Sự tiện ích của phép biến hình vào giải một số bài toán hình học thuộc chương trình THPT

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
----

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:

SỰ TIỆN ÍCH CỦA PHÉP BIẾN HÌNH VÀO
GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC
THUỘC CHƯƠNG TRÌNH THPT

Giáo viên hương dẫn : Th.S TẦN BÌNH
Sinh viên thực hiện

: TRẦN THỊ MINH HÀ

Lớp

: 09ST

Niên khóa: 2009 – 2013
20


MỤC LỤC
Trang
Trang bìa phụ
Mục lục ............................................................................................................ 1
Danh mục các kí hiệu được dùng trong luận văn............................................ 3
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 4

CHƯƠNG 1:PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHƠNG GIAN
1.1.

Đại cương về phép biến hình ................................................................ 6

1.2.

Phép dời hình trong mặt phẳng và không gian ..................................... 8

1.2.1. Khái niệm phép dời hình................................................................... 8
1.2.2. Các phép dời hình ............................................................................. 9
1.2.3. Mối quan hệ giữa các phép dời hình ............................................... 13
1.2.4. Phép đồng dạng, phép vị tự và phép nghịch đảo ............................ 15
1.2.5. Một số kiến thức liên quan.............................................................. 19
CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ QUY TRÌNH SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ
GIẢI TỐN HÌNH HỌC THUỘC CHƯƠNG TRÌNH THPT
2.1. Định hướng việc sử dụng phép biến hình để giải tốn .......................... 21
2.1.1. Một số cách xác định phép biến hình.............................................. 21
2.1.2. Định hướng chung của việc sử dụng phép biến hình vào giải toán 22
2.1.3. Một số dạng toán thường gặp.......................................................... 23
2.2. Quy trình sử dụng phép biến hình vào giải một số bài tốn hình học ... 23
2.2.1. Các bài tốn về quan hệ vng góc và song song .......................... 23
2.2.2. Các bài toán về thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định ..................... 27
2.2.3. Các bài toán cực trị và chứng minh bất đẳng thức hình học........... 30
2.2.4. Các bài tốn quỹ tích ....................................................................... 34

1


2.2.5. Các bài tốn dựng hình ................................................................... 39

CHƯƠNG 3 : SỰ TIỆN ÍCH CỦA PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI MỘT SỐ
BÀI TỐN HÌNH HỌC THUỘC CHƯƠNG TRÌNH THPT
3.1. Sự tiện ích của phép biến hình ............................................................... 43
3.1.1. Các bài tốn về quan hệ vng góc và song song .......................... 43
3.1.2. Các bài toán về thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định ..................... 47
3.1.3. Các bài toán về cực trị và chứng minh bất đẳng thức hình học ...... 52
3.1.4. Các bài tốn quỹ tích ....................................................................... 56
3.1.5. Các bài tốn dựng hình ................................................................... 59
KẾT LUẬN ............................................................................................... 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................... 63

1


BẢNG CÁC KÍ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN VĂN
∆ABC

: Tam giác ABC

(O,R)

: Đường trịn tâm O bán kính R trong mặt phẳng,
mặt cầu tâm O bán kính R trong khơng gian.

(ABC)

: Đường trịn ngoại tiếp ∆ABC

(P)

: Mặt phẳng (P)

̂
𝐴𝐵𝐶

̂
: Góc 𝐴𝐵𝐶

CABCD

: Chu vi tứ giác ABCD

̂
𝐴𝐵

: Cung AB

̅̅̅̅
𝐴𝐵

: Độ dài đại số của đoạn thẳng AB

f : M↦ M’

: Phép biến hình f biến điểm M thành M’

f : (H) ↦ (H’)

: Phép biến hình f biến hình (H) thành (H’)

M’ = f(M)

: Điểm M’ là ảnh của M qua phép biến hình f

M ∈ (P)

: Điểm M thuộc mặt phẳng (P)

𝒫𝑀/(𝑂)

: Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O)

a // b

: Đường thẳng a song song với đường thẳng b

(P) // (Q)

: Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q)

a⊥b

: Đường thẳng a vng góc với đường thẳng b

d ⊥ (P)

: Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P)

(P) ⊥ (Q)

: Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q)

