Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính và tính ổn định hóa được của các hệ điều khiển tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TOÁN
−−− −−−

PHAN THỊ THANH NGA

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA ĐƯỢC
CỦA CÁC HỆ ĐIỀU KHIỂN
TUYẾN TÍNH
Chun ngành: Cử Nhân Tốn

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn:
Th.S NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2014


Mục lục
1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2

1.3

7
7

Giải tích thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11

1.2.2
1.2.3

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . .
Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
13

1.2.4
1.2.5

Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . .

14
15

1.2.6

Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.7
1.2.8

Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tốn tử nửa nhóm liên tục . . . . . . . . . . . . .

16
17

Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 Tính điều khiển được

26

2.1
2.2

Các khái niệm về tính điều khiển được . . . . . . . . . . .
Tiêu chuẩn hạng Kalman đối với hệ tuyến tính dừng . . .

26
28

2.3
2.4

Ma trận tích phân điều khiển được đối với hệ (2.1) . . . .

Hệ điều khiển dừng có hạn chế . . . . . . . . . . . . . . .

34
40

2.5

Các hệ điều khiển vô hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . .

42

3 Tính ổn định hóa của hệ điều khiển tuyến tính

45

3.1
3.2

Các khái niệm ổn định trong phương trình vi phân . . . .
Bài toán ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
47

3.3

Ổn định các hệ tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . .

55

−2−


3.4

Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.5
3.6

Khái niệm ổn định hóa của hệ điều khiển . . . . . . . . .
Điều kiện đủ để hệ điều khiển tuyến tính là ổn định hóa .

61
62

3.7
3.8

Tính ổn định hóa mạnh của hệ điều khiển tuyến tính . . .
Ổn định hóa các hệ tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

65
69

Tài liệu tham khảo

73

−3−


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Thành,
người đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và đã tận tình giúp đỡ em
trong suốt q trình thực hiện khóa luận. Em cũng xin bày tỏ lịng biết
ơn chân thành đến tồn thể các thầy cơ trong khoa Tốn, trường Đại học
Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã cho em những kiến thức tốn bổ ích trong
suốt q trình học tập tại trường. Nhân dịp này em cũng xin được gửi
lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã ln bên em, cổ vũ, động
viên, giúp đỡ em trong suốt q trình học tập và thực hiện khóa luận tốt
nghiệp.
Đà Nẵng, ngày 20 tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Phan Thị Thanh Nga

−4−


LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học
ứng dụng quan trọng mới được phát triển khoảng vài chục năm trở lại
đây. Công cụ chính của lý thuyết điều khiển tốn học là những mơ hình
và các phương pháp tốn học ứng dụng để giải quyết những vấn đề định
tính của các hệ thống điều khiển. Rất nhiều bài toán thực tiễn trong khoa
học, công nghệ, kinh tế được mô tả bởi các phương trình tốn học điều
khiển thuần túy và cần đến những cơng cụ tốn học tinh vi, hiện đại để

tìm lời giải.
Một trong những vấn đề quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống
là lý thuyết điều khiển được, nghĩa là tìm một chiến lược điều khiển sao
cho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái này sang một trạng thái
khác. Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác
như bài toán ổn định và ổn định hóa, bài tốn điều khiển tối ưu,...
Mục đích của vấn đề ổn định hóa một hệ thống điều khiển là tìm các
hàm điều khiển ngược sao cho hệ thống đã cho ứng với điều khiển đó trở
thành hệ thống ổn định được tại trạng thái cân bằng.
Bố cục của khóa luận bao gồm ba chương.

• Chương 1 của khóa luận này trình bày những định nghĩa, khái niệm
và định lý cơ bản của giải tích thực, đại số tuyến tính, giải tích hàm
và phương trình vi phân.
• Chương 2 của khóa luận này đề cập đến các kiến thức cơ sở về bài
toán điều khiển được của các hệ động lực với thời gian liên tục. Các
tiêu chuẩn và điều kiện để các hệ điều khiển có cấu trúc từ đơn giản
đến phức tạp là điều khiển được.
• Chương 3 của khóa luận này giới thiệu bài tốn ổn định Lyapunov,
phương pháp hàm Lyapunov và tính ổn định hóa các hệ điều khiển.
Do thời gian thực hiện khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế
nên khi làm khóa luận khơng tránh khỏi sai sót. Em rất mong nhận được
−5−


những góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn. Xin
chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, ngày 20 tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Phan Thị Thanh Nga

−6−


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Đại số tuyến tính

Định nghĩa 1.1. Cho m, n là hai số nguyên dương. Một ma trận cấp

(m × n) là một bảng số có dạng


a11 a12 · · · a1n


 a21 a22 · · · a2n 


.. . .
.. 
 ...
. . 
.

am1 am2 · · · amn m×n
hoặc



a11 a12

 a21 a22

..
 ...
.

am1 am2
.



