1 NoiDungSKKN 2021 1

I. MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG TẠO ĐỘNG LỰC VÀ GÂY HỨNG
THÚ CHO HỌC SINH (BAO GỒM BÀI TOÁN THỰC TẾ VÀ CÁC HOẠT
ĐỘNG KHÁC DẪN DẮT VÀO BÀI).
* CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
1. Bài Cấp số cộng (Ta có thể lựa chọn các hoạt động sau)
Hoạt động 1: An và Bình cùng nhau chơi trị xếp que diêm thành hình tháp trên
mặt sân như hình vẽ bên dưới. Hỏi tầng 100 (tầng đáy) có bao nhiêu que diêm?

Những câu hỏi chất vấn học sinh để giải:
- Hãy tìm quy luật cho các số hạng của dãy số có bốn số hạng đầu là 3, 7, 11, 15.
- Hãy viết 5 số hạng tiếp theo của dãy số.
Câu trả lời mong đợi:
- Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng
với 4.
- Năm số hạng tiếp theo là: 19, 23, 27, 31, 35.
Đến đây giáo viên khẳng định cho học sinh dãy số ( un ) : 3, 7, 11, 15... là một cấp số
cộng với số hạng đầu là u1 = 3 và cơng sai d = 4.
Ngồi ra chúng ta cịn có thể dùng hoạt động khởi động trên để dẫn dắt vào phần
số hạng tổng quát của cấp số cộng và tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Hoạt động 2: Khi kí hợp đồng dài hạn (10 năm) với các kĩ sư được tuyển dụng,
công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn. Cụ
thể:
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Phương án 1: Người lao động sẽ nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên và
kể từ năm thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 3 triệu đồng mỗi năm.
Phương án 2: Người lao động sẽ nhận được 7 triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên
và kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽ tăng thêm 500.000đ mỗi quý (1 quý =
3 tháng).
Nếu em là người lao động em sẽ chọn phương án nào?

● Mới nhìn vào hai phương án chắc chắn chúng ta sẽ thấy ấn tượng hơn với con
số ở phương án 1. Tuy nhiên, người lao động khi suy xét cần căn cứ vào số tiền họ
nhận được trong suốt quá trình hợp đồng lao động chứ khơng phải là những con
số khởi điểm. Tức là họ phải quan tâm xem số tiền họ nhận được sau 10 năm là
bao nhiêu. Điều này rất quan trọng vì đi làm mục đích là kiếm tiền, vậy nếu khơng
biết tính tốn thì khơng thể lựa chọn phương án tốt nhất
Phân tích:
Với phương án 1: Số tiền nhận được sau một năm là cấp số cộng với số hạng đầu
u1 = 36 triệu và công sai d = 3 triệu
Tổng số tiền người lao động nhận được sau 10 năm là
S10 = 10.36 +

10.9
.3 = 495 triệu
2

Với phương án 2: Số tiền nhận được theo quý là cấp số cộng với số hạng đầu là
u1 = 7 triệu và công sai là d = 0,5 triệu
Tổng số tiền người lao động nhận được sau 10 năm là:
S10 = 40.7 +

40.39
.0,5 = 670 triệu
2

Vì vậy nếu người lao động chọn phương án 2 thì sẽ được nhận mức lương cao hơn
trong cả kì hạn hợp đồng lao động.
2. Bài Cấp số nhân (Ta có thể lựa chọn các hoạt động sau)
Hoạt động 1: Qua điều tra chăn nuôi ở huyện A cho thấy trong nhiều năm qua tỉ lệ
tăng hàng năm của đàn bò là 2%. Nếu hiện nay số lượng đàn bò của huyện là

12000 con thì 3 năm sau số lượng này là bao nhiêu?
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Giải
- Sau 1 năm số lượng đàn bò là: 12000 + 12000 × 0.02 = 12240 (con).
- Sau năm thứ 2 số lượng đàn bị là: 12240 + 12240 × 0.02 ≈ 12484 (con).
- Sau năm thứ 3 số lượng đàn bị là: 12484 + 12484 × 1.02 ≈ 12734 (con).
Lời bình: Hoạt động này học sinh hồn tồn giải được. Tuy nhiên, nếu khơng tìm
được quy luật thì sẽ gây nhiều khó khăn khi tính với số năm lớn hơn như: 10 năm,
20 năm hoặc lâu hơn nữa.Thay vào đó ta thiết lập cơng thức để tính cho tất cả các
năm như sau:
- Gọi u1 là số lượng ban đầu của đàn bò và k là tỉ lệ tăng hàng năm.
- Sau 1 năm số lượng của đàn bò là: u2 = u1 + u1k = u1 ( 1 + k ) (con).
- Sau 2 năm số lượng của đàn bò là: u3 = u1 ( 1 + k ) + u1 ( 1 + k ) k = u1 ( 1 + k ) (con).
2

…
n −1
- Sau n năm số lượng của đàn bò là: un = u1 ( 1 + k )
(con).

