Một số biện pháp khắc phục những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải bài toán tích phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN


KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP
CỦA HỌC SINH THPT KHI GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

Giáo viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Lớp

: ThS. Ngơ Thị Bích Thủy
: Lê Tường Vi
: 12ST

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2016


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy
MỤC LỤC

Lời cảm ơn
Mục lục ...................................................................................................................... 1
Các chữ viết và kí hiệu viết tắt ................................................................................ 4
Mở đầu ...................................................................................................................... 5
1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................... 5

2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................ 5
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................ 6
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ..................................................... 6
5. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................... 6
6. Cấu trúc luận văn .................................................................................................. 6
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ................................................................................. 9
1.1. Các định hướng nhằm nâng cao chất lượng giáo dục ........................................ 9
1.2. Dạy học giải toán.............................................................................................. 10
1.2.1. Yêu cầu đối với lời giải bài toán................................................................ 10
1.2.2. Các bước của hoạt động giải toán .............................................................. 10
1.2.3. Tiến trình giải tốn..................................................................................... 10
1.3. Dạy học giải tốn Nguyên hàm – tích phân ở trường Trung học phổ thơng ... 12
1.3.1.Vai trị và ý nghĩa của nội dung Ngun hàm – tích phân trong chương
trình mơn Tốn ở trường Trung học phổ thông ....................................................... 12
1.3.2.Nội dung Nguyên hàm – tích phân trong chương trình mơn Tốn ở trường
Trung học phổ thông ................................................................................................ 12
1.3.3.Một số lưu ý khi dạy học giải tốn tích phân ............................................ 13
1.4. Một số khái niệm, nội dung cơ bản trong tốn tích phân................................. 13
1.4.1. Những kiến thức liên quan (Nguyên hàm) ................................................ 13
1.4.1.1. Định nghĩa......................................................................................... 13
1.4.1.2. Định lí 1 ............................................................................................ 14
SVTH: Lê Tường Vi

1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

1.4.1.3. Tính chất cơ bản................................................................................ 14
1.4.1.4. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp ........................................ 15
1.4.1.5. Một số phương pháp tìm nguyên hàm .............................................. 15
a) Phương pháp đổi biến số .................................................................. 15
b) Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ......................................... 16
1.4.2. Tích phân .................................................................................................. 16
1.4.2.1. Định nghĩa......................................................................................... 16
1.4.2.2. Tính chất ........................................................................................... 17
1.4.2.3. Một số phương pháp tính tích phân .................................................. 18
a) Phương pháp đổi biến số .................................................................. 18
b) Phương pháp tích phân từng phần .................................................... 18
Chương 2: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TỐN TÍCH
PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THÔNG ............................... 20
2.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân ....................................................... 20
2.2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân ............................... 20
2.3. Sai lầm khi dùng cơng thức khơng có trong SGK hiện hành ........................... 22
2.4. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến .................................................... 23
2.5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần ................................. 28
2.6. Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích phân....................................... 29
2.7. Sai lầm khi vận dụng sai cơng thức tính thể tích khối tròn xoay...................... 32
Chương 3: CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TỐN
TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG ................... 35
3.1. Biện pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức cơ bản .................................................... 35
3.1.1. Rèn luyện cho HS nắm vững bản chất và ý nghĩa của các khái niệm, định
lí, quy tắc tạo cơ sở cho tồn bộ kiến thức vận dụng trong giải tốn Tích phân ..... 36
3.1.2. Trang bị cho HS hiểu các kí hiệu logic, thuật ngữ toán học .................... 38
SVTH: Lê Tường Vi

2

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

3.2. Biện pháp 2: Tạo tình huống phù hợp với trình độ nhận thức để phát huy tính
tích cực của học sinh trong giải tốn Tích phân ...................................................... 38
3.3. Biện pháp 3: Xác định và tập luyện cho HS phương pháp giải một số dạng
tốn tích phân và vận dụng quy trình giải toán của G. Polya .................................. 40
3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng tư duy logic cho học sinh .............................. 45
3.5. Biện pháp 5: Đưa học sinh vào các tình huống thử thách với các sai lầm, từ đó
có các phản ví dụ cần thiết để học sinh nhận thức các sai lầm cần tránh ................ 48
Kết luận ................................................................................................................... 51
Tài liệu tham khảo ................................................................................................. 52

