TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————

ĐỒN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP
HỆ VI PHÂN CĨ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC
MƠ HÌNH SINH THÁI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————

ĐỒN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CĨ TRỄ VÀ
ỨNG DỤNG TRONG CÁC MƠ HÌNH SINH THÁI

Chun ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số:
9 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS LÊ VĂN HIỆN

2. TS. TRỊNH TUẤN ANH


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi, được hồn thành
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS. Trịnh Tuấn Anh. Các kết quả
trình bày trong luận án là trung thực, đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi
đưa vào luận án và chưa từng được công bố trong cơng trình, luận văn, luận án nào
khác.
Tác giả

3


LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại bộ mơn Giải tích, khoa Tốn-Tin, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS
Trịnh Tuấn Anh. Tơi xin tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy, đặc biệt
là PGS.TS Lê Văn Hiện, đã có những định hướng đúng đắn và chỉ dẫn sát sao cho
tôi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận án này. Ngoài những
chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của các thầy dành cho tác
giả là nguồn động lực lớn lao đem lại niềm say mê, giúp tác giả vượt qua những khó
khăn trong nghiên cứu.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội,
Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin cùng các thầy giáo, cơ giáo trong
bộ mơn Giải tích đã ln giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cảm
ơn các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong xemina Phương trình vi phân và

tích phân của bộ mơn Giải tích đã quan tâm, trao đổi và góp ý cho tơi trong q
trình học tập và làm luận án.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạo Hải
Phòng, Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, các thầy giáo,
cô giáo và các bạn đồng nghiệp tại tổ Toán-Tin, trường Trung học phổ thông Chuyên
Trần Phú, đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tơi trong suốt q
trình học tập và nghiên cứu.
Sau cùng, tơi xin dành những tình cảm và lịng biết ơn chân thành tới gia đình,
những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tôi vượt qua khó khăn để hồn
thành luận án này.
Tác giả


MỤC LỤC

Trang
Lời cam đoan
...............................................................................................................................
1
Lời cảm ơn............................................................................................................2
Kí hiệu..................................................................................................................6
MỞ ĐẦU..........................................................................................................7
1. SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN.......................................................15
1.1. M-ma trận...................................................................................................15
1.2. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov..........................16
1.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn..........................................................18
1.3.1. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn......................................18
1.3.2. Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn với

tính ổn định theo Lyapunov..............................................................19

1.3.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính

với trễ hỗn hợp biến thiên................................................................20
1.4. Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ...........................22
1.4.1. Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên 23
1.4.2. Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉ

lệ: Cách tiếp cận bằng phương pháp đổi biến...................................25
1.5. Một số kết quả bổ trợ..................................................................................26
1.5.1. Đạo hàm Dini...................................................................................26
1.5.2. Một số bổ đề bổ trợ..........................................................................27


2. TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

MƠ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN
VÀ TRỄ TỈ LỆ...............................................................................................28
2.1. Mơ hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ.................................................28
2.2. Tính ổn định hữu hạn của mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số

biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất........................................................30
2.3. Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng bộ nghiệm của mơ hình (2.1).......................34
2.4. Ví dụ minh họa...........................................................................................36
2.5. Kết luận Chương 2......................................................................................42
3. TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MƠ

TẢ MẠNG NƠRON KHƠNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ................................43
3.1. Thiết lập sơ bộ............................................................................................44
3.2. Tính tiêu hao tồn cục của mơ hình (3.1)...................................................46
3.2.1. Trường hợp hệ số phản hồi chính quy..............................................46

3.2.2. Trường hợp hệ số phản hồi suy biến................................................50
3.3. Ví dụ minh họa...........................................................................................55
3.4. Kết luận Chương 3......................................................................................59
4. TÍNH HÚT TỒN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN DƯƠNG CỦA MỘT

MƠ HÌNH NICHOLSON CĨ TRỄ....................................................................61
4.1. Kết quả sơ bộ..............................................................................................61
4.2. Nghiệm dương tồn cục và tính bền vững..................................................64
4.2.1. Sự tồn tại của nghiệm dương tồn cục.............................................64
4.2.2. Tính bền vững đều...........................................................................67
4.3. Tính hút tồn cục của nghiệm tuần hồn dương..........................................69


4.4. Điểm cân bằng dương và tính hút tồn cục................................................75
4.5. Ví dụ và mơ phỏng.....................................................................................78
4.6. Kết luận Chương 4.....................................................................................80

Kết luận chung................................................................................................82
Danh mục cơng trình cơng bố...........................................................................84
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................84


