ∈ [a; b] ⇔ k(m) ≥ maxg(x)

Không cô lập được tham số trong y ′ :
Gọi S tập nghiệm của A.f ′ (x) ≥ 0 thì S = R
g(x) ≥ hoặc S = (−∞; x1 ] ∪ [x2 ; ∞)
Khi đó điều kiện:

+ A.f ′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ [a; b] ⊂ S
g(x) ≤ + A.f ′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇔ [a; b] ⊂ [x1 ; x2 ]

[a;b]

Ch ú ý: Đối với hàm bậc 3, hàm số đơn điệu trên (a; b) hay trên
[a; b] là tương đương.
Dạng 3: Hàm bậc 3 đồng biến (nghịch biến) trên khoảng có độ dài bằng l.
• Nếu b2 − 3ac ≤ 0 thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên R nên không thỏa mãn đề bài.
{
√
∆y ′
9a2 l2
b2 − 3ac > 0
2
• Vậy yêu cầu bài toán ⇔
⇔
= l ⇔ b − 3ac =
.
|3a|
4
|x1 − x2 | = l
Chú ý: Nếu bài tốn hỏi nghịch biến thì phải có a > 0 và đồng biến thì a < 0.

3


Lục Trí Tuyên

Hà m bậc nh ất tr ê n bậc nh ất y =

ax + b
, ad − bc ̸= 0.
cx + d

Hai dạng toán của hàm bậc nhất trên bậc nhất
Hàm số y =

ax + b
ad − bc
d
với c ̸= 0, ad − bc ̸= 0 có y ′ =
và TXĐ D = R \ {− }
2
cx + d
(cx + d)
c

Dạng 1: Điều kiện hàm số đồng biến, nghịch Dạng 2: Điều kiện hàm số đồng biến, nghịch
biến trên từng khoảng xác định:
biến trên (α; β):


+ Đồng biến: ad − bc > 0
ad − bc > 0
+ Đồng biến:
d

− ∈
/ (α; β)

+ Nghịch biến: ad − bc < 0
c

ad − bc < 0
Chú ý: Nếu ad − bc = 0 thì f (x) = const nên + Nghịch biến:
d

− ∈
/ (α; β)
khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.
c

Định lý 1.1.4: Điều kiện biến thiên của hàm hợp
Cho hàm số f (u(x)), ta có:
• Nếu t = u(x) đồng biến trên (a; b) thì f (u(x)) bảo tồn chiều biến thiên đối với hàm f (t),
nghĩa là
+ f (u(x)) đồng biến trên (a; b) ⇔ f (t) đồng biến trên (u(a); u(b)).
+ f (u(x)) nghịch biến trên (a; b) ⇔ f (t) nghịch biến trên (u(a); u(b)).
• Nếu t = u(x) nghịch biến trên (a; b) thì f (u(x)) đảo chiều biến thiên đối với hàm f (t), nghĩa
là
+ f (u(x)) đồng biến trên (a; b) ⇔ f (t) nghịch biến trên (u(b); u(a)).
+ f (u(x)) nghịch biến trên (a; b) ⇔ f (t) đồng biến trên (u(b); u(a)).

Ch ứng mi nh :
Đặt g(x) = f (u(x)) ta có g ′ (x) = f ′ (u(x)).u′ (x).
Nếu t = u(x) đồng biến trên (a; b) thì u′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b), do
đó dấu của g ′ (x) cùng dấu với dấu của f ′ (t)
với t ∈ (u(a); u(b)). Do đó g(x) bảo tồn chiều biến thiên so với
f (t).
Chứng minh tương tự trong trường hợp t = u(x) nghịch biến

trên (a; b).
Ví dụ 1.1.1
3
2
Tìm
( πtất
) cả các giá trị của m để hàm số y = cos x + cos x − m cos x − 4 đồng biến trên khoảng
0;
.
2

