SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THẾ NGHĨA

SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA
TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THẾ NGHĨA

SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA
TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành
Mã số

: Phương pháp Tốn sơ cấp
: 60 46 01 13

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN DANH NAM

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Mục lục
Trang
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .....................................................................2
1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hịa ..........................................................2
1.2. Chùm đƣờng thẳng và tứ giác tồn phần .............................................................5
1.3. Đƣờng tròn trực giao ............................................................................................9
1.4. Cực và đƣờng đối cực ..........................................................................................9
1.5. Cách xác định cực và đƣờng đối cực .................................................................15
Chương 2: SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG GIẢI TỐN HÌNH
HỌC PHẲNG ..........................................................................................................19
2.1. Chứng minh hàng điểm điều hịa .......................................................................19
2.2. Chứng minh vng góc ......................................................................................25
2.3. Chứng minh song song.......................................................................................31
2.4. Chứng minh thẳng hàng .....................................................................................33
2.5. Chứng minh đồng quy ........................................................................................40
2.6. Chứng minh điểm cố định ..................................................................................46
2.7. Chứng minh đẳng thức .......................................................................................56
2.8. Một số bài toán khác ..........................................................................................64
KẾT LUẬN ..............................................................................................................72
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................73


1

LỜI MỞ ĐẦU
Hình học phẳng là một chủ đề hấp dẫn trong các kì thi học sinh giỏi. Một bài
tốn hình học phẳng ln có thể đƣợc giải bằng nhiều cách khác nhau, trong đó áp
dụng các khái niệm “hàng điểm điều hòa”, “cực và đƣờng đối cực” đƣợc vận dụng
để giải các bài toán sẽ cho lời giải một cách ngắn gọn và đẹp mắt. Đây là những
công cụ mạnh và thú vị của hình học. Kiến thức về chùm đƣờng thẳng, phép chiếu
xuyên tâm, đặc biệt là chùm đƣờng thẳng điều hịa, tứ giác tồn phần cũng đƣợc sử
dụng để tìm kiếm các hàng điểm điều hịa. Khi xuất hiện các hàng điểm điều hòa,
chúng ta dễ dàng sử dụng các kết quả liên quan nhƣ hệ thức Đề-các, hệ thức Niutơn
và hệ thức Mácloranh trong giải bài tốn hình học phẳng.
Với hƣớng khai thác các hàng điểm điều hòa đơn giản và các hàng điểm điều
hòa xuất hiện từ quan hệ giữa cực và đƣờng đối cực của một điểm đối với một cặp
đƣờng thẳng cắt nhau hoặc đối với một đƣờng trịn nào đó để giải các dạng tốn
hình học nhƣ: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song
song, chứng minh vng góc, chứng minh điểm cố định, chứng minh đẳng thức, bài
toán quỹ tích và bài tốn dựng hình. Trong luận văn này, chúng tơi quan tâm đến
các bài tốn có liên quan đến hàng điểm điều hòa xuất hiện trong các cuộc thi học
sinh giỏi toán quốc gia và toán quốc tế. Các bài tốn về hàng điểm điều hịa trong
luận văn đã đƣợc lựa chọn với lời giải của có tính độc đáo và thú vị hơn so với các
phƣơng pháp thƣờng gặp. Do vậy, có thể nói kết quả của luận văn cung cấp một
công cụ mới cho học sinh trong việc tiếp cận và giải các bài toán hình học phẳng,
đặc biệt là các bài tốn xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi mơn Tốn.
Luận văn này đƣợc thực hiện tại Trƣờng Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Danh Nam. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hƣớng dẫn đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá
trình làm luận văn. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS và các
thầy cô giảng viên của Trƣờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giảng
dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

2

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Tỉ số đơn, tỉ số kép và hàng điểm điều hòa
1.1.1. Độ dài đại số
Trên đƣờng thẳng d chọn véctơ đơn vị 𝑒 thì ta có trục d và hƣớng của 𝑒 là
hƣớng của trục d.
Định nghĩa 1.1. Trên trục d, cho hai điểm A, B. Độ dài đại số của 𝐴𝐵 là một
số có giá trị tuyệt đối bằng 𝐴𝐵 và số đó dƣơng nếu 𝐴𝐵 cùng hƣớng với 𝑒 và số đó
âm nếu 𝐴𝐵 ngƣợc hƣớng với 𝑒. Kí hiệu:

AB

.

Các tính chất.
1)

AB   BA

2)

AB  BC  AC

.
(A, B, C thẳng hàng).

3) A1 A 2  A 2 A 3  ...  A n  1 A n  A1 A n (với mọi A i , i  1, n thẳng hàng).
1.1.2. Tỉ số đơn

Định nghĩa 1.2. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, tỉ số đơn của chúng lấy
theo thứ tự đó là tỉ số

CA

. Kí hiệu: (ABC).

CB

Định lý 1.1. Cho hai điểm A, B và một số thực k  1 thì tồn tại duy nhất điểm
C sao cho (ABC) = k.
Chứng minh.
Ta có (ABC) = k 

CA



 k  CA  kCB  CA  k CA  AB

CB



 CA  k AB  AC



CA  k AC  k AB  AC 

Suy ra, tồn tại duy nhất điểm C sao cho (ABC) = k.

k
k 1



A B ( k  1)


3
1.1.3. Tỉ số kép
Định nghĩa 1.3. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, tỉ số kép của chúng
lấy theo thứ tự đó là tỉ số

CA
CB

Vậy  A B C D  

CA
CB

:

:

DA

. Kí hiệu: (ABCD).

