100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao có đáp án và lời giải

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC
VẬN DỤNG CAO
Câu 1. Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức , ( x, y ��) thỏa mãn và là điểm
biểu diễn số phức . Tìm điểm thuộc sao cho có độ dài lớn nhất.

A.

M  1;1

�1 3 �
M�
�2 ; 2 �
�
�
�.
B.

.

C.

D. .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có:
Do

M  x; y 

C : x  1

nằm trên đường tròn   

N  1; 1 � C 

2

 y2  1

. Tâm

I  1; 0 

nên có độ dài lớn nhất khi là đường kính, hay là trung điểm của . Vậy

Lời bình: đây là bài tốn tọa độ lớp , khi cho một đường tròn và một điểm . Tìm điểm trên
sao cho đạt min, max.

 x, y �� thỏa mãn
Câu 2. Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z  x  1  yi ,
và là điểm biểu diễn số phức . là một điểm thuộc sao cho có độ dài lớn nhất. Khi đó độ dài
lớn nhất bằng
A. .

B. .

C.

D. .

Hướng dẫn giải

Chọn A.
Ta có:

M  x; y 

nằm trên đường tròn

 C  :  x  1

2

 y2  1

. Tâm

Do nằm ngồi nên có độ dài lớn nhất khi .

 x, y �� thỏa mãn và là điểm
Câu 3. Gọi là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức ,
biểu diễn số phức . là một điểm thuộc sao cho có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài bé nhất
bằng
A. .

B. .

C.
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Ta có:

M  x; y 

nằm trên đường trịn . Tâm

I  1; 0 

D. .


Do nằm ngồi nên có độ dài bé nhất khi .
z  5  5; z 2  1  3i  z 2  3  6i
Câu 4. Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn 1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

z1  z2

.

5
A. 2

121
B. 6

25
C. 6

49
D. 6

Lời giải
Chọn A
Gọi

z1  a1  b1i, z2  a2  b2i (a1 , b1 , a2 , b2 ��)
z1  5  5 �  a1  5  b12  25

.

2

Khi đó

.

I  5; 0  ; R  5
Tập hợp điểm biểu diễn z1 là đường tròn tâm

Cũng theo giả thiết, ta có:
z2  1  3i  z2  3  6i �  a2  1   b2  3   a2  3   b2  6 
2

2

2

2

� 8a2  6b2  35  0.

Tập hợp điểm biểu diễn z2 là đường thẳng  : 8 x  6 y  35  0

d ( I , ) 

5.8  35
82  6 2



15
� d  I ,   R
2

� min z1  z2  d  I ,    R 

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn
M .n

5
2.

z 1 z1  4

. Gọi

m  min z

và

M  max z

khi đó

bằng

A. 2 .

2 3
C. 3 .

B. 2 3 .

Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn

M
giá trị của biểu thức
A. 28

2

 n2

B. 24

D.

3.

M  max z  1 i m  min z  1 i
z  2  3i  1

. Gọi
,
. Tính


C. 26

D. 20


Câu 7. Kí hiệu

z1

2
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4 z  16 z  17  0 . Trên mặt phẳng

3
w   1  2i  z1  i
2 ?
tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
A.

M  2;1

.

B.

M  3;  2 

.

C.

M  3; 2 

.

D.

M  2;1

.

z 1 i  2
Câu 8. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1
và z2  iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức

z1  z2

?

A. m  2  1.

B. m  2 2.

D. m  2 2  2.

C. m  2.

Lời giải

Chọn D.
Do

z1  1  i  2

nên điểm biểu diễn M 1 của z1 thuộc đường tròn tâm I  1;1 bán kính R  2 .

Do z2  iz1 nên điểm M 2 (điểm biểu diễn của z2 ) là ảnh của M 1 qua phép quay tâm O , góc
0
quay 90 . Suy ra z1  z2  M 1 M 2  2OM 1 ngắn nhất khi OM 1 ngắn nhất.

Ta có: min OM 1  R  OI  2  2 .
Vậy:





m  2 2 2 2 2 2

.

Đề xuất
Do

z1  1  i  2

nên điểm biểu diễn M 1 của z1 thuộc đường tròn tâm

I  1;1

bán kính R  2 .





z1  z2  z1  iz1   1  i  z1  2 z1  2OM � 2  R  OI   2 2  2  2 2  2
(Vẽ hình thể hiện mơ tả cho phần đánh giá)
Câu 9. Tính mơđun của số phức z thỏa mãn 3 z.z + 2017( z + z ) = 48 - 2016i
A.

z =4

.

B.

z = 2020

.
Lời giải

Chọn A.
- Đặt z = a + bi (a, b ��) � z = a - bi .

C.

z = 2017

.

D.

z =2

.