Đến đây thì ta hồn tồn dẫn dắt vào bài học và học sinh dễ dàng hiểu được định
nghĩa cấp số nhân và số hạng tổng quát của nó.
Hoạt động 2: Một du khách vào trường đua ngựa đặt cược. Lần đầu người đó đặt
20000 đồng, cứ mỗi lần đặt sau số tiền gấp đôi lần trước. Người đó thua 9 lần liên
tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu tiền.
Phân tích:
Số tiền du khách đặt cược ở mỗi lần lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu
u1 = 20000 đồng và công bội q = 2.

Tổng số tiền người đó thua 9 lần liên tiếp là
1 − qn
1 − 29
S9 = u1
= 20000
= 10220000 đồng
1− q
1− 2
Số tiền người đó thắng ở lần thứ 10 là
u10 = u1.q 9 = 20000.29 = 10240000 đồng
Vậy du khách thắng được số tiền là u10 − S9 = 20000 đồng
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Đánh giá : Khi dạy tốn thay vì đưa ra những bài tốn nghiêng về lý thuyết có
phần khơ khan thì những bài tốn thực tế như thế này cho học sinh thấy u thích
mơn tốn hơn vì hiểu được rằng tốn học ln theo sát ta trong cuộc sống. Cần sử
dụng tốn học như một cơng cụ hiệu quả để làm chủ cuộc sống của mình.
3. Bài phương pháp quy nạp toán học
Hoạt động: Một bạn học sinh nghèo ln mong ước có một quyển sách. Một hơm
bạn nằm mơ thấy một ông Tiên hiện ra và cho bạn hai điều ước. Bạn ước như sau:
+ Điều ước thứ nhất: Con có được một quyển sách.
+ Điều ước thứ hai: Nếu con có được k quyển sách thì con có được k + 1 quyển
sách.
Hỏi nếu cả hai điều ước được thực hiện thì bạn học sinh đó có được bao nhiêu
quyển sách?
Câu trả lời mong đợi: Bạn học sinh đó có vơ số quyển sách.
Nhận xét: Qua hoạt động này thì học sinh có thể hiểu bản chất của phương pháp
quy nạp toán học. Tuy nhiên để làm rõ hơn vấn đề này thì ta xét thêm một hoạt
động như sau:

Hoạt động dẫn dắt vào bài: Một cách ngẫu nhiên ta nhận thấy rằng:
1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
…
Như vậy, liệu rằng đủ cơ sở để kết luận 1 + 3 + ... + ( 2n − 1) = n 2 , ∀n ∈ ¥ * hay
chưa?
Ta có thể trả lời câu hỏi trên như sau:
Như trên ta thấy đẳng thức trên đúng với n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, ta tiếp tục chứng
minh nó đúng với n = 5.
Thật vậy, ta có: 1 + 3 + 5 + 7 = 42
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


⇒ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 42 + 9 = 42 + 2.4 + 1 = ( 4 + 1) = 52
2

Tương tự ta dễ dàng chứng minh đẳng thức đúng với n = 6. Tuy nhiên ta không thể
chứng minh hết với mọi n ∈ ¥ * được. Vì vậy ta tổng qt bài tốn như sau:
Tổng qt: Ta có đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử đẳng thức trên đúng với n = k ,
tức là ta có 1 + 3 + ... + ( 2k − 1) = k 2 . Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với
n = k + 1. Tức cần chứng minh 1 + 3 + ... + ( 2k − 1) + ( 2k + 1) 2 = ( k + 1) 2 .
Thật vậy:
Ta có 1 + 3 + ... + ( 2k − 1) + ( 2k + 1) = k 2 + ( 2k + 1) = ( k + 1) (ĐPCM)
2

Đến đây ta hoàn toàn dẫn dắt học sinh đến phương pháp quy nạp toán học.
4. Bài hàm số liên tục
Như chúng ta đã biết, sách giáo khoa đại số và giải tích 11 (Ban cơ bản) có hoạt

động như sau để dẫn đến định lí 3:
Hoạt động 3: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] với f ( a ) và f ( b )
trái dấu nhau. Hỏi đồ thị hàm số có cắt trục hồnh tại các điểm thuộc khoảng ( a; b )
không?
* Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị hàm số y = f ( x )
phải cắt trục hoành tại một điểm duy nhất nằm
trong khoảng ( a; b ) ”.
* Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị hàm số y = f ( x )
phải cắt trục hồnh ít nhất tại một điểm nằm trong
khoảng ( a; b ) ”.
* Bạn Tuấn thì cho rằng: “Đồ thị hàm số y = f ( x ) có thể khơng cắt trục hồnh
trong khoảng ( a; b ) , chẳng hạn như đường parabol ở hình bên”.
Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao?
* Nhận xét: Sách giáo khoa viết ra để dùng chung cho nhiều đối tượng học sinh.
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Nhưng mỗi vùng miền khác nhau thì mức độ nhận thức khác nhau. Đối với học
sinh trường THPT Nguyễn Văn Linh thì mức độ nhận thức của nhiều học sinh cịn
khá hạn chế. Vì vậy chúng tơi thay đổi hoạt động này bằng những hình ảnh minh
họa cụ thể hơn như sau:
Hãy quan sát các hình vẽ bên dưới

