Một vài ứng dụng của hàm đặc trưng

1


LỜI CẢM ƠN

Để hồn thành khóa luận này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơn Thất
Tú, người đã hướng dẫn, giúp đỡ tơi tận tình, chu đáo trong suốt q trình thực hiện đề tài
này.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các quý thầy cơ trong khoa Tốn, các thầy cơ
trong ban Quản lý Thư viện thuộc trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện cho
tơi thực hiện khóa luận này.
Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã dành thời gian quý
báu để đọc khóa luận này và đóng góp cho tơi nhiều kinh nghiệm quý báu.
Xin cảm ơn gia đình, các đồng học đã quan tâm, bên cạnh, động viên tôi trong suốt
q trình thực hiện khóa luận này.
Đà Nẵng, ngày 19 tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Cao Thị Thùy Dung

2


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 5
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................................. 5
2. Mục đích chọn đề tài ...................................................................................................... 5
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .................................................................................. 5
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 5
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ....................................................................... 5
6. Tóm tắt nội dung khóa luận............................................................................................ 6

PHẦN NỘI DUNG ................................................................................................................... 7
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................................... 7
1. Đại lượng ngẫu nhiên ..................................................................................................... 7
1.1. Định nghĩa ............................................................................................................... 7
1.2. Tính chất .................................................................................................................. 7
1.3. ĐLNN độc lập .......................................................................................................... 7
2. Hàm phân phối ............................................................................................................... 7
2.1. Định nghĩa ............................................................................................................... 7
2.2. Tính chất .................................................................................................................. 8
3. Phân phối rời rạc và phân phối liên tục tuyệt đối........................................................... 8
3.1. Phân phối rời rạc .................................................................................................... 8
3.2. Phân phối liên tục tuyệt đối..................................................................................... 9
4. Hàm của các ĐLNN ..................................................................................................... 12
4.1. Trường hợp ĐLNN có phân phối rời rạc .............................................................. 12
4.2. Trường hợp ĐLNN có phân phối lttđ .................................................................... 12
5. Một số đặc trưng của ĐLNN ........................................................................................ 14
5.1. Kì vọng tốn học.................................................................................................... 14
5.2. Phương sai............................................................................................................. 19
Chương 2: HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HÀM ĐẶC TRƯNG . 22
1. Hàm đặc trưng .............................................................................................................. 22
3


1.1. Hàm đặc trưng....................................................................................................... 22
1.2. Hội tụ theo xác suất ............................................................................................... 27
2. Một vài ứng dụng của hàm đặc trưng........................................................................... 28
2.1. Tìm phân phối xác suất ......................................................................................... 28
2.2. Tìm phân phối giới hạn ......................................................................................... 31
KẾT LUẬN ............................................................................................................................. 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 40

4


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết xác suất là một ngành toán học ra đời vào khoảng thế kỷ XVII. Dưới sự
nghiên cứu của nhiều nhà Toán học, cho đến nay nó đang là một trong những ngành khoa
học phát triển cả về lý thuyết cũng như ứng dụng. Nó được ứng dụng rộng rãi trong hầu
hết các lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, khoa học giáo dục và các ngành kinh
tế, kĩ thuật, y học, … Đối tượng nghiên cứu của xác suất là các hiện tượng ngẫu nhiên, các
quy luật ngẫu nhiên mà chúng ta thường gặp trong thực tế. Khác với một số mơn Tốn học
trừu tượng, lý thuyết xác suất được xây dựng dựa trên các cơng cụ Tốn học hiện đại như
Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo, … nhưng lại gắn liền với các bài toán thực tế cuộc sống,
trong tự nhiên và xã hội.
Được A.M. Liapounov (1857 – 1918) nghiên cứu, hàm đặc trưng được coi là một trong
những khái niệm lý luận quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết xác suất. Có thể nói
hàm đặc trưng là một công cụ khá sắc sảo và giúp giải quyết nhiều vấn đề quan trọng
trong lý thuyết xác suất. Để góp phần làm rõ thêm một vài ứng dụng của hàm đặc trưng
trong xác suất, em đã mạnh dạn chọn hàm đặc trưng làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận
tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích chọn đề tài
Tìm hiểu hàm đặc trưng trong việc nghiên cứu tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập
đồng thời tìm hiểu ứng dụng của nó trong việc chứng minh một vài định lý giới hạn quan
trọng trong lý thuyết xác suất.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là một vài ứng dụng của hàm đặc trưng trong lý thuyết xác suất.
Ở đây em chỉ dừng lại ở mức độ nghiên cứu một số ứng dụng của hàm đặc trưng liên
quan đến việc tìm phân phối của các đại lượng ngẫu nhiên trong một vài trường hợp
thường gặp trong lý thuyết xác suất.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, đánh giá, tổng hợp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
5


Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến hàm đặc trưng và
ứng dụng của hàm đặc trưng nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai có thích
thú với bộ mơn lý thuyết xác suất.
6. Tóm tắt nội dung khóa luận
Nội dung khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, bao gồm các kiến thức liên quan đến đại lượng ngẫu
nhiên.
Chương 2: Hàm đặc trưng và một vài ứng dụng của hàm đặc trưng. Bao gồm: Định
nghĩa và một số tính chất của hàm đặc trưng; một vài ứng dụng của hàm đặc trưng: bao
gồm các bài tập sử dụng hàm đặc trưng để tìm phân phối xác suất của một vài đại lượng
ngẫu nhiên và tìm phân phối giới hạn.

6


PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Đại lượng ngẫu nhiên
1.1. Định nghĩa
Cho (Ω, A, P) là một không gian xác xuất. Ánh xạ X: Ω → ℝ được gọi là đại lượng
ngẫu nhiên (ĐLNN) nếu X là hàm đo được, tức là: ∀𝑎 ∈ ℝ, {𝜔 ∈ Ω: X(𝜔) < 𝑎} ∈ A.
Để đơn giản ta kí hiệu [𝑋 ∈ 𝐵] = {𝜔 ∈ Ω ∶ X(ω) ∈ B}.
1.2. Tính chất
(i) Nếu X, Y là các ĐLNN trên (Ω, A, P), 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ thì 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌, 𝑋 − 𝑌, 𝑋 ⁄𝑌 (𝑌 ≠ 0),

𝑚𝑎𝑥 {𝑋, 𝑌}, 𝑚𝑖𝑛{𝑋, 𝑌} cũng là các ĐLNN trên (Ω, A, P).
(ii) Nếu X là ĐLNN trên (Ω,

A, P), g là hàm đo được trên ℝ thì g(X) là ĐLNN trên

(Ω, A, P).
1.3. ĐLNN độc lập
1.3.1. Một vài định nghĩa:
(i) Hai ĐLNN 𝑋1 , 𝑋2 được gọi là độc lập nếu với mọi số thực 𝑎1 , 𝑎2 ta có:
𝑃([𝑋1 < 𝑎1 ] ∩ [𝑋2 < 𝑎2 ]) = 𝑃[𝑋1 < 𝑎1 ]. 𝑃[𝑋2 < 𝑎2 ].
(ii) Nhóm n ĐLNN 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 được gọi là độc lập nếu với mọi số thực 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ta
có:
𝑛

𝑛

𝑃 (⋂[𝑋𝑘 < 𝑎𝑘 ]) = ∏ 𝑃[𝑋𝑘 < 𝑎𝑘 ].
𝑘=1

𝑘=1

(iii) Dãy các ĐLNN {𝑋𝑛 , 𝑛 ≥ 1} được gọi là độc lập đôi một nếu hai ĐLNN bất kì của dãy
độc lập.
(iv) Dãy các ĐLNN {𝑋𝑛 , 𝑛 ≥ 1} được gọi là độc lập nếu mọi tập con hữu hạn các ĐLNN
của dãy độc lập.
1.3.2. Tính chất:
Mệnh đề 1.3.2.1
Nếu {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 } là các ĐLNN độc lập, 𝑔1 , 𝑔2 , … , 𝑔𝑛 là các hàm Borel đo được trên
ℝ thì {𝑔𝑖 (𝑋𝑖 ), 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛} cũng độc lập.