2


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Phép biến hình là một phần quan trọng của hình học sơ cấp, là cơng cụ
đắc lực để nghiên cứu các hình và một số quan hệ hình học. Hơn nữa, phép
biến hình cịn là một công cụ hiệu quả trong việc giải một số lớp bài tốn hình
học sơ cấp, và rèn luyện tư duy, suy luận cho người đọc.
Đối với một số bài tốn có thể giải theo nhiều cách nhưng việc sử dụng
phép biến hình vào việc giải các bài tốn sẽ trở nên ngắn gọn, dễ dàng và tiện
ích hơn.
Hiện nay, trong chương trình THPT, phép biến hình được đưa vào
giảng dạy ở lớp 11. Đây là một môn học hay nhưng khá khó đối với học sinh.
Chương trình đào tạo và sách giáo khoa hình học đã nêu một vài sự tiện ích
và ứng dụng của phép biến hình tuy nhiên cịn rất ít, hơn nữa chưa định
hướng rõ quy trình và phương pháp sử dụng phép biến hình vào giải tốn trở
nên tiện ích hơn nên học sinh cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng khi vận dụng
để giải bài tập. Do vậy việc nghiên cứu phép biến hình đưa ra quy trình sử
dụng và những tiện ích của phép biến hình để giải tốn là cần thiết, nên tơi
chọn đề tài: “ SỰ TIỆN ÍCH CỦA PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI MỘT
SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC THUỘC CHƯƠNG TRÌNH THPT” cho luận
văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Hệ thống và phân loại một số dạng toán có thể giải được bằng phép
biến hình.
- Đưa ra quy trình giải cho từng dạng tốn.
- Định hướng cho học sinh cách vận dụng phép biến hình vào việc giải

tốn hình học là tiện ích và ngắn gọn hơn một số cách giải khác.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

3


- Nghiên cứu nội dung khái niệm về phép dời hình, phép đồng dạng,
nghịch đảo trong mặt phẳng và khơng gian.
- Hệ thống và phân loại các bài toán giải được bằng phép biến hình.
- Xây dựng quy trình giải cho các dạng tốn bằng phép biến hình.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Đọc sách giáo khoa, sách giáo viên và các tài liệu liên quan. Từ đó hệ
thống, phân loại các dạng tốn giải được bằng phép biến hình.
- Nghiên cứu lý thuyết và bài tập, kết hợp phân tích, tổng hợp đánh giá.
5. Cấu trúc luận văn:
Mở đầu
CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHƠNG
GIAN
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ QUY TRÌNH SỬ DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH
ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC THUỘC CHƯƠNG TRÌNH THPT
CHƯƠNG 3: SỰ TIỆN ÍCH CỦA PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI
MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC THUỘC CHƯƠNG TRÌNH THPT
Kết luận
Tài liệu tham khảo

4


CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG VÀ
KHƠNG GIAN

Chương này trình bày tóm tắt phép biến hình và các khái niệm liên quan để
làm cơ sở cho các chương sau.
1.1.

Đại cương về phép biến hình

1.1.1. Định nghĩa về phép biến hình
Gọi P là tập các điểm trong mặt phẳng (tương ứng trong không gian).
Một song ánh từ P lên chính nó được gọi là một phép biến hình trong mặt
phẳng (tương ứng trong không gian).
1.1.2. Điểm, đường thẳng, mặt phẳng bất động
Một điểm M ∈ P được gọi là điểm bất động (hay điểm kép) đối với
phép biến hình f nếu phép biến hình f biến điểm M thành chính nó.
Một đường thẳng d được gọi là đường thẳng bất động đối với phép biến
hình f nếu mọi điểm trên d đều là điểm bất động đối với phép biến hình f.
Một mặt phẳng (α) được gọi là mặt phẳng bất động đối với phép biến
hình f nếu mọi điểm trên (α) đều là điểm bất động đối với phép biến hình f.
1.1.3. Phép biến hình đồng nhất
Phép biến hình đồng nhất là phép biến hình biến mỗi điểm trong mặt
phẳng (tương ứng khơng gian) đều thành chính nó. Kí hiệu phép biến hình
đồng nhất là e.
1.1.4. Phép biến hình đảo ngược
Cho phép biến hình f. Khi đó song ánh ngược f-1 của f cũng là phép
biến hình và gọi là phép biến hình đảo ngược của f.
1.1.5. Phép biến hình có tính đối hợp
Phép biến hình có tính đối hợp là phép biến hình có phép đảo ngược
trùng với chính nó. Nếu f là phép biến hình có tính đối hợp thì f2 = e.

5

1.1.6. Tích các phép biến hình
Cho hai phép biến hình f và g. Phép biến hình có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép biến hình f và phép biến hình g, gọi là tích của phép biến
hình f với phép biến hình g, kí hiệu g.f .
Ta có:

(g.f) (M) = g [f(M)].

1.1.7. Các vấn đề hình học liên quan đến phép biến hình
1. Mặt phẳng định hướng:
Mặt phẳng định hướng là mặt phẳng, trong

+

đó đã xác định một trong hai chiều quay của mỗi
tia xung quanh mỗi điểm của nó làm chiều dương,
chiều ngược lại là chiều âm. Thơng thường chọn
chiều dương là chiều quay ngược với chiều của kim đồng hồ.
2. Góc định hướng của hai tia và hai đường thẳng
Trong mặt phẳng định hướng, góc tạo bởi
hai tia Ox, Oy (tương ứng hai đường thẳng a,b) có

y

phân biệt tia (đường thẳng) đầu, tia (đường thẳng)
cuối gọi là góc định hướng của hai tia (đường
thẳng ). Góc định hướng có tia (đường thẳng) đầu

