Một định lý hội tụ mạnh cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động trong không gian banach ( luận văn thạc sĩ toán học)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

BÙI THỊ THANH KHUYÊN

MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO
HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT
VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHƠNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Nguyên – 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ THANH KHUYÊN

MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO
HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT
VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHƠNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. TS. Trương Minh Tuyên
2. TS. Phạm Hồng Trường

Thái Nguyên – 2020


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Trương Minh Tun và
TS Phạm Hồng Trường. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc đến
TS. Trương Minh Tuyên và TS. Phạm Hồng Trường, các thầy đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập nghiên cứu để tơi có thể hồn
thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Tin cùng các thầy giáo, cơ giáo
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy lớp Cao
học Toán K12A3 đã tạo điều kiện tốt nhất và tận tình giúp đỡ tơi trong suốt
q trình học tập và nghiên cứu tại Trường.
Tơi xin chân thành cảm ơn Hội đồng quản trị, Ban giám hiệu trường THPT
Lương Thế Vinh, thành phố Cẩm Phả, tỉnh Quảng Ninh đã tạo điều kiện giúp
đỡ tôi trong suốt thời gian đi học.
Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân,
bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi trong q
trình học tập và nghiên cứu.
Sau cùng tơi xin kính chúc tồn thể q thầy cô trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh
cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và
hạn chế. Tơi mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cơ và

các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Một số ký hiệu và viết tắt

iv

Mở đầu

1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Khoảng cách Bregman và một số lớp ánh xạ Bregman không giãn

4

1.2.1

Hàm lồi và khoảng cách Bregman . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Phép chiếu Bregman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.3

Một số lớp ánh xạ Bregman không giãn . . . . . . . . . . . 24

Chương 2 Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp
tổng quát và bài tốn điểm bất động

29

2.1

Tốn tử giải hỗn hợp và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2

Phát biểu bài toán và phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3

Sự hội tụ mạnh của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


iv

Một số ký hiệu và viết tắt

X

không gian Banach

X∗

không gian đối ngẫu của X

R

tập hợp các số thực

R+

tập các số thực không âm

∩

phép giao

int M

phần trong của tập hợp M

inf M

cận dưới đúng của tập hợp số M

sup M

cận trên đúng của tập hợp số M

max M

số lớn nhất trong tập hợp số M

min M

số nhỏ nhất trong tập hợp số M

argminx∈X F (x)

tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X

∅

tập rỗng

dom(A)

miền hữu hiệu của toán tử (hàm số) A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

A−1

toán tử ngược của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

lim sup xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

n→∞

lim inf xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }

xn → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

n→∞

x0

F (T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

Fˆ (T )

tập điểm bất động tiệm cận của ánh xạ T


v

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f
f

gradient của hàm f

M

bao đóng của tập hợp M

projfC

phép chiếu Bregman lên C

Df (x, y)

khoảng cách Bregman từ x đến y


1

Mở đầu
Đầu thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng, trong đó
phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co của
Banach (1922). Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không
gian khác nhau. Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
tốn học khác nhau như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo
hàm riêng, tối ưu hóa, các bài tốn liên quan đến kinh tế như bài toán cân bằng,
bài toán chấp nhận lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân ...
Bài toán về điểm bất động có hai lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu chủ yếu,
đó là: Ta quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của phương trình T (x) = x, trong đó
T là một ánh xạ từ tập con C của không gian X vào X và nghiệm x0 của nó được
gọi là một điểm bất động của T . Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việc

giải một phương trình được đưa về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích
hợp. Chẳng hạn, nếu X là một khơng gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong
X và y là một phần tử cố định thuộc X, thì nghiệm của phương trình S(x) = y
chính là điểm bất động của ánh xạ T được xác định bởi T (x) = S(x) + x − y, với
x ∈ X. Bên cạnh đó việc tìm ra các phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động
của một ánh xạ cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làm
tốn trong và ngồi nước.
Trong thời gian gần đây, lớp bài toán cân bằng mà tổng quát hơn là bài tốn
cân bằng hỗn hợp tổng qt trong khơng gian Hilbert hay Banach đã thu hút sự
quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước.
Một trong những khó khăn khi nghiên cứu bài tốn xấp xỉ điểm bất động
và bài tốn cân bằng trong khơng gian Banach là ta phải sử dụng đến ánh xạ
đối ngẫu của không gian. Ta biết rằng trong trường hợp tổng quát ánh xạ đối
ngẫu rất khó xác định và ngồi ra nó khơng có tính chất tuyến tính. Do đó việc
tìm dạng tường minh của tốn tử giải tương ứng với tốn tử đơn điệu trong
khơng gian Banach là “rất khó”. Để khắc phục khó khăn này, người ta đã sử