2. Hàm phân phối
2.1. Định nghĩa
Trong không gian xác xuất (Ω, A, P) cho ĐLNN X. Ta gọi hàm thực F(x) được xác
định bởi hệ thức: 𝐹 (𝑥) = 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃[𝑋 < 𝑥], ∀𝑥 ∈ ℝ là hàm phân phối của X.
Rõ ràng khi X là ĐLNN thì [𝑋 < 𝑥] ∈ A nên hàm phân phối xác định với mọi 𝑥 ∈
ℝ.
7


2.2. Tính chất
Hàm phân phối F(x) của X trên (Ω, A, P) có tính chất:
(i) 0 ≤ 𝐹 (𝑥) ≤ 1 ∀𝑥 ∈ ℝ.
(ii) Nếu 𝑥1 ≤ 𝑥2 thì 𝐹(𝑥1 ) ≤ 𝐹(𝑥2 ).
(iii) lim 𝐹 (𝑥) = 1 , lim 𝐹(𝑥) = 0.
𝑥→+∞

𝑥→−∞

(iv) F(x) liên tục trái trên ℝ.
3. Phân phối rời rạc và phân phối liên tục tuyệt đối
3.1. Phân phối rời rạc
3.1.1. Định nghĩa
ĐLNN X được gọi là có phân phối rời rạc nếu miền giá trị của X là một tập hữu hạn hay
đếm được. Lúc đó, ta cịn gọi X là ĐLNN rời rạc.
Kí hiệu: 𝐼𝑚(𝑋 ) là tập các giá trị của X.
3.1.2. Hàm mật độ của phân phối rời rạc
a) Định nghĩa
Giả sử X là ĐLNN rời rạc với 𝐼𝑚(𝑋 ) = {𝑥𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼}, với 𝐼 = {1; 2; … ; 𝑛} hay 𝐼 = ℕ. Khi
đó:
𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖 ]

nếu 𝑥 = 𝑥𝑖
𝑓(𝑥) = 𝑓𝑋 (𝑥) = 𝑃[𝑋 = 𝑥] = {
0
nếu 𝑥 ≠ 𝑥𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝐼
được gọi là hàm mật độ rời rạc của X, hay mật độ của X.
b) Tính chất
Nếu X là ĐLNN rời rạc với miền giá trị {𝑥𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼} và hàm mật độ f(x) thì:
(𝑖) ∑ 𝑓 (𝑥𝑖 ) = 1.
𝑖∈𝐼

(𝑖𝑖) ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝐹 (𝑥) =

∑ 𝑓 (𝑥𝑖 ).
𝑖∈𝐼:𝑥𝑖 <𝑥

(𝑖𝑖𝑖) ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑏, 𝑃[𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏] =

∑

𝑓 (𝑥𝑖 ).

𝑖∈𝐼:𝑎≤𝑥𝑖 <𝑏

Với các ĐLNN rời rạc có miền giá trị {𝑥𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼} ta thường diễn tả mật độ rời rạc dưới
dạng một bảng như sau, gọi là bảng phân phối:
x
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑖

…
𝑥𝑛
…
𝑝2
…
𝑝𝑖
…
𝑝𝑛
…
𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖 ] 𝑝1
3.1.3. Một số phân phối rời rạc thường gặp
3.1.3.1. Phép thử Bernoulli và phân phối nhị thức
a) Phép thử Bernoulli
Định nghĩa:
Dãy n phép thử thỏa các điều kiện sau được gọi là dãy phép thử Bernoulli:
8


- Mỗi phép thử có hai biến cố đối nhau, kí hiệu là T (thành cơng) và 𝐵 = 𝑇 𝑐 (thất bại).
- Các biến cố T, B ở các phép thử trong dãy là độc lập.
- 𝑃(𝑇) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 qua các phép thử.
b) Phân phối nhị thức
Với dãy n phép thử Bernoulli ta thường chú ý đến số thành cơng X. ĐLNN X có phân
phối nhị thức theo định nghĩa dưới đây.
ĐLNN X được gọi là có phân phối nhị thức tham số n, p nếu:
𝐼𝑚(𝑋 ) = {0,1,2, … , 𝑛}
{
𝑃[𝑋 = 𝑘 ] = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 𝑘 = ̅̅̅̅̅
0, 𝑛
trong đó p là một hằng số 0 < p < 1.

Kí hiệu: 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝), đặc biệt nếu 𝑛 = 1, ta gọi 𝐵(1, 𝑝) là phân phối Bernoulli tham số
p.
3.1.3.2. Phân phối Poisson
Giả sử 𝜆 là một số thực dương, ta nói X là ĐLNN có phân phối Poisson với tham số 𝜆
nếu:
𝐼𝑚(𝑋 ) = {0,1,2, … }
{
𝑒 −𝜆 𝜆𝑘
𝑃 [𝑋 = 𝑘 ] =
∀𝑘 ∈ 𝐼𝑚(𝑋)
𝑘!
Kí hiệu: 𝑋~ p (𝜆).
Rõ ràng hệ xác suất:
𝑒 −𝜆 𝜆𝑘
𝑝𝑘 = 𝑃[𝑋 = 𝑘 ] =
≥ 0 ∀𝑘 ∈ 𝐼𝑚(𝑋)
𝑘!
và
∞

∞

∞

𝑘=0

𝑘=0

𝑘=0

𝑒 −𝜆 𝜆𝑘
𝜆𝑘
∑ 𝑝𝑘 = ∑
= 𝑒 −𝜆 ∑ = 𝑒 −𝜆 . 𝑒 𝜆 = 1
𝑘!
𝑘!

3.1.3.3. Phân phối Pascal (phân phối hình học)
ĐLNN X được gọi là có phân phối Pascal với tham số p (0 < p <1) nếu:
𝐼𝑚(𝑋 ) = {0,1,2, … }
{
𝑃[𝑋 = 𝑘 ] = 𝑝𝑘 (1 − 𝑝) ∀𝑘 ∈ 𝐼𝑚(𝑋)
Kí hiệu: 𝑋~𝑃𝑎 (𝑝).
Rõ ràng
𝑝𝑘 = 𝑃[𝑋 = 𝑘 ] = 𝑝𝑘 (1 − 𝑝) ≥ 0
và
∞

∞

∞

∑ 𝑝𝑘 = ∑ 𝑝𝑘 (1 − 𝑝) = (1 − 𝑝) ∑ 𝑝𝑘 = (1 − 𝑝).
𝑘=0

𝑘=0

𝑘=0

1

=1
1−𝑝

3.2. Phân phối liên tục tuyệt đối
9


3.2.1. Định nghĩa
ĐLNN X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối (lttđ) nếu hàm phân phối của X
lttđ trên ℝ.
3.2.2. Hàm mật độ của phân phối liên tục tuyệt đối
a) Định nghĩa
ĐLNN X có phân phối lttđ nếu và chỉ nếu tồn tại hàm 𝑓(𝑥) ≥ 0 trên ℝ sao cho:
𝑥

𝐹 (𝑥) = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 ∀𝑥 ∈ ℝ.
−∞

Khi đó ta gọi f(x) là hàm mật độ của X. Cũng từ định nghĩa ta có:
𝑑𝐹(𝑥)
(ℎ. 𝑘. 𝑛).
𝑓 (𝑥 ) =
𝑑𝑥
b) Tính chất
Nếu X là ĐLNN có phân phối lttđ với hàm mật độ 𝑓 (𝑥) thì:
+∞

(𝑖)

∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 1.

