Toán 12: 8 kỹ thuật đạt điểm tối đa phần Nguyên hàm – tích phân – Chinh phục giảng đường

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.93 MB, 144 trang )

(1)

(2) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. MỤC LỤC Nguyên Hàm .................................................................................................................................. 5 A. Định Nghĩa Và Tính Chất ...................................................................................................... 5 B. Bảng Các Nguyên Hàm, Đạo Hàm Cơ Bản ........................................................................... 6 Trắc Nghiệm Lý Thuyết .............................................................................................................. 8 Đáp Án Trắc Nghiệm Lý Thuyết .............................................................................................. 11 Kỹ Thuật 1: Sử Dung Bảng Nguyên Hàm Cơ Bản ..................................................................... 12 Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 1 ........................................................................................... 13 Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 1 ............................................................................. 14 Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 2 ........................................................................................... 15 Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 2 ............................................................................. 15 Kỹ Thuật 2: Tính Nguyên Hàm Của Hàm Số Hữu Tỷ ............................................................... 16 Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 2 .......................................................................................................... 22 Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 2 ............................................................................................. 23 Kỹ Thuật 3: Đổi Biến Dạng 1 ..................................................................................................... 24 1. Các Dạng Đổi Biến Số Thường Gặp ..................................................................................... 24 Trắc Nghiệm Đổi Biến Số Dạng 1 ............................................................................................ 26 Đáp Án Trắc Nghiệm Đổi Biến Dạng 1 .................................................................................... 28 Tích Phân ..................................................................................................................................... 30 Trắc Nghiệm Lý Thuyết Tích Phân........................................................................................... 31 Đáp Án Trắc Nghiệm Lý Thuyết Tích Phân ............................................................................. 33 Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 .......................................................................................................... 37 I 1  f (ax  b )n  xdx  t  ax  b  dt  a .dx   m   xn  n 1 n Dạng I 2    n 1   dx  t  x  1  dt  (n  1)x .dx  ................................... 37   ax  1   2 n 2 I 3   f (ax  b )  xdx  t  ax  b  dt  2ax .dx Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P1) ........................................................................ 43 Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P1) ........................................................... 45 Dạng: ......................................................................................................................................... 46 Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P2) ........................................................................ 47 Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P2) ........................................................... 48. 2. LỜI NÓI ĐẦU - .

(3) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Dạng .......................................................................................................................................... 49 b. 1 Trắc Nghiệm Dạng I   f (ln x)   dx .................................................................................... 50 x a b. 1 Đáp Án Trắc Nghiệm Dạng I   f (ln x)   dx ...................................................................... 51 x a. Kỹ Thuật 4: Tích Phân Lượng Giác ............................................................................................ 51 1.Công Thức Lượng Giác Thường Sử Dụng: ........................................................................... 51 Dạng 4.1. Sử Dụng Công Thức Nguyên Hàm Cơ Bản ............................................................. 53 Dạng 4.2: Dùng Công Thức Hạ Bậc ......................................................................................... 55 Dạng 4.3: Dùng Công Thức Biến Đổi Tích Thành Tổng.......................................................... 57 Dạng 4.4: Đổi Biến Số .............................................................................................................. 59 Dạng 4.4.1. Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Với D(Sinx)=Cosx, D(Cosx)=-Sinx .......... 59 Dạng 4.4.2. Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Và. d  sin 2 x   sin 2 xdx; d  cos 2 x    sin 2 xdx ......................................................................... 66. Dạng 4.4.3 Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Và............................................................... 67 d  tan x  . 1 1 dx  1  tan 2 x  dx ; d  cot x    2 dx   1  cot 2 x  dx ................. 67 2 cos x sin x. Dạng 4.4.4 Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Và d  sin x  cos x    cos x  sin x  dx ..... 70 Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P3) ........................................................................ 72 Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P3) ........................................................... 75 Kỹ Thuật 5: Đổi Biến Số Dạng 2 ................................................................................................ 76 Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 2 ................................................................................ 85 Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 2................................................................... 86 Kỹ Thuật 6: Tích Phân Từng Phần .............................................................................................. 87 Trắc Nghiệm Tích Phân Từng Phần .......................................................................................... 93 Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Từng Phần ............................................................................ 97 Kỹ Thuật 7: Tích Phân Chứa Giá Trị Tuyệt Đối ......................................................................... 98 Ứng Dụng Tích Phân .................................................................................................................. 102 1. Tính Diện Tích Hình Phẳng ................................................................................................ 102 1.1 Diện Tích Hình Thang Cong ......................................................................................... 102 1.2. Diện Tích Hình Phẳng .................................................................................................. 103. - LỜI NÓI ĐẦU. 3.

(4) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 2. Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay .......................................................................................... 107 3. Bài Toán Chuyển Động ....................................................................................................... 111 Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân ........................................................................................ 113 Đáp Án Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân ........................................................................... 117 Kỹ Thuật 8: Sử Dụng Máy Tính Casio ..................................................................................... 118 Dạng: Tìm Nguyên Hàm F X  Của Hàm Số F X ............................................................... 118 Dạng: Tìm Nguyên Hàm F(X) Của F(X) Khi Biết F ( xo )  M ............................................. 120 Dạng: Tính Tích Phân ............................................................................................................. 122 a. Dạng: Tìm A, B Sao Cho.  f ( x).dx  A ................................................................................. 122 b. Dạng: Tính Diện Tích, Thể Tích ............................................................................................. 123 Dạng: Mối Liên Hệ Giữa A, B,C… ........................................................................................ 125 Phụ Lục: ..................................................................................................................................... 127 A. Đề Tổng Hợp Nguyên Hàm – Tích Phân ............................................................................ 127 Đáp Án Đề Tổng Hợp ............................................................................................................. 139 B .Tích Phân Trong Đề Thi Đại Học 10 Năm Gần Đây ............................................................. 140. 4. LỜI NÓI ĐẦU - .

(5) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. NGUYÊN HÀM A. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1. Định nghĩa Ta gọi F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Vì với C là một hằng số bất kỳ, ta có.  F  x  C   F ' x  f  x '. nên nếu F  x  là nguyên hàm của f  x  thì F  x   C cũng là một. nguyên hàm của f  x  . Ta gọi F  x   C , (c là hằng số (constant) là Họ nguyên hàm của f  x  . Ký hiệu:.  f  x  dx  F  x   C. Hay đơn giản cho dễ hiểu nhé mấy đứa: NGUYÊN HÀM LÀ NGƯỢC LẠI CỦA ĐẠO HÀM. VÍ DỤ : x 2 đạo hàm là gì? ( x 2 ) '  2 x chuẩn chưa? Thì.  2xdx  x. 2.  C . Tại sao phải cộng thêm C? Vì đạo hàm của hằng số luôn là 0.. Nên ( x 2  C ) '  2 x . Người ta ghi thêm C vào cho đầy đủ? Oke? Vậy tạm hiểu nguyên hàm là gì rồi nhé!! 2. Tính chất •.   f  x  dx   f  x  '. •  kf  x  dx  k  f  x  dx , . k . là hằng số •.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx. •.   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx. 3. Sự tồn tại nguyên hàm Mọi hàm số liên tục trên đoạn  a; b đều có nguyên hàm trên đoạn  a; b .. - NGUYÊN HÀM. 5.

(6) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. B. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM, ĐẠO HÀM CƠ BẢN. Bảng đạo hàm. Bảng nguyên hàm. (u là hàm số hợp).  x '  1.  kdx  kx  c ,. x '   x .  ln u  ' .  1. ;.  u  '   .u '.u. u' , u.  e  '  u '.e u. . u. u. x 1  c,  1    1 x dx . 1. u0.  a  '  u '.a .ln a , u.  1. k là hằng số  1. 1.  ax  b dx  a ln ax  b  c.  e dx  e. e. x  a dx . x. c. ax c ln a. ax  b. c. 1.  x dx  ln x  c x. 0  a 1. 1  ax  b    ax  b  dx  a .   1 . dx . mx  n  a dx . 1 ax b e c a. a mx  n c m.ln a.  sin u  '  u '.cos u.  cos xdx  sin x  c.  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c.  cos u  '  u '.sin u.  sin xdx   cos x  c.  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c.  tan u  ' . u'  u '. 1  tan 2 u  cos 2 u.  cos. 1.  cot u  ' . u '  u '. 1  cot 2 u  sin 2 u.  sin. 2. x. 1 2. x. 1. 1. 1. 1. dx  tan x  c.  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c. dx   cot x  c.  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   c. 2. 1. 1. 2. Một số lưu ý 1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm. 2. Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần. 3. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm).. 6. NGUYÊN HÀM - .

(7) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 | * Lưu ý: do.  f  x  dx  F  x   c thì. : Đạt Nguyễn Tiến. F '  x   f  x  nên khi quên công thức nguyên hàm, ta cần. liên tưởng đến đạo hàm. Cụ thể như sau: VÍ DỤ ta cần tìm.  f  x  dx (mà quên công thức) ta có thể tự đặt câu hỏi : “ hàm số nào. mà lấy đạo hàm ra là f(x)?”. Với cách hỏi như thế, kết hợp với việc nắm vững công thức đạo hàm, ta có thể nhớ lại công thức nguyên hàm một cách dễ dàng. I.. BẢNG CÔNG THỨC MỞ RỘNG (LÀM NHANH TRẮC NGHIỆM) Chú ý: Những công thức không có trong SGK, nếu khi các em dùng cho làm tự luận, phải chứng minh lại! (Cách chứng minh đơn giản nhất: Đạo hàm lại kết quả. Hehe.. e. ax  b. m. ax  b. a. 2. a. 2. . 1 ax b e c a. dx  dx . 1.  tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c. 1 m ax b  c a ln m. 1.  cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c. dx 1 x  arctg  c 2 x a a.  sin. dx 1 ax  ln c 2 x 2a a  x.  cos. dx x2  a2.  ln  x  x 2  a 2   c. . 2. 2. dx 1  cotg  ax  b   c  ax  b  a dx 1  tg  ax  b   c  ax  b  a. dx a 2  x2.  arcsin. x c a. - NGUYÊN HÀM. 7.

(8) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT Câu 1. Hàm số f  x  có nguyên hàm trên K nếu: A. f  x  xác định trên K .. B. f  x  có giá trị lớn nhất trên K .. C. f  x  có giá trị nhỏ nhất trên K .. D. f  x  liên tục trên K .. Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu F  x  là một nguyên hàm của. f  x  trên.  a; b . và C là hằng số thì.  f  x  dx  F  x   C . B. Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b  . C. F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên  a; b   F /  x   f  x  , x   a; b  . D..   f  x  dx . /.  f  x .. Câu 3. Xét hai khẳng định sau: (I) Mọi hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b đều có đạo hàm trên đoạn đó. (II) Mọi hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Trong hai khẳng định trên: A. Chỉ có (I) đúng.. B. Chỉ có (II) đúng.. C. Cả hai đều đúng.. D. Cả hai đều sai.. Câu 4. Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn  a; b nếu: A. Với mọi x   a; b  , ta có F /  x   f  x  . B. Với mọi x   a; b  , ta có f /  x   F  x  . C. Với mọi x   a; b , ta có F /  x   f  x  . D. Với mọi x   a; b  , ta có F /  x   f  x  , ngoài ra F /  a    f  a  và F /  b    f  b  . Câu 5. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D , câu nào là sai?. 8. NGUYÊN HÀM - .

(9) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 | (I). : Đạt Nguyễn Tiến. F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu x  D : F '  x   f  x  .. (II) Nếu f liên tục trên D thì . f . có nguyên hàm trên D . (III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số. A. Không có câu nào sai.. B. Câu (I) sai.. C. Câu (II) sai.. D. Câu (III) sai.. Câu 6. Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên khoảng  a; b  . Giả sử G  x  cũng là một nguyên hàm của f  x  trên khoảng  a; b  . Khi đó: A. F  x   G  x  trên khoảng  a; b  . B. G  x   F  x   C trên khoảng  a; b  , với C là hằng số. C. F  x   G  x   C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số. D. Cả ba câu trên đều sai. Câu 7. Xét hai câu sau: (I).   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  d x  F  x   G  x   C ,. trong đó F  x  và G  x  tương ứng là nguyên hàm của f  x  , g  x  . (II) Mỗi nguyên hàm của a. f  x  là tích của a với một nguyên hàm của f  x  . Trong hai câu trên: A. Chỉ có (I) đúng.. B. Chỉ có (II) đúng.. C. Cả hai câu đều đúng.. D. Cả hai câu đều sai.. Câu 8. Các khẳng định nào sau đây là sai? A..  f  x  dx  F  x   C   f  t  dt  F  t   C . /. B.   f  x  dx   f  x  .   C..  f  x  dx  F  x   C   f  u  dx  F  u   C .. D.  kf  x  dx  k  f  x  dx ( k là hằng số).. - NGUYÊN HÀM. 9.

(10) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. F  x   x 2 là một nguyên hàm của f  x   2 x . B. F  x   x là một nguyên hàm của f  x   2 x . C. Nếu F  x  và G  x  đều là nguyên hàm của hàm số f  x  thì F  x   G  x   C (hằng số). D. Cả 3 đáp án trên Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  thì mọi nguyên hàm của f  x  đều có dạng F  x   C ( C là hằng số). B.. u/  x.  u  x  dx  log u  x   C .. C. F  x   1  tan x là một nguyên hàm của hàm số f  x   1  tan 2 x . D. F  x   5  cos x là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin x . Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? B.. x 1 C.  x dx   C ( C là hằng số).  1. D.  dx  x  C ( C là hằng số).. . 10. 1.  x dx  ln x  C. A.  0dx  C ( C là hằng số).. NGUYÊN HÀM - . ( C là hằng số)..

(11) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT CÂU 1. 2. 3. 4.. ĐÁP ÁN D C B D. CÂU 5. 6. 7. 8.. ĐÁP ÁN A B C C. CÂU 9. 10. 11.. ĐÁP ÁN B B C. Câu 1. Để hàm số f  x  có nguyên hàm trên K khi và chỉ khi f  x  liên tục trên K . Chọn D. Câu 2. Sửa lại cho đúng là '' Tất cả các nguyên hàm của f  x  trên  a; b  đều có đạo hàm bằng. f  x  '' . Chọn C. Câu 3. Vì hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 , nhưng nếu hàm số liên tục tại x0 thì chưa chắc đã có đạo hàm tại x0 . Chẳng hạn xét hàm số f  x   x tại điểm x  0 . Chọn B. Câu 4. Với mọi x   a; b  , ta có F /  x   f  x  , ngoài ra F /  a    f  a  và F /  b    f  b  .Chọn D.. Câu 5. Chọn A. Câu 6. Vì hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số. Chọn B. Câu 7. Chọn C. Câu 8. Vì.  f  x  dx  F  x   C   f  u  du  F  u   C . Chọn C.. Câu 9. Vì  x   1  2 x  F /  x   f  x   F  x   x không phải là nguyên hàm của hàm số /. f  x   2 x . Chọn B. Câu 10. Vì. u/  x.  u  x. dx  . d u  x  u  x.  ln u  x   C . Chọn B.. Câu 11. Vì kết quả này không đúng với trường hợp   1 . Chọn C.. - NGUYÊN HÀM. 11.

(12) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN  PP 1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa   khai triển. PP 2. Tích các hàm mũ   khai triển theo công thức mũ. PP 3. Chứa căn   chuyển về lũy thừa. PP 4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin   khai triễn theo công thức tích thành tổng. 1  sin ax.cos bx  sin(a  b) x  sin( a  b) x  2 1  sin ax.sin bx   cos(a  b) x  cos( a  b) x  2 1  cos ax.cos bx   cos(a  b) x  cos( a  b) x  2 PP 5. Bậc chẵn của sin và cosin   Hạ bậc.. Bài 1. Tìm các nguyên hàm:. 12. KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN .

(13) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 1 x Câu 12. Tìm nguyên hàm f ( x)  3x 2   2. A. F ( x)  x3 . x2  C. 4. C. F ( x)  x3 . 7 x2  C. 4. B. F ( x)  x3 . x2  C. 4. D. F ( x)  5 x3 . x2  C. 4. Câu 13. Tìm nguyên hàm f ( x)  2 x 3  5 x  7. x4 5x2   7 x  C. 2 3 x4 5x2 B. F ( x )    7 x  C. 2 2 A. F ( x ) . 3x 4 5 x 2   7 x  C. 2 2 x4 5x2 F ( x)    8 x  C. 2 2 D. C. F ( x ) . Câu 14. Tìm nguyên hàm f ( x)  6 x 5  12 x3  x 2  8. x3 A. F ( x)  x  3x   8 x  C. 3 x3 B. F ( x)  x 6  3x 4   8 x  C. 3 6. 4. x3 C. F ( x)  x  3x   8 x  C. 3 3 x F ( x)  x 6  x 4   8 x  C. 3 D. 6. 4. Câu 15. Tìm nguyên hàm f ( x)  ( x 2  3x)  ( x  1)  x 4 2 x3 3x 2    C. 4 3 2 x 4 2 x3 3x 2 B. F ( x )     C. 2 3 2 A. F ( x ) . Câu 16. A. 4 B. 16 Câu 17. A. 0 B. 1. Câu 18.. x 4 2 x3 3x 2    C. 4 5 2 x 4 2 x3 3x 2 F ( x)     C. 4 3 7 D. C. F ( x ) . f ( x)  (3  x)3 . Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x)  . (3  x)a  C. Tìm a 2 a. C. 32 D. 9 1 1 1 x3 x 2 f ( x)  2  x   Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x)      C. Tính a-b? x 3 x a b C. 2 D. 3 ax f ( x)  10 2 x. Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x)   C. Tìm a? 2 ln10. - KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN. 13.

(14) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. A. 10 B. 100. Câu 19. A. 5 B. 1. Câu 20. A. 0 B. 1. : Đạt Nguyễn Tiến. C. 5 D. 20. 3 x4 f ( x)  x 3  4 x   Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x)   bx 2  c.ln x  C. Tính a-b+c x a C. 4 D. 7.  1  2 I    2x2   dx  x3  3 b x  C. Tính a-b?  3 2 a x   C. 2 D. 3. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 1. 14. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. 12. A. 16. B. 20.. A. 13. B. 17. A. 14. C. 18. B. 15. A. 19. A. KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN .

(15) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trong các trường hợp sau: Phương pháp: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x), tức đi tính Rồi sau đó thế F ( xo )  C   để tìm hằng số C..  f ( x)  dx  F ( x)  C.. VÍ DỤ : f ( x)  x 3  4 x  5, F (1)  3. Ta có  ( x3  4 x  5)dx . x4  x 2  5 x  c  Mà F (1)  3. 4. 14 2  1  5.1  c  3 4 5 x4 5  c=  . Kết luận: F ( x)   x 2  5 x   4 4 4 . TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 2 Tìm F(x) biết: Câu 21. f ( x)  3  5 cos x, F ( )  2. A. F ( x )  3 x  5sin x B. F ( x )  3 x  5sin x  2  2 . Câu 22.. f ( x) . A. 2 B. 3 Câu 23. A. 4 B. 3. Câu 24. A. 1 B. 2. C. F ( x )  3 x  5sin x  2 D. F ( x )  3 x  5sin x  2  3 .. 3  5x2 5 x 2 5e 2 , F (e)  1. Biết F ( x)  3ln x    c. c chia hết cho mấy? x 2 2 C. 6 D. 7. x2  1 3 x2 f ( x)  , F (1)   Biết F ( x)   b ln x  c. Kết quả của a-b-c là? x 2 a C. 8 D. 0 I . 3x 4  2 x3  5 a  dx, biết F (1)  2. ĐS: F ( x)  x3  c.x 2   b. Tính a+b+c? 2 x x C. 3 D. 4 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 2 CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. Câu 21. D. Câu 23. D. Câu 22. A. Câu 24. A. - KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN. 15.

(16) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ  Bài toán tổng quát: Tính nguyên hàm I  . P( x)  dx, với P ( x) và Q ( x) là các đa thức không Q( x). căn. Phương pháp giải: PP Nếu bậc của tử số P ( x)  bậc của mẫu số Q ( x)   Chia đa thức. PP Nếu bậc của tử số P ( x)  bậc của mẫu số Q ( x)   Xem xét mẫu số và khi đó: + Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số. Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: 1 1 b   a      (ax  m)  (bx  n) an  bm  ax  m bx  n  mx  n A B ( A  B )  x  ( Ab  Ba )  A  B  m       ( x  a )  ( x  b) x  a x  b ( x  a )  ( x  b)  Ab  Ba   n 1 A Bx  C    2 , với   b 2  4ac  0. 2 ( x  m)  (ax  bx  c ) x  m ax  bx  c 1 A B C D       2 2 2 ( x  a )  ( x  b) x  a ( x  a) x  b ( x  b) 2 + Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác).. Mẹo sử dụng Casio mx  n A B    ( x  a )  ( x  b) x  a x  b (Ta muốn tìm hệ số nào, ta xóa nghiệm dưới mẫu của thằng đó đi trong. mx  n . Và ( x  a )  ( x  b). Calc đúng nghiệm dưới mẫu của nó) mx  n Để tìm A. Ta nhập vào máy tính . Calc x = a ( x  b) Để tìm B. Ta nhập vào máy tính. 16. mx  n . Calc x = b ( x  a). KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ .

(17) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. BÀI TẬP VẬN DỤNG 2x 1  dx  x 1 Ta thấy bậc tử bằng bậc mẫu: Chia đa thức 2x 1 3 I   dx   (2  ) dx  2 x  3.ln | x  1| c x 1 x 1. VÍ DỤ 1. Tìm nguyên hàm I  . x2  x  1  dx  x2 Ta thấy bậc tử lớn hơn bậc mẫu: Chia đa thức x2  x  1 3 x2 I   dx  I   ( x  1  )  dx   x  3ln x  2  C. x2 x2 2 dx VÍ DỤ3. Tìm nguyên hàm I   2  2x  7 x  5 dx dx A B I  2   (  )dx 2x  7x  5 ( x  1)(2 x  5) x 1 2x  5 Ta có: B ( x  1)  A(2 x  5)  1 VÍ DỤ 2. Tìm nguyên hàm I  .  x(2 A  B )  5 A  B  1 1  A   2A  B  0  3    5 A  B  1  B  2  3 1 2 1 2 ln | 2 x  5 | 1 1 I   ( 3  3 ) dx  ln | x  1|   C  ln | x  1|  ln | 2 x  5 | C x 1 2x  5 3 3 2 3 3. Mẹo sử dụng máy tính:. 1 1 Calc X = 1. Thu được A  3 (2 x  5) 1 5 2 Tìm B: Nhập vào máy Calc X = . Thu được B = x 1 2 3. Tìm A: Nhập vào máy. VÍ DỤ 4. Tìm nguyên hàm I  . 6 x 2  10 x  2 dx x 3  3x 2  2 x. 6 x 2  10 x  2 6 x 2  10 x  2 I  3 dx   dx x  3x2  2 x  x  1 x  2  x - KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ. 17.

(18) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. Xét:. : Đạt Nguyễn Tiến. 6 x 2  10 x  2 A B C    x  x  1 x  2  x x  1 x  2.  6 x 2  10 x  2  A  x  1 x  2   Bx  x  2   Cx  x  1  6 x 2  10 x  2   A  B  C  x 2   3 A  2 B  C  x  2 A 6  A  B  C A 1 6 x 2  10 x  2 1 2 3    10  3 A  2 B  C   B  2     x  x  1 x  2  x x  1 x  2 2  2 A C  3   Từ đó: 2 3  1 I     dx  ln x  2 ln x  1  3ln x  2  C  x x 1 x  2 . Mẹo sử dụng máy tính 6 x 2  10 x  2 Tìm A: Ta nhập vào máy Calc X=0. Thu được A = 1  x  1 x  2 . Tìm B: Ta nhập vào máy. 6 x 2  10 x  2 Calc X=-1. Thu được B = 2 x  x  2. Tìm C: Ta nhập vào máy. 6 x 2  10 x  2 Calc X=-2. Thu được C = 3 x  x  1. . 6 x 2  10 x  2 1 2 3    x  x  1 x  2  x x  1 x  2. 6 x 2  26 x  26 VÍ DỤ 5. Tìm nguyên hàm J   3 dx x  6 x 2  11x  6 6 x 2  26 x  26 6 x 2  26 x  26 J  3 dx   dx x  6 x 2  11x  6  x  1 x  2  x  3. Ta tìm A, B, C sao cho:. 18. KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ .

(19) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 6 x 2  26 x  26 A B C     x  1 x  2  x  3 x  1 x  2 x  3.  6 x 2  26 x  26  A  x  2  x  3  B  x  1 x  3  C  x  1 x  2  Cho x giá trị lần lượt bằng 1, 2, 3 ta tìm được A  3; B  2; C  1 Từ đó: 2 1   3 J      dx  3ln x  1  2 ln x  2  ln x  3  C  x 1 x  2 x  3 . • K . x 8 x 8 1   2 dx   dx      dx  2 ln x  2  ln x  3  C x  x6  x  2  x  3  x 2 x 3 2. VÍ DỤ 6 .Tìm nguyên hàm L  . 3 x 2  13 x  11 dx x3  5x 2  8 x  4. 3 x 2  13 x  11 3 x 2  13 x  11 L 3 dx   dx 2 x  5x 2  8 x  4  x  1 x  2  Ta tìm A, B, C sao cho: 3 x 2  13 x  11.  x  1 x  2 . 2. . A B C   x  1 x  2  x  2 2.  3 x 2  13 x  11  A  x  2   B  x  1 x  2   C  x  1 2.  3x 2  13x  11   A  B  x 2   4 A  3B  C  x   4 A  2 B  C  3  A  B A 1    13  4 A  3B  C   B  2 11  4 A  2 B  C C  3   Từ đó:  1 2 3  3 L     C dx  ln x  1  2 ln x  2  2  x  1 x  2  x  2  x  2  . - KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ. 19.

(20) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. VÍ DỤ 7. Tìm nguyên hàm M   M . : Đạt Nguyễn Tiến. 2 x3  6 x 2  4 x  1 dx x 2  3x  2.   2 x3  6 x2  4 x  1 1 1   dx  2 x  dx  2 x     x 2  3x  2     x  1 x  2   dx x 2  3x  2  . 1 1   2    2x   dx  x  ln x  2  ln x  1  C x  2 x  1  . VÍ DỤ 8. Tìm nguyên hàm N  . 3x 2  4 x  2 dx x3  2 x 2  2 x  5. d  x3  2 x 2  2 x  5 3x 2  4 x  2 N  3 dx    ln x3  2 x 2  2 x  5  C x  2x2  2x  5 x3  2 x 2  2 x  5. VÍ DỤ 9. Tìm nguyên hàm I  . dx.  x  3  x  1 2. 2. Ta phân tích: 2. 1.  x  3  x  1 2. . 2. 2 1   x  3   x  1  1 1 1         4   x  3 x  1  4  x 1 x  3 .  1 1 1 1 1 2 1 1 1           2 2 2 2 4   x  1  x  3  x  1 x  3  4   x  1  x  3 x  3 x  1 . Từ đó:  1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 I       .  ln x  3  ln x  1  C dx   . 2 2 x  3 x  1  4 x 1 4 x  3 4 4   x  1  x  3. VÍ DỤ 10. Tìm nguyên hàm . J  . dx.  x  3  x  4  2. 2. .. Ta phân tích: 20. KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ .

(21) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. 2. 1.  x  3  x  4  2. : Đạt Nguyễn Tiến. 2. 1   x  4    x  3  1  1 2 1   .       49   x  3 x  4   49   x  3 2  x  3 x  4   x  4 2 . Từ đó: J. 1 1 1 2 1 1 dx   dx   dx 2  49  x  3 49  x  3 x  4  49  x  4 2. . 1 1 1 1 1  1 1  .  .    dx  49 x  3 49 x  4 343  x  3 x  4 . . 1 1 1 1 1 x3 .  .  ln C 49 x  3 49 x  4 343 x  4. - KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ. 21.

(22) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 2 4x2  6 x  1 .dx là I  a.x 2  b.x  c.ln 2 x  1  C . Tính a-b-c ? 2x 1 1 3 1 3 A. B. C.  D.  2 2 2 2. Câu 25. . 4 x3  4 x 2  1 .dx có dạng F  x   a.x3  b.x 2  c.x  d .ln 2 x  1  C . Tính a.  b  c  d  ? 2x 1 1 3 A. B. C. 3 D. 2 3 2 2x  1 Câu 27.  .dx có dạng I  a.x  b.ln x  1  C . Tính a.b ? x 1 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3x  1 Câu 28.  .dx có dạng I  a.x  b.ln x  2  C . Tính b-a ? x2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 x 1 Câu 29. Nguyên hàm của f  x   có dạng F  x   a.x  b.ln 2 x  3  C . Tính a.b ? 2x  3 1 A.  B. 4 C. 2 D. -6 8 Câu 26. . x2  x  1 Câu 30.  .dx có dạng I  a.x 2  b.x  c.ln x  2  C . Tính b+c ? x2 A. 8. B. 6. C. 4. D. 2. dx  x  6x  9 Câu 31. 1 1 A. I   C. C. I    C. x 3 x3 1 2 B. I    C. D. I    C. x3 x3 x2  1 x 1 Câu 32. I   2  dx  ĐS: I  x  ln  C. x 1 x 1 2x 1 x 1 A. I  x  ln C. I  x  ln  C.  C. x 1 x 1 x 1 x 1 B. I  x  ln D. I  ln  C.  C. x 1 x 1 3x  2 a 7 Câu 33. I   2  dx  ln 2 x  1   C . . Tính b – a ? 4x  4x 1 b 4(2 x  1) A. 0 B. 1 I . 22. 2. KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ .

(23) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. C. 2. : Đạt Nguyễn Tiến. D. 3. x x c  dx  ax  b ln x  2   C. Tính a + b – c? 2 ( x  2) x2 A. 0 C. 2 B. 1 D. 3. Câu 34. I  . 2. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 2 CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. 25. C. 29. A. 33. B. 26. A. 30. D. 34. B. 27. C. 31. C. 28. C. 32. B. - KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ. 23.

(24) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. KỸ THUẬT 3. ĐỔI BIẾN DẠNG 1 1. CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP DẠNG   ax  b  dx. CÁCH ĐỔI BIẾN Đặt t  ax  b. x. Đặt t  x n 1. n 1. .x n dx.  f  x . 2. Đặt t  x.  f  sin x  cos xdx  f  cos x  sin xdx. Đặt t  sin x. dx x. dx.  f  tan x  cos. 2. x. dx.  f  cot x  sin  f  e  .e dx x. 2. Đặt t  cos x Đặt t  tan x Đặt t  cot x. x. x. dx x 1  1   f  x  x  .  x  x  dx Các bước để đổi biến:.  f  ln x . Đặt t  e x Đặt t  ln x Đặt t  x . 1 x. Bước 1: Đặt v(x) = t Bước 2: vi phân: d(v(x)) = d(t) (Vi phân như đạo hàm thôi, nhưng đạo hàm theo biến x, nhân thêm dx, đạo hàm theo biến t thì nhân thêm dt) Bước 3: Chuyển hết f(x) về f(t). Ví dụ về vi phân: d ( x 2  2 x  1)  ( x 2  2 x  1) '.dx  (2 x  2)dx VÍ DỤ : Tìm nguyên hàm các hàm số sau 1. I   x 2004  1.x 2003 dx Đặt t  x 2004  1  d (t )  d ( x 2004  1)  dt  2004 x 2003 dx  x 2003 dx . 1 dt . Từ đó ta được: 2004. 1 1 1 1 2 32 1 1 2 I tdt  t dt  . t C  t3  C    2004 2004 2004 3 3006 3006. 24. x. 2004. KỸ THUẬT 3. ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .  1  C 3.

(25) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. 2• I   ee. x.  x 1. : Đạt Nguyễn Tiến. dx   ee 1.e x dx x. Đặt e x  t  e x dx  dt . Thay vào ta được:. L   et 1dt   et 1d  t  1  et 1  C  ee 3. I   10 Đặt. 10. N  . x. 1. C. x dx x 1. x  1  t  x  1  t10  dx  10t 9 dt . Từ đó ta được: t 10  1 10 10 .10t 9 dt  10   t 10  1 t 8 dt  10   t 18  t 8  dt  t19  t 9  C t 19 9. 10 10 10 19 9  x  1  10  x  1  C 19 9. 4. I   x 2 1  x  dx 10. Đặt 1  x  t  dx  dt . Từ đó ta được:. O   1  t  t10   dt     1  2t  t 2  .t 10 dt    t 10 dt  2 t11dt   t12 dt 2. . 1 11 1 12 1 13 1 1 1 11 12 13 t  t  t  C   1  x   1  x   1  x   C 11 6 13 11 6 13. - KỸ THUẬT 3. ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 25.

(26) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TRẮC NGHIỆM ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1 Câu 34. Câu nào sau đây sai? A. Nếu F '  t   f  t  thì F /  u  x    f  u  x   . B..  f  t  dt  F  t   C   f  u  x   u '  x  dx  F  u  x    C .. C. Nếu G  t  là một nguyên hàm của hàm số g  t  thì G  u  x   là một nguyên hàm của hàm số. g  u  x   .u /  x  .. D..  f  t  dt  F  t   C   f  u  du  F  u   C. với u  u  x  .. Câu 35. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu.  f  t  dt  F  t   C. thì.  f  u  x   .u  x  dx  F  u  x    C . /. B. Nếu F  x  và G  x  đều là nguyên hàm của hàm số f  x  thì. h  x   Cx  D ( C , D là các hằng số và C  0 )..   F  x   G  x  dx. có dạng. C. F  x   7  sin 2 x là một nguyên hàm của f  x   sin 2 x . D.. u/  x. u  x  C ..  u  x  dx . Câu 36. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1. 2. A..  f  x  dx  3  2 x  1. C..  f  x  dx   3. Câu 37. Để tính A. t  eln x .. 1. 2 x  1  C.. 2 x  1  C.. 1. B..  f  x  dx  3  2 x  1. D..  f  x  dx  2. 1. 2 x  1  C.. 2 x  1  C.. eln x  x dx theo phương pháp đổi biến số, ta đặt: B. t  ln x.. 1 D. t  . x. C. t  x.. Câu 38. F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  xe x . 2. Hàm số nào sau đây không phải là F  x  : 26. KỸ THUẬT 3. ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(27) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. . 1 2 A. F  x   e x  2 . 2. B. F  x  . 1 2 C. F  x    e x  C . 2. D. F  x   . . . 1 x2 e 5 . 2. . . 2 1 2  ex . 2. Câu 39. F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  Nếu F  e 2   4 thì. : Đạt Nguyễn Tiến. ln x . x. ln x dx bằng: x. A. F  x  . ln 2 x C . 2. B. F  x  . ln 2 x 2. 2. C. F  x  . ln 2 x 2. 2. D. F  x  . ln 2 x  xC . 2. Câu 40. F  x  là một nguyên hàm của hàm số y  esin x cos x . Nếu F     5 thì  esin x cos xdx bằng: A. F  x   esin x  4 .. B. F  x   esin x  C .. C. F  x   ecos x  4 .. D. F  x   ecosx  C .. Câu 41. F  x  là nguyên hàm của hàm số y  sin 4 x cos x .. F  x  là hàm số nào sau đây? A. F  x  . cos5 x C . 5. B. F  x  . cos 4 x C . 4. C. F  x  . sin 4 x C . 4. D. F  x  . sin 5 x C . 5. Câu 42. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số: (I).  tan x dx   ln  cos x   C .. 1 (II)  e3cos x sin x dx   e3cos x  C . 3. - KỸ THUẬT 3. ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 27.

(28) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. cos x  sin x dx  2 sin x  cos x  C . sin x  cos x. (III) . Số mệnh đề đúng là: A. 0 .. B. 1 .. C. 2 .. D. 3 .. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỔI BIẾN DẠNG 1 CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. 34. A. 37. B. 40. A. 35. D. 38. C. 41. D. 36. B. 39. B. 42. D. Câu 34. Chọn A. Vì nếu F '  t   f  t   F  t    f  t  dt . Đặt t  u  x   dt  u /  x  dx . Suy ra F  u  x     f  u  x   .u /  x  dx hay F /  u  x    f  u  x   .u /  x  . Câu 35. Chọn D. Vì. u/  x.  u  x  dx  . d u  x  u  x.  ln u  x   C .. Câu 36. Ta có I   f  x  dx   2 x  1dx. Đặt. 2x 1  t  x . t2 1 2.  t2 1 t3 1 2  I   td     t dt   C   2 x  1 2 x  1  C. Chọn B. 3 3  2  Câu 37. Đặt t  ln x  dt . 1 dx . Khi đó x. eln x t  x dx   e dt . Chọn B.. Câu 38. Đặt t  x 2  dt  2 xdx . Suy ra I . 1 t 1 1 t 1 x2 t e dt  d e  e  C  e  C . Chọn C.   2 2 2 2. Câu 39. Đặt ln x  t  dt . 28. dx t2 ln 2 x . Suy ra F  x    tdt   C  C . x 2 2. KỸ THUẬT 3. ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(29) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. Vì F  e. 2. 4. ln 2  e 2  2. : Đạt Nguyễn Tiến.  C  4  C  2 . Chọn B.. Câu 40. Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Suy ra I   et dt  et  C  esin x  C . Vì F    5  esin   C  5  1  C  5  C  4 . Suy ra F  x   esin x  4 . Chọn A. Câu 41. Đặt t  sin x , suy ra dt  cos xdx . Khi đó I   t 4 dt . t5 sin 5 x C   C . Chọn D. 5 5. Câu 42. Xét (I): Ta có Khi đó. sin x. sin x.  tan x dx   cos x dx . Đặt t  cos x  dt   sin xdx ..  cos x dx   . dt   ln t  C   ln cos x  C . Do đó (I) đúng. t. 1 Xét (II): Đặt t  3cos x  dt  3sin xdx  sin xdx   dt . 3. Khi đó  e3cos x sin x dx  . 1 t 1 1 e dt   et  C   e3cos x  C . Do đó (II) đúng.  3 3 3. Xét (III): Đặt t  sin x  cos x  t 2  sin x  cos x  2tdt   cos x  sin x  dx . Khi đó. . 2tdt  2 dt  2t  C  2 sin x  cos x  C . Do đó (III) đúng. t. Chọn D.. -. 29.

(30) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân — Cho hàm số f ( x) liên tục trên K và a, b  K . Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của f ( x) trên K thì F (b)  F ( a ) được gọi là tích phân của f ( x) từ a đến b và được kí hiệu b. là.  f ( x)dx a. b. . Khi đó: I   f ( x)  dx  F ( x ) a  F (b)  F ( a) , với a gọi là cận dưới, b là b. a. cận trên. — Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác nhau thay cho x , nghĩa là: b. b. b. a. a. a. I   f ( x)  dx   f (t )  dt   f (u )  du    F (b)  F (a ).. — Nếu hàm số y  f ( x) liên tục và không âm trên đoạn  a; b  thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y  f ( x), trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b là: b. S   f ( x)  dx  a. Tính chất của tích phân b. .  a. a. f ( x)  dx    f ( x)  dx và b. a. . f ( x)  dx  0.. b. b. a. a.  k  f ( x)  dx  k   f ( x)  dx, với. . a. (k  0).. . 30. b. b. b. a. a. a.   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)  dx   g ( x)  dx . TÍCH PHÂN - . . b. c. b. a. a. c.  f ( x)  dx   f ( x)  dx   f ( x)  dx .

(31) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN Câu 1. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b . Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây: b. A..  a. a. f  x  dx    f  x  dx . b. b. B.  k .dx  k  b  a  , k   . a. C.. b. c. b. a. a. c.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx b. D..  a. với c   a; b .. a. f  x  dx   f  x  dx . b. Câu 2. Giả sử hàm số f  x  liên tục trên khoảng K và a, b là hai điểm của K , ngoài ra k là một số thực tùy ý. Khi đó: (I). a. a. b. b. b. a. b. a. a. a.  f  x  dx  0 .(II)  f  x  dx   f  x  dx .(II)  k. f  x  dx  k  f  x  dx .. Trong ba công thức trên: A. Chỉ có (I) sai.. B. Chỉ có (II) sai.. C. Chỉ có (I) và (II) sai.. D. Cả ba đều đúng.. Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1. A..  dx  1 .. 1 b. B..  a. b. b. a. a. f1  x  . f 2  x  dx   f1  x  dx. f 2  x  dx .. C. Nếu f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b thì. b.  f  x  dx  0 . a. a. D. Nếu.  f  x  dx  0 thì f  x  là hàm số lẻ. 0. - TÍCH PHÂN. 31.

(32) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Câu 4. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A.. b. c. b. a. a. c.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx với mọi a, b, c thuộc tập xác định của f  x  . b. B. Nếu.  f  x  dx  0 thì f  x   0, x   a; b . a. C.. . dx 1 x. 2.  2 1  x2  C .. D. Nếu F  x  là nguyên hàm của hàm số f  x  thì. F  x  là nguyên hàm của hàm số. x. Câu 5. Đặt F  x    1  t 2 dt . Đạo hàm F /  x  là hàm số nào dưới đây? 1. A. F /  x   C. F /  x  . x 1 x. 2. 1 1 x. 2. .. B. F /  x   1  x 2 .. .. D. F /  x    x 2  1 1  x 2 .. x. Câu 6. Cho F  x     t 2  t  dt . Giá trị nhỏ nhất của F  x  trên đoạn  1;1 là: 1. A.. 1 . 6. 5 C.  . 6. B. 2.. D.. x. t 3 dt . Xét các mệnh đề: 2 t  1 0. Câu 7. Cho F  x    I. F '  x  . x 3 . x2  1. II. Hàm số F  x  đạt cực tiểu tại x  3. II. Hàm số F  x  đạt cực đại tại x  3. Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ I. 32. B. Chỉ II.. C. I và II.. TÍCH PHÂN - . D. I và III.. 5 . 6. f  x ..

