BÁO CÁO TIỂU LUẬN BÁO CÁO Thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
KHOA PFIEV

----

BÁO CÁO TIỂU LUẬN

Đề tài: Thiết kế bộ lọc thông thấp IIR, sử dụng
bộ lọc ButterWorth và biến đổi song tuyến tính

GVHD :

T.S NGƠ VĂN SỸ

SVTH

:

MAI VŨ QUỐC BÌNH

Lớp

:

09CLC2
Đà Nẵng, 2012


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................... 1

PHẦN I: BỘ LỌC IIR VÀ BÀI TOÁN THIẾT KẾ ........................................ 2
I.

II.

Giới thiệu chung về bộ lọc IIR: ............................................................................ 2
1.

Giới thiệu: ...................................................................................................... 2

2.

Hai cách tiếp cận: ........................................................................................... 2

Thiết kế bộ lọc IIR: ................................................................................................ 3

III. Các đặc điểm sơ bộ: ............................................................................................... 3
1.

Tỉ lệ tuyến tính tương đối:.............................................................................. 3

2.

Các tính chất của |Ha(jΩ)|2: ............................................................................ 4

PHẦN II: PHƢƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR ................................... 5
I.

II.

Các đặc trƣng của các bộ lọc Analog điển hình:................................................. 5
1.

Bộ lọc thơng thấp Butterworth: ...................................................................... 5

2.

Bộ lọc thông thấp Chebyshev: ....................................................................... 8

3.

Bộ lọc thông thấp Ellipic: ............................................................................ 11

4.

Các đáp ứng pha của các bộ lọc điển hình: .................................................. 12

Các phép biến đổi bộ lọc tƣơng tự thành bộ lọc số ........................................... 12
1.

Biến đổi bất biến xung: ................................................................................ 13

2.

Biến đổi song tuyến tính: ............................................................................. 15

III. Biến đổi băng tần: ................................................................................................ 17

PHẦN III: CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ .................................................... 20
I.

Tính tốn thiết kế: ............................................................................................... 20

II.

Thuật tốn giải quyết bài tốn: .......................................................................... 22

III. Chƣơng trình Matlab: ......................................................................................... 23
1.

Các hàm sử dụng trong chương trình: .......................................................... 23

2.

Chương trình: ............................................................................................... 26

3.

Kết quả: ........................................................................................................ 28

4.

Mơ phỏng bằng simulink: ............................................................................ 31

PHẦN IV: ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ - KẾT LUẬN .......................................... 35
I.

Chỉ tiêu kỹ thuật: ................................................................................................. 35

II.

Chất lƣợng lọc thực tế: ........................................................................................ 35

III. Kết luận: ............................................................................................................... 35


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

LỜI NĨI ĐẦU
Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã trở thành một môn học cơ sở
cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thơng, Tự động hố ...
Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị như: CD, VCD,
DVD, camera, scanner, y khoa ..., trong các hệ thống truyền hình số, thơng tin địa lý, bản đồ
số, viễn thông ..v.v..
Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất
trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter). Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia
các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse
Response) cịn gọi là lọc khơng đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vơ hạn IIR (Infinte Impulse
Response) còn gọi là lọc đệ quy. Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc, FIR
hay IIR, thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải. Các bộ lọc này có
thể được thiết kế bằng những phương pháp khác nhau, mỗi phương pháp đều có những ưu
điểm và khuyết điểm riêng.
Trong khuôn khổ của bài tiểu luận mơn học này, em xin phép trình bày nội dung đề tài:
Bài tốn thiết kế bộ lọc thơng thấp IIR, sử dụng bộ lọc ButterWorth và biến đổi song
tuyến tính.
Nội dung tiểu luận được chia thành 4 phần:

- Phần I: Bộ lọc IIR và bài toán thiết kế
- Phần II: Phương pháp thiết kế bộ lọc IIR
- Phần III: Chương trình thiết kế
- Phần IV: Đánh giá kết quả - kết luận
Em xin trân trọng cảm ơn thầy giáo TS. Ngơ Văn Sỹ đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt
những kiến thức quý giá, cung cấp tài liệu tham khảo và chỉ bảo các phương pháp làm việc
khoa học.
Trong quá trình làm tiểu luận tuy đã hết sức cố gắng song chắc chắn khơng tránh khỏi
những sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của Thầy để nội dung của tiểu luận được hoàn
chỉnh hơn.
Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Mai Vũ Quốc Bình

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 1


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

PHẦN I:

BỘ LỌC IIR VÀ BÀI TOÁN THIẾT KẾ
I. Giới thiệu chung về bộ lọc IIR:
1. Giới thiệu:
 Bộ lọc IIR có đáp ứng xung vơ hạn, vì vậy chúng có thể khớp với các bộ lọc
analog, mà nói chung đều có đáp ứng xung dài vô hạn.
 Kỹ thuật cơ bản để thiết kế lọc IIR là biến đổi các bộ lọc analog điển hình (wellknown) thành các bộ lọc digital sử dụng các ánh xạ giá trị-phức.
 Sự thuận tiện của kỹ thuật này là ở chỗ có sẵn các bảng thiết kế lọc analog (AFD)
và các ánh xạ được mở rộng trong thư viện.
 Các kỹ thuật cơ bản được gọi là các phép biến đổi lọc A/D.
 Tuy nhiên, các bảng AFD chỉ dùng cho các bộ lọc thông thấp. Trong khi ta cần
thiết kế các bộ lọc chọn tần khác (thông cao, thông dải, chắn dải, v.v…)
 Cần áp dụng các phép biến đổi băng tần đối với các bộ lọc thông thấp. Các phép
biến đổi này cũng được gọi là ánh xạ giá trị-phức, và chúng cũng có sẵn trong thư
viện.