4


ĐT: 0972.17.77.17

Hướng dẫn
( π)
Đặt t = cos x, có t(x) nghịch biến trên 0;
.
2
3
Yêu cầu bài toán tương đương f (t) = t + t2 − mt − 4
nghịch biến trên (0; 1), hay
3t2 + 2t − m ≤ 0 ∀t ∈ [0; 1] ⇔ m ≥ 3t2 + 2t, ∀t ∈ [0; 1].
⇔ m ≥ max(3t2 + 2t) ⇔ m ≥ 5.
[0;1]

Ví dụ 1.1.2
Tìm tất cả các giá trị m để hàm số f (x) =

(π π )
cot x + m
nghịch biến trên
;
m cot x + 4
4 2

Hướng dẫn
(π π )
1
cot x nghịch biến trên
;
nên
4
4 2
thỏa mãn yêu cầu của bài.
(π π )
Với m ̸= 0, đặt t = cot x, thấy t(x) nghịch biến trên
;
4 2
t+m
đồng
nên yêu cầu bài toán tương đương g(t) =
mt + 4
biến trên (0; 1).


−2 < m < 2





 4 − m2 > 0
 
4
≤0
−
⇔
⇔
4

m
 − ∈

/ (0; 1)



4

m

−
≥1
m


 −2 < m < 2


[
⇔
⇔ m ∈ (−2; 2) \ {0}.
m>0



−4≤m<0
Với m = 0 thì y =

Vậy −2 < m < 2 là tất cả các giá trị m cần tìm.

1.1.3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số
Dạng 1: Giải phương trình bằng phương pháp hàm số
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K. Nếu hàm số có n khoảng đơn điệu trên K thì
phương trình f (x) = 0 có khơng q n nghiệm thuộc K.
Hệ quả:
• Nếu f ′ (x) cũng liên tục trên K và có khơng q n nghiệm thì f (x) có khơng q n+1 nghiệm.
Đặc biệt, f (x) liên tục và đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên K thì f (x) có khơng
q một nghiệm thuộc K.
• Hàm số f (x) liên tục và đơn điệu trên K và a, b ∈ K thì f (a) = f (b) ⇔ a = b.

5


Lục Trí Tuyên

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh bất đẳng thức:
A(x) ≥ B(x), ∀x ∈ K

có thể được giải bằng phương pháp sử dụng hàm số như sau:
+ Khảo sát hàm f (x) = A(x) − B(x) trên K.
+ Từ bảng biến thiên của f (x) chỉ ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K.

6


ĐT: 0972.17.77.17

1.2 Cực trị của hàm số
Trong mục này, ký hiệu TXĐ thay cho tập xác định của hàm số.
1.2.1 Định nghĩa và cách tìm cực trị của hàm số
Định nghĩa 1.2.1: Cực trị của hàm số
• Hàm số y = f (x) được gọi là đạt cực đại tại x0 ∈ TXĐ nếu tồn tại một số h > 0 sao cho
khoảng (h − x0 ; h + x0 ) ⊂ TXĐ và f (x0 ) > f (x) với mọi x ∈ (h − x0 ; h + x0 ) \ {x0 }. Có nghĩa
là f (x0 ) là giá trị lớn nhất so với “hàng xóm hai bên” x0 , x0 gọi là điểm cực đại của hàm số
f (x), f (x0 ) là giá trị cực đại, điểm A (x0 ; f (x0 )) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
• Hàm số y = f (x) được gọi là đạt cực tiểu tại x0 ∈ TXĐ nếu tồn tại một số h > 0 sao cho
khoảng (h − x0 ; h + x0 ) ⊂ TXĐ và f (x0 ) < f (x) với mọi x ∈ (h − x0 ; h + x0 ) \ {x0 }, x0 gọi là
điểm cực tiểu của hàm số f (x), f (x0 ) là giá trị cực tiểu, điểm A (x0 ; f (x0 )) gọi là điểm cực
tiểu của đồ thị hàm số.

