Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung “ phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác

1

Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải và sáng tạo bài
toán mới về nội dung “ Phương trình lượng giác
xây dựng từ đẳng thức lượng giác
Guide the eleventh grade student to solve and create the new mathematical problems about the
content "trigonometric equation constructed from trigonometric equalities
NXB H. : ĐHGD, 2012 Số trang 97 tr. +

Hoàng Thị Hiền


Trường Đại học Giáo dục
Luận văn ThS ngành: Lý luận và phương pháp dạy học; Mã số:601410
Người hướng dẫn: PGS. TS Nguyễn Vũ Lương
Năm bảo vệ: 2012

Abstract. Trình bày cơ sở lý luận về hướng dẫn học sinh giải toán; sáng tạo bài toán mới và
thực tiễn việc dạy học toán hiện nay. Nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải và
sáng tạo bài toán về nội dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác. Tiến
hành thực nghiệm sư phạm để đánh giá thính khả thi của các biện pháp đã đề xuất.

Keywords: Toán học; Phương pháp dạy học; Phương trình lượng giác; Bài tập; Đẳng thức
lượng giác.

Content.
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Trung ương 8 (Khóa IX) của Đảng xác định: “Cùng với giáo dục đào tạo, nghiên
cứu khoa học là quốc sách hàng đầu”. Công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước đặt ra
những yêu cầu mới về nguồn lao động chất lượng cao, trong đó có đội ngũ giáo viên ở các cấp học,
bậc học, từ giáo dục phổ thông đến giáo dục đại học, sau đại học.

Môn Toán là một trong những môn học rất quan trọng trong trương trình giáo dục THPT. Mục
đích của việc đổi mới phương pháp dạy và học nói chung, môn toán trường THPT nói riêng là
khuyến kích tính tích cực, chủ động, khắc phục thói quen học tập thụ động của học sinh. Nói cách
khác, học sinh được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo. Đổi mới
phương pháp dạy và học môn toán góp phần trực tiếp nâng cao chất lượng giáo dục nói chung, giáo
dục trung học phổ thông nói riêng.
Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc
trưng chủ yếu trong hoạt động toán học của học sinh. Trong quãng đời đi học đến THPT, chắc chắn
mỗi học sinh đã từng giải rất nhiều bài toán. Khi đứng trước những bài toán khó, nhiều học sinh
thường tự đặt cho mình những câu hỏi, như ai đã sáng tạo ra bài toán này, phương hướng giải bài
toán này ra sao, mình có thể giải được bài toán này không, mình có sáng tạo được bài toán mới
2

không Đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo trong giải toán và sáng tạo bài toán mới. Để rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh, giáo viên
cần hướng dẫn cho học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để học sinh suy
nghĩ, tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán hoặc biết sáng tạo ra những bài toán mới từ những
kiến thức liên quan. Các bài toán là sản phẩm sáng tạo của một cá nhân hay một tập thể, nó xuất phát
từ những ý tưởng ban đầu hoặc từ một hay nhiều bài toán trước đó. Việc học sinh có thói quen lật đi
lật lại vấn đề, tư duy mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp họ thu được những điều quan trọng hơn lời
giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính thay vì học thuộc hết các chi tiết một cách vô
nghĩa, qua đó giải thích được vì sao giải như vậy và cao hơn là trả lời câu hỏi vì sao người ta sáng tạo
ra bài toán.
Tuy nhiên, trong thực tế không nhiều giáo viên và học sinh làm được điều đó. Nhiều GV dạy
toán hiện nay chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuỗi bài toán liên quan, chưa quan
tâm đến việc xây dựng bài toán mới. Trong giải toán, giáo viên và học sinh chỉ dừng lại ở việc tìm ra
kết quả của bài toán mà chưa hề biết tới tác giả ra đề đã xây dựng bài toán đó như thế nào và đâu mới
là cái gốc của bài toán. Điều đó làm cho học sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã
học. Vì vậy, khi bắt đầu giải một bài toán mới, học sinh không biết phải bắt đầu tư đâu, cần vận dụng
kiến thức nào, từ đâu có bài toán này, nội dung bài toán có liên quan đến những bài toán và kiến thức

nào đã gặp
Trong quá trình dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi toán tôi thấy rằng, việc tìm tòi mở rộng
càc bài toán quen thuộc thành các bài toán mới, tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán để từ
đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một phương pháp khoa học và hiệu quả. Quá trình này bắt đầu
từ càc bài toán đơn giản đến bài tập khó, sáng tạo ra bài toán mới từ những kiến thức cơ bản là bước
đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho HS. Một điều chắc chắn rằng việc tìm tòi, mở rộng các
bài toán sẽ tăng hứng thú học tập và óc sáng tạo của học sinh. Từ đó giúp học sinh có cơ sở khoa học
khi phân tích, định hướng giải các bài toán khác. Hơn nữa, phương pháp này cũng giúp học sinh
củng cố lòng tin vào khả năng học toán của mình. Làm được như vậy, giáo viên đã nhen nhóm lên
trong các em học sinh một tình yêu toán học và phần nào minh hoạ cho ý tưởng dạy toán là dạy cho
học sinh biết sáng tạo.
Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải và
sáng tạo bài toán mới về nội dung “ Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác”.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Thứ nhất, chỉ ra các phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài tập toán học nói chung và áp
dụng vào hướng dẫn học sinh ở nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác được xây dựng từ đẳng
thức lượng giác.
3