MT S K HIU DNG TRONG LUN N

[n]
aắb

R+
Rn
x

Rmìn
A
A>0

Sn+

In
diag{a1, . . . , an}
[A]ij

Tập hợp n số nguyên dương đầu tiên {1, 2, . . . , n}
b là biểu thức định nghĩa của a
Tập các số thực không âm
Không gian Euclide n chiều
maxi∈[n] |xi|, chuẩn max của vectơ x = (xi) ∈ Rn
Tập hợp các ma trận cấp m × n
Ma trận chuyển vị của ma trận A
Ma trận A xác định dương, tức là x⊤ Ax > 0, ∀x ƒ= 0
Tập các ma trận đối xứng xác định dương trong Rn×n
Ma trận đơn vị trong Rn×n
Ma trận chéo với các phần tử a1, a2, . . . , an trên đường chéo
Phần tử tại dòng i và cột j của ma trận A

Rn+
ξ+ (t.ư. ξ+)

Ma trận không âm, tức là [A]ij ≥ 0 với mọi i, j
Ma trận dương, tức là [A]ij > 0 với mọi i, j
xi ≥ yi, ∀i ∈ [n], với x = (xi) ∈ Rn và y = (yi) ∈ Rn

Orthant dương {x ∈ Rn : x ≤ 0}
maxi∈[n] ξi (t.ư. mini∈[n] ξi) với ξ ∈ Rn, ξ ≻

0 λ(A)
λmax(A), λmin(A)

Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A
max{Reλ : λ ∈ λ(A)}, min{Reλ : λ ∈ λ(A)}

C([a, b], Rn)
D+v(t)

Tập các hàm giá trị trong Rn liên tục trên [a, b]
v ( t+ h) −v ( t)
lim suph +
, đạo hàm Dini trên bên phải.

A≤0
A≻0
x≤y

→0

h


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định
nghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ
thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứng dụng từ cơ học,
vật lý, hóa học, cơng nghệ thơng tin đến các mơ hình trong sinh thái học quần thể,
kinh tế và môi trường [1, 21]. Trong thực tiễn, rất nhiều mơ hình ứng dụng được mơ
tả bởi các lớp phương trình vi phân có trễ [12, 31, 38]. Sự xuất hiện của các độ trễ
này ảnh hưởng đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ nói chung và tính ổn định,
một trong những tính chất phổ dụng của các hệ trong các mơ hình ứng dụng, nói
riêng. Vì vậy, bài tốn nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân có
trễ và ứng dụng nó trong các mơ hình thực tiễn đã và đang là vấn đề nghiên cứu có
tính thời sự thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong những
năm gần đây [13].
Đối với các lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản như lớp hệ tuyến tính dừng,
hệ có trễ hằng số vv, phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan trọng và hiệu
quả để nghiên cứu tính ổn định. Bằng việc xây dựng các phiếm hàm LyapunovKrasovskii phù hợp, các điều kiện ổn định của hệ được thiết lập thông qua các bất
đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs). Khi đó, các cơng cụ giải số và một số thuật
toán tối ưu lồi được vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận được của lớp điều kiện
LMIs đó đảm bảo tính ổn định của hệ.
Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ các mơ hình thực tiễn và nhân tạo, nhất là các hệ
trong sinh thái, thường có cấu trúc rất phức tạp, dạng phi tuyến không dừng [30].
Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng,


cho các lớp hệ như vậy đòi hỏi phải tiếp tục phát triển các công cụ và phương pháp
nghiên cứu đặc thù. Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu về lý thuyết định tính
và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, đối với các hệ
phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt là lớp phương trình mơ tả các mơ
hình trong sinh thái học, cần tiếp tục được nghiên cứu và phát triển. Đó cũng là lí do
và là động lực chính chúng tơi chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định của các hệ
phương trình vi phân có trễ và ứng dụng trong các mơ hình sinh thái.

1.1.Đối tượng và nội dung nghiên cứu

1.2. Tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến
mơ tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ
Trong hai thập kỉ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã được
nghiên cứu và ứng dụng thành cơng trong nhiều lĩnh vực như xử lí tín hiệu số, nhận
dạng mẫu, ước lượng tham số và đặc biệt trong lĩnh vực về trí tuệ nhân tạo [28, 34].
Trong các mơ hình đó, việc đảm bảo tính ổn định của mạng nơron đã được thiết kế
là hết sức quan trọng [40]. Mặt khác, trong các mơ hình mạng nơron, yếu tố trễ
truyền tải là không tránh khỏi do q trình xử lí và truyền tín hiệu qua các kênh với
băng thông hạn chế. Sự xuất hiện của trễ thời gian thường dẫn đến hiệu suất kém và
nguy cơ làm mất tính ổn định của mạng. Trong các cơng trình đã cơng bố, tính ổn
định và tính đồng bộ mới chỉ được nghiên cứu cho một số mô hình mạng nơron với
trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ bị chặn. Các kết quả đó hầu như khơng áp
dụng được cho các mơ hình mạng nơron với trễ tỉ lệ, một lớp trễ được sử dụng rất
phổ biến trong mơ tả động lực các hệ có cấu trúc mạng [41]. Chẳng hạn, với cấu
trúc một mạng nơron có nhiều tầng (layers), q trình xử lí và truyền tín hiệu giữa
các tầng thường được mơ tả bằng các tín hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian
hiện tại. Về dáng điệu tiệm cận, trễ tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng
trưởng tỉ lệ