O

x

Ox (tương ứng a) và tia (đường thẳng) cuối Oy
(tương ứng b) được kí hiệu (Ox, Oy) (tương ứng (a,b)).
Số đo của góc định hướng lấy giá trị dương nếu tia (đường thẳng ) đầu quay
đến trùng với tia (đường thẳng ) cuối theo chiều dương. Ngược lại thì nhận
giá trị âm.
Số đo góc định hướng của hai tia sai khác nhau k2π, nghĩa là:
(Ox, Oy) = α + k2π , k ∈ Z , α là góc tạo bởi hai tia Ox và Oy.
Số đo góc định hướng của hai đường thẳng sai khác nhau kπ, nghĩa là:
(a,b) = α + kπ , k ∈ Z , α là góc tạo bởi hai đường thẳng a và b.
Từ định nghĩa của góc định hướng, ta có :
6


+ (Ox, Oy) = - (Oy, Ox) , (a,b) = - (b,a)
+ Hệ thức Salơ: (Ox, Oy) + (Oy, Oz) = (Ox, Oz), (a,b) + (b,c) = (a,c)
1.2.

Phép biến hình trong mặt phẳng và trong không gian

1.2.1. Khái niệm phép dời hình
1) Định nghĩa: Phép dời hình trong mặt phẳng (tương ứng trong khơng
gian) là phép biến hình f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nghĩa
là với hai điểm M, N thuộc P ta có
MN = M’N’, với M’ = f(M), N’ = f(N)
2) Tính chất: Phép dời hình có các tính chất sau
- Biến ba điểm thẳng hành thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
của ba điểm đó.

- Biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành
đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó, đường
trịn thành đường trịn bằng nó.
- Phép dời hình trong khơng gian bảo tồn sự đồng phẳng của bốn điểm.
- Biến mặt phẳng thành mặt phẳng, nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng,
tứ diện thành tứ diện, mặt cầu thành mặt cầu bằng nó.
- Bảo tồn góc giữa hai tia, góc giữa hai đường thẳng, góc nhị diện, góc
giữa hai mặt phẳng .
- Một phép dời hình trong mặt phẳng có ba điểm bất động khơng thẳng
hàng là một phép đồng nhất.
- Một phép dời hình trong mặt phẳng khơng phải là phép đồng nhất thì
hoặc khơng có điểm bất động nào, hoặc chỉ có một điểm bất động, hoặc
chỉ có một đường thẳng bất động.
-

Một phép dời hình trong khơng gian khơng phải là phép đồng nhất thì

hoặc khơng có điểm bất động nào, hoặc chỉ có một điểm bất động hoặc chỉ
có một đường thẳng bất động hoặc chỉ có một mặt phẳng bất động.
7


-

Tích hai phép dời hình là một phép dời hình.

3) Sự xác định phép dời:
Định lý 1: Nếu trong mặt phẳng cho hai bộ ba điểm không thẳng hàng
(A, B, C) và (A’, B’, C’) sao cho AB = A’B’, BC = B’C’, CA= C’A’ thì tồn

tại duy nhất một phép dời hình biến A, B, C tương ứng thành các điểm A’,
B’, C’.
Định lý 2: Trong không gian, cho hai bộ bốn điểm không đồng phẳng
(A,B,C,D) và (A’,B’,C’,D’) sao cho AB = A’B’, AC = A’C’, AD = A’D’,
BC = B’C’, BD = B’D’, CD = C’D’ thì tồn tại duy nhất một phép dời hình
biến A, B, C, D thành A’, B’, C’, D’
4) Hai hình bằng nhau:
Hai hình trong mặt phẳng (tương ứng trong khơng gian) được gọi là
bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
1.2.2. Các phép dời hình:
1) Phép tịnh tiến:
a) Định nghĩa:

𝑣⃗

Trong mặt phẳng (tương ứng trong không gian) cho 𝑣⃗ .
Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣⃗ gọi là phép tịnh tiến theo 𝑣⃗ . Kí hiệu: 𝑇𝑣⃗⃗
𝑀𝑀′

M

M’

+ Vectơ 𝑣⃗ gọi là vectơ tịnh tiến.
+ Phép tịnh tiến theo ⃗0⃗ chính là phép đồng nhất.
b) Tính chất: Phép tịnh tiến là một phép dời hình do đó nó có tính chất
của một phép dời hình. Ngồi ra cịn có các tính chất sau:
-

Biến vectơ thành vectơ bằng nó.

-

Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường

thẳng đã cho.

8


-

Biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng

đã cho.
-

Phép biến hình đảo ngược của phép tịnh tiến 𝑇𝑣⃗⃗ là phép 𝑇−𝑣⃗⃗

-

Tích của hai phép tịnh tiến 𝑇𝑣⃗⃗ và 𝑇𝑢⃗⃗ là phép tịnh tiến 𝑇𝑣⃗⃗+𝑢⃗⃗
2) Phép đối xứng tâm:
a) Định nghĩa:
M
N'

O
N

M'

Trong mặt phẳng (tương ứng không gian) cho một điểm O. Phép biến
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ gọi là phép đối
hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ = −𝑂𝑀
xứng qua tâm O, ký hiệu ĐO. Điểm O gọi là tâm đối xứng.
Phép đối xứng ĐO có tính đối hợp, nghĩa là ĐO(M) = M’ thì ĐO(M’) = M.
b) Tính chất:
Phép đối xứng ĐO là một phép dời hình, do đó nó các tính chất của một
phép dời hình. Ngồi ra cịn có các tính chất sau:
-

Có một điểm bất động duy nhất là điểm O.

