Biến đổi tích phân fourier và hiện tượng GIBBS, và dạy học tích hợp trong môn toán cao cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ PHƯƠNG DUNG

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER
VÀ HIỆN TƯỢNG GIBBS,
VÀ DẠY HỌC TÍCH HỢP TRONG MƠN
TỐN CAO CẤP

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG THỊ PHƯƠNG DUNG

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER
VÀ HIỆN TƯỢNG GIBBS,
VÀ DẠY HỌC TÍCH HỢP TRONG MƠN
TỐN CAO CẤP

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Nguyễn Minh Tuấn
Sinh viên thực hiện khóa luận: Hồng Thị Phương Dung

Hà Nội - Năm 2018


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết
ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, người đã tận tình hướng dẫn để em
có thể hồn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cô giáo
trong khoa Sư phạm, Đại học Giáo Dục và khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học
Khoa Học Tự Nhiên đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại
trường.
Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên khóa luận khơng tránh khỏi những sai sót,
em rất mong nhận được sự góp ý và nhận xét của thầy cô .
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 8 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Hoàng Thị Phương Dung


Mục lục
Danh sách hình vẽ

3

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

1.3

4
6

Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Các hàm đặc biệt cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Hàm Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Hàm Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Biến đổi tích phân Fourier

10

2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Biến đổi Fourier như là chuỗi Fourier trên khoảng vơ hạn . . . .

15

2.3

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4

Đặc trưng toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.5

Chập và toán tử chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.6

Định lý Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.6.1

Phiên bản rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.6.2

Phiên bản liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3 Hiện tượng Gibbs

49

3.1

Ví dụ về hiện tượng Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2

Hiện tượng Gibbs của hàm có khai triển Fourier . . . . . . . . .

52

1


4 Dạy học tích hợp trong mơn tốn cao cấp

57

4.1

Khái niệm dạy học tích hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.2

Dạy học tích hợp trong mơn tốn cao cấp . . . . . . . . . . . . .

58

4.2.1

Giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4.2.2

Giải phương trình vật lý tốn . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Kết luận và khuyến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Tài liệu tham khảo

66

2


Danh sách hình vẽ
2.1

Hàm Gauss và ảnh Fourier của nó . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Hàm Π và ảnh Fourier của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3

Dao động của hàm sóng tại 3 hertz . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4

Phần thực của hàm f tại 3 hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.5

Hàm số Π và Λ và tích chập của nó . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.6

Hàm số f và g và tích chập của nó . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.7

Hàm có dải hữu hạn và ảnh Fourier của nó . . . . . . . . . . . .

47

3.1

Hàm h(x) và tổng riêng của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.2

Hiện tượng Gibbs đối với hàm răng cưa . . . . . . . . . . . . . .

53

3

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Biến đổi Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của toán
học nói chung và giải tích nói riêng. Phép biến đổi Fourier là một trong lớp
những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất và có nhiều ứng dụng khoa học,
ví dụ như trong vật lý, kỹ thuật điện tử, xác suất thống kê và nhiều lĩnh vực
khác.
Khóa luận này trình bày về biến đổi tích phân Fourier, hiện tượng Gibbs và
kết hợp dạy học tích hợp biến đổi tích phân Fourier trong mơn tốn cao cấp
(đối với sinh viên khơng phải ngành tốn).

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của khóa luận là đi nghiên cứu về định nghĩa, trình bày cách xây
dựng biến đổi Fourier từ chuỗi Fourier, tính chất tốn tử, xây dựng tốn tử
chập về biến đổi Fourier. Từ đó trình bày về định lý Shannon và phân tích hiện
tượng Gibbs. Ngồi ra, khóa luận đề cập đến dạy học tích hợp trong mơn tốn
cao cấp. Cụ thể là tích hợp các kiến thức về tốn được trình bày để xử lý một
số bài toán vật lý.

3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất và đặc trưng tốn tử của biến đổi tích phân Fourier.
Từ đó, phân tích định lý Shannon và giải thích hiện tượng Gibbs về mặt tốn
học. Đối với phần dạy học tích hợp trong mơn tốn cao cấp, khóa luận sử dụng
các tính chất của biến đổi Fourier và phương trình vi phân để giải quyết các
bài tốn ứng dụng.