2. Hai cách tiếp cận:
2.1. Cách 1, đƣợc sử dụng trong Matlab
Design analog
lowpass filter

Apply freq. band
transformation
s→s

Apply filter
transformation
s→z

Desired
IIR filter

2.2. Cách 2, đƣợc sử dụng để học tập, nghiên cứu
Design analog
lowpass filter

Mai Vũ Quốc Bình

Apply filter
transformation
s→z

Lớp 09CLC2

Apply freq. band
transformation
z→z

Desired
IIR filter

Trang 2


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

II. Thiết kế bộ lọc IIR:

Apply filter
transformation
s→z

Design analog
lowpass filter

Apply freq. band
transformation
z→z

Desired
IIR filter

 Thiết kế bộ lọc thông thấp analog.
 Nghiên cứu và áp dụng các phép biến đổi bộ lọc để thu được bộ lọc số thông thấp.
 Nghiên cứu và áp dụng các phép biến đổi băng tần để thu được các bộ lọc số khác
từ bộ lọc số thông thấp.

Các vấn đề tồn tại:
 Khơng điều khiển các đặc tính pha của bộ lọc IIR.
 Các thiết kế lọc IIR chỉ xử lý như các thiết kế về biên độ.

III. Các đặc điểm sơ bộ:
1. Tỉ lệ tuyến tính tƣơng đối:
 Ha(jΩ) là đáp ứng tần số của bộ lọc tương tự.
 Các đặc trưng bộ lọc thông thấp trên đáp ứng bình phương biên độ được cho bởi:
1
2
 H a ( j)  1,

2
1 
1
2
0  H a ( j )  2 ,
A

  p



s  

Trong đó:


ε là thơng số gợn sóng dải thơng.



ΩP là tần số cắt dải thông (rad/s).



A là tham số suy hao dải chắn.



ΩS là tần số cắt của dải chắn (rad/s).

H a ( j) 
2

1
1  2

H a ( j) 
2

at    P

1
A2

at   S

Các thông số kỹ thuật của bộ lọc thơng tấp Analog
Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 3


Báo cáo tiểu luận


------

Xử lý tín hiệu số

Các hệ thức giữa ε, A, Rp, As, δ1 và δ2
Rp
1
10



10
1
1  2
As
1
As  10 log10 2
 A  10 20
A
2 1
1  1
1


2
1  1
1 
1  1

R p  10 log10

2
1


1  1 A

 A

1  1
2

2. Các tính chất của |Ha(jΩ)|2:
Các đặc trưng của bộ lọc Analog được cho theo các hệ số của đáp ứng bình phương độ
lớn, khơng bao hàm thơng tin về pha. Do đó để đánh giá hàm truyền hệ thống Ha(s) trong
miền-s ta xét:

H a ( j)  H a (s) s  j
Sau đó ta có:

H a ( j)  H a ( j) H a* ( j)  H a ( j) H a ( j)  H a ( s) H a (s) s  j

Hay:

H a ( s) H a (s)  H a ( j)

2

2
 s / j

Vì vậy các điểm cực và điểm khơng của hàm bình phương biên độ được phân bố theo
đối xứng ảnh-gương xét theo trục jΩ.
Đối với các bộ lọc thực, các điểm cực và điểm không xuất hiện theo cặp liên hợp phức

(hoặc đối xứng ảnh-gương theo trục thực).
Từ các mẫu này chúng ta có thể xây dựng Ha(s), là hàm truyền hệ thống của bộ lọc
analog.
Ta muốn Ha(s) để biểu diễn một bộ lọc nhân quả và ổn định. Khi đó tất cả các điểm cực
của Ha(s) trong nửa mặt phẳng bên trái. Như vậy ta gán tất cả các điểm cực nửa-trái của
Ha(s)Ha(-s) lên Ha(s). Hoặc chúng ta sẽ chọn các điểm không của Ha(s)Ha(-s) nằm bên cạnh
hoặc trên trục jΩ như các điểm không của Ha(s).
Bộ lọc kết quả được gọi là một bộ lọc pha-tối thiểu.

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 4


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

PHẦN II:

PHƢƠNG PHÁP THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR
Như đã nói ở phần trước, các kỹ thuật thiết kế lọc IIR dựa trên bộ lọc Analog đã có để
thu được các bộ lọc số. Chúng ta thiết kế các bộ lọc Analog này theo các bộ lọc điển hình.
Ở phần này, ta sẽ tìm hiểu các phần chính sau:
1. Các đặc trưng và phương pháp thiết kế các bộ lọc thông thấp Analog điển hình.
2. Các phép biến đổi bộ lọc để thu được bộ lọc số thông thấp từ bộ lọc Analog.

