SỞ GD-ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
_____________________________________
THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI ĐH-CĐ NĂM 2008-2009
Đề thi môn : TOÁN . Khối : A - B
Thời gian làm bài : 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
I.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu I . (2,0 điểm ) Cho hàm số :
32
31yx x mx=+ + + (
m
là tham số )
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
m
= 3.
2.
Xác định các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt
C(0;1), D và E đồng thời các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.
Câu II .
(2,0 điểm )
1.
Giải hệ phương trình :
725
220538
xy xy
xy x y
⎧
++ +=
⎪
⎨
++ + =
⎪
⎩
2.
Giải bất phương trình :
( )
2
lg 6 g( 2) 4ox x xlox− −+≤ ++
Câu III .
(1,0 điểm ) Tính tích phân :
22
3
22
4
sin 3 os 3
sin os
xc x
Idx
xcx
π
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∫
Câu IV.
(1,0 điểm ) Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm
S với SA = 2a . Gọi B’, D’ là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’ . Tính
thể tích hình chóp SAB’C’D’.
Câu V .
(1,0 điểm ) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện : x+y+z=1
Chứng minh bất đẳng thức :
3
2
xy yz xz
xy z yz x xz y
+ +≤
+++
II. PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
1. Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a
(2,0 điểm )
1.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ
Ox, Oy
ở A và B sao cho ABM là tam giác vuông cân tại A.
2.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (C):
()()
22
2
1111xyz− ++ +=
và hai đường thẳng :
() ()
12
11 1
:;:
11 2 121
x yz xyz
dd
+− +
= ===
.
Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng qua tâm của (C) đồng thời cắt (d
1
) và (d
2
) .
Câu VII.a
(1,0 điểm) Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng :
01
12 1 1
23 2 22
1
... ...
2
kn
nn n n
kn
nn nk n
CC C C
CC C C
++
++ ++ +
+++ ++ =
2. Theo chương trình Nâng cao .
Câu VI.b
( 2,0 điểm )
1.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(2; 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ
Ox, Oy ở A và B sao cho ABM là tam giác vuông cân tại B.
2.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (C):
()()
22
2
1111xyz− ++ += và hai đường thẳng :
() ()
12
11 1
:;:
11 2 121
x yz xyz
dd
+ −+
= ===
.
Hãy viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với (C) đồng thời song song với (d
1
) và (d
2
) .
Câu VII.b
(1,0 điểm )Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng :
01
12 1 1
23 2 22
1
... ...
2
kn
nn n n
kn
nn nk n
CC C C
CC C C
++
++ ++ +
+++ ++ =
___________________________________Hết___________________________________
Chú ý : Thí sinh dự thi có thể download đáp án và thang điểm tại :
Phạm Kim Chung 0984.333.030
copyright by :
1
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM KỲ THI THỬ ĐH-CĐ LẦN I
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH.
Câu Nội dung Điểm
I.1
Khi m = 3, hàm số đã cho trở thành :
32
331y xxx= +++
• Tập xác định : R
• Sự biến thiên :
Đạo hàm : y’ = 3x
2
+6x+3=3(x+1)
2
≥ 0,
∀ R∈
Hàm số đã cho đồng biến trên R
Giới hạn :
lim;lim;
xx
yy
→+∞ →−∞
=+∞ =−∞ , hàm số đã cho không có tiệm cận.
Bảng biến thiên :
x -
∞
-1
+∞
y’ + 0 +
y
-
∞
+∞
•
Đồ thị :
Giao với Ox : A(-1;0)
Giao với Oy : B(0;1)
Đồ thị nhận điểm uốn U(-1;0) làm tâm đối xứng.
0,25
0,25
0,25
0,25
I.2
Xét phương trình :
( )
32 2
13 1 3 0(*)xxmx xxxm=+ + +⇔ ++ =
0,25
32
331yx x x= +++
y
x
O
Phạm Kim Chung 0984.333.030
copyright by :
2
Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y=1 tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có ba
nghiệm phân biệt .
