Các dạng bài tập VDC phương trình đường thẳng - TOANMATH.com

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình đường thẳng Vectơ chỉ phương của đường thẳng Chú ý:    Cho đường thẳng . Vectơ u  0 gọi là vectơ chỉ phương của + Nếu u là vectơ chỉ phương của   đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với . thì k .u  k  0  cũng là vectơ chỉ Cho đường thẳng  đi qua M  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương của .  + Nếu đường thẳng  đi qua hai điểm phương là u   a; b; c  .  A, B thì AB là một vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng  có dạng.  x  x0  at   y  y0  bt , t   (1)  z  z  ct 0 . Cho đường thẳng  có phương trình (1) thì  + u   a; b; c  là một vectơ chỉ. phương của . +. Với. điểm. M . thì. M  x0  at ; y0  bt ; z0  ct  trong đó t. là một giá trị cụ thể tương ứng với từng điểm M. Phương trình chính tắc. Nếu a, b, c  0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng  có dạng. x  x0 y  y0 z  z0   a b c.  2. 2. Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Cho đường thẳng  đi qua M 0 , có vectơ chỉ phương u và điểm M   . Khi đó để tính khoảng. cách từ M đến  ta có các cách sau:    MM 0 , u    Cách 1: Sử dụng công thức: d  M , d   .  u Cách 2:. + Lập phương trình mặt phẳng  P  đi qua M vuông góc với . + Tìm giao điểm H của  P  với . + Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Cách 3:. + Gọi N  d , suy ra tọa độ N theo tham số t . + Tính MN 2 theo t . + Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M 0 có vectơ chỉ phương u và  đi qua M 0 có vectơ  chỉ phương u  . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng  và  được tính theo các cách sau:    u , u  .M 0 M 0   Cách 1: Sử dụng công thức: d  ,    .   u , u     Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN . Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm. Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa qua  và song song với  . Khi đó khoảng cách. cần tìm là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến  P  . 3. Vị trí tương đối Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Trong. không. gian. Oxyz,. hai. đường. thẳng. x  x0 y  y0 z  z0 đi qua M 1  x0 ; y0 ; z0  có   a b c  vectơ chỉ phương u1   a; b; c  , và d1 :. x  x0 y  y0 z  z0 đi qua M 2  x0 ; y0 ; z0  có   a b c  vectơ chỉ phương u2   a; b; c  . d2 :. Để xét vị trí tương đối của d1 và d 2 , ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học.    a1 a2 a3  u1 / / u2   + d1 trùng d 2     b1 b2 b3  M 1  d 2 M  d 2  1     u1 , u2   0   + d1 / / d 2      hoặc    , 0 u M M   1 1 2     a1 a2 a3  u1 || u2     b1 b2 b3   M 1  d 2 M  d  1 2. Ta có thể dùng phương pháp đại số để xét vị trí tương đối: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng. Chú ý trường hợp vô nghiệm   + Nếu u1 ; u2 cùng phương thì d1 //d 2 .   + Nếu u1 ; u2 không cùng phương thì d1 ; d 2 chéo nhau..

<span class='text_page_counter'>(3)</span>     u1 , u2   0   + d1 cắt d 2       u1 , u2  .M 1M 2  0    + d1 chéo d 2  u1 , u2  .M 1M 2  0. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng. Trong. không. gian.   : Ax  By  Cz  D  0. Oxyz, có. cho. mặt. phẳng. Phương pháp đại số. vectơ. pháp. tuyến. Xét hệ phương trình. 1  2  3  4.  x  x0  at   n   A; B; C  và đường thẳng d :  y  y0  bt đi qua   z  z0  ct  M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ chỉ phương ud   a; b; c  ..  x  x0  at   y  y0  bt   z  z0  ct  Ax  By  Cz  D  0 . Để xét vị trí tương đối của d và   ta sử dụng phương. Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D  0 *. pháp sau: Phương pháp hình học   u  n  Nếu  d thì d    .  M  x0 ; y0 ; z0       ud  n  Nếu  thì d //   .  M  x0 ; y0 ; z0          Nếu ud và n cùng phương  ud  k .n với k  0. thì d    .      Nếu ud .n  0 ; ud và n không cùng phương thì d cắt   .. +) Nếu phương trình (*) vô nghiệm t thì d //   .. +) Nếu phương trình (*) có nghiệm t duy nhất thì d cắt   . +) Nếu phương trình (*) có vô số nghiệm t thì d    . Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng d và mặt phẳng   ta giải phương trình (*),. sau đó thay giá trị t vào phương trình tham số của d để tìm  x; y; z . Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu  x  x0  at  có phương trình lần lượt là: d :  y  y0  bt , t   và  z  z  ct 0 .  S  :  x  a   y  b   z  c 2. 2. Để xét vị trí tương đối của phương pháp sau:. 2.  R2 . d và   ta sử dụng.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Phương pháp hình học. Phương pháp đại số. Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I của  S  đến d .. thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào. Bước 2:. phương trình  S  , khi đó ta được phương trình. + Nếu d  I , d   R thì d không cắt  S  .. bậc hai theo t . Biện luận số giao điểm của. + Nếu d  I , d   R thì d tiếp xúc  S  .. d . + Nếu d  I , d   R thì d cắt  S  .. bậc hai theo t .. và  S  theo số nghiệm của phương trình. Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và. mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm  x; y; z  . Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.. 4. Góc Góc giữa hai đường thẳng. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d 2   lần lượt có các vectơ pháp tuyến là u1 , u2 .  Góc giữa d1 và d 2 bằng hoặc bù với góc giữa u1 và  u2 .   u1.u2   Ta có: cos  d1 , d 2   cos u1 , u2    . u1 . u2. . . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn.  chỉ phương ud và mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến  n . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d  của nó trên.   .   ud .n   Ta có: sin  d ,     cos ud , n    . ud . n. . .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> SƠ ĐỒ HỆ THỐNG Đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  và có  vectơ chỉ phương là u  a; b; c . Phương trình đường. Tham số:  x  x0  at   y  y0  bt , t    z  z  ct 0 . . u  . Chính tắc: Nếu a, b, c  0 thì x  x0 y  y0 z  z0   a b c. ĐƯỜNG THẲNG Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng     MM 0 , u    d  M ,    u. Khoảng cách. Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau ,     u , u  .M 0 M   d  ,         Giữa hai đường thẳng d và d    cos  d1 , d 2   cos u1 , u2. . . Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng     sin  d ,     cos ud , n. . Vị trí tươn g đối. Góc. Hai đường thẳng d1 , d 2     u1 / / u2 u1 / / u2 ; d1 / / d 2   d1  d 2    M 1  d 2  M 1  d 2 ; d1 cắt d2       u1 , u2   0; u1 , u2  .M 1M 2  0    d1 chéo d 2  u1 , u2  .M 1M 2  0 Đường thẳng d và mặt phẳng     d     ud  n ; M  x0 ; y0 ; z0       d //    ud  n ; M  x0 ; y0 ; z0         d cắt    ud .n  0 , ud , n không cùng phương Đường thẳng d và mặt cầu S  I , R  d không cắt  S   d  I , d   R d tiế. ú. . S   d I d . R.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng 1. Phương pháp.   Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương a   a1 ; a2 ; a3  có phương  x  x0  a1t  trình tham số là  y  y0  a2t  t    . z  z  a t 0 3 .   Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B: Một vectơ chỉ phương của d là AB .  Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d // nên vectơ chỉ phương của  cũng là vectơ chỉ phương của d .  Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và vuông góc với mặt phẳng  P  cho trước: Vì d   P  nên vectơ pháp tuyến của  P  cũng là vectơ chỉ phương của d . Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ,  Q  .. Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương  Tìm toạ độ một điểm A  d bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng của  P  ,  Q  với việc chọn giá trị cho một ẩn.     Tìm một vectơ chỉ phương của d : a   nP , nQ  .. Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.  Đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d 2 : Vì    d  d1 , d  d 2 nên một vectơ chỉ phương của d là: u  ud1 , ud2  .. 2. Bài tập Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A  2;1; 1 , B  2;3;1 và C  0; 1;3 . Gọi d là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Phương trình đường thẳng d là. A.. x  1 y 1 z  2   . 1 1 1. B.. x 1 y z   . 1 1 1. C.. x y2 z   . 1 1 2. D.. x 1 y z   . 1 1 1. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có.  AB   4; 2; 2   AB  16  4  4  2 6 ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  AC   2; 2; 4   AC  4  4  16  2 6 .  BC   2; 4; 2   BC  4  16  4  2 6 . Vậy tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trọng tâm G  0;1;1 .   Ta có  AB, AC   12;12;12   12 1;1;1 ..   Đường thẳng d đi qua G  0;1;1 và có vectơ chỉ phương cùng phương với  AB, AC  , do đó  chọn u  1;1;1 . x  t  Phương trình đường thẳng d là  y  1  t . z  1 t . Với t  1 , ta có điểm A  1; 0;0   d .  Vậy đường thẳng d đi qua A  1; 0;0  và có vectơ chỉ phương u  1;1;1 .. Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, cho hai. M 1; 2;3 , N  3; 4;5 . và mặt phẳng.  P  : x  2 y  3z  14  0 . Gọi  là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng  P  , các điểm. H,K. lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N trên . Biết rằng khi MH  NK thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là x  t  A.  y  13  2t .  z  4  t . x  t  B.  y  13  2t .  z  4  t . x  t  C.  y  13  2t .   z  4  t. x  1  D.  y  13  2t .  z  4  t . Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi I là trung điểm của HK . Do MH  NK nên HMI  KNI  IM  IN . Khi đó I thuộc mặt phẳng  Q  là mặt phẳng trung trực của đoạn MN ..  1  Ta có  Q  đi qua trung điểm của MN là điểm J  2;3; 4  và nhận n  MN  1;1;1 làm vectơ 2 pháp tuyến nên có phương trình là  Q  : x  y  z  9  0 .. x  y  z  9  0 Mà I  A   P  . Suy ra I  d   P    Q  :   x  2 y  3 z  14  0 Tìm được  0;13; 4   d và vectơ chỉ phương của d là 1; 2;1 . x  t  Vậy d :  y  13  2t .  z  4  t .

