De dap an thi HSG NGThieu vong 2 nam 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU. ĐỀ THI CHäN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 11. Ngày thi 29 – 01 – 2013. ĐỀ VÒNG 2. Thời gian làm bài 120 phút. Câu 1 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn cosA  cosB  cosC  2  cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA . Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Câu 2 (4,0 điểm). Cho số tự nhiên k thoả mãn k  2000 . Chứng minh rằng k k 1 1000 1001 . C2001  C2001  C2001  C2001. Cõu 3 (4,0 điểm). Cho dãy số  un  đ-ợc xác định bởi công thức  u1  4 víi n  1  2 4 u  5 u  3 u  16  n n  n 1. a. T×m c«ng thøc cña sè h¹ng tæng qu¸t un theo n b. TÝnh tæng. u1 u u u  112  103  ...  12 . 12 2 2 2 2. Câu 4 (4,0 điểm). Chứng minh phương trình x3  1  3x luôn có ba nghiệm thực phân biệt là x1 , x2 , x3 . Giả sử x1  x2  x3 , chứng minh x2  2  x32 . Câu 5 (4,0 điểm). Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’; gäi E, F, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AB, DD’, B’C’ a. §­êng th¼ng ®i qua ®iÓm E c¾t AC’ t¹i M vµ c¾t DD’ t¹i N. TÝnh tØ sè. EM EN. b. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (EFH). ----------------. Hết - - - - - - - - - - - - - - - -. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………………………………………. Số báo danh: ……………………….

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Câu 1 (4,0) 2 (4,0). 3 (4,0). Điểm. Yêu cầu Có. 3  cos A  cos B  cosC > 1 . 2. Suy ra. 3 (cos A  cos B  cosC)  (cos A  cos B  cosC) 2 2. Lại có (cos A  cos B  cosC)2  3(cos A.cos B  cos B.cosC + cosC.cos A) . Từ đó suy ra KQ Ta chứng minh (1) đúng với mọi số tự nhiên k : k  1000 (vì Cnr  Cnn  r , do đó (1) cũng đúng. 1,0. với mọi số tự nhiên k :1000  k  2000 ) k 1 1001 Xét dãy số hữu hạn  uk  với uk  C2002 , k  1000 . Suy ra u1000  C2002. 1,0. Chứng minh dãy số hữu hạn  uk  tăng, tức là chứng minh uk  uk 1. 1,0. Từ đó suy ra uk  u1000 và suy ra điều phải chứng minh.. 1,0. u1  4, u2  5 a. (un ) xác định bởi  víi n  2 2 un 1  5 un  2 un 1  0. 1,5. 4n  4 , víi n  1 2n. 1,5.  41  42  43  ...  412   12.4  u u u u b. 121  112  103  ...  12  2 2 2 2 213. 5 (4,0). 2,0. k k 1 1000 1001 k 1 1001 (1) C2001  C2001  C2001  C2001  C2002  C2002. Sè h¹ng tæng qu¸t un . 4 (4,0). 2,0. 4 1  412  1 4 213.  48 . 5592417 . 2048. 1,0. Chứng minh phương trình x3  1  3x (2), có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–2 ; 2). 1,0. 8 4 2 ,t ,t 9 9 9 8 4 2 Do x1  x2  x3 , nên ba nghiệm của (2) là x1  2.cos , x2  2.cos , x3  2.cos 9 9 9. 1,0. Chứng minh được x2  2  x32. 1,0. Đặt x  2.cos t với 0  t   , tìm được nghiệm phương trình là t . 1,0. a. M  AC’  EM  (ABC’D’). 0,5.  N  EM   N  DD'. 0,5.  {N} = DD’  (ABC’D’). N  D Chøng minh M lµ träng t©m tam gi¸c EM 1 ABD’. Từ đó suy ra  EN 3 b. Gäi P lµ trung ®iÓm A’B’ Trong (EFD’P) cã EF  PD’ = {Q} Trong (A’B’C’D’) cã HQ  A’D’ = {S}, HQ  C’D’ = {G}, HQ  A’B’ = {R} Trong (ABB’A’) cã RE  BB’ = {I} Trong (ADD’A’) cã SF  AD = {K}. ThiÕt diÖn lµ lôc gi¸c EKFGHI.. 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5. Các cách giải khác mà đúng vẫn chấm điểm. Học sinh lập luận đầy đủ chặt chẽ mới cho điểm tối đa..

<span class='text_page_counter'>(3)</span>