- Ta có: 3 z.z + 2017( z + z ) = 48 - 2016i

� 3(a 2 + b2 ) + 4034b.i = 48 - 2016i � a 2 + b 2 = 16
- Vậy

z = a 2 +b2 = 4

. Chọn A.

Câu 11: Tính mơđun của số phức z thỏa mãn
3
3
z=
z=
2.
2.
A.
B.

z + 2 z.z - 3 = 0.

z =1
z =3
C.
.
D.
.
1
1
2
z + ( z - z) =1 + ( z + z) i
2
2
Câu 12: Số số phức z thỏa mãn đẳng thức:
là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
z 1  2
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện
. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức
T  z i  z 2i

A. max T  8 2 .

B. max T  8 .

C. max T  4 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt

z = x + yi ( x, y ��)

, ta có:

z - 1 = 2 � x- 1+ yi = 2
2

� ( x- 1) + y2 = 2 � x2 + y2 = 2x + 1( *)

Lại có:

T  z  i  z  2  i  x   y  1 i  x  2   y  1 i
2

= x2 +( y + 1) +

( x- 2)

2

+( y - 1)

2

= x2 + y2 + 2y + 1+ x2 + y2 - 4x- 2y + 5

Kết hợp với

( *) , ta được:

T = 2x + 2y + 2 + 6- 2x- 2y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta được

D. max T  4 .


2
�
T � ( 12 + 12 ) � 2x + 2y + 2 +
�
�

(

) (

2�
6- 2x- 2y �
=4
�
�

)

Vậy max T  4 .

z  2
Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét các số phức z thỏa mãn
. Trên mặt

phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức
bán kính bằng
A.

34.

B. 26.

w

4  iz
1  z là một đường trịn có

C. 34.

D.

26.

Lời giải
Chọn A

Ta có
Đặt

w

4  iz
� w(1  z )  4  iz � z  w  i   4  w � 2 w  i  4  w
1 z

w  x  yi  x, y ��

2. x 2   y  1 
2

Ta có

 x  4

2

 y 2 � 2  x 2  y 2  2 y  1  x 2  8 x  16  y 2

� x 2  y 2  8 x  4 y  14  0 �  x  4    y  2   34
2

2

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng

Câu 15: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

P

34

z i
z với z là số phức

z �2
khác 0 và thỏa mãn
. Tính 2M  m.

3
2M  m  .
2
A.

5
2M  m  .
2
B.

C. 2M  m  10.

Lời giải
Chọn B.

P  1
Ta có

i
1 3
i
1 1

�1
� .
1 �1
� .
z
| z| 2 Mặt khác:
z
| z| 2

D. 2 M  m  6.


1
3
Vậy, giá trị nhỏ nhất của P  là 2 , xảy ra khi z  2i ;  giá trị lớn nhất của P bằng 2 xảy ra

5
2M  m  .
2
khi z  2i. �
z  1.
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn
Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

P  z  1  z2  z  1.

Tính giá trị của M .m.

39
.
B. 4

13 3
.
A. 4

13
.
D. 4

C. 3 3.

z 3  z 3 8
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
z.

A.

Khi đó M  m bằng

4  7.

B. 4  7.

D. 4  5.

C. 7.

w2  4  2 w
P  8  x 2  y 2   12
Câu 18: Cho số phức w  x  yi ( x, y �R ) �
thoả điều kiện
. Đặt
.
Khẳng định nào sau đây đúng

A.



2

P  w 2



2

B.



2

P  w 2



2

. C.
Lời giải

P   w  4

2

.

D.



2

P  w 4



2

.

Chọn B.
Ta có:







2

w2  4  2 w � x 2  y 2  4  2 xyi  2 x  yi � x 2  y 2  4  4 x 2 y 2  4 x 2  y 2



� x 4  y 4  16  2 x 2 y 2  4 x 2  12 y 2  0 � x 4  y 4  2 x 2 y 2  4 x 2  4 y 2  4  8  x 2  y 2   12  0





� 8  x 2  y 2   12    x 4  y 4  2 x 2 y 2  4 x 2  4 y 2  4  � P    x 2  y 2  2    w  2 .
2

Hay phương án chọn là B.



2

P  w 2

Nhận xét: câu này đáp án A cũng đúng vì



2

.

w  w.

w2  4  2 w
Câu 19: Cho số phức w  x  yi ( x, y �R ) �
thoả điều kiện
. Đặt
2
2
P  8( x 2  y 2 )  12 . Khẳng định nào sau đây đúng P  8  x  y   12

2

2


2

A.

P  ( w  2)2

2

B.

P  ( w  2) 2

2

.

C.

P  ( w  4) 2

D.



2

P  w 4



2

.

Nhận xét: bài này chỉ có thể thay số 4 thành -4; 12 thành -12 chứ thay nữa hoặc làm tương tự
rất khó khăn vì cặp số (2;4) trong bài quá giá trị không thể thay thế.
0  

Câu 20: Cho w  sin   i cos  với

Giá trị của
A. P  23

2018

.