(33) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Câu 8. Hãy chọn mệnh đề sai dưới đây: A.. 1. 1. 0. 0. 2 3  x dx   x dx .. x. dt 1 là F /  x    x  0 . 1  t 1  x 1. B. Đạo hàm của F  x   . C. Hàm số f  x  liên tục trên   a; a  thì D. Nếu f  x  liên tục trên  thì Câu 9. Cho f  x  là hàm số chẵn và. a. a. a. 0.  f  x  dx  2 f  x  dx .. b. c. c. a. b. a.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx . 0.  f  x  dx  a . Chọn mệnh đề đúng:. 3 3. A.. C.. . 3. f  x  dx   a .. B..  f  x  dx  2a .. 0. 3. 3. 0.  f  x  dx  a .. D.. 3.  f  x  dx  a . 3. Câu 10. Nếu f 1  12, f '  x  liên tục và. 4.  f '  x  dx  17 . Giá trị của f  4  bằng: 1. A. 29.. B. 5.. C. 19.. D. 9.. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. 1. D. 5. B. 9. B. 2. B. 6. C. 10. A. 3. C. 7. C. 4. A. 8. C. - TÍCH PHÂN. 33.

(34) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. Câu 1. Sửa lại cho đúng là:. b. a. a. b. : Đạt Nguyễn Tiến.  f  x  dx   f  x  dx . Chọn D. a. b. b. a. Câu 2. Công thức (2) sai, sửa lại cho đúng là  f  x  dx    f  x  dx . Hai công thức (1) và (3) đều đúng. Chọn B. Câu 3. Ta có. 1. 1. 1. 1.  dx  x.  2. Do đó A sai.. Theo tính chất tích phân thì B sai (vì không có tính chất này). Xét câu C. Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn  a; b . Suy ra F /  x   f  x   0, x   a; b  . ● F. /.  x   0, x   a; b , suy ra F  x . b. là hàm hằng nên.  f  x  dx  F  x  a. b a.  0.. ● F /  x   0, x   a; b , suy ra F  x  đồng biến trên đoạn  a; b  nên F  b   F  a  . b.  f  x  dx  F  x . Do đó. a. b a.  F  b   F  a   0 . Do đó C đúng.. a. a. 0. 0. Chọn f  x   0 thì  0dx  C.  0 nhưng f  x   0 không phải là hàm số lẻ.. Do đó D sai. Chọn C. Câu 4. Theo tính chất tích phân, suy ra A đúng. Chọn f  x   x và  a; b    1; 2 . b. Khi đó.  a. 2. f  x  dx   xdx  1. 1 2 x 2. 2. . 1. 1  4  1  0 nhưng hàm f  x   x không thỏa mãn không âm trên 2.  1; 2 . Do đó B sai.. . . Vì 2 1  x 2  C . Ta có 34. x 1  x2. . 1 1  x2. nên C sai.. x2 x là một nguyên hàm của x nhưng không là nguyên hàm của 2 2 TÍCH PHÂN - . x..

(35) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Do đó D sai. Chọn A. x. Câu 5. Áp dụng tính chất F '  x    f  t  dt là một nguyên hàm của f  x  . Chọn B. a. x.  t3 t2  x3 x 2 5 Câu 6. Ta có F  x     t  t  dt         3 2 1 3 2 6 1 x. 2. Xét hàm số F  x  . x3 x 2 5   trên đoạn  1;1 3 2 6.  x  1 Đạo hàm F /  x   x 2  x; F /  x   0   x  0 2 5 Suy ra F  1   ; F  0    ; F 1  0 . 3 6 5 Do hàm số liên tục trên  1;1 nên min F  x   F  0    . Chọn C.  1;1   6 x. Câu 7. Áp dụng tính chất F '  x    f  t  dt là một nguyên hàm của f  x  . a. Suy ra F /  x  . x 3 x 3 . Do đó I đúng. Lại có F /  x   0  2 0 x 3. 2 x 1 x 1. Qua điểm x  3 ta thấy F /  x  đổi dấu từ âm sang dương. Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x  3 . Khi đó, mệnh đề II đúng, mệnh đề III sai. Chọn C. 1. 1. Câu 8. Do x   0;1  x  x   x dx   x 3 dx . Do đó A đúng. 2. 3. 2. 0. 0. x. Áp dụng tính chất F '  x    f  t  dt là một nguyên hàm của f  x  . a. Suy ra F /  x  . 1 . Do đó B đúng. 1 x. Mệnh đề C sai vì tính chất này chỉ đúng nếu f  x  là hàm chẵn hoặc ta có thể lấy VÍ DỤ cụ thể cho hàm f  x   x và a  2 chẳng hạn. - TÍCH PHÂN. 35.

(36) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. 2. 1 Khi đó  xdx  x 2 2 2. 2. 2. 1   4  4   0 nhưng 2  xdx  x 2 2 2 0. 2. : Đạt Nguyễn Tiến.  4.. 0. Mệnh đề D đúng theo tính chất tích phân. Chọn C. Câu 9. Áp dụng tính chất '' Nếu f  x  là hàm số chẵn thì. Câu 10. Ta có. 0. a. a. a. 0.  f  x  dx  2  f  x  dx  2 f  x  dx '' . Chọn B.. 4. 4. 1. 1.  f '  x  dx  f  x . a.  f  4   f 1 .. Theo bài ra ta có 4.  f '  x  dx  17  f  4   f 1  17  f  4   17  f 1  17  12  29 . Chọn A. 1. 36. TÍCH PHÂN - .

(37) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1  b. b.   f ( x)  u( x)  dx  F u ( x) a  F u (b)  F u (a)   a. –Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t  u ( x)  dt  u ( x )  dx (xem lại các phương pháp đổi biến số trong phần nguyên hàm)  x  b t  u (b) –Bước 2. Đổi cận:    x  a t  u (a ). (nhớ: đổi biến phải đổi cận). u (b ). –Bước 3. Đưa về dạng I . . f (t )  dt đơn giản hơn và dễ tính toán.. u (a). I 1  f (ax  b )n  xdx  t  ax  b  dt  a .dx   m   xn  n 1 n DẠNG I 2    n 1   dx  t  x  1  dt  (n  1)x .dx    ax  1   2 n 2 I 3   f (ax  b )  xdx  t  ax  b  dt  2ax .dx 7 3. VÍ DỤ 1: Tính tích phân I =.  0. 3. x 1 dx 3x  1. Lời Giải: Đặt t =. 3. 3 x  1  t3 = 3x + 1  x =. t3 1 3. dx = t2dt 2. Do đó: I =.  1. (. t3 1  1)t 2 dt 2 2 1 4 2 t2 3   ( t  t ) dt = . t 3 3 3 2 1 7. VÍ DỤ 2: Tính tích phân I =.  0. x3 3. 1  x2. 2 1. 1 1 2 31 46  . t5  1  3 5 1 15 15. dx. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 37.

(38) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Lời giải: Đặt t = 3 1  x 2 ,  t3 = 1+x2  3t2dt = 2xdx  xdx =. 3 2 t dt 2. Khi x = 0 thì t = 1 Khi x =. 7 thì t = 2. Do đó: 2. I=. 2. 3 (t 3  1)t 2 dt 3 4 3 t 5 t 2 2 141  ( t  t ) dt = (  )  2 1 t 2 1 2 5 2 1 20 2 2. . VÍ DỤ 3: Tính tích phân I =. 0. x 3 dx 1  x2. Lời giải: Đặt t = 1  x 2  t2 = 1- x2  2tdt = -2xdx  -xdx = tdt Khi x = 0 thì t = 1 Khi x =. 2 2 thì t = 2 2. Do đó: 2 2. I=.  1. (1  t )(tdt )  t 2. 2 2.  (t. 2.  1)dt  (. 1. 7. VÍ DỤ 4: Tính tích phân I =.  x 2. 2 2. 3. t  t) 3. 1. 2 5 2 =  3 12. 1 dx x2. Lời giải: Đặt t =. x  2  t2=x + 2  2tdt = dx. Khi x= 2 thì t = 2 38. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(39) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Khi x = 7 thì t = 3 Do đó: 3. 3. 3. 2tdt 2tdt 2 2 1 I=  2   (  )dt t  t  2 2 (t  1)(t  2) 3 2 t  2 t  1 2 3 2 2 5 = (2 ln t  2  ln t  1)  (2 ln  ln 2) 3 3 4 2. 1. VÍ DỤ 5: Tính tích phân I =. x. 3. 1  x 2 dx. 0. (Đề thi ĐH Ngoại Thương 1996) Lời giải: Đặt t = 1  x 2  t2 = 1 – x2  xdx = -tdt Khi x = 0 thì t=1 Khi x= 1thì t = 0 Do đó: 0. 1. t3 t5 1 1 1 2 I =  t (1  t )(tdt )   (t  t ) dt  (  )    3 5 0 3 5 15 1 0 2. 2. 4. 1. VÍ DỤ 6: Tính tích phân I =. x. 1  xdx. 0. (Đề thi ĐH Y TPHCM 1997 – 1998) Lời giải: Đặt t = 1  x  t2 = 1 – x  dx = -2tdt Khi x = 0 thì t=1 Khi x= 1thì t = 0 - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 39.

(40) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Do đó: 0. 1. 1. 0. I =  t (1  t 2 )(2tdt )  2 (t 2  t 4 )dt  2( 3. VÍ DỤ 7: Tính tích phân I =.  0. t3 t5 1 1 1 4  )  2(  )  3 5 0 3 5 15. x2  1 dx x 1. ĐH Cần Thơ khối D 1998 Lời giải: x  1  t2 = x+1  x = t2 -1  dx = 2tdt. Đặt t =. Khi x = 0 thì t= 1 Khi x = 3 thì t = 2 Do đó: 2. 2. 2 (t 2  1) 2  1 t5 2 53 I=  .2tdt  2  (t 4  2t 2  2)dt =2(  t 3  2t )  t 5 3 15 1 1 1. 1. VÍ DỤ 8: Tính tích phân I =. x. 3. 1  x 2 dx. 0. (ĐH Quốc Gia HN– khối B - 1998) Lời giải: Đặt t = 1  x 2  t2 = 1 + x2  xdx = tdt Khi x = 0 thì t=1 Khi x= 1 thì t =. 2. Do đó: 2. I=. 40. 2. t5 t3 1 (t  1)t.tdt  1 (t  t )dt  ( 5  3 ) 2. 4. 2. 2. 1. . 4 2 2 2 1 1 2( 2  1)  (  )  5 3 5 3 15. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(41) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. 1. VÍ DỤ 9:Tính tích phân I =.  0. : Đạt Nguyễn Tiến. xdx 2x 1. (ĐH Quốc Gia TPHCM khối A – 1998) Lời giải: Đặt t =. 2 x  1  t2 = 2x+1  x =. t 2 1  dx = tdt 2. Khi x=0 thì t = 1 Khi x = 1 thì t =. 3. Do đó: 3. I=.  1. (t 2  1) .tdt 1 2  t 2. 3. 2  (t  1)dt  1. 1 t3 (  t) 2 3. 3 1. . 1 3. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 41.

(42) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. 42. : Đạt Nguyễn Tiến. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(43) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 (P1) a. 1. Tìm a thỏa mãn.  x 1  x . 19. .dx =. 0. A. 1. 1 120. B. 1 1. 2. Tìm a thỏa mãn.  x 1  x  a. 3 6. C.. .dx =. 0. A. 5. 3 20. D. 3. 1 168. B. 3. C. - 1. D.. 1 20. 1. x3 1 1 0 1  x 2 .dx = a  b .ln c. 3. Tìm a,b,c: A. 8. B. 1. 1 4. D. l n 4. 10. 1. 4. Tính. C..  1  3x  .1  2 x  3x  2. dx ?. 0. A.. 611  2 22. B.. 611  2 2. C.. 611 22. D.. 611  1 22. 1. 5. Tính. x. 1  x .dx ?. 0. A.. 1 4. B. 3. 6. Tính.  0. A. 8. 1 4. C.. 4 15. x .dx ? ( đề thi dự bị THPT Quốc Gia 2015 ) x 1 8 B. 3 C. 3. D. 5. D.. 3 8. 1. 7. Tính. x. 2  x 2 .dx ? ( đề thi Đại học khối B 2013 ). 0. A.. 2 2 1 3. B.. 2 2 3. C.. 2 2 1 3 3. D.. B.. 5 5 8 3. C.. 5 8 6. D.. 2 1 3. 1. 8. Tính. x. 5  x 2 .dx ?. 0. A.. 5 5 8 6. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 5 5 6. 43.

(44) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 9.  x.. 9. Tính. 3. 1  x .dx ?. 1. A.. 468 7. 1 2. C.. 259 6. D. 4. B. 1. C.. 3 5. D. 9. B.. 3.  x.. 10. Tính. x 2  1.dx ?. 3. 1. A.. 14 3 5 7.  x.. 11. Tính. 3. 1  x 2 .dx (đề thi học kì II năm 2014-THPT Nguyễn Khuyến-TP.HCM). 0. A.. 45 8 7. . 12. Tính. 0. A.. x3 .dx 3. x2  1. B.. 3 5. C.. 8 3. D.. 46 15. B.. 93 10. C.. 8 3. D.. 46 15. ?. 45 8. 3  x2  13. Tính   e x  .dx ? ( đề thi thử THPT QG 2015-THPT Hàn Thuyên-Bắc Ninh-Lần 3 ) x 1  0 91 9 912 91 A. e3  B. e3  C. e3  D. e2  15 5 15 15 1 2x 1 14. Tính  .dx ? x2  x  1 1. A. 2. . . 3 1 1. 15. Tính.   x  1 . 3. B. 2. . B. . 1 15. 32. . C. 4. . C. . 2 15. . 3 1. . 2 x  x 2 .dx ?. 0. A.. 44. 2 15. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - . . D. 2 2 3  1. D. 15.

(45) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 (P1). CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. 1. B. 5. C. 9. A. 13. A. 2. B. 6. C. 10. A. 14. A. 3. A. 7. A. 11. D. 15. C. 4. D. 8. B. 12. B. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 45.

(46) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. b. DẠNG: I   f (e x ).e x .dx  Đặt t  e x  dt  e x .dx  a. ln 3. VÍ DỤ 1. Tính tích phân I =.  0. dx ex  1. Lời giải: Đặt t =. e x  1  t2 = e x +1  2tdt = e x dx  dx =. 2t dt t 1 2. 2. Khi x = 0 thì t =. Khi x = ln3 thì t = 2 Do đó: 2. I=. 2. 2tdt 2dt  t (t 2  1)   t 2  1  2 2. =ln. t 1 t 1. 2. 2. 1. 1.  ( t  1  t  1)dt 2. 1 2 1 3 2 2  ln  ln  ln 3 3 2 1 2 ln 2. VÍ DỤ 2: Tính tích phân I =.  0. e2 x ex  1. dx. Lời giải: Đặt t =. e x  1  t2 = e x  1  e x dx  2tdt. Khi x = 0 thì t = Khi x = ln2 thì t = 3. Do đó:I =. 46. 2 3 3. (t 2  1)2tdt t3 2  2 ( t  1) dt  2(  t)   t 3 2 2. 3 2. . 2 2 3. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(47) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 (P2) ln 2. Câu 1:. e.. a  e x .dx =. x. Tìm a biết:. 0. A. 3. B. 2 3. Câu 2:. Tính. e .dx. .  e x  1. ln 5. . e2 x .dx ex 1. ln 2. ln 6. Tính. dx. . ex  3. 0. . . A. A. 3  2 3 ln 2. Câu 6:. Tính. . e 2 x .dx ex  2. 0. A.. Tính. 3 0. 20 3. C.. . B.. 2 ln 2  3 3. B.. 2 3. e x .dx 3  e x  2e x  7. A. ln 4 Tính.  0. dx 4. ex  4. 2 1. D.. 2. 8 3. D.. 46 15. . . C. ln 2  3. C.. 2 1. . D.. 1 ln 2  3 3. D.. 2 2 3. . 8 3. C. 2 3. D. 2 3 . ?. B. ln ln16. A. ln 4. B.. B. 2 3  ln 6. Câu 8:. C.. ?. 8 3. Câu 7:. 2 3. ?. 3 ln 2  3 3 ln 2 e 2 x .dx Câu 5: Tính  ? ex 1 0. A.. B. ?. 45 A. 8. Câu 4:. D. 1. ?. 3. A. 3  2 3 Tính. C. 5. x. 0. Câu 3:. 16 2 3 3 .. 80 3. C. ln. 8 3. D. ln. 800 3. 80 3. C. ln. 8 3. D. ln. 3 5. ? B. ln. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 47. 2 3. .

(48) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 (P2). 48. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. 1. C. 4. A. 7. B. 2. C. 5. D. 8. D. 3. B. 6. B. 9. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(49) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. b. 1 1 DẠNG I   f (ln x)   dx  Đặt t  ln x  dt   dx  x x a. Nếu f (ln x) có chứa m  n.ln x với m, n là hằng số thì ta đặt luôn t  m  n.ln x. Bởi 1 lẻ khi vi phân dt  n   dx sẽ không bị mất tính tổng quát so với khi đặt t  ln x và x làm cho việc xử lý bài toán sau khi đặt ẩn phụ sẽ đơn hơn. Ngoài ra, khi gặp căn thức, ta cũng đặt t  n f (ln x)  Nếu có chứa log a x thì ta chuyển về ln x bằng công thức: log a x  log a e.log e x . - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. ln x  ln a. 49.

(50) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. b. 1 TRẮC NGHIỆM DẠNG I   f (ln x)   dx x a e. Câu 1:. Tính. ln x.dx ? 1  ln x. x 1. A.. 42 2 3 e. Câu 2:. Tính. 4 2 3 1  3ln x .ln x .dx ? x 478 B. 15. B..  1. 29 A. 270. C.. 52 2 3. C.. 13 178. C.. 93 3  63 2 7. 52 2 3. D.. D.. 116 135. e. Câu 3: A.. Tính. ln x. 3 2  ln 2 x .dx ? 1 x. 93 3  63 2 8. 3. B.. e. Câu 4:. Tính.  x. 1. 3. 4  3 2. 3. Câu 5:. Tính.  1. 1 A. 2 e3. Câu 6:. Tính. x 1. A.. 64 105. Tính. x 1. A.. 50. 45 8. 3  2 ln x .dx x 1  2 ln x 3 B. 2. 33 2 7. 3. C.. 4 3 2. D.. 3. 3 3  3 5. 1 2. D.. 5 3. C.. 46 15. D.. 29 270. C.. 8 3. D.. 46 15. C. . ln x.dx ln x  1 B.. e. Câu 7:. 3. 3 4 2. B. e e. 3. D.. dx ? 1  ln x. 3. A.. 33 2 8. 76 15. ln 3 x.dx 1  3ln2 x B.. ? 4 27. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(51) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. b. 1 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM DẠNG I   f (ln x)   dx x a. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. 1. A. 4. A. 7. B. 2. D. 5. D. 3. A. 6. B. KỸ THUẬT 4: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG:. a. Hệ thức cơ bản: sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1 1  tan 2 a . 1 1 ; 1  cot 2 a  2 cos a sin 2 a. b. Công thức nhân đôi sin2a = 2sina.cosa cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a 2 tan a cot 2 a  1 ; cot 2 a  1  tan 2 a 2 cot a c.Công thức hạ bậc 1  cos 2a 1  cos 2a sin 2 a  cos 2 a  2 2 d.Công thức biến tích thành tổng 1 cos a.cos b   cos(a  b)  cos( a  b)  2 1 sin a.sin b   cos( a  b)  cos( a  b)  2 1 sin a.cos b  sin( a  b)  sin( a  b)  2 tan 2a . tan 2 a . - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 1  cos 2a 1  cos 2a. 51.