2

dụng khoảng cách Bregman để thay thế cho khoảng cách thông thường và thay
thế ánh xạ đối ngẫu bởi gradient của một phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả của Darvish và các
cộng sự trong bài báo [14] về một phương pháp chiếu (kết hợp phương pháp
chiếu lai ghép và chiếu thu hẹp) xấp xỉ điểm bất động chung của một họ Θ thỏa mãn dom ResfΘ,ϕ,Ψ = E (xem [13], Bổ đề 4.14).
Tính chất của tốn tử giải hỗn hợp được mô tả trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 2.1.1 (xem [13], Bổ đề 2.15). Cho f : E −→ (−∞, ∞] là một hàm
Legendre và C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của E. Nếu song hàm
Θ : C × C −→ R thoả mãn các điều kiện A1)-A4) thì:
i) ResfΘ,ϕ,Ψ là hàm đơn trị;

ii) ResfΘ,ϕ,Ψ là một toán tử BFNE;
iii) tập các điểm bất động của ResfΘ,ϕ,Ψ là tập nghiệm của bài toán cân bằng
hỗn hợp tổng quát, có nghĩa là F (ResfΘ,ϕ,Ψ ) = GM EP (Θ, ϕ, Ψ);
iv) GM EP (Θ, ϕ, Ψ) là một tập con lồi, đóng của C;
v) với mọi x ∈ E và u ∈ F (ResfΘ,ϕ,Ψ ) ta có
Df (u, ResfΘ,ϕ,Ψ (x)) + Df (ResfΘ,ϕ,Ψ (x), x) ≤ Df (u, x).
Ví dụ 2.1.2. Giả sử Θ(x, y) = y 2 − x2 , ϕ(x) = x2 và Ψ(x) = exp(x), với mọi
x, y ∈ R.
Dễ thấy Θ thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4), ϕ là hàm lồi, liên tục và Ψ là
hàm liên tục, đơn điệu.
Khi f (x) = x2 /2 với mọi x ∈ R, từ định nghĩa của ResfΘ,ϕ,Ψ , với mỗi x ∈ R,
ta có
ResfΘ,ϕ,Ψ (x) ={z ∈ R : (y 2 − z 2 ) + y 2 + exp(x)(y − z)
+ (z − x)(y − z) ≥ z 2 , ∀y ∈ R}.
Bất đẳng thức
(y 2 − z 2 ) + y 2 + exp(x)(y − z) + (z − x)(y − z) ≥ z 2 , ∀y ∈ R
có thể viết ở dạng tương đương sau
2y 2 + [exp(x) + (z − x)]y − [3z 2 + exp(x)z − xz] ≥ 0,

∀y ∈ R.

(2.6)


32

Ta biết rằng bất đẳng thức (2.6) đúng với mọi y ∈ R khi và chỉ khi
∆ = [exp(x) + (z − x)]2 + 8[3z 2 + exp(x)z − xz] ≤ 0.
Điều này tương đương với [exp(x) − x + 5z]2 ≤ 0. Suy ra z =

x − exp(x)
. Do
5

đó, ta nhận được
ResfΘ,ϕ,Ψ (x) =

x − exp(x)
.
5

Chú ý 2.1.3. Trong Ví dụ 2.1.2, ta có F (ResfΘ,ϕ,Ψ ) = ∅ và do đó từ Mệnh đề
2.1.1, ta nhận được GM EP (Θ, ϕ, Ψ) = ∅.
Ví dụ 2.1.4. Với mỗi số nguyên dương i, giả sử Θi (x, y) = i(y 2 − x2 ), ϕi (x) = x2
và Ψi (x) = x3 /i, với mọi x, y ∈ R.
Dễ thấy Θi thỏa mãn các điều kiện A1)-A4), ϕi là hàm lồi, liên tục và Ψi là
hàm liên tục, đơn điệu.
Khi f (x) = x2 /2 với mọi x ∈ R, từ định nghĩa của ResfΘi ,ϕi ,Ψi , với mỗi x ∈ R,
ta có
ResfΘi ,ϕi ,Ψi (x) ={z ∈ R : i(y 2 − z 2 ) + y 2 +

x3
(y − z)
i

+ (z − x)(y − z) ≥ z 2 , ∀y ∈ R}.
Bất đẳng thức
i(y 2 − z 2 ) + y 2 +

x3

(y − z) + (z − x)(y − z) ≥ z 2 , ∀y ∈ R
i

có thể viết ở dạng tương đương sau
(i2 + i)y 2 + [x3 + i(z − x)]y − [(i2 + 2i)z 2 + x3 z − ixz] ≥ 0,

∀y ∈ R.

