Các dạng phương trình lượng giác và phương pháp giải

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh
SVTH: Mai Thị Phương Thảo
Lớp: 09ST

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2013
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 1


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

MỤC LỤC
MỞ

Trang
ĐẦU ............................................................................... 1

Chương I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC .......................... 3
1.1 Hệ thức lượng giác cơ bản ...................................................................... 3
1.2 Cung (góc) có liên quan đặc biệt ............................................................ 3
1.3 Công thức lượng giác .............................................................................. 5

Chương II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI .............................................................. 8
2.1 Phương trình lượng giác cơ bản .............................................................. 8
2.1.1 Phương trình dạng sin x = m ......................................................... 8
2.1.2 Phương trình dạng cos x = m ........................................................ 8
2.1.3 Phương trình dạng tan x = m ......................................................... 9
2.1.4 Phương trình dạng cot x = m ......................................................... 9
2.2 Phương trình lượng giác đơn giản......................................................... 10
2.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ............... 10
2.2.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ................. 12
2.2.3 Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x .................................. 15
2.2.4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x, cos x .................. 18
2.2.5 Phương trình thuần nhất bậc ba đối với sin x, cos x ................... 22
2.3 Một số dạng phương trình lượng giác đặc biệt ..................................... 25
2.3.1 Phương trình tích ......................................................................... 25
2.3.2 Phương trình đối xứng theo sin x, cos x ..................................... 34
2.3.3 Phương trình đối xứng theo tan x, cot x ...................................... 38
2.3.4 Phương trình lượng giác đặt ẩn phụ để biến đổi thành phương trình
đại số ............................................................................................ 40
2.3.5 Phương trình lượng giác khơng mẫu mực ................................... 44
2.4 Phương trình lượng giác chứa tham số ................................................. 55

Chương III. GIẢI CÁC BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CÓ
TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
(từ năm 2002 đến năm 2012) ......................................................... 68
CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ ................................................... 94
KẾT LUẬN .......................................................................... 99
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................. 100

Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 2


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Tốn học ở bậc Trung học phổ thông, lượng giác là
một trong những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Phần kiến thức
này khá đồ sộ với những công thức lượng giác, những mối liên quan ràng
buộc giữa góc và các yếu tố khác. Chính vì vậy việc giải các bài tốn lượng
giác thật sự gây nhiều lúng túng và khó khăn cho các em học sinh. Hơn nữa
các bài toán lượng giác lại đóng vai trị lớn trong đời sống giải tích và hình
học và đồng thời đây cũng là một phần bài tập có trong các đề thi đại học.
Là một sinh viên ngành sư phạm Toán học, một cơ giáo dạy Tốn tương
lai, tơi mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu và hệ thống hóa lại một cách đầy
đủ hơn về các dạng phương trình lượng giác và phương pháp giải đối với
từng dạng. Do đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho mình là:

“Các dạng phương trình lượng giác và phương pháp giải”
2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tìm hiểu, nghiên cứu về các dạng phương trình lượng giác và
cách giải cho từng dạng cụ thể có trong chương trình tốn phổ thơng.
3. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm ba chương
Chương I.

Trình bày các cơng thức lượng giác

Chương II. Trình bày các dạng phương trình lượng giác và phương
pháp giải
2.1 Phương trình lượng giác cơ bản
2.2 Phương trình lượng giác đơn giản
2.3 Một số dạng phương trình lượng giác đặc biệt
2.4 Phương trình lượng giác chứa tham số
Chương III. Giải các bài tốn lượng giác có trong đề thi đại học
(từ năm 2002 đến năm 2012)
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 3


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

Đề tài được thực hiện tại trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà
Nẵng dưới sự hướng dẫn của Thạc sỹ Nguyễn Thị Sinh.
Đà Nẵng, tháng 5 năm 2013

Tác giả
Mai Thị Phương Thảo

CHƯƠNG I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1.1 HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
 cos 2   sin 2   1
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 4


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

 tan  

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

sin 
cos
; cot  
cos
sin 

Hệ quả 1:

1

tan




cot 

tan  .cot   1  
cot   1

tan 

Hệ quả 2:

1  tan 2  

1
cos2 

1  cot 2  

1
sin 2 

1.2 CUNG (GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
STT

Hai cung

Gọi là hai

Công thức

Cách nhớ

cos(-  ) = cos(  )