Thứ hai, chỉ ra phương pháp hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới nói chung và áp dụng vào
hướng dẫn học sinh ở nội dung cụ thể là: Phương trình lượng giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài
Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán về nội
dung phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác.
4. Giả thuyết nghiên cứu của đề tài
Nếu vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo
bài toán mới về nội dung “ Đẳng thức lượng giác và phương trình chứa đẳng thức lượng giác” sẽ
kích thích tư duy sáng tạo và sự say mê tìm tòi khám phá của học sinh.
5. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu:

Phương pháp hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán mới về nội dung phương trình
lượng giác chứa đẳng thức lượng giác.
5.2. Khách thể nghiên cứu:
Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực để hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài
toán mới.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu:
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về: Khái niệm và vị trí chức năng của bài tập toán học, phương pháp
dạy học toán, khái niệm về sáng tạo và sáng tạo bài toán mới.
- Nghiên cứu các tài liệu toán học về nội dung lượng giác, phương trình lượng giác.
+ Phương pháp thực nghiệm, hỏi ý kiến chuyên gia…
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, luận văn gồm có ba chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài
Chương 2. Hướng dẫn học sinh giải và sáng tạo bài toán mới nội dung “ Phương trình lượng
giác xây dựng từ đẳng thức lượng giác”
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Hƣớng dẫn học sinh giải toán
1.1.1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học
1.1.2. Cách dạy bài tập toán học
1.1.2.1. Cách dạy bài tập toán theo quan điểm kiến tạo
4

1.1.2.2. Quy trình giải một bài toán theo bốn bước của Polya
Theo Polya, để học sinh tự tìm được lời giải bài toán, người thầy cần hướng dẫn học sinh cách
giải bài tập theo bốn bước sau đây:
Bước 1: Hiểu rõ bài toán

Bước 2 : Xây dựng chương trình giải
Bước 3 : Thực hiện chương trình giải
Bước 4 : Khảo sát lời giải đã tìm được
1.1.3. Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn
1.1.4. Phương pháp dạy học giải quyết vấn đề
1.1.5. Phương pháp dạy học theo dự án
1.1.6. Dạy học theo phương pháp hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu
1.2. Sáng tạo bài toán mới
1.2.1. Một số khái niệm về sáng tạo
1.2.2. Khái niệm và ví dụ về bài toán mới
Ví dụ bài toán mới
Từ một đẳng thức cụ thể sau
cot tan 2cot2x x x

Sử dụng chiều thuận đẳng thức chúng ta dễ dàng xây dựng những phương trình lượng giác mới
từ những phương trình lượng giác cơ bản hoặc phuơng trình đại số
Ví dụ
Từ phương trình
3
2xx
ta xây dựng phương trình lượng giác
3
8cot 2 cot 2 tanx x x  

Từ phương trình
cot 3x 
ta xây dựng phương trình
2cot tan 2cot2 3x x x  

Từ phương trình

22xx  
ta xây dựng phương trình lượng giác
2cot2 2 tan cot 2x x x   

Nếu biết
2cot2Bx
chúng ta không thể tìm ra A nhờ các phép biến đổi, khi đó các bài toán
nhận được khó hơn nhiều
Ví dụ phương trình
3
cot 2cot2 tan 2x x x  

5

Khi đó chúng ta phải dùng đến kết quả
2cot2 cot tanx x x
và thu được phương trình đơn
giản hơn
3
cot cot 2xx

Phương trình
6 2 2
tan 4cot 2 cotx x x
dùng biến đổi
2cot2 cot tanx x x
ta thu
được phương trình đơn giản hơn
62
tan tan 2 0xx  

1.2.3. Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới
1.3. Thực tiễn việc dạy học Toán hiện nay
Ở trường THPT dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là đặc
trưng chủ yếu trong hoạt động toán học của học sinh. Trong quãng đời đi học đến THPT, học sinh đã
giải rất nhiều bài toán, trong đó hẳn cũng có những bài rất khó với những câu hỏi chất chứa thắc mắc
như ai đã sáng tạo ra bài toán này và từ đâu mà có, mình có thể làm được việc đó không? Nếu thắc
mắc đó xuất hiện thì rất đáng mừng, đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo. Để rèn luyện kỹ năng
giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến thức cơ bản cho học sinh giáo viên cần hướng dẫn
cho học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản để học sinh suy nghĩ tìm tòi
những kết qua mới sau mỗi bài toán hoặc biết sáng tạo ra những bài toán mới từ những kiến thức liên
quan. Chúng ta đã biết những bài toán mà chúng ta đã gặp đều không phải là từ trên trời rơi xuống
mà thường là người ta từ một vài ý tưởng nào đó, thêm vào ít nhiều sáng tạo đặt ra. Việc học sinh có
thói quen lật đi lật lại vấn đề, suy nghĩ mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp bạn thu được những điều
quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính thay vì học thuộc hết các
chi tiết một cách vô nghĩa, qua đó giải thích được vì sao giải như vậy và cao hơn là trả lời câu hỏi vì
sao nghĩ ra bài toán.
Nhưng thật tiếc là trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên. Phần
lớn GV chúng ta chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuỗi bài toán liên quan, chưa
quan tâm đến việc xây dựng bài toán mới. Trong giải toán chúng ta chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả
của bài toán mà chưa hề biết tới tác giả ra đề đã xây dựng bài toán đó như thế nào và đâu mới là cái
gốc của bài toán. Điều đó làm cho học sinh khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học. Cho
nên khi bắt đầu giải một bài toán mới học sinh không biết phải bắt đầu tư đâu? Cần vận dụng kiến
thức nào? Từ đâu có bài toán này? Bài toán có liên quan đến những bài toán và kiến thức nào đã gặp?
Như vậy, dạy và học toán hiện nay ở trường phổ thông chỉ nằm gọn trong khuôn khổ sách giáo
khoa, cả giáo viên và học sinh đều cố gắng đạt chuẩn chương trình đã quy định. Điều này làm cho
giáo viên không có động lực nghiên cứu, nâng cao trình độ, đồng thời làm hạn chế sự sáng tạo của
học sinh. Đã đến lúc, việc dạy và học nói chung, dạy và học toán nói riêng cần phải có những đổi
mới tích cực trong phương pháp và nội dung để đạt được hiệu quả cao nhất trong dạy và học.