DB
DA
DB



 ABC 
 ABD 

.

Các tính chất.
1) Tỉ số kép của bốn điểm là khơng thay đổi trong các trƣờng hợp sau:
+ Nếu hốn vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối: (ABCD) = (CDAB).
+ Nếu đồng thời hoán vị hai điểm đầu và hai điểm cuối:
(ABCD) = (BADC)
+ Nếu viết chúng theo thứ tự ngƣợc lại: (ABCD) = (DCBA).
2) Tỉ số kép của bốn điểm thay đổi trong các trƣờng hợp:
+ Nếu hoán vị hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối thì tỉ số kép của bốn điểm trở
thành số đảo ngƣợc của nó:
(BACD) = (ABDC) 

1

 ABCD 

+ Nếu hốn vị hai điểm ở giữa hoặc hai điểm ở đầu và cuối thì tỉ số kép của
bốn điểm trở thành phần bù của 1:  A B C D   1   A C B D   1   D B C A  .
1.1.4. Hàng điểm điều hồ

Định nghĩa 1.4. Nếu (ABCD) = -1 thì ta nói bốn điểm A, B, C, D lập thành
một hàng điểm điều hoà hay A, B chia điều hoà C, D hay A, B liên hợp điều hoà đối
với C, D.
Các tính chất. Cho bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng, ta có:
1) Hệ thức Đề-các:  A B C D    1 

2



AB

2) Hệ thức Niutơn:  A B C D  
của đoạn thẳng AB).

1



AC

 1  IA  IC . ID
2

1

.

AD

(trong đó I là trung điểm


4

3) Hệ thức Mácloranh:

(trong đó J là trung điểm của đoạn

A C . A D  A B .A J

thẳng CD).
Chứng minh. Trên đƣờng thẳng AB, chọn O làm gốc toạ độ.
Đặt

OA

= a,

OB

= b,

=d–a;

Ta có  A B C D    1 

= d, ta có:

OD

=a–c;

CA  OA  OC
DA  OD  OA

= c,

OC

CB  OB  OC

DB  OD  OB

CA

:

CB

DA

a - c



=d-b
 

b - c

DB

=b-c

a - d
b - d

 (a - c )(b - d )  - (a - d )(b - c )

 2 ( a b + c d )  ( a + b )( c + d )

(1)
+ Chọn OA thì: OA = a = 0, AC = OC = c, AB = OB = b, AD = OD = d.
Từ (1) ta có 2cd = bc + bd 

2



b

+ Chọn O  I thì ta có

OA  OB

1



1

d

2



c



AB

1



AC

1

.

AD

hay a = - b.

Từ (1) ta có 2(- a2 + cd) = 0  a2 = cd  I A

2

 I C .I D

.

Chứng minh tƣơng tự đối với hệ thức Macsloranh.
Định lý 1.2. Nếu AD, AE lần lƣợt là phân giác trong, phân giác ngoài của
tam giác ABC (D, E thuộc đƣờng thẳng BC) thì (BCDE) = - 1.

A

B

D

C

E

Hình 1.1
Định lý 1.3. Cho tam giác ABC và điểm O không thuộc các đƣờng thẳng
chứa ba cạnh của tam giác. Các đƣờng thẳng AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA,
AB tại M, N, P và BC cắt NP tại Q. Khi đó ta có (BCMQ) = - 1.


5

A
P

N
O

B

M

Q

C

Hình 1.2
Định lý 1.4. Từ điểm S nằm ngồi đƣờng tròn (O) kẻ các tiếp tuyến SA, SB
tới (O) (A, B là các tiếp điểm ). Một đƣờng thẳng đi qua S và cắt (O) lần lƣợt tại M,
N, và AB cắt MN tại I. Khi đó (SIMN) = - 1.

Hình 1.3
1.2. Chùm đường thẳng và tứ giác tồn phần
1.2.1. Chùm đường thẳng
Định nghĩa 1.6. Trong mặt phẳng, cho tập hợp các đƣờng thẳng đồng quy tại
điểm S thì chúng lập nên một chùm đƣờng thẳng và S đƣợc gọi là tâm của chùm.
Tập hợp các đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với nhau lập
nên một chùm đƣờng thẳng và có tâm tại vơ tận.
S

Định lý 1.5. Một chùm bốn đƣờng thẳng

N’
M’

cắt một đƣờng thẳng theo hàng điểm có tỉ số kép
khơng thay đổi.