2

P  26 w  3
B. P  23




2
2 thỏa mãn w  1  2 w .

2018

là
C. P  23

2018

2018

.

D. P  29

i.

2018

.

Hướng dẫn giải
Chọn A
w 2  1   sin   i cos    1  1  cos 2  i sin 2 � w 2  1  2  2 cos 2 .
2

Ta có:

2 w  sin 2   cos 2   2

.



0  
w 2  1  2 w � cos 2  0 �   4
2.
Từ giả thiết:
vì
�w 

2
2
2
2
2
i
�w 
i
� w 1
2
2
2
2
.

2018
Vậy P  23 .

2 z  i  2  iz
z  z 1
Câu 21: Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn phương trình
, biết 1 2
Tính giá trị
P  z1  z2
của biểu thức:
.
3
2
P
P

2 .
2 .
A.
B. P  2 .
C.
D. P  3 .

Lời giải
y

Chọn D.
2

HD: Cách 1. Ta có:

2

2 z  i  2  iz � 2 z  i  2  iz � (2 z  i )(2 z  i )  (2  iz )(2  i z )

� 4 z.z  2iz  2iz  i 2  4  2iz  2iz  i 2 z.z � 3z.z  3
O

x


2

� z.z  1 � z  1 � z  1 � z1  1

và

z2  1

2

Chú ý:

a.a  a 2 � 2 z  i  (2 z  i )(2 z  i )  (2 z  i )(2 z  i )

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 , z2 là đường tròn tâm O
bán kính R  1 .
Gọi M 1 ( z1 ), M 2 ( z2 ) � OM 1  OM 2  1
Ta có:
Mà

uuuur uuuuu
r uuuuuur
z1  z2  OM 1  OM 2  M 2 M 1  1 � OM 1M 2

uuuur uuuuu
r uuuu
r
z1  z 2  OM 1  OM 2  OM  OM

đều

với M là điểm thỏa

mãn OM 1MM 2 là hình thoi cạnh 1 � OM  3 � P  3 .
Cách 2. Đặt

z  x  yi,  x, y ��

, ta có 2 z  i  2 x  (2 y  1)i và 2  iz  2  y  xi .

Khi

đó:

�
�z1  1
2 z  i  2  iz � 4 x 2  (2 y  1) 2  ( y  2) 2  x 2 � x 2  y 2  1 � z  1 � �
�z2  1
2

Sử dụng công thức
D.

2



2

z1  z2  z1  z2  2 z1  z2

2

 � z z
1

2
2

 3 � z1  z2  3

. Chọn

iz 3  2 z 2  1i  z i  0
Câu 22: Gọi z1 ; z2 ; z3 là các nghiệm của phương trình
. Biết z1 là số thuần ảo.
P  z2  z3
Đặt
, hãy chọn khẳng định đúng?

A. 4 P 5 .

B. 2 P 3 .

C. 3 P  4 .

D. 1 P  2 .

Lời giải
Chọn

B.

� z i
iz  2 z   1i  z  i 0 �  i  z   iz  z 1 0 � �

iz 2  z 10 (*) .
�
Biến đổi phương trình
3

Như vậy:

2

2

z2 ; z3 là các nghiệm của phương trình (*).
2

P 2  z2  z3   z2  z3 
2

2

1
1
��
 �� 4.  17
2
  z2  z3   4 z2 z3 ��
i
i

.

4
Vậy P  17 .

z  1  z  3  2i   z  m  i
Câu 23: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn
;
với m �� là tham số. Giá

 �2 5
trị của m để ta ln có
là:
m �7
�
�
m �3 .
A. �

m �7
�
�
m �3 .
B. �

C. 3 �m  7 .
Lời giải

D. 3 �m �7 .

Chọn B.

Đặt

z  a  ib,  a , b ��

có biểu diễn hình học là điểm

z  1  z  3  2i � x  1  iy  x  3   y  2  i �

M  x; y 

 x  1

2

 y2 

 x  3

2

  y  2

2

� 2 x  1  6 x  9  4 y  4 � 2 x  y  3  0
Suy ra biểu diễn của số phức z là đường thẳng  : 2 x  y  3  0 .
Ta có:
�

 �2 5 � z  m  i �2 5 � x  m    y  1 i �2 5

 x  m

Mà ta có

2

  y  1 �2 5 ۳ MI

2 5 với I   m; 1 .