(52) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Nhắc lại công thức nguyên hàm lượng giác: Nguyên hàm số sơ cấp. Nguyên hàm hàm mở rộng.  cos xdx  sin x  C.  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C.  sin xdx   cos x  C.  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C. 1.  cos. 2. 2. x. 1. 1. 1. dx  tan x  C.  cos  ax  b dx  a tan  ax  b   C. dx   cot x  C.  sin  ax  b dx   a cot  ax  b   C. x. 1.  sin. 1. 2. 1. 1. 2. Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)  (n  1)!! (1)  n !! n n 0 cos xdx  0 sin xdx   (n  1)!!  . . (2)  n !! 2. . . 2. 2. (Nếu n lẻ : Dùng ct (1) ; Nếu n chẵn: Dùng ct (2) ) Trong đó n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0!!  1; 1!!  1; 2!!  2; 3!!  1.3; 4!!  2.4; 5!!  1.3.5; 6!!  2.4.6; 7!!  1.3.5.7; 8!!  2.4.6.8; 9!!  1.3.5.7.9; 10!!  2.4.6.8.10 .  2. VÍ DỤ 1..  cos. 11. xdx . 0. 10!! 2.4.6.8.10 256   . 11!! 1.3.5.7.9.11 693.  2. VÍ DỤ 2.  sin10 xdx  0. 52. 9!!  1.3.5.7.9  63 .  .  . 10!! 2 2.4.6.8.10 2 512 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(53) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. DẠNG 4.1. SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN . 1  sin 3 x VÍ DỤ 1: Tính I1   dx 2  sin x 4. 6. Bài giải: Ta thấy đề bài biểu thức dưới dấu tích phân ở dạng thương nên phải biến đổi để không còn dạng thương, 1 mặt khác , sinx có công thức nguyên hàm nên sin 2 x . . 4 1  sin x  1  dx   2  sin x dx 2    sin x   sin x 3. 4. I1   6. 6. .    cot x  cos x  4  1  6. Vậy I1  1 . 2 3  2 2. 2 3  2 2 . 3cos3 x dx 1  sin x 0 2. VÍ DỤ 2: Tính I 2   Bài giải:. Ta thấy biểu thức dưới dấu tích phân ở dạng thương nên phải biến đổi để không còn dạng thương, tử thức là cosx, mẫu là biểu thức theo sinx nên ta biến đổi tử theo sinx để rút gọn . . 2 1  sin 2 x cos x   dx 3cos x I2   dx  3 1  sin x 1  sin x 0 0 3. 2. . . 2. 3  2 3  3 1  sin x  cos xdx   3sin x  cos 2 x   4  0 2 0. Vậy I 2 . 3 2 - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 53.

(54) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến.  3. VÍ DỤ 3: Tính I 3   . 1 dx sin x cos 2 x 2. 4. Bài giải: 1 1 1 1 1 , nhưng nếu tách  . được biểu thức 2 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x sin x cos2 x dưới dấu tích phân là tích hai hàm nên. Ta có công thức nguyên hàm. Cách 1: . . 3. . 3 1 sin 2 x  cos 2 x dx   2 2 dx sin 2 x cos 2 x  sin x cos x. 4. 4. I3   .  3 1  2 3  1 3    dx  tan x  cot x      2 2 sin x  3   cos x 4 4. Vậy I 3 . 2 3 3. Cách 2:  3. I3   .  3 1 1 dx  dx 2 2 2  sin x cos x  (sin x cos x ). 4. 4.  3.  .  4 2 3 3 dx   2 cot 2 x   2 sin 2 x 3 4. 4. Vậy I 3 . 2 3 3  4. VÍ DỤ 4: Tính I 4   cot 2 xdx . 6. 54. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(55) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Bài giải: Ta không có công thức nguyên hàm của cot 2 x nên cần phải biến đổi. Có hai cách. Cách1: . . 4. 4. . . 6. 6. I 4   cot 2 xdx    cot 2 x  1  1dx .    cot x  x  4  1  6.  4.  3.  6.  1 .  12.  3. Cách 2: . . 4. 4. . . I 4   cot 2 xdx   6. . . 4 cos x 1  sin x  1  dx  dx   2  1dx 2 2   sin x   sin x   sin x 2. 2. 4. 6. 6. .    cot x  x  4  1  6.  4. 6.  3.  6.  1 .  12.  3. Bài tập tự luyện . . 3  2 cot x  cos2 x dx 2. 3. Tính : a.. 2.  3. 4sin x 0 1  cos x dx. b.. 4. c.  tan 2 xdx 0. 4. . . sin 4 x e.  dx cos 2 x 0. 4. 4. cos 2 x d.  dx cos 2 x 0. Đáp án: a.. 11 3 5 3. b.2. c.1 .  4. d..  2. 1. 5 3 e.  4 8. DẠNG 4.2: DÙNG CÔNG THỨC HẠ BẬC  2. VÍ DỤ 1: Tính J1   cos 2 xdx 0. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 55.

(56) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Bài giải: Ta không có công thức nguyên hàm của cos2x nên phải dùng công thức hạ bậc . . . 1  cos 2 x 1 1 2  J1   cos 2 xdx   dx   x  sin 2 x   2 4 2 0 4 0 0 2. Vậy J1 . 2.  4  2. VÍ DỤ 2: Tính J 2   sin 2 x cos 2 xdx 0. Bài giải: . . 2. . 1  cos 2 x 1 1 2 1  cos 4 x  cos 2 xdx    cos 2 x  cos 2 2 x dx    cos 2 x  dx 2 2 2 2   0 0 0 2. J 2   sin 2 x cos 2 xdx   0. . 2. . 1 1 1 1  2    x  sin 2 x  sin 8 x    2 2 2 8 4 0. Vậy J 2  .  4  2. VÍ DỤ 3: J 3   cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x dx 0. Bài giải: . . 2. 2. 0. 0. J 3   cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x dx   cos 2 x 1  2sin 2 x cos 2 x dx . . 2  1   1 1  cos 4 x    cos 2 x 1  sin 2 2 x dx   cos 2 x 1  . dx 2  2   2  0 0 2. 56. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(57) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. . . . . 2. 2. 2. : Đạt Nguyễn Tiến. . 2 1 1 1 1 3cos 2 xdx  cos 4 x cos 2 xdx  3cos 2 xdx  cos 6 x  cos 2 x  dx     40 40 40 8 0. . . . 2 2 2 3 1 1  sin 2 x  sin 6 x  sin 2 x  0 8 64 12 0 0 0. Vậy J3 = 0. Bài tập tự luyện Tính các tích phân . . 3. 3. x  a.   cos 2 x  sin 2  dx 4 0. b.  cos 2 x.sin 4 xdx . 6. . . 20. c.. 2. 2  sin 5xdx.   2sin. d.. 0. x  sin x cos x  cos 2 x  dx. 0.  4. 2.  4. e.  sin xdx 4. f.. 0. Đáp án: a.. d..  3.  4.  cos. 4. xdx. 0. . . 3 1  8 2. b.. 1  3    16  6 4 . 1  3  e.   1 4 8 . 1 2. c..  40. . 1 20. 1  3  f.   1 4 8 . DẠNG 4.3: DÙNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG  3. VÍ DỤ 1: Tính tích phân: K1   sin 2 x cos 6 xdx . 6. Bài giải: - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 57.

(58) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Biểu thức dưới dấu tích phân là tích của hai hàm nên ta dùng công thức biến đổi tích thành tổng . . 3. 3. K1   sin 2 x cos 6 xdx  . 6. . 1 1 1 1 3 sin 8 x  sin 4 x dx   cos 8 x  cos 4 x     =0 2  2 8 4  6. 6. Vậy K1  0  2. VÍ DỤ 2: Tính tích phân: K 2   cos x cos 2 x cos 3 xdx 0. Bài giải: Ta có: cos x cos 2 x cos 3 x  cos 2 x cos 3 x cos x . 1 cos 2 x  cos 4 x  cos 2 x  2. . 1 cos 4 x cos 2 x  cos 2 2 x   2. . 1  cos 6 x  cos 2 x  1  cos 4 x  4 . 12 Do đó K 2    cos 6 x  cos 2 x  1  cos 4 x dx 40 . 1 1 1  1 2    sin 6 x  sin 2 x  x  sin 4 x   8 4 16  24 0 8 Vậy K 2 .  8. Bài tập tự luyện: . . 4. 4.  6. c.  sin 6 x sin 2 x  6 dx. a. sin 5 x sin 3 xdx. b.  sin x sin 2 x cos 5 xdx. 58. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - . 0. 0. 0.

(59) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. Đáp án: a.. 1 4. b. . 1 6. c.. : Đạt Nguyễn Tiến. 3 3  32. DẠNG 4.4: ĐỔI BIẾN SỐ Các dạng thường gặp khi đổi biến a. b. c. d.. Chứa biểu thức mang mũ Chứa mẫu Chứa căn Chứa mũ. Dạng f  s inx  .cos x  đặt t  sin x hoặc t  a  b.sin x Dạng f  cos x  sin x  đặt t  cos x hoặc t  a  b cos x Dạng f  tan x . 1  đặt t  tan x cos 2 x. Dạng f  cot x . 1  đặt t  cot x sin 2 x. Dạng f  s inx  cos x  .  sin x  cos x   đặt t  sin x  cos x. Dạng 4.4.1. Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d với d(sinx)=cosx, d(cosx)=-sinx  2. VÍ DỤ 1: Tính: L1   1  2sin x  cos xdx 3. 0. Bài giải: Biểu thức dưới dấu tích phân chứa biểu thức mang mũ và d(sinx) = cosxdx. Nên Đặt: t  1  2sin x, dt  2 cos xdx  cos xdx  Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1; x =.  2. dt 2. thì t =3. . 3. dt  t 4  Do đó L1   1  2sin x  cos xdx   t     10 2  8 1 0 1 2. 3. 3. 3. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 59.

(60) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến.  2. VÍ DỤ 2: Tính L2 =.  cos. 3. xdx. 0. Bài giải: -Mặc dù chứa biểu thức mang mũ nhưng ta không đặt t = cosx được vì tích phân mới không chuyển hoàn toàn về theo biến t.  2. L2 =.  cos 0.  3. 2. xdx   cos x 1  sin 2 x  dx 0. Đặt t  sin x, dt  cos xdx  cos xdx  dt Đổi cận: khi x = 0 thì t = 0; x =.  2. thì t =1. 1.  t3  2 Do đó: L2   1  t  dt   t    3 0 3  0 1. 2. Rút kinh nghiệm: - Dạng tổng quát  sin 2 n 1 xdx   sin 2 n x sin xdx   (1  cos 2 x) n sin xdx . Đặt t = cosx ( chứa sinx mũ lẻ ta đặt t = cosx) - Dạng tổng quát  cos 2 n 1 xdx   cos 2 n x cos xdx   (1  sin 2 x) n cos xdx . Đặt t = sinx ( chứa cosx mũ lẻ ta đặt t = sinx). - Áp dụng được đối với biểu thức dưới dấu tích phân là tích của sinx và cosx. 60. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(61) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến.  2. VÍ DỤ 3: Tính L3 =  sin 3 x cos 2 xdx . 3. Bài giải: . . 2. 2. .  1  cos x  cos . 3. 3. L3 =  sin 3 x cos 2 xdx =. 2. 2. x sin xdx. Đặt t = cosx, dt = - sinxdx  sin xdx   dt Đổi cận: x =.  3. 1  ;x= t 0 2 2. t . 0. Do đó L3 =.  1  t  t 2. 2. 1 2. Vậy L3 =. 1 2. 1 2. t t  17 ( dt )    t 2  t 4  dt       3 5  0 480 0 3. 5. 17 480  6. VÍ DỤ 4: Tính L4   sin 3 x cos3 xdx 0. Bài giải: Cả sin và cosx đều mũ lẻ nên ta có thể giải bằng các cách sau: Cách 1: . . 6. 6. . 1 16 3 L4   (sin x cos x) dx   sin 2 xdx   1  cos 2 2 x  sin 2 xdx 80 80 0 3. 1 Đặt t = cos2x, dt = - 2sin2xdx  sin 2 xdx   dt 2. Đổi cận: x =.  6. t . 1 ; x = 0 t 1 2. Do đó 1. 1 1 1  t3  1 11 5 2 L4   (1  t )dt   t      16 1 16  3  1 24 384 384 2. 2. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 61.

(62) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Cách 2:  6. L4   sin x 1  cos 2 x  cos3 xdx 0. Đặt t = cosx, dt = - sinxdx  sin xdx   dt Đổi cận: x =.  6. 3 ; x = 0 t 1 2. t . Do đó  t4 t6  L4   (1  t )t dt   (t  t )dt     4 6 3 3 1. 1. 2. 3. 2. Vậy L4 . 3. 1. . 5. 2. 3 2. 5 384. 5 384. Ta có thể tách cos3x = (1 – sin2x)cosx . 1  2sin 2 x dx ( ĐHKB - 2003) 1  sin 2 x 0 4. VÍ DỤ 5: Tính L5   Bài giải:. Đề bài dạng phân thức hơn nữa (1  2sin 2 x)dx  cos 2 xdx Đặt t = 1 + sin2x, dt = 2cos2xdx  cos 2 xdx  Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1; x =.  4. dt 2. thì t = 2. . 2. 2. 1  2 sin 2 x dt 1 1 Do đó: L5   dx    ln t  ln 2 1  sin 2 x 2t 2 2 1 0 1 4. Vậy L5 . 1 ln 2 2 0. VÍ DỤ 6: Tính L6 . 2. . 62. sin 2 x.   2  sin x  dx 2. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(63) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Bài giải: Đề bài chứa biểu thức mang mũ nên đặt t = 2 + sinx nhưng dt = cosxdx nên ta phải dùng công thức nhân đôi tách sin2x 0. L6 . 0. sin 2 x. 2 sin x cos x.   2  sin x  dx    2  sin x  2. . . 2. 2. dx. 2. Đặt t  2  sin x  sin x  t  2 Ta có dt  cos xdx Đổi cận khi x   2. Do đó L6   1.  2. thì t = 1; x  0 thì t = 2. 2 t  2 t2. 2. 2. 4 2 4   dt     2 dt   2 ln t    2 ln 2  2 t t  t 1  1. Vậy L6 = 2ln2 - 2 . sin 2 x  sin x dx 1  3cos x 0 2. VÍ DỤ 7: Tính L7 =. . Bài giải: Đề bài chứa căn thức và d(cosx) = - sinxdx nên Đặt t  1  3cos x  t 2  1  3cos x  2tdt  3sin xdx  sin xdx  . Đổi cận khi x = 0 thì t = 2; x =.  2. 2tdt 3. thì t = 1. Do đó. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 63.

(64) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. . : Đạt Nguyễn Tiến. . 2  2 cos x  1 sin xdx sin 2 x  sin x dx   1  3cos x 1  3cos x 0 0 2. L7= .  t 2 1  2  1 2 2  2 3 2  2 2  2t 3  44 10 34  2   tdt    2t  1dt   t    31 t 91 9 3  1 27 27 27 Vậy L7 =. 34 27  4. VÍ DỤ 8: Tính L8   ecos 2 x sin 2 xdx 0. Bài giải: Đề bài chứa mũ nên 1 Đặt t = cos2x, dt = -2sin2xdx  sin 2 xdx   dt 2. Đổi cận: x =.  4.  t  0 ; x = 0 t 1 1. 1 1 1 1 1 Do đó: L8   et dt  et  e  0 20 2 2 2. Vậy L8 . 1 1 e 2 2  3. VÍ DỤ 9: Tính L9   sin 2 x tan xdx ( Dự bị A – 2005) 0. Bài giải: . . 3. 3. 0. 0. L9   sin 2 x tan xdx   1  cos 2 x . sin x dx cos x. Đặt t = cosx, dt = -sinxdx  sin xdx   dt Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1; khi x =. 64.  3. thì t . 1 2. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(65) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. 1 2. : Đạt Nguyễn Tiến. 1.  dt t2  2 3 Do đó: L9    1  t 2     ln t    ln 2  t 2 1 8  1 Vậy L9  ln 2 . 3 8. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân . . 6. 3. cos xdx a. 2 sin x  1 0.  3. cos x b. dx 2  sin x. 4. c. . 4. 6. . . . 4. 4. sin 4 x d . dx 3  cos 2 x 0. f . tan 3 xdx 0. cos x dx 1  sin 2 x  sin 2 x. 2. sin 2 x cos x dx (ĐHKB- 2005) 1  cos x 0. g .. Đáp án: 1 a. ln 2 2 d .1  3ln. b. 3 4. 9 2 7 3 6. 1 2 f .  ln 2 2. 1 3 2 2 c. ln 2 2 2 3 g .2 ln 2  1. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 65.

(66) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Dạng 4.4.2. Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d và d  sin 2 x   sin 2 xdx; d  cos 2 x    sin 2 xdx  2. VÍ DỤ 1: Tính M 1   sin 2 x (1  sin 2 x)3 dx 0. Bài giải: Đề bài chứa biểu thức mang mũ và d  sin 2 x   sin 2 xdx nên Đặt t  1  sin 2 x  dt  sin 2 xdx. . Đổi cận khi x = 0 thì t = 1; khi x = 2. t4 Do đó: M 1   t dt  4 1. 2. . 3. Vậy M 1 . 1. 2. thì t = 2. 15 4. 15 4  4. sin 4 x dx 2 1  cos x 0. VÍ DỤ 2: Tính M 2   Bài giải:. Đề bài chứa mẫu và d 1  cos 2 x    sin 2 xdx ; sin4x = 2 sin2xcos2x. Nên Đặt t  1  cos 2 x  dt   sin 2 xdx Đổi cận khi x = 0 thì t = 2; khi x =  4. Do đó: M 2   0.  4. thì t =. 3 2. 2  2t  3 2 2sin 2 x cos 2 x 4 dx   dt   4t  6 ln t  3  2  6 ln 2 1  cos x t 3 2 3 2. 2. Vậy M 2  2  6 ln. 66. 4 3. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(67) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến.  2. sin 2 x. VÍ DỤ 3: M 3  . cos x  4sin 2 x 2. 0. dx. Bài giải: Đề bài chứa căn thức nên Đặt t  cos 2 x  4sin 2 x  2tdt  3sin 2 xdx Đổi cận khi x = 0 thì t = 1; khi x =.  2. thì t = 2. 2 2 tdt 2 2 Do đó M 3   3  t  t 3 1 3 1 2. Vậy M3 =. 2 3. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân: . . 2. 2 sin 2 x sin x cos x a. dx b . dx 2  2 1  cos x 4  3sin x 0 0. Đáp án: a.ln 2. b.. 7 2 3. Dạng 4.4.3 Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d và d  tan x  . 1 1 dx  1  tan 2 x  dx ; d  cot x    2 dx   1  cot 2 x  dx 2 cos x sin x  3. VÍ DỤ 1: Tính N1    tan x  tan 3 x  dx . 4. Bài giải:  3.  3. N1    tan x  tan x  dx   tan x 1  tan 2 x  dx 3. . . 4. 4. Đặt t = tanx  dt  1  tan 2 x  dx - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 67.

(68) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. . Đổi cận: Khi x =. thì t =1; x =. 4. . thì t =. 3. : Đạt Nguyễn Tiến. 3. 3. 3. t2 Do đó: N1   tdt  2 1. 1 1. Vậy N1  1 . tan 4 x dx cos 2 x 0 6. VÍ DỤ 2: Tính N 2   Bài giải:  6.  4.  4. 6. 6. tan x tan x dx   dx   2 cos 2 x cos x  sin 2 x 0 0 0. N2  . Đặt t = tanx  dt . 1 dx cos 2 x. Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 0; x =. Dođó: N 2 . 3 3. t. 4.  1 t. 2. 1 cos 2 x dx 1  tan 2 x. tan 4 x.. dt . 0. 3 3.  0. . 3 3. thì t =. 6. t 1 1 dt  1 t2 4. 3 3. .    t. 2.  1 . 0. 1  dt  1  t 2 . 3 3. .    t 0. 2. 1 1 1   1     dt 2  t  1 t  1  . 3.   t3 1 t 1  3 1 10      t  ln    ln 2  3  2 t  1  2 9 3  3 0. . Vậy N2 =. . . . 1 10 ln 2  3  2 9 3  4. VÍ DỤ 3: Tính N 3   . 1 dx sin x cot x 2. 6. Bài giải: Đề bài chứa căn thức và d(cotx) = . 1 dx nên sin 2 x. Đặt t  cot x  t 2  cot x  2tdt   68. 1 dx sin 2 x. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(69) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. Đổi cận: Khi x =.  6. thì t =. 1. 4. 3 ;khi x .  4. : Đạt Nguyễn Tiến. thì t =1. Do đó N 3    2dt  2t 4 3  2 4 3  2 4. 1. 3. Vậy N 3  2 4 3  2  2. VÍ DỤ 4: Tính N 4   . 1 dx sin 4 x. 4. Bài giải: Đề bài chứa biểu thức mang mũ là sinx nhưng ta không đặt t = sinx vì d(sinx) = cosxdx không có ở đề 1 1 1 bài mà phải xem  . 2 4 2 sin x sin x sin x . . 2. 2 1 1 Ta có N 4   4 dx   1  cot 2 x  . 2 dx sin x  sin x  4. 4. Đặt t  cot x  dt   Đổi cận: Khi x =.  4. 1 dx sin 2 x. thì t = 1;khi x .  2. thì t = 0. 1.  t3  4 Do đó N 4   1  t  dt   t    3 0 3  0 1. 2. Vậy N 4 . 4 3. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân: . . 3. 3. b.  cot x  cot 3 x  dx. a. cos14 x dx . . 4. 4. Đáp án a.2 3 . 4 3. b.. 1 3. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 69.