“ cos đối ”

cung
1

(- ) và 

Đối nhau

sin(-  ) = - sin(  )
tan(-  ) = - tan(  )
cot(-  ) = - cot(  )
2

(    ) và

Bù nhau



sin (   ) = sin ( )

“ sin bù ”

cos (   ) = - cos ( )
tan (   ) = - tan ( )
cot (   ) = - cot ( )

Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 5


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

3



    và
2


SVTH: Mai Thị Phương Thảo

Phụ nhau

( )



sin     = cos(  )
2


“ phụ chéo”



cos     = sin(  )
2




tan     = cot(  )
2


4

(    ) và

Sai kém 



cot     = tan(  )
2

tan (   ) = tan ( ) “Sai  tan”

cot (   ) = cot ( )

( )

cos (   ) = - cos ( )

sin (   ) = - sin ( )
5



    và
2


Sai kém


2

( )



   = cos ( )
2


sin 



   = - sin ( )
2


cos 



   = - cot ( )
2


tan 

“ 2 cung sai
kém


thì
2

sin (cung lớn)
= cos (cung
nhỏ) ”



   = - tan ( )
2


cot 

Hệ quả: A, B, C là 3 góc của 1 tam giác, ta có: A + B + C =  . Do đó:

A + B =  - C (bù nhau)

AB  C
  ( phụ nhau )
2
2 2

sin

AB
C
= cos
2
2

cos

AB
C
= sin
2
2

tan

AB
C
= cot
2
2

cot

AB
C
= tan
2
2

sin(A+B) = sinC
cos(A+B) = - cosC
tan(A+B) = - tanC
cot(A+B) = - cotC

1.3 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 6


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

 Công thức cộng
cos(   )  cos cos   sin sin 
cos(   )  cos cos   sin sin 
sin(   )  sin cos   sin  cos
sin(   )  sin cos  sin  cos
tan(   ) 

tan   tan 
1  tan  tan 

tan(   ) 

tan   tan 
1  tan  tan 

 Công thức nhân đôi
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos 2   sin 2   1  2 sin 2   2 cos2   1

tan 2 

Hệ quả1:

2tan 
1  tan 2 

sin  cos 

1
sin 2
2

1  cos 2  2cos 2 
1  cos 2  2sin 2 

Hệ quả2:

Đặt t  tan
sin  


2

ta có:

2t
1 t2

1 t 2
cos 
1 t2
tan  

2t
1 t 2

 Cơng thức nhân ba
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 7


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

sin 3  3sin   4sin 3 
cos3  4cos3   3cos 

tan3 

3tan   tan 3 
1  3tan 2 

 Công thức hạ bậc
cos2  

1  cos 2
2

sin 2  

1  cos 2
2

tan 2  

1  cos 2
1  cos 2

cos3  

3cos   cos3
4

sin3  

3sin   sin3
4

tan3  

3sin   sin3
3cos  cos3

 Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cos cos  

1
cos(   )  cos(   )
2

sin  sin   

1
cos(   )  cos(   )
2

sin  cos  

1
sin(   )  sin(   )
2

 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos   cos  

   
   
2cos 
 cos 

 2 
 2 

       
cos   cos    2sin 
 sin 

 2   2 
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 8


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

sin   sin  

   
   
2sin 
 cos 


 2 
 2 

sin   sin  

       
2cos 
 sin 

 2   2 

tan   tan  

sin(   )
cos  cos 

tan   tan  

sin(   )
cos  cos 

cot   cot  

sin(   )
sin  sin 

cot   cot  

sin(    )
sin  sin 

Hệ quả:
sin   cos  



2 sin    
4


sin   cos  



2 sin    
4


cos   sin  



2 cos    
4


cos   sin  




2 cos    
4


CHƯƠNG II.
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 9


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

2.1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
2.1.1 Phương trình dạng sin x = m (*)
 Phương pháp giải:
Nếu |m| > 1: phương trình (*) vơ nghiệm
Nếu |m|  1: Phương trình (*) có nghiệm
Gọi  là số đo của góc sao cho sin   m
 x    k 2
Ta có: (*)  sin x  sin   
,kZ
 x      k 2

 Các trường hợp đặc biệt:
sin x  1  x 


2

 k 2 , k  Z

sin x  1  x  


2

 k 2 , k  Z

sin x  0  x  k , k  Z

2.1.2 Phương trình dạng cos x = m (*)
 Phương pháp giải:
Nếu |m| > 1: phương trình (*) vơ nghiệm
Nếu |m|  1: Phương trình (*) có nghiệm
Gọi  là số đo của góc sao cho cos  = m
 x    k 2
Ta có: (*)  cos x  cos  
,k  Z
 x    k 2