2

MI �d  I ,  

� d  I ,   �2 5
Nên MI �2 5

۳

2 m  4
5

2 5

� 2m  4 �10

2m  4 �10
m �3
�

�
��
��
2m  4 �10
m �7 .
�
�
Câu 24:

Cho số phức z  a  bi
P  a b .
A. 3 .

 a ,b ��

B. 1 .

thỏa mãn

 z  1  i   z  i   3i  9

C. 1 .
Lời giải

Chọn C.
z  a  bi � z  a  bi
 z  1  i  z  i  3i  9 �  a  bi  1  i   a  bi  i   3i  9





� a 2  b 2  2b  a  1   b  1 i  9  3i

và

D. 2 .

z 2

. Tính


b2
�
�
a 2  b 2  2b  a  1  9
b2 �
b2
�
� �2
��
��
�
b1 3
a a 0
a 0 �
a  1 .
�
�

Ta có: �
z1  2i � z1  2 nên khơng thỏa u cầu bài tốn.
z2  1  2i � z2  2 2  12  5 thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy P  a  b  1 .

z  3  4i  5
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
2
2
P  z  2  z i
nhất của biểu thức
. Khi đó modun của số phức w  M  mi

A. 2 314 .

B. 1258 .

C. 3 137 .

D. 2 309 .

Lờigiải
Chọn B.
2
2
z  x  yi  x, y �R 
z  3  4i  5 �  x  3   y  4   5
Giả sử
ta có

� 4  x  3  2  y  4   P  23
Ta có P  4 x  2 y  3
2
2
2
�
4  x  3  2  y  4  �
�20 �
 100
�x  3   y  4  �
�
�
�
Ta có
� 13 P 33 suy ra M  33, m  13 do đó ta được w  33  13i
Suy ra 10 �P  23 �10 ۣ
w  1258
vậy
.
 x, y �� thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  z  4  3i và biểu
Câu 26: Biết số phức z  x  yi ,
P  z  1  i  z  2  3i
thức
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P  x  2 y .
P

A.
Lời giải

61

10 .

Chọn A .
Theo giả thiết

� x2  y2 

B.

P

253
50 .

C.

P

41
5 .

D.

P

18
5 .

z  z  4  3i � x  yi   x  4    y  3 i

 x  4

2

  y  3

2

� x 2  y 2  x 2  8 x  16  y 2  6 y  9

� 8 x  6 y  25  0 .
Ta có

P

Xét điểm

 x  1
E  1;1

2

;

  y  1 
2

F  2; 3

và

 x  2

2

  y  3

M  x; y 

2

. Khi đó, P  ME  MF .

Bài tốn trở thành tìm điểm M � : 8 x  6 y  25  0 sao cho ME  MF đạt giá trị nhỏ nhất.


 8 xE  8 yE  25 .  8 xF  8 yF  25  0 nên hai điểm E , F nằm cùng phía đối với đường
Vì
thẳng  .
Gọi E �là điểm đối xứng với E qua 
r
r
E  1; 1
nEE� u   3; 4 
�
EE
Đường thẳng
đi qua điểm
và có VTPT
nên có phương trình

3  x  1  4  y  1  0 � 3x  4 y  7  0

Gọi H là giao điểm của EE �
và  . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
71
�
x
�
�
25
3x  4 y  7 � �
�
� 71 19 �
�y   19
H�
 ; �
�
8
x

6
y


25
�
50 suy ra � 25 50 �
�
117
�

xE � 
�
�
25
�
44
�y � 
E
25 .
E �đối xứng với E qua H nên �

+ MF � E �
F.
Ta có ME + MF = ME �
F và đường thẳng 
Dấu bằng xảy ra � M là giao điểm của E �
r
F đi qua điểm F  2; 3 và có VTPT nEE �  31;167  có phương trình
Đường thẳng E �
31 x  2   167  y  3  0 � 31x + 167 y + 439 = 0
67
�
x


�
�
50
�
�

31x  167 y  439
�
�y   119
�
8
x

6
y


25
�
50
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình �
Vậy

P  x  2y  

61
10 .

z  1  2i  z  1  2i
z ,z
Câu 27: Gọi 1 2 là 2 nghiệm của phương trình
thỏa mãn
w  3  2i  2
z1  z2  2
. Biết rằng w là số phức thỏa mãn
. Tìm GTNN của biểu thức

P  w  z1  w  z2
.

A. 1  3
Lời giải.
Chọn D .

B. 2 3

C. 2

D. 6 .


Giả sử

z  x  yi  x, y �R 

ta có

z  1  2i  z  1  2i � x  0
suy ra tập hợp điểm biểu diễn

z1 , z2 là trục tung.
z  z  2 � AB  2
z ,z
Giả sử A, B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho 1 2 , ta có 1 2
.

Giả sử

w  a  bi  a, b �R 

w  3  2i  2
và M là điểm biểu diễn cho số phức w , ta có

� (a  3)2  (b  2) 2  4 suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm
I  3; 2 

bán kính R  2 .