Về mặt t rực quan , ta có thể hình dung định nghĩa cực đại,
cực tiểu của hàm số thông qua điều kiện đủ sau:
• Hàm số y = f (x) có x0 ∈ TXĐ và f ′ (x) đổi dấu từ dương sang âm qua x0 theo chiều từ trái sang
phải thì hàm số đạt cực đại tại x0 .
• Hàm số y = f (x) có x0 ∈ TXĐ và f ′ (x) đổi dấu từ âm sang dương qua x0 theo chiều từ trái sang
phải thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 .
Có thể hình dung cực đại, cực tiểu của hàm số qua bảng biến thiên sau (chú ý rằng tại x0 , đạo hàm
của hàm số có thể bằng 0 hoặc khơng xác định):

x0

x
y′

+

x0

x
−

y′

−

0

+

f (x0 )-cực đại
y

y
f (x0 )-cực tiểu

Điều ngược lại nhìn chung khơng đúng. Nghĩa là, có những hàm số đạt cực đại tại x0 nhưng không
tồn tại số h > 0 nào để f ′ (x) > 0 với mọi x ∈ (x0 − h; x0 ) và f ′ (x) < 0 với mọi x ∈ (x0 ; x0 + h). Tương
tự đối với cực tiểu. Việc lấy phản ví dụ là khó đối với học sinh phổ thơng nên tác giả không đề cập ở

đây.

7


Lục Trí Tuyên

Ch ú ý , cực đại và cực tiểu của hàm số gọi chung là cực trị. Tại
x0 , đạo hàm của hàm số có thể bằng 0 hoặc khơng xác định. Về
hình ảnh đồ thị, Hình 1.3 cho thấy hàm số đạt cực tiểu tại x0 mặc
dù đồ thị rất ”nhọn” tại điểm (x0 ; f (x0 )). Thực tế, đây là hình
ảnh của trường hợp đạo hàm không tồn tại tại x0 .

y

f (x0 )

0

Trườ ng h ợ p rất khó để lập được bảng biến thiên của hàm số
(như hàm lượng giác), thì có cách nào kiểm soát được cực trị của
hàm số? May mắn thay, quy tắc sau đây giúp học sinh trả lời
được câu hỏi này.

x0

x

Hình 1.3: Cực tiểu hàm số đạt được tại đó đạo
hàm khơng xác định

Định lý 1.2.1: Điều kiện đủ của cực trị
Cho hàm số y = f (x) có x0 ∈ TXĐ nếu thấy:
{
f ′ (x0 ) = 0
thì hàm số đạt cực đại tại x0
•
f ′′ (x0 ) < 0
{
f ′ (x0 ) = 0
•
thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
f ′′ (x0 ) > 0
{
f ′ (x0 ) = 0
•
thì khơng kết luận được gì
f ′′ (x0 ) = 0
về cực trị của hàm số tại x0 (có thể đạt cực
trị, cũng có thể khơng).

Quy tắc áp dụng (cho những hàm có f ′ (x) và
f ′′ (x) xác định trên TXĐ của f (x)):
• Tính f ′ (x) và giải f ′ (x) = 0 được x =
x1 , x 2 , · · · .
• Tính f ′′ (x1 ), f ′′ (x2 ), · · · .
• Kết luận dựa vào dấu của f ′′ (x1 ), f ′′ (x2 ), · · · .

Đá ng ti ếc đ i ề u ngư ợc l ại , nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì chưa thể khẳng định f ′′ (x0 ) dương
hay âm, thậm chí cũng chưa dám khẳng định f ′ (x0 ) = 0 vì cịn có trường hợp đạo hàm khơng xác

định tại x0 . Vì vậy, Định lý 1.2.1 không phải điều kiện CẦN VÀ ĐỦ cho cực trị hàm số.

Tuy n hi ên , đối với các hàm số mà f ′ (x) cũng xác định trên TXĐ của f (x) thì hàm số đạt cực trị tại
x0 suy ra f ′ (x0 ) = 0 (vì f ′ (x) khơng có điểm khơng xác định). Khi đó, học sinh YÊN TÂM dùng điều
kiện f ′ (x0 ) = 0 như điều kiện cần của cực trị hàm số.