−∞

(𝑖𝑖) ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑃[𝑋 = 𝑥] = 0.
(𝑖𝑖𝑖) ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 < 𝑏,
𝑏

𝑃[𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏] = ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹𝑋 (𝑏) − 𝐹𝑋 (𝑎).
𝑎

3.2.3. Một số phân phối lttđ thường gặp
3.2.3.1. Phân phối đều
ĐLNN X được gọi là có phân phối đều trên [𝑎, 𝑏] nếu:
1
𝑛ế𝑢 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)
𝑓 (𝑥) = 𝑓𝑋 (𝑥) = {𝑏 − 𝑎
0
𝑛ế𝑢 𝑥 ∉ (𝑎, 𝑏)
Khi đó hàm phân phối có dạng:
𝑥
0
𝑛ế𝑢 𝑥 ≤ 𝑎
𝑥−𝑎
𝑛ế𝑢 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
𝐹 (𝑥) = ∫ 𝑓 (𝑢)𝑑𝑢 = {
𝑥−𝑏
−∞
1
𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 𝑏
Kí hiệu: 𝑋~U (a, b)
3.2.3.2. Phân phối mũ

ĐLNN X được gọi là có phân phối mũ tham số 𝜃 (𝜃 > 0) nếu:
1 −𝑥
𝜃
𝑛ế𝑢 𝑥 > 0
𝑓 (𝑥 ) = {𝜃 𝑒
0
𝑛ế𝑢 𝑥 ≤ 0
10


Khi đó hàm phân phối có dạng:
𝑥

−
𝐹 (𝑥 ) = {1 − 𝑒 𝜃
0

𝑛ế𝑢 𝑥 > 0
𝑛ế𝑢 𝑥 ≤ 0

3.2.3.3. Phân phối gamma
a) Hàm gamma
Định nghĩa
Với mọi 𝑝 > 0, ta có tích phân:
∞

Γ(𝑝) = ∫ 𝑥 𝑝−1 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
0

hội tụ, do đó nó xác định một hàm của p, gọi là hàm gamma hay tích phân Euler loại 2.

Tính chất
Hàm gamma có các tính chất sau:
(i) Γ(1) = 1.
(ii) Γ(p + 1) = pΓ(p)
(𝑝 > 0).
(iii) Γ(𝑛 + 1) = 𝑛!
1
(iv) Γ ( ) = √𝜋.
2
b) Phân phối gamma
ĐLNN X được gọi là có phân phối gamma tham số 𝛼, 𝑝, kí hiệu 𝑋~𝐺(𝛼, 𝑝), nếu:
𝛼 𝑝 𝑝−1 −𝛼𝑥
𝑥 𝑒
𝑥>0
𝑓 (𝑥) = {Γ(𝑝)
0
𝑥≤0
trong đó 𝛼, 𝑝 là các hằng số dương.
3.2.3.4. Phân phối chuẩn
ĐLNN X được gọi là có phân phối chuẩn 𝑁(𝑎, 𝜎 2 ) nếu:
−(𝑥−𝑎)2
1
(
)
𝑓 𝑥 =
𝑒 2𝜎2
∀𝑥 ∈ ℝ
2
√2𝜋𝜎
trong đó 𝑎, 𝜎 là các hằng số dương.

Kí hiệu: 𝑋~𝑁(𝑎, 𝜎 2 ).
Khi 𝑎 = 0, 𝜎 = 1, ta có phân phối chuẩn chính tắc 𝑋~𝑁(0,1), với hàm mật độ là:
1 −𝑥2
(
)
𝑓 𝑥 =
𝑒 2
∀𝑥 ∈ ℝ.
√2𝜋
3.2.3.5. Phân phối Cauchy
ĐLNN X được gọi là có phân phối Cauchy nếu:
1
𝑓 (𝑥 ) =
∀𝑥 ∈ ℝ.
𝜋 (1 + 𝑥 2 )
11


4. Hàm của các ĐLNN
Giả sử X là ĐLNN trên (Ω, A, P) với hàm mật độ 𝑓𝑋 (𝑥), g là một hàm Borel đo được
trên ℝ, khi đó 𝑔(𝑋 ) là ĐLNN. Ta sẽ tìm hàm mật độ của 𝑔(𝑋 ) qua 𝑓𝑋 (𝑥).
4.1. Trường hợp ĐLNN có phân phối rời rạc
Giả sử 𝐼𝑚(𝑋 ) = {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑖 , … , 𝑖 ∈ 𝐼}, 𝑌 = 𝑔(𝑋 ), 𝑔(. ) là một hàm Borel đo được,
khi đó 𝐼𝑚(𝑌) = {𝑔(𝑥𝑖 ), 𝑖 ∈ 𝐼}. Ta cần tính 𝑃[𝑌 = 𝑦]. Ta có:
∀𝑦 ∈ 𝐼𝑚(𝑌), 𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑃[𝑌 = 𝑦] = 𝑃[𝑔(𝑋 ) = 𝑦] = 𝑃[𝑋 ∈ 𝑔−1 (𝑦)]
ở đây 𝑔−1 (𝑦) là nghịch ảnh của {𝑦} qua g.
Ví dụ 4.1.1: Cho X là ĐLNN có phân phối rời rạc, g(.) là một hàm Borel đo được. Tìm
hàm mật độ của g(X) trong các trường hợp sau:
a) 𝑋~ p (𝜆), Y = g(X) = 2X.
b) 𝑋~ B(𝑛, 𝑝), 𝑌 = (𝑋 − 1)2 .

Bài giải:
a) 𝑋~ p (𝜆), Y = g(X) = 2X . Khi đó: 𝐼𝑚(𝑌) = {0,2,4, … ,2𝑘, … }
∀𝑦 ∈ 𝐼𝑚(𝑌), ta có:
𝑦

𝑦
𝑒 −𝜆 𝜆 2
𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑃[𝑌 = 𝑦] = 𝑃[2𝑋 = 𝑦] = 𝑃 [𝑋 = ] = 𝑦
2
( )!
2
Vậy Y có phân phối loại Poisson.
b) 𝑋~ B(𝑛, 𝑝), 𝑌 = (𝑋 − 1)2 . Ta có:
𝐼𝑚(𝑋 ) = {0,1,2, … , 𝑛} ⇒ 𝐼𝑚(𝑌) = {0,1, 22 , … , (𝑛 − 1)2 }
⇒ ∀𝑦 ∈ 𝐼𝑚(𝑌), 𝑃 [𝑌 = 𝑦] = 𝑃[(𝑋 − 1)2 = 𝑦]
Có hai trường hợp xảy ra:
+ TH1: y = 1
⇒ 𝑓𝑌 (1) = 𝑃[(𝑋 − 1)2 = 1] = 𝑃[𝑋 = 0] + 𝑃[𝑋 = 2]
= 𝐶𝑛0 𝑝0 (1 − 𝑝)𝑛 + 𝐶𝑛2 𝑝2 (1 − 𝑝)𝑛−2 = (1 − 𝑝)𝑛 + 𝐶𝑛2 𝑝2 (1 − 𝑝)𝑛−2
+TH2: 𝑦 ≠ 1
1+ 𝑦
⇒ 𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑃[(𝑋 − 1)2 = 𝑦] = 𝑃[𝑋 = √𝑦 + 1] = 𝐶𝑛 √ 𝑝1+√𝑦 (1 − 𝑝)𝑛−(1+√𝑦)
Vậy:
(1 − 𝑝)𝑛 + 𝐶𝑛2 𝑝2 (1 − 𝑝)𝑛−2
𝑛ế𝑢 𝑦 = 1
1+
𝑦
𝑓𝑌 (𝑦) = {𝐶𝑛 √ 𝑝1+√𝑦 (1 − 𝑝)𝑛−(1+√𝑦)
𝑛ế𝑢 𝑦 ∈ {0,1, 22 , (𝑛 − 1)2 }

0
𝑛ế𝑢 𝑦 ∉ 𝐼𝑚(𝑌)
4.2. Trường hợp ĐLNN có phân phối lttđ
Khi các ĐLNN có phân phối đồng thời liên tục tuyệt đối, ta sử dụng mệnh đề sau coi
như một áp dụng của định lý về đổi biến số trong tích phân n lớp.
Mệnh đề 4.2
12