· · · a1n

· · · a2n 

. . . .. 
. 
· · · amn m×n

Trong đó aij ∈ R, ∀ i = 1, m, j = 1, n
Người ta thường kí hiệu ma trận bởi A = (aij )m×n
Cho A = (aij )m×n . Đặt A = (bij )n×m với aij = bij . Khi đó A được gọi
là ma trận chuyển vị của A.
Định nghĩa 1.2. Cho ma trận A = (aij )m×n . Lấy k là số nguyên sao
cho k ≤ min{m, n}. Từ ma trận A lấy k hàng, k cột theo thứ tự từ nhỏ
−7−

đến lớn. Phần giao của k hàng, k cột này lập thành một ma trận vuông
cấp k . Định thức của ma trận vng cấp k này cịn được gọi là định thức
con cấp k của ma trận A.
Định nghĩa 1.3. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của tất cả các
định thức con khác không của ma trận A, kí hiệu rank A
Định nghĩa 1.4. (Xem [7]) Cho hệ n véc tơ a1 , a2 , · · · , an ∈ Rn . Hệ

{a1 , a2 , · · · , an } được gọi là độc lập tuyến tính nếu có
λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an = 0, λi ∈ R ∀ i = 1, n

(1.1)

λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

thì

Ngược lại nếu tồn tại λ1 , λ2 , · · · , λn ∈ R sao cho (1.1) thỏa mãn thì
hệ đó gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Cho A là ma trận cấp (m × n). Ma trận A được gọi là khơng suy biến
nếu detA = 0 hay rankA = n.
Định nghĩa 1.5. (Xem [7]) Cho A là ma trận cấp (m × n). Véc tơ

v ∈ Rn \{0} được gọi là véc tơ riêng của ma trận A nếu tồn tại một số
λ ∈ R sao cho Av = λv .
Khi đó λ được gọi là trị riêng của A ứng với véc tơ riêng v .
Các vectơ riêng của A được xác định bởi nghiệm của phương trình

det(λI − A) = 0

hay

p(λ) = λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + · · · + an−1 λ + an .
Định lý 1.1. (Xem [7])(Cayley-Hamilton) Cho A là ma trận cấp (n×n).
Mọi ma trận A đều là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó

p(A) = An + a1 An−1 + · · · + an−1 A + an I = 0.

−8−


Định lý 1.2. (Xem [7])(Jordan) Cho A là ma trận cấp (n × n). Mọi ma
trận A bất kỳ có thể đưa về dạng Jordan sau đây bằng một phép biến đổi
ma trận không suy biến P

j1 0 · · ·

 0 j2 · · ·
A → P AP −1 = 
 ... ... . . .

0 0 ···


λk bk · · · 0 0


 0 λk · · · 0 0 



...
,
Jk = 
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·




 0 0 · · · λk bk 
0 0 · · · 0 λk



0

0

.. 
.

jn

bk = 0

hoặc

Jk = [λk ], k = 1, 2, · · · , r
trong đó [λk ] là ma trận vuông chéo với các phần tử đường chéo là λk và

λ1 , λ2 , · · · , λk là các giá trị riêng của A.
Định nghĩa 1.6. (Xem [7]) Cho A là ma trận cấp (n×n), A = [aij ], i, j =

1, 2, · · · , n. Chuẩn của ma trận A được xác định bởi
n

n

|aij |2

A =

1
2

.

i=1 j=1

Định nghĩa 1.7. (Xem [7]) Cho hàm số đa thức túy ý bậc n
n

ck λk

f (λ) =

(1.2)

k=0

nếu n = ∞ thì chuỗi được giả thiết là hội tụ. Hàm của ma trận A được
xác định bởi
n

ck Ak .