1.2.2 Cực trị hàm số bậc ba

Kế t q uả Định lý 1.2.1 chỉ làm điều kiện đủ cho một hàm số nói
chung. Nhưng đối với hàm bậc ba2 , đó lại là điều kiện cần và
đủ.
8

Hàm bậc 3 dạng y = ax3 +bx2 +cx+d, (a ̸= 0).
Trong trường hợp a chứa tham số, học sinh lưu
ý XÉT RIÊNG a = 0
2


ĐT: 0972.17.77.17

Dạng 1: Điều kiện về số cực trị của hàm số
Hàm bậc 3
y = ax3 + bx2 + cx + d, a ̸= 0
có đạo hàm

y ′ = 3ax2 + 2bx + c

• Khơng có cực trị ⇔ y ′ không đổi dấu trên R hay ∆′y′ ≤ 0 ⇔ b2 − 3ac ≤ 0.
• Có cực trị (có hai cực trị) ⇔ y ′ có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆′y′ > 0 ⇔ b2 − 3ac > 0.

Dạng 2: Điều kiện hàm số đạt cực trị tại điểm xác định
Hàm bậc 3
y = ax3 + bx2 + cx + d, a ̸= 0
{
f ′ (x0 ) = 0
• Đạt cực đại tại x0 khi và chỉ khi
f ′′ (x0 ) < 0.
{
f ′ (x0 ) = 0
• Đạt cực tiểu tại x0 khi và chỉ khi
f ′′ (x0 ) > 0.

Họ c si nh ph â n b iệ t rõ , đây chính là Định lý 1.2.1 nhưng đối
với hàm số bậc 3, điều kiện trong định lý là điều kiện CẦN VÀ
ĐỦ của cực trị hàm số.
Dạng 3: Điều kiện về hai cực trị của hàm số
Với điều kiện hàm số có 2 cực trị: ∆′y′ > 0 ⇔ b2 − 3ac > 0. Gọi x1 , x2 là hai điểm cực trị của
hàm số, thì x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình
3ax2 + 2bx + c = 0.
Theo định lý Viet có


x1 + x2 = − 2b
3a
x .x = c
1 2
3a
Một số câu hỏi thường gặp sử dụng Viet:
• Tìm điều kiện thỏa mãn x21 + x22 = k > 0 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 .x2 = k.
• Hai điểm cực trị của đồ thị cách đều trục tung: ⇔ x1 = −x2 ⇔ x1 + x2 = 0.

• Hai điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía trục tung: ⇔ x1 .x2 < 0.
{
x1 + x2 > 0
• Hai điểm cực trị của đồ thị nằm về bên phải trục tung: ⇔
x1 .x2 > 0
√
√
√
∆
−b− ∆
−b+ ∆
• Hiệu hai điểm điểm cực trị |x1 − x2 | =
−
=
.
2A
2A
|A|

9


Lục Trí Tuyên

Th ực ch ất dạng này là bài tốn về nghiệm của phương trình
bậc hai.
Dạng 4: Tính chất về tọa độ cực trị của đồ thị hàm số
Với điều kiện b2 − 3ac > 0, gọi A(x1 ; y1 = f (x1 )) và B(x2 ; y2 = f (x2 )) là 2 điểm cực trị của đồ
thị với x1 , x2 là 2 nghiệm của f ′ (x) = 0. Khi đó
• Phương trình đường thẳng d qua 2 cực trị của đồ thị