Vấn đáp học sinh để dẫn đến định lí 3:
Biết rằng đồ thị của hàm số trong 4 hình vẽ trên liên tục trên đoạn [ a; b ] .
Câu hỏi 1: Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 trong khoảng ( a; b ) ở từng
trường hợp trên bằng bao nhiêu?
Câu trả lời mong đợi:
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương

- Hình 1: Phương trình f ( x ) = 0 có 3 nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) .
- Hình 2: Phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) .
- Hình 3: Phương trình f ( x ) = 0 vô nghiệm trong khoảng ( a; b ) .
- Hình 4: Phương trình f ( x ) = 0 có 2 nghiệm thuộc khoảng ( a; b ) .
Câu hỏi 2: Nhận xét về dấu của tích f ( a ) . f ( b ) trong từng trường hơp trên?
Câu trả lời mong đợi:
- Hình 1: f ( a ) . f ( b ) < 0.
- Hình 2: f ( a ) . f ( b ) < 0.
- Hình 3: f ( a ) . f ( b ) > 0.
- Hình 4: f ( a ) . f ( b ) > 0.
Câu hỏi 3: Để phương trình f ( x ) = 0 ln có nghiệm thì f ( a ) . f ( b ) thỏa điều
kiện gì?
Câu trả lời mong đợi: f ( a ) . f ( b ) < 0.
Câu hỏi 4: Tại sao hàm số y = f ( x ) trong các hình vẽ trên phải có điều kiện liên
tục trên đoạn [ a; b ] .
Câu trả lời mong đợi: Nếu nó khơng
liên tục trên đoạn [ a; b ] thì có thể nó bị
gián đoạn tại các điểm là nghiệm của
phương trình f ( x ) = 0.
(Ta có thể minh họa cho học sinh bằng
hình vẽ bên).
Đến đây ta phát biểu định lí 3 dưới hai dạng như trong sách giáo khoa.
5. Bài hai đường thăng chéo nhau, hai đường thẳng song song
Trong bài học này, nội dung rất quan trọng đó là định lí 2 (về giao tuyến của ba
mặt phẳng). Định lí này được phát biểu như sau:
Định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương

phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song
nhau.
Tiếp theo sách giáo khoa nêu hệ quả của định lí này như sau:
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng
song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai
đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Hệ quả này thường xuyên được áp dụng vào để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
cũng như tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Việc ghi nhớ hệ quả này
để vận dụng vào bài tập là khơng khó. Tuy nhiên, nhằm giúp học sinh thêm u
thích bộ mơn tốn, cũng như hiểu rằng: trước một bài tốn ta có thể tìm tịi cách
giải sáng tạo mà không nhất thiết phải chờ thầy cô trang bị cho kiến thức mới. Vì
vậy trước khi học định lí này chúng tơi có đặt ra bài tốn như sau:
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB / / CD ) . Hãy tìm giao
tuyến của hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SCD ) .
Nhận xét: Đây là bài toán mà khơng nhiều học sinh có thể giải quyết được (khi
chưa học hệ quả trên).
Hướng dẫn:
- Gọi O là giao điểm của AC và
BD.
- Lấy M là điểm bất kì trên đoạn
thẳng SC ( M khác S và C ).
- Hai đường thẳng AM và SO cắt
nhai tại I .
- Đường thẳng DI cắt SB tại N .
- Gọi K là giao điểm của AN và
DM .
- Ta có giao tuyến của hai mặt
phẳng ( SAB ) và ( SCD ) là đường
thẳng SK .
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương

Bình luận: Bằng trình chiếu ta có thể tạo ra hình ảnh minh họa sinh động cho tiết
học. Vì khi thay đổi vị trí của điểm M trên SC thì đường thẳng SK ln cố định.
Ngồi ra ta cịn có thể dùng hình vẽ của bài tốn này để trình chiếu hình ảnh minh
họa cho định lí 2 như sau:
+ Khi M khác S và C thì ba mặt phẳng ( SAB ) , ( SCD ) và ( ADM ) cắt nhau theo
ba giao tuyến đồng quy tại điểm K (như hình vẽ trên).
+ Khi M trùng với C thì ba mặt phẳng ( SAB ) , ( SCD ) và ( ADM ) cắt nhau theo
ba giao tuyến song song nhau.
6. Bài quy tắc đếm – hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp
Trong chương trình mơn Tốn Trung học phổ thông, đại số tổ hợp là một nội
dung quan trọng trong chương trình lớp 11. Tuy nhiên, đây là một nội dung tương
đối “khó” đối với học sinh. Đặc biệt việc vận dụng quy tắc đếm để giải quyết bài
tốn thì khơng ít học sinh lúng túng. Học sinh thường phân vân và nhầm lẫn trong
việc sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, cơng thức tính số các tổ hợp, số các chỉnh
hợp…Để dạy phần này đạt hiệu quả tốt, chúng tơi tìm cách tiếp cận nội dung cũng
như tìm ra phương pháp phù hợp để học sinh có thể hiểu rõ được bản chất của vấn
đề và khắc phục được những sai sót khơng đáng có.
Nhằm giúp cho học sinh lớp 11 trường THPT Nguyễn Văn Linh nắm được
bản chất của quy tắc đếm, cũng như việc sử dụng số các tổ hợp, số các chỉnh
hợp...Chúng tơi nêu ra các bài tốn cơ bản sau để học sinh thực hiện trong tiết
luyện tập.
Bài toán 1: Để di chuyển từ thủ đô Hà Nội đến thành phố Hồ Chí Minh thì mỗi
ngày có 400 chuyến ơ tô, 15 chuyến tàu hỏa và 10 chuyến máy bay. Hỏi có bao
nhiêu cách để di chuyển từ Hà Nội đến thành phố Hồ Chí Minh?
Lời giải:
- Nếu di chuyển bằng ơ tơ thì có 400 cách lựa chọn.
- Nếu di chuyển bằng tàu hỏa thì có 15 cách lựa chọn.
- Nếu di chuyển bằng máy bay thì có 10 cách lựa chọn.