với khoảng thời gian. Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm các mơ
hình mạng nơron với trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn so với các lớp trễ khác, kể
cả lớp trễ không bị chặn ở dạng phân phối.
Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov đã được ứng dụng rất thành cơng
trong nhiều bài tốn thực tiễn và đã được phát triển một cách sâu rộng, khái niệm ổn
định với thời gian hữu hạn (hay tính ổn định trong khoảng thời gian ngắn) mang ý
nghĩa thực tiễn quan trọng [2]. Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX [20], khái niệm ổn

định trong thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc
biệt là trong các mơ hình điều khiển cơ học [2]. Một hệ động lực gọi là ổn định
trong thời gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng của điều kiện đầu (chẳng hạn
một lân cận của trạng thái cân bằng), mọi quỹ đạo nghiệm tương ứng của hệ không
vượt quá một ngưỡng cho trước trên một khoảng thời gian xác định trước. Như vậy,
khác với tính ổn định theo Lyapunov (LS), một khái niệm thiên về định tính, xác
định dáng điệu của nghiệm tại vơ hạn, ổn định hữu hạn (FTS) là khái niệm có tính
định lượng. Hơn nữa, LS và FTS là hai khái niệm độc lập theo nghĩa một hệ là FTS
nhưng có thể không ổn định theo Lyapunov và ngược lại (xem phản ví dụ trong
[16]). Trước bài báo [1] trong Danh mục cơng bố của luận án này, chúng tơi chưa
tìm thấy một kết quả nghiên cứu nào đề cập đến tính ổn định hữu hạn của mơ hình
mạng nơron với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ. Đây sẽ là chủ đề được chúng tơi nghiên
cứu và trình bày trong Chương 2 của luận án này. Cụ thể hơn, dựa trên bài báo [1]
trong Danh mục cơng trình cơng bố, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của
mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng
sau đây
n
Σ
x′i (t) = − ai (t)xi (t) +
bij (t)fj (xj (t))
(1)
j=1

+

n
Σ

cij(t)gj(xj(qijt)) + Ii(t), i ∈ [n], t > 0.

j=1

Dựa trên một số kĩ thuật so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân, chúng tôi


thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định của hệ (1) trong một khoảng thời gian
hữu hạn cho trước.

1.3. Tính tiêu hao của lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ trong mơ
hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên
Rất nhiều bài tốn trong vật lí và kĩ thuật được mô tả bởi các hệ phương trình
vi phân hàm có tính tiêu hao [32]. Đặc tính tiêu hao của các hệ vi phân đó được thể
hiện qua sự tồn tại của một compact gọi là tập hấp thụ bị chặn mà mọi quỹ đạo
trạng thái của hệ đi vào và ở nguyên trong đó sau thời gian hữu hạn. Các nghiên cứu
về tính tiêu hao của hệ cũng cho biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, một trong
những vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân và
ứng dụng.
Trong Chương 3 của luận án chúng tơi nghiên cứu bài tốn phân tích tính tiêu
hao của lớp hệ phương trình vi phân trong mơ hình mạng nơron Hopfield với hệ số
biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất dạng sau đây
xi′ (t) = −ai (t)xi (t) + Σnbij (t)fj (xj (t))
j=1
n

Σ

+
[n].

(2)

cij(t)gj(xj(qijt)) + Ii(t), t > 0, i ∈

j=1

Để phân tích tính tiêu hao của các hệ phương trình vi phân dạng (2), chúng tôi
phát triển một số kĩ thuật so sánh dựa trên lý thuyết M-ma trận để thiết lập các điều
kiện đảm bảo sự tồn tại của các tập hấp thụ dạng mũ suy rộng trong cả hai trường
hợp: (i) các hệ số tự phản hồi (tốc độ tự ức chế của nơron) thỏa mãn điều kiện chính
quy, ai(t) ≥ ai > 0, và (ii) các hệ số tự phản hồi suy biến, tức là ai(t) > 0 và inft≥0 ai(t) =
0. Nội dung của chương này được trình bày dựa trên bài báo [2] trong Danh mục

cơng trình công bố.