3. Các phép biến đổi băng tần để thu được các bộ lọc số khác từ bộ lọc số thông thấp.

I. Các đặc trƣng của các bộ lọc Analog điển hình:
Có ba kiểu bộ lọc Analog điển hình được sử dụng rộng rãi trong thực tế:
-

Thông thấp Butterworth.

-

Thông thấp Chebyshev (Kiểu I và II).

-

Thông thấp Elliptic.

1. Bộ lọc thông thấp Butterworth:
1.1. Các đặc trƣng:
 Bộ lọc này được đặc trưng bởi tính chất đáp ứng biên độ là bằng phẳng trong cả dải
thơng và dải chắn.
 Đáp ứng bình phương-biên độ của bộ lọc thông thấp bậc-N:
H a ( j) 
2

1
  
1 

 C 

2N

ΩC là tần số cắt (rad/s)

 Đồ thị đáp ứng bình phương-biên độ:
H a ( j)

Mai Vũ Quốc Bình

2

Lớp 09CLC2

Trang 5


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

 Từ đồ thị trên ta có nhận xét:


|Ha(0)|2 =1 với mọi N.



|Ha(jΩc)|2 =0.5 với mọi N (hệ số suy giảm 3dB ở Ωc)



|Ha(jΩ)|2 đơn điệu giảm theo Ω



Tiến đến bộ lọc lý tưởng khi N → ∞

 Xác định hàm truyền hệ thống Ha(s):

H a ( s) H a ( s)  H a ( j)

2
 s / j



1
 s 
1 

 j C 

1

Các điểm cực: pk  (1) 2 N ( jC )  C e

2N



( j C ) 2 N
( j C ) 2 N

2N
s 2 N  ( j C ) 2 N
 (s  pk )
k 1

j 2N (2 k  N 1)

,

k  0,1,

, 2 N 1

 Nhận xét về các điểm cực của H a (s) H a (s) :


Có 2N điểm cực được phân bố đều đặn trên đường trịn bán kính ΩC với khoảng
cách góc π / N radians.



Với N lẻ, pk  C e jk / N , k  0,1,..., 2 N  1
  k 
j
 

 2N N 



Với N chẵn, pk  C e

, k  0,1,..., 2 N  1



Đối xứng theo trục ảo.



Một điểm cực không bao giờ rơi vào trục ảo, và rơi vào trục thực chỉ nếu N là lẻ.



Một bộ lọc ổn định và nhân quả Ha(s) có thể được xác định bằng cách chọn các
điểm cực trong nửa mặt phẳng trái, và Ha(s) có thể được viết dưới dạng:

H a ( s) 

C N
N



( s  pk )

LHP poles

Thi hành trên Matlab:






Hàm [z,p,k] = buttap(N)


Để thiết kế một bộ lọc Analog Butterworth chuẩn hoá (ΩC = 1) bậc N.



z: zeros; p: poles; k: gain value.

Hàm [b,a] = u_buttap(N,Omegac)


Để thiết kế một bộ lọc Analog Butterworth chưa chuẩn hoá với ΩC tùy ý,
bậc N.



Cung cấp một cấu trúc dạng trực tiếp với: b là tử thức, a là mẫu thức.

Hàm [C,B,A] = sdir2cas(b,a)


Chuyển đổi dạng trực tiếp thành dạng ghép tầng.

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 6


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

1.2. Các phƣơng trình thiết kế:
Bộ lọc thơng thấp analog được đặc trưng bởi các thông số P , RP , S và AS . Vì vậy ưu
điểm của thiết kế trong trường hơp bộ lọc Butterworth là thu được bậc N và tần số cắt C .
Chúng ta muốn:


1
2

 Tại   P ,  10log10 H a ( j)  RP hay: 10 log10 
2N
 1   P 
  
C 






  RP






1
2

 Tại   S ,  10log10 H a ( j)  AS hay: 10 log10 
2N
 1   S 
  
C 





  AS




Giải 2 phương trình trên ta thu được:



 



 log10 10 RP 10  1 10 AS 10  1

Bậc N  

2 log10   P  S 




Tần số cắt C :




P

- Để đáp ứng thông số kỹ thuật tại  P : C 
2N

10

RP 10

S

- Để đáp ứng thông số kỹ thuật tại  S : C 
2N

10

AS 10

 1



1

Thi hành trên Matlab:


Hàm [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As)
 Để thiết kế bộ lọc thông thấp analog Butterworth, cho bởi các chỉ tiêu của nó.



Hàm [db,mag,pha,w] = freqs_m(b,a,wmax)
 Đáp ứng biên độ tuyệt đối cũng như tương đối theo thang dB và đáp ứng pha.



Hàm [ha,x,t] = impulse(b,a)

 Đáp ứng xung ha(t) của bộ lọc Analog.

Phần tiếp theo sẽ giới thiệu thêm về các bộ lọc thơng thấp điển hình khác: Chebyshev,
Ellipic, nhưng do giới hạn yêu cầu của tiểu luận này nên sẽ không đi sâu như đối với bộ lọc
Butterworth.

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 7


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

2. Bộ lọc thơng thấp Chebyshev:
-

Các bộ lọc Chebyshev-I: Có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải thơng.