SVTH: Lê Tường Vi

3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy
CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT

THPT

: Trung học phổ thơng

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

SVTH: Lê Tường Vi

4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
G. Polya đã viết “Con người phải biết học từ những cái sai lầm và những
thiếu sót của mình”. Thơng qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó,
kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã học, đồng
thời tránh được những sai lầm tương tự và bồi dưỡng thêm về mặt tư duy cho bản
thân mỗi người.
Tích phân được ứng dụng rộng rãi như để tính diện tích hình phẳng, thể tích
khối trịn xoay, là đối tượng nghiên cứu của Giải tích, là nền tảng cho lý thuyết
phương trình vi phân… Trong q trình giải bài tốn tích phân học sinh thường
khó nhận dạng, phải vận dụng nhiều phương pháp khác nhau; biết áp dụng linh
hoạt các định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính tích phân. Tuy nhiên các em
cịn thụ động, thiếu kĩ năng, linh hoạt và chưa biết độc lập suy nghĩ tìm ra hướng
giải, cách giải. Điều này ảnh hưởng lớn đến khả năng và kết quả học tập của các

em.
Với mong muốn giúp các em học sinh hiểu được những kiến thức căn bản,
khắc phục được những sai lầm khi giải toán, nắm được phương pháp giải cho một
số bài tập từ đó giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao hơn
trong quá trình học tập, phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái qt hóa
và thấy u thích mơn Tốn hơn. Xuất phát từ thực tiễn trên, tơi chọn đề tài “Một
số biện pháp khắc phục những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải
bài toán tích phân”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những sai lầm phổ biến của học sinh phổ thơng khi giải tốn tích
phân, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm để hạn chế cũng như khắc phục
những sai lầm của học sinh khi giải tốn tích phân nhằm rèn luyện năng lực giải
SVTH: Lê Tường Vi

5


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

tốn cho học sinh và nâng cao chất lượng dạy học trong q trình dạy tốn Tích
phân ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận
- Tìm hiểu những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải tốn tích phân
trong chương trình phổ thơng
- Đề xuất một số biện pháp sửa chữa những sai lầm cho học sinh khi giải tốn
tích phân trong chương trình phổ thơng.
4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: học sinh đang học THPT.
- Phạm vi nghiên cứu: Do một số hạn chế về vấn đề thời gian và kinh nghiệm
của bản thân, nên đề tài chỉ nghiên cứu những sai lầm học sinh thường gặp và đề
xuất các biện pháp khắc phục trong giải toán tích phân ở chương trình tốn phổ
thơng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu các lý luận về mặt phương pháp dạy học tốn học, tâm lí học để
phân tích ngun nhân của những sai lầm và đề ra một số biện pháp khắc phục.
- Nghiên cứu thực tiễn thông qua các giáo viên toán ở một số trường THPT,
kinh nghiệm học tập của bản thân, các em học sinh và thơng qua tìm hiểu các tài
liệu có liên quan đến bài tốn tích phân trong chương trình tốn phổ thơng.
6. Cấu trúc luận văn
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Các định hướng nhằm nâng cao chất lượng giáo dục
1.2. Dạy học giải toán
1.2.1. Yêu cầu đối với lời giải bài tốn
1.2.2. Các bước của hoạt động giải tốn
1.2.3. Tiến trình giải toán
SVTH: Lê Tường Vi

6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

1.3. Dạy học giải tốn Ngun hàm – tích phân ở trường Trung học phổ thơng
1.3.1. Vai trị và ý nghĩa của nội dung Ngun hàm – tích phân trong chương
trình mơn Tốn ở trường Trung học phổ thơng

1.3.2. Nội dung Ngun hàm – tích phân trong chương trình mơn Tốn ở trường
Trung học phổ thông
1.3.3. Một số lưu ý khi dạy học giải tốn Tích phân
1.4. Một số khái niệm, nội dung cơ bản trong tốn tích phân
1.4.1. Những kiến thức liên quan (Nguyên hàm)
1.4.2. Tích phân
Chương 2: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TỐN TÍCH
PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG
2.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân
2.2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân
2.3. Sai lầm khi dùng cơng thức khơng có trong SGK hiện hành
2.4. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến
2.5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần
2.6. Sai lầm khi tính diện tích hình phẳng bằng tích phân
2.7. Sai lầm khi vận dụng sai cơng thức tính thể tích khối tròn xoay
Chương 3: CÁC BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TỐN
TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG
3.1. Biện pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức cơ bản
3.2. Biện pháp 2: Tạo tình huống phù hợp với trình độ nhận thức để phát huy tính
tích cực của học sinh trong giải tốn Tích phân
3.3. Biện pháp 3: Xác định và tập luyện cho HS phương pháp giải một số dạng
tốn tích phân và vận dụng quy trình giải toán của G. Polya
3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kĩ năng tư duy logic cho học sinh
SVTH: Lê Tường Vi