1
0


1.4. Sự tồn tại và tính hút tồn cục của nghiệm tuần hồn dương của
một mơ hình Nicholson có trễ với hàm suy giảm phi tuyến
Các mơ hình tốn học đóng vai trị quan trọng trong việc mơ tả động lực các
mơ hình thực tiễn [11,30]. Ví dụ, trong [29], Nicholson sử dụng phương trình vi
phân
N′(t) = −αN(t) + βN(t − τ )e−γN(t−τ),

(3)

ở đó α, β, γ là các hằng số dương, để mô tả sự sinh trưởng của quần thể lồi ve châu
Úc. Mơ hình (3) sau đó thường được gọi là mơ hình Nicholson và được sử dụng rất
phổ biến trong các lĩnh vực về động lực học dân số và sinh thái học quần thể.
Trong những năm gần đây, lý thuyết định tính về mơ hình Nicholson và các

biến thể của nó đã được nghiên cứu và phát triển một cách rộng rãi [3,4]. Chẳng
hạn, dáng điệm tiệm cận của nghiệm tuần hoàn dương của một số mơ hình
Nicholson có trễ đã được nghiên cứu trong [22,25,26] và [17]. Mơ hình Nicholson
với số hạng mơ tả yếu tố đánh bắt hay thu hoạch cũng đã được nghiên cứu trong
[10, 23, 27, 35]. Gần đây, trong bài báo [6], các vấn đề về tính ổn định và tính hút đã
được nghiên cứu cho một lớp hệ Nicholson n chiều với hệ số hằng số và trễ biến
thiên.
Hầu hết các kết quả đã công bố đều được nghiên cứu cho mơ hình Nicholson
với tốc độ suy giảm (mortality rate) số lượng cá thể (sau đây gọi tắt là dân số) tuyến
tính. Như chỉ ra trong [3], một mơ hình với tốc độ suy giảm phụ thuộc tuyến tính
vào mật độ thường chỉ đúng đối với các quần thể có mật độ thấp. Theo các nhà hải
dương học, nhiều mô hình trong thủy sản như khu bảo tồn biển được mơ tả bằng các
phương trình vi phân trễ trong mơ hình Nicholson với tốc độ suy giảm phụ thuộc
phi tuyến vào mật độ [3] dạng
N′(t) = −D(N(t)) + βN(t − τ )e−γN(t−τ),
ở đó tỉ lệ tử vong D(N) có một trong các dạng D(N) = a − be−N (type-I) hoặc

11
3


D(N) =

aN

b+

(type-II) với a, b là các hằng số dương.
Trong Chương 4 của luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn
tại duy nhất

và tính hút tồn cục của nghiệm tuần hồn dương đối
với mơ hình Nicholsonp có trễ
Σ

N′ (t) = −D(t, N(t)) +
τk(t))e

−γk(t)N(t−τk(t))

βk(t)N(t −

(4)

k=1

với tốc độ suy giảm dân số phụ thuộc phi tuyến vào
trạng thái, D(t, N) = a(t) − b(t)e−N . Dựa trên một số kĩ
thuật so sánh mới bằng các bất đẳng thức vi-tích phân,
trước hết chúng tơi chỉ ra tính bền vững và tính tiêu hao
đều của mơ hình Nicholson (4). Trên cơ sở tính tiêu
hao và bền vững đều, chúng tôi chứng minh sự tồn tại
và tính hút tồn cục của nghiệm tuần hồn dương duy
nhất của phương trình vi phân phi tuyến dạng (4). Áp
dụng kết quả tổng qt cho mơ hình Nicholson với hệ
số hằng số, chúng tôi thu được một số kết quả về sự tồn
tại, duy nhất và tính hút tồn cục của điểm cân bằng
dương của mơ hình tương ứng. Nội dung chương này
được viết dựa trên bài báo [3] trong Danh mục cơng
trình cơng bố.

1.5.Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng kết hợp các cơng cụ trong giải
tích cổ điển, phương trình vi phân thường, lý thuyết bất
đẳng thức vi-tích phân và nguyên lí so sánh, lý thuyết
ổn định Lyapunov và phương pháp sử dụng phiếm hàm
năng lượng kiểu Lyapunov. Đặc biệt, trong luận án,
chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh mới để thiết
lập các điều kiện thơng qua lý thuyết M-ma trận đảm
bảo tính ổn định, tính tiêu hao cũng như các điều kiện
cho sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn dương đối với các


l
ớ
p
p
h
ư
ơ
n
g
t
r
ì
n
h
v
i
p
h

â
n
đ
ư
ợ
c
n
g
h
i
ê

n cứu trong luận án.