(70) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Dạng 4.4.4 Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d và d  sin x  cos x    cos x  sin x  dx . cos x  sin x dx sin x  cos x 0 4. VÍ DỤ 1: Tính P1   Bài giải:. Đặt t  sin x  cos x  dt   cos x  sin x  dx Đổi cận khi x = 0 thì t = 1; x  2. Do đó: P1 . 1.  t dt  ln t. 2 1.  4. t  2.  ln 2. 1. Vậy: P1  ln 2  2. cos 2 x. VÍ DỤ 2: Tính P2  . 0  sin x  cos x  3 . 2. dx. Bài giải: Đặt t = sinx – cosx + 3  dt   cos x  sin x  dx Đổi cận khi x = 0 thì t = 2; x .  2. t 4. Do đó: .  cos x  sin x  cos x  sin x dx 2  sin x  cos x  3 0 2. P2  . 4. 4. t  3 3 3    2 dt    ln t     ln 2 t t 2 4  2 3 Vậy P2 =  ln 2 4 . cos3 x dx sin x  cos x 0 2. VÍ DỤ 3: Tính P3   Bài giải: 70. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(71) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. . sin 3 x dx bằng cách tính P3  Q3 ; P3  Q3 sau sin x  cos x 0 2. Ta không tính P3 độc lập được mà phải dựa vào Q3   đó giải hệ để tính P3  2. Tính P3  Q3   0. cos3 x  sin 3 x dx sin x  cos x. . . 1  1   2  1   1  sin 2 x dx   x  cos 2 x    2 4   0 2 2 0 2. . . 2  cos x  sin x 1  sin x cos x dx cos x  sin x Tính P3  Q3   dx   sin x  cos x sin x  cos x 0 0 2. 3. 3. Đặt t = sinx + cosx  dt   cos x  sin x  dx Đổi cận khi x = 0 thì t = 1; khi x =.  2. thì t= 1.  t 2 1  1  1  2   Do đó P3  Q3   dt  0 t 1 Giải hệ ta được P3  Vậy P3 .  4. .  4. . 1 4. 1 4. Bài tập tự luyện: Tính các tích phân: . . 4. cos 2 x dx sin x  cos x  2 0. a.  2. c. 0. 4. cos x dx sin x  cos x 0. b..   sin  x   4  d.  dx (ĐHKB–2008) sin 2 x  2(1  sin x  cos x) 0 . 4. sin x.  sin x  cos x . 3. dx. Hướng dẫn giải câu d. đặt t = 1 + sinx + cosx. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 71.

(72) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Đáp án: a. 2  1  2 ln. 22 3. 1 b. ln 2  8 2. c.. 1 2. d.. 43 2 4. TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 (P3) Tính các tích phân sau (không dùng máy tính) ( dạng f  s inx  .cos x  đặt t  sin x hoặc t  a  b.sin x )  2. Tính  sin 2 x.cos x.dx ? (đề HK II 2014- THPT Lương Văn Can- TP.HCM ). Câu 1:. 0. A.. 1 2. B.. 3 2. C. . 1 2. D. . 3 2.  2. Câu 2:. Tính.  1  3sin x .cos x.dx ?. (đề HK II 2014- THPT Quốc Trí- TP.HCM ). 0. A.. 1 2. B.. 3 2. C. . 1 2. D. . 3 2.  2. Câu 3:. Tính. cos x.  1  sin x .dx ? (đề HK II 2014- THPT Marie Curie- TP.HCM ) 0. A. ln4. B. ln5. C. ln3. D. ln2.  2. Câu 4:. Tính. cos x.  5  2sin x .dx ? 0. 1 5 A.   ln 3 2. B.. 1 5 ln 2 3. C.. 1 3  ln 3 2. 1 5 D.  ln 3 2.  2. Câu 5:. Tính. sin 2 x.dx.  1  sin x. ? (đề HK II 2014-THCS & THPT Bắc Mỹ- TP.HCM ). 0. A. 1-ln4. B. 4ln5. C. 3-ln3. D. 2-2ln2.  2. Câu 6:. Tính.  1  s inx  .cos x.dx ? 2. 0. A. 8. 72. B. 3. C.. 7 3. D.. 3 8. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - .

(73) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến.  2. Câu 7:. Tính.  1  2sin x  .cos x.dx 3. ?. 0. A. 5. B. 10. C. 15. D. 20. Tính các tích phân sau ( dạng f  cos x  sin x  đặt t  cos x hoặc t  a  b cos x )  3. Tính  s inx.cos 4 x.dx ? ( đề thi HK II-THPT Lê Thánh Tôn- TP.HCM ). Câu 8:. 0. 64 105. A.. 31 160. B.. C.. 46 15. 29 270. D..  3. Câu 9:. Tính. s inx .dx ? ( đề thi HK II-THPT Việt Mỹ Anh- TP.HCM ) 2 x.  cos 0. A.. 1 2. 1 4. B.. C. 2. D. 1. . Câu 10:. Tính  sin 2 x.cos 2 x.dx ?(đề thi thử THPT QG 2015-THPT Nguyễn Văn Trỗi- Hà Tĩnh-Lần1) 0. A. 0. B. 2 . Câu 11:. Tính. C.4. 2.  sin x.cos x 1  cos x . 2. D.6. .dx ?. 0. A.. 64 105. B.. 31 160. C.. 17 12. D.. 29 270. . 4sin 3 x 0 1  cos x .dx ? 2. Câu 12:. Tính. A. 0. B. 2. C.4. Tính các tích phân sau ( dạng f  tan x   4. Câu 13:. Tính.  0. A.. 11 6. 1  tan x . 2. 2. cos x. B.. 7 3. .dx. D.6. 1  đặt t  tan x ) cos 2 x. ? C.. 5 2. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. D. 3. 73.

(74) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. . 2  3 tan x .dx ? ( đề thi thử THPT QG 2015-THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa ) 1  cos 2 x. 4. Câu 14:. Tính.  0. A.. 5 52 2 9  4. Câu 15:. Tính. . 5 5 2 9. B..  cos x  e  .sin x.dx. C.. 5 2 2 9. D.. 52 2 9. tan x. cos 3 x. 0. A. 2. ?. B. 1. C.. 2. D. 3. . tan 4 x 0 cos 2 x .dx ? ( đề thi Đại Học khối A năm 2008 ) 6. Câu 16:. Tính. . . B.. . . D. . A. . 10 3 1  ln 2  3 27 2. C. . 10 3 1  ln 2  3 27 2. . 10 3 1  ln 2  3 27 2. . . 10 3 1  ln 2  3 27 2. . Tính các tích phân sau ( dạng f  s inx  cos x  .  sin x  cos x   đặt t  sin x  cos x )  2. Câu 17:. Tính. sin x  cos x. .dx ?   sin x  cos x 4. A. ln 2. B. ln 4. C.. 1 ln 4 2. D.. 1 ln 2 2.  4. Câu 18:. Tính. sin x  cos x.  sin x  cos x  3 .dx ? 0. A.  ln. 3 2 4. B. ln. 3 2 4. C.  ln. 3 2 4. D.  ln.  4. Câu 19:. Tính. cos 2 x.  sin x  cos x  2 .dx ? 0. A. C.. 3 2 2 3 2  1  2 ln 2 2 2  1  2 ln. B. D.. 1 2 2 3 2  1  2 ln 2 2 2  1  2 ln.  2. Câu 20:. Tính. cos 2 x.   sin x  cos x  3. 3. .dx ?. 0. 74. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 - . 3 2 2.

(75) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. A.. 11 6. B.. 1 32. C.. 5 2. : Đạt Nguyễn Tiến. D. 3.  2. Câu 21:. Tính.  . 1  sin 2 x  cos 2 x .dx sin x  cos x. 4. A. 3. B. 2. C. 1. D. -1. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 (P3) CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. Câu 1.. A. Câu 7.. B. Câu 13.. B. Câu 19.. A. Câu 2.. C. Câu 8.. B. Câu 14.. A. Câu 20.. B. Câu 3.. D. Câu 9.. D. Câu 15.. C. Câu 21.. C. Câu 4.. B. Câu 10.. A. Câu 16.. A. Câu 5.. D. Câu 11.. C. Câu 17.. D. Câu 6.. C. Câu 12.. B. Câu 18.. A. - TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1. 75.

(76) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 DẤU HIỆU. a2  x2.  x  a sin t   x  a cos t. x2  a2.  a x  sin t  a  x  cos t . a x.  x  a tgt   x  a cot gt. 2. 2. ax ax. x  a cos t. ax ax. x  a cos t. a2  b2 x 2. x. a sin t b. x. a tgt b. 1 , n=1, 2, … (a  b 2 x 2 )n 2. 76. CÁCH CHỌN. KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 - .

(77) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. VÍ DỤ 1: Tính tích phân(với a>0) a 2. dx. I= . a  x2 2. 0. Lời giải:    Đặt t= asint, t    ;  ,  2 2.  dx= acostdt. Với x = 0 thì t=0 Với x=. a  thì t= 2 6 . . 6. Do đó: I =.  0. a cos tdt a 2  a 2 sin 2 t. 6.   dt  0.  6. 0 .  6. VÍ DỤ 2: Tính tích phân(với a >0) a. dx a  x2 0. I= . 2. Lời giải:    Đặt x = tgt , t    ;  ,  dx = a(tg2t + 1)dt.  2 2. Với x = 0 thì t=0 Với x= a thì t =.  4. Do đó: . I=. . a (tg t  1)dt 4 dt 1   0 a 2  a 2tg 2t  0 a  a ( 4  0)  4a 4. 2. - KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2. 77.

(78) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. VÍ DỤ 3 : Tính tích phân: 1. I. 1  x2 dx x2. . 2 2. Lời giải: Đặt x = sint,  dx = costdt 2  thì t = 2 4. Khi x =. . Khi x = 1 thì t =. 2. Do đó: . . I=. . 2 cos t 1  sin t 1 dt  dt   sin 2 t  sin 2 t  ( sin 2 t  1)dt 2. 2. 2. 2. 4. 4. 4. . =-(cotgt+t). 2. . =1-. 4.  4. VÍ DỤ 4: Tính tích phân 1. I=.  0. x2 4  x2. dx. Lời giải: Đặt x = 2cost,  dx = -2sintdt Khi x = 0 thì t = Khi x = 1 thì t =.  2.  3. Do đó:. 78. KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 - .

(79) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |.  3. I =  . : Đạt Nguyễn Tiến.   3 4 cos t.2sin tdt  3  1   2  (1  2 cos t ) dt  2 t  sin 2t  3   2sin t  2  2 3 2  2. 2. 2. VÍ DỤ 5: Tính tích phân 2. I=. x. 4  x 2 dx. 2. 0. Lời giải: Đặt x = 2sint,  dx = 2cosdt Khi x = 0 thì t = 0 Khi x = 2 thì t =.  2. x 2  4 sin 2 t . . . 2. 2. 2. 0. 0. 0. Do đó: I =  16 sin 2 t cos 2 tdt  4  sin 2 2tdt  2  (1  cos 4t )dt    1  =2 t  sin 4t  2  2(  0)   2  4  0. VÍ DỤ 6: Tính tích phân 2 2. I=.  0. x 3 dx 1  x2. Lời giải: Đặt x = sint,  dx = cosdt Khi x = 0 thì t = 0 Khi x =. 2  thì t = 2 4 - KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2. 79.

(80) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Do đó: . . . . 4. 4 4 2 2 sin 3 t.cos t I=  dt   sin 3 tdt   sin t.sin tdt    (1  cos t )d (cos t ) 0 cos t 0 0 0 4. 1 cos3t) 3. = (-cost +.  4 0. 2 5 2 =  3 12. VÍ DỤ 7: Tính tích phân 2 2. I=. x 2 dx. . 1  x2. 0. Lời giải: Đặt x = sint,  dx = cosdt Khi x = 0 thì t = 0 2  thì t = 2 4. Khi x =. . . .  sin t.cos tdt 14 1 1  4  1 2 Do đó: I =    sin tdt   (1  cos 2t )dt  t  sin 2t    cos t 20 2 2  0 8 4 0 0 4. 2. 4. VÍ DỤ 8: Tính tích phân 2. I=. . 2 3. dx x x2 1. Lời giải: Đặt x = Khi x =. 80. 1 sin tdt ,  dx = cos t cos 2 t. 2  thì t = 6 3. KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 - .

(81) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. Khi x =. 2 thì t =.  4. Do đó: I =.   6. : Đạt Nguyễn Tiến.  4.   sin t sin t 4 4 2 2 cos t cos t dt   dt   dt  t 1 sin t 1 1   1 6 6 cos t cos t cos t cos 2 t.  4. . 6. .  12. VÍ DỤ 9: Tính tích phân 1. I=. x. 2. 4  3 x 2 dx. 0. Lời giải: Đặt x =. 2 2 sin t  dx = cos tdt 3 3. Khi x = 0 thì t = 0 Khi x = 1 thì t =.  3. Do đó: . . 3. 3. . 4 2 2 4 2 3 2 2 I =  sin t 4  4sin t . cos tdt   sin 2tdt  3 3 0 (1  cos 4t )dt 3 3 3 30 0. =. 2  1  t  sin 4t   3 3 4 .  3 0. .  3 (  ) 3 3 3 8 2. VÍ DỤ 10: Tính tích phân 2 2. I=.  0. 1 x dx 1 x. Lời giải: Đặt x=cost,  dx = -sintdt - KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2. 81.

(82) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. Khi x=0 thì t =. : Đạt Nguyễn Tiến.  2. 2  thì t = 2 4. Khi x = Do đó: . . 4. I =  . 1  cos t .sin tdt   1  cos t . 2. 4. 2. .   t t t 2 cos 2 cos 2 .sin tdt  2 .sin tdt  2 .2sin t cos t dt   t t t 2 2  sin  sin 2sin 2 4 4 2 2 2. 2 cos 2. .  2 t  2 =  2 cos dt   (1  cos t )dt  (t  sin t ) 2   1  2 4 2   4 2. 2. 4. 4. VÍ DỤ 11: Tính tính phân 3. I=. x 1. dx 1  x2. Lời giải: dt cos 2 t. Đặt x = tgt,  dx = Khi x=1 thì t = Khi x =. 1  x2 .  4. 3 thì t =.  3. 1 cos t. Do đó:  3. I=. . . 4. 82.  3 dt dt t 3   .   (ln tg )   ln(tg )  ln(tg ) 2  tgt. cos t  sin t 2 4 6 8. cos t. 4. KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 - .

(83) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. VÍ DỤ 12: Tính tích phân 1. I=. dx.  (1  3x 0. 2 2. ). Lời giải: 1 1 dt 1 tgt ,  dx =  (1  tg 2t )dt 2 cos t 3 3 3. Đặt x =. Khi x=0 thì t = 0 Khi x = 1 thì t =.  3. 1+3x2=1+tg2t Do đó: . . . 1 3 dt 1 3 1 3 1  1  2 I=  cos tdt  (1  cos 2t ) dt  t  sin 2t  2     3 0 1  tg t 30 2 30 2 3 2 .  3 0. =.  3 (  ) 2 3 3 4 1. VÍ DỤ 13: Tính tích phân 3 2. I=. . 3 2. 9  2x 2 dx x2. Lời giải:. Đặt x=. Khi x=. 3 3 dt tgt ,  dx = 2 2 2 cos t 3  thì t = ; 6 2. - KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2. 83.

(84) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. Khi x =. : Đạt Nguyễn Tiến. 3  thì t = 4 2 1 cos t. 9  2 x 2  3 1  tg 2t  3.. Do đó:. 3 1 1    .3. 4 4 4 2 dt dt d sin t 2 cos t cos t dt  2  2  2 3 2 2 2 2    9 2  cos t.tg t  cos t.sin t  (1  sin t ).sin t tg t 6 6 6 2.  4. I=. . . 6. Đặt: v=sint thì 2 2. 2. I=.  1 2. 2 2. dv 1 1  1 v 1 1   2( 2 )dv   2  ln   2 2 2 v (1  v ) 1 v  2 v 1 v  1 v. 2 2 1 2. = 2 2  2  2 ln( 6  3). . 3 8. 2. VÍ DỤ 14: Tính tích phân 1. I=. . 1  x 2 dx. (Đại học Y HN 1998). 1  2. Lời giải: Đặt x = sint,  dx=costdt. 1  Khi x =  thì t =  2 6 Khi x = 1 thì t=.  2. .. ` 1  x 2  1  sin 2 t  cos t . . 2. 2. 1 Do đó: I =  cos 2 tdt  2  . 84. 6. . . (1  cos 2t ) dt . 1 1  t  sin 2t   2 2 .  2 .  6. .  3. 6. KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 - .

(85) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 a. Câu 1:. Tính. 0. . dx. . A. ln 1  2 2. ,  a  0 ?. x  a2 2. . . B. ln 1  2. . . C. ln 1  2 2. . D. ln 2 2. . . . . a. Câu 2:. Tính. . a 2  x 2 .dx ?. 0.  2  ln . . 2 1  .  2  ln . . 2 1  . 2. a 2 a2 C. 2 A.. . . a. Câu 3:. Tính. x. a2 2 a2 D. 2 B..  2  ln  1  ln . . . . 2 1  . . 2 1  . x 2  a 2 .dx,  a  0 . 2. 0. 4. a A. 8 a4 C. 8. 3 2  ln  3  ln . . Tính. . . . dx.  1 x. . . 2 1  . 1. Câu 4:. . a4  B. 2  ln 2  1   8  a4  D. 3 2  ln 2  1   2 . 2 1  . . ?. 2. 0. A.. . B. . 16 1. Câu 5:. Tính. x. C.. . D.. 2.  4. 3.  1  x .dx 8. 0. A.. . B. . 16 2. Câu 6:. Tính.  0. . A. ln 1  2 2. . dx x2  4. C.. . D.. 2.  4. ?. . B. ln 1  2. . . C. ln 1  2 2. . D. ln 2 2. 1. Câu 7:. Tính. . x 2  1.dx ?. 0. . 1 1 A.  ln 1  2 2 2 2a. Câu 8:. Tính.  a. . dx x2  a2. B.. . 1 1  ln 1  2 2 2. . C.. . 1 1  ln 1  2 2 2. . D.. . 1 ln 1  2 2. ,  a  0 ?. - KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2. 85. .

(86) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. . B. ln 1  3. A. ln 2 2a. Câu 9:. . Tính. . . C. ln 2  3. : Đạt Nguyễn Tiến. . . D. ln 1  2 3. . x 2  a 2 .dx,  a  0  ?. a. . .   3  2 ln  2  2   . 1   A. a 2  3  ln 2  3  2  . 1   B. a 2  3  ln 2  3  2  . C. a 2  3  ln 1  3   . D. a 2  . . . 3. Câu 10:. . Tính. x 2  1.dx ?. 2. . A.. 5 2 1  ln 1  2 2 2. C.. 5 2  ln 1  2 2. . . . . . B.. 5 1  ln 1  2 2 2. D.. 5 2 1  ln 4  2 2 2. . . 5. Câu 11:. Tính. . x 2  9.dx ?. 3. 9 A. 10  ln 3 3. 9 B. 10  ln 3 2 3. Câu 12:. Tính. . . 2. A. ln 1  2 2. . dx x2  1. 9 C. 10  ln 3 3. C. 10  ln 3. ?. . B. ln 1  2. . . C. ln 1  2 2. . . D. ln 2 2. . ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 2. 86. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. 1. B. 5. A. 9. B. 2. A. 6. B. 10. A. 3. A. 7. A. 11. B. 4. D. 8. C. 12. B. KỸ THUẬT 5: ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2 - .