7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

3.5. Biện pháp 5: Đưa học sinh vào các tình huống thử thách với các sai lầm, từ đó
có các phản ví dụ cần thiết để học sinh nhận thức các sai lầm cần tránh

SVTH: Lê Tường Vi

8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Các định hướng nhằm nâng cao chất lượng giáo dục:
Mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có
trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và nhân văn cao. Nghị quyết trung ương IV
khóa VII năm 1993 đã xác định: “Áp dụng phương pháp giáo dục hiện đại để bồi
dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”. Nghị
quyết trung ương VIII khóa IX (Nghị quyết số 29 – NQ/TW) về đổi mới căn bản,
toàn diện giáo dục và đào tạo cũng đặt ra nhiệm vụ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ
phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động,
sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ
áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến
khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát
triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa
dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng
dụng cơng nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học”.
Định hướng này đã được pháp chế hóa trong Luật giáo dục điều 28 mục 2

chương II đã nêu “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn
học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh”. Trong đó, tốn học có vai trò quan trọng đối với
đời sống và đối với các ngành khoa học khác. Nhà tư tưởng người Anh R. Bêcơn
đã nói: “Ai khơng hiểu biết tốn học thì không thể hiểu bất cứ một môn khoa học
nào khác và không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình”. Do vai trị của
tốn học trong đời sống công nghệ hiện đại, các kiến thức và phương pháp toán

SVTH: Lê Tường Vi

9


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

học được xem là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các mơn học khác, giúp
học sinh hoạt động có hiệu quả hơn trong mọi lĩnh vực.
Với vai trò mạnh mẽ của toán học nên yêu cầu đặt ra là phải làm cho học
sinh nắm được các kiến thức toán học một cách chính xác, vững chắc và có hệ
thống, có năng lực vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài tốn thực tế.
Muốn vậy thì học sinh phải có phương pháp học tập thích hợp. Trong việc đổi mới
phương pháp dạy học thì học sinh đóng vai trị chủ động trong việc tìm hiểu tri
thức qua sự dẫn dắt, hướng dẫn của giáo viên.
1.2.

Dạy học giải toán

1.2.1. Yêu cầu đối với lời giải bài toán:
- Lời giải khơng có sai lầm: Lời giải khơng có sai sót về kiến thức tốn học,
về suy luận và tính tốn, về trình bày,…
- Lời giải phải có căn cứ chính xác: Các bước trong lời giải phải có cơ sở lí
luận, nghĩa là phải dựa vào các định nghĩa, định lí, tính chất, qui tắc, cơng
thức…đã được học.
- Lời giải phải đầy đủ: Lời giải phải bao hàm hết tất cả các khả năng có thể
xảy ra đối với một tình huống.
- Trình bày phải đủ, rõ ràng.
1.2.2. Các bước của hoạt động giải toán:
Hoạt động giải toán thường diễn ra theo bốn bước sau:
1. Tìm hiểu bài tốn
2. Tìm kiếm, lựa chọn phương hướng giải (chương trình giải)
3. Soạn thảo lời giải
4. Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải; đề xuất hướng giải khác
(nếu có)
1.2.3. Tiến trình giải tốn:
SVTH: Lê Tường Vi