3. Cấu trúc khóa luận
Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, bố cục khóa luận gồm bốn chương và
tài liệu tham khảo.

Chương một là phần kiến thức chuẩn bị trình bày về những ký hiệu và các
khơng gian hàm cơ bản của Giải tích hàm liên quan đến biến đổi Fourier, và
nhắc lại những hàm đặc biệt liên quan đến nội dung trong khóa luận.
Chương hai trình bày về định nghĩa biến đổi Fourier, tính chất giải tích và
4


giải tích hàm, phân tích mối liên quan mật thiết giữa biến đổi Fourier và chuỗi
Fourier và định lý lấy mẫu của Shannon.
Chương ba trình bày về một hiện tượng tốn học thú vị có nguồn gốc từ
thế giới tự nhiên và cơng nghệ xử lý tín hiệu. Đó là hiện tượng Gibbs. Ta sẽ đi
phân tích từ một trường hợp đặc biệt sau đó mở rộng đối với hiện tượng Gibbs
của hàm khơng liên tục.
Chương bốn trình bày về ứng dụng của biến đổi Fourier và hiện tượng Gibbs
trong việc dạy học tích hợp trong mơn tốn cao cấp của sinh viên. Cụ thể là sử
dụng biến đổi Fourier để giải các bài toán vật lý.

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Không gian hàm
Các ký hiệu

Ta chỉ ra một số kí hiệu được trình bày trong khóa luận.
N = {1, 2, ...} là tập hợp tất cả các số tự nhiên; R là tập hợp các số thực; C là

tập hợp các số phức. Đơn vị ảo

√

−1 = i.

Không gian Euclid thực hữu hạn chiều là Rd . Với hai cặp vecto x, y ∈ Rd ,
ký hiệu xy :=< x, y > là tích vơ hướng thông thường của chúng.|x| =
được gọi là chuẩn Euclid của x.
eixy = ei<x,y> x, y ∈ Rd .

Hàm mũ một biến eit , (t ∈ R) được xác định bởi công thức
eit = cos t + i sin t.
p = (p1 , p2 , ..., pd ) (pk ∈ N, k = 1, 2, ..., d) được gọi là một d- bó.

Với mỗi vecto x ∈ Rd , ký hiệu
xp := xp11 ...xpdd

là một đơn thức.
Dxp :=

∂ |p|
∂xp11 ...∂xpdd

là toán tử đạo hàm riêng theo biến x.
6

√

< x, x >

1.1.2

Các không gian hàm

Rd được ký hiệu là không gian Euclid thực d chiều với độ đo Lebesgue.
Không gian tuyến tính của hàm số được ngầm hiểu là khơng gian trên trường
số phức.
Với mỗi số tự nhiên p ≥ 1,
Lp (Rd ) := {f : Rd → C/

|f (x)|p dx < +∞}
Rd

là không gian tất cả các hàm số khả tích Lebesgue bậc p trên Rd . Đây là khơng
gian Banach với chuẩn của hàm f được xác định bởi đẳng thức:
f

p

1
p

1

:=

p

|f (x)| dx

d

(2π) 2

.

Rd

Khi p = 1, không gian L1 (Rd ) có chuẩn:
f

1

1

:=

|f (x)|dx.

d

(2π) 2

Rd

C0 (Rd ) là không gian tất cả các hàm nhận giá trị phức, liên tục trên Rd và
triệt tiêu tại vô cùng. Với mỗi f ∈ C0 (Rd ) định nghĩa:
f

∞

= sup |f (x)|.
x∈Rd

Khi đó, C0 (Rd ) là khơng gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1. Hàm số f ∈ C(Rd ) được gọi là giảm nhanh nếu
sup (1 + |x|)N |f (x)| < ∞ ∀N = 1, 2, ..
x∈Rd

Định nghĩa 1.1.2 (Không gian Schwartz). Không gian Schwartz hay không
gian các hàm giảm nhanh trên Rd là không gian hàm f ∈ C∞ (Rd ) mà f cùng
với các đạo hàm của nó là hàm giảm nhanh.
S := {f ∈ C∞ (Rd ) : Rd → C : sup (1 + |x|)N Dα f (x) < ∞ ∀N, α}.
2