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài tập 3. Trong không gian Oxyz. Cho điểm E 1;1;1 , mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  4 và mặt phẳng.  P  : x  3 y  5 z  3  0 . Gọi  là đường thẳng đi qua. E , nằm trong  P  và cắt  S  tại hai điểm. A, B sao cho OAB là tam giác đều. Phương trình tham số của  là  x  1  2t  A.  y  1  t . z  1 t .  x  1  4t  B.  y  1  3t . z  1 t .  x  1  2t  C.  y  1  t . z  1 t . x  1 t  D.  y  1  t .  z  1  2t . Hướng dẫn giải Chọn C..  Gọi u   a; b; c  là một vectơ chỉ phương của  với a 2  b 2  c 2  0 .  Ta có nP  1; 3;5  .     Vì    P  nên u  nP  u.nP  0  a  3b  5c  0  a  3b  5c . Mặt cầu  S  có tâm O  0; 0; 0  và bán kính R  2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB Ta có OAB là tam giác đều cạnh R nên OH . R 3  3. 2. Suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng  bằng OH  3 .   u , OE     3 Khi đó  u   a  b   b  c    c  a   3  a 2  b2  c2  2. 2. 2.  a  b  c  0  a  b  c  0 2. (2). Thay (1) vào (2) ta được: 3b  5c  b  c  0  b  c  a  2c .. Thay c  1 thì b  1 và a  2 ..  Ta được một vectơ chỉ phương của  là u   2; 1; 1.  x  1  2t  Vậy phương trình của đường thẳng  là  y  1  t .  z  1 t. (1).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng bằng phương pháp tham số hóa 1. Phương pháp.  Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  , vuông góc và cắt đường thẳng .   Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng . Khi đó H  , M 0 H  u . Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0 , H . Cách 2: Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M 0 và vuông góc với d .  Q  là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d . Khi đó d   P    Q .  Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 . Cách 1: Gọi M 1  d1  d , M 2  d 2  d . Suy ra M 0 , M 1 , M 2 thẳng hàng. Từ đó tìm được M 1 , M 2 và suy ra phương trình đường thẳng d . Cách 2: Gọi  P  là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d1 ;  Q  là mặt phẳng đi qua M 0 và chứa d 2 ..    Khi đó d   P    Q  . Do đó một vectơ chỉ phương của d có thể chọn là u   nP , nQ  ..  Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P  và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Tìm các giao điểm A  d1   P  , B  d 2   P  . Khi đó d chính là đường thẳng AB ..  Đường thẳng d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Viết phương trình mặt phẳng. P. song song với  và chứa d1 , mặt phẳng. Q . song song với  và chứa d 2 . Khi đó. d   P   Q  ..  Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau:  MN  d1 Cách làm: Gọi M  d1 , N  d 2 . Từ điều kiện  , ta tìm được M , N . Viết phương trình  MN  d 2. đường thẳng MN chính là đường vuông góc chung của d1 , d 2 .. 2. Bài tập Bài tập 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 và đường thẳng d :. x  4 y  2 z 1   . Phương trình đường thẳng d  là hình chiếu vuông góc của d trên 2 1 2. mặt phẳng  P  là. A.. x y  2 z 1   . 5 7 2. B.. x y  2 z 1   . 7 2 5. C.. x y  2 z 1   . 7 2 5. D.. x y  2 z 1   . 5 7 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Hướng dẫn giảii Chọn B..  x  4  2t  Đường thẳng d có phương trình tham số là  y  2  2t  t    .  z  1  t  Lấy điểm M  d   P   M  4  2t ; 2  2t ; 1  t   d . Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng  P  ta được: 4  2t  2  2t  1  t  0  t  2 . Suy ra M  0; 2;1 . Do đó d   P   M  0; 2;1 . Lấy A  4; 2; 1  d . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  P  .  Đường thẳng AH đi qua A  4; 2; 1 và nhận n P   1;1; 1 làm vectơ chỉ phương nên AH có  x  4  t1  phương trình là  y  2  t1  t1    .  z  1  t 1 . Suy ra H  4  t1 ; 2  t1 ; 1  t1  . Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng  P  được. 2  10 8 1  4  t1  2  t1  1  t1  1  0  t1    H  ;  ;   . 3  3 3 3. MH. là hình chiếu của d. lên mặt phẳng.   10 14 4  2 MH   ;  ;      5;7; 2  3 3 3  3 x y  2 z 1 .   5 7 2 Bài tập 2. Cho các đường thẳng d1 :.  P ,. MH. đi qua M  0; 2;1 và nhận. là vectơ chỉ phương nên có phương trình là. x 1 y 1 z x2 y z 3   và đường thẳng d 2 :   . 1 2 1 2 2 1. Phương trình đường thẳng  đi qua A 1;0; 2  , cắt d1 và vuông góc với d 2 là A.. x 1 y z  2   . 2 1 2. B.. x 1 y z  2   . 4 1 1. C.. x 1 y z  2 .   2 3 4. D.. x 1 y z  2 .   2 2 1. Hướng dẫn giải Chọn C..  Gọi I  d1   , I 1  t , 1  2t , t   AI   t ; 2t  1; t  2  là một vectơ chỉ phương của .  Do u d2  1; 2; 2  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d 2 và   d 2 ..