Ta có P  MA  MB , gọi E là hình chiếu vng góc của I lên trục tung, ta thấy P nhỏ
6
6
MA  MB 
MinP  2.
 6
2 , vậy
2
nhất khi E là trung điểm AB suy ra

2
Câu 28: Gọi z là số phức thoả mãn z  z  1  0 . Giá trị của biểu thức
2

3

4

1 � �

1 � �
1 �
�
P  2 �z 2  2 � 3 �z 3  3 � 4 �z 4  4 �
z � �
z � �
z �
�

A. 30 .

B. 14.

C. 8 .

Lời giải:
Chọn A
2
Dễ thấy rằng z  0 không thoả mãn z  z  1  0 , do đó ta có

z  z 1  0
2

� z

1
1
 1 � z 2  2  1
z
z

D. 28 .


3

2

1� 1�
1 � 1�
1 �2 1 �
z  3  �z  � 3z. �z  � 2
z 4  4  �z  2 � 2  1
z � z � và
z �
� z�
�
z
z
Ta cũng có
3

2

Vậy

3

4

1 � �
1� �
1 �
�
P  2 �z 2  2 � 3 �z 3  3 � 4 �z 4  4 �  30
z � �
z � �
z �
�

Câu 29: Cho hai số phức z1 , z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M 1 , M 2 cùng thuộc đường trịn có
2
2
z  z 1
P  z1  z2
phương trình x  y  1 và 1 2
. Tính giá trị biểu thức
.

A.

3
2 .

P

B. P  2 .

C.

P

2
2 .

D. P  3 .

Lời giải
Chọn D.
2
2
z  z2  1
Cách 1: Do M 1 , M 2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x  y  1 nên 1
.

Lại có:





2
z1  z2  1 � z1  z2  1 �  z1  z2   z1  z2   1 �  z1  z2  z1  z2  1





2

2





� z1.z1  z1.z2  z1 .z2  z2 .z2  1 � z1  z2  z1.z2  z1 .z2  1 � z .z  z .z  1
1 2
1 2
.









2
P 2  z1  z2   z1  z2   z1  z2    z1  z2  z1  z2  z1  z2  z1.z2  z1.z2  3

2

2

.

Vậy P  3 .

 T  tâm O  0;0  , bán kính R  1 và
Cách 2: Do M 1 , M 2 cùng thuộc đường tròn
z1  z2  1

nên M 1M 2  1 . Suy ra OM 1M 2 là tam giác đều cạnh bằng 1 .

P  z1  z2

uuuur uuuuu
r
uuur
3
 3
OM 1  OM 2  2OH  2.OH  2.
2
=
( Trong đó H là trung điểm M 1M 2

)

Câu 30:

Cho số phức z thỏa mãn

z 1
1

z  3i
2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  z  i  2 z  4  7i
A. 20 .

C. 12 5 .

B. 10 .
Lời giải

D. 4 5 .


Chọn A.

 x, y �� .
Gọi z  x  yi ,
z 1
1

2 � 2 z  1  z  3i � 2
Ta có z  3i

 x  1

2

 y 2  x 2   y  3

2

� x2  y2  4x  6 y  7  0 .

P  z  i  2 z  4  7i  x 2   y  1  2
2

Lại có

 4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72


Mặt khác

 x  4

2

  y  7

2

.

4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72



2

�5.80 � 4 x  8 y  8  2 4 x  8 y  72 �20

Suy ra P �20 .
Câu 31: Cho số phức z  a  bi ( a , b là các số thực) thỏa mãn

giá trị của P  a.b là?
3
A. 4 .

B. 4 .

z  z  3  4i

và có mơđun nhỏ nhất.

D. 3 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn D.
Ta có:
a  bi  a  bi  3  4i � a 2  b 2   a  3   b  4 
2

2

� 6a  8b  25  0

�a

25  8b
6

Mô đun của số phức z là:

100  b  2   225 15
�25  8b � 2
 �
�
� b 
z  a 2  b2
� 6 �
36
6
2

2

3
z min � b  2 � a  2 � P  3
Số phức

z  2  4i  z  2i
Câu 32: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Tìm số phức z có mơđun nhỏ
nhất.

A. z  1  i .

B. z  2  2i .

C. z  2  2i .
Lời giải

D. 3  2i .

Chọn C.
z  2  4i  z  2i
Gọi số phức z có dạng z  a  bi . z thỏa mãn

� a  2   b  4 i  a   b  2 i
�  a  2   b  4  a2   b  2
2

2

2

� a 2  4a  4  b 2  8b  16  a 2  b 2  4b  4
� 4a  4b  16
� a b  4
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.
16   a  b  � 12  12   a 2  b 2  � z  a 2  b 2 �8
2

2

z �2 2

Dấu  xảy ra

�a b
� 
� �1 1 � a  b  2 � z  2  2i

�
�a  b  4

z  2  4i  z  2i
Câu 33: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Số phức z có mơ đun bé nhất
bằng
A. 3 2