B’

l’

N
M

D’

C’

A’

Chứng minh.
* Trường hợp chùm đồng quy tại điểm S:

A

Gọi l là đƣờng thẳng cắt các đƣờng thẳng a, b, c,

a

B

C

D
c

b

Hình 1.4

l
d


6
d lần lƣợt tại A, B, C, D và l’ là đƣờng thẳng cắt các đƣờng thẳng a, b, c, d lần lƣợt
tại A’, B’, C’, D’. Ta cần chứng minh đẳng thức (ABCD) = (A’B’C’D’) (Hình 1.4).
Qua điểm B kẻ đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng a và cắt đƣờng
thẳng c tại N, cắt đƣờng thẳng d tại M.
Ta có:
CA
CB



SA

và

MB

DA



DB

SA
NB

Từ đó suy ra:

 ABCD  

CA
CB

:

DA



AB

SA

SA

:

MB

NB



NB

(1)

MB

Tƣơng tự, từ điểm B’ kẻ đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng a và cắt
đƣờng thẳng c, d lần lƣợt tại M’, N’.
Ta có  A ' B ' C ' D '  

N 'B '

(2)

M 'B '

Mặt khác, ta có:

NB
MB



N 'B '

(3)

M 'B '

Từ (1), (2) và (3) ta có (ABCD) = (A’B’C’D’).
* Trường hợp chùm song song: Nếu a // b // c // d thì ta ln có đẳng thức
(ABCD) = (A’B’C’D’).
Định nghĩa 1.7. Trong mặt phẳng cho chùm bốn đƣờng thẳng a, b, c, d. Một
đƣờng thẳng l bất kì cắt chùm đó tại A, B, C, D thì (ABCD) đƣợc gọi là tỉ số kép
của chùm bốn đƣờng thẳng a, b, c, d. Kí hiệu: (abcd) = (ABCD).
Nếu chùm đồng quy tại S thì ta kí hiệu:

S

S(abcd) = (ABCD).

l
N

Nếu (abcd) = - 1 thì ta có một chùm điều
hoà, hay a, b liên hợp điều hoà với c, d hay a, b

B

chia điều hoà c, d.
Định lý 1.6. Trong mặt phẳng cho chùm
bốn đƣờng thẳng đồng quy. Điều kiện cần và đủ

M
a

c

b

Hình 1.5

d


7
để chùm đó lập thành một chùm điều hồ là: Một đường thẳng bất kì song song với
một trong bốn đường thẳng đó bị ba đường thẳng cịn lại chia thành hai đoạn thẳng
bằng nhau.
Chứng minh. Kẻ đƣờng thẳng l song song với a và cắt b, c, d lần lƣợt tại M,
B, N.
Theo định lý trên, ta có:
NB

BCD  =

 A(abcd)

và (abcd) = -1

MB


NB

 1  N B   M B

MB

 B là trung điểm của đoạn thẳng MN hay MB = NB (Hình 1.5).
Hệ quả 1. Trong một chùm điều hồ nếu có hai đƣờng liên hợp vng góc
với nhau thì hai đƣờng đó là các đƣờng phân giác của các góc tạo bởi hai đƣờng cịn
lại (Hình 1.6a).
Hệ quả 2. Hai đƣờng phân giác của hai góc kề bù chia điều hồ hai cạnh của
góc đó (Hình 1.6b). Chùm đƣờng thẳng gồm hai cạnh của một góc và hai đƣờng
phân giác của góc đó đƣợc gọi là chùm phân giác.

S

S

b
D
c

C

A

B

d

a
a)

b)
Hình 1.6

Trong mặt phẳng, tập hợp các đƣờng thẳng đồng quy tại một điểm S, đƣợc
gọi là một chùm đƣờng thẳng tâm S.
Cho chùm bốn đƣờng thẳng a, b, c, d. Một đƣờng thẳng  bất kỳ cắt a, b, c,
d thứ tự tại A, B, C, D. Khi đó (ABCD) khơng phụ thuộc vào vị trí của  .Giá trị


8
không đổi của tỉ số kép (ABCD) đƣợc gọi là tỉ số kép của chùm bốn đƣờng thẳng a,
b, c, d, ký hiệu (abcd) hay S(abcd) khi cần quan tâm đến tâm của chùm.
1.2.2. Tứ giác toàn phần
Định nghĩa 1.8. Trong mặt phẳng, cho bốn đƣờng thẳng cắt nhau từng đơi
một và khơng có ba đƣờng nào đồng quy thì chúng lập thành một tứ giác toàn phần.
- Các đƣờng thẳng là các cạnh (có bốn cạnh).
- Giao của hai cạnh là đỉnh (có sáu đỉnh).
- Hai đỉnh khơng thuộc một cạnh là hai đỉnh đối diện (có ba cặp đỉnh đối diện).
- Đƣờng thẳng nối hai đỉnh đối diện là đƣờng chéo (có ba đƣờng chéo).
Cho tứ giác tồn phần ABCA’B’C’. Khi đó, ta có cặp đỉnh đối diện là (A, A’),
(B, B’), (C, C’); ba đƣờng chéo là AA’, BB’, CC’.
Định lý 1.7. Trong một tứ giác toàn phần, cặp đỉnh đối diện chia điều hoà hai
giao điểm của đƣờng chéo nối cặp đỉnh đối diện đó với hai đƣờng chéo còn lại.
Chứng minh. Gọi P = AA’BB’, Q = AA’CC’, R = BB’CC’.
Ta chứng minh (AA’PQ) = (BB’PR) = (CC’QR) = - 1. Ta có:
B(AA’PQ) = B’(AA’PQ) = B’(CC’RQ) = B(CC’RQ) = B(A’APQ).
 (AA’PQ) = (A’APQ)



 AA 'PQ  

1

 AA 'PQ 



 AA 'PQ 

Nếu (AA’PQ) = 1 thì ta có (AA’P) = (AA’Q) hay P  Q (vô lý).
Vậy (AA’PQ) = - 1.
Các tỉ số kép khác đƣợc chứng minh một cách tƣơng tự.