6

Kết luận chƣơng 1
Trong chương 1, tác giả trình bày những quan điểm về vị trí chức năng và tầm quan trọng của
bài tập toán học trong học toán, đồng thời chỉ ra cách hướng dẫn học sinh giải bài tập toán bằng một
số phương pháp dạy học tích cực hiện nay. Nâng cao hơn khả năng giải toán là khả năng sáng tạo ra
bài toán mới nói chung và cách sáng tạo bài toán nội dung lượng giác nói riêng. Tác giả chỉ ra thực
trạng dạy và học toán hiện nay còn nhiều bất cập cần phải đổi mới để góp phần nâng cao chất lượng
giáo dục nói chung. Đó là toàn bộ cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài nghiên cứu.

CHƢƠNG 2
HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN MỚI VỀ NỘI DUNG
“PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC XÂY DỰNG TỪ ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC”

2.1. Một số kiến thức liên quan
2.1.1. Đẳng thức của các hàm số lượng giác đối với các góc trong tam giác
Trước hết chúng ta đi chứng minh một số đẳng thức của hàm số lượng giác đối với các góc
trong tam giác. Để từ những đẳng thức này chúng ta xây dựng hệ thống các đẳng thức lượng giác
mới.
1)sin sin sin 4cos cos cos ;
2 2 2
A B C
A B C  

2)cos cos cos 1 4sin sin sin ;
2 2 2
A B C
A B C   

222
3)sin sin sin 2 2cos cos cos ;A B C A B C   

4)tan tan tan tan tan tan ;A B C A B C  

5)tan tan tan tan tan tan 1;
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
  

6)cot cot cot cot cot cot ;
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
  

7)cot cot cot cot cot cot 1;A B B C C A  


8)cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C    

7

333
9)cos3 cos3 cos3 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C   

10)tan3 tan3 tan3 tan3 tan3 tan3 ;A B C A B C  

11)tan tan tan tan tan tan ;nA nB nC nA nB nC  

12)tan tan tan tan tan tan 1;
2 2 2 2 2 2
nA nB nB nC nC nA
  

sin sin sin
2 2 2
13) 2
cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
A B C
B C C A A B
  
.
sin2 sin2 sin2 4sin sin sin
14) 8sin sin sin .
sin sin sin 2 2 2
4cos cos cos
2 2 2
A B C A B C A B C
A B C
A B C




4sin sin sin
cos cos cos 1

2 2 2
15) tan tan tan ;
sin sin sin 2 2 2
4cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C A B C
A B C
A B C
  



333
tan2 tan2 tan2 8cos cos cos
16) ;
tan tan tan cos2 cos2 cos2
A B C A B C
A B C A B C




   
333
31
17)sin sin sin sin sin sin sin3 sin3 sin3
44
333
3cos cos cos cos cos cos ;

2 2 2 2 2 2
A B C A B C A B C
A B C A B C
       


22
18)cos sin sin sin( ) 1A B C A B   

22
19)sin sin cos cos( ) 1;A B C A B   

20)cot tan tan cot tan tan ;
2 2 2 2 2 2
C A B C A B
  

222
21)cos cos( ) cos cos( ) cos cos( ) 3
2(sin sin sin );
A B C B C A C A B
A B C
     
  

8

22)sin sin( ) sin sin( ) sin sin( ) 0;C A B B C A A B C     

23)sin sin sin 4sin sin cos ;

2 2 2
24)cos cos cos 1 4cos cos sin ;
2 2 2
A B C
A B C
A B C
A B C
  
    