C. 2 2 .

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Chọn C
Đặt

z  x  yi  x, y ��

. Khi đó

z  2  4i  z  2i � x  yi  2  4i  x  yi  2i

�  x  2    y  4   x 2   y  2  � 4 x  4 y  16  0 � x  y  4  0
.
2

2

2

Số phức có mơ đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ O đến đường thẳng  : x  y  4  0 .


z min  d  O;   

4
2

2 2
.

z z 5
z  z 1
Câu 34: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn 1 2
và 1 2
. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P  z1  z2

là:
26
.
B. 2

A. 26.

C. 9.

1
 .
D. 2

Lời giải
Chọn A.
Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 ; z2 .
uur

uuuur uuur

5

z  z  5 � OM  ON  5 � OI  2
Từ giả thiết : 1 2

với I là trung điểm của đoạn thẳng MN .
uuuur uuur
z1  z2  1 � OM  ON  1 � MN  1
.
MN 2
OM 2  ON 2 MN 2
2
2
2
�
OM

ON


2O
I

OI 

2  13
2
4
Ta có
2

P  z1  z2  OM  ON

P2

1

2

12   OM 2 ON 2   26
. Vậy Pmax  26.


Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài tốn quen thuộc, ta có thể
sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài toán này. Với bài tốn trên ta có thể dùng phương
pháp đại số, hoặc lượng giác.
z z 5
z  z 1
Câu 35: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn 1 2
và 1 2

. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  z1  z2

. Khi đó mơ đun của số phức

M  m.i là :

A. 76 .

C. 2 10 .

B. 76 .

D. 2 11 .

Lời giải
Chọn A.
Ta gọi M , N lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1 ; z2 .
uuuur uuur

Từ giả thiết :
.

uur

z1  z2  6 � OM  ON  6 � OI  3

với I là trung điểm của đoạn thẳng MN

uuuu
r uuur
z1  z2  2 � OM  ON  2 � MN  2
.

Ta có

OI 2 

MN 2
OM 2  ON 2 MN 2
� OM 2  ON 2  2OI 2 

2  20.
2
4

P  z1  z2  OM  ON
 40.

P2

1

2



12 OM 2 ON 2



Vậy max P  2 10  M .

uuuu
r uuur uuuu
r uuur

OM

ON
�
OM
 ON
P  z1  z2
6.
Vậy min P  6  m .
Suy ra

M  m.i  40  36  76.

Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn

i.z  3 

P  2z  1  4i  z  1  5i

là:

5
2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức


A. 2 5 .

5
D. 2 .

C. 3 5 .

B. 3.

Lời giải
Chọn C.
Ta gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z .
i.z  3 

�
5�
5
5
2
M ( x; y ) �C �
I
(0;3);
R

�

� x 2   y  3 
�
2�
2
�
�
2 . Suy ra

Khi đó:
P  2z  1  4i  z  1  5i

2 z

1
uur uuur
 2i  z  1  5i  2 u
MA
 MB
2
,

�1 �
A�
 ;2�
; B  1;5 
với � 2 �

uu
r �1
�

IA  �
 ; 1�uur
uur
uu
r
�2
�; IB   1; 2  suy ra IB  2.IA .
Ta có:
5MA2 
Theo định lý Stewart ta có:

�
5
3 5� 2
5
MB 2 
MI 
. 5�
�
�
�
2
2 �
2
�� 2MA2  MB 2  15

(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ

uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur uuur

2 uuur 1 uuur
uuu
r uuur uuur  MA  AB  MA  MB  MA  MA  MB
3
3
3
3
MI  MA  AB





Suy ra:

MI 2 



uuur uuur
4
1
4
4
1
4
�
MA2  MB 2  MA.MB.cos MA, MB  MA2  MB 2  MA.MB.cos AMB
9
9

9
9
9
9





�MA2  MB 2  AB 2 � 2
4
1
4
1
2
MA2  MB 2  MA.MB �
� MA2  MB 2  AB 2
9
9
9
� 2.MA.MB
� 3
3
9

� 2MA  MB
2

Vậy

2

 3MI 2 

uuur uuur
P  2 MA  MB 



2
AB 2
 15 )
3



2. 2.MA  MB �



2



2  12 2MA2  MB 2



 45  3 5.

2 z  i  2  iz
z  z 1
Câu 37: Cho z1 , z2 là hai số phức thỏa mãn
, biết 1 2
. Tính giá trị của biểu
P  z1  z2

thức
A.

3
2 .

P

B. P  2 .

C.
Lời giải

P

2
2 .

D. P  3 .

Chọn D.
Cách 1.