(2.7)

Ta biết rằng bất đẳng thức (2.7) đúng với mọi y ∈ R khi và chỉ khi
∆ = [x3 + i(z − x)]2 + 4(i2 + i)[i2 + 2i)z 2 + x3 z − ixz] ≤ 0.
ix − x3
Điều này tương đương với [x − ix + (2i + 3i)z] ≤ 0. Suy ra z = 2
. Do
2i + 3i
đó, ta nhận được
ix − x3
ResfΘi ,ϕi ,Ψi (x) = 2
.
2i + 3i
3

2

2

Chú ý 2.1.5. Trong Ví dụ 2.1.4, ta có F (ResfΘi ,ϕi ,Ψi ) = {0} và do đó từ Mệnh
đề 2.1.1, ta nhận được GM EP (Θi , ϕi , Ψi ) = {0}.

33

2.2

Phát biểu bài toán và phương pháp lặp

Cho E là một không gian Banach phản xạ, C là một tập con lồi, đóng và
khác rỗng của E. Cho f : E → R là hàm đồng bức, bị chặn, khả vi Fréchet đều,
lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn của E và ∇f ∗ bị chặn trên mỗi tập con
bị chặn của E ∗ . Cho Ti : C → C, i = 1, 2, . . . , N là một họ hữu hạn ánh xạ
Bregman không giãn tương đối yếu, Θj : C × C → R thỏa mãn các điều kiện
(A1 )-(A4 ), ϕj : C → R là các hàm lồi và Ψj : C → E ∗ là các ánh xạ liên tục,
M
đơn điệu j ∈ {1, 2, . . . M }. Giả sử ∩N
i=1 F (Ti ) ∩ ∩j=1 GM EP (Θj , ϕj , Ψj ) là

tập khác rỗng.
Trong tài liệu [14], tác giả Darvish và các cộng sự đã nghiên cứu bài tốn sau:
M
Tìm một phần tử x† ∈ S = ∩N
i=1 F (Ti ) ∩ ∩j=1 GM EP (Θj , ϕj , Ψj ) .

(2.8)

Để xấp xỉ nghiệm của Bài toán (2.8), họ đã đề xuất một phương pháp lặp xoay
vòng như sau: Cho {xn } là dãy được xác định bởi x0 ∈ C, C0 = Q0 = C và
N
∗

zn = ∇f (βn

γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )),
i=1

yn = ∇f ∗ (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn )),
un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ . . . ◦ ResfΘ2 ,ϕ2 ,Ψ2 ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ),
Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, un ) ≤ αn Df (z, x0 ) + (1 − αn )Df (z, xn )},
Qn+1 = {z ∈ Qn : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z − xn ≤ 0},
xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 , ∀n ≥ 0,

(2.9)

trong đó {αn } ⊂ [0, 1), {βn } ⊂ (0, 1) và {γi,n } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 1) sao cho
N
i=1 γi,n

2.3

= 1, với mọi i = 1, 2, . . . , N.

Sự hội tụ mạnh của phương pháp

Trước hết, ta có mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 2.3.1. Dãy {xn } trong (2.9) là hoàn toàn xác định.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.1.1 và Mệnh đề 1.2.33 suy ra F (Ti ) và
GM EP (Θj , ϕj , Ψj ), j ∈ {1, 2, . . . M } là các tập con lồi và đóng của E.


34

Ta chỉ ra Cn và Qn là các tập con lồi và đóng của E. Rõ ràng C0 và Q0 là
các tập lồi và đóng. Giả sử Cn và Qn là các tập con lồi và đóng của E với n ≥ 0
nào đó. Ta viết lại tập Cn+1 ở dạng sau
Cn+1 = Cn ∩ {z ∈ E : Df (z, un ) ≤ αn Df (z, x0 ) + (1 − αn )Df (z, xn )}
= Cn ∩ {z ∈ E : αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (xn ) − f (un ), z
≤ αn ∇f (x0 ), x0 + (1 − αn ) ∇f (xn ), xn
− αn f (x0 ) − (1 − αn )f (xn ) + f (un ) − ∇f (un ), un .
Do đó, Cn+1 là tập con lồi và đóng của E.
Tiếp theo, từ
Qn+1 = Qn ∩ {z ∈ E : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z ≤ ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), xn ,
suy ra Qn+1 cũng là tập con lồi và đóng của E. Như vậy, bằng quy nạp toán học,
ta nhận được Cn và Qn là các tập con lồi và đóng của E.
Bây giờ, để kết thúc chứng minh của mệnh đề này, ta sẽ chỉ ra rằng S ⊂
Cn ∩ Qn với mọi n ≥ 0. Thật vậy, dễ thấy rằng S ⊂ C0 ∩ Q0 . Giả sử S ⊂ Cn ∩ Qn
với n ≥ 0.
Lấy bất kỳ p ∈ S, từ (2.9) và Bổ đề 2.1.1, ta có
Df (p, un ) = Df (p, ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ . . . ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ))
≤ Df (p, ResfΘM −1 ,ϕM −1 ,ΨM −1 ◦ . . . ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ))
..
.
≤ Df (p, yn )

(2.10)

− Df (ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ . . . ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), ResfΘM −1 ,ϕM −1 ,ΨM −1
◦ . . . ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ))
− Df (ResfΘM −1 ,ϕM −1 ,ΨM −1 ◦ . . . ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), ResfΘM −2 ,ϕM −2 ,ΨM −2
◦ . . . ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ))
..