<span class='text_page_counter'>(11)</span>   Suy ra AI .u d2  0  t  2  2t  1  2  t  2   0  3t  6  0  t  2 .  x 1 y z  2   . Vậy AI   2;3; 4  . Phương trình đường thẳng  cần tìm là 2 3 4 Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 3x  y  2 z  0 và hai đường. thẳng d1 :. x 1 y  6 z x 1 y  2 z  4 .Đường thẳng vuông góc với  P  cắt cả hai   và d 2 :   1 2 1 3 1 4. đường thẳng d1 và d 2 có phương trình là A.. x  2 y 1 z   . 3 1 2. B.. x5 y z 4   . 3 1 2. C.. x  2 y  8 z 1   . 2 3 1. D.. x 1 y  2 z  2   . 2 3 1. Hướng dẫn giải Chọn A.  x  1  t x 1 y  6 z  d1 :     y  6  2t , t   2 1 1 z  t  M  d1  M  1  t ; 6  2t ; t  ..  x  1  3t  x 1 y  2 z  4  d2 :     y  2  t , t   3 1 4  z  4  4t   N  d1  N 1  3t ; 2  t ; 4  4t   .  MN   2  t  3t ; 4  2t  t ; 4  t  4t   .. .  P  : 3x  y  2 z  0 có vectơ pháp tuyến n  3;1; 2  . Đường thẳng  d  vuông góc với  P  cắt cả hai đường thẳng d1 tại M và cắt d 2 tại N suy ra 2  t  3t   3k t  2     MN  k n  4  2t  t   k  t   1 4  t  4t   2k k  1   t  2  M 1; 2; 2    Do  d    P  nên ud  n P  .  x  1  3s  Phương trình đường thẳng d là  y  2  s ; s   .  z  2  2 s . Chọn s  1  A  2;1;0   d  d :. x  2 y 1 z .   3 1 2.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bài tập 4. Viết phương trình đường thẳng d qua A 1; 2;3 cắt đường thẳng d1 :. x y z2 và   2 1 1. song song với mặt phẳng  P  : x  y  z  2  0 . x  1 t  A.  y  2  t . z  3  t . x  1 t  B.  y  2  t . z  3 . x  1 t  C.  y  2  t . z  3 . x  1 t  D.  y  2  t . z  3  t . Hướng dẫn giải Chọn C..  Do d  d1  B  B  2m; m; m  2   AB   2m  1; m  2; m  1 . d song song với mặt phẳng  P  nên    AB.n  P   0  1 2m  1  1.  m  2    m  1  0  m  1  AB  1; 1;0  .. x  1 t  Vậy phương trình đường thẳng  y  2  t . z  3  Bài tập 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  10  0 , điểm A 1;3; 2  và đường thẳng d :. x  2 y 1 z 1 . Tìm phương trình đường thẳng  cắt  P  và d   2 1 1. lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN . A.. x  6 y 1 z  3 .   7 4 1. B.. x  6 y 1 z  3 .   7 4 1. C.. x  6 y 1 z  3   . 4 1 7. D.. x  6 y 1 z  3   . 4 1 7. Hướng dẫn giải Chọn A.. Ta có N    d  N  2  2t ;1  t ;1  t  . A là trung điểm của MN  M  4  2t ;5  t;3  t  . Mà M   P  nên tọa độ M thỏa phương trình  P  , ta được: 2  4  2t    5  t    3  t   10  0  t  2  N  6; 1;3 , M  8;7;1 .  Suy ra MN  14;8; 2  ..  1  Đường thẳng  đi qua hai điểm M và N nên có một vectơ chỉ phương u  NM   7; 4; 1 2 x  6 y 1 z  3 nên có phương trình là .   7 4 1.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài tập 6. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A  3;3; 3 thuộc mặt phẳng.   : 2 x  2 y  z  15  0 và mặt cầu  S  :  x  2    y  3   z  5 2. 2. 2.  100 . Đường thẳng  qua A ,. nằm trên mặt phẳng   cắt  S  tại M , N . Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là A.. x 3 y 3 z 3   . 1 4 6.  x  3  5t  . C.  y  3  z  3  8t . B.. x 3 y 3 z 3   . 10 16 11. D.. x 3 y 3 z 3   . 1 1 3. Hướng dẫn giải Chọn A.. Mặt cầu  S  có tâm I  2;3;5  và bán kính R  10 .  Mặt phẳng   có vectơ pháp tuyến n   2; 2;1 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên  và mặt phẳng   .  IK    nên phương trình đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng   là  x  2  2t   y  3  2t . z  5  t .  x  2  2t  y  3  2t   K  2;7;3 . Tọa độ điểm K là nghiệm hệ phương trình  z  5  t 2 x  2 y  z  15  0 Vì     nên IH  IK . Do đó IH nhỏ nhất khi H trùng với K . Để MN lớn nhất thì IH phải nhỏ nhất..  Khi đó đường thẳng  cần tìm đi qua A và K . Ta có AK  1; 4;6  . Đường thẳng  có phương trình là:. x3 y 3 z 3   . 1 4 6. Bài tập 7. Trong không gian Oxyz, cho ABC có A  2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ. B. là. d:. x 3 y 3 z 2   , phương trình đường phân giác trong của góc 1 2 1. x2 y4 z2   . Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là 2 1 1    A. u  2;1; 1 . B. u 1; 1;0  . C. u  0;1; 1 .. :. Hướng dẫn giải.  D. u 1; 2;1 .. C. là.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chọn C..  x  2  2t  Ta có phương trình tham số của  là:  y  4  t  C  2  2t ; 4  t ; 2  t  . z  2  t . 7t 5t   Gọi M là trung điểm của AC nên M   2  t ; ; . 2 2   Vì M  d nên.  7t   5t  3  2 t 1 1  t 1  t 2  2        t  1. 1 1 2 2 4.  2  t   3   1. Suy ra C  4;3;1 . Phương trình mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc với  là: 2 x  y  z  2  0 . Gọi H là giao điểm của  P  và   H  2; 4; 2  . Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường phân giác , suy ra H là trung điểm AA  A  2;5;1 .  Do A  BC nên đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là CA   2; 2;0   2  1;1;0  . x  4  t  Suy ra phương trình của đường thẳng BC là  y  3  t . z  1 . Vì B  BM  BC  B  2;5;1  A .  Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là AB   0; 2; 2   2  0;1; 1 . Bài tập 8. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :. x 1 y  2 z   và hai điểm 2 1 1. A  4; 2; 4  , B  0;0; 2  . Gọi d là đường thẳng song song và cách  một khoảng bằng. đường thẳng AB nhất. Đường thẳng d cắt mặt phẳng  Oxy  tại điểm nào dưới đây? A.  2;1;0  ..  2 14  B.   ;  ;0  .  3 3 . C.  3; 2;0  .. Hướng dẫn giải Chọn D..  x  4t  . Phương trình tham số của đường thẳng AB có dạng:  y  2t   z  2  6t Để đường thẳng d thỏa mãn bài toán thì ta có hình vẽ tương ứng. D.  0;0;0  .. 5 , gần.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và  là MN với M  0; 5;1 , N  3;1;1 . Để d gần đường thẳng AB nhất thì d phải đi qua điểm D nằm trên đoạn MN mà   DN  d  d ,    5, MN  3 5 . Do đó MN  3DN  D   2; 1;1 .  Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u d    2; 1;1 .  x  2  2t  Suy ra phương trình tham số của d là  y  1  t z  1 t . x  0 Đường thẳng d cắt  Oxy  tại điểm có z  1  t  0  t  1   . y  0 Vậy giao điểm của d và  Oxy  là  0;0;0  . Bài tập 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng. 1 :. x  2 y  2 z 1 x 1 y 1 z   ; 2 :   1 1 2 1 1 1. 3 :. x y  2 z 1 x 5 y a z b   ; 4 :   1 1 1 1 3 1. Biết không tồn tại đường thẳng nào trong không gian mà cắt được đồng thời cả bốn đường thẳng trên. Giá trị của biểu thức T  a  2b bằng A. 2.. B. 3.. C. 2. Hướng dẫn giải. Chọn A.. Ta có: 1 // 3 . Gọi  P  là mặt phẳng chứa 1 và  3   P  : x  2 y  z  3  0 . Gọi I   2   P   I  0; 1;1 .  2a  b  22 3b  24 2a  7b  8  ; ; Gọi J   4   P   J  . 6 6 6  . D. 3..