(87) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN  Định lý: Nếu u  u ( x) và v  v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  a; b  thì: b. b. b. a. a. b. I   u ( x)  v( x)  dx  u ( x)  v( x )  a   u ( x)  v ( x )  dx hay I   udv  u.v a   vdu. b. a. b. a. Thực hành: — Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác,… Vi phân b b u    du   dx b — Đặt:   Suy ra: I   udv  u.v a   vdu. Nguyên ha  m  v   dv   dx  a a. — Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv  phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay log a x 1 thì chọn u  ln hay u  log a x  .ln x và dv  còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn u  đa ln a thức và dv  còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn u  lượng giác,…. — Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm. — Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi. Tìm các nguyên hàm: VÍ DỤ 1. I   xsin2xdx Theo thứ tự ưu tiên ở trên, với nguyên hàm này là tích của Hàm đa thức với Hàm lượng giác, nên ta ưu tiên đặt u  x du  dx u  x  Đặt   1 dv  sin 2 xdx v   cos 2 x  2. 1 1 1 1  I   x cos 2 x   cos 2 xdx   x cos 2 x  sin 2 x  C 2 2 2 4. VÍ DỤ 2. I   x 2 e 2 x dx du  2 xdx 2 1 2 2x 1 2 2x u  x  2x Đặt   1 2 x  I  x e   xe dx  x e  I1 2x 2 2 dv  e dx v  e  2. Tính I1   xe2 x dx 87. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(88) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. du  dx u  x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x  Đặt    1 2 x  I1  xe   e dx  xe  e  C 2x 2 2 2 4 dv  e dx v  e  2. Từ đó: I.  2 x 2  2 x  1 e2 x  C 1 2 2x 1 2x 1 2x x e  xe  e  C  2 2 4 4. VÍ DỤ 3. I   x cos 2 2 xdx I   x cos 2 2 xdx   x.. 1  cos 4 x 1 1 1 dx   xdx   x cos 4 xdx  x 2  I1 2 2 2 4. 1  1 du  dx   1 u  x  2 Tính I1   x cos 4 xdx . Đặt   2 1 2 dv  cos 4 xdx v  sin 4 x  4  I1 . 1 1 1 1 x sin 4 x   sin 4 xdx  x sin 4 x  cos 4 x  C 8 8 8 32. Từ đó: I . 1 2 1 1 x  x sin 4 x  cos 4 x  C 4 8 32. VÍ DỤ 4. I    2 x 2  x  1 e x dx -Với VÍ DỤ này, khi mà bậc của P  x   2 , sử dụng phương pháp Nguyên hàm từng phần ta phải tiến hành hai lần. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cũng có thể sử dụng một cách khác được chỉ ra ở đây! Đặt: u  2 x 2  x  1 du   4 x  1 dx   I   2 x 2  x  1 e x    4 x  1 e x dx  x x dv  e dx v  e. u  4 x  1 du  4dx Tính I1    4 x  1 e x dx . Đặt   x x dv  e dx v  e  I1   4 x  1 e x  4 e x dx   4 x  1 e x  4e x  C   4 x  3 e x  C 88. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(89) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến.  I   2 x 2  x  1 e x   4 x  3 e x  C   2 x 2  3 x  4  e x  C. VÍ DỤ 5. I   e2 x cos 3 xdx du  2e 2 x dx u  e 2 x  Đặt   1 dv  cos 3 xdx v  sin 3x 3  1 2 1 2  I  e2 x sin 3 x   e 2 x sin 3 xdx  e 2 x sin 3 x  I1 3 3 3 3. du  2e 2 x dx u  e 2 x  Đặt   1 dv  sin 3xdx v   cos 3x 3  1 2 1 2  I1   e2 x cos 3 x   e 2 x cos 3 x   e 2 x cos 3 x  M 3 3 3 3. Từ đó: 1 2 1 2 1 2 1 2  I  e 2 x sin 3 x  M 1  e2 x sin 3 x  I1  e 2 x sin 3 x    e2 x cos 3 x  I  3 3 3 3 3 3 3 3  1 2 4 13 1 2  e2 x sin 3x  e 2 x cos 3 x  I  I  e 2 x sin 3 x  e 2 x cos 3 x  C1 3 9 9 9 3 9. I.  3sin 3x  2 cos 3x  e2 x  C 13. VÍ DỤ 6. I  . . x ln x  x 2  1 x2  1. .  dx. . u  ln x  x 2  1 dx  du    x2  1 . Đặt   x dx dv   2 v  x  1  x2  1. . . Ta được I  x 2  1 ln x  x 2  1  x  C 89. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(90) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. . . VÍ DỤ 7. I   ln 2 x  x 2  1 dx. . . . . dx  2 u  ln 2 x  x 2  1  du  2 ln x  x  1 . 2 Đặt:   x 1 dv  dx v  x . . . . .  I  x.ln 2 x  x 2  1  2  ln x  x 2  1 .. . . . . xdx x2  1.  x ln 2 x  x 2  1  2 x 2  1.ln x  x 2  1  2 x  C 2.  ln x  VÍ DỤ 8. I     dx .  x . dx  u  ln 2 x du  2 ln x. ln x   x Ta có I   2 dx . Đặt  . dx   1 x dv  2 v   x   x 2. 1 1 Ta được I   ln x   C x x. 1   1 VÍ DỤ 9. I     2  dx  ln x ln x  1  dx dx  1 I    2  dx     2  I1  I 2 . ln x ln x  ln x ln x . 1 dx   u  du   Tính I1 . Đặt  ln x   x ln 2 x . dv  dx v  x. Từ đó I1 . x x  I 2 . Từ đó I  C ln x ln x. VÍ DỤ 10. I   x ln 90. x 1 dx . x 1 KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(91) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 2dx  x  1 du  2  u  ln 1 x 1   x 1 Đặt  . Từ đó I  x  ln C x 1   2 x 1 dv  xdx  x  1 x2  2 VÍ DỤ 11. I    2 x3  5 x 2  2 x  4  e 2 x dx Giả sử: Q    2 x 3  5 x 2  2 x  4  e 2 x dx   ax 3  bx 2  cx  d  e 2 x  C   2 x 3  5 x 2  2 x  4  e 2 x   3ax 2  2bx  c  e 2 x  2  ax3  bx 2  cx  d  e 2 x.  2 x 3  5 x 2  2 x  4  2ax3   3a  2b  x 2   2b  2c  x  c  2d  2  2a a  1 5  3a  2b b  1      Q   x 3  x 2  2 x  3 e 2 x  C 2  2b  2c c  2 4  c  2d d  3 R    2 x 2  x  1 e x dx  ...   2 x 2  3 x  4  e x  C. IV. PHƯƠNG PHÁP 4. PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN VÍ DỤ 1. I   sin xdx Đặt. x  t  x  t 2  dx  2tdt  I   sin t.  2tdt    2t sin tdt. u  2t du  2dt Đặt    I  2t cos t  2 cos tdt  2t cos t  2 sin t  C dv  sin tdt v   cos t Vậy I  2sin x  2 x cos x  C 2. VÍ DỤ 2: Tính tích phân I   ln tdt. 1. 91. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(92) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. dt  u  ln t du  Đặt   t . Khi đó I  t ln t dv  dt v  t . 2 1. 2.   dt  t ln t 1. 2. t. 1. 2. : Đạt Nguyễn Tiến.  2 ln 2  1.. 1. a. ln x 1 1 dx   ln 2 . Giá trị của a bằng: 2 x 2 2 1. VÍ DỤ 3: Biết I  . dx  du  u  ln x    x Đặt  . dx   dv  x 2 v   1  x a. a. a. dx ln a 1 ln a 1  ln x  Khi đó I        1 . Suy ra a  2 .   2  a x1 a a  x 1 1 x 3. VÍ DỤ 4: Kết quả của tích phân I   ln  x 2  x  dx được viết ở dạng I  a ln 3  b với a, b là các số 2. nguyên. Khi đó a  b nhận giá trị?. 2x 1 2x 1  2 u  ln  x  x  du  x 2  x dx  x x  1 dx   . Đặt   dv  dx v  x  3. 3. 3 2x 1 1   Khi đó I  x ln  x  x    dx  x ln  x 2  x     2   dx 2 x 1 x 1  2 2 2 2. 3. 3. 3. 2. 2.  x ln  x 2  x    2 x  ln x  1   3ln 3  2. Suy ra a  3, b  2 .. 92. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(93) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN e. Câu 1. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Tính tích phân I   x ln xdx. 1. 1 A. I  . 2. B. I . e2  2 . 2. C. I . e2  1 . 4. e. Câu 2. Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả. 3  x ln xdx  1. A. ab  64 .. B. ab  46 .. D. I . e2  1 . 4. 3ea  1 ? b. C. a  b  12. D. a  b  4 .. 1. Câu 3. Kết quả của tích phân I   x ln  2  x 2  dx được viết ở dạng I  a ln 3  b ln 2  c với a, b, c là các 0. số hữu tỉ. Hỏi tổng a  b  c bằng bao nhiêu? A. 0.. B. 1.. C.. 3 . 2. D. 2.. e. k Câu 4. Cho I   ln dx . Xác định k để I  e  2 . x 1 A. k  e  2 .. B. k  e .. C. k  e  1 .. D. k  e  1 .. 1. Câu 5. Tính tích phân I   x 2 x dx . 0. A. I . 2 ln 2  1 . ln 2 2. B. I . 2 ln 2  1 . ln 2. C. I . 2 ln 2  1 . ln 2 2. D. I . 2 ln 2  1 . ln 2. 1. Câu 6. Kết quả tích phân I    2 x  3 e x dx được viết dưới dạng I  ae  b với a, b   . Khẳng định nào 0. sau đây là đúng? A. a  b  2 .. B. a 3  b3  28 .. C. ab  3.. D. a  2b  1 ..  2. Câu 7. Cho tích phân I   sin 2 x.esin x dx . Một học sinh giải như sau: 0. 93. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(94) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. x  0  t  0 1  Bước 1: Đặt t  sin x  dt  cos xdx . Đổi cận   I  2 tet dt.   0  x  2  t  1 1 u  t du  dt Bước 2: Chọn   . Suy ra  tet dt  tet t t  dv  e dt  v  e 0. 1. 1.   e dt  e  e t. 0. 1.  1.. t. 0. 0. 1. Bước 3: I  2  tet dt  2 . 0. Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? A. Bài giải trên sai từ Bước 1.. B. Bài giải trên sai từ Bước 2.. C. Bài giải trên hoàn toàn đúng.. D. Bài giải trên sai từ Bước 3.. . . . 0. 0. 0. Câu 8. Cho I   e x cos 2 xdx, J   e x sin 2 xdx và K   e x cos 2 xdx . Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau? e  1 (I). I  J  e .(II). I  J  K .(III). K  . 5 . A. Chỉ (I).. B. Chỉ (II).. C. Chỉ (III).. D. Cả (II) và (III).. 1. e nx dx với n   . Giá trị của I 0  I1 là: x 1  e 0. Câu 9. Cho I n   A. 0.. B. 1.. C. 2.. D. 3..  4. Câu 10: Tính.  2 x.cos x.dx ? (đề thi HK II 2014-THPT Nguyễn Hữu Thọ-TP.HCM) 0. A..  2 4.  2 2. B..  2 4.  2. C. 1. D.. 2 2. 2. Câu 11:. Tính.  x.ln x.dx ? (đề thi HK II 2014-THPT Văn Lang-TP.HCM) 1. B. 2 ln 2 . A. 2 ln 2  4. 3 4. C. 2 ln 2 . 4 3. D. 2 ln 2. . Câu 12:. Tính  e x .cos x.dx ? (đề thi HK II 2014-THPT Trần Quang Khải-TP.HCM) 0. 94. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(95) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. A.. 1  e 2. e 2. B.. C.. : Đạt Nguyễn Tiến. 3e 2. D.. 5  e 2.  2. Câu 13:. Tính.  x.cos x.dx ? 0. A..  3. 1. . B.. 6. 1. C..  2. 1. D..  4. 1. 2. Câu 14: A.. Tính. x2 1 1 x 2 ln x.dx ? ( đề thi Đại Học khối A, A1 năm 2013 ). 5 3 ln 2  2 2. B.. 5 ln 2 2. C.. 5 3 ln 2  2 2. 5 11  2 2e 2. C.. 5 1  4 4e 2. D. ln 2 . 3 2. 1. Câu 15: A.. Tính. 3x  1 .dx ? e2 x 0. . 5 11  4 4e 2. B.. D.. 11 4e2. Tính các tích phân sau (tách thành 2 tích phân A, B với A: dạng cơ bản và B: tích phân từng phần ) e. Câu 16:. 3e2 1 Tính a-b biết:  x 1  ln x .dx   a b 1. A. 0. B.. 3e2 4. C. 1. D.. 1 e 4. 1. Câu 17:. eb  c a Biết  1  x  .  2  e .dx  . Tính  c ? a b 0 2x. A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. . Câu 18:. Tính.  x  x  s inx dx ? ( đề thi thử THPT QG 2015- THPT Chu Văn An- HN) o. A..  3.  2. B. 2. Câu 19:. Tính.   2x. 3. 3 3.  2. C.. 3 3. . D.. 3 3.  ln x .dx ? ( đề minh họa 2015- Bộ GD & ĐT ). 1. 13 A.  ln 2 2. B.. 13  2 ln 2 2. C.. 13  3ln 2 2. D.. 13  4 ln 2 2. Tính các tích phân sau ( sử dụng đổi biến trước rồi tính tích phân từng phần sau ). 95. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(96) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 2 4. Câu 20:. Tính.  cos. x .dx    a Tìm a?. 0. B. . A. 0 a2. Câu 21:. Tính.  sin. C. 2. D. 4. C.   2. D. . x .dx = 2 . Tìm a. 0. B. 2. A. 2  2. Câu 22:. Tính  sin 2 x.ln 1  cos x .dx ? (đề thi thử THPT QG 2015-THPT Phan Đình Phùng-HN ) 0. 1 A. 2. B. 1. Câu 23:. Tính.  x .e 3. x2. 3 2. C.. 1 2. D. . 3 2. C.. 1 2. D. . 3 2. .dx ?. 0. A. -. 1 2. B. 1. Câu 24:. Tính.  8 x. 3. 3 2.  2 x  .e x . .dx ? 2. 0. A. e. 96. B. 5-e. C. e+4. D. 1. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(97) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. 97. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. 1. C. 7. C. 13. C. 19. C. 2. A. 8. D. 14. A. 20. B. 3. C. 9. B. 15. A. 21. A. 4. D. 10. A. 16. C. 22. A. 5. A. 11. B. 17. D. 23. C. 6. D. 12. A. 18. C. 24. B. KỸ THUẬT 6: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - .

(98) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. KỸ THUẬT 7: TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Dạng 1 b. Giả sử cần tính tích phân I . . f ( x) dx , ta thực hiện các bước sau. a. Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:. x. a . f ( x) b. Bước 2. Tính I .  a. x1 0. x2  0. b. . x1. x2. b. a. x1. x2. f ( x) dx   f ( x ) dx   f ( x )dx   f ( x )dx .. 2. VÍ DỤ 1. Tính tích phân I . x. 2.  3x  2 dx .. 3. Giải Bảng xét dấu. x x  3x  2 1 2 59 I    x 2  3x  2  dx    x 2  3 x  2  dx  . 2 3 1 2. Vậy I . 3. . 1 0. . 2 0. 59 . 2  2. VÍ DỤ 2. Tính tích phân I   5  4 cos 2 x  4 sin xdx . 0. 98. KỸ THUẬT 7: TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .

(99) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. ĐS: I  2 3  2 .  6. : Đạt Nguyễn Tiến. .. 2. Dạng 2 b. Giả sử cần tính tích phân I    f ( x)  g ( x)  dx , ta thực hiện a. Cách 1. b. b. b. a. a. a. Tách I    f ( x)  g ( x)  dx   f ( x) dx   g ( x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).. 2. VÍ DỤ 3. Tính tích phân I .   x  x  1  dx .. 1. Giải. Cách 1. 2. I.   x  x  1  dx . 1. 2. . 1. 2. x dx   x  1 dx 1. 0. 2. 1. 2. 1. 0. 1. 1.    xdx   xdx   ( x  1)dx   ( x  1)dx. x2  2. 99. 0. 2. 1. 2.  x2   x2  x2     x   x  0. 2 0  2  1  2 1 1. KỸ THUẬT 7: TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - .

(100) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Cách 2. Bảng xét dấu x x x–1 I. –1 – –. 0. 1. 2. 1. 0. 1. 0 0. 1 +  – 0. 2 + +.    x  x  1 dx    x  x  1 dx    x  x  1 dx.   x 1   x 2  x   x 1  0 . 0. 1. 2. 0. Vậy I  0 . 3. Dạng 3 b. b. a. a. Để tính các tích phân I   max  f ( x), g ( x ) dx và J   min  f ( x), g ( x ) dx , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h( x)  f ( x)  g ( x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h( x)  0 thì max  f ( x), g ( x )  f ( x ) và min  f ( x), g ( x)  g ( x) . + Nếu h( x)  0 thì max  f ( x), g ( x )  g ( x ) và min  f ( x), g ( x)  f ( x) .. 100. KỸ THUẬT 7: TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .

(101) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 4. VÍ DỤ 4. Tính tích phân I   max  x 2  1, 4 x  2 dx . 0. Giải Đặt h( x)   x 2  1   4 x  2   x 2  4 x  3 . Bảng xét dấu X h(x). 1 0 – 1 3 4 80 I    x 2  1 dx    4 x  2  dx    x 2  1 dx  . 3 0 1 3 Vậy I . 0. +. 3 0. 4 +. 80 . 3 2. VÍ DỤ 5. Tính tích phân I   min 3x , 4  x dx . 0. Giải Đặt h( x)  3x   4  x   3x  x  4 . Bảng xét dấu x h(x) 1. 2. 0. 1. I   3x dx    4  x  dx  Vậy I . 101. x 1. 0 –. 1 0. 2 +. 2.  3 x2  2 5   4x     . ln 3 0  2  1 ln 3 2. 2 5  . ln 3 2. KỸ THUẬT 7: TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - .

(102) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1.1 Diện tích hình thang cong Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường b. y  f ( x), x  a, x  b và trục hoành là S   f ( x) dx . a. Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. b. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân. . f ( x) dx .. a. VÍ DỤ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  ln x, x  1, x  e và Ox. Giải Do ln x  0 x  1; e  nên e. e. 1. 1. S   ln x dx   ln xdx  x  ln x  1 1  1 . e. Vậy S  1 (đvdt). VÍ DỤ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y   x 2  4 x  3, x  0, x  3 và Ox. Giải Bảng xét dấu x 0 y. –. 1 0. +. 3 0 1. 3.  x3   x3  8 S      x  4 x  3 dx     x  4 x  3 dx      2 x 2  3 x      2 x 2  3 x   .(ĐVDT)  3 0  3 1 3 0 1 1. 3. 2. 102. 2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(103) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 1.2. Diện tích hình phẳng 1.2.1. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các b. đường y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b là S   f ( x)  g ( x) dx . a. Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f ( x)  g ( x) trên đoạn [a; b]. b. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân. . f ( x)  g ( x) dx .. a. 1.2.2. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . y  f ( x), y  g ( x) là S   f ( x)  g ( x) dx . Trong đó  ,  là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương . trình f ( x)  g ( x)  a      b  . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f ( x)  g ( x) . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f ( x)  g ( x) trên đoạn  ;   . . Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân.  . f ( x)  g ( x) dx .. VÍ DỤ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  11x  6, y  6 x 2 , x  0, x  2 . Giải Đặt h( x)  ( x3  11x  6)  6 x 2  x3  6 x 2  11x  6 h( x)  0  x  1  x  2  x  3 (loại). 103. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(104) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Bảng xét dấu x 0 h(x) 1. 1 0. –. 2 0. +. 2. S     x  6 x  11x  6  dx    x3  6 x 2  11x  6  dx 3. 2. 0. 1. 1. 2.  x4   x4  11x 2 11x 2 5     2 x3   6 x     2 x3   6x   . 2 2  4 0  4 1 2 Vậy S . 5 (đvdt). 2. VÍ DỤ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 3  11x  6, y  6 x 2 . Giải Đặt h( x)  ( x3  11x  6)  6 x 2  x3  6 x 2  11x  6 h( x )  0  x  1  x  2  x  3 .. Bảng xét dấu x 1 h(x) 0 2. 2 0. +. –. 3 0. 3. S    x 3  6 x 2  11x  6  dx    x 3  6 x 2  11x  6  dx 1. 2. 2. 3. x   x4  11x 11x 2 1 3 3    2x   6x     2x   6x   . 2 2  4 1  4 2 2 4. Vậy S . 2. 1 (đvdt). 2. Chú ý:Nếu trong đoạn  ;   phương trình f ( x)  g ( x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng . công thức. . . 104. . f ( x)  g ( x) dx .   f ( x)  g ( x) dx .. . ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(105) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. VÍ DỤ 5.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 3 , y  4 x . Giải Ta có x3  4 x  x  2  x  0  x  2 0. 2.  x4   x4   S    x  4 x  dx    x  4 x  dx    2 x 2     2 x 2   8 .  4  2  4 0 2 0 0. 2. 3. 3. Vậy S  8 (đvdt). VÍ DỤ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2  4 x  3 và trục hoành. Giải Ta có x 2  4 x  3  0  t 2  4t  3  0, t  x  0  x 1 t  1  x  1    t  3  x  3  x  3 3. S . . 3. 1 2 x  4 x  3 dx  2 x  4 x  3 dx  2    x  4 x  3 dx  0  0 3. 2. 2. 3. x 1. 2.   4 x  3  dx  . 1 3   x3   x3   16 2 2   2   2 x  3x     2 x  3x    .  3 0  3  1  3 . Vậy S . 16 (đvdt). 3. VÍ DỤ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2  4 x  3 và y  x  3 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x2  4x  3  x  3. 105. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(106) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. x  3  0 x  0    x2  4 x  3  x  3   . x  5  2  x  4 x  3   x  3 Bảng xét dấu x x  4x  3. 0. 1. S . x 0. 2. 1 0. +. 2. 3. 5. 1. 3. 3 0. –. 5 +.  5 x  dx     x 2  3x  6  dx    x 2  5 x  dx 1. 3. 5.  x3 5 x 2    x 3 3x 2   x3 5 x2  109 .     6x         2 0  3 2 2 3 6  3 1  3. Vậy S . 109 (đvdt). 6. VÍ DỤ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2  1 , y  x  5 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2  1  x  5  t 2  1  t  5, t  x  0. t  x  0  t  x  0   t 2  1  t  5    x  3 t  3  2  t  1  t  5 3. S . . 3. 3. x 2  1   x  5  dx  2 x 2  1   x  5  dx 0. Bảng xét dấu x x 1 2. 1. S 2.  x 0. 106. 0 –. 1 0. 3 +. 3. 2.  x  4  dx    x 2  x  6  dx 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - . : Đạt Nguyễn Tiến.