.
− Df (ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), yn ).
Tiếp theo, ta có
Df (p, yn ) = Df (p, ∇f ∗ (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn )))


35

≤ αn Df (p, x0 ) + (1 − αn )Df (p, zn ).

(2.11)

Ta đánh giá Df (p, zn ), từ (2.9) và tính chất của Ti , ta có
N
∗

Df (p, zn ) = Df (p, ∇f (βn

γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )))
i=1

N

≤ βn

γi,n Df (p, Ti (xn )) + (1 − βn )Df (p, f (xn ))
i=1
N

≤ βn

γi,n Df (p, xn ) + (1 − βn )Df (p, xn )
i=1

≤ Df (p, xn ).

(2.12)

Từ (2.10)–(2.12), ta nhận được
Df (p, un ) ≤ αn Df (p, x0 ) + (1 − αn )Df (p, xn ).
Điều này suy ra p ∈ Cn+1 và do đó S ⊂ Cn+1 .
Từ xn = projfCn ∩Qn (x0 ) và Mệnh đề 1.2.28, suy ra
∇f (x0 ) − ∇f (xn ), xn − v ≥ 0, ∀v ∈ Cn ∩ Qn .
Do đó, từ p ∈ S ⊂ Cn ∩ Qn , ta thu được
∇f (x0 ) − ∇f (xn ), xn − p ≥ 0,
tức là, p ∈ Qn+1 và vì vậy S ⊂ Qn+1 . Do vậy, ta nhận được S ⊂ Cn+1 ∩ Qn+1 .
Bằng quy nạp toán học, ta nhận được S ⊂ Cn ∩ Qn với mọi n ≥ 0.
Vậy Cn ∩ Qn là tập con lồi, đóng và khác rỗng của E với mọi n ≥ 0, và vì vậy
dãy {xn } là hoàn toàn xác định.
Mệnh đề 2.3.2. Trong (2.9), dãy {xn } bị chặn.
Chứng minh. Vì ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), v − xn ≤ 0 với mọi v ∈ Qn+1 , nên từ Mệnh
đề 1.2.28 suy ra xn = projfQn+1 x0 . Từ xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 ∈ Qn+1 , ta có
Df (xn , x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ).

(2.13)

M
Lấy p ∈ ∩N
i=1 F (Ti ) ∩ ∩j=1 GM EP (Θj ) ∈ Qn+1 . Từ Mệnh đề 1.2.28, ta có

Df (p, projfQn+1 x0 ) + Df (projfQn+1 x0 , x0 ) ≤ Df (p, x0 )


36

và do đó
Df (xn , x0 ) ≤ Df (p, x0 ) − Df (p, xn ) ≤ Df (p, x0 ).
Suy ra {Df (xn , x0 )} bị chặn. Từ Mệnh đề 1.2.21, suy ra dãy {xn } bị chặn và vì
vậy các dãy {Ti (xn )}, {yn }, {zn } cũng bị chặn.
Mệnh đề 2.3.3. Trong (2.9), {xn } là một dãy Cauchy.
Chứng minh. Theo chứng minh của Mệnh đề 2.3.2, ta biết rằng {Df (xn , x0 )}bị
chặn. Từ (2.13), suy ra giới hạn limn→∞ Df (xn , x0 ) là tồn tại và hữu hạn. Từ
xm ∈ Qm ⊆ Qn+1 với mọi m > n và Mệnh đề 1.2.28, ta có
Df (xm , projQn+1 x0 ) + Df (projfQn+1 x0 , x0 ) ≤ Df (xm , x0 )
và do đó Df (xm , xn ) ≤ Df (xm , x0 ) − Df (xn , x0 ). Từ đó, ta có
lim Df (xm , xn ) ≤ lim (Df (xm , x0 ) − Df (xn , x0 )) = 0.

n→∞

n,m→∞

(2.14)

Từ Nhận xét 1.2.23, Mệnh đề 1.2.24 và (2.14), ta nhận được
lim xm − xn = 0.

n→∞

(2.15)

Do đó {xn } là một dãy Cauchy và đặc biệt limn→∞ xn+1 − xn = 0.
Sự hội tụ mạnh của dãy lặp {xn } xác định bởi (2.9) được cho bởi định lý dưới
đây.
Định lý 2.3.4. Nếu limn→∞ αn = 0 và lim inf n→∞ (1 − βn )βn > 0, thì dãy {xn }
xác định bởi (2.9) hội tụ mạnh về x† = projfS x0 .
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.3.2, {xn } là một dãy Cauchy. Do đó, xn → q ∈ C.
Từ Mệnh đề 1.2.16 và xn+1 − xn → 0, ta nhận được
lim ∇f (xn+1 ) − ∇f (xn ) = 0.

n→∞

(2.16)

Vì xn+1 ∈ Cn+1 ⊂ Cn , nên ta có
Df (xn+1 , un ) ≤ αn Df (xn+1 , x0 ) + (1 − αn )Df (xn+1 , xn ).
Từ limn→∞ αn = 0 và limn→∞ Df (xn+1 , xn ) = 0, suy ra dãy {Df (xn+1 , un )} bị
chặn và
lim Df (xn+1 , un ) = 0.

n→∞


37

Từ Nhận xét 1.2.23 và Mệnh đề 1.2.24, ta nhận được
lim xn+1 − un = 0.