<span class='text_page_counter'>(16)</span>   2a  b  22 3b  18 2a  7b  14  ; ;  IJ   . 6 6 6     Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì IJ phải cùng phương với u1  1; 1; 1 .. Suy ra. 2a  b  22 3b  18 2a  7b  14    a  2b  2 . 6 6 6 Dạng 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 1. Phương pháp. Cho đường thẳng. Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho. x  x0 y  y0 z  z0 x 3 y 2 z và mặt phẳng và mặt phẳng đường thẳng  :     2 1 1 a b c.  :.   : 3 x  4 y  5 z  8  0 ..   : Ax  By  Cz  D  0 .. Tính góc tạo bởi  và   .. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng    và   ta có công thức: sin  . Hướng dẫn giải.   có vectơ chỉ phương u   2;1;1 .    có vectơ pháp tuyến n   3; 4;5 .. Aa  Bb  Cc A2  B 2  C 2 . a 2  b 2  c 2. Chú ý: A, B, C và a, b, c không đồng thời. bằng 0.. . .    Ta có: sin  ,    cos n, u.  . . 3.2  4.1  5.1 3  4  5 . 2 1 1 2. 2. 2. 2. 2. 2. . 3 . 2. . .  ,    60 . Suy ra . 2. Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng  :.  P  : x  y  2z  6  0 .. Biết  cắt mặt phẳng.  P. x  3 y 1 z  2 và mặt phẳng   1 1 4. tại A, M thuộc  sao cho AM  2 3 . Tính. khoảng cách từ M tới mặt phẳng  P  .. A.. 2.. B. 2.. C.. 3.. Hướng dẫn giải Chọn B.  x  3 y 1 z  2 có vectơ chỉ phương u  1;1; 4  .   1 1 4  Mặt phẳng  P  : x  y  2 z  6  0 có vectơ chỉ phương n  1;1; 2  .. Đường thẳng  :. D. 3..

<span class='text_page_counter'>(17)</span>  u.n   1 sin  ,  P    cos u , n      sin  3 u.n.  . Suy ra d  M ,    MH  MA.sin   2 3.. 1  2. 3. Dạng 4: Góc giữa hai đường thẳng 1. Phương pháp Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hai đường. Cho hai đường thẳng:.  1  :  2  :. x  x0 y  y0 z  z0   a b c. thẳng. x  x0 y  y0 z  z0   a b c. Gọi  là góc giữa hai đường thẳng.  1 . x 1 y  2 z  3 ;   1 2 2. 2 :. x  3 y 1 z  2 .   1 1 4. Tính góc giữa hai đường thẳng trên..  2  . Ta có: cos  . và. 1 :. aa  bb  cc a 2  b 2  c 2 . a  2  b 2  c  2. .. Hướng dẫn giải  Vectơ chỉ phương của 1 là u1   2;1; 2  .  Vectơ chỉ phương của  2 là u2  1;1; 4  ..   u1.u2   cos  1 ,  2   cos u1 , u2    u1 . u2. .  2  .1  1.1  2.  4  2 2  2   12  22 . 12  12   4 . . . . 9 2  . 2 3.3 2. Vậy góc giữa hai đường thẳng đã cho là 45 . 2. Bài tập Bài tập 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng. d .  P  : x  z.sin   cos   0;  Q  : y  z.cos   sin   0;    0; . A. 30 .. B. 45 .. C. 60 . Hướng dẫn giải. Chọn B..  Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là n P   1;0;  sin   .  Mặt phẳng  Q  có vectơ pháp tuyến là nQ    0;1;  cos   .. là giao tuyến của hai mặt phẳng. .  . Góc giữa  d  và trục Oz là: 2 D. 90 ..