2.1.2. Một số phương pháp xây dựng đẳng thức lượng giác
Thực chất việc giải các bài toán lượng giác là sử dụng khéo léo các đẳng thức lượng giác.
Nếu chúng ta không biết các đẳng thức thì ngay cả bài toán đơn giản nhất cũng không giải được.
Ngược lại, nếu phát hiện được đẳng thức cần thiết thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Vì vậy
việc hệ thống lại và xây dựng lên những đẳng thức lượng giác mới là việc làm ý nghĩa trong giải toán
lượng giác.
2.1.2.1. Xây dựng đẳng thức nhờ các phép biến đổi đại số
2.1.2.2. Xây dựng các đẳng thức mới từ các công thức cơ bản nhờ phép biến đổi lượng giác
2.1.2.3. Xây dựng đẳng thức lượng giác bằng một số phương pháp khác
2.1.3. Xây dựng đẳng thức lượng giác trong tam giác từ đẳng thức lượng giác
2.2. Hƣớng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới
2.2.1. Xây dựng phương trình lượng giác từ những đẳng thức lượng giác đối với các góc trong
tam giác
1.Từ đẳng thức
1)sin sin sin 4cos cos cos ;
2 2 2
A B C
A B C  

Đặt

, 2 3A x B x C x

    
ta có đẳng thức sau
3
sin sin2 sin3 4cos cos cos ;
22
xx
x x x x  

Khi đó ta xây dựng được phương trình lượng giác như sau:
3
sin sin2 sin3 sin5 4cos cos cos 1
22
3
sin sin2 sin3 cos3 4cos cos cos 1
22
xx
x x x x x
xx
x x x x x
    
    

Đặt
2
,,
33
A B x C x


   
ta có đẳng thức lượng giác
9

32
sin sin 2 3cos cos
2 3 2 3
x
x x x

   
    
   
   

Từ đó xây dựng phương trình lượng giác
2
3 sin 2sin 2 3cos cos
3 2 3
x
x x x

   
    
   
   

32
sin sin 4cos sin
2 3 2 3 2

xx
xx

   
    
   
   

2. Từ
2)cos cos cos 1 4sin sin sin ;
2 2 2
A B C
A B C   

Đặt
, , 2A x B x C x   
ta có đẳng thức lượng giác

2
1 cos2 2cosxx

Đặt
2 , 2 4
6 3 2
A x B x C x
  
      
ta có đẳng thức lượng giác
2)cos(2 ) cos(2 ) sin4 1 4sin( )sin( )sin(2 )
6 3 12 6 4

x x x x x x
    
        

Từ đó ta xây dựng được phương trình lượng giác sau
cos(2 ) cos(2 ) sin4 cos4
63
2 4sin( )sin( )sin(2 )
12 6 4
cos(2 ) cos(2 ) sin4 sin6
63
1 sin( ) 4sin( )sin( )sin(2 )
12 12 6 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x x

    
  
    

    
   
      

Đặt
, 2 3A x B x x   
ta có đẳng thức lượng giác sau
3

cos cos2 cos3 1 4sin sin cos ;
22
xx
x x x x   

Từ đó ta xây dựng được phương trình lượng giác sau
10

3
2cos cos2 cos3 2 4sin sin cos ;
22
3
cos cos2 cos3 cos5 sin 1 4sin sin cos ;
22
xx
x x x x
xx
x x x x x x
   
     

Đặt
2
, 3 , 2
33
A x B x C x

    
ta có đẳng thức lượng giác
23

cos cos 3 cos2 1 sin sin sin
3 3 6 2 3 2
xx
x x x x
   
       
       
       
       

3. Từ
222
3)sin sin sin 2 2cos cos cos ;A B C A B C   

Đặt
, 2 3A x B x x   
ta có đẳng thức lượng giác sau
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2 2cos cos2 cos3x x x x x x   

Từ đó ta xây dựng được phương trình lượng giác sau
2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 2sin 5 3 2cos cos2 cos3x x x x x x x    

2 2 2
sin sin 2 sin 3 sin6 3 2cos cos2 cos3x x x x x x x    

Đặt
5
, , 2

66
A x B x C x

    
ta có công thức lượng giác sau
2 2 2
55
sin sin sin 2 2 2cos cos cos2
6 6 6 6
x x x x x x
   
       
       
       
       

Ta xây dựng phương trình
2 2 2
5
sin sin sin 2 2
66
x x x

   
    
   
   

4. Từ
4)tan tan tan tan tan tan ;A B C A B C  

Đặt
, , 2A x B x C x

   
ta có đẳng thức sau
2
2tan
tan2
1 tan
x
x
x



Đặt
, 2 , 3A x B x C x

   
ta có đẳng thức sau
tan tan2
tan3
1 tan tan2
xx
x
xx




11

Đặt
2
,,
33
A B x C x

   
ta có công thức lượng giác sau
22
3 tan tan 3tan tan
33
x x x x

   
    
   
   

Ta xây dựng phương trình lượng giác
22
3 tan tan tan tan
33
x x x x

   
    
   

   

5. Từ
5)tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
  

Đặt
2 , 2 , 4A x B x C x

   
ta có đẳng thức lượng giác sau
2
tan 2tan cot2 1x x x

Đặt
2 , 4 , 6A x B x C x

   
ta có đẳng thức lượng giác
tan tan2 tan2 cot3 cot3 tan 1x x x x x x  

Từ đó ta xây dựng phương trình lượng giác sau
tan tan2 tan2 cot3 cot3 tan tan5x x x x x x x  

tan tan2 tan2 cot3 cot3 tan tan2 cot2 2x x x x x x x x    

Đặt
2

6 , 2 , 4
33
A x B x C x

    
ta có đẳng thức lượng giác
tan 3 tan tan tan2 tan2 tan 3 1
3 6 6 3
x x x x x x
   
       
      
       
       