1.6.Kết quả đạt được của luận án
Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:


1. Thiết lập được các điều kiện thơng qua tính chất phổ của M-ma trận đảm bảo

tính ổn định hữu hạn và tính đồng bộ với tốc độ lũy thừa của mơ hình mạng
nơron Hopfiled với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ.
2. Chứng minh được tính tiêu hao tồn cục của lớp hệ phương trình vi phân mơ tả

lớp mạng nơron dạng Hopfiled trong cả hai trường hợp khi các hệ số phản hồi
thỏa mãn điều kiện chính quy và khi các hệ số phản hồi suy biến.
3. Chứng minh sự tồn tại tồn cục, tính bền vững và tính tiêu hao đều của nghiệm

dương đối với một mơ hình Nicholson có trễ với hàm suy thối phi tuyến.
4. Đưa ra điều kiện và chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàn

dương hút toàn cục đối với mơ hình Nicholson nói trên. Một áp dụng với mơ
hình Nicholson hệ số hằng số và chứng minh sự tồn tại của điểm cân bằng
dương hút toàn cục cũng được đưa ra.
Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 03 bài báo trên các tạp chí
quốc tế trong danh mục ISI và đã được báo cáo tại:
• Xemina Phương trình vi phân và tích phân, Bộ mơn Giải tích, khoa Tốn- Tin,

trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
• Hội nghị khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư

phạm Hà Nội.
• Xemina Phịng Tối ưu và Điều khiển, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học

và Cơng nghệ Việt Nam.

• Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình cơng bố và tài liệu tham
khảo, luận án gồm 4 chương.


• Chương 1 trình bày một số kết quả liên quan về tính ổn định hữu hạn, tính tiêu

hao của hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ cho việc trình
bày nội dung chính trong các chương sau của luận án.
• Chương 2 nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân

phi tuyến mơ tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ khơng
đồng nhất.
• Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu tính tiêu hao tồn cục của lớp

phương trình vi phân trong mơ hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên
và trễ tỉ lệ.
• Chương 4 nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm tuần hoàn

dương của một mơ hình Nicholson có trễ với tốc độ suy thoái phi tuyến.


Chương 1
SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN

Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kết quả bổ trợ về giải tích ma
trận, phương trình vi phân và lý thuyết ổn định theo Lyapunov. Đồng thời, chúng tôi
cũng trình bày sơ bộ một số kết quả liên quan về tính ổn định trong thời gian hữu
hạn đối với lớp phương trình vi phân hàm tuyến tính làm cơ sở cho việc trình bày
nội dung chính của luận án trong các chương sau.

1.1.

M-ma trận
Trong mục này chúng tôi giới thiệu sơ bộ một vài tính chất của M-ma trận từ
cuốn sách [5]. Ma trận A = (aij) ∈ Rn×n được gọi là một M-ma trận nếu aij ≤ 0 với
mọi i ƒ= j và các định thức con chính của A dương. Ma trận B = (bij) ∈ Rm×n là
một ma trận khơng âm, kí hiệu B ≤ 0, nếu bij ≥ 0 với mọi i, j. Tính chất sau được sử
dụng trong chứng minh kết quả ở Chương 2.
Mệnh đề 1.1.1. Cho A = (aij) là một ma trận với aii > 0, i ∈ [n]. Các khẳng
định sau là tương đương:
(i) A là một M-ma trận không suy biến;
(ii) Reλj > 0 với mọi giá trị riêng λj của ma trận A;
(iii) Tồn tại một ma trận B ≤ 0 và hằng số s > ρ(B) sao cho A = sIn − B, ở đó

ρ(B) = max{|λj | : λj ∈ λ(B)} là bán kính phổ của ma trận B ;
(iv) Tồn tại một vectơ ξ ∈ Rn, ξ ≻ 0, sao cho Aξ ≻ 0;
(v) Tồn tại một vectơ η ∈ Rn, η ≻ 0, sao cho AT η ≻ 0.


Mệnh đề 1.1.2. Giả sử A ∈ Rn×n là một M-ma trận khơng suy biến. Khi đó, tồn
tại một vectơ χ ∈ Rn, χ ≻ 0, sao cho ǁχǁ∞ = 1 và Aχ ≻ 0.

1.2.

Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov
Với số thực r ≥ 0 cho trước, kí hiệu C = C([−r, 0], Rn) là không gian Banach các
hàm liên tục trên đoạn [−r, 0] với chuẩn ǁφǁC = sup−r≤s≤0 ǁφ(s)ǁ. Xét bài toán giá trị ban
đầu cho phương trình vi phân hàm sau đây
x′(t) = f (t, xt), t ≥ t0,

xt0 = φ,

(1.1)

ở đó f : D = [t0, ∞) × C → Rn và φ ∈ C là hàm ban đầu. Sự tồn tại duy nhất nghiệm

địa phương của bài toán (1.1) được cho trong định lí dưới đây.
Định lí 1.2.1 ([15]). Giả sử f : D → Rn là hàm liên tục, Lipschitz địa phương
theo biến thứ hai trên D. Khi đó, với mỗi φ ∈ C, tồn tại một tφ ∈ (t0, ∞] sao cho
(i) Tồn tại nghiệm x(t, φ) của (1.1) trên khoảng [t0, tφ);
(ii) Trên mọi đoạn [t0, t1] ⊂ [t0, tφ), nghiệm x(t, φ) là duy nhất;
(iii) [t0, tφ) là khoảng tồn tại cực đại của nghiệm x(t, φ);
(iv) Nghiệm x(t, φ) phụ thuộc liên tục vào φ, f .