<span class='text_page_counter'>(18)</span>  d  là giao tuyến của  P . và  Q  nên vectơ chỉ phương của  d  là:    u d    n P  , n Q     sin  ;cos  ;1 .  Vectơ chỉ phương của  Oz  là uOz    0;0;1 . Suy ra cos  d , Oz  . 0.sin   0.cos   1.1 sin   cos   1 . 0  0  1 2. 2. 2. 2. . 1   d , Oz   45 . 2. Vậy góc giữa  d  và trục  Oz  là 45 . Bài tập 2. Trong không gian Oxyz, d là đường thẳng đi qua điểm A 1; 1; 2  , song song với mặt. phẳng  P  : 2 x  y  z  3  0 , đồng thời tạo với đường thẳng  :. x 1 y 1 z   một góc lớn nhất. 1 2 2. Phương trình đường thẳng d là A.. x 1 y 1 z  2   . 4 5 3. B.. x 1 y 1 z  2   . 4 3 5. C.. x 1 y 1 z  2 .   4 5 3. D.. x 1 y  1 z  2 .   4 5 3. Hướng dẫn giải Chọn D..  Mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  3  0 có một vectơ pháp tuyến là n  P    2; 1; 1 .  x 1 y 1 z   có một vectơ chỉ phương là u   1; 2; 2  . 1 2 2  Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u d .. Đường thẳng  :.   Do 0   d ,    90 mà theo giả thiết d tạo  góc lớn nhất nên  d ,    90  u d  u  .      Lại có d //  P  nên u d  n P  . Do đó chọn u d  u  , n P     4;5;3 .. Vậy phương trình đường thẳng d là. x 1 y  1 z  2 .   4 5 3. Bài tập 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :. x  2 y 1 z  2 và mặt phẳng   4 3 4.  P  : 2 x  y  2 z  1  0 . Đường thẳng  đi qua E  2;1; 2  , song song với  P .  phương u   m; n;1 , đồng thời tạo với d góc bé nhất. Tính T  m 2  n 2 . A. T  5 .. B. T  4 .. C. T  3 .. có một vectơ chỉ. D. T  4 .. Hướng dẫn giải Chọn D..  Mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là n   2; 1; 2  ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương là  v   4; 4;3 .    //  P   u  n  2m  n  2  0  n  2m  2 ..

<span class='text_page_counter'>(19)</span>  u.v 4m  4n  3  ;d     Mặt khác ta có: cos  2 u v m 2  n 2  1. 42   4   32.  .  4m  5  1 . 16m2  40m  25 . 1 .   2 5m2  8m  5 41 5m  8m  5 41 41 5m 2  8m  5  2. 4m  5.  .  .  .    , d  90 nên  , d bé nhất khi và chỉ khi cos  , d lớn nhất. Vì 0  . 16t 2  40t  25 72t 2  90t   f t   Xét hàm số f  t   . 2 5t 2  8t  5  5t 2  8t  5 Bảng biến thiên:.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> x. . . f. f. . 5 4. . 0. 0. +. 0. . 5. 16 5. 16 5. 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f  t   f  0   5 ..  .  Suy ra  , d bé nhất khi m  0  n  2 .. Do đó T  m 2  n 2  4 . Dạng 5: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng 1. Phương pháp Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho. đường thẳng d :. x 1 y  2 z  2 .   1 2 2. Tính khoảng cách từ M  2;1; 1 tới d . Cho. đường. thẳng. . đi. qua. điểm Hướng dẫn giải. M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương  u   a; b; c  . Khi đó khoảng cách từ điểm M 1. đến    được tính bởi công thức:.    M 0 M1; u    . d  M1 ,     u. Ta.   A 1; 2; 2   d  AM  3; 1;1 , u 1; 2; 2  .. có. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:    AM ; u  5 2    . d M;d    3 u. 2. Bài tập Bài tập 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 1;1; 1 cho trước, nằm trong mặt. phẳng  P  : 2 x  y  z  2  0 và cách điểm M  0; 2;1 một khoảng lớn nhất. A.. x 1 y 1 z  1 .   1 3 1. B.. x 1 y 1 z  1 .   1 3 1. C.. x 1 y 1 z  1 .   1 3 1. D.. x 1 y 1 z 1 .   3 1 1.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Hướng dẫn giải Chọn C.. Ta gọi B là hình chiếu của M lên đường thẳng d khi đó MB  MA . Suy ra MBmax  MA nên đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với MA . Đồng thời đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P  nên ta có    ud   MA, n P    1;3; 1 . Bài tập 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;1; 2  , B  5;1;1 và mặt cầu.  S  : x 2  y 2  z 2  6 y  12 z  9  0 .. Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với  S  sao cho. khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là x  2  A.  y  1  t .  z  2  2t . x  2  B.  y  1  4t .  z  2  t .  x  2  2t  C.  y  1  2t .   z  2  t. x  2  t  D.  y  1  4t .  z  2  t . Hướng dẫn giải Chọn C.. Mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  6 y  12 z  9  0 có tâm I  0; 3; 6  bán kính R  6 .. IA  6  R  A   S  , IB  3 10  R nên B nằm ngoài  S  .. Đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với  S  nên d nằm trong mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  tại A ..  Mặt phẳng  P  đi qua A và nhận IA làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x  2 y  2 z  0 . Gọi H là hình chiếu của B lên  P  thì tọa độ của H  4; 1; 1 . Ta có: d  B; d   d  B;  P    BH ..   Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H . Ta có ud  AH   2; 2;1 ..