 Các trường hợp đặc biệt:
cos x  1  x  k 2 , k  Z
cos x  1  x    k 2 , k  Z
cos x  0  x 



2

 k , k  Z

2.1.3 Phương trình dạng tan x = m (*)
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 10


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

Phương trình (*) xác định với mọi x 


2

 k , k  Z

 Phương pháp giải:
Gọi  là số đo của góc sao cho tan  = m, khi đó:
(*)  tan x  tan  x    k , k  Z

 Các trường hợp đặc biệt:
tan x  1  x 


4

 k , k  Z

tan x  1  x  


4

 k , k  Z

tan x  0  x  k , k  Z

2.1.4 Phương trình dạng cot x = m (*)
Phương trình (*) xác định với mọi x  k , k  Z
 Phương pháp giải:
Gọi  là số đo của góc sao cho cot  = m, khi đó:
(*)  cot x  cot   x    k , k  Z

 Các trường hợp đặc biệt:
cot x  1  x 


4

 k , k  Z

cot x  1  x  
cot x  0  x 

2.2


2


4

 k , k  Z

 k , k  Z

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

2.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
 Dạng:

ay  b  0 (*)

trong đó: a, b là các hằng số (a  0)
y là một trong các hàm sin x, cos x, tan x, cot x
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 11


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

 Phương pháp giải:

Đưa về một trong bốn dạng phương trình lượng giác cơ bản để giải.
 Các bài tập minh họa:
Bài tập 1 . Giải phương trình sau
1  sin x  cos x  sin2x  cos2x  0 (1)

Giải:

Ta có:

1  sin x  cos x  sin 2 x  cos2 x  0

 (sin x  cos x)  (2sin x cos x  2cos 2 x)  0
 (sin x  cos x)  2cos x(sin x  cos x)  0
 (sin x  cos x)(1  2cos x)  0




 2 cos  x  4   0




cos x   1

2

sin x  cos x  0

1  2cos x  0



 

 x  4  2  k


2
 m2
x  
3


3

 x  4  k
 
; k, m  Z

2
 m2
x  
3


Vậy nghiệm của phương trình (1) là:

x

3
2
 m2 ; k, m  Z
 k , x  
3
4

Bài tập 2 . Giải phương trình sau
2sin x.(1  cos2x)  sin2x  1  2cos x (2)

Giải:

Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 12


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

(2)  4sin x cos 2 x  2sin x cos x  1  2cos x  0
 2cos x(2sin x cos x  1)  (2sin x cos x  1)  0
 (2sin x cos x  1).(2cos x  1)  0



x

 k

sin 2 x  1

4


 
; k, m  
1  
2
cos x   2
 m2
x  
3

Vậy nghiệm của phương trình (2) là:
x

2

 m2 , x   k ; k, m  
4
3

Bài tập 3 . Giải phương trình sau
sin3x  cos3x  sin x  cos x 

2 cos2x (3)

Giải:
Ta có : (3)  sin 3x  sin x  cos3x  cos x 

2 cos 2 x

 2cos 2 x.sin x  2cos 2 x.cos x  2 cos 2 x  0
 cos 2 x(2sin x  2cos x  2)  0


2

 2cos 2 x. 2 cos  x   
0
4
2




cos 2 x  0

 

2

0
 2 cos  x   
4
2







 2 x  2  k , k  Z

 
 1
cos  x   
4 2
 







x  4  k 2
x  4  k 2




 
7
  x    m2   x 
 m2 ; k , m, n  Z
4
3

12




 x       n2
 x     n2


12
4
3
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 13


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

Vậy nghiệm của phương trình (3) là:
x


4

k



2

, x

7

 m2 , x    n2 ; k, m, n  Z
12
12

2.2.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
 Dạng:

ay2  by  c  0 (*)

trong đó: a, b, c là các hằng số ( a 2  b2  0 )
y là một trong các hàm sin x, cos x, tan x, cot x
 Phương pháp giải:
Đặt t = y, khi đó phương trình (*) sẽ được đưa về dạng phương trình
bậc hai theo biến t. Giải ra t đưa ra kết luận về nghiệm của phương
trình (*)
 Các bài tập minh họa:
Bài tập 4 . Giải phương trình sau
2cos2 x  2cos x  2  0 (4)