10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Giải tốn là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài tốn là
sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ tốn học, cần có sự chọn lọc
sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề. Như vậy, giải bài tốn là tìm kiếm

một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập.
Đó là một q trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và các
phẩm chất trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho.
Theo Howard Gardner, G. Polya,… thì tiến trình lao động của học sinh khi
giải một bài tốn có thể theo các hướng sau:
- Hướng tổng quát hóa: hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp. Chuyển từ
một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng
tập hợp ban đầu.
- Hướng cụ thể hóa: hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài tốn
ban đầu thành những bài tốn thành phần có quan hệ logic với nhau. Chuyển tập
hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập
con đó tìm ra lời giải của bài tốn hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài
toán đã cho.
- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: khi gặp bài toán phức tạp,
học sinh có thể đi giải các bài tốn trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải
bài tốn đã cho hoặc có thể giả định điều đối lập với bài tốn đang tìm cách giải và
khẳng định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn,
một bài toán tương tự hoặc một phần bài tốn, từ đó rút ra những điều hữu ích để
giải bài tốn đã cho.
Theo G. Polya, việc giải bài toán xem như thực hiện một hệ thống hành
động: “hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình và
khảo sát lời giải đã tìm được”. Theo ơng điều quan trọng trong q trình giải bài
tốn là qua đó học sinh nảy sinh lịng say mê, khát vọng giải tốn, thu nhận và hình
thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và sáng tạo.
SVTH: Lê Tường Vi

11


Khóa luận tốt nghiệp

1.3.

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Dạy học giải tốn Ngun hàm – tích phân ở trường Trung học phổ

thơng
1.3.1. Vai trị và ý nghĩa của nội dung Ngun hàm – tích phân trong chương
trình mơn Tốn ở trường Trung học phổ thơng
Trong chương trình mơn tốn ở trường THPT, học sinh học về nguyên hàm
– tích phân ở lớp 12, đây là một phần kiến thức rất quan trọng.
Trong thực tiễn cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, người ta cần
phải tính diện tích của những hình phẳng cũng như thể tích của những vật thể phức
tạp. Chẳng hạn:
Khi xây dựng một nhà máy thủy điện, để tính lưu lượng của dịng sơng ta
phải tính diện tích thiết diện ngang của dịng sơng. Thiết diện đó thường là một
hình khá phức tạp.
Khi đóng tàu, các kĩ sư cần xác định thể tích của khoang tàu có hình dạng
đặc biệt.
Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mỗi hình và mỗi vật thể như vậy
người ta lại phải nghĩ ra một cách để tính. Sự ra đời của tích phân cho chúng ta một
phương pháp tổng qt để giải hàng loạt những bài tốn tính diện tích và thể tích
nói trên.
Do vậy việc nghiên cứu tích phân khơng những có ứng dụng trong thực tiễn
mà cịn có ứng dụng trong lí thuyết tốn học.
Như vậy việc nghiên cứu tích phân là rất cần thiết, sẽ tạo nền tảng kiến thức cơ bản
cho học sinh, giúp học sinh nắm rõ và hứng thú trong việc học tốn tích phân.
1.3.2. Nội dung Ngun hàm – tích phân trong chương trình mơn Tốn ở
trường Trung học phổ thơng
Chương trình giải tích 12 Nâng cao nội dung Ngun hàm – tích phân thuộc

chương III. Nội dung gồm:
 Chương III: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
SVTH: Lê Tường Vi

12


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Bài 1: Nguyên hàm
Bài 2: Một số phương pháp tìm nguyên hàm
Bài 3: Tích phân
Bài 4: Một số phương pháp tính tích phân
Bài 5: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Bài 6: Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
Câu hỏi và bài tập ơn tập chương III
1.3.3. Một số lưu ý khi dạy học giải toán tích phân
Nội dung ngun hàm tích phân chương trình THPT là một nội dung mới
đối với các em học sinh (các em chưa từng được làm quen ở lớp dưới), hơn nữa
đây lại là một nội dung khó, trừu tượng. Sự hình thành các cơng thức ngun hàm
tích phân liên quan đến công thức nguyên hàm, tuy nhiên học sinh hay nhầm lẫn
giữa hai loại cơng thức này.
Trong q trình giải bài tốn tích phân, học sinh cần nắm vững các kiến thức
căn bản và vận dụng các phương pháp thích hợp kết hợp với việc tính tốn cẩn
thận tỉ mỉ. Song đa phần các em vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số nên mắc
một số sai lầm trong bài giải.
Do vậy trong quá trình dạy, người giáo viên cần cho học sinh chủ động tự
làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của

nhau từ đó phát hiện những lỗi sai. Người giáo viên phân tích các lỗi sai cho học
sinh để các em nắm rõ tránh lặp lại, cần linh hoạt và có những gợi ý cần thiết hỗ
trợ các em tìm lời giải.
1.4. Một số khái niệm, nội dung cơ bản trong tốn tích phân:
1.4.1. Những kiến thức liên quan (Nguyên hàm):
1.4.1.1. Định nghĩa:

SVTH: Lê Tường Vi

13


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên
K nếu F '( x)  f ( x) với mọi x thuộc K.
Ví dụ 1: Hàm số F ( x) 

x3
là nguyên hàm của hàm số f ( x)  x2 trên
3

vì

'

 x3 
2

   x với mọi x
3
 

.