<span class='text_page_counter'>(22)</span>  x  2  2t  Suy ra phương trình đường thẳng d là:  y  1  2t .   z  2  t. Dạng 6: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1. Phương pháp. Trong không gian Oxyz, cho hai đường Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách thẳng chéo nhau: 1 có vectơ chỉ phương giữa hai đường thẳng   x  1  4t u   a; b; c  và đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  ;  2 có x 1 y  2 z  d1 :   và d 2 :  y  1  2t , t   .  2 1 1  z  2  2t vectơ chỉ phương u   a; b; c  và đi qua . M 0  x0 ; y0 ; z0  .. Hướng dẫn giải. Đường thẳng d1 đi qua điểm M 1; 2;0  và có  một vectơ chỉ phương u1   2; 1;1 . Đường thẳng d 2 đi qua điểm N 1; 1; 2  và có  một vectơ chỉ phương u 2   4; 2; 2  . Khi đó khoảng cách giữa 1 và  2 được tính      Do u1 cùng phương với u2 và M  d 2 nên u , u  .M 0 M 0   . bởi công thức d  1 ,  2     d1 //d 2 . u , u         u1 , MN    Nếu 1 // 2 ( u1 và u2 cùng phương và Suy ra d d ; d  d N ; d  .   1 2   1 u1 M 0   2 ) thì d  1 ,  2   d  M 0 ,  2     Ta có MN   0;1; 2  , u , MN    3; 4; 2  .   2 2 u1 , MN   3   4   22 174   .   Suy ra  2 6 u1 22   1  1 Vậy d  d1 ; d 2  . 174 . 6. 2. Bài tập Bài tập 1. Cho phương trình mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  3  0 , đường thẳng d  :. x 1 y z   và 1 2 1. điểm A  0; 2;1 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A , nằm trong  P  sao cho khoảng cách d và d  đạt giá trị lớn nhất.. A.. x y  2 z 1   . 1 7 9. B.. x y  2 z 1   . 1 7 9.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> C.. x y  2 z 1 .   1 7 9. D.. x y  2 z 1 .   7 9 1. Hướng dẫn giải Chọn A.. Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và song song với d  . x  t  Phương trình của d1 là:  y  2  2t . z  1 t . Trên đường thẳng d1 lấy điểm B 1; 0;0  . Gọi  Q  là mặt phẳng chứa d và d1 . Ta có d  d , d    d  d ,  Q    d  B,  Q   . Do d1 cố định cho nên d  d , d    d  B,  Q    d  B, d1  .   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nQ   BH trong đó H là hình chiếu của B lên d1 .   5 2 1    2 2 1  Ta tìm được H  ; ;  nên BH   ; ;   nQ    5; 2;1 .  3 3 3  3 3 3    Ta có ud   n P  ; nQ    1;7; 9  . Vậy phương trình của đường thẳng d là. x y  2 z 1   . 9 1 7. Lưu ý : Vì đường thẳng d đi qua A nên ta có thể loại đáp án bằng cách thay tọa độ điểm A vào các đáp án trong bài Dạng 7: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng 1. Phương pháp.  Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng    có vectơ chỉ phương là a   a1 ; a2 ; a3  và đi qua  M 0  x0 ; y0 ; z0  và mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 có vectơ pháp tuyến n   A; B; C  .     cắt    a.n  0  Aa1  Ba2  Ca3  0 ..

<span class='text_page_counter'>(24)</span>  a.n  0  Aa1  Ba2  Ca3  0 .     //      Ax0  By0  Cz0  D  0  M 0   P   a.n  0  Aa1  Ba2  Ca3  0           Ax0  By0  Cz0  D  0  M 0   P  .        a.  và n cùng phương  a1 : a2 : a3  A : B : C .. Ta có thể biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm của phương trình đường thẳng    và mặt phẳng   . 2. Bài tập Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :. x 1 y z  5   và mặt 1 3 1. phẳng  P  : 3 x  3 y  2 z  6  0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. d cắt và không vuông góc với  P  .. B. d song song với  P  .. C. d vuông góc với  P  .. D. d nằm trong  P  . Hướng dẫn giải. Chọn A..  Đường thẳng d nhận u  1; 3; 1 làm một vectơ chỉ phương.  Mặt phẳng  P  nhận n   3; 3; 2  làm một vectơ pháp tuyến.  Do u.n  0 và hai vectơ này không cùng phương nên đường thẳng d cắt và không vuông góc với  P  . Bài tập 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình. d:. x  2 y 1 z 1 và mặt phẳng  P  : x  my   m 2  1 z  7  0 với m là tham số thực. Tìm   1 1 1. m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng  P  . A. m  1 .. B. m  1 ..  m  1 . C.  m  2. D. m  2 .. Hướng dẫn giải Chọn B..  Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u  1;1; 1 và mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là  n  1; m; m 2  1 ..     m  1 d //  P   u  n  u.n  0  1  m  m 2  1  0  m 2  m  2  0   m  2.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Thử lại ta thấy với m  2 thì d   P  (loại). Vậy m  1 . Bài tập 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :. x 1 y  2 z  3   và mặt phẳng 2 4 1.   : x  y  2 z  5  0 , mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. d //   .. B. d    .. C. d cắt   và không vuông góc với   .. D. d    .. Hướng dẫn giải Chọn B.  x  1  2t  Ta có d :  y  2  4t , t   . z  3  t .  x  1  2t   y  2  4t Xét hệ phương trình:  z  3  t x  y  2z  5  0 . 1  2  3  *. Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được 1  2t   2  4t   2  3  t   5  0 . Phương trình này có vô số nghiệm. Do đó, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng   . Bài tập 4. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng.  P  : x  2 y  z  1  0,  Q  : 2 x  y  z  2  0 và hai đường thẳng 1 :. x y 1 z 1 x y  2 z 1   , 2 :   . 2 1 2 1 2 1. Đường thẳng  song song với hai mặt phẳng  P  ,  Q  và cắt 1 ,  2 tương ứng tại H , K . Độ dài đoạn HK bằng A.. 8 11 . 7. B.. 5.. C. 6. Hướng dẫn giải. Chọn A.    Ta có u   nP , nQ    1; 1; 3 .. Gọi H  2t ;1  t ; 1  2t  ; K  m; 2  m;1  2m    HK   m  2t ;1  m  t ; 2  2m  2t  .   Vì  song song với 2 mặt phẳng  P  ,  Q  nên HK  ku nên. D.. 11 . 7.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> m  2t 1  m  t 2  2m  2t .   1 1 3 2 3 8 11 Tính ra được m  ; t  . Suy ra HK  . 7 7 7 Bài tập 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng.  P  : 2  m2  m  2  x   m2  1 y   m  2  z  m2  m  1  0. luôn chứa đường thẳng  cố định khi. m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến  là?. A.. 1 . 3. B.. 2 . 3. C.. 2 . 3. D.. 2 . 3. Hướng dẫn giải Chọn C.. Ta có: 2  m 2  m  2  x   m 2  1 y   m  2  z  m 2  m  1  0, m    m 2  2 x  y  1  m  2 x  z  1  4 x  y  2 z  1  0, m   2 x  y  1  0 2 x  y  1  0 y  z   2 x  z  1  0   2 x  z  1  0 2 x  y  1  0 4 x  y  2 z  1  0 . t 1  x   2  2  Vậy  P  luôn chứa đường thẳng    cố định:  y  t z  t  .   1  1   Đường thẳng  đi qua A   ;0;0  và có vectơ chỉ phương u    ;1;1 .  2   2    OA, u  2   . Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến  là: d  O;      3 u Dạng 8: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 1. Phương pháp. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :. x  x0 y  y0 z  z0 đi qua M 1  x0 ; y0 ; z0    a b c.  x  x0 y  y0 z  z0 đi qua M 2  x0 ; y0 ; z0  có vectơ chỉ có vectơ chỉ phương u1   a; b; c  và d 2 :   a b c  phương u2   a; b; c  . Để xét vị trí tương đối của d1 và d 2 , ta sử dụng phương pháp sau:.