A
B
P
A’

B’

C
Q
Hình 1.7

C’

R

2

1.


9
1.3. Đường tròn trực giao
Định nghĩa 1.9. Hai đƣờng tròn gọi là trực giao với nhau tại một điểm chung
của chúng nếu tại điểm đó hai tiếp tuyến của hai đƣờng trịn vng góc với nhau.
Từ định nghĩa, ta dễ dàng suy ra đƣợc các kết quả sau:
Định lý 1.8. Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng tròn trực giao với nhau là bình
phƣơng khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng bình phƣơng các bán kính của chúng.
Định lý 1.9. Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng tròn trực giao với nhau là
phƣơng tích của tâm của một trong hai đƣờng trịn đó đối với đƣờng trịn thứ hai
bằng bình phƣơng bán kính của đƣờng trịn thứ nhất.
Định lý 1.10. Điều kiện cần và đủ để hai đƣờng trịn trực giao với nhau
là có một đƣờng kính nào đó của một trong hai đƣờng trịn bị đƣờng trịn kia
chia điều hoà.
Định nghĩa 1.10. Ngƣời ta gọi chùm đường trịn là một tập hợp các đƣờng
trịn kể từng đơi một, nhận một đƣờng thẳng duy nhất làm trục đẳng phƣơng.
Đƣờng thẳng đó gọi là trục đẳng phương của chùm.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, tâm các đƣờng tròn của một chùm phải nằm
trên một đƣờng thẳng gọi là đường chứa tâm của chùm và đƣờng thẳng này vng
góc với trục đẳng phƣơng của chùm.
Từ định nghĩa của chùm đƣờng tròn, ta suy ra hai định lý sau đây:
Định lý 1.11. Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đƣờng trịn lập thành
một chùm là có hai điểm mà mỗi điểm đều có cùng phƣơng tích đối với tất cả các
đƣờng trịn của tập hợp đó. Trục đẳng phƣơng của chùm là đƣờng thẳng nối hai
điểm nói trên.
Định lý 1.12. Điều kiện cần và đủ để một tập hợp các đƣờng trịn có tâm
thẳng hàng lập thành một chùm là có một điểm có cùng phƣơng tích đối với tất cả

các đƣờng trịn của tập hợp đó.
Trục đẳng phƣơng của chùm là đƣờng thẳng đi qua điểm nói trên và vng
góc với đƣờng chứa tâm.
1.4. Cực và đường đối cực
1.4.1. Đường đối cực của một điểm đối với hai đường thẳng cắt nhau


10
Định nghĩa 1.11. Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với hai
đƣờng thẳng đồng quy Ox, Oy nếu đƣờng thẳng MN cắt hai đƣờng thẳng đó tại hai
điểm A, B sao cho (MNAB) = -1.
Nếu (MNAB) = -1 thì ta cũng suy ra (ABMN) = -1 và khi đó hai điểm A và B
cũng liên hợp với nhau đối với hai đƣờng thẳng đồng quy OM, ON.
Bài tốn. Cho một điểm M khơng thuộc hai đƣờng thẳng Ox, Oy. Hãy tìm tập
hợp các điểm N liên hợp với M đối với hai đƣờng thẳng đã cho.
Lời giải. Qua M ta kẻ một đƣờng thẳng lần lƣợt cắt Ox, Oy tại A, B. Ta lấy
trên đƣờng thẳng đó một điểm N sao cho (MNAB) = -1 (Hình 2.1).
P
O
A’

M

B’

N’

N1
B

A

N

x

y

Q
z

Hình 2.1
Nếu kẻ đƣờng thẳng Oz đi qua O và N thì ta có chùm (OM, Oz, Ox, Oy) là
một chùm điều hồ. Do đó, mọi điểm của đƣờng thẳng Oz (trừ hai điểm P và Q) đều
liên hợp với điểm M đối với hai đƣờng thẳng đồng quy Ox, Oy (do hai điểm P và Q
thuộc Oz mà MP // Ox và MQ // Oy ta phải loại ra vì lúc đó các đƣờng thẳng MP và
MQ đều không cắt cả hai đƣờng thẳng Ox và Oy).
Ngƣợc lại, nếu N1 là một điểm không thuộc đƣờng thẳng Oz nói trên thì
khơng liên hợp với M vì khi đó nếu đƣờng thẳng MN1 cắt Ox, Oy, Oz lần lƣợt tại A’,
B’, N’ thì ta có: (MN’A’B’) = -1 cịn (MN1A’B’)  (MN’A’B’) nên (MN1A’B’)  -1.
Do đó, điểm N1 không liên hợp với M đối với hai đƣờng thẳng Ox và Oy.