-

Các bộ lọc Chebyshev-II: Có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải chắn

-

Các bộ lọc Butterworth: Có đáp ứng đơn điệu trong cả hai dải.

-

Lưu ý rằng chọn một bộ lọc cân bằng gợn sóng thay vì bộ lọc đơn điệu, ta thu
được một bộ lọc có bậc-thấp.
Vì vậy các bộ lọc Chebyshev cho bậc thấp hơn so với các bộ lọc Buttworth có
cùng chỉ tiêu.

2.1. Bộ lọc Chebyshev I:


Đáp ứng bình phương biên độ:

H a ( j ) 

1

2


1   2TN2 

 c 

Trong đó: N là bậc bộ lọc
ε là hệ số gợn sóng dải thơng


Đa thức Chebyshev bậc N

 cos  N cos 1 ( x)  , 0  x  1

TN ( x)  
1

cosh  cosh ( x)  , 1  x  

khi x 


C

 Với 0 < x < 1, TN(x) dao động giữa –1 và 1
 Với 1 < x < ∞, TN(x) tăng đơn điệu đến vô cùng

Hai dạng đồ thị của đáp ứng bình phương-biên độ (N lẻ và N chẵn)
Nhận xét:


Tại x = 0 (hoặc Ω = 0)
H a ( j 0)  1
2

H a ( j 0) 
2

Mai Vũ Quốc Bình

1
1  2

( N odd )
( N even)

Lớp 09CLC2

Trang 8


Báo cáo tiểu luận


------

Xử lý tín hiệu số

Tại x = 1 (hoặc Ω = ΩC)
H a ( j1) 
2

1
1  2

(all N )



Tại 0 ≤ x ≤ 1 (hoặc 0 ≤ Ω ≤ ΩC), H a ( jx) dao động giữa 1 và



Tại x > 1 (hoặc Ω > ΩC), H a ( jx) giảm đơn điệu về 0.



Tại x = Ωr , H a ( jx) 

2

1
1  2

2

2

1
.
A2

Ha(s) nhân quả và ổn định:
Để xác định một hàm Ha(s) nhân quả và ổn định, ta phải tìm các điểm cực của
Ha(s)Ha(-s) và chọn các điểm cực nửa mặt phẳng-trái đối với Ha(s).
Các điểm cực Ha(s)Ha(-s) thu được bằng cách tìm nghiệm của:

 s 
1   2TN2 

 j C 
Có thể chỉ ra rằng nếu pk  k  jk , k  0,1,

, N  1 là nghiệm (nửa mặt phẳng trái)

của đa thức trên thì:
  (2k  1) 
k  (aC ) cos  
2 N 
2
  (2k  1) 
 k  (bC ) sin  
2 N 
2

k  0,, N  1

Trong đó:

a

Và

1
2



N



  N 1/  , b 

1
2



N

  N 1/ 



1
1
   1 2



Các điểm cực rơi trên một ellipse với trục chính bΩc và trục phụ aΩc.
Hàm hệ thống là:

H a ( s) 

K
  s  pk 
k

Với K là một hệ số chuẩn hóa được chọn để:
N odd

 1,

H a ( j 0)   1
, N even

2
 1 

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 9


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

Thi hành trên Matlab:




Hàm [z,p,k] = cheb1ap(N,Rp)


Để thiết kế một bộ lọc analog chuẩn hố Chebyshev-I analog có bậc N và

gợn sóng dải thông Rp.



z mảng các điểm không



p mảng các điểm cực trong p



Giá trị độ lợi k

Hàm [b,a] = u_chb1ap(N,Rp,Omegac)


Trả lại Ha(s) theo dạng trực tiếp.

Các phƣơng trình thiết kế:
Cho Ωp, Ωs, Rp và As, ba tham số được yêu cầu để xác định một bộ lọc Chebyshev-I
Ta có:

  100.1RP  1 and A  10 AS /20

C   P and  r  S
C
g  ( A2  1) /  2
 log  g  g 2  1  
10


 
N 

2


 log10  r   r  1  
Thi hành trên Matlab dùng hàm [b,a] = afd_chb1(Wp,Ws,Rp,As)

2.2. Bộ lọc Chebyshev II:
Liên quan đến bộ lọc Chebyshev-I thông qua một phép biến đổi đơn giản.
Nó có dải thơng đơn điệu và dải chắn cân bằng gợn sóng, nghĩa là bộ lọc này có cả các
điểm cực và các điểm khơng trong mặt phẳng-s.
Vì vậy các đặc trưng trễ nhóm là tốt hơn (và đáp ứng pha tuyến tính hơn) trong dải
thơng so với bộ lọc Chebyshev-I prototype.
Đáp ứng bình phương biên độ:

H a ( j ) 

1

2



1   2TN2  C
 






1

Thi hành trên Matlab:


Function [z,p,k] = cheb2ap(N,As);


Normalized Chebyshev-II

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 10


Báo cáo tiểu luận


Xử lý tín hiệu số

Function [b,a] = u_chb2ap(N,As,Omegac)




------

Unnormalized Chebyshev-II

Function [b,a] = afd_chb2(Wp,Ws,Rp,As)