f (A) =
k=0

−9−


Định lý 1.3. (Xem [7])(Công thức Sylvester) Cho A là ma trận cấp

(n × n)với các trị riêng λ1 , λ2 , · · · , λn khác nhau. Cho f (λ) là hàm đa
thức bậc n nào đó dạng (1.2). Khi đó
n

Zk f (λk )

f (A) =

k=1

trong đó Zk được xác định bởi

(A − λ1 I)(A − λ2 I) · · · (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) · · · (A − λn I)
(λ − λ1 )(λ − λ2 ) · · · (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) · · · (λk − λn )
n
A − λj I
=
.
λ
−
λ
k
j
j=1

Zk =

j=k

Định nghĩa 1.8. Cho hai véc tơ x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ).
Khi đó, tích vơ hướng của hai véc tơ x và y , kí hiệu < x, y > được xác
định bởi

n

< x, y >=

xi yi .

i=1

Cho A l ma trn cp (n ì n). Khi ú

ã A được gọi là ma trận xác định dương nếu
a. < Ax, x > ≥ 0 ∀ x ∈ Rn .
b. < Ax, x > > 0, x = 0.

• Nếu A = A thì A được gọi là ma trận đối xứng.
• Nếu A khơng suy biến, nghĩa là detA = 0, thì sẽ tồn tại ma trận
ngược A−1
I = A−1 A = AA−1 .
Định lý 1.4. (Xem [7]) Các điều kiện sau là tương đương
a. A là ma trận xác định dương.
b. Tồn tại c > 0, < Ax, x >≥ c x
− 10 −

2

∀ x ∈ Rn .


Định lý 1.5. (Xem [7])(Điều kiện Sylvester) Cho A là ma trận cấp

(n × n). Ma trận A là xác định dương nếu
detDi > 0, i = 1, 2, · · · , n
trong đó

D1 = a11 , D2 =

1.2
1.2.1

a11 a12
, v.v . . .
a21 a22

Giải tích thực
Khơng gian metric

Định nghĩa 1.9. Cho X = ∅ và ánh xạ

ρ:X ×X →R
thỏa mãn các điều kiện sau
a. ρ(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ X.

ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y .
b. ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀ x, y ∈ X .
c. ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀ x, y, z ∈ X .
Khi đó ρ được gọi là một metric trên X và (X, ρ) được gọi là một không
gian metric.
Cho {xn } là dãy trong khơng gian metric X. Ta nói {xn } được gọi
là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi
n, m ≥ n0 thì ρ(xn , xm ) < ε.
Khơng gian metric (X, ρ) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong
X đều hội tụ.
Cho X là không gian metric, M ⊂ X . Ta nói
X được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu nó là hợp đếm được các

− 11 −

tập hợp khơng đâu trù mật, nghĩa là
∞

Mn thì Int M n = ∅.

X=
n=1

Và nếu X được gọi là thuộc phạm trù thứ hai nếu X không thuộc phạm
trù thứ nhất.
Định lý 1.6. (Định lý phạm trù Baire) Mỗi không gian metric đầy đủ
đều thuộc phạm trù hai, nghĩa là, nếu X là khơng gian metric đầy đủ và
∞

X=

Mn ,
n=1

thì Int M n = ∅.

1.2.2

Không gian Banach

Định nghĩa 1.10. Cho X = ∅ và K là trường (số thực R hoặc số phức
C). Trên X người ta trang bị phép cộng X × X → X và phép nhân vơ
hướng K × X → X thỏa mãn các điều kiện

1) (x + y) + z = x + (y + z) ∀ x, y, z ∈ X.
2) x + y = y + x ∀ x, y ∈ X.
3) ∃ θ ∈ X sao cho x + θ = x .
4) ∀ x ∈ X∃ (−x) ∈ X, x + (−x) = θ .
5) α(x + y) = αx + αy ∀ α ∈ K.
6) (α + β)x = αx + βx ∀ α, β ∈ K, x ∈ X.
7) (αβ)x = α(βx) ∀ α, β ∈ K, x ∈ X.
8) 1.x = x ∀x ∈ X.
Khi đó X được gọi là không gian véc tơ (hay không gian tuyến tính) trên
K.
Định nghĩa 1.11. (Xem [7]) Cho X là khơng gian tuyến tính thực (hoặc
phức). Khi đó, X được gọi là không gian Banach nếu (X, ρ) là không gian
metric tuyến tính đầy đủ, trong đó metric ρ(.) thỏa mãn
− 12 −


a. ρ(x, y) = ρ(x − y, 0),
b. ρ(αx, 0) = |α| ρ(x, 0) ∀ α ∈ R(hoặc C), x ∈ X,
trong đó ρ(x, 0) được gọi là chuẩn của x và kí hiệu x = ρ(x, 0).