Ví dụ 1.1.1. Hàm số f (x) = e−x , ∀x ∈ R là hàm thuộc không gian Schwartz.
Nhận xét 1.1.1. Không gian Schwartz S là không gian con của không gian
Lp (Rd ). Hơn nữa, không gian Schwartz trù mật trong L2 (Rd ).
7


Định nghĩa 1.1.3 (Toán tử đẳng cự ). Cho X và Y là hai khơng gian Hilbert
L2 (Rd ). Tốn tử tuyến tính A : X −→ Y là tốn tử đẳng cự nếu
Ax = x , ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.1.4 (Toán tử unita). Nếu A là toán tử đẳng cự và tồn ánh thì
A được gọi là tốn tử unita.

Định nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường số
phức C và A : X −→ X là tốn tử tuyến tính liên tục.
1. Số λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu toán tử
Aλ := λI − A

khả nghịch và A−1
λ là liên tục trên X. Tập tất cả các giá trị chính quy của
A ký hiệu là ρ(A).

2. Phổ của toán tử A được ký hiệu là σ(A). Ta có σ(A) = C \ ρ(A).
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử X là khơng gian tuyến tính định chuẩn trên trường
số phức C, và A ∈ L(X) là toán tử tuyến tính giới nội xác định trên X . Toán
tử A được gọi là đại số nếu tồn tại đa thức đại số
Pn (t) = tn + a1 tn−1 + ... + an−1 tn + an , n ∈ N, ak ∈ C

sao cho P (A) = 0 (Vế phải là toán tử 0).
Nếu Pn (t) là đa thức bậc nhỏ nhất trong số các đa thức có dạng trên làm
triệt tiêu tốn tử A thì Pn (t) là đa thức đặc trưng của toán tử A.

1.2
1.2.1

Các hàm đặc biệt cơ bản
Hàm Hermite

Hàm Hermite một biến và d-biến là hàm số lần lượt xác định trong không
gian R và Rd được định nghĩa bởi công thức sau:
n

Φn (x) := (−1) e

d
dx

1 2
x
2

1

2

n
2

e−x ,
2

Φα (x) := (−1)|α| e 2 |x| Dxα e−|x| ,

với α ∈ Nd là d- bó và |α| := α1 + ... + αd .
8


1.2.2

Hàm Heaviside

Hàm Heaviside còn gọi là hàm bậc thang đơn vị.




1 nếu x > 0
H(x) :=



0

1.3

nếu x < 0.

Chuỗi Fourier

Định nghĩa 1.3.1. [7, tr. 7] Cho hàm f (x) là hàm khả tích và tuần hồn với
chu kì 2πλ. Khi đó các hệ số an , bn được xác định bởi
πλ

1
an :=
πλ
bn :=

f (t) cos

nt
dt,
λ

f (t) sin

nt
dt,
λ

−πλ
πλ

1
πλ

−πλ

được gọi là hệ số Fourier của hàm f và chuỗi
a0
+
2

∞

a0 cos
n=1

nx
nx
+ bn sin
λ
λ

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f.
Định nghĩa 1.3.2. [7, tr. 10] Chuỗi Fourier có thể được định nghĩa dưới dạng
phức như sau. Cho hàm số f (x) : [a, b] → C khả tích và tuần hồn với chu kì
L = b − a. Khi đó

+∞
nx

cn e2πi L
−∞

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x) với
cn :=

1
L

b

nx

f (x)e−2πi L dx.
a

Ký hiệu:
+∞
nx

cn e2πi L .

f (x) ∼
−∞

9


Chương 2
Biến đổi tích phân Fourier
2.1

Định nghĩa

Biến đổi Fourier và biến đổi tích phân Fourier ngược được định nghĩa bởi
các công thức sau [4, tr. 47]:
(T f )(x) :=

1
d
2

(2π)
1
(T −1 f )(x) :=
d
(2π) 2

f (y)e−ixy dy,

(2.1.1)

f (y)eixy dy.

