Tài liệu Động học các môi trường liên tục_chương 3 ppt

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
43
Chương 3: ĐỘNG HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
Trước hết ta phân biệt một số khái niệm sau đây:
Đi"m là vị trí tọa độ trong một không gian nhất định.
Ph#n t$ được dùng để chỉ một phần thể tích rất nhỏ của MTLT hay còn gọi là chất điểm
(điểm vật chất).
Bi%n d&ng là sự thay đổi hình dạng của môi trường liên tục giữa cấu hình ban đầu (chưa
biến dạng) và cấu hình sau cùng (đã bị biến dạng). Nghiên cứu biến dạng người ta không
cần để ý đến quá trình xảy ra giữa hai cấu hình này.
Chuy"n đ(ng là sự dịch chuyển liên tục của một môi trường liên tục trong không gian.
Dòng chảy được dùng để chỉ trạng thái liên tục chuyển động và biến dạng của một môi
trường liên tục. Khi nghiên cứu dòng chảy người ta khảo sát quá trình thay đổi của các cấu
hình một cách liên tục, trong đó trường vận tốc theo thời gian được xác định cụ thể.
I. Véc-tơ vị trí - véc-tơ chuyển vị:
Xét trạng thái ban đầu chưa biến dạng tại t = 0 và trạng thái đã biến dạng tại thời gian t = t
của môi trường vật chất liên tục trên cùng hình vẽ. Nếu gán cho trạng thái ban đầu và trạng
thái sau cùng ở trong 2 hệ tọa độ riêng biệt ta có:
Đối với trạng thái ban đầu 1 phần tử
của môi trường liên tục chiếm vị trí Po
trong không gian , có véc-tơ vị trí trong
hệ tọa độ (OX
1
X
2
X
3
) Descartes là:
kk332211
I
ˆ

.XI
ˆ
.XI
ˆ
.XI
ˆ
.XX =++=
r
Đối với cấu hình đã biến dạng phần tử
ban đầu tại vị trí Po nay chiếm vị trí
mới P trong không gian, có véc-tơ vị trí
trong hệ tọa độ (ox
1
x
2
x
3
) Descartes là:
∧∧∧∧→
=++=
i32
e.xe.xe.xe.xx
i3211
Hệ tọa độ vật chất (O X
1
X
2
X
3
) và hệ tọa độ không gian (o x

1
x
2
x
3
) có liên hệ với nhau bởi
cosin chỉ phương
α
kK
và
α
Kk
được định nghĩa bởi:
KkkKkKKk
e
ˆ
.I
ˆ
I
ˆ
.e
ˆ
αα
=== [3.1]
mặt khác
KPP
I
ˆ
.
K

I
ˆ
δ
= và
kppk
e
ˆ
e
ˆ
δ
= [3.2]
suy ra
kppKkKKpKk
..
δαααα
== và
KMpMpKMpKp
..
δαααα
== [3.3]
Vectơ u
r
nối liền 2 điểm P
O
và P được gọi là vectơ chuyển vị:
.
K
I
ˆ
.

K
UU hay
k
e
ˆ
.
k
uu ==
r
v
[3.4]
Vectơ cơ sở
k
e
ˆ
được biểu diển bởi vectơ cơ sở
K
I
ˆ
như sau:
∧
=
∧
K
I.
kKk
e
α
[3.5]
suy ra

→
===
→
U
^
K
I.
K
U)
^
K
I.
kK
a(
k
uu trong đó
kK
.
k
u
K
U
α
= [3.6]
Mặt khác:
→
−
→
+
→

=
→
Xxbu [3.7]
t=0
u
r
x
3
P
t=t
2
e
ˆ
x
2
o
X
1
x
1
O
Hình 3.1
X
r
X
2
1
I
ˆ
3

I
ˆ
2
I
ˆ
X
3
P
o
b
r
3
e
ˆ
1
e
ˆ
x
r
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
44
Trong đó
→
b là véc-tơ nối giữa 2 điểm o và O . Nếu 2 hệ thống tọa độ này trùng nhau thì
0b =
→
và
→→→
−= Xxu [3.8]
Viết theo thành phần Descartes ta có : (theo tọa độ (ox