• Tập M trong không gian Banach X được gọi là giới nội nếu tồn tại
một số a > 0 sao cho x ≤ a với mọi x ∈ M.
Nếu với mọi dãy {xn } ⊂ M có thể trích được một dãy con hội tụ
tới x0 ∈ M thì M gọi là tập compact trong khơng gian Banach X .
• Ánh xạ f (x) : X → Y được gọi là liên tục tại x0 nếu ∀ ε > 0 ∃ δ > 0
sao cho
ρ(f (x), f (x0 )) < ε ∀ x ∈ Vδ (x0 ).
Định lý 1.7. (Xem [9])(Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử E là một không
gian Banach, F là một không gian định chuẩn và {fα }α∈A là một họ các
ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Khi đó nếu với mọi x ∈ E , nếu

sup

< ∞,

fα (x)

α∈A

thì

sup

fα

< ∞.

α∈A

Định lý 1.8. (Xem [9])(Định lý ánh xạ mở) Một ánh xạ tuyến tính liên
tục f từ một không gian Banach E lên một không gian Banach F là mở,
tức là với mọi tập mở U ⊂ E , f(U) là tập mở trong F.

1.2.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.12. (Xem [7]) Cho X là không gian Banach trong đó trang
bị một hàm tích vơ hướng < ., . >: X × X → R thỏa
a. < x, y > = < y, x > .

b. < x1 + x2 , y > = < x1 , y > + < x2 , y > .
c. < λx, y > = λ < x, y > .
d. < x, x > ≥ 0; < x, x > = 0 ⇔ x = 0 và x =
Khi đó, X được gọi là khơng gian Hilbert.
− 13 −

√

< x, x >.


Các không gian Hilbert thường dùng ở các chương sau là

• Khơng gian l2 là khơng gian tất cả các dãy số {αn } sao cho
∞

|αn |2 < +∞ .

{αn }|

l2 =

n=1

• Khơng gian Lp ([0, T ], X) với 1 ≤ p < +∞ là không gian tất cả các
ánh xạ x(t)xác định trên[0, T ] sao cho
T

x(t) =

x(t)

p

1
p

dt

< +∞.

0

• Nếu X là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng < x, y > thì ta có
các tính chất sau
a. < x, y >= 0 ∀x ∈ X ⇒ y = 0.
b. |< x, y >| ≤ x y
∀ x, y ∈ X .
c. x + y 2 + x − y = 2 x 2 + 2 y 2 ∀ x, y ∈ X.
Định lý 1.9. (Xem [7])(Định lý Arzela-Ascoli) Cho X là không gian
compact và C(X) là không gian các hàm số f : X → R liên tục. Giả sử
họ hàm fn = A trong C(X) thỏa mãn điều kiện
a. fn (x) giới nội đều, hay là sup sup |fn (x)| < +∞,
n≥1 x∈X

b. fn là liên tục đều trên X thì A¯ là tập compact trong C(X).

1.2.4

Tốn tử tuyến tính

Định nghĩa 1.13. (Xem [7]) Cho X , Y là các không gian Banach, A :
X → Y được gọi là tốn tử tuyến tính nếu

A(αx + βy) = αAx + βAy ∀ α, β ∈ R, (x, y) ∈ X × Y.
Tập hợp tất cả các tốn tử tuyến tính liên tục ký hiệu là L(X, Y ) là
một không gian Banach với chuẩn là

A = sup Ax .
x≤1

− 14 −


A ∈ L(X, Y ) là ánh xạ mở nếu A(V ) là tập mở với V là tập mở.
Cho x ∈ X , x = 0. Khi đó, x được gọi là véc tơ riêng của toán tử
A ∈ L(X, X) nếu Ax = λx, với λ là trị riêng của A.
1.2.5