(2.1.2)

Rd

Rd

Hàm số f được gọi là hàm gốc. Hàm T f được gọi là hàm ảnh. Trong phạm
vi của khóa luận, ta chỉ xét hàm f thuộc L1 (Rd ) và L2 (Rd ).
Với mỗi x = (x1 , x2 , ..., xd ) ∈ Rd , ký hiệu:
−x = (−x1 , −x2 , ..., −xd ),

và
f˘(x) = f (−x).

Ngồi ra, ta cịn dùng kí hiệu:
(T f )(x) := f (x),
(T f g)(x) := (f g) (x).

Sau đây là ví dụ về biến đổi Fourier của một số hàm số.

10


Ví dụ 2.1.1. Xét hàm số
f (y) = e−|y|

2

xác định trên Rd . Đây là trường hợp đặc biệt của hàm Gauss.

Hình 2.1: Hàm Gauss và ảnh Fourier của nó

Vì
1

e−

d

(2π) 2

|y|2
2

dx = 1

Rd

nên
1

2

(π)

d
2

e−|x| dx = 1.
Rd

Do đó, f ∈ L1 (Rd ). Thực hiện phép đổi biến
t1 = y1 +

ix1
ix2
ixd
; t2 = y2 +
; ...; td = yd +
;
2
2
2

Ta có
1

(T f )(x) =

(2π)
+∞

1

=

(2π)
=

e

d
2

2

d
2

e−ixy−|y| dy
Rd
+∞

+∞

−∞

x2 +x2 +...+x2
d
− 1 24

(2π)

d
2

−∞

2

2

−∞

+∞

e
−∞

2

e−ix1 y1 −ix2 y2 −...−ixd yd × e−y1 −y2 −...−yd dy1 dy2 ... dyd

...
−(y1 +

ix1
2

2

) dy
1

+∞

−(y2 +

e
−∞

11

ix2
2

2

) dy ...
2

+∞
−∞

e−(yd +

ixd
2

2

) dy
d


=

e−

2
2
x2
1 +x2 +...+xd
4

(2π)
=

e

d
2

+∞
−∞

x2 +x2 +...+x2
d
− 1 24

+∞

2

e−t2 dt2 ...
−∞

2

e−|t| dt =

d

(2π) 2

+∞

2

e−t1 dt1
1

2

e−td dtd
−∞

−
d e

|x|2
4

.

22

Rd

Trong ví dụ này, ta thấy T f ∈ L1 (Rd ) hay ảnh Fourier của f là hàm thuộc
L1 (Rd ).

Ví dụ 2.1.2. Xét hàm số

f (x) =




e−x

nếu x > 0



0

nếu x ≤ 0.

Vì
|f (x)|dx = 1
R

nên f ∈ L1 (R). Biến đổi Fourier của hàm f là
1
(T f )(x) = √
2π

1
f (y)e−ixy dy = √
2π
R
1
=√
.
2π(1 + ix)

+∞

e−y e−ixy dy
0

Vì
1
1
|(T f )(x)| = √ √
2π 1 + x2

nên T f ∈
/ L1 (R). Như vậy, f ∈ L1 (R) nhưng f ∈
/ L1 (R).
Ví dụ 2.1.3. Xét hàm số

Π(y) =






1





1
2
1
nếu |y| =
2
1
nếu |y| > .
2

nếu |y| <

1


2






0

Ta có

1
2

+∞

|Π(y)|dy =

|Π(y)|dy = 1
− 12

−∞

12


nên Π ∈ L1 (R). Với x = 0, biến đổi Fourier của hàm Π là:
1
(T Π)(x) = √
2Π

1
Π(y)e−ixy dy = √
2Π
R

Vậy



x

sin

1

2
√

2π
(T Π)(x) =


1

√
2π

1
2

− 12

x
sin
1
2.
e−ixy dy = √
x
2π

nếu x = 0

x

nếu x = 0.

Hình 2.2: Hàm Π và ảnh Fourier của nó

Trong trường hợp này, T Π ∈
/ L1 (R) mặc dù T Π liên tục tại mọi điểm.
Ví dụ 2.1.4. Với a > 0, xét hàm số


sin ay



nếu y = 0

y

f (y) =



a

nếu y = 0.