Giả sử:
(i) (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) là các ĐLNN có phân phối đồng thời liên tục tuyệt đối với hàm mật
độ 𝑓𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ).
(ii) 𝑈1 = 𝑈1 (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ), 𝑈2 = 𝑈2 (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ), … , 𝑈𝑛 = 𝑈𝑛 (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) là các
ánh xạ 1 – 1 từ ℝ𝑛 vào ℝ𝑛 liên tục cùng với ánh xạ ngược 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ), 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛.
(iii) Các đạo hàm riêng
𝜕𝑥𝑖
, 𝑖, 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛
𝜕𝑢𝑗
tồn tại, liên tục trên ℝ𝑛 .
(iv)
𝜕𝑥1 𝜕𝑥1
𝜕𝑥1
…
𝜕𝑢𝑛 |
|𝜕𝑢1 𝜕𝑢2
𝜕𝑥2 𝜕𝑥2
𝜕𝑥2
𝐽 = 𝜕𝑢 𝜕𝑢 … 𝜕𝑢 ≠ 0

…1
…2
…𝑛
|
|
𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑥𝑛
…
𝜕𝑢1 𝜕𝑢2
𝜕𝑢𝑛
Trong đó J là định thức Jacobi.
Khi đó (𝑈1 , 𝑈2 , … , 𝑈𝑛 ) có phân phối đồng thời liên tục lttđ và:
𝑓𝑈1 ,𝑈2 ,…,𝑈𝑛 (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 )
= 𝑓𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛 (𝑥1 (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ), 𝑥2 (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ), … , 𝑥𝑛 (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 ))|𝐽|.
Ví dụ 4.2.1: Chứng minh rằng:
a) Nếu
𝑋−𝑎
𝑋~𝑁(𝑎, 𝜎 2 ) 𝑣à 𝑌 =
𝜎
thì 𝑌~𝑁(0,1).
b) Nếu 𝑋~𝑁(0,1), 𝜎 > 0 thì 𝑌 = 𝜎𝑋 + 𝑎~𝑁(𝑎, 𝜎 2 ).
Bài giải:
a) 𝑋~𝑁(𝑎, 𝜎 2 ) là ĐLNN có phân phối lttđ có hàm mật độ là:
−(𝑥−𝑎)2
1
𝑓𝑋 (𝑥) =
𝑒 2𝜎2
2
√2𝜋𝜎
Xét phép biến đổi:

𝑥−𝑎
𝑦=
(𝜎 > 0)
𝜎
và ánh xạ ngược của nó là 𝑥 = 𝜎𝑦 + 𝑎. Ta thấy chúng đều là ánh xạ 1 – 1 từ ℝ vào ℝ và
liên tục.
Mặt khác ta có:
13


𝑑𝑥
=𝜎>0
𝑑𝑦
liên tục. Nên theo mệnh đề 4.2 ta có Y có phân phối lttđ và:
−(𝜎𝑦+𝑎−𝑎)2
1
1 −𝑦 2
2
2𝜎
|𝜎| =
𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑥(𝑦))|𝐽| =
𝑒
𝑒 2
√2𝜋𝜎 2
√2𝜋
Vậy 𝑌~𝑁(0,1).
b) 𝑋~𝑁(0,1) nên ta có:
1 −𝑥
𝑓𝑋 (𝑥) =
𝑒2

√2𝜋
Xét phép biến đổi 𝑦 = 𝜎𝑥 + 𝑎, (𝜎 > 0). Ta có phép biến đổi ngược của nó là:
𝑦−𝑎
𝑥=
𝜎
Ta thấy cả hai phép biến đổi đều là ánh xạ 1 – 1 từ ℝ vào ℝ là liên tục.
Mặt khác ta có:
𝑑𝑥 1
= > 0,
𝑑𝑦 𝜎
liên tục. Nên theo mệnh đề 4.2 ta có Y có phân phối lttđ và:
𝑓𝑌 (𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑥(𝑦))|𝐽| =

1
√2𝜋

−(

𝑒

𝑦−𝑎 2
)
𝜎
2

−(𝑦−𝑎)2
1
1
| |=
𝑒 2𝜎2

2
𝜎
√2𝜋𝜎

Vậy 𝑌~𝑁(𝑎, 𝜎 2 ).
5. Một số đặc trưng của ĐLNN
5.1. Kì vọng tốn học
5.1.1. Định nghĩa
a) Kì vọng của ĐLNN rời rạc
Giả sử X là ĐLNN rời rạc với miền giá trị {𝑥𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼}, nếu:
∑|𝑥𝑖 |𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖 ]
𝑖∈𝐼

hội tụ thì đại lượng
𝐸 (𝑋 ) = ∑ 𝑥𝑖 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖 ]
𝑖∈𝐼

được gọi là kì vọng tốn của X.
b) Kì vọng của ĐLNN lttđ
Giả sử X là ĐLNN lttđ với hàm mật độ f(x), nếu:
+∞

∫ |𝑥 |𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 < ∞
−∞

thì đại lượng
14


+∞

𝐸 (𝑋 ) = ∫ 𝑥𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
−∞

được gọi là kì vọng tốn của X.
Kí hiệu: Trong cả hai trường hợp, người ta thường kí hiệu tốn học là 𝐸 (𝑋 ) hay EX.
Dựa vào định nghĩa trên ta có thể thấy kì vọng tốn EX thực chất là tích phân
Lebesgue trừu tượng của X theo độ đo P trên Ω, tức là:
𝐸𝑋 = ∫ 𝑋 𝑑𝑃.
Ω

5.1.2. Tính chất và ý nghĩa của kì vọng
a) Tính chất
Trong điều kiện tồn tại, kì vọng tốn có các tính chất sau:
(i) 𝐸𝐶 = 𝐶 (𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡).
(ii) |𝐸𝑋 | ≤ 𝐸 |𝑋 |.
(iii) Nếu 𝑋 ≤ 𝑌 thì 𝐸𝑋 ≤ 𝐸𝑌.
(iv) 𝐸 (𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎𝐸𝑋 + 𝑏𝐸𝑌.
trong đó X, Y là các ĐLNN, a, b là các số thực.
(v) Ta có:
𝑖𝑛𝑓 𝑋(𝜔) ≤ 𝐸𝑋 ≤ 𝑠𝑢𝑝 𝑋 (𝜔).
𝜔∈Ω

𝜔∈Ω

(vi) 𝐸 (𝑋𝑌) = 𝐸𝑋. 𝐸𝑌 với X, Y độc lập.
b) Ý nghĩa của kì vọng
Kì vọng 𝐸𝑋 là đại lượng đặc trưng cho giá trị trung bình của các giá trị của ĐLNN X.
5.1.3. Kì vọng của một số một số phân phối thường gặp
a) Phân phối Bernoulli và phân phối nhị thức

Khi 𝑋~𝐵(1, 𝑝), ta có bảng phân phối của X là:
X
0
1
P
1-p
Khi đó :

p

𝐸𝑋 = 0. 𝑃[𝑋 = 0] + 1. 𝑃[𝑋 = 1] = 0. (1 − 𝑝) + 1. 𝑝 = 𝑝
Khi 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝).
Ta có bảng phân phối của X là:
x
0
1
…
𝑖
…
𝑛
𝑝2
…
𝑝𝑖
…
𝑝𝑛
𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖 ] 𝑝1
𝑘 𝑘(
𝑛−𝑘
̅̅̅̅̅
trong đó: 𝑝𝑘 = 𝐶𝑛 𝑝 1 − 𝑝) , 𝑘 = 0, 𝑛. Đặt 𝑞 = 1 − 𝑝 ⇒ 𝑝 + 𝑞 = 1, ta có:

15


𝑛

𝑛

𝑛

𝐸𝑋 = ∑ 𝑘𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = ∑ 𝑘𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 𝑞𝑛−𝑘 = ∑ 𝑘
𝑘=0

𝑘=0

𝑛

= 𝑛𝑝 ∑
𝑘=1

𝑘=0

(𝑛 − 1)!