Giải:
Ta có:
(4)  2(2cos 2 x  1)  2cos x  2  0
 4cos2 x  2cos x  (2  2)  0 (4')

Đặt t = cos x ( 1  t  1 ), phương trình (4’) trở thành:
4t 2  2t  (2  2)  0

 t 

+ Với t 

2
1 2
 1 (loại)
(chọn) hoặc t  
2
2

2
, ta có:
2

Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 14


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo



x


 k 2

4
2

cos x 
 cos x  cos  
; k, m  Z
2
4


 x    m2

4
Vậy phương trình (4) có nghiệm là:
x


4

 k 2 , x  


4

 m2 ; k , m  Z

Bài tập 5 . Giải phương trình sau

2cos x  sin x  1 (5)

Nhận xét: Nên đưa phương trình về dạng f ( x)  g ( x) , từ đó ta có hệ
tương đương sau:
 g ( x)  0
f ( x )  g ( x)  
 f 2 ( x)  g 2 ( x)

Giải:
2cos x  1  0
(5)  sin x  2cos x  1  
sin 2 x  (2cos x  1)2
1

cos x  2


2
5cos x  4cos x  0

Đăt t = cos x, hệ trên được viết lại thành
1

1

t 

2
4
t  2


 
 t 

5
 2
t  0  t  4
5
t

4
t

0


5

Với t 

4
, ta có:
5
cos x 

4
4
 x   arccos    k 2 , k  Z
5
5

Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 15


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

4
 

Vậy nghiệm của phương trình (5) là x   arccos    k 2 , k  Z
5
Bài tập 6 . Giải phương trình sau
5tan x  2cot x  3  0 (6)

Giải:


cos x  0
 sin 2x  0  x  k , k  Z

2

sin x  0

Điều kiện:

Với điều kiện trên, phương trình tương đương với:
5tan x  2

1
 3  0  5tan 2 x  3tan x  2  0
tan x

Đặt t = tan x, ta được phương trình:
t  1

5t 2  3t  2  0  
2
t   5

+ Với t = 1, ta có:
tan x  1  x 


4

 m , m  Z (thỏa điều kiện)

2
+ Với t   , ta có:
5
tan x  

2
 2
 x  arctan     n , n  Z (thỏa điều kiện)

5
 5

Vậy phương trình (6) có nghiệm là:
x



 2
 m , x  arctan     n ; m, n  Z
4
 5

2.2.3 Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x
 Dạng:

a sin x  b cos x  c (*)

trong đó: a, b, c là các hằng số ( a 2  b2  0 )
 Phương pháp giải:
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 16


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

Cách 1

Chia hai vế của phương trình (*) cho a 2  b2  0
Khi đó phương trình (*) trở thành:
a
a 2  b2

Đặt cos  
hoặc sin  

b

sin x 

a

,sin  

a 2  b2

a
a b
2

a 2  b2

2

,cos  

cos x 

c
a 2  b2

(**)

b
a 2  b2

b
a  b2
2

Phương trình (**) trở thành:
sin ( x   ) 

c
a b
2

2

(***) hoặc cos ( x   ) 

c
a  b2
2

Chú ý: Đây là phương trình có dạng cơ bản sin   m,cos   m ,
do đó điều kiện để phương trình (***) có nghiệm là:

c
a b
2

2

 1  a 2  b2  c 2

Cách 2

+ Xét

x 
  k  x    k 2 , k  Z
2
2

Nếu thỏa mãn phương trình (*) thì ghi nhận nghiệm
+ Xét

x 
  k  x    k 2 , k  Z
2
2

x
Đặt t  tan , khi đó
2
sin x 

2t
1  t2
,
cos
x

1  t2
1  t2

Phương trình (*) trở thành:

Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 17


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

2t
1  t2
a.
 b.
c
1  t2
1  t2
  b  c  t 2  2a.t  c  b  0

Có  '  a 2  b2  c 2 nên để phương trình có nghiệm thì cần điều kiện

là:

a 2  b2  c 2  0 hay a 2  b 2  c 2

Giải phương trình này ta tính được t và từ đó tính được x
 Các bài tập minh họa:
Bài tập 7 . Giải phương trình sau
2sin3x  5 cos3x  3 (7)

Giải:
Chia hai vế của phương trình (7) cho 3, ta được phương trình:
2
5
sin 3x 
cos3x  1
3
3