Nhận xét hàm f (y) khơng khả tích tuyệt đối (f ∈
/ L1 (R)). Thật vậy, ta có
+∞

|f (y)|dy = 2

Mặt khác

+∞

1

|f (y)|dy =
0

|f (y)|dy.
0

R

+∞

|f (y)|dy +
0

|f (y)|dy.
1

13

Vì |f (y)| liên tục trên đoạn [0, 1] nên
1

|f (y)|dy < ∞.
0

Với y > 1, ta có
sin ay
| sin ay|2
1 − cos 2ay
1
cos 2ay
≥
=
=
−
= +∞
y
y
2y
2y
2y

nên

+∞

|f (y)|dy = +∞
1

suy ra f ∈
/ L1 (R).
Tuy nhiên, f vẫn khả tích trên R. Do

1
f (y)dy
0

tồn tại với f liên tục, hàm

1
đơn điệu giảm dần
y
+∞
+∞
về 0 nên theo nguyên lý Dirichlet, 1 f (y)dy tồn tại. Vậy 0 f (y)dy tồn tại.
sin ay có nguyên hàm bị chặn trên khoảng [1; +∞), hàm

Dù f ∈
/ L1 (R) nhưng vẫn tồn tại biến đổi Fourier của hàm số với hầu khắp
nơi x ∈ R.
1
(T f )(x) = √
2π

e−ixy
R
0

1
=√
2π
1
=√
2π
1
=√
2π
1
=√
2π

sin ay
dy
y

e−ixy
−∞
+∞

sin ay
dy +
y

e−ixy + eixy
0
+∞
0

0

+∞
0

e−ixy
0

sin ay
dy
y

sin ay
dy
y

2 cos xy sin ay
dy
y

+∞

Với b = 0

+∞

sin(a + x)y
sin(a − x)y
dy +
dy .

y
y

sin by
π
dy = sign(b).
y
2

nên
(T f )(x) =






π
2



0

nếu |x| < a
nếu |x| > a,

(T f )(±a) = ∞.
14

Nhận xét 2.1.1. Từ ví dụ trên, ảnh Fourier của hàm khả tích tuyệt đối là
hàm liên tục đều trên Rd và triệt tiêu ở vô cùng (ta sẽ chứng minh ở phần sau).
Đối với những hàm khơng khả tích tuyệt đối, nói chung ta khơng có một thơng
tin nào về hàm ảnh của nó mà chỉ có thể nghiên cứu từng hàm cụ thể.
Mệnh đề 2.1.1. Nếu f ∈ L1 (Rd ) thì tồn tại ảnh Fourier của nó, tức là T f xác
định trên Rd .
Chứng minh. Với ∀x ∈ Rd ta có
e−ixy f (y) dy ≤
Rd

|f (y)|dy < +∞.
Rd

Đây là điều kiện đủ cho hàm gốc f để tồn tại hàm ảnh T f . Tuy nhiên, vẫn có
thể tồn tại biến đổi Fourier của hàm khơng thuộc L1 (R).

2.2

Biến đổi Fourier như là chuỗi Fourier trên khoảng
vơ hạn

Ta sẽ chỉ ra biến đổi Fourier có thể xem như một phiên bản khác của chuỗi
Fourier với hàm xác định trên R.
Giả sử tất cả các hàm xét trong phần này đều có giá compact hoặc là hàm
trong không gian Schwartz để những lập luận sau đây được đúng. Ta xét trường
hợp hàm một chiều. Giả sử f là hàm xác định trên R. Hàm f(x) thỏa mãn điều
kiện Dirichlet trong khoảng [−T ; T ] nếu:
i) f khả tích tuyệt đối trên khoảng [−T ; T ].
ii) f có số lượng hữu hạn các điểm gián đoạn loại I và khơng có điểm gián

đoạn loại II trong khoảng [−T ; T ].
iii) f có số lượng hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu thuộc khoảng [−T ; T ].
Theo định lý Fourier, vì f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong khoảng [−T ; T ]
nên f được biểu diễn dưới dạng một chuỗi Fourier phức [8, tr. 16]
+∞
nπ

cn ei T ,

f (x) =
n=−∞

15

(2.2.1)


với
+T

1
cn =
2T

nπ

f (t)e−i T .