Hàm số F ( x)  tan x là nguyên hàm của hàm số f ( x) 

1
trên khoảng
cos2 x

1
  
   
với mọi x  
;  vì (tan x)' 
; 

2
cos x
 2 2
 2 2

1.4.1.2. Định lí 1:
Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số y  F ( x)  C cũng là một nguyên hàm của f
trên K.
b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C
sao cho G( x)  F ( x)  C với mọi x thuộc K.

Ví dụ 2: Tìm ngun hàm F của hàm số f ( x)  3x2 trên

thỏa mãn điều kiện

F (1)  1.

Giải: Dễ thấy y  x3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x2 nên ngun hàm F
cần tìm có dạng F ( x)  x3  C .
Vì F (1)  1 nên 13  C  1 , suy ra C  2 . Vậy F ( x)  x3  2 .
1.4.1.3. Tính chất cơ bản:
Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì
a)  [ f ( x) + g ( x)]dx =  f ( x)dx +  g ( x)dx ;
b) Với mọi số thực k ≠ 0 ta có
SVTH: Lê Tường Vi

14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx
Ví dụ 3:

 ( x 1)( x

4

 3x)dx   ( x5  x4  3x2  3x)dx

  x5dx   x4dx   3x 2dx   3xdx 

x6 x5 3 3x2
 x 
6 5
2

1.4.1.4. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp:
1)

 0dx  C ,  dx  1dx  x  C ;

x1
2)  x dx 
 C   1 ;
 1


3)

1

 x dx  ln x  C

;

4) Với k là hằng số khác 0
a)

 sin kxdx  

b)

 cos kxdx 

c)

kx
 e dx 

cos kx
C ;
k

sin kx
C ;
k

ekx
C ;
k

ax
d)  a dx 
 C  0  a  1 ;
ln a
x

5) a)

b)

Ví dụ 4:

1

 cos2 x dx  tan x  C

;

1

 sin 2 x dx   cot x  C .

 4x

4

4
dx  x5  C
5

SVTH: Lê Tường Vi

15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

x
sin
x
x
 cos 2 dx  1 2  2sin 2  C
2

1.4.1.5. Một số phương pháp tìm nguyên hàm:
a) Phương pháp đổi biến số:
Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y  f (u)
liên tục sao cho f [u( x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của
f, tức là

 f (u)du  F (u)  C

thì

 f [u( x)]u '( x)dx  F[u( x)]  C

(1)

Ví dụ 5: Tìm  cos(7 x  5)dx

1
1
Giải. Ta có cos(7 x  5)dx  cos(7 x  5)(7 x  5)'dx  cos(7 x  5)d(7 x  5)
7
7
Đặt u  7 x  5 . Ta có

1

1

 cos(7 x  5)dx   7 cos(7 x  5)d(7 x  5)   7 cos udu
1
1
 sin u  C  sin(7 x  5)  C
7
7
b) Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

 u( x)v '( x)dx  u( x)v( x)   v( x)u '( x)dx
Ví dụ 6: Tìm  x cos xdx
Giải: Đặt u( x)  x , dv  cos xdx . Khi đó du  dx , v( x)  sin x (chỉ cần lấy một
nguyên hàm của v ' ). Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta có

 x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C
1.4.2. Tích phân:
1.4.2.1. Định nghĩa:
SVTH: Lê Tường Vi

16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Cho hàm số f liên tục trên K và a , b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là
một nguyên hàm của của f trên K thì hiệu số
F (b)  F (a)

được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
b

 f ( x)dx

a
b

Người ta cịn dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu số F (b)  F (a) . Như vậy nếu F là
một nguyên hàm của f trên K thì
b

b

 f ( x)dx  F ( x) a
a

5

Ví dụ 7:

1

5

 x dx   ln x  3  ln 5  ln 3  ln 3
5

3

1.4.2.2. Tính chất:
Giả sử các hàm số f, g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì
thuộc K. Khi đó ta có
a

1)

 f ( x)dx  0 ;

a

2)

b

a

a

b

 f ( x)dx   f ( x)dx ;

b

3)



a

c

c

b

a

f ( x)dx   f ( x)dx  f ( x)dx ;

b

b

b

a

a

a

4)  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx ;
b

5)

b

 kf ( x)dx  k a f ( x)dx với k 

.

a

SVTH: Lê Tường Vi

17


Khóa luận tốt nghiệp
3

Ví dụ 8: Cho



1

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy
3

f ( x)dx  2 và  g ( x)dx  3 .
1

3

3

1

1

Hãy tính  [3 f ( x)  g ( x)]dx và  [5  4 f ( x)]dx
Giải
3

3

3

1

1

1

 [3 f ( x)  g ( x)]dx  3 f ( x)dx   g ( x)dx  3.(2)  3  9
3

3

3

1

1

1

 [5  4 f ( x)]dx  5 dx  4 f ( x)dx  5.2  4.(2)  18

1.4.2.3. Một số phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số:
b

u (b )

a

u (a)

 f [u( x)]u '( x)dx  

f (u)du

Trong đó hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y  f (u)
liên tục sao cho hàm hợp f [u( x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc K.
2

2

Ví dụ 9: Tính  xe x dx
1

Giải
2
1 2
Ta có xe x dx  e x d( x2 ) . Đặt u  x2 ta có u(1)  1 , u(2)  4 . Do đó
2

2

2

4 u

e
1
du  (e4  e) .
2
1 2

x
 xe dx  

1

b) Phương pháp tích phân từng phần:
b

b

 u( x)v '( x)dx   u( x)v( x)  a  a v( x)u '( x)dx

b

a

Trong đó các hàm số u, v có đạo hàm liên tục trên K và a , b là hai số thuộc K.
SVTH: Lê Tường Vi

18


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy
b

b

Hay cơng thức trên còn được viết dưới dạng  udv   uv  a   vdu
a

b

a

1

Ví dụ 10: Tính  xe x dx
0

Giải. Đặt u( x)  x , dv  e xdx . Khi đó du  dx , v( x)  e x . Do đó

1

 xe

0

x

dx  

1
x 1
xe
 e x dx  e  (e 1)  1
0
0

SVTH: Lê Tường Vi

 

19


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

CHƯƠNG II: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TỐN
TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG

2.1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân
Ví dụ 1. Tính tích phân I 

2

dx

  x  12

2

* Sai lầm thường gặp:
2

2
dx
d( x 1) 1
1
4
I


 1 
2
2
x  1 2 3
3
2 ( x  1)
2 ( x  1)
2

* Nguyên nhân sai lầm:
Hàm số y 

1
( x  1)2

không xác định tại x  1[  2;2] suy ra hàm số

không liên tục trên [  2;2] nên không sử dụng được công thức Newtơn – leibnitz
như cách giải trên.
* Lời giải đúng:
Hàm số y 

1
không xác định tại x  1[  2;2] suy ra hàm không
( x  1)2

liên tục trên [  2;2] , do đó tích phân trên không tồn tại.
* Chú ý đối với học sinh:
b

Khi tính tích phân

 f ( x)dx cần chú ý kiểm tra xem hàm số

y  f ( x) có liên

a

tục trên đoạn [a; b] khơng? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính
tích phân đã cho, cịn nếu khơng thì kết luận ngay tích phân đó khơng tồn tại.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
5

dx
4
0 ( x  4)

a) 

SVTH: Lê Tường Vi

3

b)



1

x( x2 1) 2 dx

2

20


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy



 x3e x  x 2
dx

3
x
1
1

2

1
dx
4
cos
x
0

c) 

d)

2.2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân
3

Ví dụ 1. Tính tích phân I   x  1dx

0

* Sai lầm thường gặp:
3

3

0

0

3

1
1
x  1d( x  1) 

2 x 1 0 2

I   x  1dx  

* Nguyên nhân sai lầm:
Sự hình thành ngun hàm ít nhiều cũng liên quan đến kiến thức đạo hàm,
các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này.
* Lời giải đúng:
3