𝑛!
𝑝𝑘 𝑞𝑛−𝑘
(𝑛 − 𝑘 )! 𝑘!

𝑝𝑘−1 𝑞𝑛−1−(𝑘−1)

(𝑛 − 1 − (𝑘 − 1))! (𝑘 − 1)!

Đặt 𝑟 = 𝑘 − 1, ta có:
𝑛−1

𝑛−1

𝑟=0

𝑟=0

(𝑛 − 1)!
𝑟
𝐸𝑋 = 𝑛𝑝 ∑
𝑝𝑟 𝑞𝑛−1−𝑟 = 𝑛𝑝 ∑ 𝐶𝑛−1
𝑝𝑟 𝑞𝑛−1−𝑟 = 𝑛𝑝(𝑝 + 𝑞)𝑛−1
(𝑛 − 1 − 𝑟)! 𝑟!
= 𝑛𝑝
b) Phân phối Poisson
𝑋~ P (𝜆) ⇒ 𝐼𝑚(𝑋 ) = {0,1,2, … }. Ta có :
∞

∞

∞

∞

𝑘=0
−𝜆

𝑘=1

𝑘=1

𝑗=0

𝑒 −𝜆 𝜆𝑘
𝜆𝑘−1
𝜆𝑗
𝐸𝑋 = ∑ 𝑘. 𝑃[𝑋 = 𝑘 ] = ∑ 𝑘.
= 𝑒 −𝜆 . 𝜆. ∑
= 𝑒 −𝜆 . 𝜆. ∑
(𝑘 − 1)!
𝑘!
𝑗!
= 𝑒 . 𝜆. 𝑒 𝜆 = 𝜆
c) Phân phối chuẩn
𝑋~𝑁(0,1), ta có:
+∞

+∞

1

∫ |𝑥|𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ |𝑥|
−∞

√2𝜋

−∞

𝑥2
−
𝑒 2 𝑑𝑥

+∞

= 2∫ 𝑥
0

1
√2𝜋

𝑥2
−
𝑒 2 𝑑𝑥

=

2
√2𝜋

+∞

∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡
0

2
=√ <∞

𝜋
Vậy :
+∞

+∞

𝐸𝑋 = ∫ 𝑥𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
−∞

−∞

1
√2𝜋

𝑥2

𝑒 − 2 𝑑𝑥 = 0

(do hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ)
Ta có, nếu 𝑋~𝑁(0,1) và 𝑌 = 𝜎𝑋 + 𝑎 (𝜎 > 0) thì 𝑌~𝑁(𝑎, 𝜎 2 ) (theo ví dụ 4.2.1.b). Suy
ra :
𝐸𝑌 = 𝐸 (𝜎𝑋 + 𝑎) = 𝜎𝐸𝑋 + 𝑎 = 𝑎.
Vậy nếu 𝑋~𝑁(𝑎, 𝜎 2 ) thì 𝐸𝑋 = 𝑎.
d) Phân phối gamma
𝑋~𝐺(𝛼, 𝑝), ta có:
+∞

∞

∞

𝛼 𝑝 𝑝−1 −𝛼𝑥
𝛼𝑝
∫ 𝑥 𝑝 . 𝑒 −𝛼𝑥 𝑑𝑥
𝐸𝑋 = ∫ 𝑥𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥.
𝑥 𝑒 𝑑𝑥 =
Γ( 𝑝 )
Γ( 𝑝 )
−∞

0

0

16


∞

(𝛼𝑥)𝑝 𝑒 −𝛼𝑥 𝑑 (𝛼𝑥) Γ(𝑝 + 1)
𝛼𝑝
𝑝Γ(𝑝)
𝑝
∫
=
=
=
=
Γ(𝑝)
𝛼 𝑝+1

Γ( 𝑝 ) . 𝛼
Γ( 𝑝 ) . 𝛼 𝛼
0

e) Phân phối Cauchy
Khi X có phân phối Cauchy, ta có hàm mật độ của X là:
1
𝑓 (𝑥 ) =
𝜋 (1 + 𝑥 2 )
Ta có:
+∞

+∞

∫ 𝑥𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫
−∞

−∞

𝑥𝑑𝑥
=0
𝜋 (1 + 𝑥 2 )

Tuy nhiên X lại khơng có kì vọng, vì:
+∞

+∞

+∞

|𝑥 |𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑥
1
∫ |𝑥|𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
= 2∫
= lim ln(1 + 𝑥 2 )|0𝐴 = +∞
2
2
𝜋 (1 + 𝑥 )
𝜋(1 + 𝑥 ) 𝜋 𝐴→+∞

−∞

−∞

0

Vậy ĐLNN có phân phối Cauchy khơng có kì vọng.
5.1.4. Kì vọng của hàm các ĐLNN
Xét ĐLNN 𝑋: Ω → ℝ, X là (A,

B) – đo được, nên với 𝐵 ∈ B, 𝑋 −1 (𝐵) ∈ A. Trên (ℝ,

B) xét hàm 𝑃𝑋 (.) xác định bởi: 𝑃𝑋 (𝐵) = 𝑃[𝑋 −1 (𝐵)]

∀𝐵 ∈ B
Dễ dàng kiểm tra được 𝑃𝑋 (. ) là một xác suất và được gọi là xác xuất cảm sinh bởi X
trên (ℝ, B).
Giả sử 𝑔(. ) là một hàm Borel đo được, khi đó 𝑔(𝑋 ) là ĐLNN trên (Ω, A, P). Ta có:
∀𝜆 ∈ ℝ, 𝑃[𝑘𝜆 ≤ 𝑔(𝑋 ) ≤ (𝑘 + 1)𝜆] = 𝑃𝑋 {𝑥: 𝑘𝜆 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ (𝑘 + 1)𝜆}

theo định nghĩa tích phân:
∫ 𝑔(𝑋 )𝑑𝑃(𝜔) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑃𝑋 (𝑥)
Ω

ℝ
+∞

+∞

⇒ 𝐸𝑔(𝑋 ) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑃𝑋 (𝑑𝑥) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝐹𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥
ℝ

−∞

−∞

nếu X lttđ với 𝐹𝑋 ′ (𝑥) = 𝑓𝑋 (𝑥).
Tương tự khi X rời rạc với miền giá trị {𝑥𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼} thì
𝐸𝑔(𝑋 ) = ∑ 𝑔(𝑥𝑖 ) . 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖 ].
𝑖∈𝐼

Khi xét đến điều kiện khả tích ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 5.1.4.1

17


a) Giả sử X là ĐLNN rời rạc với miền giá trị {𝑥𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼}, 𝑔(. ) là hàm Borel đo được trên
ℝ, khi đó 𝑔(𝑋 ) có kì vọng và:
𝐸𝑔(𝑋 ) = ∑ 𝑔(𝑥𝑖 ) . 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖 ]

𝑖∈𝐼

nếu và chỉ nếu:
∑|𝑔(𝑥𝑖) |𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖 ] < ∞.
𝑖∈𝐼

b) Giả sử X là ĐLNN lttđ với hàm mật độ 𝑓𝑋 (𝑥), 𝑔(. ) là hàm Borel đo được trên ℝ. Khi
đó 𝑔(𝑋 ) có kì vọng và:
+∞

𝐸𝑔(𝑋 ) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥
−∞

nếu và chỉ nếu
+∞

∫ |𝑔(𝑥)|𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 < ∞.
−∞

Mệnh đề 5.1.4.2
Nếu (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ) là họ ĐLNN độc lập có phân phối đồng thời rời rạc hay đồng thời
lttđ, có các kì vọng 𝐸𝑋𝑖 (𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛) thì
𝑛