(2.2.2)

−T

Theo góc độ giải tích:
Trong cơng thức (2.2.1), f được biểu diễn bởi tổng tuần hoàn với chu kì

2T
n

trong khoảng [−T ; T ]. Nói cách khác, f gồm tổng của các dao động với biên độ
phức cn . Trong trường hợp tổng quát, khi f khơng thỏa mãn điều kiện Dirichlet
thì
+∞
nπ

cn e i T

f (x) ∼

(2.2.3)

n=−∞

được gọi là một biểu diễn hình thức của hàm f xác định trên đoạn hữu hạn
[−T ; T ]. Ta thấy rằng với T hữu hạn, hàm f có thể được biểu diễn như công

thức (2.2.3). Đối với những hàm xác định trên R và khơng tuần hồn, f khơng
thể biểu diễn như trên. Vì vậy, ta sẽ cho T → ∞ để tìm được cách biểu diễn
hàm f xác định trên khoảng vô hạn.
Giả sử
+T

f (x)e−iωx dx, ω ∈ R.

f (T, ω) =

(2.2.4)

−T

Khi đó, hệ số cn trong (2.2.4) là
cn =

1
nπ
f T,
.
2T
T

Thay cn vào (2.2.1), ta được:
1
f (x) =
2T

với ωn =

+∞
iωn x

f (T, ωn ) e

n=−∞

1
=
2π

+∞

f (T, ωn ) eiωn x .
n=−∞

π
,
T

(2.2.5)

nπ
.
T

Đặt
f (x)e−iωx dx, ω ∈ R.

f (ω) = lim f (T, ω) =
T →∞

(2.2.6)

R

Trong công thức (2.2.4) cho T → ∞ và áp dụng (2.2.5) ta được
f (x) =

1
2π

f (ω)eiωx dω =
R

1
2π

f (t)e−iωt dt eiωx dω.
R

16

R

(2.2.7)


(Giả sử rằng các phép tính giới hạn và tích phân đều có thể thực hiện được.)
Như vậy, ta có thể kết luận rằng: Công thức (2.2.6) và (2.2.7) là biểu diễn
của hàm f khi hàm xác định trên R (khơng nhất thiết phải tuần hồn). Do đó,
biến đổi Fourier là một phiên bản khác của chuỗi Fourier. Cụ thể, với các điều
kiện thích hợp:
Cơng thức (2.2.6) xác định một hàm số mới gọi là biến đổi Fourier của hàm
f (tương ứng với hàm xác định trên khoảng hữu hạn, biểu thức (2.2.2) xác định

các hệ số Fourier cn .
Công thức (2.2.7) xác định công thức khôi phục hàm f ban đầu từ hàm f
theo nghĩa nhất định (theo L1 chuẩn hoặc L2 chuẩn). (tương ứng với hàm xác
định trên khoảng hữu hạn, hàm f có thể được biểu diễn thơng qua các hệ số cn
trong cơng thức (2.2.1))
Theo góc độ của ứng dụng lý thuyết truyền sóng: Hàm tuần hồn
với chu kì hữu hạn có thể được biểu diễn bằng một tổng hữu hạn của các hàm
sine và cosine. Về mặt ứng dụng, có thể khơi phục chuỗi Fourier bằng tích phân
nhờ các tính chất của sine và cosine. Ta cũng có thể dùng cơng thức Euler để
biểu thị chuỗi Fourier dưới dạng sóng cơ bản
eiθ = cos θ + i sin θ.

Trong trường hợp này, chu kì của sóng là 2π . Bằng phép đồng dạng, ta có thể
xét hàm sóng với chu kì bất kì khác. Xét hàm số e±2πiθ với chu kì bằng 1. Tổng
quát, hàm số e±imθ biểu thị dao động với chu kì T =

2π
.
m

Xét biến đổi Fourier được xác định bởi công thức sau:
e−2πixy f (y)dy.