Phiếm hàm tuyến tính

Cho A ∈ L(X, Y ). Nếu Y = R thì tốn tử A được gọi là phiếm hàm
tuyến tính liên tục.
Cho X là khơng gian Banach, X ∗ ký hiệu không gian tôpô đối ngẫu
của X , tức là, không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
X . Ký hiêu < x∗ , x > hoặc x∗ (x) là giá trị của x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X .
Định lý 1.10. (Xem [7])(Định lý Hahn - Banach) Cho X0 ⊂ X là không
gian con của không gian Banach X và phiếm hàm f : X → R thỏa mãn
a. f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ∀ x, y ∈ X.
b. f (αx) = αf (x) ∀ α ≥ 0, x ∈ X.

Nếu f0 : X → R là phiếm hàm tuyến tính thỏa mãn điều kiện f0 (x) ≤

f (x), ∀ x ∈ X0 , thì khi đó sẽ tồn tại phiếm hàm tuyến tính ϕ(x) : X →
R sao cho
a. ϕ(x) = f0 (x) ∀x ∈ X0
b. ϕ(x) ≤ f (x) ∀x ∈ X
Hệ quả 1.1. (Xem [7]) Cho X là không gian Banach, X0 ⊂ X là không
gian con của X . Nếu f0 ∈ X0∗ , thì tồn tại phiếm hàm suy rộng f ⊂ X ∗
sao cho f (x) = f0 (x) ∀ x ∈ X và

f = f0 .
1.2.6

Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.14. (Xem [7]) Cho A : Y → X là tốn tử tuyến tính.
Tốn tử liên hợp A∗ : X ∗ → Y ∗ xác định bởi

< A∗ x∗ , y > = < x∗ , Ay > ∀ (x∗ , y) ∈ X ∗ × Y.
− 15 −


Nếu A ∈ L(X, Y ), ta có các tính chất sau
a. A∗ ∈ L(Y ∗ , X ∗ ).
b. A∗ = A .
c. (AB)∗ = B ∗ A∗ .
d. (A + B)∗ = A∗ + B ∗ .
Khi X = Y , X ∗ = X thì A gọi là toán tử tự liên hợp nếu A∗ = A.

1.2.7

Giải tích lồi

Cho M ⊂ X, bao lồi của M, ký hiệu convM là tập lồi nhỏ nhất chứa
M. Nếu X = Rn thì
n

convM =

n

ai xi , ∀ xi ∈ M,

y=
i=1

ai = 1, a1 ≥ 0 .
i=1

Bao tuyến tính của M, ký hiệu spM là không gian nhỏ nhất sinh bởi M,
hay
n

spM = {y =

ai xi , ∀ n ≥ 1, ∀ ai ∈ R, xi ∈ M }.
i=1

Tập M ⊂ X gọi là nón nếu λM ⊂ M, ∀ λ > 0. Nón sinh của M tại

0 ∈ M, ký hiệu con M, xác định bởi
conM = {δx : ∀ δ > 0, ∀ x ∈ M } .
Nón M + gọi là nón cực dương của M xác định bởi

M + = {x∗ ∈ X ∗ : < x∗ , x > ≥ 0, ∀ x ∈ M } .
Định lý 1.11. (Xem [7])(Định lý Krein - Rutman) Cho M là nón lồi
trong khơng gian Banach vơ hạn chiều, Int M= ∅. Cho họ các tốn tử
tuyến tính liên tục tự giao hoán {Ai }i∈N ∈ L(X, X), Ai Aj = Aj Ai , trong
đó N là tập hữu hạn hoặc đếm được, có tính chất sau
a. Ai (Int M) ⊂ Int M ∀ i ∈ N.
b. M = X.
− 16 −


Khi đó tồn tại phiếm hàm f ∗ ∈ M + ⊂ X ∗ là véc tơ riêng chung của

{A∗i }i∈N sao cho
A∗i f ∗ = λi f ∗ ,
1.2.8

λi > 0, i ∈ N.