∏ 𝑋𝑖
𝑖=1

có kì vọng và
𝑛

𝑛

𝐸 (∏ 𝑋𝑖 ) = ∏ 𝐸𝑋𝑖 .
𝑖=1

𝑖=1

Mệnh đề 5.1.4.3
Xét hàm 𝐼𝐴 của ĐLNN A xác định bởi:
1
𝑥∈𝐴
0
𝑥∉𝐴
Khi đó kì vọng của 𝐼𝐴 là xác suất của 𝐴, tức là:
𝐸 (𝐼𝐴 ) = 𝑃(𝐴).
Chứng minh:
Ta có:
𝐼𝐴 = {

18


𝐸 (𝐼𝐴 ) = ∑ 𝑝𝑖 𝑥𝑖 = 𝑃(𝐴). 1 + 𝑃(𝐴̅). 0 = 𝑃(𝐴).
𝑖∈𝐼

5.2. Phương sai
5.2.1. Một số định nghĩa và ý nghĩa của phương sai
a) Định nghĩa
 Giả sử X là ĐLNN có kì vọng EX, nếu tồn tại 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)2 thì ta nói đó là phương sai

của X, kí hiệu 𝐷(𝑋), đơi khi ta cũng dùng kí hiệu 𝐷𝑋, 𝜎 2 (𝑋) hay Var(X) để chỉ phương
sai của X.
 𝜎(𝑋 ) = √𝐷(𝑋) được gọi là độ lệch qn phương của X.
Từ tính chất của kì vọng ta thấy rằng nếu tồn tại thì DX khơng âm.
b) Ý nghĩa
Phương sai cũng như độ lệch quân phương là đại lượng đặc trưng cho mức độ tập
trung quanh kì vọng EX của các giá trị của ĐLNN X.
Phương sai DX càng nhỏ thì nhìn chung các giá trị của X càng gần với giá trị trung
bình EX, phương sai càng lớn thì các giá trị của X càng phân tán xa EX.
5.2.2. Tính chất của phương sai
Trong điều kiện tồn tại phương sai có các tính chất sau:
(i) 𝐷𝑋 = 𝐸𝑋 2 − (𝐸𝑋 )2 = 𝐸𝑋 2 − 𝐸 2 𝑋 ((𝐸𝑋 )2 = 𝐸 2 𝑋 ).
(ii) 𝐷 (𝑐 ) = 0 (𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ).
(iii) 𝐷 (𝑐𝑋 ) = 𝑐 2 𝐷 (𝑋 ) (𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ).
(iv) Nếu {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 } độc lập và có các phương sai 𝐷 (𝑋𝑖 ) với 𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛 thì:
𝑛

𝑛

𝐷 (∑ 𝑋𝑖 ) = ∑ 𝐷𝑋𝑖 .
𝑖=1

𝑖=1

5.2.3. Phương sai của một số phân phối thường gặp
a) Phân phối Bernoulli và phân phối nhị thức
𝑋~𝐵(1, 𝑝), ta có bảng phân phối của X:
X
0

1
P

1-p

p

𝐸𝑋 = 𝑝
𝐸𝑋 2 = 02 . (1 − 𝑝) + 12 . 𝑝 = 𝑝
⇒ 𝐷𝑋 = 𝐸𝑋 2 − 𝐸 2 𝑋 = 𝑝 − 𝑝2 = 𝑝(1 − 𝑝)
𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝).
Ta có
𝐸𝑋 = 𝑛𝑝
Đặt 𝑞 = 1 − 𝑝, ta có:

19


𝑛

𝑛

𝐸𝑋 2 = ∑ 𝑘 2 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = ∑ 𝑘 2 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 𝑞𝑛−𝑘
𝑘=0
𝑛

𝑘=0

𝑛

(𝑘 − 1 + 1)𝑛! 𝑘 𝑛−𝑘
𝑛!
= ∑𝑘
𝑝𝑘 𝑞𝑛−𝑘 = ∑
𝑝 𝑞
(𝑘 − 1)! (𝑛 − 𝑘 )!
(𝑘 − 1)! (𝑛 − 𝑘 ) !
𝑘=0

𝑛

= 𝑛 (𝑛 − 1 )𝑝 2 ∑
𝑛

+ 𝑛𝑝 ∑
𝑘=1

𝑘=2

𝑘=0

(𝑛 − 2)!
𝑝𝑘−2 𝑞𝑛−2−(𝑘−2)
(𝑘 − 2)! (𝑛 − 𝑘 )!

(𝑛 − 1)!
𝑝𝑘−1 𝑞𝑛−𝑘
(𝑘 − 1)! (𝑛 − 𝑘 )!

Đặt 𝑟 = 𝑘 − 2, 𝑠 = 𝑘 − 1 ta có:

𝑛−2

𝐸𝑋 2 = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 ∑
𝑟=0
𝑛−1

+𝑛𝑝 ∑
𝑠=0

(𝑛 − 2)!
𝑝𝑟 𝑞𝑛−2−𝑟
(
)
𝑟! 𝑛 − 2 − 𝑟 !

(𝑛 − 1)!
𝑝 𝑠 𝑞𝑛−1−𝑠
𝑠! (𝑛 − 1 − 𝑠)!

𝑠
𝑟
= 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 𝐶𝑛−2
𝑝𝑟 𝑞𝑛−2−𝑟 + 𝑛𝑝𝐶𝑛−1
𝑝 𝑠 𝑞𝑛−1−𝑠
= 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 (𝑝 + 𝑞)𝑛−2 + 𝑛𝑝(𝑝 + 𝑞)𝑛−1 = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 + 𝑛𝑝
⇒ 𝐷𝑋 = 𝐸𝑋 2 − 𝐸 2 𝑋 = 𝑛(𝑛 − 1)𝑝2 + 𝑛𝑝 − (𝑛𝑝)2 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
b) Phân phối Poisson
𝑋~ P (𝜆), ta có:

𝐸𝑋 = 𝜆

∞

∞

∞

𝑘=0

𝑘=0

𝑘=0

𝑒 −𝜆 𝜆𝑘
𝜆𝑘−1
𝐸𝑋 2 = ∑ 𝑘 2 𝑃 [𝑋 = 𝑘 ] = ∑ 𝑘 2
= 𝑒 −𝜆 𝜆 ∑ 𝑘
(𝑘 − 1) !
𝑘!
Đặt 𝑗 ≔ 𝑘 − 1, ta có
∞

∞

∞

𝑗=0

𝑗=0

𝜆𝑗

𝜆𝑗
𝜆𝑗
2
−𝜆
−𝜆
𝐸𝑋 = 𝑒 𝜆 ∑(𝑗 + 1) = 𝑒 𝜆 (∑ 𝑗 + ∑ ) = 𝜆2 + 𝜆
𝑗!
𝑗!
𝑗!
𝑗=0

2

2

2

2

⇒ 𝐷𝑋 = 𝐸𝑋 − 𝐸 𝑋 = 𝜆 + 𝜆 − 𝜆 = 𝜆
c) Phân phối gamma
𝑋~𝐺(𝛼, 𝑝), ta có:
𝑝
𝐸𝑋 =
𝛼
∞

∞

𝛼 𝑝 𝑝−1 −𝛼𝑥

𝛼𝑝
2
2
∫ 𝑥 𝑝+1 . 𝑒 −𝛼𝑥 𝑑𝑥
𝐸𝑋 = ∫ 𝑥
𝑥 𝑒 𝑑𝑥 =
Γ( 𝑝 )
Γ( 𝑝 )
0

0

20


∞

(𝛼𝑥)𝑝+1 𝑒 −𝛼𝑥 𝑑 (𝛼𝑥) Γ(𝑝 + 2) (𝑝 + 1)Γ(𝑝 + 1)
𝛼𝑝
∫
=
=
=
Γ( 𝑝 )
𝛼 𝑝+2
Γ (𝑝 ). 𝛼 2
Γ( 𝑝 ) . 𝛼 2
0