3. Bộ lọc thông thấp Ellipic:
Các bộ lọc này thường cân bằng gợn sóng ở dải thơng cũng như dải chắn. Chúng có các
đặc trưng đáp ứng biên độ tương tự như các bộ lọc FIR cân bằng gợn sóng.
Vì vậy các bộ lọc elliptic là các bộ lọc tối ưu trong đó đạt được bậc tối thiểu N đối với
các chỉ tiêu đã cho
Các bộ lọc này, vì nhiều lý do đã xét trước đây, là rất khó để phân tích và thiết kế.
Khơng thể thiết kế chúng bằng các công cụ đơn giản, và thường phải dùng các chương
trình hoặc bảng để thiết kế.
Đáp ứng bình phương biên độ:

H a ( j ) 

1

2


1   2U N2 

 c 



N: bậc



ε: gợn sóng dải thông



UN() là hàm Jacobian elliptic bậc-N

Hai dạng đồ thị của đáp ứng bình phương-biên độ (N lẻ và N chẵn)

Tính tốn cho bộ lọc bậc N:

 1 k  ;
N
K (k ) K  1  k 
K (k ) K

Với

2
1

2

1

Mai Vũ Quốc Bình

k

p
s

, k1 

Lớp 09CLC2


A2  1

;

K ( x)  

 /2

0

d
1  x 2 sin 2 

Trang 11


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

Thi hành trên Matlab:


Hàm [z,p,k]=ellipap(N,Rp,As);




Hàm [b,a] = u_ellipap(N,Rp,As,Omegac)




Normalized elliptic analog prototype

Unnormalized elliptic analog prototype

Hàm [b,a] = afd_elip(Wp,Ws,Rp,As)


Analog Lowpass Filter Design: Elliptic

4. Các đáp ứng pha của các bộ lọc điển hình:


Bộ lọc Elliptic cho tính năng tối ưu về đáp ứng bình phương-biên độ nhưng có đáp
ứng pha phi tuyến hơn trong dải thơng (khơng thích hợp cho nhiều ứng dụng).



Ngay cả khi chúng ta quyết định khơng lo lắng gì đến đáp ứng pha trong thiết kế,
pha vẫn giữ vai trò quan trọng trên toàn hệ thống.



Đối với các bộ lọc Buttworth , có đáp ứng biên độ bằng phẳng tối đa và đòi hỏi bậc
N cao hơn (nhiều điểm cực hơn) để đạt được cùng một chỉ tiêu dải chắn. Tuy nhiên
chúng có một đáp ứng pha khơng tuyến tính trong dải thơng.



Các bộ lọc Chebyshev có các đặc tính pha nằm ở giữa.



Vì vậy trong các ứng dụng thực tế chúng ta xem xét các bộ lọc Butterworth cũng
như Chebyshev, cộng thêm các bộ lọc elliptic.



Việc lưa chọn phụ thuộc vào cả bậc của bộ lọc (thường ảnh hưởng đến tốc độ xử lý
và độ phức tạp thi hành) và các đặc tính pha (để điều khiển méo).

II. Các phép biến đổi bộ lọc tƣơng tự thành bộ lọc số


Sau khi khảo sát các tiếp cận khác nhau để thiết kế các bộ lọc tương tự , chúng ta sẵn
sàng biến đổi chúng thành bộ lọc số.



Các phép biến đổi này đạt được bằng cách bảo toàn các aspects khác nhau của các bộ
lọc tương tự và lọc số.
-

Biến đổi bất biến xung
→ Bảo tồn hình dang của đáp ứng xung từ lọc tương tự thành lọc số

-

Kỹ thuật xấp xỉ sai phân hữu hạn
→ Chuyển đổi biểu diễn một phương trình vi phân thành một phương trình sai
phân tương ứng.

-

Bất biến bƣớc nhảy
→ Bảo tồn hình dạng của đáp ứng bước nhảy

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 12


Báo cáo tiểu luận
-

------

Xử lý tín hiệu số

Biến đổi song tuyến tính
→ Bảo tồn biểu diễn hàm hệ thống từ miền tương tự sang miền số

Trong phần này chỉ đề cập đến biến đổi bất biến xung và biến đổi song tuyến tính.

1. Biến đổi bất biến xung:
Trong phương pháp này chúng ta muốn đáp ứng xung của bộ lọc số trông tương tự như
đáp ứng xung của bộ lọc chọn tần analog.
Lấy mẫu ha(t) ở các chu kỳ lấy mẫu T ta thu được h(n):

h  n   ha  nT 
T được chọn sao hình dạng của ha(t) được giữ bởi mẫu, lúc này:

  T or e j  e jT
Do z  e j trên đường tròn đơn vị và s  j trên trục ảo, ta có phép biến đổi sau đây
từ mặt phẳng-s sang mặt phẳng-z:

z  esT
Quan hệ giữa hàm hệ thống H(z) và Ha(s) trong miền tần số:

H ( z) 

1 
2 


Ha  s  j
k

T k  
T 

Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi bất biến xung

Các tính chất:
 σ = Re(s):


σ < 0, ánh xạ vào |z| < 1 (bên trong đường tròn đơn vị)



σ = 0, ánh xạ vào |z| = 1 (trên đường tròn đơn vị )



σ > 0, ánh xạ vào |z| > 1 (bên ngồi đường trịn đơn vị)

 Ánh xạ nhiều s lên một z : Ánh xạ many-to-one
Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 13