11
Vậy tập hợp các điểm N liên hợp với điểm M đối với hai đƣờng thẳng Ox, Oy
là đƣờng thẳng Oz loại trừ hai điểm P, Q nói trên.
Định nghĩa 1.12. Đƣờng thẳng Oz trong bài toán trên gọi là đường đối cực
của điểm M đối với hai đường thẳng Ox, Oy. Điểm M gọi là cực của đường thẳng
Oz đối với hai đường thẳng đó.
Nhận xét. Muốn dựng đƣờng đối cực của một điểm M đối với hai đƣờng

thẳng Ox, Oy cho trƣớc, dựa vào tính chất của hình tứ giác tồn phần ta tìm hai
điểm P và Q phân biệt đều cùng liên hợp với M đối với Ox, Oy nói trên. Ta có PQ
là đƣờng đối cực của điểm M đối với Ox, Oy và PQ luôn đi qua điểm O (Hình 2.2a).
O
M
P
M
x

A

Q

N

O

B

y

a)

b)
Hình 2.2

1.4.2. Đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn
Định nghĩa 1.13. Hai điểm M và N gọi là liên hợp với nhau đối với đường trịn
(O), nếu đƣờng trịn đƣờng kính MN trực giao với đƣờng trịn (O) (Hình 2.2b).
Nếu đƣờng thẳng MN cắt đƣờng tròn (O) tại hai điểm A và B thì điều kiện

cần và đủ để M và N liên hợp với nhau đối với đƣờng tròn (O) cho trƣớc là tỉ số kép
(MNAB) = -1. Hai điểm M, N có thể liên hợp với nhau đối với đƣờng trịn (O) mà
đƣờng thẳng MN khơng cắt đƣờng trịn này.
Bài tốn. Cho đƣờng trịn (O) và một điểm M khơng trùng với tâm O của
đƣờng trịn đó. Hãy tìm tập hợp những điểm N liên hợp của M đối với đƣờng tròn
(O) đã cho.


12
Lời giải. Nếu N là điểm liên hợp của M đối với đƣờng trịn (O) thì theo định
nghĩa, đƣờng trịn đƣờng kính MN trực giao với đƣờng trịn (O). Khi đó, đƣờng kính
AB đi qua M của đƣờng trịn (O) bị đƣờng trịn đƣờng kính MN chia điều hồ. Gọi
H là giao điểm thứ hai của đƣờng trịn đƣờng kính MN với đƣờng thẳng AB.
Ta có (ABMH) = -1 (Hình 2.3). Trong hàng điểm điều hoà A, B, M và H,
điểm H hồn tồn đƣợc xác định vì ba điểm A, B, M đã đƣợc xác định. Mặt khác, do
MN là đƣờng kính nên MH  HN. Nói cách
khác, điểm N nằm trên đƣờng thẳng m vng
góc với đƣờng thẳng MO tại H.

N

Ngƣợc lại, nếu N’ là điểm bất kì của
đƣờng thẳng m thì đƣờng trịn đƣờng kính
MN’ đi qua H và do (ABMH) = -1 nên đƣờng

M

A

H

O

B

trịn đƣờng kính MN’ trực giao với đƣờng
tròn (O). Vậy điểm N’ liên hợp với M đối
với đƣờng trịn (O).

Hình 2.3

Vậy tập hợp điểm N liên hợp với
điểm M đối với một đƣờng trịn (O) cho trƣớc là một đƣờng thẳng m vng góc với
đƣờng thẳng MO tại H với (MHAB) = -1, trong đó A, B là giao điểm của đƣờng
thẳng MO với đƣờng tròn tâm O.
Định nghĩa 1.14. Đƣờng thẳng m trong bài toán trên gọi là đường đối cực
của điểm M đối với đường tròn (O). Điểm M gọi là cực của đường thẳng m đối với
đường trịn (O) nói trên.
Nhƣ vậy, mỗi điểm M không trùng với điểm O của đƣờng trịn tâm O có một
đƣờng đối cực xác định và ngƣợc lại, mỗi đƣờng thẳng không đi qua O có một điểm
cực xác định đối với một đƣờng trịn tâm O cho trƣớc.
Vì (ABMH) = -1 nên đƣờng đối cực m của điểm M đối với đƣờng tròn (O) sẽ
cắt, khơng cắt hay tiếp xúc với đƣờng trịn tâm O (Hình 2.4a,b,c).
Muốn dựng đƣờng đối cực của một điểm M đối với một đƣờng tròn tâm O
cho trƣớc, ta vẽ qua M hai cát tuyến MAB, MCD (Hình 2.5). Gọi P và Q lần lƣợt là
các điểm liên hợp với M nghĩa là (ABMP) = -1 và (CDMQ) = -1.


13

m

m

m

I
A

M

H O

R
B

H

A

M O

B

HM
A

O
B

S

K
a)

b)

c)

Hình 2.4
Ta suy ra PQ là đƣờng đối cực của điểm M. Ta có thể dựa vào tính chất của
hình tứ giác tồn phần để tìm các điểm P và Q liên hợp với M đối với A, B và C, D.

H

Đặc biệt, khi các cát tuyến đó trở
thành tiếp tuyến thì ba điểm P, A, B
trùng nhau và ba điểm C, Q, D cũng

B

trùng nhau.