Vậy số cách để di chuyển từ Hà Nội đến thành phố Hồ Chí Minh là:
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


400 + 15 + 10 = 425 (cách).
Bài toán 2: Có 10 cuốn sách tốn, 12 cuốn sách vật lý và 15 cuốn sách hóa học.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách?
Lời giải:
- Chọn 1 cuốn sách toán trong 10 sách tốn, ta có số cách chọn là 10.
- Chọn 1 cuốn sách vật lý trong 12 sách vật lý, ta có số cách chọn là 12.
- Chọn 1 cuốn sách hóa học trong 15 sách hóa học, ta có số cách chọn là 15.
Vậy số cách chọn một cuốn sách là: 10 + 12 + 15 = 37 (cách).
Bài tốn 3: Lớp 11 A có 18 học sinh nữ và 20 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn một đôi nam nữ để tham gia diễn văn nghệ.
Lời giải:
Chọn 1 học sinh nữ trong 18 học sinh nữ, ta có số cách chọn là 18. Mỗi cách chọn
1 học sinh nữ có 20 cách chọn học sinh nam. Vậy số cách chọn một đôi nam nữ là:
18.20 = 360 (cách).
Phân tích: Theo u cầu bài tốn ta phải thực hiện hai cơng đoạn (đó là chọn 1
bạn nam và 1 bạn nữ). Do đó ta phải thực hiện theo quy tắc nhân.
Bài toán 4: Một hộp chứa 5 cây bút xanh, 4 cây bút đỏ, và 3 cây bút đen. Hỏi có
mấy cách để chọn ba cây bút khác màu nhau?
Lời giải:
- Chọn bút xanh có 5 cách.
- Chọn bút đỏ có 4 cách.
- Chọn bút đen có 3 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách để chọn được ba cây bút khác màu nhau là: 5.4.3 = 60
(cách).
Bài tốn 5: Trong giờ học mơn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm
10 người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

Lời giải:
Mỗi cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử. Vậy
số cách xếp là P10 = 3628800 (cách).
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Bài toán 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
bốn chữ số đơi một khác nhau.
Lời giải:
Mỗi số có bốn chữ số đơi một khác nhau được lập từ bốn số là một hoán vị của 4
phần tử. Do đó số các số thỏa mãn yêu cầu bài tốn là P4 = 24 (số).
Bài tốn 7: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau được lập từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Lời giải:
Mỗi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy từ sáu chữ số đã
cho và xếp chúng theo một trình tự nhất định được coi là một chỉnh hợp chập 4 của
6. Vậy số các số đó là A64 = 6.5.4 = 120.
Bài tốn 8: Trên đường trịn cho 10 điểm phân biệt. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu
tam giác có đỉnh từ các điểm trên.
Lời giải:
Vì các điểm này thuộc đường trịn nên khơng thể có 3 điểm nào thẳng hàng. Vậy
mỗi bộ 3 điểm luôn tạo ra một tam giác, các đỉnh của tam giác khơng cần tính theo
3
thứ tự. Do đó số tam giác cần tìm là C10
.

Bài tốn 9: Có 20 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận
đấu để hai đội bất kỳ chỉ gặp nhau đúng một lần?
Lời giải:
Cứ hai đội bóng bất kỳ thì tạo nên một trận đấu. Vậy số trận cần phải tổ chức là

2
C20
(trận).

Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được các hoán vị của n phần tử, các
chỉnh hợp chập k của n phần tử hay các tổ hợp chập k của n phần tử.
* Hoán vị:
+ Tất cả n phần tử đều phải có mặt.
+ Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
+ Có thứ tự giữa các phần tử.
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