-

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑀𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
Biến hai điểm M,N lần lượt thành M’, N’ thì 𝑀′𝑁′

-

Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với
đường thẳng đã cho.

-

Biến tia thành tia ngược chiều nhau.

3) Phép đối xứng trục:
a) Định nghĩa:

9


Trong mặt phẳng (tương ứng không
d

gian), cho đường thẳng d. Phép biến hình
M

biến mỗi điểm M thành M’sao cho đường

M'

thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng
MM’ gọi là phép đối xứng trục d.
N

Kí hiệu Đd

N'

+ Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.
+ Phép đối xứng trục có tính đối hợp, nghĩa là Đd(M) = M’ thì Đd (M’) = M.
b) Tính chất:
Phép đối xứng trục là một phép dời hình, do đó nó có các tính chất của
một phép dời hình. Ngồi ra cịn có các tính chất sau

- Mọi điểm nằm trên trục d đều là điểm bất động
- Biến đường thẳng vng góc với d thành chính nó.
- Phép đối xứng trục Đd có tính đối hợp.
4) Phép đối xứng qua mặt phẳng trong không gian
a) Định nghĩa: Trong không gian, cho mặt phẳng (P). Phép biến hình biến
mỗi điểm M thành M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MN
gọi là phép đối xứng qua mặt phẳng (P).
Kí hiệu ĐP. Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng đối xứng.
b) Tính chất: Phép đối xứng ĐP là một phép dời, do đó nó có các tính chất
sau của một phép dời hình. Ngồi ra cịn có các tính chất sau:
- Mọi điểm nằm trong mặt phẳng (P) đều là điểm bất động.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc cắt nhau trên
mặt phẳng (P). Biến đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) thành
chính nó.
- Biến mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (P) thành chính nó.
- Phép đối xứng ĐP có tính chất đối hợp.
5) Phép quay trong mặt phẳng:
10


a) Định nghĩa: Trong mặt phẳng định hướng (P), cho điểm O cố định và
góc định hướng α. Phép biến hình biến mỗi
điểm M thành M’ sao cho OM = OM’ và

N'

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑂𝑀
𝑂𝑀′ ) = α gọi là phép quay tâm O góc

M'

quay α. Kí hiệu: 𝑄𝑂𝛼

N

Phép 𝑄𝑂𝑘2𝜋 là phép đồng nhất. Phép
(2𝑘+1)𝜋

𝑄𝑂

O
M

là phép đối xứng ĐO.

b) Tính chất: Phép quay là một phép dời hình, do đó nó có tính chất của
một phép dời hình. Ngồi ra cịn có các tính chất sau:
- Phép quay QO, α≠ k2π, có một điểm bất động O duy nhất.
- Biến đường thẳng đi qua O thành đường thẳng qua O.
- Biến tia thành tia và góc tạo bởi hai tia thành α.
- Nếu phép quay QO biến điểm M thành M’ thì phép 𝑄𝑂−𝛼 biến điểm M’
thành điểm M, nghĩa là (𝑄𝑂𝛼 )-1 = 𝑄𝑂−𝛼 .
𝛽

- Tích của hai phép quay 𝑄𝑂𝛼 và 𝑄𝑂′ là phép
quay

𝛼+𝛽
𝑄𝐼 nếu

y

α+β ≠ k2π, với I là giao điểm

x
I

của Ox và O’y (tia OO’ là ảnh của tia Ox qua
phép

𝛼/2
𝑄𝑂 ,

tia O’y là ảnh của tia O’O qua

O

O'

𝛽/2

phép 𝑄𝑂′ ) và là một phép tịnh tiến nếu α+ β = 2π.
6) Phép quay xung quanh một trục trong không gian:
a) Định nghĩa: Trong không gian, cho đường thẳng d định hướng và góc
định hướng α. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho M, M’
thuộc mặt phẳng định hướng vng góc với d tại O, OM = OM’ và
(OM,OM’) = α gọi là phép quay quanh trục d góc quay α. Kí hiệu: 𝑄𝑑𝛼

11

+ Chiều dương của phép quay được chọn sao cho một người đứng tại O,
hướng từ chân đến đầu là hướng của đường thẳng d sẽ thấy chiều quay
ngược chiều kim đồng hồ.
b) Tính chất: Phép 𝑄𝑑𝛼 là một phép dời,
d

do đó nó có các tính chất của một phép
dời hình. Ngồi ra cịn có các tính chất

O
M

M'

P

sau:
- Mọi điểm nằm trên đường thẳng d
đều là điểm bất động.