3

0

0

I   x  1dx  

1
( x  1) 2 d( x  1) 

3

3
2
14
( x  1) 2 
3
3
0

1

Ví dụ 2. Tính tích phân I   (2 x 1)4 dx
0

* Sai lầm thường gặp:
1

(2 x 1)5
2
I   (2 x 1)4 dx 


5
5
0
0
1

* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm của hàm hợp, đã dùng

 x dx 

x1
1 (ax  b) 1
 C   1 thay vì  (ax  b) dx 
C
 1
a  1

* Lời giải đúng:
1

(2 x 1)5
1
I   (2 x 1) dx 

2.5 0 5
0
1

4

SVTH: Lê Tường Vi

21


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

(Có thể hướng dẫn các em giải cách khác: Đặt 𝑡 = 2𝑥 − 1)
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau
a) I 

2



7

x  4dx

b) I  

2

3

1

1
dx
x 3

c) I   (2 x  1)3 dx
0


2

4

1

d) I  

1 (2 x  1)

2

1
dx
1

3
x
1

dx e) I  

12



f) I   cos   4 x  dx
6


6

2.3. Sai lầm vì dùng cơng thức khơng có trong sách giáo khoa
Ví dụ 1: Tính tích phân I 

0

1
dx
2
x

2
x

2
1



*Sai lầm thường gặp:

I=

0

d  x  1

1

 x 1 1



2

 arctan  x  1 1  arctan1  arctan 0 
0


4

* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời
* Lời giải đúng:
I

0

0
1
1

d
x

 x2  2 x  2
 ( x 1)2 1 dx
1
1

Đặt x 1  tan t  dx 
Đổi cận: x  0  t 



4

1
dt  (1  tan2 t )dt .
2
cos t

; x  1  t  0



4
1

2
I 
 (1  tan t )dt   dt  t 04 

2
4
0 1  tan t
0
4

* Chú ý đối với học sinh:

SVTH: Lê Tường Vi

22


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Các khái niệm arcsin x,arctan x khơng trình bày trong sách giáo khoa hiện
thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một
sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ
năm 2000 đến nay do các khái niệm này khơng có trong sách giáo khoa nên học
sinh khơng được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng
b

1
dx , thì ta tính tích phân bằng cách đặt x  c tan t (hoặc x  cot t ). Chú
2
ac x

I 

2

ý công thức 1  tan 2 t 

1
1
;1  cot 2 t  2
2
cos t
sin t

* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
8

a) I  

4

c) I 

x2 16
dx
x

1
3



0

x3
1  x8

2 x3  2 x  3
dx
b) I  
x2  1
0
1

dx

2.4. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến
1

Ví dụ 1: Tính tích phân I   1  x2 dx
0

*Sai lầm thường gặp:
Đặt x  sin t suy ra dx  cos t d t
1

I 

0

1

1  cos2t
1 1
 t sin 2t 
1  sin t .costdt   cos tdt  
dt   
  sin 2

2
4 0 2 4
2
0
0
2

1

2

1

* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận.
* Lời giải đúng:
Đặt x  sin t suy ra
SVTH: Lê Tường Vi

dx  cos t d t

23

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy

Đổi cận: x  0  t  0
x 1 t 


I 

2



0


2




2

2



1  cos 2t
 t sin 2t  2 
1  sin 2 t .cos t.dt   cos2t.dt  
dt   

2
4  0 4
2
0
0

* Chú ý đối với học sinh:
b

Khi gặp tích phân dạng I   c2  x2 dx , nếu tích phân tồn tại thì thơng
a

thường ta tính tích phân bằng cách đặt x  c sin t ( hoặc x  c cos t ), đổi cận,
chuyển về tính tích phân theo t.
1

dx
5
0 (2 x  1)

Ví dụ 2: Tính tích phân I  
* Sai lầm thường gặp:
Đặt t = 2x + 1

Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  3

3

dt t 4
20
I  5 

4 1 81
1t
3

* Nguyên nhân sai lầm:
Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã qn khơng tính vi phân dt
* Lời giải đúng:
Đặt t  2x 1  dt  2dx ;
Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  3
3

dt t 4 10
I  5 

8 1 81
1 2t
3

1
4

Ví dụ 3: Tính tích phân I  

0

SVTH: Lê Tường Vi

x3
1 x

2

dx

24