Trong Định lí 1.2.1, nếu hàm f thỏa mãn thêm điều kiện kiểu tăng trưởng
tuyến tính
ǁf (t, φ)ǁ ≤ a(t)ǁφǁC + b(t),
(1.2)
ở đó a(.), b(.) là các hàm liên tục, thì nghiệm x(t, φ) tồn tại tồn cục, tức là

tφ = ∞.

Tổng quát hơn, nếu hàm f thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo
ǁf (t, φ)ǁ ≤ Φ (t, ǁφǁC) ,
ở

(1.3)

đó Φ : [t0, ∞) × R+ → (0, ∞) là hàm liên tục, không giảm theo t và thỏa mãn
∫∞

0

(t, φ) ∈ D,

ds
Φ(t,
s)

= ∞,

t0 ≤ t < ∞,

thì nghiệm x(t, φ) tồn tại và xác định trên [t0, ∞).
Giả sử hàm f (t, φ) thỏa mãn các điều kiện sao cho với mỗi t0 ∈ [0, ∞) và φ ∈
C, bài tốn (1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên [t0, ∞). Để xét tính ổn định của
một nghiệm x∗ (t) nào đó của hệ (1.1), sử dụng phép biến đổi z = x − x∗ ta đưa đến hệ
dạng (1.1) với hàm vế phải là f˜(t, zt ) = f (t, zt + x∗t ) − f (t, x∗t ). Rõ ràng f˜(t, 0) =
0. Do đó, để đơn giản kí hiệu, chúng tơi giả sử rằng f (t, 0) = 0, tức là (1.1) có
nghiệm x = 0.

Định nghĩa 1.2.1 ([13, 15]). Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa
Lyapunov) nếu với mọi ǫ > 0, t0 ∈ R+, tồn tại δ(t0, ǫ) > 0 sao cho ǁφǁC < δ(t0, ǫ) kéo
theo ǁx(t, φ)ǁ < ǫ với mọi t ≥ t0. Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định đều nếu
số δ nói trên khơng phụ thuộc t0.
Định nghĩa 1.2.2 ([13]). Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều
nếu x = 0 ổn định đều và tồn tại một số δa > 0 sao cho với mọi η > 0 tồn tại T = T (δa,
η) > 0 sao cho ǁφǁC < δa kéo theo ǁx(t, φ)ǁ < η với mọi t ≥ t0 + T (δa, η). Hơn nữa, nếu số
δa có thể chọn tùy ý thì nghiệm x = 0 được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục đều.
Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục đều (GES) nếu
tồn tại các hằng số dương α, β sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của (1.1) thỏa mãn đánh
giá mũ
ǁx(t, φ)ǁ ≤ βǁφǁCe−α(t−t0),

t ≥ t0 .

(1.4)

Giả sử V : R+ × C → R là hàm liên tục và x(t, φ) là một nghiệm của (1.1) đi
qua (t0, φ). Đạo hàm của V (t, φ) dọc theo nghiệm x(t, φ) được xác định bởi
1
V ′(t, φ) = lim sup ΣV (t + h, xt+ (t, φ)) − V (t, φ)Σ,
h

h→0
+

ở đó xt(.) là kí hiệu đoạn quỹ đạo {x(t + θ) : θ ∈ [−r, 0]}.

Định lí 1.2.2 (Định lí Lyapunov-Krasovskii [13]). Giả sử f : R × C → Rn biến
mỗi tập R × Ω, ở đó Ω là tập bị chặn trong C, thành tập bị chặn trong Rn và u,
v, w : R+ → R+ là các hàm liên tục, không giảm, u(0) = 0, v(0) = 0 và u(s) > 0,


v(s) > 0 khi s > 0. Nếu tồn một phiếm hàm liên tục V : R × C → R+ thỏa mãn
u(ǁφ(0)ǁ) ≤ V (t, φ) ≤ v(ǁφǁC), ∀φ ∈ C,

(1.5)

và đạo hàm của V (t, φ) dọc theo hệ (1.1) xác định âm theo nghĩa
V ′(t, φ) ≤ −w(ǁφ(0)ǁ).

(1.6)

Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.1) là ổn định đều. Nếu w(s) > 0 với mọi s > 0 thì
nghiệm x = 0 của (1.1) là ổn định tiệm cận đều. Hơn nữa, nếu lims→∞ u(s) = ∞ thì
nghiệm x = 0 là ổn định tiệm cận tồn cục đều.