O'
Q

- Biến mặt phẳng vng góc với d

A

N'

A'

N

thành chính nó.
1.2.3. Mối quan hệ giữa các phép dời
Khái niệm vectơ dời: Cho hai đường thẳng d và d’ (tương ứng mặt
phẳng (P) và (P’)) có hướng từ d đến d’ (tương ứng (P) đến (P’)) và |𝑣⃗| = 𝑚.
Định lý 1:
a) Trong mặt phẳng , tích của hai phép đối xứng qua hai trục d và d’ song
song với nhau là phép tịnh tiến 𝑇2𝑣⃗⃗ , với 𝑣⃗ là vectơ dời từ d đến d’.
b) Ngược lại mọi phép tịnh tiến 𝑇𝑣⃗⃗ đều
có thể phân tích bằng vơ số cách thành
tích của hai phép đối xứng trục có các
trục song song và vectơ dời từ trục thứ
nhất đến trục thứ hai là

1
2

d'

d
M

H1

M1

H2

M'

𝑣⃗.
v

Định lý 2:
a) Trong mặt phẳng, tích của hai phép đối xứng qua hai trục d và d’ cắt
nhau tại O là phép quay 𝑄𝑂2𝛼 với α = (d,d’).

12


b) Ngược lại, mọi phép quay 𝑄𝑂𝛼 , α ≠ 0, đều có thể phân tích bằng vơ số
cách thành tích của hai phép đối xứng trục đi qua O và góc định hướng
1

giữa hai trục là 𝛼.
2

Định lý 3:
a) Trong khơng gian, tích của hai
phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P),
(Q) song song với nhau là phép 𝑇2𝑣⃗⃗ với
𝑣⃗ là vectơ dời từ (P) đến (Q).

M

H1

b) Ngược lại mọi phép tịnh tiến 𝑇𝑣⃗⃗

M1

M'

H2

đều có thể phân tích bằng vơ số cách
thành tích của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song và vectơ
dời từ mặt phẳng thứ nhất đến mặt phẳng thứ hai là

1
2

𝑣⃗.

Định lý 4:
a) Trong khơng gian, tích của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P),
̂
(Q) cắt nhau theo giao tuyến d là phép quay 𝑄𝑑2𝛼 với α = ((𝑃),
(𝑄)).
b) Ngược lại, mọi phép quay 𝑄𝑑𝛼 , α ≠0,
đều có thể phân tích bằng vơ số cách
thành tích của hai phép đối xứng qua hai
mặt phẳng giao nhau theo giao tuyến d
và góc giữa mặt phẳng thứ nhất và mặt

M'

M
H1

H2
M1

1

phẳng thứ hai trục là 𝛼.
2

Định lý 5:
a) Tích của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (hay đường thẳng) cắt
nhau và vng góc với nhau là một phép đối xứng trục (hay đối xứng tâm)
qua giao tuyến (hay giao điểm) của hai mặt phẳng (đường thẳng).

13


b) Ngược lại, mọi phép đối xứng trục (đối xứng tâm) trong khơng gian
(hay mặt phẳng) đều có thể phân tích bằng vơ số cách thành tích của hai
phép đối xứng qua hai mặt phẳng (đường thẳng) cắt nhau và vng góc với
nhau theo trục (tâm) đối xứng.
Định lý 6:
a) Tích của hai phép đối xứng tâm qua hai tâm O và O’ là một phép tịnh
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
tiến 𝑇𝑣⃗⃗ với 𝑣⃗ = 2𝑂𝑂′
b) Ngược lại mọi phép 𝑇𝑣⃗⃗ đều có thể phân tích bằng vơ số cách, thành tích
1

của hai phép đối xứng qua hai tâm O, O’ sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑂′ = 𝑣⃗.
2

c) Hệ quả: Tích của một phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm là một
phép đối xứng tâm.
Định lý 7:
a) Tích của một phép đối xứng tâm O và
một phép đối xứng qua một mặt phẳng

d M'

M

(α) chứa O là phép đối xứng trục qua
đường thẳng d vng góc với (α) tại O.

O

b) Ngược lại, mọi phép đối xứng trục
trong khơng gian có thể phân tích bằng

M1

vơ số cách thành tích của một phép đối xứng tâm O nằm trên trục và phép
đối xứng qua mặt phẳng (α) vng góc với trục tại O.
1.2.4. Phép đồng dạng, phép vị tự và phép nghịch đảo
1) Phép đồng dạng
a) Định nghĩa
Phép đồng dạng là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’, và mỗi

điểm N thành N’ sao cho: M’N’= k.MN trong đó k > 0 cho sẵn (k gọi là tỉ
số đồng dạng).
Khi k = 1 thì phép đồng dạng là phép dời hình.