<span class='text_page_counter'>(27)</span>    a1 a2 a3  u1 / / u2   +) d1 trùng d 2     b1 b2 b3 .  M 1  d 2 M  d 2  1       a1 a2 a3  u1 , u2   0  u1 / / u2     +) d1 //d 2       b1 b2 b3 .  hoặc   M 1  d 2 M  d  u1 , M 1M 2   0  1 2     u1 , u2   0   +) d1 cắt d 2      .  u1 , u2  .M 1M 2  0    +) d1 chéo d 2  u1 , u2  .M 1M 2  0 . 2. Bài tập Bài tập 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng. d1 :. x 1 y 1 z  2 x3 y9 z 2 và d 2 :   2   m 1 2 1 4 8.  m  0. Tập hợp các giá trị m thỏa mãn d1 //d 2 có số phần tử là: A. 1.. B. 0.. C. 3.. D. 2.. Hướng dẫn giải Chọn B..  Đường thẳng d1 đi qua A 1; 1; 2  và có vectơ chỉ phương là u1  1; 2;1 .  Đường thẳng d 2 đi qua B  3; 9; 2  và có vectơ chỉ phương là u2   4;8; m 2  .   Đường thẳng d1 //d 2 khi và chỉ khi u1 cùng phương với u2 và hai đường thẳng d1 và d 2 không trùng nhau. Vì. 3  1 9  1 2  2 nên B nằm trên đường thẳng d1 .   1 2 1. Do đó hai đường thẳng này luôn có điểm chung là B nên hai đường thẳng không thể song song. Bài tập 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. 1 :. x 1 y  1 z x 3 y 3 z  2   , 2 :   2 2 3 1 1 2. A. 1 song song với  2 .. B. 1 chéo với  2 .. C. 1 cắt  2 .. D. 1 trùng với  2 . Hướng dẫn giải. Chọn C..  2 2  nên vectơ chỉ phương u1   2; 2;3 của đường thẳng 1 không cùng phương với 1 2  vectơ chỉ phương u2   1; 2;1 của  2 . Vì.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Suy ra 1 chéo với  2 hoặc 1 cắt  2 ..  Lấy M 1; 1;0   1 , N  3;3; 2    2 . Ta có MN   2; 4; 2  .    Khi đó u1 , u2  .MN  0 .    Suy ra u1 , u2 , MN đồng phẳng. Vậy 1 cắt  2 . Dạng 9: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu 1. Phương pháp  x  x0  a1t  Cho đường thẳng d :  y  y0  a2t   z  z0  a3t. 1  2  3. Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,. và cho mặt cầu  S  : x 2  y 2   z  2 2  25 và đường. mặt cầu  S  :  x  a    y  b 2    z  c   R 2 2. 2. có tâm I  a; b; c  , bán kính R ..  x  2  2t  thẳng d có phương trình  y  2  3t  z  3  2t . Chứng minh d luôn cắt  S  tại hai điểm phân biệt. Hướng dẫn giải. Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của Mặt cầu. mặt cầu  S  đến đường thẳng d là.    IM 0 .a    h  d I,d    a. S . có tâm I  0;0; 2  và bán kính. R  5.. Đường thẳng d đi qua M  2; 2; 3 và có vectơ  chỉ phương là u   2;3; 2  ..    IM , u    Ta có h  d  I , d    3.  u Bước 2: So sánh d  I , d  với bán kính R. Vì h  R nên d cắt mặt cầu. S . tại hai điểm. phân biệt.. của mặt cầu:  Nếu d  I , d   R thì d không cắt  S  .  Nếu d  I , d   R thì d tiếp xúc  S  .  Nếu d  I , d   R thì d cắt  S  tại hai. điểm phân biệt M , N và MN vuông góc với đường kính (bán kính) mặt cầu  S  . Phương pháp đại số. Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt cầu.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Thế (1), (2), (3) vào phương trình  S  và.  S  : x2  y 2   z  2. 2.  17 cắt trục Oz tại hai. rút gọn đưa về phương trình bậc hai theo điểm A, B . Tìm độ dài đoạn AB . t  * .. Hướng dẫn giải.  Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì d. Gọi M là giao điểm của  S  với trục Oz .. không cắt  S  .. Ta có M  Oz nên M  0;0; t  ..  Nếu phương trình (*) có một nghiệm. Mà M   S  nên 02  02   t  2   17. thì d tiếp xúc  S  .  Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì d cắt  S  tại hai điểm phân biệt M , N .. Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t. 2. t  2  17 2 .   t  2   17  t  2  17   t  2  17. . . Suy ra tọa độ các giao điểm là A 0;0; 2  17 ,. . . B 0;0; 2  17  AB  2 17 .. vào phương trình đường thẳng d . 2. Bài tập. Bài tập 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A  0; 0; 2  và đường thẳng  có phương trình. là. x2 y 2 z 3 .   2 3 2. Phương trình mặt cầu tâm A , cắt  tại hai điểm B và C sao cho BC  8 là A.  x  2    y  3   z  1  16 .. B. x 2  y 2   z  2   25 .. C.  x  2   y 2  z 2  25 .. D. x 2  y 2   z  2   16 .. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Hướng dẫn giải Chọn B.. Gọi  S  là mặt cầu tâm A  0; 0; 2  và có bán kính R ..  Đường thẳng  đi qua M  2; 2; 3 có vectơ chỉ phương u   2;3; 2  . Gọi H là trung điểm BC nên AH  BC .    MA.u    . Ta có AH  d  A,     u.   MA   2; 2;1     MA.u    7; 2;10   AH  Với   u   2;3; 2 .  7    2  2. 2.  102. 22  32  22. Bán kính mặt cầu  S  là: R  AB  AH 2  HB 2  32  42  5 . Vậy phương trình mặt cầu  S  là: x 2  y 2   z  2   25 .. 2.  3..