2 z  i  2  iz � 2 x   2 y  1 i   2  y   xi
+ Đặt z  x  yi , x, y ��, ta có

4 x 2   2 y  1 
2

 2  y

2

 x2 � 4x2  4 y 2  4 y  1  4  4 y  y 2  x2

� x 2  y 2  1 � z  1 � z1  z2  1
2

2



2

z1  z 2  z1  z 2  2 z1  z2
+ Sử dụng cơng thức: z1 , z2 �� ta có
Suy ra P  3 .
Cách 2.
iz  2  i  iz  2   z  2i
+ Biến đổi:
2

Ta có

2



2

2 z  i  z  2i � 2 z  i  z  2i � z  1 � z1  z2  1

.

+ Sử dụng công thức bình phương mơ đun
mz1  nz2  m 2 z12  2mnz1 z2cos  z1 , z2   n 2 z 2 2
2

 z ,z 
Trong đó 1 2 là góc �MON với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên
mặt phẳng phức
z1  z2  1 � z1  z2  1 � z1  z2  2 z1 . z2 .cos  z1 , z2   1 � cos  z1 , z2  
2

2

P 2  z1  z2  1 � z1  z2  2 z1 . z2 .cos  z1 , z2   3 � P  3
2

Vậy

2

2

1
2.

2

.

z  2  i  2 z 1  i
Câu 38: Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn
và z1  z2  1  i . Tính giá trị biểu thức
2

P  z1  z2
A. P  2 .

2

.
B. P  1 .

C. P  4 .
Lời giải

ChọnC

D. P  9 .

Ta có

z1  2  i  2 z1  1  i

mà z1  z2  1  i

� z1  2  i  2 z2





� 4 z2   z1  2  i  z1  2  i  z1   2  i  z1   2  i  z1  5.
2

(1)

4 z1  z2   2  i  z2   2  i  z2  5.               2 
2

Tương tự ta có

2

2

Cộng (1) và (2) ta có
4 P  P   2  i  z1  z2   2  i   z1  z2   10

 P   2  i   1  i    2  i   1  i   10  P  12 � P  4.

Câu 39: Cho hai số thực b; c (c  0) . Kí hiệu A; B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai
2
nghiệm của phương trình z  2bz  c  0 , tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB
là tam giác vuông ( Với O là gốc tọa độ ).
A. c  b.

2
B. c  b .

2
C. c  2b .

2
D. b  2c.

Lời giải
Chọn C.
'
2
Ta có   b  c
'
2
Z  b �  '
Nếu   b  c  0 � phương trình có hai nghiệm 1,2
(Loại vì O, A, B thẳng
hàng)
'
2

Nếu   b  c  0 � phương trình có nghiệm kép (Loại)

Z  b �i b 2  c  b �i (b 2  c)
'
2
Nếu   b  c  0 � Phương trình có hai nghiệm 1,2

Vậy hai điểm biểu diễn là

A( b; b 2  c )

và

B(b;  b 2  c )

uuu
r uuur
� b2  b2  c  0
OAB
O
OAB
�
OA
.
OB

0
Tam giác
cân tại
.Vậy để tam giác

vuông
� c  2b 2 .

z
z  2 z  7  3i  z
Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn
. Tính ?
13
25
A. 3.
B. 4 .
C. 4 .

Lời giải

D. 5 .


Chọn D.
Giả sử

z  a  bi  a, b ��

, ta có:

z  2 z  7  3i  z � z  2  x  yi   7  3i  x  yi

�
�z  2 x  x  7
� x 2  9  3x  7  *

��
��
y3
� 2y  3 y
�
7
�
x�
�
� x4
 * � �
3
2
2
�
�x  9  9 x  42  7
Vậy

z 5

.
�z  3  2i �1
�
�
�w  1  2i �w  2  i

Câu 41: Hcho hai số phức z , w thỏa mãn
thức
A.

P  zw

Pmin 

. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu

.

3 2 2
2
.

B.

Pmin  2  1

.

Pmin 

C.

5 2 2
2
.

D.

Pmin 

Lời giải
Chọn C.
Cách 1 :

 a, b �� , w  x  yi
Giả sử z  a  bi
z  3  2i �1 �  a  3   b  2  �1
2

 x, y �� .

2

(1)

w  1  2i �w  2  i �  x  1   y  2  � x  2    y  1
2

2

2

2

.

Suy ra x  y  0 .
P  zw 

Từ (1) ta có

 a  x
I  3; 2 

2

  b  y 
2

 a  x

2

  b  x

2

.

, bán kính r  1 . Gọi H là hình chiếu của I trên d : y   x .

�x  3  t
�
Đường thẳng HI có PTTS �y  2  t .

3 2 2
2
.

M �HI � M  3  t ; 2  t 
� 1
t
�
2
��
1
�
t
2
�
M � C  � 2t  1
2
�

1 �
� 1
5 2
t 2�M �
3
;2 
� MH 
2
2 �,
�
2
1 �
� 1
5 2
t  3� M �

3
;2
� MH 
2
2 �,
�
2

Vậy

Pmin 

5 2 2
2
.