14


b) Tính chất
Định lý: Mỗi phép đồng dạng đều có thể xem như là tích của một phép
vị tự và một phép dời hình hoặc tích của một phép dời hình và một phép vị tự
(sự phân tích này khơng duy nhất).
Hệ quả: Phép đồng dạng
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ
tự giữa các điểm ấy.
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một
tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng
đó.
- Biến góc thành góc bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k.
- Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính k.R.
 Hai hình đồng dạng
Hai hình đồng dạng với nhau khi có một phép đồng dạng biến hình này
thành hình kia.
Có thể dùng phép đồng dạng để tìm quỹ tích các điểm hay dùng để
dựng hình.
Thường gặp trong thực hành:
- Phép đồng dạng là tích của phép vị tự và một phép tịnh tiến.
- Phép đồng dạng là tích của phép vị tự và một phép quay.
2) Phép vị tự
a) Định nghĩa

Cho một điểm O có định và một số thực k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi
điểm M thành điểm M’ sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ = 𝑘. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 được gọi là phép vị tự tâm O tỉ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
số k. Kí hiệu 𝑉𝑂𝑘 : M ⟼ M’ ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ = 𝑘. 𝑂𝑀
+ k = 1 : phép đồng nhất

15


+ k = -1: phép đối xứng tâm O
+ k > 0 : phép vị tự dương
+ k < 0 : phép vị tự âm
b) Tính chất
Định lý 1: Phép vị tự 𝑉𝑂𝑘 biến hai điểm A và B thành A’ và B’ thì
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴′𝐵′ = 𝑘. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 và A’B’ = |k|.AB
Định lý 2: Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng mà không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Hệ quả: Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song
hoặc trùng với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng có độ dài bằng |k| lần đoạn thẳng đó. Phép vị tự biến góc thành góc
bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng
là |k|.
Định lý 3: Phép vị tự 𝑉𝑂𝑘 biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R’)
⃗⃗⃗⃗⃗ ; R’ = |k|. R
với ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑂𝐼′ = 𝑘. 𝑂𝐼
Ngược lại, cho sẵn hai đường trịn (I;R) và (I’;R’). Có hai phép vị tự biến
𝑅′

đường tròn này thành đường tròn kia (tỉ số vị tự xác định bởi k = ± ).
𝑅

3) Phép nghịch đảo
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng Ơclit cho một điểm O cố định, một số k ≠ 0. Với mỗi
điểm M, (M ≠ O) ta cho tương ứng với mỗi điểm M’ nằm trên đường OM sao
cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ = 𝑘. Phép tương ứng như vậy gọi là phép nghịch đảo.
Điểm O được gọi là cực của phép nghịch đảo, k gọi là phương tích của phép
nghịch đảo. Phép nghịch đảo cực O phương tích k được kí hiệu là f(O;k).
b) Tính chất
-

Điểm O cố định tương ứng qua phép nghịch đảo. Ta hãy bổ sung thêm

vào mặt phẳng Ơclit một điểm duy nhất gọi là điểm vô tận và quy ước nó là
16


ảnh của điểm O qua phép nghịch đảo f(O,k) đồng thời là tạo ảnh của O qua
f(O,k). Ngoài ra, ta còn quy ước rằng mọi đường thẳng đều đi qua điểm vơ
tận.
-

Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp: nếu điểm M biến thành điểm M’

thì ngược lại điểm M’ biến thành M.
-

Nếu k > 0 thì những điểm M nằm trên đường trịn (O, √𝑘) sẽ biến

thành chính nó. Đường trịn (O, √𝑘) trong trường hợp đó được gọi là đường
tròn nghịch đảo.
c) Ảnh của đường thẳng và ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo


Ảnh của đường thẳng qua phép nghịch đảo

-

Một đường thẳng không đi qua cực của phép nghịch đảo có ảnh là một

đường trịn đi qua cực nghịch đảo.
-

Một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo biến thành chính nó.



Ảnh của đường trịn qua phép nghịch đảo

-

Một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành đường thẳng khơng

đi qua cực nghịch đảo.
-

Một đường trịn khơng đi qua cực nghịch đảo biến thành đường trịn

khơng đi qua cực nghịch đảo
d) Phép nghịch đảo trong không gian
Định nghĩa:
Trong không gian cho một điểm O cố định, cho một số k ≠ 0 không đổi.
với mỗi điểm M ≠ O ta cho tương ứng điểm M’ sao cho ba điểm O, M, M’
thẳng hàng và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′ = 𝑘. Phép tương ứng như vậy gọi là phép nghịch
đảo, k gọi là phương tích của phép nghịch đảo.
Điểm O khơng có điểm tương ứng, vì vậy ta bổ sung vào không gian một
điểm mới gọi kà điểm vô tận và xem nó là điểm tương ứng với O. Ta cũng
xem là điểm vô tận thuộc mọi đường thẳng và mọi mặt phẳng.

17


 Qua phép nghịch đảo trong không gian
- Một mặt phẳng đi qua cực nghịch đảo biến thành chính nó.
- Một mặt phẳng không đi qua cực nghịch đảo biến thành một mặt cầu
đi qua cực nghịch đảo.
- Một mặt cầu đi qua cực nghịch đảo biến thành một mặt phẳng không
đi qua cực.
- Một mặt cầu không đi qua cực nghịch đảo biến thành một mặt cầu.
- Một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo biến thành chính nó.