Ta xây dựng phương trình lượng giác
tan 3 tan tan tan2 tan2 tan 3 tan2
3 6 6 3
x x x x x x x
   
       
      
       
       

Đặt
2
, 2 , 2
33
A B x C x


   
ta có đẳng thức lượng giác
12

3tan tan tan 3tan 1
66
x x x x

   
    
   
   

Ta xây dựng phương trình lượng giác
3tan tan tan 3tan tan2
66
x x x x x

   
    
   
   

6. Từ
6)cot cot cot cot cot cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
  

Đặt
2 , 2 , 4A x B x C x

   
ta thu được đẳng thức
2
2cot2
tan2
cot 1
x
x
x



Đặt
2 , 4 , 6A x B x C x

   
ta thu được đẳng thức lượng giác sau
cot cot2 tan3 cot cot2 tan3x x x x x x  

Ta xây dựng được phương trình lượng giác sau
cot cot2 2tan3 cot3 cot cot2 tan3 2x x x x x x x    

cot tan cot2 tan2 tan3 cot cot2 tan3x x x x x x x x    

Đặt
2
, 2 , 2

33
A B x C x

   
ta có đẳng thức lượng giác
11
cot cot cot cot
66
33
x x x x

   
    
   
   

Ta xây dựng phương trình lượng giác
1
cot cot cot cot
66
3
x x x x

   
    
   
   

7. Từ
7)cot cot cot cot cot cot 1A B B C C A  

Đặt
, , 2A x B x C x

   
ta thu được đẳng thức
2
cot 2cot cot2 1x x x

Ta xây dựng phương trình lượng giác sau
2
tan2 cot 2cot cot2 2x x x x  

13

2
cot cot cot2 1x x x

Đặt
, 2 , 3A x B x C x

   
ta thu được đẳng thức
cot cot2 cot2 cot3 cot3 cot 1x x x x x x  

Từ đó ta xây dựng phương trình lượng giác
cot cot2 cot2 cot3 cot3 cot tan6x x x x x x x  

cot cot2 cot2 cot3 cot3 cot tan cot 3x x x x x x x x    

Đặt
5
, 2 ,
66
A x B x C x

    
ta có đẳng thức lượng giác
55
cot cot 2 cot 2 cot cot cot 1
6 6 6 6
x x x x x x
   
       
      
       
       

Ta xây dựng phương trình lượng giác
55
cot cot 2 cot 2 cot cot cot tan
6 6 6 6
x x x x x x x
   
       
      
       
       

Đặt

2
,,
33
A B x C x

   
ta có đẳng thức lượng giác
1 2 2 1
cot cot cot cot 1
33
33
x x x x

   
    
   
   

Ta xây dựng phương trình lượng giác
1 2 2 1
cot cot cot cot cot2
33
33
x x x x x

   
    
   
   

8. Từ
8)cos2 cos2 cos2 1 4cos cos cosA B C A B C    

Đặt
, , 2A x B x C x

   
ta thu được
2
2cos2 cos4 1 4cos cos2x x x x   

Từ đó ta xây dựng bài toán lượng giác
14

2
2cos2 cos4 cos6 4cos cos2x x x x x   

2
2cos2 cos4 sin4 4cos cos2x x x x x   

Đặt
, 2 , 3A x B x C x

   
ta thu được đẳng thức
cos2 cos4 cos6 1 4cos cos2 cos3x x x x x x    

Từ đó ta xây dựng phương trình lượng giác
cos2 cos4 cos6 sin6 4cos cos2 cos3x x x x x x x    

4cos cos2 cos4 cos6 1 4cos cos2 cos3x x x x x x x    

2.2.2. Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác
2.2.2.1. Sử dụng chiều thuận nghịch của đẳng thức
Ví dụ: Từ đẳng thức
2
tan cot
sin2
xx
x

ta xây dựng phương trình
1)
2
2tan cot 3
sin2
xx
x
  

2)
2
1
tan cot 3
sin 2
xx
x
  

3)

3
2
2tan cot 1
sin2
xx
x
  

2 2.2.2. Sử. dụng các công thức cộng cung
Dạng 1:
 
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ( ) ( )A x B x C x A x B x C x    

Ta xây dựng các phương trình
1)
sin( 3 ) sin sin4 1
36
x x x


    



2)
1
sin( 4 ) sin3 sin
62
x x x


   

3)
sin 3 sin sin cos5
63
x x x x

   
    
   
   

15

4)
3
sin 5 sin3 sin2
32
x x x


   



5)
sin 4 sin 3 sin 1
36
x x x


   
    
   
   

6)
sin sin2 sin3 sin6x x x x  

Dạng 2:
 
cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) ( )A x B x C x A x B x C x     

Dạng 3:
 
tan ( ) tan ( ) tan ( ) tan ( ) ( ) ( )A x B x C x A x B x C x    

Dạng 4:
 
cot ( ) cot ( ) cot ( ) cot ( ) ( ) ( )A x B x C x A x B x C x    

Dạng 5:
 
2 2 2 2
cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2A x B x C x A x B x C x     

Dạng 6:
 
2 2 2 2
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) 2A x B x C x A x B x C x     