2
d : y = kx + e , với k = −
3

(

)
b2 − 3ac
∆
bc
=−
, e=d−
3a
18a
9a

(kx + e thực chất là phần dư trong phép chia đa thức f (x) cho f ′ (x))
• Bây giờ tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị A(x1 ; kx1 + e) và B(x2 ; kx2 + e). Nên có
√
√
√
∆y ′
• AB = k 2 + 1 |x1 − x2 | = k 2 + 1.
3 |a|
−→ −−→
0
• AOB = 90 ⇔ OA.OB = 0 ⇔ x1 .x2 + (kx1 + e)(kx2 + e) = 0
√
1 x1 kx1 + e
|e|

|e| ∆y′
• S∆OAB =
=
. |x1 − x2 | =
.
2 x2 kx2 + e
2
2 3 |a|
• yCĐ .yCT = (kx1 + e)(kx2 + e)
−b
; yI = f (xI ). Khi
3a
đồ thị hàm số có hai cực trị thì I là trung điểm của AB. Điểm I còn gọi là điểm uốn của đồ
thị hàm số.

• Tâm đối xứng của đồ thị I(xI ; yI ) được tìm bằng f ′′ (xI ) = 0 ⇔ xI =

1.2.3 Cực trị hàm số trùng phương

Hà m trù ng ph ư ơng dạng y = ax4 + bx2 + c dễ dàng giải tường minh các cực trị của hàm số cũng
như tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số. Bởi vì rất dễ giải được nghiệm của đạo hàm
y ′ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)
Nếu a = 0, hàm số suy biến thành hàm bậc hai y = bx2 + c với b ̸= 0.
Nếu b = 0 thì hàm số là hàm hằng y = c. Trường hợp này dễ dàng xét trực tiếp.

x=0
Nếu a ̸= 0, phương trình y ′ = 0 ⇔ 
b Số nghiệm của phương trình này rõ ràng phụ thuộc
x2 = −
2a

vào dấu của ab.
10


ĐT: 0972.17.77.17

Dạng 1: Số cực trị của hàm trùng phương
Từ số nghiệm của phương trình 2x(2ax2 + b) = 0. Xét trường hợp a2 + b2 ̸= 0.
• Hàm số có duy nhất một cực trị tại x = 0 khi ab ≥ 0
Cực tiểu duy nhất ⇔

{
a≥0

Cực

b≥0

y

đại

duy

nhất

{
a≤0

⇔

b≤0

y

x

O

x

O

• Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi ab < 0
1 cực đại, 2 cực tiểu ⇔

{
a>0

1 cực tiểu, 2 cực đại ⇔

b<0

y

O

{
a<0
b>0

y

x

O

x

11


Lục Trí Tuyên

Dạng 2: Tính chất tọa độ của cực trị của đồ thị hàm số
• Với ab ≥ 0, đồ thị hàm số có duy nhất một điểm cực trị A(0; c).
• Với ab < 0, đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị
√

 √

2
b
b2
−b −∆
−b −∆
A(0; c); B 
;
= − + c ; C −
;

= − + c
2a 4a
4a
2a 4a
4a
với ∆ =(b2 − 4ac.
)
b2
Gọi M − ; 0 là trung điểm của BC. Ta có:
4a
- Tam giác ABC luôn cân tại A.
- Tam giác ABC đều ⇔ AB = BC ⇔ b3 + 24a = 0
−−→ −→
- Tam giác ABC vuông cân ⇔ AB.AC = 0 ⇔ b3 + 8a = 0
- Diện tích ABC bằng S ⇔ 32a3 .S 2 + b5 = 0
- Góc BAC = α ⇔ b3 + 8a. cot2

α
=0
2

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC: R =

AB 2
b3 − 8a
=
2AM
8 |a| b

1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Họ c si nh cần phâ n biệ t giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ
nhất (GTNN) của hàm số với cực đại và cực tiểu của hàm số. Sự
khác nhau cơ bản nhất chính là ”phạm vi” quan tâm của ẩn. Nói
đến GTLN, GTNN ln phải xét trên tập nào (phạm vi) của biến
mà ở đó tồn tại giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất. Cụ thể ở các nội
dung dưới đây.
1.3.1 Phương pháp chung tìm GTLN, GTNN
Định nghĩa 1.3.1
Cho hàm số y = f (x) xác định trên một tập D ⊂ R. Nếu tồn tại x0 ∈ D sao cho:
{
f (x) ≤ M không đổi ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D : f (x0 ) = M