- Một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường
tròn đi qua cực nghịch đảo.
- Một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường thẳng.
- Một đường trịn khơng đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường
tròn.
1.2.5. Một số kiến thức liên quan
a) Phương tích
Cho đường trịn (O;R) và một điểm M cố định. Một cát tuyến thay đổi
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
đi qua M cắt đường trịn tại A, B thì tích vơ hướng 𝑀𝐴
𝑀𝐵 khơng thay đổi
vào cát tuyến đó, nó được gọi là phương tích của điểm M đối với đường trịn
(O;R) và kí hiệu là 𝒫𝑀/(𝑂;𝑅) .
Như vậy, phương tích của điểm M đối với
đường trịn (O;R) ln được tính theo cơng
thức𝒫𝑀/(𝑂;𝑅) = 𝑀𝑂2 − 𝑅2 . Từ đó suy ra:

O

M

A

- Điểm M nằm trên đường tròn (O;R)
khi và chỉ khi 𝒫𝑀/(𝑂;𝑅) = 0
- Điểm M nằm ngồi đường trịn (O;R) khi và chỉ khi 𝒫𝑀/(𝑂;𝑅) > 𝑜
- Điểm M nằm trong đường tròn (O;R) khi và chỉ khi 𝒫𝑀/(𝑂;𝑅) < 0
b) Trục đẳng phương
18

B


Định lý: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) với O khơng trùng O’.
Quỹ tích những điểm có cùng phương tích đối với hai đường trịn đó là một
đường thẳng. Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của hai đường
trịn đó.
- Nếu (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại hai điểm A, B thì trục đẳng phương
của chúng là đường thẳng AB.
- Nếu (O;R) và (O’;R’) tiếp xúc với nhau tại A thì trục đẳng phương của
chúng là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A.
c) Tâm đẳng phương
Định lý: Cho ba đường trịn (O1;R1), (O2;R2), (O3;R3) có tâm khơng
thẳng hàng. Khi đó ba trục đẳng phương của ba cặp đường trịn đó đồng quy
tại một điểm. Điểm đó gọi là tâm đẳng phương của ba đường trịn.

19


CHƯƠNG 2: MỘT SỐ QUY TRÌNH SỬ DỤNG PHÉP BIẾN
HÌNH ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC THUỘC CHƯƠNG
TRÌNH THPT
Nội dung chương này là một trong những kết quả chính của luận văn, sẽ trình
bày quy trình sử dụng phép biến hình vào việc giải một số lớp bài tốn hình
học thuộc chương trình THPT
2.1. Định hướng việc sử dụng phép biến hình để giải tốn
2.1.1. Một số cách xác định một phép biến hình
Để xác định một phép biến hình ta cần phải xác định các yếu tố đặc trưng của
định nghĩa. Có nhiều cách xác định một phép biến hình, chẳng hạn:
1) Phép tịnh tiến 𝑇𝑣⃗⃗ : Để xác định phép tịnh tiến, ta cần phải biết

+ Vectơ tịnh tiến 𝑣⃗, hoặc
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
+ Cặp điểm ảnh và tạo ảnh M, M’ thì vectơ tịnh tiến là 𝑀𝑀′
2) Phép đối xứng trục Đd
+ Trục đối xứng d
+ Cặp điểm ảnh và tạo ảnh M, M’ thì trục đối xứng d là đường trung
trực của MM’
3) Phép đối xứng tâm ĐO
+ Tâm O
+ Cặp điểm ảnh và tạo ảnh M, M’ thì tâm đối xứng O là trung điểm
MM’
4) Phép đối xứng mặt Đ(P)
+ Mặt phẳng (P)
+ Cặp điểm M, M’ thì (P) là mặt phẳng trung trực của MM’
5) Phép quay 𝑄𝑜𝛼
+ Tâm quay O và góc quay α

20


+ Tâm quay O và cặp điểm ảnh, tạo ảnh MM’. Khi đó, góc quay là
(OM,OM’).
+ Hai cặp điểm tương ứng sao cho các đường trung trực của các đoạn
thẳng nối các cặp điểm đó khơng trùng nhau. Khi đó, giao điểm của hai
đường trung trực là tâm quay và góc quay là góc giữa hai đường trung
trực.
6) Phép quay quanh trục trong khơng gian 𝑄𝑑𝛼
+ Trục d và góc quay α
+ Trục d và cặp điểm tương ứng M, M’
7) Phép vị tự 𝑉𝑜𝑘

