Bài thuyết trình phương trình vi phân

Mơn: TỐN CAO CẤP

Đề tài:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN


Phương Trình Vi Phân
1. Tìm hiểu lịch sử về đạo hàm, tích phân , vi
phân
2. Nêu một số ứng dụng của đạo hàm, tích phân,
vi phân .Giải một số bài tốn về ứng dụng của
đạo hàm,tích phân,vi phân (Cho sẵn và tự tìm)


Tìm hiểu lịch sử về
đạo hàm, tích phân ,
vi phân


Đạo hàm
“Đạo hàm” ra đời lấy cảm hứng từ hai nguồn động lực chính. Một đến
từ hình học đó là bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong và một
đến từ vật lí là bài tốn xác định vận tốc tức thời của chất điểm.
Newton và Leibniz được lịch sử công nhận là độc lập với nhau phát
minh ra giải tích và khái niệm “đạo hàm” nói riêng :
 Leibniz xuất phát từ việc giải quyết bài toán tiếp tuyến đã đưa ra khái
niệm “vi phân” và xây dựng “đạo hàm” theo khái niệm này.
 Trong khi đó Newton phát minh ra “đạo hàm” trong một hoàn cảnh
rất đặc thù, ơng phát minh ra giải tích chỉ như sáng tạo ra cơng cụ
thích hợp để phục vụ cho các tính tốn trong một lý thuyết vĩ đại mà

sau này đã đặt nền móng cho cơ học cổ điển: Thuyết vạn vật hấp
dẫn. ”Đạo hàm” được Newton phát minh ra giúp ơng giải quyết
được bài tốn xác định vận tốc, gia tốc chất điểm. Và ở đây ông đã
cho “đạo hàm” một ý nghĩa tổng quát : ”Đạo hàm” cho chúng ta
biết được tốc độ biến thiên (tốc độ thay đổi) của một hàm số. Với
“đạo hàm”, bất cứ ở đâu có sự thay đổi, ở đó chúng ta sẽ biết được
nó thay đổi như thế nào : liệu đại lượng đó đang tăng hay đang giảm
hay đang khơng thay đổi, nếu là đang tăng vậy tăng nhanh hay tăng
chậm…


Tích phân
“Tích phân” đã chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và
Isaac Newton (1642–1727). Ý tưởng chủ đạo là “tích phân” và vi phân là
hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này,
hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ các bài toán quan
trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học.
 J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra
chuỗi các hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác.
Biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong
khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học.
 Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–
1855). Ơng đã cùng nhiều nhà tốn học khác ứng dụng tích phân vào
các bài tốn của tốn học và vật lý.
 Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức.
 Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên
phong đặt nền tảng lơ-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.
 Liouville (1809–1882) xây dựng một phương pháp để tìm xem khi nào
tích phân vơ định của hàm cơ bản lại là một hàm cơ bản.
 Hermite (1822–1901) tìm thấy một thuật tốn để tính tích phân cho

các hàm phân thức.


Vi Phân
 Nhà toán học Ba Tư, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213), trong tác phẩm
“Chuyên luận về phương trình” đã thiết lập các điều kiện để một số
phương trình bậc ba có các nghiệm, bằng cách tìm cực đại của đa thức
bậc ba thích hợp.
 Nhà sử học khoa học, Roshdi Rashing, đã lập luận rằng al-Tūsī phải sử
dụng đạo hàm của hàm bậc 3 để có được kết quả này.
 Sự phát triển hiện đại của tính tốn thường được ghi nhận cho Isaac
Newton (1643-1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), trong
đó cả hai người có tiếp cận độc lập và thống nhất về “vi phân” và đạo
hàm.


Nêu một số ứng dụng
của đạo hàm, tích phân,
vi phân .


Ứng dụng của Đạo hàm
Khơng chỉ đối với Tốn học mà còn đối với các ngành khoa học kỹ thuật khác,
bởi lẽ “đạo hàm” không chỉ dành riêng cho các nhà Tốn học mà “đạo hàm”
cịn được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống và các ngành khoa học khác.
Ví dụ như:
 Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra các quyết
định đầu tư đúng đắn hay đưa ra các dự báo;
 Một nhà hoạch định chiến lược muốn có những thơng tin liên quan đến tốc
độ phát triển và gia tăng dân số của từng vùng miền;

 Một nhà Hóa học muốn xác định tốc độ của các phản ứng hóa học nào đó;
 Hay một nhà Vật lí cần tính tốn vận tốc, gia tốc của một chuyển động.
Và hơn thế nữa, trong thực tiễn đời sống ln có rất nhiều những bài tốn liên
quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất như phải tính tốn thế nào
để làm cho chi phí sản xuất thấp nhất mà lợi nhuận đạt được là cao nhất.


Ứng dụng của tích phân

diện tích hình phẳng
 Tính
 
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số  liên tục trên đoạn  trục
hoành và hai đường thẳng = ; =  , thì diện tích S được cho bởi cơng thức:
 S=
 Tính thể tích vật thể
Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục hồnh tại
điểm có hồnh độ = ; = (< ). là diện tích của thiết diện. Thể tích của vật
thể được cho bởi cơng thức: 
V=
với là hàm số không âm, liên tục trên đoạn 
 Tính thể tích khối trịn xoay
Hình phẳng quay quanh trục Ox: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị
hàm số  không âm và liên tục trên đoạn , trục  và hai đường thẳng  = ; =
 quay quanh trục , ta được khối trịn xoay. Thể tích  Vx của khối trịn xoay
này được cho bởi công thức:


Ứng dụng của vi phân
Vi phân có các ứng dụng cho gần như tất cả các ngành định lượng.

 Ví dụ, trong vật lý, đạo hàm của sự dịch chuyển của vật chuyển động
theo thời gian là vận tốc của vật thể và đạo hàm của vận tốc đối với
thời gian là gia tốc. Đạo hàm của động lượng của một cơ thể đối với
thời gian bằng với lực tác dụng lên cơ thể; sắp xếp lại tuyên bố phái
sinh này dẫn đến phương trình nổi tiếng
F = ma liên quan đến định
luật chuyển động thứ hai của Newton. Tốc độ phản ứng của một phản
ứng hóa học là một đạo hàm.
 Trong nghiên cứu hoạt động, các công cụ phái sinh xác định các cách
hiệu quả nhất để vận chuyển vật liệu và thiết kế nhà máy.