{
f (x) ≥ m không đổi ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D : f (x0 ) = m

thì M được gọi là giá trị lớn nhất của f (x) trên thì M được gọi là giá trị nhỏ nhất của f (x) trên
D. Ký hiệu:
D. Ký hiệu:
M = max f (x)
D

12

m = min f (x)
D

ĐT: 0972.17.77.17

Nh ư vậy , giá trị cực đại hay cực tiểu của hàm số có thể được
hiểu là GTLN hay GTNN trên một lân cận (một khoảng rất nhỏ)
chứa x0 .
Khi bài tốn khơng nói tìm GTLN, GTNN trên tập nào thì mặc
định là trên tập xác định của hàm số.
Cách chung nhất tìm GTLN và GTNN của hàm số
Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên K (không như khoảng đồng biến nghịch biến, K
ở đây có thể là khoảng, đoạn hoặc hợp của nhiều khoảng, đoạn) mà hàm số xác định trên đó.
Việc cần làm đơn giản chỉ là
Lập bảng biến thiên của hàm số trên K
Căn cứ vào bảng biến thiên đưa ra kết luận của bài tốn.

1.3.2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].
Định lý 1.3.1: Tìm GTLN và GTNN trên một đoạn
Hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]. Khi đó ta có
• Hàm số ln có cả GTLN và GTNN trên • Quy tắc tìm GTLN, GTNN
[a; b]
⋆ Tính f ′ (x)
M = max f (x)
[a;b]

⋆ Tìm x tại đó f ′ (x) = 0 hoặc f ′ (x) không
xác định. Giả sử được x1 , x2 , ... ∈ (a; b)
⋆ Tính f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ), ...

m = min f (x)
[a;b]

M = max{f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ), ...}
m = min{f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ), ...}

13


Lục Trí Tuyên

1.3.3 Ứng dụng cho hàm nhiều biến và bài toán thực tế.
Dạng 1: Đổi biến số
Phương pháp đổi biến số nhằm mục đích đơn giản hóa hàm đang xét so với biến mới. Thường
áp dụng trong các tính huống:
Dạng hàm hợp y = f (u(x)). Ví dụ:
• y = f (sin x) ⇒ t = sin x

Dạng hai biến y = f (x, y) khơng ràng buộc.
Ví dụ:
( )
x
x
• y=f
⇒t=
y
y
• y = f (sin x ± cos x, sin x. cos x) ⇒ t =
sin x ± cos x
• y = f (x + y) ⇒ t = x + y
(
)
x y

x y
√
√
• y=f
±
⇒t= ±
y x
y x
• y = f ( u(x)) ⇒ t = u(x)
Dạng 2: Đưa về hàm 1 ẩn
Bài tốn: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức
P (x, y)
với ràng buộc
g(x, y) = 0
2

Cách giải chung:
• Từ g(x, y) = 0 ⇒ y = u(x) với x ∈ K (khoảng hoặc đoạn).

Với bài tốn tìm GTLN, GTLNN mà đánh giá
qua nhiều lần thì phải đảm bảo đẳng thức đồng
thời xảy ra tại các lần đánh giá. Do đó, NHẤT
THIẾT phải kiểm tra dấu ”=” xảy ra.

• Thế vào P (x, y) được P (x, y) = P (x, u(x)) = f (x).
• Tìm GTLN, GTNN của f (x) trên K.
Dạng 3: Bài toán thực tế
Bài toán thực tế là bài toán diễn đạt bằng lời gắn với tình huống gặp phải trong thực tế. Bài
tốn đặc trưng là:
Tìm GTLN hoặc GTNN của đại lượng P của tình huống biết một số thơng tin nhất định.