Báo cáo tiểu luận


------

Xử lý tín hiệu số

Mỗi dải bán-vơ hạn bên trái (nằm bên mặt phẳng trái) ánh xạ vào bên trong
đường trịn đơn vị

 Tính nhân quả và ổn định là không thay đổi;
 Aliasing (sai số lấy mẫu) xuất hiện nếu bộ lọc khơng có băng tần-hữu hạn

Thủ tục thiết kế:
Với các chỉ tiêu đã cho wp, ws, Rp, As, chúng ta muốn xác định H(z) bằng cách thiết kế
trước tiên một bộ lọc analog tương đương và sau đó ánh xạ chúng thành bộ lọc số mong
muốn. Các bước như sau:
1. Chọn T và xác định các tần số analog:  P 

p
T

and S 

s
T

2. Thiết kế một bộ lọc analog Ha(s) sử dụng các đặc tính của một trong ba bộ lọc
điển hình trong phần trước.
3. Sử dụng phép khai triển riêng phần, khai triển Ha(s) thành: H a ( s)   k 1

N

 

4. Biến đổi các điểm cực analog  pk  thành các điểm cực số e pk T

Rk
s  pk

để thu được bộ

lọc số:
H ( z )   k 1
N

Rk
1  e pkT z 1

Thi hành Matlab:
Hàm [b,a] = imp_invr(c,d,T)


b = các hệ số ở tử thức của H(Z)



a = các hệ số ở mãu thức của H(Z)



c = các hệ số ở tử thức của Ha(S)



d = các hệ số ở mãu thức của Ha(S)



T = chu kỳ lấy mẫu

Các thuận lợi và bất lợi của ánh xạ bất biến xung:
-

Đây là một thiết kế ổn định và các tần số Ω và ω có quan hệ tuyến tính.

-

Bất tiện: Gặp phải aliasing (sai số lấy mẫu) ở đáp ứng tần số analog, và đôi khi
aliasing này là ko chấp nhận đc.

-

Như vậy, phương pháp thiết kế này chỉ tiện sử dụng khi bộ lọc analog có băng
tần-hữu hạn biến đổi thành bộ lọc thông thấp hoặc thông dải khơng có dao động
trong dải chắn.

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 14


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

2. Biến đổi song tuyến tính:
Ánh xạ này là phương pháp biến đổi tốt nhất.

s

2 1  z 1
1  sT / 2
z
1
T 1 z
1  sT / 2

Ở đây T là một tham số. Một tên gọi khác của phép biển đổi này là Biến đơi phân tuyến
T
T
tính (linear fractional) vì ta có: sz  s  z  1  0 là tuyến tính với mỗi biến (s hoặc z) nếu
2
2
biến cịn lại được cố định, hoặc song tuyến tính với s và z.

Ánh xạ mặt phẳng phức trong phép biến đổi song tuyến tính

Các nhận xét:


σ < 0, ánh xạ vào |z| < 1 (bên trong đường tròn đơn vị)
σ = 0, ánh xạ vào |z| = 1 (trên đường tròn đơn vị )
σ > 0, ánh xạ vào |z| > 1 (bên ngồi đường trịn đơn vị)



Tồn bộ mặt phẳng-nửa trái ánh xạ vào bên trong vòng tròn đơn vị. Đây là phép
biến đổi ổn định.



Trục ảo ánh xạ lên đường tròn đơn vị là ánh xạ 1-1. Do đó khơng có aliasing trong
miền tần số.



Quan hệ của ω theo Ω là phi tuyến
2
 T 
 
  2 tan 1 
    tan  
T
 2 
2

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 15


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

Thủ tục thiết kế:
Với các chỉ tiêu đã cho của bộ lọc số wp, ws, Rp, As, chúng ta cần xác định H(z). Các
bước như sau:
1. Chọn một giá trị T tuỳ ý, và có thể đặt T = 1.
2. Chuyển đổi các tần số cắt ωp và ωs, nghĩa là tính tốn Ωp và Ωs sử dụng:
P 

2
2
 
 
tan  P  , S  tan  S 
T
T
 2 
 2 

3. Thiết kế một bộ lọc thông thấp Ha(s) phù hợp các chỉ tiêu này.

 2 1  z 1 
4. Cuối cùng lấy: H ( z )  H a 
. Và nhận được H(z) là một hàm hữu tỉ theo z-1
1 
 T 1 z 

Thi hành Matlab:
Hàm [b,a] = bilinear(c,d,Fs)


b = các hệ số ở tử thức của H(Z)



a = các hệ số ở mẫu thức của H(Z)



c = các hệ số ở tử thức của Ha(S)



d = các hệ số ở mẫu thức của Ha(S)



Fs = tần số lấy mẫu

Các thuận lợi của biến đổi song tuyến tính:
-

Là một thiết kế ổn định.

-

Khơng bị aliasing (sai số lấy mẫu).

-

Không ràng buộc về kiểu bộ lọc có thể biến đổi được.

 So sánh 3 bộ lọc:
Chúng ta thiết kết bộ lọc số sử dụng 3 bộ lọc analog điển hình khác nhau (Butterworth,
Chebyshev, Ellipic). Bây giờ chúng ta sẽ so sánh hiệu quả của chúng. Thông số kỹ thuật là:
wp = 0.2π, Rp = 1 dB, ws = 0.3π, As = 15 dB
Prototype

Order N

Stopband Att.

