Chuyen de Casio

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên Đề : Giải Toán Đa Thức Trên máy Tính Casio Fx-500MS Trong tài liệu bồi dưỡng Giáo Viên dạy học tự chọn môn : Thực hành giải toán trên máy tính Casio Fx-500MS do Bộ Giáo Dục Đào Tạo biên soạn bài 10 đề 3 có nội dung như sau : Cho đa thức f(x) = x4+ mx3 + nx2 + px + q biết f(1) = 5, f(2) = 7, f(3) = 9, f(4) = 11. Tính f(10), f(11), f(12), f(13). Đây là lời giải của tài liệu nêu trên : Xét đa thức g(x) = f(x) – (2x + 3). Ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = 0. Điều này chứng tỏ 1, 2, 3, 4 là nghiệm của g(x). Suy ra : g(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4). Từ đây ta có : g(10) = 9.8.7.6 = f(10) – (2.10 + 3) hay f(10) = 2.10 +3 + 9.8.7.6 = 3047. Tương tự f(11) = 2.11 +3 + 10.9.8.7 = 5065. f(12) = 2.12 +3 + 11.10.9.8 = 7947. f(13) = 2.13 +3 + 12.1110.9 = 11909. Lời giải trên thiếu tự nhiên vì xuất hiện đa thức phụ 2x + 3. Tôi xin trình bày kinh nghiệm tìm đa thức phụ như sau : Thuật toán tìm đa thức phụ : Bước 1 : Đặt g(x) = f(x) + h(x), h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x), đồng thời bậc của h(x) nhỏ hơn số gía trị đã biết của f(x) (Trong vd trên bậc của h(x) < 2), nghĩa là g(x) = f(x) + ax+b. Bước 2 :Tìm a, b để g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = 0. Giải hệ Pt bằng máy ta có a= -2, b = -3. Từ đó suy ra h(x) = -2x - 3 hay g(x) = f(x) – (2x + 3). Sau đây là một số ví dụ minh hoạ : Vd1 : Cho f(x) bậc 4 với hệ số cao nhất là 1, thỏa f(1) = 3 ,f(3) = 11, f(5) = 27. Tính f(-2) + 7f(6) . Giải : Đặt g(x) = f(x) + ax2+bx+c. Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(5) = 0  a, b, c là nghiệm cuûa heä 3+a+b+c = 0; 11+9a+3b+c = 0; 27+25a+5b+c = 0. Giaûi ra a = -1, b = 0, c = -2 neân g(x) = f(x) - x2 -2. Baäc cuûa f(x) laø 4 neân baäc cuûa g(x) laø 4 vaø g(x) chia heát cho (x-1), (x-3), (x-5) neân G(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-x0). Từ đó f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-x0) + x2 +2. Tính được f(-2) + 7f(6) = 1112. Vd2 : Tìm f(x) baäc 3 thoûa f(0) = 10 ,f(1) = 12, f(2) = 4 , f(3) = 1. Giải : Đặt g(x) = f(x) + ax2+bx+c. Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = 0. Tìm được a = 5, b = -7, c = -10 nên g(x) = f(x) + 5x2 –7x – 10 với g(0) = g(1) = g(2) = 0. Do baäc f(x) laø 3 neân baäc g(x) laø 3 vaø g(x) chia heát cho x, (x-1), (x-2). Gọi m là hệ số của x3 của đa thức f(x) thì g(x) = mx(x-1)(x-2) Suy ra f(x) = mx(x-1)(x-2) - 5x2 +7x + 10. Maët khaùc theo GT f(3) =1 m =5/2..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Vaäy f(x) = 5/2x3 – 25/2x2 + 12x + 10. Vd3 : Tìm f(x) bậc 3 biết khi chia f(x) cho (x – 1), (x-2), (x-3) đều dư 6 và f(-1) = -18. Giải : Ta có f(1) = f(2) = f(3) =6. Đặt g(x) = f(x) + ax2+bx+c. Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0. Tìm được a = 0, b = 0, c = -6 nên g(x) = f(x) – 6 với g(1) = g(2) = g(3) = 0. Do baäc f(x) laø 3 neân baäc g(x) laø 3 vaø g(x) chia heát cho (x-1) , (x-2), (x-3). Gọi m là hệ số của x3 của đa thức f(x) thì g(x) = m(x-1)(x-2)(x-3) Suy ra f(x) = m(x-1)(x-2)(x-3) + 6. Maët khaùc theo GT f(-1) = -18 m =1. Vaäy f(x) = x3 – 6x2 + 11x . Vd4 : Cho đa thức P(x) = x5 + ax4+ bx3 + cx2 + dx + 132005. Biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3, 4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là 8, 11, 14, 17. Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15 (Trích đề thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính điện tử cấp khu vực 2004-2005) Giải : Xét đa thức Q(x) = P(x) – (3x + 5). Ta có Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0. Điều này chứng tỏ 1, 2, 3, 4 là nghiệm của Q(x). Suy ra : Q(x) = P(x) – (3x + 5) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4).R(x). Đa thức Q(x) có bậc cao nhất là 5, do đó suy ra đa thức R(x) chỉ có thể có bậc cao nhất là 1 hay R(x) = x+ r. Ta coù Q(0) = 0 + 132005 – (0 + 5) = (-1)(-2)(-3)(-4)r. suy ra r = 5500. Chứng tỏ P(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4)(x + 5500) + (3x + 5). Từ đây ta có : P(11) = 3.11 +5 + 10.9.8.7.(11 + 5500) = 27775478. P(12) = 3.12 +5 + 111.0.9.8.(12 + 5500) = 43655081. P(13) = 3.13 +5 + 12.1110.9.(13 + 5500) = 65494484. P(14) = 3.14 +5 + 13.12.11.10.(14 + 5500) = 94620287. Vd5 : Cho đa thức P(x) = x4 + ax3+ bx2 + cx + d . Biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là 7, 28, 63. Tính P =(P(100) + P(-96))/ 8 (Trích đề thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính điện tử cấp khu vực 2004-2005) Giải : Xét đa thức Q(x) = P(x) – 7x2. Ta có Q(1) = Q(2) = Q(3) = 0. Điều này chứng tỏ 1, 2, 3, 4 laø nghieäm cuûa Q(x).  Q(x) = (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – r) vaø P(x) = Q(x) + 7x2 Ta coù P(100) = 99.98.97.(100 – r) + 7.1002 vaø P(-96) = (-97).(-98).(-99).(-96-r)+7.(-96)2 Suy ra P =(P(100) + P(-96))/ 8 = 23073617. GV : Đoàn ngọc Thế Trường THCS Lê Qúy Đôn Naêm hoïc 2006 - 2007.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>