(T f ) (x) =
Rd

Ta xét trường hợp hàm có giá compact, ta có thể xác định được tất cả các hệ
số Fourier. Cụ thể, giả sử T là số thực dương đủ lớn sao cho khoảng [−T /2; T /2]
vẫn chứa giá của f . Khi đó, hệ số Fourier được tính bởi cơng thức

T /2

f (x)e−2πi(n/T )x dx.

cn =
−T /2

Từ định nghĩa biến đổi Fourier vừa nêu, suy ra
17

(2.2.8)


T /2
−2πi(n/T )x

f (n/T ) =

e

e−2πi(n/T )x f (x)dx

f (x)dx =
−T /2

R

hay cn = f (n/T ).
Khi T tăng dần và tiến tới vơ cùng, các hệ số Fourier có biểu thị gần với biến đổi
Fourier của hàm f . Với điều kiện thích hợp của hàm f , theo công thức (2.2.1)

1
f (x) = e
T

n=+∞

n=+∞

f (n/T )e

2πi(n/T )x

f (ξn ) e2πiξn x ∆ξ,

=

(2.2.9)

n=−∞

n=−∞

với
ξn = n/T, ∆ξ = (n + 1) /T − nT = 1/T.

Vế phải của công thức (2.2.9) là tổng Darboux trong định nghĩa tích phân
Riemann. Cho T → ∞, tổng này hội tụ tới giá trị tích phân của biến đổi Fourier
ngược. Với một vài điều kiện thích hợp, lập luận trên là chính xác.
Theo cơng thức (2.2.8), hệ số cn có thể được hiểu là số lượng các sóng biểu
thị trong chuỗi Fourier của f . Biến đổi Fourier của f được hiểu là một hàm số

đo từng tần số riêng biệt trong hàm sóng, và ta có thể tổ hợp lại những sóng
này bằng cách lấy tích phân để khơi phục hàm sóng ban đầu.
Ngoài ra, biến đổi Fourier được áp dụng kể cả với hàm số tuần hoàn. Giả sử
f (x) tuần hoàn với chu kì 2π . Ta có
(T

−1

1
f )(ω) = √
2π

+∞

f (x)e

ixω

−∞

1
dx = √
2π

+∞

2(n+1)π

f (x)eixω dx
n=−∞

2nπ

2π

1
eiξω
=√
f (ξ)
dξ
1 − e2πiω
2π 0
1
Ψ(ω)
=√ .
,
2π 1 − e2πiω

với

2π

f (ξ)eiξω dξ.

Ψ(ω) =
0

Theo công thức (2.2.7),
1
f (x) =

2π

+∞

f (ω)e
−∞

iωx

1
dω =
2π

18

∞

Ψ(n)einx .
n=−∞


Như vậy, bằng biến đổi Fourier, ta có thể biểu diễn hàm f dưới dạng chuỗi
Fourier.
2

Ví dụ 2.2.1. Xét hàm tần số f (t) = cos(6πt)e−πt với t là số đo thời gian tính
theo giây.
2

Ta sẽ đo hàm tấn số dựa vào biến đổi Fourier. Hàm f (t) = cos3(2πt)e−πt dao

động với tần số 3 hertz và giảm nhanh về 0. Dựa vào biến đổi Fourier, ta sẽ
tính được một số tần số cá biệt của hàm tần số.

Hình 2.3: Dao động của hàm sóng tại 3 hertz

Để tính f (3) cần lấy tích phân hàm g(t) = e−2πi (3t) f (t). Tương tự với f (5).
Từ hình vẽ cho thấy |f (3)| khá lớn và |f (5)| rất nhỏ. Tình huống thực tế cịn
phức tạp hơn thế rất nhiều.

Hình 2.4: Phần thực của hàm f tại 3 hertz

19


Trong công thức (2.2.7), dấu ∼ sẽ được thay bằng dấu = nếu hàm f khả vi
liên tục từng khúc trong mọi khoảng hữu hạn và khả tích tuyệt đối trên R. Cụ
thể, ta có định lý sau:
Định lý 2.2.1. [8, tr.17] Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong mọi
khoảng hữu hạn và khả tích tuyệt đối trên R thì tích phân Fourier (2.2.7) hội tụ
đến hàm
1
[f (x + 0) + f (x − 0)]
2

tại mọi điểm x ∈ R. Nói cách khác
1
1
[f (x + 0) + f (x − 0)] =
2
2π

f (t)e−iωt dt eiωx dω
R

(2.2.10)