Butterworth

6

15

Chebyshev-I

4

25

Elliptic

3

27

Rõ ràng, bộ lọc Ellipic cho kết quả thiết kế tốt nhất, bậc N nhỏ nhất và min(As) là lớn
nhất. Tuy nhiên nếu chúng ta so sánh đáp ứng pha thì thiết kế theo Ellipic có đáp ứng pha là
phi tuyến nhất trong dải thơng.
Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 16


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

III. Biến đổi băng tần:
Mục đích của phương pháp này là để thiết kế các bộ lọc chọn tần khác nhau:
-

Các bộ lọc thông cao

-

Các bộ lọc thông dải

-

Các bộ lọc chắn dải

Bằng cách sử dụng các kết quả của lọc thông thấp và phép biến đổi băng tần.

Phép biến đổi băng tần:
Gọi HLP(Z) là bộ lọc số prototype lowpass đã cho, và gọi H(z) là bộ lọc số chọn tần
được mong muốn . Xác định một ánh xạ theo công thức:

Z 1  G( z 1 )
such that H ( z )  H LP (Z ) |Z 1 G ( z 1 )
Giả sử HLP(Z) là một bộ lọc ổn định và nhân quả, ta muốn rằng H(z) cũng ổn định và
nhân quả. Điều này dẫn đến các yêu cầu sau:
1. G(.) phải là một hàm hữu tỉ theo z-1 sao cho H(z) là thi hành được.
2. Đường tròn đơn vị của mặt phẳng-Z phải ánh xạ lên đường tròn đơn vị của mặt
phẳng-z.
3. Để cho các bộ lọc ổn định, bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng-Z cũng phải
ánh xạ lên bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng-z.

Các thông số kỹ thuật của các bộ lọc chọn tần
Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 17


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

Đặt ω’ và ω là biến tần số của Z và z, Z  e j' và z  e j trên đường tròn đơn vị tương
ứng của chúng. Đáp ứng 2 yêu cầu đầu tiên, tức là:
Z 1  G( z 1 )  G(e j )  1

e j'  G(e j ) eG (e

Và

 j

)

 '  G(e j )

Hay

Công thức tổng quát của hàm G(.) để thoả mãn các u cầu trên là một hàm hữu tỉ của
kiểu tồn-thơng (all-pass type) được cho bởi:

z 1   k
, |  k | 1 (để đáp ứng yêu cầu 3)
1
k 1 1   k z
n

Z 1  G( z 1 )  

Bằng cách chọn một xấp xỉ bậc n và các hệ số  k  , chúng ta có thể thu được các ánh
xạ khác nhau. Cơng thức được sử dụng rộng rãi nhất cho các phép biến đổi này được cho
trong bảng sau:
Biến đổi tần số cho các bộ lọc (bộ lọc thông thấp nguyên mẫu có tần số cắt là ωc’)

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 18


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

Đúc kết lại các bƣớc thiết kế bộ lọc số chọn tần:
1. Các chỉ tiêu bộ lọc số-chọn tần (LP, HP, BP, BS).
2. Chỉ tiêu bộ lọc số thơng thấp tính từ các chỉ tiêu ở trên.
3. Chỉ tiêu bộ lọc Analog prototype.

4. Tính tốn và thiết kế bộ lọc thơng thấp Analog prototype (4 kiểu).
5. Dùng các phép biến đổi chuyển thành bộ lọc thông thấp số.
6. Biến đổi băng tần bộ lọc số LP thành bộ lọc số-chọn tần mong muốn.

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 19


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

PHẦN III:

CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ
Thiết kế dựa vào bộ lọc Butterworth và phép biến đổi song tuyến tính.
Có hai hướng để thiết kế:
-

Hướng thứ nhất: sử dụng trực tiếp các thông số kỹ thuật yêu cầu để thiết kế bộ
lọc số thông thấp Analog Butterworth, sau đó biến đổi song tuyến tính để thu
được bộ lọc số thông thấp.

-

Hướng thứ 2: Sử dụng một bộ lọc số thông thấp đã thiết kế trước (dùng bộ lọc
Butterworth và biến đổi song tuyến tính), sau đó thực hiện phép chuyển đổi băng
tần để thu được bộ lọc thơng thấp số có thơng số kỹ thuật theo yêu cầu.

Dưới đây sẽ thiết kế theo hướng thứ nhất, còn hướng thứ hai thực hiện tương tự, sau đó
sử dụng cơng thức trong phần Phép biến đổi băng tần (cuối Phần II) để chuyển đổi Lowpass
sang Lowpass.