Các bước giải đặc trưng:
• Tính P theo các đại lượng chưa biết P = P (x, y, ..)
• Từ thơng tin về bài tốn tìm ràng buộc của x, y, ... dạng g(x, y, ...) = 0
• Chuyển về bài toán Dạng 2.

14


ĐT: 0972.17.77.17

1.4 Tiệm cận của đồ thị hàm số
1.4.1 Tiệm cận ngang
Định nghĩa 1.4.1: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Đường thẳng y = y0 (y0 hữu hạn) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) nếu y0 =
lim f (x) hoặc y0 = lim f (x).

x→−∞

x→+∞

y

y = f (x)
lim f (x) = y0

x→+∞

y = y0
x

0

Như vậy, muốn tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, chỉ cần tính:
lim f (x) = y0

x→±∞

1.4.2 Tiệm cận đứng
Định nghĩa 1.4.2: Tiệm cận đứng
Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) khi một trong 4 giới
hạn sau xảy ra:

lim f (x) = +∞

lim f (x) = +∞

x→x−
0

x→x+
0

lim f (x) = −∞

lim f (x) = −∞

x→x−
0

x→x+

0

y
y
lim f (x) = +∞

x→x−
0

lim f (x) = +∞

x = x0

0

x0

x = x0

x→x+
0

x

0

x0

x

15


Lục Trí Tun

Ta k h ơng t h ể dùng định nghĩa để tìm ra x0 mà chỉ dùng để
kiểm tra khi đã biết x0 . Vậy dấu hiệu nào để tìm được x0 ? Căn
cứ vào định nghĩa, để x = x0 là đường tiệm cận đứng, x0 cần
thỏa mãn các điều kiện:
• Ngoại trừ hàm số logarit, các hàm số trong chương trình phổ thơng đều phải là hàm phân
thức thì đồ thị mới có thể có tiệm cận đứng. Khi đó, x0 là nghiệm của mẫu (ngược lại x0 là
nghiệm của mẫu nhưng đường x = x0 chưa chắc là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số).
• Nếu x0 là nghiệm của mẫu thức đồng thời là nghiệm của tử thức thì sau khi phân tích cả tử
và mẫu thành nhân tử (x − x0 ) và giản ước nhân tử chung, phải vẫn còn nhân tử (x − x0 ) ở
dưới mẫu (tử giản ước khơng hết).
√
• Nếu x0 là nghiệm của mẫu và f (x) chứa A(x) thì A(x0 ) ≥ 0 (để hàm số xác định ít nhất
một trong 2 bên x0 ).

1.4.3 Bài toán hay về tiệm cận hàm y =

ax + b
cx + d

Tính chất đặc biệt về tiệm cận đồ thị hàm hữu tỉ bậc nhất
ax + b
, ad − bc ̸= 0 có đồ thị (C). Gọi M là điểm thuộc (C) và I là giao
cx + d
điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A, B.
Có các khẳng định sau:

• M là trung điểm AB.
Hàm phân thức y =

• Diện tích tam giác IAB khơng đổi.
• Độ dài đoạn AB nhỏ nhất ⇔ f ′ (xM ) = ±1.
• Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất ⇔ f ′ (xM ) = ±1.
• Độ dài đoạng IM nhỏ nhất ⇔ f ′ (xM ) = ±1.
• M, N nằm 2 nhánh của (C) sao cho M N nhỏ nhất ⇔ f ′ (xM ) = f ′ (xN ) = ±1.
• Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận nhỏ nhất ⇔ f ′ (xM ) = ±1.

16


ĐT: 0972.17.77.17

1.5 Nhận dạng đồ thị của hàm số
1.5.1 Đồ thị các hàm cơ bản

c ác t rư ờng hợp hà m bậc ba
y = ax3 + bx2 + cx + d, a ̸= 0
a>0

a<0

y

∆′y′ > 0

y

U

U
x

0
y

∆′y′ = 0

y

U

U
x

0
y

∆′y′ < 0

x

0
y

U
0

x

0

U
x

0

x

17