* Chỉnh hợp:
+ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
+ k phần tử đã chọn được sắp xếp thứ tự.
* Tổ hợp:
+ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
+ Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.
* CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12
1. Bài hàm số mũ, hàm số lôgarit (Ta có thể lựa chọn các hoạt động sau)
Như chúng ta biết nhằm giảm bớt áp lực cho học sinh trong việc phải ghi nhớ quá
nhiều tính chất và quy tắc tính lơgarit. Vì vậy sách giáo khoa giải tích 12 hiện hành
ở chương trình chuẩn chỉ nêu định nghĩa lơgarit và một số tính chất chủ yếu để vận
dụng tính giá trị các biểu thức đơn giản. Và quan trọng hơn là để ứng dụng giải
phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit. Ngồi ra sách giáo khoa khơng đưa
thêm ứng dụng nào khác.
Tuy nhiên, với vai trò của người giáo viên, đôi lúc chúng ta cần tạo động lực cho
học sinh thông qua các hoạt động gây ra sự kích thích, hứng thú cho học sinh. Vì
vậy đối với nội dung này, chúng tôi chọn hoạt động như sau:

Hoạt động khởi động 1: Số 52021 có bao nhiêu chữ số?
Phân tích: Đây là hoạt động chỉ nhằm kích thích sự ham muốn chiếm lĩnh kiến
thức của học sinh. Hoạt động này chỉ thực hiện được sau khi học xong bài học. Rõ
ràng chúng ta có nhiều cách khác nhau để trả lời câu hỏi trên. Tuy nhiên việc ứng
dụng lơgarit để giải quyết thì khá hiệu quả.
Trước hết, chúng ta xét bài toán: Hãy đếm số chữ số của số ngun dương x.
Giải
Ta ln tìm được số tự nhiên n để 10n ≤ x < 10n +1 ( *)
Lấy lôgarit thập phân cho các vế của ( *) ta được: n ≤ log x < n + 1. Điều này chứng
tỏ n = [ log x ] .
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Vậy số chữ số của x là [ log x ] + 1.
2021 
Do đó số chữ số của 52021 là log5
 + 1 = 1413 (chữ số).

Hoạt động khởi động 2: Doạnh nghiệp B muốn thu được 280 triệu đồng bằng
cách đầu tư ở hiện tại 170 triệu đồng, với lãi suất sinh lợi là 13% một năm theo thể
thức lãi kép. Hãy xác định thời gian đầu tư?
Phân tích:
Ta có Pn = 280.000.000 đồng, P0 = 170.000.000 đồng, r = 13% một năm
n
Sau n năm đầu tư, doanh nghiệp B thu được tổng số tiền là Pn = P0 ( 1 + r )

Suy ra 1 + r n
(
)

Pn
P
P
P0
= n ⇔ n log ( 1 + r ) = log n ⇔ n =
P0
P0
log ( 1 + r )
log

28.000.000
170.000.000 ≈ 4,08 năm = 4 năm 1 tháng
⇔n=
log ( 1 + 13% )
log

Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 4 năm 1 tháng để đạt được giá trị
mong muốn.
Hoạt động khởi động 3: Cường độ một trận động đất M ( Richte ) được cho bởi
công thức M = log A − log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là biên độ
chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8
độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn
gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu?
Phân tích:
Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte, khi đó áp dụng
cơng thức M 1 = log A − log A0 ⇒ 8 = log A − log A0
Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là 4 A, khi đó cường độ của trận động
đất ở Nam Mỹ là
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương

M 2 = log ( 4 A ) − log A0 ⇔ M 2 = log 4 + log A − log A0 = log 4 + 8 ≈ 8,6 độ Richte.
2. Bài nguyên hàm (Ta có thể chọn các hoạt động sau).
Nguyên hàm là một nội dung tương đối trừu tượng đối với học sinh. Học nội
dung này thì học sinh chỉ có thể nắm kiến thức và vận dụng vào bài tập, chứ chưa
thấy được ý nghĩa của ngun hàm cũng như vận dụng của nó. Vì vậy để làm cho
tiết học sôi động, thú vị hơn chúng tôi đưa ra hoạt động khởi động như sau:
Hoạt động khởi động 1: Hãy tìm hàm số bậc ba, biết rằng đồ thị của nó có các
điểm cực trị là A ( −1; 3) và B ( 1; − 1) .
Nhận xét: Với hoạt động này thì thường học sinh sẽ giải bài toán theo hướng
"thuận" như sau:
Đặt y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d .
Ta có f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c.
Vì đồ thị hàm số có các điểm cực trị là A ( −1; 3) và B ( 1; − 1) nên ta có hệ phương

 f ( −1) = 3
−a + b − c + d = 3 a = 1



 f ( 1) = −1
 a + c + b + d = −1 b = 0
⇔
⇔
.
trình: 
3
a
−
2

b
+
c
=
0
c
=
−
3
′
f
−
1
=
0
(
)



 f ′ ( 1) = 0
3a + 2b + c = 0
d = 1

Vậy hàm số cần tìm là y = x3 − 3 x + 1.
Tuy nhiên, nhằm giúp học sinh tiếp cận nguyên hàm thì ta hướng học sinh giải theo
cách sau:
- Nhận xét: Hàm số đạt cực trị tại x = ±1 nên đạo hàm có dạng như sau:

(

)

y′ = a ( x − 1) ( x + 1) = a x 2 − 1 = ax 2 − a.
Câu hỏi 1: Hàm số nào có đạo hàm như trên?
Câu trả lời mong đợi: y =

a 3
x − ax + b.
3

Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Câu hỏi 2: Đồ thị hàm số đi qua các điểm A ( −1; 3) và B ( 1; − 1) cho phép ta tính
a, b như thế nào?
Câu trả lời mong đợi: Đồ thị hàm số đi qua các điểm A ( −1; 3) và B ( 1; − 1) nên

2
 3 a + b = 3
a = 3
⇔
.
ta có hệ phương trình 
2
b
=
1

 − a + b = −1

 3
Vậy hàm số cần tìm là: y = x3 − 3 x + 1.
Đến đây thì học sinh đã thực hiện được một phép tính nguyên hàm và cũng hiểu
được một hàm số có nhiều nguyên hàm và đặc biệt là cũng thấy được một ứng
dụng nhỏ của nguyên hàm.
Hoạt động khởi động 2: Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình
hộp chữ nhật có độ sâu là h1 = 280cm. Giả sử h ( t ) là chiều cao (tính bằng cm) của
mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực
nước tại giây thứ t là h′ ( t ) =

1 3
t + 3 và lúc đầu hồ bơi khơng có nước. Hỏi
500

sau bao lâu thì nước bơm được

3
độ sâu của hồ bơi.
4

Phân tích: Ta biết rằng chiều cao h ( t ) của mực nước bơm được chính là nguyên
hàm của tốc độ tăng h′ ( t ) của chiều cao mực nước.
Từ h′ ( t ) =

4
1 3
3
t + 3 suy ra h ( t ) =
t
+

3
( )3 +C
500
2000

Lúc ban đầu (tại t = 0 ) hồ bơi khơng có nước, nghĩa là
h( t ) = 0 ⇔

7
33

4
3

3
.
( 0 + 3) + C = 0 ⇒ C = −
2000
2000

Suy ra h ( t ) =

4
3

7
33

3
.

( t + 3) −
2000
2000

Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Theo giả thiết lượng nước bơm được bằng

4
3

3
độ sâu của hồ bơi nên ta có
4

7
33

3
3
3
h ( t ) = h1 ⇔
= .280 ⇒ t ≈ 7235s.
( t + 3) −
4
2000
2000 4
Vậy sau khoảng thời gian 2 giờ 35 giây thì nước bơm được

3
độ sâu của hồ bơi.
4

3. Bài Khái niệm về mặt tròn xoay
Hoạt động khởi động: Một bạn học sinh
cắt miếng giấy hình trịn tâm I bán kính R
theo các bán kính IA và IB (như hình vẽ).
Sau đó bạn ấy lấy phần còn lại (cung lớn
»AB ) gấp thành một cái nón chú hề. Hỏi diện
tích xung quanh của cái nón này bằng bao
nhiêu?
Nhận xét: Đây là hoạt động khởi động và khá dễ dàng để trả lời. Tuy nhiên, sau
khi học xong cơng thức diện tích xung quanh của hình nón thì ta quay lại giải
quyết vấn đề thơng qua cơng thức tính diện tích xung quanh của hình nón.
Lời giải (trước khi học cơng thức diện tích xung quanh của hình nón).
Diện tích xung quanh của cái nón chính là diện tích của phần cịn lại và nó bằng

5
6

5 2
lần diện tích của hình trịn. Vậy diện tích xung quanh của cái nón là S xq = π R .
6
Lời giải (khi đã được cung cấp diện tích xung quanh của hình nón).

Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Gọi x là chiều dài của cung tròn được xếp thành hình

nón, ta có x =

5π R
.
3

Như vậy, bán kính R sẽ là đường sinh của hình nón và
vịng trịn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x
Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức

2π r = x ⇔ 2π r =

5π R
5R
⇔r=
.
3
6

5R
5π R 2
Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng S xq = π rl = π . .R =
.
6
6
4. Bài phương trình đường thẳng trong khơng gian
Để dẫn dắt đến định lý về phương trình đường thẳng trong khơng gian, sách giáo
khoa đưa ra hoạt động 1:
Trong không gian Oxyz cho điểm M 0 ( 1; 2; 3) và hai điểm M1 ( 1 + t ; 2 + t; 3 + t ) ,
M 2 ( 1 + 2t; 2 + 2t; 3 + 2t ) di động với tham số t. Hãy chứng tỏ M 0 , M1, M 2 luôn

thẳng hàng.
Với hoạt động này chúng tôi mạnh dạn thay đổi cho phù hợp với đối tượng học
sinh của chúng tôi như sau:
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( 1; −2;3) và B ( 2; −3;1) . Biết rằng có vơ số
điểm C để ba điểm A, B, C thẳng hàng. Hãy chỉ ra tọa độ một điểm đó.
Nhận xét: Để thực hiện tốt hoạt động này thì chúng ta phải chuẩn bị kiến thức cho
học sinh về vận dụng vectơ để chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Câu hỏi 1: Khi ba điểm A, B, C thẳng hàng. Hãy nhận xét mối liên hệ giữa hai
uuur
uuu
r
vectơ AB và AC ?
uuur
uuu
r
Câu trả lời mong đợi: Các vectơ AB và AC cùng phương nhau.
uuur
uuu
r
Câu hỏi 2: Đẳng thức vectơ nào khẳng định hai vectơ AB và AC cùng phương
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


nhau?