Hay phương trình :
++=
2
x3xm0
có 2nghiệm phân biệt khác 0
≠
⎧
≠
⎧
⎪
⇔⇔
⎨⎨
−>
<
⎩
⎪
⎩
m0
m0
(a)
9
94m 0
m
4
Giả sử
()()
DD EE
Dx;y ;E x ;y
, theo yêu cầu bài toán ta cần có :
()()
()( )
=− ⇔ + + + + =−
22
DE DD EE
f' x .f' x 1 3x 6x m 3x 6x m 1
Do x
E
, x
D
là nghiệm của phương trình :
+ +=
2
x3xm0
, nên ta có :
()()
2
DE
965
3x 2m 3x 2m 1 4m 9m 1 0 m ( tho¶ m·n (a))
8
±
++=−⇔−+=⇔=
0,25
0,25
0,25
II.1
Đặt :
7,2 (,0)xya xybab+= += ≥
Lúc đó :
22
23205ab xy
+= +
Hệ đã cho trở thành :
22 2
3
2
55
4
(2 3 ) 38 5 19 12 0
5
21
5
b
a
ab a b
b
bab b b
a
⎡ =
⎧
⎨
⎢
=
⎩
⎢
+= =−
⎧⎧
⎢
⎧
⇔⇔
⎨⎨
=
⎢
⎪
++= −+=
⎩⎩⎪
⎢
⎨
⎢
⎪
=
⎢
⎪
⎩
⎣
•
Với
3
2
b
a
=
⎧
⎨
=
⎩
, thay trở lại ta có :
74 1
29 11
+= =−
⎧⎧
⇔
⎨⎨
+= =
⎩⎩
xy x
xy y
Với
4
5
21
5
b
a
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩
, thay trở lại ta có :
441 17
7
25 5
16 154
2
25 25
⎧⎧
+= =
⎪⎪
⎪⎪
⇔
⎨⎨
⎪⎪
+= =−
⎪⎪
⎩⎩
xy x
xy y
0,25
0,25
0,25
0,25
II.2
Điều kiện xác định :
2
60
3
20
xx
x
x
⎧
−−>
⇔ >
⎨
+>
⎩
Với điều kiện đó ta có :
()
2
log( 6) log 2 4xx x x−− +≤ + +
log( 3) 4 0xx⇔ −+−≤
Xét hàm số : ( ) log( 3) 4fx x x=−+−, ta có :
0,25
0,25
Phạm Kim Chung 0984.333.030
copyright by :
3
()
1
'( ) 1 0, 3
3ln10
fx x
x
=+>∀>
−
Suy ra : ( ) log( 3) 4 0 3 4fx x x x=−+−≤⇔<≤
( Do x = 4 là nghiệm của phương trình : f(x) = 0 )
0,25
0,25
III
Ta có :
()( )
22
22 22 2
sin3 .cos sinx. os3 sin3 .cos sinx. os3
sin 3 os 3 4.sin2 .sin4
8os2
sin os sin . os sin 2
xx cx xx cx
xc x x x
cx
xcx xcx x
−+
−= = =
Do đó :
22
33
22
44
sin 3 os 3
3
8os2. 4.sin2 234
sin os
4
xc x
Idxcxdxx
xcx
ππ
ππ
π
π
⎛⎞
=− = = =−
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
0,5
0,5
IV
Ta có :
'
'
'
AB SB
AB SC
AB CB
⊥
⎫
⇒⊥
⎬
⊥
⎭
, tương tự :
( )
'''''AD SC SC AB C D SC AC⊥⇒⊥ ⇒⊥
Do tính đối xứng ( tự CM ) ta có :
''' ''
2
SAB C D SAB C
VV=
Áp dụng tính chất tỉ số thể tích cho 3tia SA,SB,SC ta có :
22 22
''
222222
' ' '. '. 4 4 8
.. ..
56 15
SAB C
SABC
V
SB SC SB SB SC SC SA SA a a
VSBSCSBSCSBSCaa
== = ==
23 33
''
188
..2 .
32 3 153 45
SABC SAB C
aa aa
VaV==⇒==
3
'''
16
45
SAB C D
a
V⇒=
(học sinh nêu và chứng minh tính chất tỉ số thể tích )
0,25
0,25
0,25
0,25
V
Cách 1 :
Ta có :
Phạm Kim Chung 0984.333.030
copyright by :
4
II. PHẦN RIÊNG
1. Theo chương trình Chuẩn.
...1
xy xz xy yz xz yz
xyz
zy zx zx
++= + + =
Suy ra luôn tồn tại tam giác ABC sao cho :
tan ; tan ; tan
222
Ayz Bxz Cxy
zyz
===
Lúc đó :
33
22
111
xz
yz
xy
xy yz xz
y
x
z
xy yz xz
xy z yz x xz y
zxy
++≤⇔++≤
+++
+++
Hay bài toán đã cho trở thành, chứng minh BĐT :
++ ≤
+++
⇔++≤
222
222
CBA
tan tan tan
3
222
CBA
2
tan 1 tan 1 tan 1
222
ABC3
sin sin sin (dÔCM)
2222
Cách 2 :
Ta có :
()()()xyzxyzxyz xzyz+= + ++ = + +
Do đó :
1
(1)
()()2
xy xy x y
xy z x z y z x z y z
⎛⎞
=≤+
⎜⎟
+++ ++
⎝⎠
Hoàn toàn tương tự ta có :
1
(2)
()()2
zy zy y z
zy x x y x z x y x z
⎛⎞
=≤+
⎜⎟
+++ ++
⎝⎠
1
(3)
()()2
zx zx z x
zx y z y x y z y x y
⎛⎞
=≤+
⎜⎟
+++ ++
⎝⎠
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta có ĐPCM.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Nội dung Điểm
VI.a.1
Giả sử :
()()
,0 ; 0,Aa B b
, ta có :
()() ()
2
22
2,3; ;; 2 9;AM a AB a b AM a AB a b=− − = − + = +
JJJJG JJJG
Theo bài ra ta có :
()
()
( )
() ()
2
22
2
22
2
32 0
.0
3
29
2929
9
aa
b
ba a
AM AB
AM AB
aab
a
aa
⎧−
=
⎪
⎧− −=
⎧
=
⎪⎪ ⎪
⇒⇒
⎨⎨ ⎨
=
−+=+
⎪
⎪
⎩
⎪
⎩
⎡ ⎤
− += − +
⎣ ⎦
⎪
⎩
JJJJG JJJG
3
1
3
5
a
b
a
b
⎡=
⎧
⎨
⎢
=−
⎩
⎢
⇒
⎢
=−
⎧
⎢
⎨
=−
⎢
⎩
⎣
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán :
x3y 30
− −= và
5x 3y 15 0
++=
0,25
0,5
0,25