I. Tính tốn thiết kế:
Cho bộ lọc thơng thấp có thơng số như sau:
p  0.3, s  0.4, As  50dB, Rp  0.5dB

-

Chọn chu kỳ lấy mẫu T = 1

-

Chuyển đổi  p , s (tính tốn  p , s )

2
2
0.3
tan p  tan
 1.019 (rad / s)
T
2 1
2

2

2
0.4
 s  tan s  tan
 1.453 (rad / s)
T
2 1
2
p 

-

Thiết kế bộ lọc Ha(s) thỏa mãn chỉ tiêu này:
Tính bậc bộ lọc và tần số cắt:



    log 10

 log10 10RP 10  1 10 AS 10  1

N 

2 log10   P  S 


P

C 
2N

Hoặc:

10

RP 10

S

C 
2N

10

AS 10

 1



1

10







 1 1050 10  1 

  20
2 log10 1.019 1.453


0.5 10

1.019


2*20

100.5 10  1
1.453


2*20

10

50 10

 1

 1.074 (rad / s)

 1.0896 (rad / s)

Ta có thể chọn C ở giữa 2 giá trị trên, chọn C  1.08 (rad / s)
Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 20


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

Suy ra đáp ứng bình phương biên độ:

H a ( j ) 

1

2


1 

 c 

2N



1
  

1 

 1.08 

220

 H a ( s ) H a (  s )  H a ( j )
1


1

1
( s / j ) 40
1.0840





1
1
1
40
40
1.08

2
 s / j

1
1
1
s 40
1.0840

S10

S20

S1
S40

S30

 H a ( j)  H a ( s) 

1.0820
( s  s11 )( s  s12 )...( s  s29 )(s  s30 )

Trong đó s11 , s12 ...s29 , s30 là nghiệm của mẫu thức H a (s) H a (s) nửa mặt phẳng bên trái.
Xác định H(z):

 2 1  z 1 
 1  z 1 
H ( z)  H a 

H

a 2

1 
 T 1  z 1 
 1 z 

T 1 

Như vậy ta đã nhận được H(z) là một hàm hữu tỉ theo z-1.
Phần tiếp theo sẽ giới thiệu về thuật tốn và chương trình thực hiện.

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 21


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

II. Thuật tốn giải quyết bài toán

Begin

MỞ RỘNG

Nhập các chỉ tiêu
ωp, ωs, As, Rp

Đưa tín hiệu vào x với
F
f max  S
2

Fs = 1000; T = 1/Fs

2
 P  tan p
T
2

2
 S  tan s
T
2

Filter
(vừa thiết kế)

Tín hiệu đầu ra y
Tính Ha(s)
[cs, ds]  afd _ butt (P , S , RP , AS )
Phân tích phổ tín hiệu x
và y dùng biến đổi FFT
Biến đổi song tuyến tính thu đƣợc H(z)
- Dạng trực tiếp: [b, a]  bilinear (cs, ds, FS )
- Dạng ghép tầng: [C, B, A]  dir 2cas(b, a)

Tính đáp ứng biên độ
[db, mag , pha, grd , w]  freqz _ m(b, a)

-

Vẽ đồ thị:
- Tín hiệu vào theo thời gian
- Tín hiệu ra theo thời gian
- Phổ tín hiệu vào
- Phổ tín hiệu ra

Tính giá trị As
và Rp thực tế

- Vẽ mặt phẳng nghiệm
phức s-plane và z-plane.
- Vẽ đáp ứng biên độ,
pha của bộ lọc thiết kế.
- Vẽ ha(t) và h(n)

END

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 22


Báo cáo tiểu luận

------

Xử lý tín hiệu số

III. Chƣơng trình Matlab:
1. Các hàm sử dụng trong chƣơng trình:
Hàm [cs,ds] = afd_butt(OmegaP,OmegaS,Rp,As)
Để thiết kế bộ lọc thông thấp analog Butterworth, cho bởi các chỉ tiêu của nó.
function [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As);
% Analog Lowpass Filter Design: Butterworth
% ----------------------------------------% [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As);
% b = Numerator coefficients of Ha(s)
% a = Denominator coefficients of Ha(s)
% Wp = Passband edge frequency in rad/sec; Wp > 0
% Ws = Stopband edge frequency in rad/sec; Ws > Wp > 0
% Rp = Passband ripple in +dB; (Rp > 0)
% As = Stopband attenuation in +dB; (As > 0)
%
if Wp <= 0
error('Passband edge must be larger than 0')
end
if Ws <= Wp
error('Stopband edge must be larger than Passband edge')
end
if (Rp <= 0) | (As < 0)
error('PB ripple and/or SB attenuation ust be larger than 0')
end
N = ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(Wp/Ws)));
fprintf('\n*** Butterworth Filter Order = %2.0f \n',N)

OmegaC = Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)));
[b,a]=u_buttap(N,OmegaC);

Hàm [b,a] = u_buttap(N,Omegac) (sử dụng bên trong hàm afd_butt)
Để thiết kế một bộ lọc Analog Butterworth chưa chuẩn hoá với ΩC tùy ý, bậc N.
function [b,a] = u_buttap(N,Omegac);
% Unnormalized Butterworth Analog Lowpass Filter Prototype
% -------------------------------------------------------%
[b,a] = u_buttap(N,Omegac);
%
b = numerator polynomial coefficients of Ha(s)
%
a = denominator polynomial coefficients of Ha(s)
%
N = Order of the Butterworth Filter
%
Omegac = Cutoff frequency in radians/sec
%
[z,p,k] = buttap(N);
p = p*Omegac;
k = k*Omegac^N;
B = real(poly(z));
b0 = k;
b = k*B;
a = real(poly(p));

Mai Vũ Quốc Bình

Lớp 09CLC2

Trang 23