1.3.

Tính ổn định trong thời gian hữu hạn

1.3.1. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn
Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX [20], khái niệm ổn định trong thời gian hữu

hạn tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các mơ hình
điều khiển cơ học [2]. Khác với tính ổn định theo Lyapunov, một khái niệm thiên về
định tính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vô hạn, ổn định hữu hạn là khái niệm
có tính định lượng. Cụ thể hơn, một hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn nếu cho
trước một ngưỡng của điều kiện đầu, mọi quỹ đạo nghiệm tương ứng của hệ không
vượt quá một ngưỡng cho trước trên một đoạn thời gian xác định trước. Để minh
họa rõ hơn, ta xét lớp hệ phương trình vi phân thường sau đây
x′(t) = f (t, x(t)), x(t0) = x0,
(1.7)
ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ.
Định nghĩa 1.3.1 ([2]). Cho trước một số dương T và các tập X0, Xt trong Rn, hệ
(1.7) được gọi là ổn định hữu hạn đối với (t0, T, X0, Xt) nếu với bất kì x0 ∈ X0, quỹ
đạo nghiệm tương ứng x(t; t0, x0) của (1.7) thỏa mãn
x(t; t0 , x0 ) ∈ Xt,

∀t ∈ [t0 , t0 + T ].


Trong Định nghĩa 1.3.1, để đảm bảo tính đặt chỉnh ta giả thiết X0 ⊂ Xt0. Chú ý
rằng, nói chung, ta không cần hạn chế X0 ⊂ Xt với t > t0. Tuy nhiên, trong nhiều
trường hợp, các tập X0 (trạng thái đầu) và Xt (tập quỹ đạo) được
cho dưới dạng các ellipsoid ER(ρ) = {x⊤Rx < ρ : x ∈ Rn}, ở đó R ∈ Sn+là một ma
trận đối xứng xác định dương. Định nghĩa 1.3.1 có thể phát biểu dưới dạng sau.
Định nghĩa 1.3.2 ([2]). Cho trước một cận T > 0 (xác định khoảng thời gian),
một ma trận R ∈ +
Sn và các số dương r1 < r2. Hệ (1.7) được gọi là ổn định hữu
hạn đối với (t0, T, r1, r2, R) nếu với bất kì x0 ∈ ER(r1), quỹ đạo nghiệm tương ứng
x(t) = x(t; t0, x0) của (1.7) thỏa mãn x⊤(t)Rx(t) < r2 với mọi t ∈ [t0, t0 + T ].
Về ý nghĩa hình học, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn chỉ ra rằng với
các tập trong X0 và tập ngoài Xt cố định, mọi quỹ đạo nghiệm của hệ xuất phát từ X0

sẽ khơng vượt ra ngồi vùng Xt trên toàn khoảng thời gian [t0, t0 + T ] cho trước.
Hình 1.1 dưới đây minh họa cho khái niệm ổn định trong thời gian
hữu hạn. Cụ thể, với chuẩn ǁ.ǁ∞ trên Rn, cho trước các hình cầu Br , B1r trong
2
Rn với bán kính r1 < r2, bất kì quỹ đạo nghiệm của hệ xuất phát từ Br sẽ ln
chứa
1
trong Br trên tồn khoảng thời gian hữu hạn [0, T ] xác định trước từ các bài toán ứng
2
dụng thực tiễn.

1.3.2. Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn với tính ổn
định theo Lyapunov
Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn (viết tắt là FTS) và khái niệm ổn
định theo Lyapunov là hai khái niệm độc lập. Cụ thể hơn, một hệ là FTS, thậm chí
với bất kì thời gian T > 0, có thể khơng ổn định theo Lyapunov [2, 16]. Ngược lại,
tính ổn định, ổn định tiệm cận theo Lyapunov không suy ra tính ổn định hữu hạn
của hệ.
Ví dụ 1.3.1 ([16]). Xét các phương trình vi phân có trễ sau
x′(t) = −1.2x(t) +

t+2
t+1

x(t− 1),
≥

t

0,

(1.8)


Hình 1.1: Ổn định trong khoảng thời gian [0, T ]

và
x′(t) = −0.8x(t) +

t

x(t − 1),
t+6
≥

t

0.

(1.9)

Phương trình (1.8) ổn định tiệm cận tồn cục theo Lyapunov. Tuy nhiên
(1.8) khơng ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ), ở đó r1 = 1, r2 = 1.25 và T = 10. Ngược
lại, (1.9) là ổn định hữu hạn đối với r1 = 1, r2 = 1.5 và T = 10 nhưng không ổn định
tiệm cận. Quỹ đạo nghiệm của (1.8) và (1.9) với điều kiện đầu φ(t) = 1, t ∈ [−1, 0],
được minh họa trong Hình 1.2 và Hình 1.3.