(𝑝 + 1)𝑝Γ(𝑝) (𝑝 + 1)𝑝

=
=
Γ( 𝑝 ) . 𝛼 2
𝛼2
Vậy:
𝐷𝑋 = 𝐸𝑋 2 − 𝐸 2 𝑋 =

(𝑝 + 1)𝑝
𝑝 2
𝑝
(
) = 2
−
2
𝛼
𝛼
𝛼

d) Phân phối chuẩn
𝑋~𝑁(𝑎, 𝜎 2 ), ta có :
𝐸𝑋 = 𝑎

+∞

2

2

𝐷𝑋 = 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋) = 𝐸(𝑋 − 𝑎) = ∫ (𝑥 − 𝑎)
−∞

Đặt:
𝑦≔

𝑥−𝑎
𝜎𝑑𝑦 = 𝑑𝑥
⇒{
(𝑥 − 𝑎)2 = 𝜎 2 𝑦 2
𝜎

+∞

1

2 2

⇒ 𝐷𝑋 = ∫ 𝜎 𝑦
Đặt:

−∞

√2𝜋𝜎 2

𝑒

−

𝑦2
2 𝜎𝑑𝑦

=

2𝜎 2
√2𝜋

∞

∫

2

1
√2𝜋𝜎 2

−(𝑥−𝑎)2
𝑒 2𝜎2 𝑑𝑥

𝑦2
2 −2
𝑦 𝑒 𝑑𝑦

0

𝑦2
𝑡: =
⇒ 𝑑𝑡 = 𝑦𝑑𝑦
2∞
∞
2
1

2𝜎 2
2𝜎
2𝜎 2 3
2𝜎 2 1
−𝑡
−𝑡
2
∫ √2𝑡𝑒 𝑑𝑡 =
∫ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 =
⇒ 𝐷𝑋 =
Γ( ) =
Γ ( + 1)
2
2
√2𝜋
√𝜋
√𝜋
√𝜋
0

0

2𝜎 2 1
1
2𝜎 2 1
=
∙ ∙ Γ( ) =
∙ ∙ √𝜋 = 𝜎 2
2
2

𝜋
𝜋
√
√ 2
BẢNG GIÁ TRỊ KÌ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯỜNG
GẶP
Phân phối
Kì vọng
Phương sai
𝐵(𝑛, 𝑝)
𝑛𝑝
𝑛𝑝(1 − 𝑝)

P

(𝜆 )

𝑃𝑎 (𝑝)

U (𝑎, 𝑏)
𝐺(𝛼, 𝑝)
𝑁(𝑎, 𝜎 2 )

𝜆
𝑝
1−𝑝
𝑎+𝑏
2
𝑝
𝛼

𝑎

𝜆
𝑝
(1 − 𝑝 ) 2
(𝑏 − 𝑎 )2
12
𝑝
𝛼2
𝜎2
21


Chương 2: HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA
HÀM ĐẶC TRƯNG
1. Hàm đặc trưng
1.1. Hàm đặc trưng
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử X là ĐLNN trên (Ω, A, P), khi đó hàm đặc trưng của X là hàm phức với biến số
thực xác định bởi biểu thức:
𝜑𝑋 (𝑡) = 𝐸 (𝑒 𝑖𝑡𝑋 )
ở đây i là đơn vị ảo.
Từ định nghĩa, ta suy ra:
- Nếu X là ĐLNN lttđ với hàm mật độ 𝑓𝑋 (𝑥) thì:
+∞

+∞

𝜑𝑋 (𝑡 ) = ∫ 𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑑𝐹𝑋 (𝑥).
−∞

−∞

Hàm 𝜑𝑋 (𝑡) còn được gọi là biến đổi Fourier – Stieljes của 𝐹𝑋 (𝑥).
- Nếu X là ĐLNN rời rạc với miền giá trị {𝑥𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐼} thì:
𝜑𝑋 (𝑡 ) = ∑ 𝑒 𝑖𝑡𝑥𝑗 𝑝𝑗

(𝑝𝑗 = 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑗 ] = 𝑓𝑋 (𝑥𝑗 )).

𝑗∈𝐼
𝑖𝑡𝑥

Ta thấy do |𝑒 | ≤ 1 nên hàm đặc trưng luôn tồn tại với mỗi ĐLNN.
1.1.2. Tính chất
Mệnh đề 1.1.2.1
Hàm đặc trưng 𝜑𝑋 (𝑡 ) có các tính chất sau:
(i) |𝜑𝑋 (𝑡)| ≤ 1 ∀𝑡 ∈ ℝ, 𝜑𝑋 (0) = 1.
̅̅̅̅̅̅̅̅
(ii) 𝜑𝑋 (−𝑡) = 𝜑
𝑋 (𝑡 ) ∀𝑡 ∈ ℝ.
(iii) 𝜑𝑋 (𝑡) liên tục đều trên ℝ.
Chứng minh:
(i) Ta có: ∀𝑡 ∈ ℝ
+∞

+∞

+∞

|𝜑𝑋 (𝑡 )| = | ∫ 𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑑𝐹𝑋 (𝑥)| ≤ ∫ |𝑒 𝑖𝑡𝑥 |𝑑𝐹𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑑𝐹𝑋 (𝑥) = 1

−∞
+∞

−∞
+∞

−∞

𝜑𝑋 (0) = ∫ 𝑒 𝑖.0.𝑥 𝑑𝐹𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑑𝐹𝑋 (𝑥) = 1
−∞

−∞

(ii) Ta có: ∀𝑡 ∈ ℝ

22


+∞
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

+∞

̅̅̅̅̅̅̅̅
𝜑𝑋 (−𝑡) = ∫ 𝑒 −𝑖𝑡𝑥 𝑑𝐹𝑋 (𝑥) = ∫ 𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑑𝐹𝑋 (𝑥) = 𝜑
𝑋 (𝑡 )
−∞

−∞

(iii) Để chứng minh 𝜑𝑋 (𝑡 ) liên tục đều trên ℝ ta cần ước lượng |𝜑𝑋 (𝑡 + ℎ) − 𝜑𝑋 (𝑡)|. Từ
biểu thức định nghĩa 𝜑𝑋 (𝑡 ), ∀𝜀 > 0 ta có:
+∞

+∞

|𝜑𝑋 (𝑡 + ℎ) − 𝜑𝑋 (𝑡)| = | ∫ 𝑒 𝑖𝑡𝑥 (𝑒 𝑖ℎ𝑥 − 1)𝑑𝐹𝑋 (𝑥)| ≤ | ∫ |𝑒 𝑖ℎ𝑥 − 1|𝑑𝐹𝑋 (𝑥)|
−∞

−∞

𝐴

= ∫|𝑒 𝑖ℎ𝑥 − 1|𝑑𝐹𝑋 (𝑥) + ∫ |𝑒 𝑖ℎ𝑥 − 1|𝑑𝐹𝑋 (𝑥)
|𝑥|≥𝐴

−𝐴
𝐴

≤ ∫|𝑒 𝑖ℎ𝑥 − 1|𝑑𝐹𝑋 (𝑥) + ∫ (|𝑒 𝑖ℎ𝑥 | + 1)𝑑𝐹𝑋 (𝑥)
|𝑥|≥𝐴

−𝐴
𝐴

≤ ∫|𝑒 𝑖ℎ𝑥 − 1|𝑑𝐹𝑋 (𝑥) + 2 ∫ 𝑑𝐹𝑋 (𝑥)

(𝑣ì |𝑒 𝑖ℎ𝑥 | = 1)

(1)

|𝑥|≥𝐴

−𝐴

Ta lại có ước lượng hiển nhiên sau, ∀𝛼 ∈ ℝ
𝛼

𝛼

𝛼

|𝛼| = |∫ 𝑑𝑡 | = ∫|1|𝑑𝑡 ≥ |∫ 𝑒 𝑖𝑡 𝑑𝑡 | = |𝑒 𝑖𝛼 − 1|
0

0

(2)

0

Vậy ở tích phân thứ nhất trong (1), khi |𝑥| < 𝐴, chọn h đủ nhỏ để
𝜀
(𝑑𝑜 (2))
|𝑒 𝑖ℎ𝑥 − 1| < ℎ𝐴 <
2
nghĩa là
𝜀
ℎ<
≔𝛿