(2.17)

lim ∇f (xn+1 ) − ∇f (un ) = 0.

(2.18)

n→∞

Do đó
n→∞

Từ đánh giá xn − un ≤ xn − xn+1 + xn+1 − un và xn+1 − xn → 0, ta
nhận được
lim xn − un = 0,

n→∞

vì vậy un → q khi n → ∞ và
lim ∇f (xn ) − ∇f (un ) = 0.

n→∞

(2.19)

Từ định nghĩa của khoảng cách Bregman, ta có
Df (p, xn ) − Df (p, un ) = f (p) − f (xn ) − ∇f (xn ), p − xn
− f (p) + f (un ) + ∇f (un ), p − un
= f (un ) − f (xn ) + ∇f (un ), p − un
− ∇f (xn ), p − xn
= f (un ) − f (xn ) + ∇f (un ), xn − un
+ ∇f (un ) − ∇f (xn ), p − xn ,
với mỗi p ∈ S. Từ (2.17)-(2.19), ta nhận được
lim (Df (p, xn ) − Df (p, un )) = 0.

n→∞

(2.20)

Mặt khác, với bất kỳ p ∈ S, từ (1.13) và (2.12), ta có
Df (un , yn ) ≤ Df (p, yn ) − Df (p, un )
= Df (p, ∇f ∗ (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn ))) − Df (p, un )
≤ αn Df (p, x0 ) + (1 − αn )Df (p, zn ) − Df (p, un )
≤ αn Df (p, x0 ) + (1 − αn )Df (p, xn ) − Df (p, un )
= αn (Df (p, x0 ) − Df (p, xn )) + Df (p, xn ) − Df (p, un ).

(2.21)

Do đó, từ (2.20) và (2.21), suy ra Df (un , yn ) → 0 và vì vậy ta nhận được
Df (p, yn ) − Df (p, un ) → 0 khi n → ∞. Hơn nữa, từ Df (un , yn ) → 0, suy ra


38

limn→∞ un − yn = 0 và do đó limn→∞ ∇f (un ) − ∇f (yn ) = 0. Từ un → q, ta
thu được yn → q khi n → ∞.
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra q ∈ S. Đặt
u1,n = ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ),
ui,n = ResfΘi ,ϕi ,Ψi ◦ . . . ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), i = 2, 3, . . . M − 1,
khi đó ta có un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM (uM −1,n ).
Từ (2.10) và Df (p, yn ) − Df (p, un ) → 0, suy ra
Df (u1,n , yn ) → 0,

(2.22)

Df (ui+1,n , ui,n ) → 0, với mọi i = 1, 2, . . . , M − 2,

(2.23)

Df (un , uM −1,n ) → 0.

(2.24)

Từ Nhận xét 1.2.23, Mệnh đề 1.2.24 và un → q, ta nhận được
lim ui,n = q,

n→∞

(2.25)

với mọi i = 1, 2, . . . , M − 1.
Hơn nữa, từ (2.22)–(2.24), ta cũng nhận được
∇f (u1,n ) − ∇f (yn ) → 0,

(2.26)

∇f (ui+1,n ) − ∇f (ui,n ) → 0, với mọi i = 1, 2, . . . , M − 2,

(2.27)

∇(un ) − ∇f (uM −1,n ) → 0.

(2.28)

Bây giờ, từ u1,n = ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), ta có
Θ1 (u1,n , y) + Ψ1 yn , y − u1,n + ϕ1 (y) + ∇f (u1,n ) − ∇f (yn ), y − u1,n ≥ ϕj (u1,n ),
với mọi y ∈ C.
Từ điều kiện (A2 ), ta nhận được
Θ1 (y, u1,n ) ≤ −Θ1 (u1,n , y)
≤ Ψ1 yn , y − u1,n
+ ϕ1 (y) − ϕ1 (u1,n ) + ∇f (u1,n ) − ∇f (yn ), y − u1,n ,