1.3.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính với
trễ hỗn hợp biến thiên
Trong mục này chúng tơi trình bày một kết quả về tính ổn định hữu hạn của lớp

hệ tuyến tính với trễ biến thiên dạng phân phối từ bài báo [16]. Sử dụng các hàm
dạng Lyapunov-Krasovskii, các điều kiện ổn định hữu hạn được thiết lập thông qua
bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

2
0


1.5

1

1.4

0.8
R
es 0.6
po
ns
e 0.4
x(t
0.2
0

R
es 1.3
po
ns
e 1.2
x(t

1.1
1

0

2

4

6

8

0

2

4

6

8

10

60

80

100

Time (sec)

10

Time (sec)
2.5

1.5

2
R
es 1.5
po
ns
1
e
x(t
0.5

R
1
es
po
ns
e 0.5
x(t
0
0

20

40

60

80

100

0

Time (sec)

Hình 1.2: Một quỹ đạo nghiệm của (1.8)

0

20

Time (sec)

Hình 1.3: Một quỹ đạo nghiệm của (1.9)

Xét lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên sau đây
∫
′
x (t) = Ax(t) + Dx(t − τ (t)) + G t
x(t) = φ(t),

40

t−κ(t)

x(s)ds, t ≥ 0,

(1.10)

t ∈ [−h, 0],

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, φ ∈ C([−h, 0], Rn) là hàm ban đầu, A, D, G ∈
Rn×n là các ma trận thực cho trước, τ (t), k(t) là các hàm trễ thỏa mãn điều kiện
0 ≤ τ1 ≤ τ (t) ≤ τ2,

τ ′(t) ≤ µ ≤ 1,

0 ≤ κ1 ≤ κ(t) ≤ κ2,

với µ là hằng số xác định tốc độ biến thiên của trễ rời rạc τ (t), τ1, τ2, κ1, κ2 là các
cận trên của trễ, h = max{τ2, κ2}.
Định nghĩa 1.3.3. Cho trước số các số dương T, r1, r2, với r1 < r2. Hệ (1.10) được gọi
là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) nếu với mọi φ ∈ C([−h, 0], Rn), ǁφǁC ≤ r1, ta có
ǁx(t, φ)ǁ∞ < r2 với mọi t ∈ [0, T ].
Tính ổn định của (1.10) trong thời gian [0, T ] được trình bày trong định lí dưới
đây.
Định lí 1.3.1 ([16]). Với các số dương cho trước T, r1, r2, r1 < r2, hệ (1.10) là ổn
định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) nếu tồn tại các số dương α, ρi, i = 1, 2, 3, 4, và các
ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R ∈ Rn×n thỏa mãn các điều kiện sau

22

4


Π = Π0 + Π1 + Π2 < 0,

(1.11a)

ρ 1I n ≤ P ≤ ρ 2 I n ,
Q ≤ ρ3 In,
R ≤ ρ 4In ,
ρ+τ
ακ2
. Σ2
eατ2 + e −1
r
ρ
ρ
2
2
3
4
α
e−αT ,
2 <
ρ1
r

(1.11b)

(1.11c)

1

ở đó
ei = Σ0n×(i−1)n

In 0n×(3−i)nΣ , i = 1, 2, 3,

A = Ae1 + De2 + Ge3,
Π0 = e⊤1 P A + A⊤ P e1 − αe⊤1 P e1 ,
Π1 = e⊤1 Qe1 − (1 − µ)eατ1 e⊤2 Qe2 ,
Π = κ e⊤Re − 1 e⊤Re .
2

2 1

1

κ2

3

3

Chi tiết chứng minh của định lí này đã được trình bày trong [16]. Chúng tơi
xin khơng nhắc lại ở đây.

1.4. Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ
Rất nhiều bài tốn trong vật lí và kĩ thuật được mơ tả bởi các hệ phương trình
vi phân hàm có tính tiêu hao [32]. Đặc tính tiêu hao của các hệ vi phân đó được thể

hiện qua sự tồn tại của một tập hấp thụ bị chặn mà mọi quỹ đạo trạng thái của hệ đi
vào và ở nguyên trong đó sau thời gian hữu hạn. Các nghiên cứu về tính tiêu hao
của hệ cũng cho biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, một trong những vấn đề trọng
tâm trong nghiên cứu định tính các hệ phương trình vi phân và ứng dụng. Trong
mục này, chúng tơi trình bày một số kết quả về tính tiêu hao của một số lớp phương
trình vi phân có trễ bổ trợ cho việc trình bày kết quả chính trong Chương 3 của
luận án.
Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau đây
x′(t) = F (t, x(t), x(t − τ1(t)), . . . , x(t − τm(t))), t ∈ [0,
∞), x(t) = φ(t),
0],

t ∈ [−τ,

(1.12)