+ Tâm vị tự O và tỉ số k ≠ 0
+ Cặp điểm M, N và ảnh M’, N’ với MN // M’N’. Khi đó, giao điểm
MM’ và NN’ là tâm vị tự và 𝑘 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀′𝑁′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑁

là tỉ số vị tự

8) Phép nghịch đảo f(O,k)
+ Tâm vị tự O và tỉ số k ≠ 0
+ Cặp điểm M, N và ảnh M’, N’. Khi đó, giao điểm MM’ và NN’ là
tâm nghịch đảo và có phương tích k = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀′.
2.1.2. Định hướng chung việc sử dụng phép biến hình vào giải tốn
+ Để áp dụng được phép biến hình vào việc giải tốn trước hết cần hiểu rõ
và nắm vững các định nghĩa, tính chất của từng loại phép biến hình.
+ Phân tích giả thiết, u cầu đề bài, xem xét các yếu tố bất biến, các tính
chất của các hình trong bài tốn và liên kết của chúng để lựa chọn phép biến
hình thích hợp, chẳng hạn nếu bài tốn có các đoạn thẳng, vectơ các góc, các
hình bằng nhau thì ta xét đến phép dời; nếu có hai hình đồng dạng thì xét
phép đồng dạng; cịn nếu có các cặp đoạn thẳng cùng nằm trên một đường
thẳng và tích độ dài đại số của chúng bằng nhau ta xét phép nghịch đảo…

21

+ Tùy theo từng bài toán, dạng toán, ta vận dụng thích hợp định nghĩa và
các tính chất của từng phép biến hình cụ thể kết hợp với các tính chất hình
học khác như tính chất đường trung bình, tính chất của các hình đặc biệt: hình
vng, hình bình hành, tam giác vuông, tam giác vuông cân; các quan hệ
vuông góc, song song… để chứng minh các yếu tố liên quan đến bài toán.
Chẳng hạn với bài toán về chứng minh vng góc, song song ta vận dụng các
tính chất về bảo tồn của phép dời, phép quay với góc 900, phép vị tự. Với các
bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng, điểm cố định, vng góc, song
song,…, ta có thể sử dụng tính chất biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng của phép đồng dạng…
2.1.3. Một số dạng tốn thường gặp
Trong chương trình hình học THPT, ta thường gặp các dạng bài toán sau:
1) Các bài tốn về quan hệ vng góc và song song
2) Các bài toán về thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định
3) Các bài toán cực trị và chứng minh bất đẳng thức hình học
4) Các bài tốn quỹ tích
5) Các bài tốn dựng hình
2.2. Quy trình sử dụng phép biến hình vào giải một số bài tốn hình học
2.2.1. Các bài tốn về quan hệ vng góc và quan hệ song song
Ta thường gặp các bài tốn về quan hệ vng góc, song song như
chứng minh hai đường thẳng, đoạn thẳng hay mặt phẳng vng góc, song
song với nhau, hoặc các bài tốn liên quan khác như chứng minh tam giác
vng cân, hình vng, hình thoi, hình bình hành, hình thang cân…
Để dễ dàng xác định các phép dời hình thích hợp cho chứng minh, ta
cần hiểu rõ các định nghĩa, tính chất của từng phép dời, chú ý đến các điểm
bất động, các yếu tố vng góc, song song và các đoạn thẳng, các góc bằng
nhau. Chẳng hạn, nếu trong bài tốn có đường thẳng nối hai điểm vng góc
với một đường thẳng cố định ta xét phép đối xứng mặt phẳng; nếu có hai
22

đoạn thẳng bằng nhau và vng góc với nhau ta xét phép quay với phép quay
900;…; nếu có hai đoạn thẳng MN = M’N’ và MN// M’N’, ta có thể xét phép
ĐO hay phép 𝑇𝑣⃗⃗ , …Vì phép dời hình có tính chất bảo tồn góc giữa hai
đường thẳng nên để chứng minh hai đường thẳng vng góc hay song song, ta
có thể chứng minh hai đường thẳng là ảnh của hai đường thẳng đó qua phép
dời vng góc hoặc song song nhau hay các góc bằng nhau ở các vị trí đặc
biệt như so le trong, đồng vị để kết luận hai đường thẳng song song. Có thể sử
dụng các tính chất của phép ĐO, 𝑇𝑣⃗⃗ để áp dụng vào bài toán về quan hệ song
song. Chứng minh đoạn thẳng vng góc với trục đối xứng trong phép đối
xứng trục, đường thẳng vng góc với mặt phẳng đối xứng trong phép đối
xứng mặt thì nó vng góc với đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
1) Quy trình:
Bước 1: Từ giả thiết, kết luận của bài tốn và các tính chất hình học liên
quan khác, cũng như các yếu tố đặc biệt: các điểm bất động, các vectơ hay
đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng vng góc hay song song,… để xác
định phép dời hình thích hợp.
Bước 2: Từ các tính chất của phép dời, kết hợp với các tính chất hình học
khác nhau để chứng minh trực tiếp yêu cầu của bài toán hoặc một số kết quả
trung gian liên quan đến yêu cầu của bài toán.
Bước 3: Dựa vào các kết quả ở bước 2, các tính chất hình học, các quan hệ
vng góc, quan hệ song song và phép dời hình để chứng minh kết luận của
bài tốn.
Sau đây là một vài ví dụ minh họa.
2) Ví dụ:
 Ví dụ 1 ([5],trang 33)
̂ . Trên Ox lấy hai điểm A, B (A ở giữa O và B), trên Oy lấy hai
Cho 𝑥𝑂𝑦
điểm C, D (D ở giữa O và C) sao cho CD = AB.

23