Cách 2 :
z  3  2i �1

điều này cho thấy

1.
w  1  2i �w  2  i

M  z

đang nằm trên hình trịn tâm

điều này cho thấy

N  w

Pmin  d  I ,    R 

3 2
2

1 

5 2 2
.
2

bán kính bằng

đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường

A  1; 2  , B  2;1 .
thẳng  là trung trực của đoạn AB với
 : x  y  0.
(Minh hoạ như hình vẽ)

P  z  w  MN .

I  3; 2 


z  3  2i  2.
Câu 42: Xét các số phức z  a  bi,( a, b ��) thỏa mãn
Tính a  b biết biểu thức

S  z  1  2i  2 z  2  5i

A. 4  3 .

đạt giá trị nhỏ nhất.

B. 2  3 .

C. 4  3 .

D. 3.

Lời giải:
Chọn A
Giả thiết

z  3  2i  2 � (T ) : (a  3) 2  (b  2) 2  4

Gọi A(1; 2), B(2;5), M ( a; b) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
z1  1  2i, z2  2  5i, z3  a  bi
Bài tốn trở thành: Tìm M �(T ) sao cho biểu thức S  MA  2MB nhỏ nhất
Ta có

MA  (a  1) 2  (b  2) 2  a 2  b 2  2a  4b  5

 2 a 2  b2  4a  4b  8
 2 (a  2) 2  (b  2) 2  2MC với C (2; 2)

Ta có MA  2MB  2( MB  MC ) �2 BC dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi B, M , C theo thứ tự
đó thẳng hàng.

Phương trình đường thẳng BC : x  2

M là giao của của BC và (T ) � M (2; 2  3) � a  b  4  3 .

 2  i  z z   1  2i  z  1  3i và
Câu 43: Giả sử z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình
z1  z2  1

. Tính

M  2 z1  3 z2

A. M  19 .

B. M  25 .

C. M  5 .

D. M  19 .

Lời giải
Chọn D.
Từ giả thiết ta có:

 2  i

z z   1  2i  z  1  3i �

  2  i

z   1  2i   z  1  3i


�  2  i  z   1  2i  z  1  3i �  2 z  1   z  2  i z  1  3i

�

 2 z  1   z  2 
2

2

z  1  3i

.

z 1
Bình phương, giải phương trình tìm được
, Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của
hai số phức z1 , z2 trong mặt phẳng phức thì suy ra A, B nằm trên đường tròn tâm O , bán kính

1 và A B=1 ,

do đó tam giác OAB là tam giác đều.

�1 3 �
A  1;0  ; B �
�2 ; 2 �
�
�

�thỏa mãn bài toán, nên
Cách trắc nghiệm : chọn
2

2
� 3 � �3 3 �
M  2 z1  3z2  �2  � �
�
�  19
� 2� �
�2 �

Cách tự luận:

uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuur
M  2 z1  3 z2  2OA+3OB  OA�
+OB� OC

Áp dụng định lý hàm số cos tìm được M  OC  19

Câu 44:Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau
z  a  bi là số phức có mơ đun nhỏ nhất. Tính S  2a  b .
A. 0 .
B. 4 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn B.
z 1 

Ta có:

zz
3 �
2

 a  1

2

 b2 

Từ đó: z  a 2  b 2  a 2  4a  8 

 a  3

 a  2

Vậy min z  2 đạt được khi a  2; b  0 .
Khi đó: S  4 .

2

z 1 

2

� b 2  4a  8 .

 4 �2 .

zz
3
2

, gọi số phức

D. 2 .


z  2  4i  z  2i
Câu 45: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
. Số phức z có mơđun nhỏ nhất
là:
A. z  2  2i.

B. z  2  2i.

C. z  2  2i.

D. z  2  2i.

Lời giải
Chọn B.
Đặt z  a  bi, (a, b ��).
Ta có

Ta có:

z  2  4i  z  2i

z  a2  b2

suy ra a  b  4.

�

 a  b
2

2

2 2.

ab  4
�
�
�
a

b
�
ab2 .
"

"
Dấu
xảy ra khi
Vậy z  2  2i.
z  1  2i  2.

Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn
Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w  3  2i   2  i  z

A. R  20.

là một đường trịn. Tính bán kính R của đường trịn đó.
B. R  7.

C. R  2 5.

D. R  7.

Lời giải
Chọn C.
Ta có:

w  3  2i   2  i  z  3  7i   2  i   z  1  2i 

� w  3  7i   2  i   z  1  2i 

� w  3  7i   2  i   z  1  2i   2  i z  1  2i  2 5

� Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  3  2i   2  i  z là một đường tròn bán kính
R  2 5.
z  1  i  2.
Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn
Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w  3  i   1 i z

A. R  4.

là một đường trịn. Tính bán kính R của đường trịn đó.
B. R  2 2.

C. R  2.

D. R  2.