Đặt cos  

2
5
,sin  
, ta được phương trình:
3
3

sin 3x.cos   sin  .cos3x  1
 sin(3x   )  1
 3x    

 x


3




2


6

 k 2 , k  Z
k

2
, kZ
3

Vậy phương trình (7) có nghiệm là x  


3

trong đó  là số đo của góc sao cho cos  

Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013




6

k

2
, kZ
3

2
5
, sin  
3
3

Trang 18


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

Bài tập 8 . Giải phương trình sau
c
cos2 x  sin 2 x  sin 2 x  

3
(8)
2

)
Giải:
(8)  cos 2 x  sin 2 x  

3
2

(8')

Chia hai vế của phương trình (8’) cho 2 , ta được phương trình:
1
1
3
cos 2 x 
sin 2 x  
2
2
2



 
 sin  2 x    sin   
4

 3
7

 x   24  k

 

13
 n
x 

24

; k, n  Z

Vậy phương trình (8) có nghiệm là:
x

13
7
 n ; k, n  Z
 k , x 
24
24

Bài tập 9 . Giải phương trình sau
sin x 





3  2 cos x  1 (9)

Giải:

+ Xét

x 
  k  x    k 2 , k  Z
2
2

Phương trình (9) trở thành: 
+ Xét





3  2  1 (vơ lí)

x 
  k  x    k 2 , k  Z
2
2

Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 19


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

x
Đặt t  tan , khi đó phương trình (9) trở thành:
2

2t

1  t2





32 .

1  t2
1
1  t2

 ( 3  1)t 2  2t  3  3  0
t  1

t  3

- Với t = 1, ta có:
tan

x
x 

 1    k  x   k 2 , k  Z

2
2
4
2

- Với t = 3 , ta có:
tan

x
x 
2
 3    m  x 
 m2 , m  Z
2
2
3
3

Vậy nghiệm của phương trình (9) là:
x


2

 k 2 , x 

2
 m2 ; k , m  Z
3

2.2.4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x, cos x:
 Dạng:

a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  0 (*)

trong đó: a, b, c là các hằng số ( a 2  b2  c 2  0 )
 Phương pháp giải:
Cách 1

+ Xét cos x = 0  x 


2

 k , k  Z , nếu thỏa mãn phương trình (*)

thì ghi nhận nghiệm
+ Xét cos x  0  x 


2

 k , k  Z

Chia hai vế của phương trình (*) cho cos2 x  0, ta được phương trình:
a tan2x + b tan x + c = 0
Đây là phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác tan x (Cách giải đã
trình bày tại mục 2.2.2)
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 20


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

Cách 2

+ Xét sin x = 0  x  k , k  Z , nếu thỏa mãn phương trình (*) thì
ghi nhận nghiệm.
+ Xét sin x  0  x  k , k  Z
Tương tự như cách 1, chia hai vế của phương trình (*) cho sin2 x  0
để chuyển về phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác cot x
 Chú ý:
Khi vế trái của phương trình (*) là một số khác khơng
Dạng: a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d

(**)

Cách 1

Để ý thấy d = d .1 = d .( sin 2 x + cos 2 x ) .
Từ đây, ta có thể biến đổi đưa phương trình (**) về dạng phương trình
thuần nhất bậc hai đối với sin x, cos x như sau:
(a – d ).sin2x + b.sinx.cosx + ( c – d ).cos2x = 0
Cách 2

Sử dụng công thức d .

1
 d .(1  tan 2 x)
2
cos x

 Các bài tập minh họa:
Bài tập 10 . Giải phương trình sau
4sin2 x  5sin x cos x  6cos2 x  0 (10)

Giải:
+ Xét cos x = 0  x 


2

 p , p  Z

Phương trình (10) trở thành: 4 = 0 (vơ lí)
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 21


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

+ Xét cos x  0  x 



2

 p , p  Z

Chia hai vế của phương trình (10) cho cos2 x  0, ta được:
4 tan2 x – 5tan x - 6 = 0
Đặt t = tan x, ta được phương trình:
t  2
4t2 – 5t – 6 = 0  
3
t   4

- Với t = 2, ta có:
tan x  2  x  arctan  2  k , k  Z (thỏa mãn)
3
- Với t =  , ta có:
4
tan x  

3
 3
 x  arctan     m , m  Z (thỏa mãn)
4
 4

Vậy phương trình (10) có nghiệm là:
 3
x  arctan 2  k , x  arctan     m ; k , m  Z
 4