39

với mọi y ∈ C. Do đó ta nhận được
Θ1 (y, u1,n ) ≤ Ψ1 yn , y − u1,n + ϕ1 (y) − ϕ1 (u1,n ) + ∇f (u1,n ) − ∇f (yn ), y − u1,n ,
với mọi y ∈ C.
Từ u1,n → q, (2.26), tính liên tục của Ψ1 , tính nửa liên tục dưới yếu của ϕ1
và Θ1 (·, ·) theo biến thứ hai, ta nhận được
Θ1 (y, q) + Ψ1 q, q − y + ϕ1 (q) − ϕ1 (y) ≤ 0,
với mọi y ∈ C.
Với mỗi t thỏa mãn 0 ≤ t ≤ 1 và y ∈ C, đặt yt = ty + (1 − t)q. Vì y ∈ C và
q ∈ C, nên ta có yt ∈ C và vì vậy Θ1 (yt , q) + Ψ1 q, q − yt + ϕ1 (q) − ϕ1 (yt ) ≤ 0.
Do đó, ta có
0 = Θ1 (yt , yt ) + Ψ1 q, yt − yt + ϕ1 (yt ) − ϕj (yt )
≤ tΘ1 (yt , y) + (1 − t)Θ1 (yt , q) + t Ψ1 q, y − yt + (1 − t) Ψ1 q, q − yt
+tϕ1 (y) + (1 − t)ϕ1 (q) − ϕj (yt )
≤ t[Θ1 (yt , y) + Ψ1 q, y − yt + ϕ1 (y) − ϕ1 (yt )].
Suy ra Θ1 (yt , y) + Ψ1 q, y − yt + ϕ1 (y) − ϕ1 (yt ) ≥ 0 với mọi t > 0. Từ đó, khi
cho t → 0+ , ta có
Θ1 (q, y) + Ψ1 q, y − q + ϕ1 (y) − ϕ1 (q) ≥ 0,
với mọi y ∈ C. Do vậy, ta nhận được q ∈ GM EP (Θ1 , ϕ1 , Ψ1 ).
Từ ui,n = ResfΘi ,ϕi ,Ψi (ui−1,n ) với mọi i = 2, 3, . . . , M − 1 và

un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM (uM −1,n ),
bằng lập luận tương tự như trên, ta cũng nhận được q ∈ GM EP (Θi , ϕi , Ψi ) với
mọi i = 2, 3, . . . , M . Do đó, ta có q ∈ ∩M
j=1 GM EP (Θj , ϕj , Ψj ).
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra q ∈ ∩N
i=1 F (Ti ). Trước hết, ta có
∇f (xn ) − ∇f (yn ) = ∇f (xn ) − ∇f (∇f ∗ (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn )))
= ∇f (xn ) − (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn ))


40

= αn (∇f (xn ) − ∇f (x0 )) + (1 − αn )(∇f (xn ) − ∇f (zn ))
≥ αn ∇f (zn ) − ∇f (x0 ) − ∇f (xn ) − ∇f (zn ) .
Điều này suy ra
∇f (xn ) − ∇f (zn ) ≤ αn ∇f (zn ) − ∇f (x0 ) + ∇f (xn ) − ∇f (yn ) .

(2.29)

Cho n → ∞ trong bất đẳng thức trên và từ limn→∞ αn = 0, ta nhận được
lim ∇f (xn ) − ∇f (zn ) = 0.

(2.30)

n→∞

Vì ∇f liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E, nên
lim xn − zn = 0.

n→∞

Từ Mệnh đề 1.2.24, suy ra
lim Df (zn , xn ) = 0.

(2.31)

n→∞

Lấy w ∈ S. Từ đồng nhất thức ba điểm (1.6) và (2.30)-(2.31), ta có
|Df (w, xn ) − Df (w, zn )| = |Df (w, zn )D + Df (zn , xn )
+ ∇f (zn ) − ∇f (xn ), w − zn − Df (w, zn )|
= |Df (zn , xn ) + ∇f (zn ) − ∇f (xn ), w − zn |
≤ Df (zn , xn ) + w − zn

∇f (zn ) − ∇f (xn )

→ 0.
Điều này suy ra
lim [Df (w, xn ) − Df (w, zn )] = 0.

n→∞

(2.32)

Đặt r = max{supn { ∇f (xn ) }, maxi=1,2,...,N {supn { ∇f (Ti (xn )) }}} < ∞.
Từ Mệnh đề 1.2.25 và (1.11), ta có
N
∗

Df (w, zn ) = Df (w, ∇f (βn

γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )))
i=1

N

γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn ))

= Vf (w, βn
i=1


41
N

= f (w) − βn

γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn ), w
i=1

N

+ f ∗ (βn

γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn ))
i=1
N

≤ f (w) − βn

γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn ), w
i=1

N

γi,n f ∗ (∇f (Ti (xn ))) + (1 − βn )f ∗ (∇f (xn ))

+ βn
i=1

− (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) )
N

γi,n (f (w) − ∇f (Ti (xn )), w + f ∗ (∇f (Ti (xn ))))

= βn
i=1

+ (1 − βn )(f (w) − ∇f (xn ), w + f ∗ (∇f (xn )))
− (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) )
N

γi,n Vf (w, ∇f (Ti (xn ))) + (1 − βn )Vf (w, ∇f (xn ))

= βn
i=1

− (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) )
N

γi,n Df (w, Ti (xn )) + (1 − βn )Df (w, xn )

= βn
i=1

− (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) )
N

≤ βn

γi,n Df (w, xn ) + (1 − βn )Df (w, xn )
i=1

− (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) )
= Df (w, xn ) − (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ),
với mọi j = 1, 2, . . . , N . Suy ra
(1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) ≤ Df (w, xn ) − Df (w, zn ),
kết hợp với (2.32), ta nhận được
lim (1 − βn )βn γj,n ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) = 0,

n→∞

với mọi j = 1, 2, . . . , N .