A

Do đó, muốn dựng đƣờng đối
cực của một điểm M ta thƣờng làm
nhƣ sau:

P

O

M

- Nếu điểm M nằm ngồi

C

Q

D

đƣờng trịn (O) thì từ M ta vẽ hai
đƣờng tiếp tuyến MI, MK với đƣờng

Hình 2.5

trịn, trong đó I và K là hai tiếp điểm.
Khi đó, đƣờng thẳng IK là đƣờng đối cực của điểm M cho trƣớc (Hình 2.4a).
- Nếu điểm M nằm trong đƣờng trịn thì ta vẽ đƣờng thẳng vng góc với
MO tại M. Đƣờng thẳng này cắt đƣờng tròn tại hai điểm R và S (Hình 2.4b). Các
tiếp tuyến của đƣờng tròn tại R và S cắt nhau tại H. Đƣờng thẳng m vng góc với
đƣờng thẳng MO tại H là đƣờng đối cực của điểm M cho trƣớc.
- Nếu điểm M nằm trên đƣờng trịn thì tiếp tuyến tại M của đƣờng trịn chính
là đƣờng đối cực của điểm M cho trƣớc (Hình 2.4c).


14
1.4.3. Các tính chất của cực và đường đối cực đối với một đường tròn
1) Đối với một đƣờng tròn cho trƣớc, nếu đƣờng đối cực của điểm A đi

qua điểm B thì đƣờng đối cực của điểm B đi qua điểm A.
Chứng minh. Nếu điểm B nằm trên đƣờng đối cực a của điểm A thì A và B là
hai điểm liên hợp đối với đƣờng tròn cho trƣớc. Mặt khác ta biết rằng, tập hợp các
điểm liên hợp của điểm B là đƣờng đối cực
b của điểm B đó (Hình 2.6). Vậy điểm A

B

phải nằm trên đƣờng đối cực b của điểm B
(vai trò của A và B là bình đẳng).
Ta có: B  a  A  b.
Định nghĩa 1.15. Hai đƣờng thẳng
a, b đƣợc gọi là liên hợp với nhau đối với

b
A

một đường tròn cho trước nếu đƣờng này
đi qua cực của đƣờng kia.
2) Đối với một đƣờng tròn cho trƣớc,
các đƣờng đối cực của các điểm thẳng hàng

a
Hình 2.6

thì đồng quy và các cực của các đƣờng thẳng đồng quy thì thẳng hàng.
Chứng minh. Theo tính chất 1, giả sử các điểm A1, A2…, An nằm trên đƣờng
thẳng b nghĩa là các điểm Ai  b với i = 1, 2…, n thì điểm B thuộc các đƣờng thẳng b
và ai là các đƣờng đối cực của các điểm Ai. Vậy các đƣờng đối cực của các điểm Ai
đều đồng quy tại B.

Phần còn lại chứng minh tƣơng tự.
1.4.4. Phép đối cực
Trên mặt phẳng cho một đƣờng trịn cơ sở (C). Giả sử có một hình H gồm
các điểm và các đƣờng thẳng. Với mỗi điểm của hình H đều có các đƣờng đối cực
của nó đối với đƣờng trịn (C), với mỗi đƣờng thẳng của hình H có các điểm là cực
của nó.
Hình H' là tập hợp các đƣờng thẳng (gồm các đƣờng đối cực của các điểm
thuộc hình H) và các điểm (gồm các cực của các đƣờng thẳng thuộc hình H). Khi
đó, ta nói có một phép đối cực với đƣờng trịn cơ sở (C) biến hình H thành hình H'.


15
Rõ ràng muốn chứng minh tính thẳng hàng của các điểm trên hình H ta chỉ việc
chứng minh tính đồng quy của các đƣờng thẳng tƣơng ứng trên hình H'.
Ví dụ 1.1. (Định lý Bri-ăng-xông) Ba đƣờng thẳng nối các cặp đỉnh đối diện
của một lục giác ngoại tiếp một đƣờng tròn đồng quy tại một điểm.
Lời giải. Giả sử ABCDEF là lục giác ngoại tiếp đƣờng tròn (O). Gọi M, N, P,
Q, K, I lần lƣợt là các tiếp điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA với đƣờng
trịn (C). Khi đó, theo định lý Pát-xcan:

B

MNKQ = 
QP IM = 

M

, ,  thẳng hàng.

N

C

A

PNIK = 
Hiển nhiên,  là cực của BE,  là cực của
AD,  là cực của CF. Vì , ,  thẳng hàng nên BE,

P
I
F

D
Q

K

AD, CF đồng quy tại một điểm. Ta có phép đối cực

E

biến ba điểm , ,  thành ba đƣờng thẳng BE, AD,

Hình 2.7

CF (Hình 2.7).
Định lý 1.13. Phép đối cực bảo tồn tỉ số kép, nghĩa là qua phép đối cực, một
chùm bốn đƣờng thẳng (đồng quy) biến thành bốn điểm và tỉ số kép của bốn điểm
này bằng tỉ số kép của bốn đƣờng thẳng đó.
Hệ quả. Phép đối cực biến một chùm đƣờng thẳng điều hoà thành một hàng

điểm điều hoà và ngƣợc lại.
Nhƣ vậy, phép đối cực là một công cụ tƣơng đối hiệu quả trong việc chuyển
đổi hai dạng bài toán chứng minh đồng quy và chứng minh thẳng hàng, chuyển từ
chùm đƣờng thẳng điều hòa sang hàng điểm điều hòa và ngƣợc lại.
1.5. Cách xác định cực và đường đối cực
* Trường hợp 1: Khi cực S ở ngồi đƣờng trịn (O). Ta có 2 cách dựng sau:
- Cách 1: Từ S kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là tiếp điểm). Khi đó
đƣờng đối cực của S đối với (O) là AB.