(107) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. 1. : Đạt Nguyễn Tiến. 3.   x3 x2   x3 x 2  73 . 2   4x      6x   2 3  3 0  3 2 1. Vậy S . 73 (đvdt). 3. Chú ý: Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có).. 2. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 2.1. Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x)  0x   a; b  , y  0 , x  a và b. x  b (a  b) quay quanh trục Ox là V    f 2 ( x)dx . a. VÍ DỤ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C ) : x 2  y 2  R 2 quay quanh Ox. Giải Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2  R 2  x   R . Phương trình (C ) : x 2  y 2  R 2  y 2  R 2  x 2 V . R. R. R. 0. 2 2 2 2   R  x  dx  2   R  x  dx. R.  2 x3  4 R 3  2  R x    (dvtt) 3 0 3 . 107. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(108) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 2. Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x  g ( y )  0y   c; d  , x  0 , y  c và d. y  d (c  d ) quay quanh trục Oy là V    g 2 ( y ) dy . c. VÍ DỤ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse ( E ) :. x2 y2   1 quay quanh Oy. a2 b2 Giải. Tung độ giao điểm của (E) và Oy là. y2  1  y  b . b2. x2 y 2 a2 y 2 2 2 Phương trình ( E ) : 2  2  1  x  a  2 a b b b b   a2 y2  a2 y2   V     a 2  2  dy  2   a 2  2  dy b  b  b  0 R.  a2 y3  4 a 2b  2  a 2 y  2   . 3 b 3  0 Vậy V . 4 a 2b (đvtt). 3. 3. Trường hợp 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x), y  g ( x) , x  a và b. x  b (a  b, f ( x)  0, g ( x)  0 x   a; b) quay quanh trục Ox là V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx . a. VÍ DỤ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 , y 2  x quay quanh Ox. Giải. x  0 x  0 Hoành độ giao điểm  4  . x  1 x  x 108. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(109) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. 1.  V    x 4  x dx   0. 1. x. 4. : Đạt Nguyễn Tiến.  x  dx. 0. 1. 1  3 1    x5  x 2   . 2  0 10 5 Vậy V . 3 (đvtt). 10. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết Kí hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2  x  1 e x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục Ox. B. V   4  2e   .. A. V  4  2e. 1. D. V   e2  5   .. C. V  e 2  5.. 1. Ta có V     2  x  1 e  dx  4   x 2  2 x  1 e2 x dx  4 I1 x. 0. 2. 0.  du  2 x  2 2 e2 x u  x  2 x  1  2 2x Đặt    I  x  2 x  1    e 2x 2 dv  e dv v   2 du1  dx u1  x  1 e2 x  2 x  I   x  1 Đặt    e 1 2x 2 dv1  e dx v1   2. Do vậy I1 . 109. 1. 1.  0. 1. 1. 1    x  1 e 2 x dx    I 2 2 0 0. 1 2x 1 e2 x e dx   2 0 2 4. 1.  0. e2  5 suy ra V   e2  5   . Chọn D. 4. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - . 3 e2  4 4.

(110) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 4. Trường hợp 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x  f ( y ), x  g ( y ) , y  c và d. y  d (c  d , f ( y )  0, g ( y )  0 y   c; d ) quay quanh trục Oy là V    f 2 ( y )  g 2 ( y ) dy . c. VÍ DỤ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x   y 2  5 , x  3  y quay quanh Oy. Giải  y  1 Tung độ giao điểm  y 2  5  3  y   . y  2 2.  V      y 2  5    3  y  dy 2. 2. 1. 2.  y 5 11 y 3  153     y  11y  6 y  16  dy     .  3 y 2  16 y   3 5  5  1 1 2. 4. Vậy V . 110. 2. 153 (đvtt). 5. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(111) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 3. BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG. b. Quãng đường đi được từ thời điểm a đến thời điểm b (Mối liên hệ quãng đường và vận tốc): S    v(t )dt a. Mối liên hệ giữa vận tốc v và gia tốc a: v(t )   a (t ).dt VÍ DỤ 1. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   40t  20(m / s ) ,trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A. 0,2 m.. B. 5 m.. C. 10 m.. D. 20 m. Giải:. Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu đạp phanh. Gọi T là thời điểm ô tô dừng. Ta có v(T)=0 0 = -40T+20  T = 0,5. Như vậy khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là 0.5s. Trong khoảng thời gian 0.5s đó, ô tô đi được quãng đường là: S . 0.5.  (20  40t )dt  5(m) 0. Chọn đáp án B. VÍ DỤ 2. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a  t   3t  t 2 (m / s 2 ) . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu ? A.. 4000 m 3. B.. 4300 m 3. C.. 1900 m 3. D.. 2200 m 3. Giải v   (3t  t 2 )dt  3. 111. t 2 t3  c 2 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(112) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Lấy mốc thời gian là lúc bắt đầu tăng tốc v(0)  10. Vận tốc tại thời điểm T  v(T )  3. t2 t3   10 2 3.  Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng: 10. S   (3 0. t 2 t3 4300   10)dt  ( m) 2 3 3. Chọn đáp án B VÍ DỤ 4. Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng N '  t  . 4000 và lúc đầu đám vi 1  0,5t. trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hang đơn vị): A. 264.334 con.. B. 257.167 con.. C. 258.959 con.. D. 253.584 con.. Giải Số vi trùng ở ngày thứ t N(t) =. 4000.  1  0,5t dt  8000.ln |1  0,5t | C. Số vi trùng ở thời điểm ban đầu là 250.000 N(0)= 8000.ln |1  0,5.0 | C =250000  C = 2500000  Số vi khuẩn sau 10 ngày là : N(10) = 8000.ln |1  0,5.10 | 250000  264334 (con) Chọn đáp án A.. 112. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(113) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 1:(ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  , xung quanh trục Ox. b. b. A. V    f 2  x  dx.. B. V   f 2  x  dx.. a. a. b. b. C. V    f  x  dx.. D. V   f  x  dx.. a. a. Câu 2. Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào? b. A. V    f  x   g  x   dx . 2. a. b. B. V     f 2  x   g 2  x   dx . a. b. C. V     f  x   g  x   dx . 2. a. b. D. V     f  x   g  x   dx . a. Câu 3. Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x  a, x  b  a  b  , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  a  x  b  là S  x  . b. b. A. V    S  x  dx.. B. V    S  x  dx.. a. a. b. b. C. V   S  x  dx.. D. V   2  S  x  dx.. a. a. Câu 4. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Viết Kí hiệu  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2  x  1 e x , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H  xung quanh trục Ox.. 113. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(114) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. B. V   4  2e   .. A. V  4  2e.. : Đạt Nguyễn Tiến. D. V   e2  5   .. C. V  e 2  5.. Câu 5. Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3 , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  3 là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng x và 2 9  x 2 , bằng: A. V  3 .. B. V  18.. C. V  20.. D. V  22.. Câu 6. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x  0 và x  2 , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x   0; 2  là một phần tư đường tròn bán kính. 2x 2 , ta được kết quả nào sau đây?. A. V  32 .. B. V  64 .. C. V . 16 . 5. D. V  8 .. Câu 7. Hình phẳng C giới hạn bởi các đường y  x 2  1 , trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 2  1 tại điểm 1; 2  , khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng: 4 A. V   . 5. B. V . 28 . 15. C. V . 8 . 15. D. V   .. Câu 8. Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị.  P  : y  2x  x2 A. V . 16 . 15. và trục Ox sẽ có thể tích là: B. V . 11 . 15. C. V . 12 . 15. D. V . 4 . 15. Câu 9. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  2 x  x 2 và y  x khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng: A. V .  3. .. B. V .  4. .. C. V .  5. .. D. V   .. Câu 10. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các parabol y  4  x 2 và y  2  x 2 quay quanh trục Ox là kết quả nào sau đây? A. V  10 .. B. V  12 .. C. V  14 .. D. V  16 .. Câu 11. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y  x 2 , y  x qua quanh trục hoành bằng bao nhiêu?. 114. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(115) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. A. V . 124 . 15. B. V . 126 . 15. C. V . 128 . 15. D. V . : Đạt Nguyễn Tiến. 131 . 15. Câu 12. Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  x , y   x và x  4 . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H  quanh trục hoành nhận giá trị nào sau đây: A. V . 41 . 3. B. V . 40 . 3. C. V . 38 . 3. 41 . 2. D. V . Câu 13. Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi.  C  : y  ln x , trục Ox A. V    e  2  .. và đường thẳng x  e là:. B. V    e  1 .. C. V   e.. D. V    e  1 .. Câu 14. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y   x  2 , y  0 quay quanh trục Oy , có giá trị là kêt quả nào sau đây?. 1 A. V   . 3. 3 B. V   . 2. C. V . 32 . 15. D. V . 11 . 6. t2  4  m/s  . Quãng đường vật đó đi được trong 4 t 3 giây đầu tiên bằng bao nhiêu ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).. Câu 15. Một vật chuyển động với vận tốc v  t   1, 2 . A. 18,82 m.. B. 11,81 m.. C. 4, 06 m.. D. 7, 28 m.. Câu 16. Bạn Nam ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là v  t   3t 2  5  m/s  . Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là : A. 36m.. B. 252m.. C. 1134m.. D. 966m.. Câu 17. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A. 0,2 m.. B. 2 m.. C. 10 m.. D. 20 m.. Câu 18. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a  t   3t  t 2 (m/s2). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu ? A. 115. 4000 m. 3. B.. 4300 m. 3. C.. 1900 m. 3. D.. 2200 m. 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(116) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 3 m/s 2  . Vận tốc ban đầu của  t 1 vật là 6 m/s . Vận tốc của vật sau 10 giây là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):. Câu 19. Một vật chuyển động với vận tốc v  t  m/s  , có gia tốc v '  t  . A. 14 m/s .. B. 13m/s .. C. 11m/s .. D. 12 m/s .. 4000 và lúc đầu đám vi 1  0,5t trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hang đơn vị):. Câu 20. Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng là N  t  . Biết rằng N '  t  . A. 264.334 con.. B. 257.167 con.. C. 258.959 con.. D. 253.584 con.. 13 t 8 5 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):. Câu 21. Gọi h  t  cm  là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng h '  t  . A. 2,33 cm.. B. 5,06 cm.. C. 2,66 cm.. D. 3,33 cm.. Câu 22. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Nếu w '  t  là tốc độ tăng trưởng cân nặng/năm của một đứa trẻ, thì. 10.  w '  t  dt. là sự cân nặng của đứa. 5. trẻ giữa 5 và 10 tuổi. B. Nếu dầu rò rỉ từ một cái thùng với tốc độ r  t  tính bằng galông/phút tại thời gian t , thì. 120.  r  t  dt 0. biểu thị lượng galông dầu rò rỉ trong 2 giờ đầu tiên. C. Nếu r  t  là tốc độ tiêu thụ dầu của thế giới, trong đó t được bằng năm, bắt đầu tại t  0 vào ngày 1 tháng 1 năm 2000 và r  t  được tính bằng thùng/năm,. 17.  r  t  dt. biểu thị số lượng thùng dầu tiêu thụ. 0. từ ngày 1 tháng 1 năm 2000 đến ngày 1 tháng 1 năm 2017 . D. Cả A, B, C đều đúng.. 116. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(117) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. CÂU. ĐÁP ÁN. 1. A. 7. C. 13. C. 19. B. 2. B. 8. A. 14. C. 20. A. 3. A. 9. C. 15. B. 21. C. 4. D. 10. D. 16. D. 22. D. 5. B. 11. C. 17. C. 6. C. 12. B. 18. B. 117. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN - .

(118) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO Các bạn chú ý: Khi dùng casio cho nguyên hàm, tích phân. Nhớ phải chuyển hết sang Radian (qw4) DẠNG: Tìm nguyên hàm F x  của hàm số f x. PHƯƠNG PHÁP: Bước 1. Tính f(a) (Với a là 1 giá trị bất kỳ nằm trong TXĐ). Chú ý: Chọn a sao cho kết quả của f(a) thật xấu. Bước 2. Tính F’(a) của các đáp án. Bước 3. So sánh Bước 1 và Bước 2. Nếu giống nhau thì chọn.. VÍ DỤ . (Trích đề minh họa 2017 BGD) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 x  1. 2. A..  f ( x)dx  3 (2 x  1). C..  f ( x)dx   3. 1. 2 x  1  C.. 2 x  1  C.. 1. B..  f ( x)dx  3 (2 x  1). D..  f ( x)dx  2. 1. 2 x  1  C.. 2 x  1  C.. Giải . Bước 1. Chọn a = 2. Tính f(2). Nhập f ( x)  2 x  1.. r2 . ’. Bước 2.. Thử từng đáp án. 118. KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - .

(119) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. Đáp án A.. : Đạt Nguyễn Tiến. => Không giống Kết quả Bước 1=> LOẠI A. Đáp án B. (Giống kết quả bước 1).  Chọn B. VÍ DỤ Hàm số F  x   ln sin x  3cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây:. f  x   cos x  3sin x. A. C.. f  x .  .  cos x  3sin x sin x  3cos x. D.. cos x  3sin x sin x  3cos x. f  x . sin x  3cos x cos x  3sin x. Bước 1: Bước 2: Thử từng đáp án. Đáp án A. (Ấn Calc x=1). Đáp án B (Ấn Calc x=1). 119. B.. f  x . => Không giống kết quả Bước 1. Loại A. => Giống kết quả Bước 1. Chọn B. KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - .

(120) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Dạng: Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) khi biết F ( xo )  M xo. Phương pháp: Ta nhập:.  f ( x).dx  F ( A) . Với A là 1 số bất kỳ thuộc tập xác định.. Thử từng đáp án, đến. A. khi ra Kết quả là M thì chọn đáp án đó.. VÍ DỤ : Tìm Nguyên hàm F(x) của hàm số: f(x) = A. tanx - cotx -2. B. tanx - cotx. cos 2 x  . Biết F ( )  -2 2 2 sin x.cos x 4. C. tanx + cotx -4. D. cotx tanx -2. Giải . . 4. Thử đáp án A: Nhập vào máy tính.  sin A. cos 2 x 1  (tan A   2) . Ấn, Calc X=1 (x giá trị gì 2 2 x.cos x tan A. cũng được); Calc A=1. r. =. =. Không bằng -2 => Loại đáp án A . Thử đáp án B:. r. =. =. Chọn đáp án B. 120. KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - .

(121) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. f ( x)  VÍ DỤ . Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số A. F ( x) . : Đạt Nguyễn Tiến. x3  3x 2  3 x  1 1 F (1)  2 x  2x  1 , 3. x2 2 7   2 x 1 6. x2 2 13 B. F ( x)   x   2 x 1 6 x2 2 13  2x   2 x 1 6 2 D. F ( x)  x  x 1 C. F ( x) . Giải 1. . x 3  3x 2  3 x  1 A2 2 7 dx  (   ) . Ấn Calc A = 0 (A bất A x 2  2 x  1 2 A 1 6 Thử đáp án A: Nhập vào máy tính kỳ, các em có thể lấy số khác). Không bằng. 1 . Loại đáp án A 3. 1. . Thử đáp án B:. x 3  3x 2  3 x  1 A2 2 13 dx  (  A  ) . Ấn Calc A = 0 (A bất kỳ, các em có A x 2  2 x  1 2 A 1 6. thể lấy số khác). . Chọn đáp án B. 121. KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - .

(122) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Dạng: Tính tích phân Ấn nút y Nhập tích phân cần tính. e. VÍ DỤ : Tính: I   ln xdx 1. A. I = 1. C. I = e  1. B. I = e. D. I = 1  e. Nói chung thì cái này Easy rồi nhé ^^!. a. Dạng: Tìm a, b sao cho.  f ( x).dx  A b. a. VÍ DỤ . Tìm a sao cho. x. 2. 2. A. a = 0. dx 1   2x 1 2. B. a=3. C. a=6. D. a=4. Nhập vào như màn hình. Ấn Calc thay từng giá trị các đáp án. Thấy Calc A = 3 thỏa mãn.. Chọn B b. VÍ DỤ . Tìm a và b sao cho. x a. A. a = 3; b = 2. 2. x 1 8 dx  ln 1 2 3. B. a = 2; b =3. C.a=1; b =3. D. a = 0; b = 1. . Ấn Calc A = 2; B = 3. Ta thấy kết quả = 122. 1 8 ln . Chọn B. 2 3. KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - .

(123) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. DẠNG: TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH Nhập trị tuyệt đối trong máy tính: qc. VÍ DỤ . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  ln x, x  1, x  e và Ox. Giải. VÍ DỤ . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 3 , y  4 x . Giải Ta có x3  4 x  x  2  x  0  x  2 Lấy giá trị cận là lớn nhất và bé nhất VÍ DỤ . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y  x 2  4 x  3 và y  x  3 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x2  4x  3  x  3. x  3  0 x  0    x2  4 x  3  x  3   . x  5  2  x  4 x  3   x  3 123. KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - .

(124) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. VÍ DỤ : Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 , y 2  x quay quanh Ox. Giải. x  0 x  0 Hoành độ giao điểm  4  . x  1 x  x 1.  V    x 4  x dx  0. 3 10. VÍ DỤ . Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x   y 2  5 , x  3  y quay quanh Oy. Giải  y  1 Tung độ giao điểm  y 2  5  3  y   . y  2 2.  V      y 2  5    3  y  dy  1. 124. 2. 2. 153 5. KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - .

(125) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Dạng: mối liên hệ giữa a, b,c….  e x  x VÍ DỤ : Nguyên hàm của hàm số: y = e x  2   là: a.e  b tan x  C . Tính a+b 2 cos x   A.2. B. 3. C. 4. D. 5. qJz Lấy 2 cận bất kỳ (Giả sử lấy 0 và 1). Ta lưu KQ vào biến A.. Ta có a.e1  b tan1  (a.e0  b tan 0)  A  a  b  CacDapAn  a.(e1  e0 )  b(tan1  tan 0)  A  a  b  CacDapAn  a.(e1  e 0 )  b(tan1  tan 0)  A  Thử đáp án A:  ab  2 . Nghiệm Lẻ => Loại đáp án A . a.(e1  e 0 )  b(tan1  tan 0)  A Thử đáp án B:  ab 3 . .  Số đẹp. Chọn Đáp án B. 125. KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - .

(126) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. 1. VÍ DỤ : K   x 2 e2 x dx = 0. A. 2. B. 3. : Đạt Nguyễn Tiến. e2  a . Tính a+2b b C. 9. D. 1. Lưu vào biến A. e2  a Ta có  A   a  A.b  e 2 b.  a  A.b  e 2 Ta giải hệ sau để tìm a và b.  a  2b  CacDapAn. . Thử đáp án A. Số xấu => Loại A. . Thử đáp án B.. Số xấu => Loại B . Thử đáp án C.. => Số đẹp. Chọn C. 126. KỸ THUẬT 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO - .

(127) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. PHỤ LỤC: A. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Câu 1 :. A.. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x)  x2  x  1 x1. B.. x2  x  1 x1. C.. x(2  x) ( x  1)2. x2  x  1 x1. D.. x2 x1. Câu 2 : Cho đồ thị hàm số y  f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:. A.. 0. 0. 3. 4. 4. 3. 1. 4. 4.  f ( x)dx   f ( x)dx. 3. C.. 1.  0. B.. f ( x)dx   f ( x)dx. D.. 0.  f ( x)dx   f ( x)dx  f ( x)dx. 3. Câu 3 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y  x 2  2 x và y   x 2  x có kết quả là: A. 12. B.. 10 3. D. 6. C. 9. Câu 4 : Kết quả nào sai trong các kết quả sao? A.. 2 x 1  5 x 1 1 2  10 x dx  5.2x.ln 2  5x.ln 5  C. B.. . C.. x2 1 x 1  1  x2 dx  2 ln x  1  x  C. D..  tan. x 4  x 4  2 1 dx  ln x  4  C 3 x 4x 2. xdx  tan x  x  C. Câu 5 : Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các 127. PHỤ LỤC: - .