Bài tập 11 . Giải phương trình sau
cos2 x  sin x cos x  2sin 2 x  1  0 (11)

Giải:
(11)  cos2 x  sin x cos x  2sin 2 x  (sin 2 x  cos2 x)  0
 sin 2 x  sin x cos x  2cos2 x  0

+ Xét cos x = 0  x 


2

(11')

 p , p  Z

Phương trình (11’) trở thành: 1 = 0 (vơ lí)
+ Xét cos x  0  x 


2

 p , p  Z

Chia hai vế của phương trình (11’) cho cos2 x  0, ta được
Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 22

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

tan2 x + tan x - 2 = 0
Đặt t = tan x, ta được phương trình:
t  1
t2 + t – 2 = 0  
1  2

- Với t = 1, ta có:
tan x  1  x 


4

 k , k  Z (thỏa mãn)

- Với t = - 2, ta có:
tan x  2  x  arctan(2)  m , m  Z (thỏa mãn)

Vậy phương trình (11) có nghiệm là:
x  arctan(2)  m , x 


4

 k ; k , m  Z

Bài tập 12 . Giải phương trình sau

4cos2

x 1
x
 sin x  3sin 2  3 (12)
2 2
2

Giải
(12)  4cos2

+ Xét cos

x
x
x
x
 sin .cos  3sin 2  3 (12')
2
2
2
2

x
x 
 0    p  x    p2 , p  Z
2
2
2

Phương trình (12’) trở thành: 3 = 3 (ln đúng)
Do đó x    p 2 , p  Z là nghiệm của phương trình
+ Xét cos

x
x 
 0    p  x    p2 , p  Z
2
2
2

Chia hai vế của phương trình (12’) cho cos2

Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

x
 0 , ta được:
2

Trang 23


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

x
x
x


 3tan 2  3.1  tan 2 
2
2
2


4  tan

x
 1
2

 tan

 x


2

 m2 , m  Z

Vậy phương trình (12) có nghiệm là:
x    p2 , x  


2

 m2 ; p, m  Z

2.2.5 Phương trình thuần nhất bậc ba đối với sin x, cos x:

 Dạng:

a sin3 x  b sin2 x cos x  c sin x cos2 x  d cos3 x  0 (*)

 Phương pháp giải:
Cách 1

+ Xét cos x = 0  x 


2

 k , k  Z , nếu thỏa mãn phương trình (*)

thì ghi nhận nghiệm
+ Xét cos x  0  x 


2

 k , k  Z

Chia hai vế của phương trình (*) cho cos3 x  0, ta được phương trình:
a tan3x + b tan2 x +c tanx + d =0
Đây là phương trình bậc ba theo hàm số lượng giác tan x
Cách 2

+ Xét sin x = 0  x  k , k  Z , nếu thỏa mãn phương trình (*) thì
ghi nhận nghiệm
+ Xét sin x  0  x  k , k  Z

Tương tự như cách 1, chia hai vế của phương trình (*) cho sin3 x  0
để chuyển về phương trình bậc ba theo hàm số lượng giác cot x
 Các bài tập minh họa
Bài tập 13 . Giải phương trình sau
Khóa luận tốt nghiệp khóa
2009 – 22013
3

cos x  4cos x sin x  cos x sin 2 x  2sin3 x  0 (13)

Trang 24


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

SVTH: Mai Thị Phương Thảo

Giải:



+ Xét cos x = 0  x 

2

 p , p  Z

Phương trình (13) trở thành:  2  0 (Vơ lí).
+ Xét cos x  0  x 


2

 p , p  Z

Chia hai vế của phương trình (13) cho cos3 x  0, ta được:
1 – 4tan x + tan2x + 2 tan3x = 0
Đặt t = tan x, ta được:
2t 3  t 2  4t  1  0  (t  1)(2t 2  3t  1)  0

t  1

t  1  0

3  17

 t 
4
 2t 2  3t  1  0


t  3  17

4

- Với t = 1, ta có:
tan x  1  x 

- Với t 

4

 k , k  Z

3  17
, ta có:
4

tan x =
- Với t 



 3  17 
3  17
 x  arctan 
  m , k  Z
4
4



3  17
, ta có:
4

tan x =

 3  17 
3  17

 x  arctan 
  n , k  Z
4
4



Khóa luận tốt nghiệp khóa 2009 – 2013

Trang 25