16

A

S

.

O

B
Hình 2.8
- Cách 2: Từ S kẻ tới (O) hai cát tuyến SAB, SCD. Giả sử AD cắt BC ở F, AC
cắt BD ở E. Khi đó đƣờng đối cực của điểm S đối với (O) là đƣờng thẳng EF.
F

B
A
E
S

D

C

Hình 2.9
* Trường hợp 2: Khi điểm S nằm trong đƣờng trịn (O). Ta có 2 cách dựng
sau đây:
- Cách 1: Qua điểm S dựng đƣờng vng góc với OS, đƣờng này cắt (O) tại
hai điểm A, B. Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau ở điểm P. Khi đó đƣờng đối cực
của điểm S đối với đƣờng trịn (O) là đƣờng thẳng qua P vng góc với OS.


17

A

S

P

O

B
Hình 2.10
- Cách 2: Qua điểm S dựng hai dây cung AB và CD. Giả sử AD cắt BC ở E,
AC cắt BD ở F. Khi đó đƣờng đối cực của điểm S đối với (O) là EF.
E

C
A

S

.O
F
D

B

Hình 2.11
* Trường hợp 3: Điểm S nằm trên đƣờng tròn (O). Khi đó, tiếp tuyến của (O)
tại S chính là đƣờng đối cực của S đối với (O).


18

.

O

S
Hình 2.12
Chƣơng 1 của luận văn trình bày các khái niệm cơ bản nhƣ hàng điểm điều hòa,
chùm đƣờng thẳng, chùm đƣờng thẳng điều hịa và tứ giác tồn phần. Đây là những
nội dung có liên quan đến hàng điểm điều hịa. Chúng ta có thể chứng minh hàng
điểm điều hịa dựa trên các tính chất của chùm đƣờng thẳng điều hịa và tứ giác tồn
phần. Kiến thức về đƣờng tròn trực giao, cực và đƣờng đối cực đối với hai đƣờng
thẳng đồng quy và đối với đƣờng tròn cũng nhƣ cách dựng đƣờng đối cực của một
điểm cho trƣớc. Với cực và đƣờng đối cực ta có thể đƣa ra cách nhìn xuyên suốt, nhất
quán đối với một số dạng tốn nhƣ chứng minh quan hệ vng góc, chứng minh các
điểm thẳng hàng, chứng minh quan hệ đồng quy,... Các bài toán về cực và đƣờng đối

cực thƣờng gặp ở bậc trung học phổ thông là cực và đƣờng đối cực của một điểm đối
với đƣờng tròn hoặc đối với cặp đƣờng thẳng cắt nhau. Đặc biệt, phép đối cực đƣợc
trình bày cho chúng ta một cơng cụ trong việc chuyển đổi bài toán chứng minh
thẳng hàng và bài toán chứng minh đồng quy. Trong chƣơng 3 luận văn sẽ khai thác
một số lớp bài toán sử dụng đến khái niệm cực và đƣờng đối cực để chứng minh các
điểm thẳng hàng, chứng minh các đƣờng thẳng đồng quy và giải bài tốn tìm điểm
cố định.


19

Chương 2
SỬ DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HỊA TRONG GIẢI TỐN
HÌNH HỌC PHẲNG
Để có thể sử dụng hàng điểm điều hịa trong giải toán, chúng ta cần phải
nhận ra các hàng điểm điều hịa trong bài tốn, đặc biệt là vận dụng linh hoạt các
tính chất trong tứ giác tồn phần, tứ giác điều hòa, chùm phân giác,… Dƣới đây là
một số minh họa cách tìm các hàng điểm điều hịa trong một bài toán cụ thể.
2.1. Chứng minh hàng điểm điều hòa
Để chứng minh bốn điểm lập thành hàng điểm điều hịa chúng ta có thể sử
dụng định nghĩa, nghĩa là chứng minh tỉ số kép của bốn điểm bằng -1. Các định lý
thƣờng đƣợc áp dụng trong giải dạng toán này là định lý Xêva, định lý Mênêlauýt,
hệ thức Niutơn và hệ thức Đề-các về hàng điểm điều hịa.
Ví dụ 2.1. [4] Cho tam giác ABC. Lấy E trên BC, điểm F trên AC và điểm K
trên AB sao cho AE, BF, CK đồng quy tại một điểm. Gọi T là giao điểm của FK với
BC. Chứng minh rằng (TEBC) = -1.
Giải. Bài tốn có giả thiết về các đƣờng thẳng đồng quy trong tam giác, vì
vậy định lý Xêva, định lý Mênêlauýt đƣợc sử dụng trong bài toán này. Thật vậy,
trong ABC, áp dụng định lý Xêva với ba đƣờng đồng quy AE, BF, CK ta có:
EB

.

EC

FC
FA

.

KA

 1

KB

(1)

Mặt khác, áp định lý Mênêlauýt với ba điểm thẳng hàng T, K, F ta lại có:
TC
TB

.

KB

.

FA

1

KA FC

Hình 2.1

(2)


20

Nhân (1) và (2) vế theo vế suy ra:

TB

 

TC

EB

hay (TEBC) = -1.