(128) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. 1 2. : Đạt Nguyễn Tiến. x 2. đường y  x .e , x  1 , x  2 , y  0 quanh trục ox là: A.  (e2  e). B.  (e2  e). D.  e. C.  e 2. Câu 6 : Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y . 4 , y  0 , x  1 , x  4 quanh trục ox là: x. A. 6. B. 4. Câu 7 :. 4. 0. Câu 8 :. 1 5. B.. Nếu. 1 dx bằng: cos 2 x. 1 3. 1 2. C.. d. d. b. a. b. a. D.. 1 4.  f ( x)dx  5 ;  f ( x)dx  2 , với a  d  b thì  f ( x)dx bằng: B. 3. A. 2 Câu 9 :. D. 8. . Giá trị của  (1  tan x) 4 . A.. C. 12. Hàm số f ( x) . e2 x.  t ln tdt. C. 8. D. 0. C. ln 2. D.  ln 4. đạt cực đại tại x  ?. ex. B. 0. A.  ln 2 Câu 10 :.  2. 2. Cho tích phân I   e sin x .sin x cos 3 xdx . Nếu đổi biến số t  sin2 x thì 0. B.. 1 1  I  2   e t dt   te t dt  0 0 . D.. I. 1. 1 t e (1  t )dt 2 0. A.. I. C.. I  2  e t (1  t )dt. 1. 0. 1 1  1 t e dt  te t dt    2 0 0 . Câu 11 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 0, x   và đồ thị của hai hàm số y = cosx, y = sinx là:. 128. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - .

(129) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. B. 2. A. 2  2. C.. : Đạt Nguyễn Tiến. D. 2 2. 2. Câu 12 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 ,trục Ox và đường thẳng x  2 là:. A. 8. B.. 8 3. C. 16. D.. 16 3. Câu 13 : Cho hình phẳng  H  giới hạn bởi các đường y  sin x ; x  0 ; y  0 và x   . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình  H  quay quanh Ox bằng A. 2 Câu 14 :. B.. Cho tích phân I . 3. . 2. A.. 2. t dt I 2 t 1 2. C.. 2 4. 1  x2 dx . Nếu đổi biến số t  x2. 1. 3. 2 2. B..  2. x2  1 thì x 2. 3. t 2 dt I 2 2 t 1. D.. C.. 3. tdt I  2 t 1 2. 3. tdt 2 t 1. D. I  . 2. Câu 15 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x x 2  1 và trục ox và đường thẳng x=1 là: A. Câu 16 :. 3 2 2 3. B.. Tìm nguyên hàm:. (. 3. 3 2 1 3. C.. 2 2 1 3. 3 2 3. 4 x 2  )dx x. A.. 53 5 x  4 ln x  C 3. B. . C.. 33 5 x  4 ln x  C 5. D.. Câu 17 :. D.. 33 5 x  4 ln x  C 5. 33 5 x  4 ln x  C 5. . Tích phân  cos 2 x sin xdx bằng: 0. 129. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - .

(130) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. A.  Câu 18 :. A.. 2 3. 2 3. B.. C.. : Đạt Nguyễn Tiến. 3 2. D. 0. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x)  x2  x  1 x 1. x2  x  1 x 1. B.. C.. x(2  x) ( x  1)2. x2 x 1. D.. x2  x  1 x 1. Câu 19 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  4 x  5 và hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số tai A(1;2) và B(4;5) có kết quả dạng A. 12 Câu 20 :. B.. 13 12. a khi đó: a+b bằng b. C. 13. D.. 4 5. D.. 6 ln 2  2 9. 2. Giá trị của tích phân I    x 2  1 ln xdx là: 1. A. Câu 21 :. A.. 2 ln 2  6 9. Kết quả của. 6 ln 2  2 9. B. x.  1 x. 2. 2 ln 2  6 9. dx là:. 1. B.. 1  x2  C. C.. 1 x. 2. C. C.. 1 1  x2. C. D.  1  x 2  C. Câu 22 : Hàm số F( x)  ln sin x  3 cos x là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau đây: A.. f ( x) . cos x  3 sin x sin x  3 cos x. B.. f ( x)  cos x  3 sin x. C.. f ( x) .  cos x  3 sin x sin x  3cos x. D.. f ( x) . Câu 23 :. 130. sin x  3 cos x cos x  3 sin x. e. x 2  2 ln x Giá trị của tích phân I   dx là: x 1. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - .

(131) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. A.. e2  1 2. e2  1 2. B.. C. e2  1.  4. Câu 24 :. 0. Câu 25 :. 1 6. B..  (x. Tìm nguyên hàm:. A.. x3 4 3  3ln x  x C 3 3. C.. x3 4 3  3ln x  x C 3 3. Câu 26 :. A.. Tìm nguyên hàm: . 2 x ln C 3 x3. 2. 3 10 . D. e2. 2 , khi đó, giá trị của a  b là: 2. Giả sử I   sin 3x sin 2xdx  a  b A. . : Đạt Nguyễn Tiến. C. . 3 10. D.. 3  2 x )dx x. B.. x3 4 3  3ln X  x 3 3. D.. x3 4 3  3ln x  x C 3 3. C.. 1 x3 ln C 3 x. 1 dx x( x  3). 1 3. B.  ln. x C x3. Câu 27 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y=2x2 , (C): y= A. 3 2  2 Câu 28 :.  2. C.. 8 2   3 2. 1 x 2. 1 x ln C 3 x3. và Ox là:. D. 4 2  . x2 27 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=x ; y= ; y= là: 8 x. Câu 29 : Tìm nguyên hàm:. 131. B. 2 2 . D.. 2. A. 27ln2-3. A.. 1 5. B.. 63 8.  (1  sin x). 2 1 x  2 cos x  sin 2 x  C ; 3 4. 2. C.. 27ln2. B.. 2 1 x  2 cos x  sin 2 x  C ; 3 4. D. 27ln2+1. dx. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - .

(132) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. C. Câu 30 :. 2 1 x  2 cos 2 x  sin 2 x  C ; 3 4. D.. : Đạt Nguyễn Tiến. 2 1 x  2 cos x  sin 2 x  C ; 3 4. 2. Cho I   2 x x2  1dx và u  x2  1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: 1. 3. 2. B. I   udu. A. I   udu Câu 31 :. A.. C.. 0. 1. 2 I 27 3. 5. 5. 5. 2. 2. 2. D.. 2 3 I  u2 3. 3. 0. Cho biết  f  x  dx  3 ,  g  t  dt  9 . Giá trị của A    f  x   g  x   dx là: Chưa xác định được. B. 12. C. 3. D. 6. Câu 32 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x2 và đường thẳng y  2 x là: A.. 4 3. B.. 3 2. C.. 5 3. D.. 23 15. Câu 33 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 x 2 - 4x - 6 trục hoành và hai đường thẳng x=-2 , x=-4 là A. 12 Câu 34 :. B.. 40 3. C.. 92 3. D.. 50 3. 0. 3x 2  5x  1 2 dx  a ln  b . Khi đó, giá trị của a  2b là: x2 3 1. Giả sử rằng I  . A. 30. B. 40. C. 50. D. 60. Câu 35 : Kết quả của  ln xdx là: A. Câu 36 :. x ln x  x  C. C.. x ln x  C. D.. 5 x. Tìm nguyên hàm:  (  x3 )dx. A. 5 ln x . 132. B. Đáp án khác. 2 5 x C 5. B. 5 ln x . 2 5 x C 5. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - . x ln x  x  C.

(133) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. C. 5 ln x  Câu 37 :. A.. 2 5 x C 5. Tìm nguyên hàm:. D. 5ln x . : Đạt Nguyễn Tiến. 2 5 x C 5. 1.  x( x  3)dx .. 1 x ln C 3 x3. B.. 1 x3 ln C 3 x. C.. 1 x ln C 3 x3. D.. 1 x3 ln C 3 x. Câu 38 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y  x3 và y  x5 bằng: A. 4. B.. Câu 39 :. 1 6. C. 0. . . 2. 2. 0. 0. D. 2. Cho hai tích phân  sin 2 xdx và  cos 2 xdx , hãy chỉ ra khẳng định đúng: . A.. 2.  sin.  2. 0. C.. B. Không so sánh được. 2. xdx   cos xdx 2. 0. . . . . 2. 2. 2. 2. 0. 0. 2  sin xdx  0. 2  cos xdx. D.. 0. Câu 40 :. . . 2. 2. 0. 0. 2 2  sin xdx =  cos xdx. Cho hai tích phân I   sin 2 xdx và J   cos 2 xdx . Hãy chỉ ra khẳng định đúng: A. I  J. B. I  J. C. I  J. D.. Không so sánh được. D.. f ( x)  x 2 e x  1. Câu 41 : Hàm số F( x)  e x2 là nguyên hàm của hàm số A. Câu 42 :. 133. f ( x)  2 xe. Tính  2. x. 2. x2. B.. ln 2 x. f ( x)  e. 2x. C.. ex f ( x)  2x. dx , kết quả sai là:. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - . 2.

(134) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. . . x A. 2 2  1  C. Câu 43 :. B. 2 x  C . Cho tích phân I   0. A.. 2. sin x 1  2 cos x   2. C. 2. . . x D. 2 2  1  C. C. , với   1 thì I bằng:. B. 2. . x 1. : Đạt Nguyễn Tiến. C. 2. D..  2. Câu 44 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  x 2  1 , y  x  5 có kết quả là. A. Câu 45 :. A.. 35 12. Nếu. B. d. d. a. b. 10 3.  f ( x)dx  5 ,  f ( x)dx  2. -2. B.. 73 3. C.. D.. 73 6. b. với a < d < b thì. 0.  f ( x)dx. bằng. a. D. 3. C. 8. Câu 46 : Kết quả nào sai trong các kết quả sao? A.. dx 1 x  1  cos x  2 tan 2  C. C..  x ln x.ln(ln x)  ln(ln(ln x))  C. dx. dx. B.. 1  x x2  1  2 ln. D..  3  2x. xdx. 2. x2  1  1 x2  1  1. 1   ln 3  2 x 2  C 4. Câu 47 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x 3 – x và y = x – x2 là : A. Đáp án khác Câu 48 :. A.. 134. B.. 37 6. C.. 33 12. B.. 1 4 2 3 x  2 ln x  x C 4 3. D.. 2 x. Tìm nguyên hàm:  ( x 3   x )dx 1 4 2 3 x  2 ln x  x C 4 3. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - . 37 12. C.

(135) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. C.. 1 4 2 3 x  2 ln x  x C 4 3. D.. : Đạt Nguyễn Tiến. 1 4 2 3 x  2 ln x  x C 4 3. Câu 49 : Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x và y  x quay xung quanh trục Ox . Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A. . B.. . C. 0. 6. D. . Câu 50 : Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x , y  0 , y  2  x quanh trục ox là: A. Câu 51 :. 7 12. B. 6 3.  1. Biến đổi. 0. x 1 x. C.. dx thành. 2.  f (t)dt , với t . 35 12. D.. 6 5. 1  x . Khi đó f (t ) là hàm nào trong các hàm. 1. số sau? A. Câu 52 :. f (t)  2t 2  2t . B.. f (t)  t 2  t . C.. f (t )  t 2  t. D.. f (t)  2t 2  2t. . Cho I   e cos xdx ; J   e sin xdx và K   e x cos 2 xdx . Khẳng định nào đúng trong các x. 2. 0. x. 2. 0. 0. khẳng định sau? (I) I  J  e (II) I  J  K e  1 (III) K  5. A. Chỉ (II). B. Chỉ (III). C. Chỉ (I). D. Chỉ (I) và (II). Câu 53 : Hàm số y  tan 2 2x nhận hàm số nào dưới đây là nguyên hàm? A. 2 tan 2x  x. B.. 1 tan 2x  x 2. C. tan 2x  x. D.. 1 tan 2x  x 2. Câu 54 : Thể tích vật thể tròn xoang khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số. 135. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - .

(136) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. y = x2 ;x  y 2 quanh trục ox là. A..  2. B.. 10. Câu 55 :. 4 3. C.. 3 10. D..  10.  6. Cho I   sin n x cos xdx  0. A. 3. 1 . Khi đó n bằng: 64. C. 6. B. 4. D. 5. Câu 56 : Tìm nguyên hàm:  (2  e3 x ) 2 dx 4 3. 1 6. 3x 6x B. 4 x  e  e  C. 4 3. 1 6. 3x 6x D. 4 x  e  e  C. 3x 6x A. 3 x  e  e  C. 3x 6x C. 4 x  e  e  C. Câu 57 :. Giả sử. 5. dx.  2 x  1  ln K . Giá trị của K. 4 3. 5 6. 4 3. 1 6. là:. 1. A. 3. B. 8. C. 81. D. 9. Câu 58 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2, x  0, x  2 có kết quả dạng A. 2. a khi đó a-b bằng b. B. -3. C. 3. D. 59. Câu 59 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x 2 + 4x và các tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua M(5/2;6) có kết quả dạng A.. 12 11. B. 14. C. 5. a khi đó a-b bằng b. D. -5. Câu 60 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x2+3x2, d1:y = x1 và d2:y=x+2 có kết quả là. 136. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - .

(137) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. A.. 1 8. B.. 2 7. C.. : Đạt Nguyễn Tiến. 1 12. D.. 1 6. Câu 61 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x 2 + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy là: A. Câu 62 :. 7 3. B.. 5 3. C. 2. D.. 8 3. 1. Giá trị của I   x.e  x dx là: 0. Câu 63 :. A.. 2 e. C.. B. 2 1  x  C. C.. B. 1 . A. 1 Tính. . C 1 x. dx 1 x. 2 e. D. 2e  1. , kết quả là: 2 1 x. C. D. C 1  x. Câu 64 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = (e  1)x và y  (1  e x )x là: A. 2 . e 2. B. 2. C.. e 1 2. D.. 3 1 e. Câu 65 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2x2  x  3 và trục hoành là: A. Câu 66 :. 137. 125 24. B.. 125 34. C.. 125 14. D.. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  4  x và patabol y . 125 44. x2 bằng: 2. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - .

(138) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. A.. 28 3. B.. 25 3. C.. : Đạt Nguyễn Tiến. 22 3. D.. 26 3. Câu 67 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y  x 2  4 x  3 và y=x+3 có kết quả là: A. Câu 68 :. 55 6. B.. 205 6. C.. 109 6. D.. 126 5. 3 x. Tìm nguyên hàm:  ( x 2   2 x )dx. A.. 3 1 x  2 s inx  sin 2 x  C 2 4. B.. 3 1 x  2 s inx- sin 2 x  C 2 4. C.. 3 1 x  2 cos x  sin 2 x  C 2 4. D.. 3 1 x  2s inx  sin 2 x  C 2 4. 13 t 8 5 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm):. Câu 69. Gọi h  t  cm  là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng h '  t  . A. 2,33 cm.. B. 5,06 cm.. C. 2,66 cm.. D. 3,33 cm.. Câu 70. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét ? A. 0,2 m.. 138. B. 2 m.. C. 10 m.. D. 20 m.. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - .

(139) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. ĐÁP ÁN ĐỀ TỔNG HỢP 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27. 139. B A C A C C A B A A D B B A C D B D C B D A B B D D C. 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54. C D A B A C B D D D B D B A B A C D A D D B C A A B C. 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70. A D A C C C D B B C A A C D C C. ĐỀ TỔNG HỢP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - .

(140) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. B .TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 10 NĂM GẦN ĐÂY 3. Bài 1. (THPT QG 2016): Tính tích phân I=  3x( x  x 2  16)dx. ĐS: I = 88. 0. 1. Bài 2. (THPT QG 2015): Tính tích phân:  ( x  3)e x dx. ĐS: I = 4-3e. 0. Bài 3. (ĐH A2014): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y  x 2  x  3 và y  2 x  1 ĐS: I = 1/6. Bài 4. (ĐH B2014) : Tính tích phân : 2. I  1. x 2  3x  1 dx x2  x. ĐS : I  1  ln 3. Bài 5. (ĐH D2014) : Tính tích phân :  4. I    x  1 sin 2 xdx. ĐS : I . 3 4. ĐS : I . 5 3 ln 2  2 2. ĐS : I . 2 2 1 3. 0. Bài 6. (ĐH A2013) : Tính tích phân : 2. I  1. x2  1 ln x dx x2. Bài 7. (ĐH B2013) : Tính tích phân : 1. I   x 2  x 2 dx 0. Bài 8. (ĐH D2013) : Tính tích phân : 1. ( x  1) 2 dx x2  1 0. I . ĐS : I  1  ln 2. Bài 9. (ĐH A2012) : Tính tích phân : 140. B .TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 10 NĂM GẦN ĐÂY .

(141) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. 3. 1  ln( x  1) dx x2 1. I . ĐS : I . 2 2  l n 3  ln 2 3 3. Bài 10. (ĐH B2012) : Tính tích phân : 1. I  0. x3 dx. x 4  3x 2  2. 3 ĐS : I  l n 3  ln 2 2. Bài 11. (ĐH D2012) : Tính tích phân :  /4. I. . ĐS : I . x(1  sin 2 x)dx. 0. 2 32. . 1 4. Bài 12. (ĐH A2011) : Tính tích phân :  4. I 0. x sin x  ( x  1) cos x dx x sin x  cos x. ĐS : I .  2    l n    1  4  2  4 . . Bài 13. (ĐH B2011) : Tính tích phân : . 1  x sin x dx cos 2 x 0 3. I. ĐS : I  3 . 2 ln 2 3 3. . Bài 14. (ĐH D2011) : Tính tích phân : 4. I  0. 4x 1 dx 2x  1  2. ĐS : I . 34 3  10l n   3 5. Bài 15. (ĐH A2010) : Tính tích phân : 1. I  0. x2  e x  2 x2e x dx 2e x  1. 1 1 1  2e ĐS : I   l n 3 2 3. Bài 16. (ĐH B2010) : Tính tích phân : e. I  1. 141. ln x dx x(ln x  2) 2. 1 3 ĐS : I    l n 3 2 B .TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 10 NĂM GẦN ĐÂY . .

(142) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. Bài 17. (ĐH D2010) : Tính tích phân : e. 3 I   (2 x  ) ln xdx x 1. ĐS : I . e2 1 2. ĐS : I . 8   15 4. ĐS : I . 1 27 (3  ln ) 4 16. Bài 18. (ĐH A2009) : Tính tích phân :  2. I   (cos3  1)cos 2 xdx 0. Bài 19. (ĐH B2009) : Tính tích phân : 3. 3  ln x dx 2 ( x  1) 1. I . Bài 20. (ĐH D2009) : Tính tích phân : 3. dx e 1 1. I . ĐS : I  ln(e 2  e  1)  2. x. Bài 21. (ĐH A2008) : Tính tích phân :  6. I 0. tan 4 x dx . cos2 x. ĐS : I . 1 10 ln(2  3)  2 9 3. Bài 22. (ĐH B2008) : Tính tích phân : . . sin( x  ) dx 4 I dx . sin2 x  2(1  s inx  cos x ) 0 4. ĐS : I . 43 2 4. Bài 23. (ĐH D2008) : Tính tích phân : 2. ln x dx x3 1. I . ĐS : I . 3  2 ln 2 16. Bài 24. (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 142. B .TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 10 NĂM GẦN ĐÂY .

(143) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. y  (e  1) x , y  (1  e x ) x .. : Đạt Nguyễn Tiến. ĐS : S . e 1 2. Bài 25. (ĐH B2007) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường . y  x ln x , y  0 , x  e . Tính thể tích của khối tròn xoay tọa thành khi quay hình H quanh trục Ox. ĐS : V .  (5e3  2) 27. Bài 26. (ĐH D2007) : Tính tích phân : e. I   x 3 ln 2 xdx .. ĐS : I . 5e4  1 32. ĐS : I . 2 3. 1. Bài 27. (ĐH A2006) : Tính tích phân :  2. I 0. sin 2 x cos x  4sin x 2. 2. dx. Bài 28. (ĐH B2006) : Tính tích phân : ln 5. I. e. ln 3. x. dx .  2e  x  3. ĐS : I  ln. 3 2. Bài 29. (ĐH D2006) : Tính tích phân : 1. I   ( x  2)e dx. 2x. 0. 143. 5  3e2 ĐS : I  4. B .TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 10 NĂM GẦN ĐÂY .

(144) 8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |. : Đạt Nguyễn Tiến. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Giải tích 12 Nâng Cao (Nhà xuất bản giáo dục) 2. Sách Bài tập Giải tích 12 (Nhà xuất bản giáo dục) 3. Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm Toán 12 – Nguyễn Phú Khánh – Huỳnh Đức Khánh. (Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội) 4. Tuyển tập các chuyên đề và kỳ thuật tính Tích Phân – Trần Phương (Nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội) 5. Group Toán - 144. TÀI LIỆU THAM KHẢO - .

(145)

Toán 12: 8 kỹ thuật đạt điểm tối đa phần Nguyên hàm – tích phân – Chinh phục giảng đường

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về