Tốn tử nửa nhóm liên tục

Định nghĩa 1.15. (Xem [7]) Cho X là không gian Banach. Tốn tử nửa
nhóm liên tục là họ các tốn tử tuyến tính liên tục S(t) : X → X, t ≥ 0
thỏa mãn
a. S(t + s) = S(t)S(s) ∀ t, s > 0, S(0) = I.
b. lim S(t)x = x ∀ x ∈ X.
t→0

Nếu A ∈ L(X, X) thì tốn tử nửa nhóm liên tục sinh bởi A được cho
bởi S(t) = eAt .

Tính chất 1.1. (Xem [7]) Nếu S(t) là nửa nhóm sinh bởi tốn tử liên
tục A : X → X thì

∃M > 0, δ > 0,

1.3

S(t) ≤ M eδt ∀ t ≥ 0.

Phương trình vi phân

Xét phương trình vi phân

x˙ = f (t, x) , t ∈ I = [t , t + b]
0 0
x(t ) = x
, x ∈ Rn , t0 ≥ 0
0
0

(1.3)

trong đó

f (t, x) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ a}.
Nghiệm x(t) của phương trình vi phân (1.3) sẽ là hàm số x(t) khả vi

liên tục thỏa mãn
− 17 −


a. (t, x(t)) ∈ I × D.
b. x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.3).
Giả sử hàm f (t, x) liên tục trên I × D, khi đó nghiệm x(t) được cho
bởi
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s)) ds.
t0

Định lý 1.12. (Xem [7])(Định lý Caratheodory) Giả sử f (t, x) là hàm
đo được theo t ∈ I và liên tục theo x ∈ D. Nếu tồn tại hàm khả tích m(t)
trên (t0 , t0 + b) sao cho

f (t, x) ≤ m(t) ∀ (t, x) ∈ I × D.
Khi đó hệ (1.3) có nghiệm trên khoảng [t0 , t0 + b] nào đó.
Chứng minh. Đặt t0 = τ.
Đặt M (t) = 0 nếu t < τ và
t

m(s) ds, nếu ∈ [τ, τ + b].

M (t) =
τ

Khi đó M (t) là hàm liên tục, không giảm và M (τ ) = 0. Do đó tồn tại

β > 0 sao cho
(t, x) ∈ I × D với t ∈ [τ, τ + β] nếu

x − x0 ≤ M (t).

Xây dựng hệ nghiệm xấp xỉ dạng


xj (t) = x0 , t ∈ τ, τ + β , j = 1, 2, 3, . . .
j

xj (t) = x0 +

τ − βj
τ

f (s, xj (s)) ds, t ∈ τ + βj , τ + β

Công thức đầu cho xj (t) xác định trên τ, τ +

β
j

và vì

(t, xj (t)) = (t, x0 ) ∈ I × D, ∀t ∈ τ, τ +

− 18 −

β
j


nên công thức thứ hai xác định hàm xj (t) liên tục trên đoạn τ + βj , τ +
2β
j

. Hơn nữa vì

β
j

xj (t) − x0 ≤ M τ −

nên ta có thể xác định xj (t) bởi cơng thức xấp xỉ thứ hai trên.
Tiếp tục quá trình xây dựng này cho mọi j = 1, 2, 3, . . . và ∀ t1 , t2 ∈

[τ, τ + b] ta có
xj (t1 ) − xj (t2 ) ≤ M t1 −

β
j

− M t2 −

β
j

suy ra họ hàm {xj , t} là liên tục đều, giới nội đều trên [τ, τ + β].
Áp dụng định lý Arzela-Ascoli, sẽ tồn tại dãy con xjk hội tụ đều trên
[τ, τ + β] tới hàm liên tục x(t).
Ta sẽ chứng minh rằng đây là nghiệm cần tìm của hệ đã cho. Thật vậy,
ta có

|f (t, xjk (t))| ≤ m(t), t ∈ [τ, τ + β],
vì f (t, x) liên tục theo x với mỗi t cố định nên

f (t, xjk (t)) −→ f (t, x(t))
k→∞

Do đó

t

lim

t

f (s, xjk (s)) ds =

k→∞

τ

f (s, x(s)) ds.
τ

Vì

t

t

f (s, xjk (s)) ds −

xjk (t) = x0 +
τ

t− jβ

f (s, xjk (s)) ds

k

nên
t
t− jβ

f (s, xjk (s)) ds → 0 khi k → +∞.