2.2.2.3. Sử dụng đẳng thức dạng phân thức
1.Ta có phân thức
sin5
2cos4 2cos2 1
sin
x
xx
x
  
.
Sử dụng công thức trên ta thu được
 
(2cos4 2cos2 1) 2cos20 2cos10 1 1x x x x    

Và thu được phương trình đơn giản là
sin5 sin25
1
sin sin5
xx
xx



2.2.2.4. Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức và các phương trình lượng giác cơ bản
Ví dụ: Từ đẳng thức
tan3 tan tan( )tan( )
33
x x x x

  

và kết hợp với
1.1) Phương trình
tanxa
ta thu được phương trình
16


2tan3 tan tan( )tan( ) 3
33
x x x x

   

1.2) Phương trình
tan cot 2xx
ta thu được phương trình

cot3 tan tan( )tan( ) 2
33
x x x x

   
.
Như vậy khi đặt đẳng thức lượng giác vào một phương trình lượng giác càng khó thì chúng ta nhận
được phương trình mới khó hơn.
1.3) Phương trình
sin6 cos6 1 tan3x x x  
ta thu được phương trình

sin6 cos6 1 tan tan tan

33
x x x x x

   
    
   
   

2.2.2.5. Xây dựng phương trình lượng giác từ đẳng thức lượng giác và các dạng phương trình đại số
Ví dụ: Từ đẳng thức
cos
cot
4 2 1 sin
xx
x






và các phương trình
1.1)
3
21t t t   

Ta xây dựng phương trình lượng giác
3
cos
cot 2

4 2 1 sin
xx
x


  




Đặt
cot
42
x
t





phương trình trở thành
3
21t t t   

1.2)
4
4
2 2 1t t t    

Ta xây dựng phương trình lượng giác sau

4
4
2 2sin cos
2 cot
4 2 1 sin
x x x
x



  




Đặt
cos
cot
4 2 1 sin
xx
t
x


  



ta thu được phương trình
4

4
2 2 1t t t    

17

2.2.3. Xây dựng một số bài toán lượng giác khác từ đẳng thức lượng giác
2.3. Hƣớng dẫn học sinh giải toán
2.3.1. Giải một số bài toán dùng đẳng thức lượng giác trong tam giác
Khi giải các phương trình lượng giác nói chung, chúng ta thường tìm cách biến đổi để làm
đơn giản phương trình hơn, đưa về dạng phương trình cơ bản. Việc lựa chọn hướng biến đổi như thế
nào cho phù hợp lại là nột vấn đề khó. Một lớp các phương trình có hướng biến đổi tương tự nhau là
do chúng có chung nguồn gốc hình thành. Một trong các nguồn gốc hình thành đó chính là từ các
đẳng thức lượng giác mà ra. Hệ thống đẳng thức lượng giác vừa xây dựng sẽ giúp chúng ta giải các
bài tập lượng giác một cách dễ dàng hơn.
Bài 1: Giải phương trình
1
sin 2 4cos cos sin2
2 6 12
x x x x

   
    
   
   

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
? Giả thiết bài toán cho gì? Yêu cầu gì? Có cần điều kiện gì không?
! Cho x là ẩn. Cần tìm các giá trị của x thoả mãn phương trình
1
sin 2 4cos cos sin2

2 6 12
x x x x

   
    
   
   

Bước 2: Xây dựng chương trình giải
? Cần sử dụng những công thức nào
! Thật khó để nhận ra biến đổi lượng giác nào sẽ làm đơn giản phương trình này được nếu
không có nhận xét sau
15
sin , sin2 sin( 2 )
26
xx

   
và
 
5
22
66
xx



    



Áp dụng đẳng thứ
1)sin sin sin 4cos cos cos ;
2 2 2
A B C
A B C  

Phương trình tương đương
5
4cos cos cos 4cos cos
12 12 12
cos 0
0
cos
12
x x x x
x
x
  

   
  
   
   













18

Bước 3: Trình bày lời giải
1
sin 2 4cos cos sin2
2 6 12
2sin cos sin( 2 ) 4cos cos
2 3 12
cos cos cos 2cos cos
3 2 12
5
cos cos cos cos
12 12 12
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x

  
  
  
   
    
   

   
     
      
     
     

     
     
     

     

    
   
   
   
cosx




Bước4: Khảo sát lời giải
? Nghiên cứu sâu lời giải?
! Bài toán giải được nhờ các phép biến đổi lượng giác cơ bản để biến đổi về dạng phương trình tích.
Nhưng việc bắt tay vào biến đổi từ đâu thì phải dựa vào nhận xét đã trình bày ở trên. Và đó cũng là
phương pháp chung cho một lớp các bài toán dạng này.
Bài tập đề nghị
1)sin2 sin4 sin6 4sin cos2x x x x x  

2)cos cos2 cos3 1x x x  

2 2 2
3)sin sin 2 sin 3 2 cos cos2x x x x x   

4)tan tan2 tan3 3tan tan2x x x x x  

5)tan3 cot6 cot 3cot2 cotx x x x x  

3
6)sin sin2 sin3 sin5 4cos cos cos 1
22
xx
x x x x x    

3
7)sin sin2 sin3 cos3 4cos cos cos 1
22
xx
x x x x x    

8)cos(2 ) cos(2 ) sin4 cos4
63
2 4sin( )sin( )sin(2 )
12 6 4
x x x x
x x x

    
  
    