uuu
r uuur
Câu trả lời mong đợi: AB = t AC.
Đến đây ta chất vấn học sinh để thực hiện lời giải như sau:
Gọi C ( x; y; z ) .

uuu
r
uuur
Ta có AB = ( 1; − 1; − 2 ) , AC = ( x − 1; y + 2; z − 3)
x −1 = t
x = 1 + t
uuur uuu
r


Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AC = t AB ⇔  y + 2 = −t ⇔  y = −2 − t .
 z − 3 = −2t
 z = 3 − 2t


Đến đây thì học sinh hồn tồn chỉ ra được vơ số điểm C để 3 điểm A, B, C thẳng
hàng (Mỗi giá trị của t ta tìm được một điểm C ).
Giáo viên khẳng định hệ phương trình trên là phương trình tham số của đường
thẳng AB.
Hình thành hoạt động: Viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết
tọa độ 1 điểm thuộc đường thẳng và tọa độ vectơ chỉ phương của nó.
uuu
r
A
1;
−
2;3
(
)
AB

= ( 1; −1; −2 )
Như trên ta thấy đường thẳng AB đi qua điểm
và nhận
x = 1 + t

làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:  y = −2 − t .
 z = 3 − 2t

Vì học sinh đã biết phương trình tham số của đường thẳng trong hình học phẳng ở
lớp 10 nên dễ dàng tiếp nhận định nghĩa như sách giáo khoa.
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỰ LUẬN TẠO NIỀM ĐAM MÊ VÀ HỨNG THÚ
CHO HỌC SINH KHI HỌC TỐN
Bài tốn 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2 R. Lấy điểm C trên nửa
đường trịn đó ( C ≠ A, C ≠ B ) . Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Quay tam
giác BCH và các điểm trong của nó quanh trục AB ta được vật thể trịn xoay có
thể tích bằng V . Biết rằng có một vị trí của C để V đạt giá trị lớn nhất. Hãy tìm
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


giá trị lớn nhất đó.
Lời giải:
Gọi O là tâm của nửa đường tròn đã cho. Dễ thấy rằng khối
tròn xoay nhận được là khối nón và nó có thể tích lớn nhất
khi H trùng với O hoặc H và B nằm về hai phía so với O
(như hình vẽ).
Đặt OH = x, ( 0 ≤ x < R ) .
Ta có CH 2 = OC 2 − OH 2 = R 2 − x 2 .
Thể tích của khối nón tạo thành có thể tích là:

(

)

1
1
V = CH 2 .HB = R 2 − x 2 ( R + x ) .
3
3
Đến đây ta có thể xét hàm số f ( x ) =

(

)

1 2
R − x 2 ( R + x ) rồi đi tìm giá trị lớn nhất
3

của nó trên nửa khoảng [ 0; R ) . Tuy nhiên, ta nên hướng cho học sinh sử dụng bất
đẳng thức côsi như sau:
V=

(

)

1 2
1
R − x2 ( R + x ) = ( R − x ) ( R + x ) ( R + x )
3

3
3

1
1  4 R  32 3
= ( 2R − 2x ) ( R + x ) ( R + x ) ≤ 
÷ = R.
6
6  3  81
Dấu “=” xảy ra khi: 2 R − 2 x = R + x ⇔ x =

R
.
3

32 R 3
.
Vậy thể tích lớn nhất của khối trịn xoay tạo thành là: V =
81
Phân tích: Sau khi giải xong bài toán này ta tạo ra sự hứng thú cho học sinh chỗ
nào? Ta tiếp tục xét bài tốn sau:
Bài tốn 2: Cho hình cầu bán kính R. Trong tất cả các khối chóp tứ giác đều nội
tiếp trong hình cầu, hãy tính thể tích của khối chóp có thể tích lớn nhất.
Ta vận dụng kết quả của bài tốn 1 như sau:
Giả sử khối chóp tứ giác đều nội tiếp trong hình cầu tâm O (như hình 1).
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Dùng mặt phẳng ( SAC ) cắt mơ hình này ra ta được thiết diện (như hình 2).

HìnhHình
1 2
Ta nhận thấy rằng thể tích của khối chóp tứ giác S . ABCD là:
V=

1
2
AC.BD.SI = AI 2 .SI
6
3

Áp dụng kết quả của bài tốn 1 ta có thể tích lớn nhất khi OI =

R
.
3

R 2 8R 2
4R
2 8R 2 4 R 64 R3
Khi đó AI = R −
nên thể tích V = .
=
, SI =
.
=
.
9
9
3

3 9 3
81
2

2

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta có
+ Tất cả các khối chóp đều nội tiếp trong hình cầu bán kính R. khối chóp có thể
tích lớn nhất khi chiều cao của nó là h =

4R
.
3

+ Tất cả các khối nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R. Khối nón có thể tích lớn
nhất khi chiều cao của nó là h =