k

Vậy
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s)) ds.
τ

− 19 −


Vậy định lý đã được chứng minh.
Đối với hệ tuyến tính

x˙
= Ax + g(t), t ≥ 0,
x(t ) = x , t ≥ 0.
0
0
0

(1.4)

Trong đó A là ma trận hằng số, g(t) : [0, ∞) → Rn là hàm khả tích.
Hệ (1.4) ln có nghiệm duy nhất được cho bởi công thức Cauchy sau
t

x(t) = e

A(t−t0 )

eA(t−s) g(s) ds.

x0 +

(1.5)

t0

Đối với hệ không dừng

x˙ = A(t)x + g(t), t ≥ 0,
x(t ) = x ,
t0 ≥ 0,
0
0

(1.6)

trong đó giả thiết A(t) là hàm đo được (hoặc liên tục theo t) và

A(t) ≤ m(t),
nếu m(t) là hàm khả tích và g(t) cũng là hàm khả tích, thì hệ (1.6) cũng
có nghiệm duy nhất. Nghiệm của hệ (1.6) được biểu diễn thông qua ma
trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) của hệ thuần nhất

x˙ = A(t)x.

(1.7)

Nghiệm của hệ (1.7) được cho bởi
t

Φ(t, s)g(s) ds,

x(t) = Φ(t, t0 )x0 +
t0

trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.7) thỏa mãn hệ
phương trình ma trận

 d Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s), t ≥ s,
dt

Φ(t, t) = I.
Nói chung

Φ(t, t0 ) = e

t
t0

− 20 −

A(s) ds

.


Định lý 1.13. (Xem [7]) Cho Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ
thuần nhất (1.7). Khi đó
a. Mọi nghiệm của hệ (1.6) với x(t0 ) = x0 là

x(t) = Φ(t, t0 )x0 .
b. Nếu Φ1 (t, t0 ) là ma trận nghiệm cơ bản khác của hệ (1.7) thì ta
có

Φ(t, t0 ) = Φ1 (t, t0 )C ∀ t ≥ t0
với C là ma trận hằng số nào đó.
c. Nếu C là ma trận hằng số thì Φ(t, t0 )C cũng là ma trận nghiệm
cơ bản.
Chứng minh. a. Suy ra từ công thức nghiệm Cauchy
b. Ta ký hiệu Φ(t, t0 ) = Φ(t).
Đặt Φ−1 (t)Φ1 (t) = Ψ(t).
Khi đó Ψ(t) là ma trận khơng suy biến và

Φ1 (t) = Φ(t)Ψ(t).
Lấy đạo hàm 2 vế theo t, ta có

d
d
d
Φ1 (t) = Φ(t)Ψ(t) + Φ(t) Ψ(t).
dt
dt
dt
Vì

nên

⇔
⇒

d
Φ1 (t) = A(t)Φ1 (t),
dt
d

Φ(t) = A(t)Φ(t)
dt
d
d
d
Φ1 (t)
= Φ(t)Ψ(t) + Φ(t) Ψ(t)
dt
dt
dt
d
A(t)Φ1 (t) = A(t)Φ(t)Ψ(t) + Φ(t) Ψ(t)
dt
d
Φ(t) Ψ(t) = A(t)Φ1 (t) − A(t)Φ(t)Ψ(t)
dt
= A(t)Φ1 (t) − A(t)Φ(t)Φ−1 (t)Φ1 (t)
− 21 −


= A(t)Φ1 (t) − A(t)Φ1 (t) = 0
d
Ψ(t) = 0 hay Ψ(t) = C.
dt
c. Giả sử Φ(t, t0 ) là ma trận cơ bản và C là ma trận hằng số. Khi đó
Vậy

d
(Φ(t)C) = A(t)Φ(t)C = A(t)(Φ(t)C)
dt

⇒ Φ(t)C cũng là ma trận nghiệm cơ bản.
Định lý đã được chứng minh.
Xét hệ phương trình liên hợp của hệ (1.7)

x(t)
˙
= −A (t)x, t ≥ 0.