2𝐴
Ở tích phân thứ hai trong (1) ta chọn A đủ lớn để
∫ 𝑑𝐹𝑋 (𝑥) <
|𝑥|≥𝐴

𝜀
4

Với A, h đã chọn như trên, ta có:
𝜀
𝜀
|𝜑𝑋 (𝑡 + ℎ) − 𝜑𝑋 (𝑡)| < + 2 ∙ = 𝜀
2
4
Vậy 𝜑𝑋 (𝑡 ) liên tục đều trên ℝ.
Ví dụ 1.1.2.1: Các hàm sau đây có phải là hàm đặc trưng không?
a) 𝜑(𝑡 ) = 1 + 2. sin 𝑡 ( 𝑡 ∈ ℝ).
1 + cos 𝑡
(𝑡 ∈ ℝ).
b) 𝜑(𝑡 ) =
2
23


Bài giải:
a) Ta có:
𝜋
𝜋
𝜑 ( ) = 1 + 2. sin = 1 + 2 = 3 > 1
2

2
⇒ 𝜑(𝑡 ) = 1 + 2. sin 𝑡 không phải là hàm đặc trưng.
b) Xét ĐLNN X có bảng phân phối như sau:
X
-1
0
1
1
p
4
2

1
1
4

Ta có hàm đặc trưng của X là:
𝜑𝑋 (𝑡) = 𝐸 (𝑒 𝑖𝑡𝑋 ) = 𝐸 (cos 𝑡𝑋 + 𝑖. sin 𝑡𝑋 ) = 𝐸 (cos 𝑡𝑋 ) + 𝑖𝐸 (sin 𝑡𝑋 )
3

3

= ∑ 𝑝𝑗 . cos[𝑡(𝑥𝑗 )] + 𝑖 ∑ 𝑝𝑗 . sin[𝑡(𝑥𝑗 )]
𝑗=1

𝑗=1

1
1
1

1
1
1
= cos(−𝑡 ) + cos 0 + cos 𝑡 + 𝑖 [ sin(−𝑡 ) + sin 0 + sin 𝑡]
4
2
4
4
2
4
1 + cos 𝑡
=
2
≡ 𝜑(𝑡)
Vậy 𝜑(𝑡) là hàm đặc trưng.
Mệnh đề 1.1.2.2
Nếu {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 } là họ ĐLNN độc lập thì
𝑛

𝜑∑𝑛𝑗=1 𝑋𝑗 (𝑡) = ∏ 𝜑𝑋𝑗 (𝑡)
𝑗=1
𝑖𝑡𝑏

Trường hợp riêng 𝜑𝑎𝑋+𝑏 (𝑡) = 𝑒 𝜑𝑋 (𝑎𝑡).
Chứng minh:
{𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 } độc lập, suy ra {𝑒 𝑖𝑋𝑗𝑡 , 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛} độc lập. Nên ta có:
𝑛

𝜑∑𝑛𝑗=1 𝑋𝑗 (𝑡) = 𝐸 (𝑒

𝑖𝑡 ∑𝑛
𝑗 𝑋𝑗

) = 𝐸 (∏ 𝑒
𝑗=1

𝑛
𝑖𝑡𝑋𝑗

) = ∏ 𝐸𝑒
𝑗=1

𝑛
𝑖𝑡𝑋𝑗

= ∏ 𝜑𝑋𝑗 (𝑡)
𝑗=1

Trong trường hợp riêng, ta có hằng số b luôn độc lập đối với aX nên theo chứng minh
trên ta có:
𝜑𝑎𝑋+𝑏 (𝑡 ) = 𝜑𝑏 (𝑡 ). 𝜑𝑎𝑋 (𝑡) = 𝑒 𝑖𝑡𝑏 𝜑𝑋 (𝑎𝑡)
1.1.3. Một vài chú ý về hàm đặc trưng
Hàm đặc trưng của ĐLNN là một hàm xác định dương. Nghĩa là, với mỗi số tự nhiên
n, với mỗi bộ số thực tùy ý: 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 và với n số phức 𝑧1 , 𝑧2 , … , 𝑧𝑛 tùy ý, ta có:
24


𝑛

∑ 𝜑𝑋 (𝑡𝑘 − 𝑡𝑗 )𝑧𝑘 𝑧̅𝑗 ≥ 0
𝑘,𝑗

Thật vậy, với 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑛 ∈ ℝ; 𝑧1 , 𝑧2 , … , 𝑧𝑛 ∈ ℂ theo tính chất hàm đặc trưng ta có:
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑖𝑡𝑗 𝑥
∑ 𝜑𝑋 (𝑡𝑘 − 𝑡𝑗 )𝑧𝑘 𝑧̅𝑗 = ∑ 𝐸(𝑧𝑘 𝑒 𝑖𝑡𝑘 𝑥 . 𝑧̅̅̅̅̅̅̅̅
) = 𝐸 {∑ 𝑧𝑘 𝑒 𝑖𝑡𝑘 𝑥 . ∑ 𝑧𝑗 𝑒 𝑖𝑡𝑗𝑥 }
𝑗𝑒
𝑘,𝑗

𝑘,𝑗=1

𝑘=1

𝑗=1

2

𝑛

= 𝐸 |∑ 𝑧𝑗 𝑒 𝑖𝑡𝑗𝑥 | ≥ 0
𝑗=1

Điều ngược lại được khẳng định trong định lí Bokne – Khinchine: Nếu 𝜑(𝑡) là hàm
liên tục, 𝜑(0) = 1 và xác định dương thì nó là hàm đặc trưng (xem [1]).

1.1.4. Hàm đặc trưng của các phân phối thường gặp
a) Phân phối nhị thức
𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝), ta có:
𝑛

𝜑𝑋 (𝑡) = ∑ 𝑒

𝑛
𝑖𝑡𝑘

𝑃[𝑋 = 𝑘 ] = ∑ 𝑒 𝑖𝑡𝑘 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘

𝑘=0
𝑛

𝑘=0

= ∑ 𝐶𝑛𝑘 (𝑝𝑒 𝑖𝑡 )𝑘 (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = (𝑝𝑒 𝑖𝑡 + 1 − 𝑝)𝑛
𝑘=0

b) Phân phối Poisson
𝑋~ P (𝜆), ta có:
𝑛

𝜑𝑋 (𝑡) = ∑ 𝑒
𝑘=0
−𝜆

𝑛
𝑖𝑡𝑘

𝑃 [𝑋 = 𝑘 ] = ∑ 𝑒

𝜆𝑒 𝑖𝑡

= 𝑒 .𝑒
=𝑒
c) Phân phối chuẩn
𝑋~𝑁(0,1), ta có:

𝑛

𝑖𝑡𝑘

𝑘=0
𝜆(𝑒 𝑖𝑡 −1)

+∞

=

𝑘=0

+∞

𝜑𝑋 (𝑡) = ∫ 𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑖𝑡𝑥
−∞
𝑡2
𝑒− 2

(𝜆𝑒 𝑖𝑡 )𝑘
𝑒 −𝜆 𝜆𝑘
−𝜆
∙
=𝑒 ∑
𝑘!
𝑘!

−∞

1
√2𝜋

𝑥2
−
𝑒 2 𝑑𝑥

=

1
√2𝜋

𝑡2
−
𝑒 2

+∞
1

2

∫ 𝑒 − 2(𝑥−𝑖𝑡) 𝑑𝑥
−∞

𝑁
1

2

(𝑥−𝑖𝑡)
lim ∫ 𝑒 − 2
𝑑𝑥

√2𝜋 𝑁→∞

−𝑁

Bằng cách sử dụng các biến đổi giải tích đối với hàm biến phức (xem [3]), ta có:
𝜑𝑋 (𝑡 ) =

𝑒

−

𝑡2
2

√2𝜋

∙ √2𝜋 = 𝑒

−

𝑡2
2

25