4R
.
3

Bài tốn 3: Từ một tấm tơn hình chữ nhật có kích thước là a × b ( a < b ) . Người ta
cắt bỏ 4 hình vng bằng nhau ở 4 góc rồi gị thành một hình hộp chữ nhật khơng
có nắp. Hỏi cạnh của hình vng cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


tích lớn nhất?
a


Phân tích: Gọi x là cạnh của hình vng cắt đi  0 < x < ÷
2


Khi đó thể tích hình hộp là
V = x ( a − 2 x ) ( b − 2 x ) = 4 x 3 − 2 ( a + b ) x 2 + abx

V ′ = 12 x 2 − 4 ( a + b ) x + ab

(

)

2
2
Ta có ∆′ = 4 ( a + b ) − 12ab = 4 a − ab + b > 0 ∀a, b
2

Do đó V ′ = 0 ln có hai nghiệm phân biệt
a + b − a 2 − ab + b 2
a + b + a 2 − ab + b 2
x1 =
< x2 =
6
6
a+b

x
+
x

=
>0
1
2

3
Theo định lý Vi-et, ta có 
 x .x = ab > 0
 1 2 12
a
2
Hơn nữa, ta có V ′  ÷ = a − ab = a ( a − b ) < 0
2

Do đó 0 < x1 <

a
< x2 .
2

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn nhất khi
a + b − a 2 − ab + b 2
x = x1 =
6
Nhận xét: Từ bài toán tổng quát này học sinh có thể giải nhanh các bài toán trắc
nghiệm tương tự như sau :
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương

Bài tốn 3.1: Cho một tấm nhơm hình chữ nhật có chiều dài bằng 12cm và chiều
rộng bằng 10cm. Người ta cắt ở 4 góc của tấm nhơm đó 4 hình vng bằng nhau,
mỗi hình vng có cạnh bằng x ( cm ) , rồi gập tấm nhơm như hình vẽ dưới đây để
được một cái hộp khơng nắp. Tìm x để hộp nhận được thể tích lớn nhất?

Hướng dẫn giải: Áp dụng kết quả trên ta có
12 + 10 − 102 − 10.12 + 122 11 − 31
x=
=
6
3
Bài toán 3. 2: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 12cm. Người ta cắt ở 4 góc của
tấm nhơm đó 4 hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng x ( cm ) , rồi
gập tấm nhơm như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp
nhận được thể tích lớn nhất?
Hướng dẫn giải: Tương tự bài tốn 1,
khi tấm nhơm có dạng hình chữ nhật trở thành
hình vng thì ta có

a + b − a 2 − ab + b 2 a =b
a 12
x=

→x = = = 2
6
6 6
Bài tốn 4: Tính tích phân I =

2 2

∫

x 1 + x 2 dx.

3

Bình luận: Đây là bài tốn tích phân đổi biến quen thuộc. Tuy nhiên, học sinh sẽ
được gì sau khi học bài tốn này? Ở đây chúng tơi nêu lên cách giải và phát triển
bài toán ở các mức độ tư duy cao hơn như sau.
Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Lời giải:
Đặt t = 1 + x 2 .
Bình phương hai vế ta được t 2 = 1 + x 2 .
Lấy vi phân hai vế ta có 2tdt = 2 xdx ⇔ tdt = xdx.
Đổi cận: x = 3 ⇒ t = 2; x = 2 2 ⇒ t = 3.
3

t3
8 19
=9− = .
Vậy I = ∫ t dt =
32
3 3
2
3

2

Phân tích: Với cách đặt t = 1 + x 2 và giải quyết bài tốn như trên thì ta có
tdt = xdx. Như vậy ta có thể phát triển bài toán ở các cấp độ tư duy cao hơn như
sau:
Bài tốn 4.1: Tính I =

2 2

∫

x3 1 + x 2 dx.

3

Bài toán được viết lại I =

2 2

∫

x 2 x 1 + x 2 dx.

3
3

 t5 t3 
538
2 2
.
Giải hồn tồn tương tự như trên thì ta có I = ∫ t t − 1 dt =  − ÷ = −

15
2
 5 3 2
3

Bài tốn 4.2: Tính I =

2 2

)

1 + x2
dx.
x

∫

3

Bài toán được viết lại I =

(

2 2

∫

3

x 1 + x2

dx.
x2

3
t2
1
d
x
=
1
+

∫
2
( t − 1) ( t + 1)
2 t −1
2
3

Tương tự ta cũng có I = ∫

3

3


÷dx


1 3 1

1 
1 t −1
1 3
3
= ∫ dt + ∫ 
−
= 1 + ln .
÷dx = t 2 + ln
2 2 t −1 t +1
2 t +1 2
2 2
2
Bài tốn 4.3: Tính I =

2 2

∫

3

1
+ 1dx.
x2

Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương


Bài toán này ta cũng biến đổi đưa về bài toán 3.2 như sau:
I=

2 2

∫

3

2 2
2 2
2 2
1
1 + x2
1 + x2
x 1 + x2
+ 1dx = ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx.
2
2
x
x2
x
x
3
3
3

Tác giả

Huỳnh Thị Kim Hương

Người thực hiện: Huỳnh Thị Kim Hương