EC

* Nhận xét: Nếu gọi I là điểm đồng quy của AE, BF, CK thì AIBC là một tứ
giác toàn phần với các đƣờng chéo AI, FK và BC mà lời giải là một trong những
cách chứng minh cho định lý rất đẹp về hình tứ giác tồn phần: “Trong một hình tứ
giác tồn phần, một đƣờng chéo bị hai đƣờng chéo còn lại chia điều hòa”. Bài tốn
đơn giản này cho ta sử dụng tính chất một hình tứ giác tồn phần hay hàng điểm

điều hịa cho một tam giác có ba đƣờng thẳng đồng quy.
Ví dụ 2.2. [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đƣờng tròn tâm (O). Gọi M, N, P,
Q lần lƣợt là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA với đƣờng tròn. Gọi K là
giao điểm của đƣờng thẳng MQ với NP và I là giao điểm của đƣờng thẳng MP với
QN. Chứng minh rằng (DBIK) = -1.
Giải. Bài toán có giả thiết về các tiếp điểm của đƣờng trịn với các cạnh của
tam giác, vì vậy định lý Mênêlauýt đƣợc sử dụng, từ đó xuất hiện các tỉ số giữa các
đoạn thẳng và có thể đƣợc sử dụng để chứng minh hàng điểm điều hòa theo định
nghĩa. Áp dụng định lý Mênêlauýt cho tam giác ABD với 3 điểm thẳng hàng K, M,
Q ta có:

KB
KD

.

QD
QA

.

MA

1

MB

hay

KB

KD



MB
QD

(vì QA = MA)

Mặt khác, ta có thể chứng minh đƣợc:

MB
QD

IB

(2)

ID

K

A
M
B

Q

O

D



(1)

P

.

I

N

C
Hình 2.2


21

Từ (1) và (2) suy ra

KB



KD

IB

(Hình 2.2). Vì I nằm trong đoạn thẳng BD và

ID

KB

K nằm ngoài đoạn thẳng BD nên ta suy ra

 

KD

IB

. Vậy (DBIK) = -1.

ID

Ví dụ 2.3. Cho ABC không cân tại A, phân giác trong AD, đƣờng cao AH.
Gọi E, F là hình chiếu của D trên AB, AC. Kẻ đƣờng thẳng EF cắt đƣờng thẳng BC
tại điểm L. Chứng minh rằng (HLBC) = -1.
Giải. Tƣơng tự ví dụ 2.2, bài tốn này sử dụng định lý Mênêlauýt nhƣ sau:
A

E
F
D

B

C

H

L

Hình 2.3
Xét ABC, ta cần chứng minh:

FC



FA

EA

HB



EB

 1 .

HC

 B E .B A  B H .B D
 
 C D .C H  C F .C A

Các tứ giác EAHD, FADH nội tiếp đƣờng tròn
Từ (1) và (2) suy ra

BH

.

CH

BD



CD

BE
CF

BA

.

BH



CA

CH

Mà AD là phân giác BAC nên AE = AF 
Từ (3) và (4) ta có

HB
HC

.

CF
BE

.

AE
AF

FA

(áp dụng định lý Mênêlauýt trong mặt phẳng).

.



HB CF
.
 1
HC BE

1

(2)

(3 )

(4)

AF
.

HC

FC

BE
CF

AE

HB

1

Xét ABC với cát tuyến EFL, ta có



(1)

EA
EB

FC
FA

.

LB
LC

.

EA

 1

(5 )

EB

1

(6 )


22

Từ  5  và  6  ta có

HB

LB

.

HC

 1

hay (HLBC) = -1.

LC

Ví dụ 2.4. [4] Cho điểm A nằm ngồi đƣờng trịn (O). Từ điểm A kẻ hai tiếp
tuyến AB, AC đến đƣờng tròn (O) (với B, C là hai tiếp điểm). Đƣờng thẳng AO cắt
đƣờng tròn (O) tại E, F và cắt cạnh BC tại điểm K. Chứng minh rằng (AKEF) = -1.
Giải. Trong bài toán này, chúng ta nhận thấy xuất hiện các tam giác vuông.
Do đó, ta có thể sử dụng hệ thức lƣợng trong tam giác vng. Các hệ thức này có
quan hệ với hệ thức Niu-tơn về hàng điểm điều hịa. Đó cũng là một ý tƣởng để
chứng minh hàng điểm điều hòa.
Ta có OB2 = OK.OA (hệ thức lƣợng tam giác vng)

(1)

Mặt khác ta lại có: OB2 = OE2 = OF2

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: OE2 = OF2 = OK.OA. Từ đó suy ra điều phải chứng minh

(Hình 2.4) .
B

F

O

K

E

A

C

Hình 2.4
Ví dụ 2.5. Cho hình vng và một đƣờng trịn tâm O nội tiếp hình vng.
Một tiếp tuyến bất kỳ của đƣờng trịn cắt các cặp cạnh đối của hình vuông tại A, B
và C, D. Chứng minh rằng (ABCD) = - 1.
Giải. Bài toán xuất hiện các đƣờng phân giác của một góc. Điều này gợi ý
cho việc sử dụng các chùm phân giác trong chứng minh hàng điểm điều hòa.