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z  2   9 2. 2. 2. và điểm M 1;3; 1 . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn  C  có tâm J  a; b; c  . Giá trị 2a  b  c bằng A.. 134 . 25. B.. 116 . 25. C.. 84 . 25. D.. Hướng dẫn giải Chọn C.. Ta có mặt cầu  S  có tâm I 1; 1; 2  và bán kính R  3 . Khi đó IM  5  R  M nằm ngoài mặt cầu. x  1  Phương trình đường thẳng MI là  x  1  4t .  z  2  3t . Tâm J  a; b; c  nằm trên MI nên J 1; 1  4t ; 2  3t  . Xét MHI vuông tại H có MI  5; IH  3  MH  MI 2  HI 2  4 .  M 1;3; 1 Mặt khác   MJ   J 1; 1  4t ; 2  3t  MJ .MI  MH 2  MJ  2. 2. 16 5.   4  4t    3  2t   2.  4  4t    3  3t . 256 25.  t  369 2  25t  50t  0 25 t  . 9 25 . 41 25.  11 23   139 73  Suy ra J 1; ;  hoặc J 1; ; .  25 25   25 25 . 9  11 23  +) Với J 1; ;  thì IJ   IM (nhận). 5  25 25  41  139 73   IM (loại). +) Với J 1; ;  thì IJ  5  25 25  84  11 23  . Vậy J 1; ;  nên 2a  b  c  25  25 25 . 2. .. 62 . 25.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu.  x  1   y  2    z  3 2. 2. 2. . S . có phương trình là. 14 x4 y4 z4 và đường thẳng d có phương trình . Gọi   3 3 2 2. A  x0 ; y0 ; z0  , x0  0 là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt. cầu  S  có các tiếp điểm B, C , D sao cho ABCD là tứ diện đều. Giá trị của biểu thức P  x0  y0  z0 là A. 6.. B. 16.. C. 12.. D. 8.. Hướng dẫn giải Chọn C.. I là tâm mặt cầu thì I 1; 2;3 . Gọi O là giao điểm của mặt phẳng  BCD  và đoạn AI . Vì theo giả thiết AB  AC  AD và IB  IC  ID . 14 nên AI 3. vuông góc với mặt phẳng  BCD  tại O . Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD .  14  Đặt AI  x  x  . 3   Ta có AB  AI 2  IB 2  x 2 . 14 3. 14 14  14  IB  IO.IA  OI   OB  IB 2  IO 2    3x 3  3x . 2. 2.  BD 2  OB 2  OD 2  2OB.OD.cos120  3OB 2  14 196   BD  3OB  BD  3OB  3.   2   3 9x  Do ABCD là tứ diện đều nên AB  BD  x 2 . 14 14 196  14 196   3   2   x 2   14  2 3 3 3x  3 9x .  2 14 x  3 x  56 x  196  0   3  x  14 .  2  x  14 4. 2. A  d nên A  4  3t ; 4  2t ; 4  t  .. Suy ra AI  14 .  4  3t  1   4  2t  2    4  t  3 2. 2. 2.  14.

<span class='text_page_counter'>(32)</span>  A  4; 4; 4  t  0 .  t 1  1    t  2  A  2;0; 2  Do x0  0 nên điểm A có tọa độ A  4; 4; 4  . Suy ra P  12 . Bài tập 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R lần lượt di động trên ba trục. tọa độ Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho.  PQR . 1 1 1 1    . Biết mặt phẳng 2 2 2 OP OQ OR 8. luôn tiếp xúc với mặt cầu  S  cố định. Đường thẳng  d  thay đổi nhưng luôn đi qua. 1 3  M  ; ;0  và cắt  S  tại hai điểm A, B phân biệt. Diện tích lớn nhất của AOB là 2 2  A. 15 .. B.. 5.. C. 17 .. D.. 7.. Hướng dẫn giải Chọn D.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng  PQR  . Dễ thấy. 1 1 1 1 1 1       OH  2 2 . 2 2 2 2 2 OH OP OQ OR OH 8. Khi đó  PQR  luôn tiếp xúc với mặt cầu  S  tâm O , bán kính R  2 2 . Ta có OM . 1 3   0  1  R nên điểm M nằm trong mặt cầu  S  . 4 4. 1 Gọi I là trung điểm của AB , do OAB cân tại O nên S OAB  OI . AB . 2 Đặt OI  x . Vì OI  OM nên 0  x  1 và AB  2 8  x 2 . Ta có S OAB . 1 x.2 8  x 2  x 8  x 2  8 x 2  x 4 . 2. Xét hàm số f  x   8 x 2  x 4 , 0  x  1 . Vì f   x   4 x  4  x 2   0 với mọi x   0;1 nên f  x   f 1  7 . Suy ra diện tích của OAB lớn nhất bằng. 7 đạt được khi M là trung điểm của AB ..

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Dạng 10: Một số bài toán cực trị Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M  2; 2;1 , A 1; 2; 3 và. đường thẳng d :.  x 1 y  5 z . Tìm một vectơ chỉ phương u của đường thẳng  đi qua M ,   2 2 1. vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.    A. u   2; 2; 1 . B. u  1;7; 1 . C. u  1;0; 2  ..  D. u   3; 4; 4  .. Hướng dẫn giải Chọn C.. Xét  P  là mặt phẳng qua M và  P    d  . Mặt phẳng  P  qua M  2; 2;1 và có vectơ pháp tuyến   nP  ud   2; 2; 1 nên có phương trình: 2 x  2 y  z  9  0 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên  P  và . Khi đó AK  AH  const nên AK đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi K  H .  Đường thẳng AH đi qua A 1; 2; 3 và có vectơ chỉ phương ud   2; 2; 1 nên AH có phương  x  1  2t  trình tham số là  y  2  2t .  z  3  t . Vì H  AH nên H 1  2t ; 2  2t; 3  t  . Lại H   P  nên 2 1  2t   2  2  2t    3  t   9  0  t  2  H  3; 2; 1 .   Vậy u  HM  1;0; 2  . Bài. tập. 2:. Trong. không. gian. Oxyz,. cho. mặt. cầu. S . có. phương. trình. x 2  y 2  z 2  4 x  2 y  2 z  3  0 và điểm A  5;3; 2  . Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt M , N . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  AM  4 AN . A. S min  30 .. B. S min  20 .. C. S min  5 34  9 . Hướng dẫn giải. Chọn C.. D. S min  34  3 ..

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Mặt cầu  S  có tâm I  2; 1;1 , bán kính R  22   1  12   3  3 . 2. Ta có: AI .  2  5   1  3  1  2  2. 2. 2.  34  R nên A nằm ngoài mặt cầu  S  .. Ta lại có: S  AM  4 AN . Đặt AM  x, x   34  3; 34  3 . Mà AM . AN  AI 2  R 2  34  9  25  AN  Do đó: S  f  x   x . 25 . AM. 100 với x   34  3; 34  3 . x. Ta có: f   x   1 . 100 x 2  100   0 với x   34  3; 34  3 . x2 x. Do đó:. f  x  f. min.  34 3; 34  3  . . . 34  3  5 34  9 .. Dấu “=” xảy ra  A, M , N , I thẳng hàng và AM  34  3; AN  34  3 . Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  9;6;11 , B  5; 7; 2  và điểm M di động trên. mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  36 . 2. 2. 2. Giá trị nhỏ nhất của AM  2MB bằng A. 105 .. B. 2 26 .. C. 2 29 .. D. 102 .. Hướng dẫn giải Chọn C.. Mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  36 có tâm I 1; 2;3 và bán kính R  6 . 2. 2. 2. Ta có IA  12  2 R . Gọi E là giao điểm của IA và mặt cầu  S  suy ra E là trung điểm của IA nên E  5; 4; 7  . Gọi F là trung điểm của IE suy ra F  3;3;5  . IF IM 1 Xét MIF và AIM có  AIM chung và   . IM IA 2 Suy ra MIF # AIM  c.g.c  . MA AI   2  MA  2 MF . MF MI. Do đó AM  2MB  2  MF  MB   2 BF  2 29 (theo bất đẳng thức tam giác). Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm FB và mặt cầu  S  ..

<span class='text_page_counter'>(35)</span>