42

Từ giả thiết lim inf n→∞ βn (1 − βn ) > 0, ta có
lim ρr ( ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) ) = 0, ∀j ∈ {1, 2, . . . , N }.

n→∞

Từ tính chất của hàm ρr , suy ra
lim ∇f (xn ) − ∇f (Tj (xn )) = 0, ∀j ∈ {1, 2, . . . , N }.

n→∞

Vì ∇f ∗ liên tục đều trên các tập con bị chặn của E ∗ , nên ta nhận được
lim xn − Tj (xn ) = 0, ∀j ∈ {1, 2, . . . , N }.

n→∞

(2.33)

Do Tj , j = 1, 2, . . . , N , là các ánh xạ không giãn tương đối yếu, nên từ xn → q
và (2.33), ta thu được q ∈ ∩N
i=1 F (Ti ). Suy ra dãy {xn } hội tụ mạnh về q ∈ S.
Cuối cùng, ta chỉ ra q = x† = projfS (x0 ). Vì x† = projfS (x0 ) ∈ S, nên từ
xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 và x† ∈ S ⊂ Cn+1 ∩ Qn+1 , ta có
Df (xn+1 , x0 ) ≤ Df (x† , x0 ).
Do đó, từ Mệnh đề 1.2.29, ta nhận được xn → x† khi n → ∞. Do đó q = x† .
Định lý được chứng minh.
Khi αn = 0 với mọi n, ta nhận được hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.3.5. Cho {xn } là dãy được xác định bởi x0 ∈ C, C0 = Q0 = C và
N
∗

γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )),

zn = ∇f (βn

i=1

un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ . . . ◦ ResfΘ2 ,ϕ2 ,Ψ2 ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (zn ),
Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, un ) ≤ Df (z, xn )},
Qn+1 = {z ∈ Qn : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z − xn ≤ 0},
xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 , ∀n ≥ 0,
trong đó {βn } ⊂ (0, 1) và {γi,n } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 1) sao cho

(2.34)
N
i=1 γi,n

= 1, với mọi

i = 1, 2, . . . , N . Nếu lim inf n→∞ βn (1 − βn ) > 0, thì dãy {xn } hội tụ mạnh về
x† = projfS x0 .
Tiếp theo ta có kết quả dưới đây để xấp xỉ nghiệm của hệ bài toán cân bằng
hỗn hợp tổng quát.


43

Định lý 2.3.6. Giả sử Θj : C × C → R thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4),
ϕj : C → R là các hàm lồi và Ψj : C → E ∗ là ánh xạ liên tục, đơn điệu
j = 1, 2, . . . M . Giả sử S = ∩M
j=1 GM EP Θj , ϕj , Ψj ) là tập khác rỗng. Cho {xn }
là dãy được xác định bởi x0 ∈ C, C0 = Q0 = C và
un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ . . . ◦ ResfΘ2 ,ϕ2 ,Ψ2 ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (xn ),
Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, un ) ≤ Df (z, xn )},
Qn+1 = {z ∈ Qn : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z − xn ≤ 0},

xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 , ∀n ≥ 0.

(2.35)

Khi đó, dãy {xn } hội tụ mạnh về x† = projfS x0 .
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 2.3.5 với Ti (x) = x với mọi i = 1, 2, . . . , N , ta
nhận được chứng minh của định lý này.
Ta có định lý dưới đây cho bài tốn tìm điểm bất động chung của một họ
hữu hạn ánh xạ Bregman không giãn tương đối yếu.
Định lý 2.3.7. Cho Ti : C → C, i = 1, 2, . . . , N là một họ hữu hạn ánh xạ
Bregman không giãn tương đối yếu. Giả sử S = ∩N
i=1 F (Ti ) là tập khác rỗng. Cho
{xn } là dãy được xác định bởi x0 ∈ C, C0 = Q0 = C và
N
∗

γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )),

zn = ∇f (βn
i=1

Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, zn ) ≤ Df (z, xn )},
Qn+1 = {z ∈ Qn : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z − xn ≤ 0},
xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 , ∀n ≥ 0.

(2.36)

Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh về x† = projfS x0 .
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 2.3.5 với Θj (x, y) = 0, ϕj (x) = 0 và Ψj (x) với
mọi j = 1, 2, . . . , N , ta nhận được chứng minh của định lý này.