19

9)cos(2 ) cos(2 ) sin4 sin6
63
1 sin( ) 4sin( )sin( )sin(2 )
12 12 6 4
x x x x
x x x x

    
   
      

3
10)2cos cos2 cos3 2 4sin sin cos ;
22
xx
x x x x   

3
11)cos cos2 cos3 cos5 sin 1 4sin sin cos ;
22
xx
x x x x x x     

2 2 2 2
12)sin sin 2 sin 3 2sin 5 3 2cos cos2 cos3x x x x x x x    

2 2 2

13)sin sin 2 sin 3 sin6 3 2cos cos2 cos3x x x x x x x    

14)tan tan2 tan2 cot3 cot3 tan tan2 cot2 2x x x x x x x x    

15)cot cot2 2tan3 cot3 cot cot2 tan3 2x x x x x x x    

16)cot tan cot2 tan2 tan3 cot cot2 tan3x x x x x x x x    

2
17)tan2 cot 2cot cot2 2x x x x  

18)cot cot2 cot2 cot3 cot3 cot tan6x x x x x x x  

19)cot cot2 cot2 cot3 cot3 cot tan cot 3x x x x x x x x    

2
20)2cos2 cos4 cos6 4cos cos2x x x x x   

2
21)2cos2 cos4 sin4 4cos cos2x x x x x   

22)cos2 cos4 cos6 sin6 4cos cos2 cos3x x x x x x x    

23)4cos cos2 cos4 cos6 1 4cos cos2 cos3x x x x x x x    

2.3.2. Giải một số bài toán lượng giác dùng các đẳng thức lượng giác
Bài 1: Giải phương trình
1 1 1
0
sin2 sin4 sin8x x x

  

20

HD: Sử dụng đẳng thức lượng giác
1
cot cot2
sin2
xx
x

phương trình tương đương
cot cot2 cot2 cot4 cot4 cot8 0
cot cot8
x x x x x x
xx
     


Bài tập đề nghị
Bài tập đề nghị
1)
2
2tan cot 3
sin2
xx
x
  

2)

2
1
tan cot 3
sin 2
xx
x
  

3)
3
2
2tan cot 1
sin2
xx
x
  

4)
2cot 3 tan 2cot2x x x  

5)
3
cot tan 2cot2 2x x x  

6)
cot 2tan 3cot2x x x

7)
1
2cot cot2 3

sin2
xx
x
  

8)
2
1
cot 2 cot 2
sin2
xx
x
  

9)
2
cot cot2 1
sin2
xx
x
  

10)
sin( 3 ) sin sin4 1
36
x x x


    




11)
1
sin( 4 ) sin3 sin
62
x x x

   

21

12)
sin 3 sin sin cos5
63
x x x x

   
    
   
   

13)
3
sin 5 sin3 sin2
32
x x x


   




14)
sin 4 sin 3 sin 1
36
x x x

   
    
   
   

15)
sin sin2 sin3 sin6x x x x  

16)
1
cos( 2 ) 2cos
32
xx

   

17)
2
cos( 3 ) cos 4 cos 1
33
x x x



    



18)
cos( ) cos 2 cos cos4 0
66
x x x x


     



19)
cos cos2 cos3 cos6 0x x x x   

20)
tan( 4 ) tan3 tan 3
3
x x x

   

21)
tan( 2 ) 2tan 1
4
xx


  

22)
tan( 4 ) tan( ) tan2 cot
36
x x x x

    

23)
tan( 3 ) tan2 tan 1
4
x x x

   

24)
tan tan2 tan3 tan6x x x x  

25)
cot( 3 ) 2cot cot( 5 )
66
x x x

   

26)
cot( 5 ) cot3 cot2 1
4
x x x


   

22

27)
cot cot2 cot3 cot6x x x x  

Kết luận chƣơng 2: Trong chương 2, tác giả đã liệt kê được một số đẳng thức lượng giác đối với các
góc trong tam giác và một số đẳng thức lượng giác khác. Đây là cơ sở để hình thành nên các các
phương trình lượng giác hết sức phong phú và các một số dạng bài tập lượng giác khác. Cụ thể, tác
giả đã sử dụng các đẳng thức lượng giác đó để giải và sáng tạo một số lượng bài tập phương trình
lượng giác. Đây là nguồn tài liệu cho việc thực hành giảng dạy được tiến hành trong chương 3.

CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Nội dung thực nghiệm
Bài giảng số 1: Tiến hành bằng hình thức giảng dạy trên lớp, phương pháp dạy học tích cực
với nội dung: Hướng dẫn học sinh giải bài tập phương trình lượng giác chứa đẳng thức lượng giác.
Bài giảng số 2: Tiến hành với hình thức học sinh tự học có nội dung: Hướng dẫn học sinh
sáng tạo phương trình lượng giác mới từ đẳng thức lượng giác.
3.3. Tổ chức thực nghiệm
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm
3.3.2. Thời gian thực nghiệm
3.3.3. Phương pháp thực nghiệm
3.4. Đánh giá thực nghiệm
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu, luận văn thu được một số kết quả sau:

- Hệ thống cơ sở lý luận về: vị trí chức năng của bài tập toán học trong dạy học, cách dạy bài
tập toán học theo một số quan điểm và một số phương pháp dạy học tích cực hiện nay. Luận văn
trình bày khái niệm bài toán mới và phương pháp sáng tạo bài toán mới.
- Luận văn trình bày khá chi tiết nội dung đẳng thức và phương trình lượng giác chứa đẳng
thức lượng giác. Hệ thống đẳng thức lượng giác trong tam giác, cách tạo ra một đẳng thức lượng giác
mới. Quan trọng hơn cả là cách sử dụng những đẳng thức này để sáng tạo ra phương trình lượng giác
mới. Một số lượng tương đối những bài tập được hình thành theo phương pháp này sẽ là nguồn tài
liệu bổ sung vào hệ thống bài tập lượng giác trong quá trình dạy học chuyên đề lượng giác. Nội dung
của luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học.
Đó cũng là ý nghĩa thực tiễn của đề tài nghiên cứu.
- Luận văn cũng thể hiện được việc thực nghiệm sư phạm đối với vấn đề và nội dung nêu trên
đối với đối tượng học sinh khá giỏi (với 1 giáo án giảng dạy trên lớp thực hành giải bài tập, 1 giáo án
23

hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu sáng tạo bài toán mới) cho thấy việc áp dụng đối với học sinh khá
giỏi là hoàn toàn khả thi và mang lại hiệu quả giảng dạy cao.
- Kết quả thực nghiệm cho thấy việc xây dựng những chuyên đề nâng cao hướng dẫn học sinh
tự học là hoàn toàn có thể thực hiện. Từ đó, việc giảng dạy của giáo viên sẽ linh hoạt hơn, có những
sáng tạo trên từng đối tượng học sinh, giáo viên tích cực nghiên cứu tìm tòi phát hiện ra những đề tài
nghiên cứu hay và mới lạ hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu.
- Do điều kiện thời gian và vị trí bản thân, luận văn còn một số hạn chế sau: Chưa xây dựng được
bài giảng áp dụng cho đối tượng học sinh khác, chưa xây dựng được giáo trình chi tiết nội dung này dùng
làm tài liệu cho việc dạy và học. Đó cũng là hướng nghiên cứu và cần triển khai tiếp của đề tài.

KHUYẾN NGHỊ
1. Đối với giáo viên Toán trường THPT
- Tích cực nghiên cứu, tìm tòi và phát hiện ra ngày càng nhiều hơn nữa những chuyên đề hay
để hướng dẫn học sinh học và tự nghiên cứu.
- Giáo viên cần phải xác định mục tiêu dạy học thật rõ ràng, trên cơ sở từ chuẩn môn học và
thực lực trình độ học sinh lớp mình về môn Toán, soạn giảng các kế hoạch dạy học theo các phương

pháp dạy học phù hợp, vận dụng quy trình dạy học đưa ra một cách hợp lý.
- Giáo viên nên cải tiến phương pháp dạy học của mình theo từng đối tượng học sinh, nội
dung của từng bài học, hướng dẫn học sinh tham gia các dự án thiết thực, tạo nhiều sản phẩm có chất
lượng cao là tài liệu tham khảo cho các học sinh khác thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp.
- Giáo viên cần đa dạng các hình thức kiểm tra đánh giá, tạo nhiều cơ hội cho học sinh khẳng
định mình thông qua các cuộc vui chơi, hội thảo về môn học.
- Giáo viên nên mạnh dạn áp dụng các phương pháp dạy học mới hiện nay tạo một thói quen
học tập tích cực cho học sinh.
2. Đối với các cấp quản lý ngành giáo dục
- Có biện pháp đẩy mạnh phong trào tự nghiên cứu trước tiên đối với giáo viên để những bài
sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng, không mang tính đối phó, phong trào thực sự sẽ là sân chơi
nghiên cứu cho giáo viên.
- Ghi nhận những đóng góp trong nghiên cứu khoa học của giáo viên và sử dụng những thành
quả đó trong giáo dục một cách hiệu quả.
- Nhà trường (đặc biệt là trường chuyên của các tỉnh, lớp chọn của các trường), các tổ chuyên
môn cần khuyến khích hình thức tự học, tự nghiên cứu, học nhóm của học sinh theo sự hướng dẫn,
định hướng của giáo viên, tạo điều kiện để giáo viên và học sinh giao lưu, nâng cao chất lượng, hiệu
quả trong môn Toán, để vấn đề học tập của học sinh gắn liền với thực hành, thực tế, trang bị hành
trang cần thiết cho học sinh trong tương lai.
24

References.
1. Vũ Cao Đàm (2010), Giáo trình phương pháp luận nghiên cứu khoa học. Nhà xuất bản Giáo dục,
Hà Nội.
2. Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2009), Các bài giảng về
phương trình lượng giác. Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội.
3. Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), Một số bài giảng về các bài toán
trong tam giác. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
4. Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng
(2009), Lượng giác- Đẳng thức và phương trình. Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội.

5. Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng
(2010), Lượng giác- Cực trị và các bài toán trong tam giác. Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
6. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Nhà
xuất bản Đại học Sư phạm.
7. Bùi Văn Nghị (2008), Giáo trình phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán. Nhà
xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội.
8. G. Polya (Hồ Thuần- Bùi Tường dịch) (1997), Giải một bài toán như thế nào. Nhà xuất bản Giáo
dục Hà Nội.
www. vnmath.com.
www. phanvien.com.
www.tailieu.com.
http: www. mathlinks.ro
http: www.diendantoanhoc.net.