R

với mọi x ∈ R.
Nếu hàm f (x) liên tục tại x thì f (x + 0) + f (x − 0) = f (x). Khi đó, cơng thức
(2.2.7) trở thành cơng thức (2.2.10)
f (x) =

1
2π

f (t)e−iωt dt eiωx dω.
R

R

Biểu diễn eiω(x−t) trong (2.2.10) về hàm lượng giác và sử dụng tính chẵn lẻ
của hàm cos và sin, ta có
1
f (x) =
π

+∞

+∞

f (v) cos u(v − x)dv.

du
−∞

0

Đây là cách biểu diễn khác của cơng thức tích phân Fourier. Giả sử f (x) là
hàm chẵn và khai triển hàm cos trong biểu diễn trên, ta thu được
f (x) = f (−x) =

2
π

+∞

+∞

cos xu du
0

cos uv dv.
0

Nó được gọi là cơng thức Fourier-cosine. Tương tự, với f (x) là hàm lẻ, ta thu
được công thức tích phân sine.
2
f (x) = f (−x) =
π

+∞

+∞

sin xu du
0

sin uv dv.
0

Từ chuỗi Fourier và tích phân Fourier, ta sẽ đi tìm hiểu về biến đổi tích phân
Fourier và các tính chất của nó trong phần tiếp theo.
Ta có thể tóm tắt mục này như sau:
20


Đối với những hàm xác định trên khoảng hữu hạn hoặc xác định trên khoảng
vơ hạn tuần hồn, ta có thể dùng chuỗi Fourier.
Đối với những hàm xác định trên khoảng vơ hạn và khơng tuần hồn, ta có
thể dùng biến đổi Fourier.

2.3

Tính chất

Tính chất 2.3.1 (Tuyến tính). Nếu f, g ∈ L1 (Rd ) thì
T (αf + βg) = αT f + βT g với mọi α, β ∈ C.

Chứng minh. Ta có

T (αf + βg) =

1
d
2

(2π)
1
=α
d
(2π) 2

(αf + βg) (y)e−ixy dy
Rd

1

f (y)e−ixy dy + β

(2π)

Rd

d
2

g(y)e−ixy dy
Rd

=αT f + βT g.

Tính chất 2.3.2. [4, tr.65] Giả sử h ∈ R. Đặt g(y) := e−ihy f (y). Khi đó
(T f ) (x + h) = (T g) (x).

Chứng minh. Ta có
1

(T f ) (x + h) =
=

(2π)
1
(2π)

d
2

d
2

f (y)e−i<x+h,y> dy
Rd

e−ixy f (y)e−ihy dy
Rd

= (T g) (x).

Tính chất 2.3.3. (liên hợp phức)
T (f )(x) = T f (−x),

với f ký hiệu là liên hợp phức của f.
21


Chứng minh. Hiển nhiên
e−ixy f (y)dy =

eixy f (y)dy.

Rd

Rd

Tính chất 2.3.4. Đẳng thức sau đây đúng với a ∈ Rd
(T (f (y + a))) (x) = eixa (T f ) (x).

Chứng minh. Ta có
1

(T (f (y + a))) (x) =

(2π)

f (y + a)e−ixy dy.

d
2

Rd

Bằng phép đổi biến, vế trái của đẳng thức trên bằng
f (t)e−i<x,t−a> dt = eixa
Rd

f (t)e−ixt dt.
Rd

Tính chất 2.3.5. [4, tr.66] Giả sử α ∈ Rd . Khi đó,
i) T [f (t − α)] (x) = e−iαx f (x) .
ii) T eiαt f (t) (x) = f (x − a) .
iii) T −1 f (x − α) f (t) = eiαt f (t).
iv) T −1 eiαx f (x) = f (t + α).
v) T [cos(x0 t)f (t)] (x) =

1
2

f (x − x0 ) + f (x + x0 ) .

vi) T [sin(x0 t)f (t)] (x) =

1
2i

f (x − x0 ) − f (x + x0 ) .

Chứng minh.

i) Ta có

T [f (t − α)](x) =

1
(2π)

d
2

f (t − α)e−ixt dt.
Rd

Bằng phép đổi biến, ta được
f (y)e−i<x,y+α> dy = e−ixα
Rd

f (y)e−ixy dy.
Rd

22