44

Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách khá chi tiết và hệ thống về các
vấn đề sau:
❼ Một số tính chất đặc trưng của khơng gian khơng gian Banach phản xạ,

khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman, hàm lồi hồn tồn;
❼ Tốn tử Bregman khơng giãn trong khơng gian Banach;
❼ Các kết quả nghiên cứu của Darvish V. và các cộng sự trong tài liệu [14]

về một phương pháp chiếu cho bài tốn tìm điểm bất động chung của một
họ hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn tương đối yếu và hệ bài toán cân
bằng hỗn hợp tổng quát trong không gian Banach phản xạ.


45

Tài liệu tham khảo
[1] Agarwal R. P., O’Regan D., Sahu D. R. (2009), Fixed Point Theory for
Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Ambrosetti A., Prodi G. (1993), A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge
University Press, Cambridge.
[3] Alber Y.I. (1996), “Metric and generalized projection operators in Banach
spaces: properties and applications, In: Kartsatos, A.G. (ed.) Theory and
Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp. 15–50.
[4] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L. (2001), “Essential smoothness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”,
Commun. Contemp. Math., 3, pp. 615–647.

[5] Blum E., Oettli W. (1994), “From optimization and variational inequalities
to equilibrium problems”, Math. Student, 63, pp. 123–145.
[6] Bonnans J.F., Shapiro A. (2000), Perturbation Analysis of Optimization
Problem, Springer, New York.
[7] Browder F.E. (1996), “Existence and approximation of solutions of nonlinear
variational inequalities”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA., 56, pp. 1080–1086.
[8] Butnariu D., Iusem A.N. (2000), Totally convex functions for fixed points
computation and infinite dimensional optimization, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[9] Butnariu D., Resmerita E. (2006), “Bregman distances, totally convex functions and a method for solving operator equations in Banach spaces”, Abstr.
Appl. Anal., 2006, pp. 1–39.


46

[10] Censor Y., Lent A. (1981), “An iterative row-action method for interval
convex programming”, J. Optim. Theory Appl., 34, pp. 321–353.
[11] Ceng L.C., Yao J.C. (2008), “A hybrid iterative scheme for mixed equilibrium
problems and fixed point problems”, J. Comput. Appl. Math., 214, pp. 186–
201.
[12] Censor Y., Reich S. (1996), “Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization”, Optimization, 37, pp. 323–339.
[13] Darvish V. Strong convergence theorem for generalized mixed equilibrium
problems and Bregman nonexpansive mapping in Banach spaces. Opsearch.
2016;53(3):584–603.
[14] Darvish V., Qin X., Tuyen T.M., Yao J.C. (2019), “A Strong convergence
theorem for a system of generalized mixed equilibrium problems and a finite family of bregman weak relatively nonexpansive mappings in Banach
spaces”, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 20(9), pp. 1853-1873.
[15] Goebel K., Kirk W.A. (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud. Adv. Math., 28, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK.
[16] Kohsaka F., Takahashi W. (2005), “Proximal point algorithms with Bregman
functions in Banach spaces”, J. Nonlinear Convex Anal., 6, pp. 505–523.
[17] Martin-Marquez V., Reich S., Sabach S. (2013), “Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, J. Math. Anal. Appl., 400,

597–614.
[18] Naraghirad E., Yao J.-C. (2013), “Bregman weak relatively nonexpansive
mappings in Banach spaces”, Fixed Point Theory and Applications 2013:
141.
[19] Reich S. (1996), “A weak convergence theorem for the alternating method
with Bregman distances, in: Theory and Applications of Nonlinear Opera-


47

tors of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp. 313–
318.
[20] Reich S., Sabach S. (2009), “A strong convergence theorem for a proximal
type algorithm in reflexive Banach spaces”, J. Nonlinear Convex Anal., 10,
pp. 471–485.
[21] Reich S., Sabach S. (2010), “Two strong convergence theorems for a proximal
method in reflexive Banach spaces”, Numer. Funct. Anal. Optim., 31, pp.
22–44.
[22] Reich S., Sabach S. (2011), “Existence and approximation of fixed points
of Bregman firmly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces, in:
Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering”,
Springer, New York, 49 , pp. 301–316.
[23] Resmerita E. (2004), “On total convexity, Bregman projections and stability
in Banach spaces”, J. Convex Anal., 11, pp. 1–16.
[24] Suantai S., Cho Y.J., Cholamjiak P. (2012), “Halperns iteration for Bregman
strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Comput. Math.
Appl., 64, pp. 489–499.
[25] Takahashi W., Toyoda M. (2003), “Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings”, J. Optim. Theory Appl., 118,
pp. 417–428.
[26] Zalinescu C. (2002), Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scientific, Publishing Co., Inc., River Edge, NJ.

[27] Zegeye H. (2014), “Convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Filomat, 7, pp. 1525–1536.