(1.8)

Gọi F (t, s) là ma trận cơ bản của hệ liên hợp (1.8). Ta có định lý sau
Định lý 1.14. Nếu Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.7) thì

F (t, s) = [Φ (t, s)]−1 .
Chứng minh. Cố định s > 0, ta ký hiệu Φ(t, s) = Φ(t).
Chứng minh [Φ (t)]−1 là ma trận nghiệm cơ bản của hệ liên hợp (1.8).
Ta có

⇒
⇔
⇔
⇔
⇒

Φ(t)Φ−1 (t) = I
d
d
(Φ(t)Φ−1 )
= I=0
dt

dt
d
d
Φ(t)Φ−1 + Φ(t) Φ−1 (t) = 0
dt
dt
d
A(t)Φ(t)Φ−1 + Φ(t) Φ−1 (t) = 0
dt
d
A(t)Φ−1 + Φ−1
=0
dt
d −1
Φ = −Φ−1 (t)A(t).
dt

Vì

(AB) = B A , (A−1 ) = (A )−1

− 22 −


nên

d −1
Φ (t) = (−Φ−1 (t)A(t))
dt
= −A (t)(Φ−1 (t))

(Φ (t))−1 =

= −A (t)(Φ (t))−1
⇒ (Φ (t))−1 là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.8).
Định lý đã được chứng minh.
Cho u(t) : [t0 , ∞) → R+ ; a(t) : [t0 , ∞) → R+ , định lý sau đây cho
ta một công thức đánh giá nghiệm quan trọng theo bất đẳng thức tích
phân mà thường được sử dụng nhiều trong lý thuyết ổn định.
Định lý 1.15. (Xem [7])(Bất đẳng thức Gronwall) Giả sử u(t), a(t) là
hai hàm không âm, liên tục trên [t0 , ∞). Giả sử
t

u(t) ≤ C +

a(s)u(s) ds ∀ t ≥ t0 ≥ 0
t0

trong đó C là hằng số khơng âm. Khi đó nghiệm đúng bất đẳng thức sau
t
t0

u(t) ≤ Ce
Chứng minh.
Ta có

a(s) ds

∀ t ≥ t0 .

Trước tiên ta chứng minh C > 0.

u(t)
t
t0

C+

a(s)u(s) ds

≤ 1, t ≥ t0 .

Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với a(t) ≥ 0 ta có

a(t)u(t)
C+

t
t0

a(s)u(s) ds

≤ a(t), t ≥ t0 .

Ta có

b(t) = ln

C+

t
t0

a(s)u(s)ds
C

− 23 −

≤ a(t), t ≥ t0 .


Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên từ t0 đến t ta có
t

t

b(s)ds ≤
t0

⇔
⇒
Vậy

t
t0

C+

ln

a(s)ds.
t0

a(s)u(s)ds
C

C+

t
t0

t
t0

≤

a(s)u(s)ds ≤ Ce

t
t0

a(s)ds.

a(s)ds

t

u(t) ≤ C +

a(s)u(s) ds ≤ Ce

t
t0

.

a(s) ds

.

t0

Trường hợp C = 0.
Từ giả thiết ta có
t

u(t) ≤

a(s)u(s) ds
t0
t

≤ C1 +

a(s)u(s) ds ∀ C1 > 0
t0

⇒ u(t) ≤ C1 e

t

t0

a(s)u(s) ds

∀ C1 > 0

⇒ Lấy lim hai vế với C1 → 0 ta có
u(t) ≤ 0.

Định lý đã được chứng minh.
Xét hệ phi tuyến dạng

x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0
x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm

− 24 −

(1.9)


trong đó u(t) là hàm đo được, khả tích và giả sử hàm f (t, x, u) thỏa
mãn các điều kiện của định lý Caratheodory sao cho hệ ln có nghiệm.
Nghiệm của hệ (1.9) được biểu diễn dưới dạng
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s), u(s)) ds.

t0

Khi hệ (1.9) là hệ tuyến tính dừng dạng

x˙
= Ax + Bu, t ≥ 0
x(t ) = x
0
0
thì nghiệm được xác định bởi
t

x(t) = S(t − t0 )x0 +

S(t − s)Bu(s) ds.
t0

Còn đối với hệ (1.9) là hệ tuyến tính khơng dừng

x˙
= A(t)x + B(t)u(t), t ≥ 0,
x(t ) = x
0
0
thì nghiệm được cho bởi
t

x(t) = Φ(t, t0 )x0 +

Φ(t, s)B(s)u(s) ds.

t0

− 25 −