1
x
2
x
3
) )
KkKkk
X.xu
α
−= . [3.9]
Hơn nữa nếu 2 hệ tọa độ trùng với nhau thì các trị số cosin chỉ phương a
kK
trở thành
δ
kK
.
Cuối cùng:
kkk
Xxu −= .[3.10]
II. Quan điểm Euler và quan điểm Lagrang:
Theo quan điểm Lagrang : người quan sát sẽ di chuyển theo cùng với hệ thống các phần tử
chuyển động của môi trường liên tục .
Chuyển động này có thể được diễn tả bởi phương trình sau đây :
hay:
)t,X(xx
)t,X(x)t,X,X,X(xx
i321ii
→→→
=
==

Trong đó x
i
là là vị trí của phần tử được tính ở thời điểm hiện tại t , dựa vào vị trí của phần tử
X
1
,X
2
,X
3
tại thời điểm t = 0 . Khi t biến thiên thì x
i
sẽ cho ta quỹ đạo của phần tử đó trong
không gian.
Theo quan điểm Euler: ngược lại người quan sát sẽ đứng tại vị tri cố định (x
1
x
2
x
3
) và theo
dõi các phần tử di chuyển (hay biến dạng) đến vị trí đó tại thời điểm hiện tại .
)t,x(XX)t,x(X)t,x,x,x(XX
i321ii
→→→→
=⇒==
Điều kiện cần và đủ cho sự hiện hữu của hàm số ngược chính là Jacobian :
0
X
x
j

j
i
≠=
∂
∂
[3.11]
Thí dụ: Cho một môi trường liên tục chuyển dịch theo mô tả của Lagrang như sau:
33
2
t
12
t
211
Xx
X)1e(Xx
)1e(XXx
=
+−=
−+=
Jacobian của hệ bằng 1
≠
0, do đó ta có được quy luật chuyển dịch theo tọa độ Euler là:
33
2
t
12
t
211
Xx
X)1e(Xx

)1e(XXx
=
+−=
−+=
Cho MTLT là 1 hình chữ nhật kích thước a
×
b (hình 3.2), nếu ta lấy 1 đoạn thẳng đứng dài
bằng a của MTLT (X
1
= 0 , X
2
= 0 , X
3
=
α
trong đó
α
là 1 tham số : 0
≤

α

≤
a) thì đoạn thẳng
này theo cách mô tả Lagrang có quy luật chuyển dịch : x
1
=0, x
2
2
t

4
1
α
, x3=
α
, nghĩa là khi t
thay đổi đoạn thẳng này sẽ biến thành các đoạn thẳng xiên. Và tương tự cả hình chữ nhật sẽ
biến thành các hình bình hành.
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
45
Nếu mô tả chuyển dịch theo Euler, thí dụ ta xét
điểm cố định A trong tọa độ không gian (x
1
= 0,
x
2
= 0 , x
3
= a) ta sẽ có quy luật chuyển dịch X
1
=
0 , X
2
=
2
ta
4
1
− , X
3

= a. Các hàm này cho ta
thấy khi t thay đổi, những phần tử sẽ chuyển
dịch qua điểm A là những phần tử nằm trên
đường thẳng song song với trục X
2
và ở bên trái
điểm A.
Do đó ta thấy quy luật chuyển dịch của 1 MTLT
có thể mô tả theo 2 phương pháp. Trong
phương pháp Lagrang khi cố định X
i
ta có thể
theo dõi được quá trình chuyển dịch cũng như
các tính chất khác của sự chuyển dịch của 1
phần tử. Còn trong phương pháp Euler khi cố
định x
i
ta có thể xác định được những gì đã xẩy ra tại 1 điểm của không gian (phần tử nào đã
đi qua, vận tốc của nó,v.v..)
Hai phương pháp mô tả nói trên là tương đương. Người ta có thể chuyển từ phương pháp
thứ nhất sang phương pháp thứ hai và ngược lại. Việc chọn phương pháp mô tả nào là tùy
thuộc bài toán cụ thể. Thí dụ trong tính toán chuyển dịch chất lỏng, chất khí trong đường ống,
hình dạng biên của môi trường đã được xác định, người ta chỉ quan tâm đến trường vân tốc
tại các điểm trong ống , khi đó phương pháp Euler là thích hợp. Trái lại khi nghiên cứu mặt
sóng chất lỏng, cần xác định quỹ đạo của các phần tử chất lỏng, hoặc khi nghiên cứu vật rắn
biến dạng, cần xác định sự biến dạng của vât thể thì sử dụng phương pháp Lagrang là hợp
lý.
Bài tập : Theo mô tả Lagrang ta có phương trình:
33
2

t
12
t
211
Xx
X)1e(Xx
)1e(XXx
=
+−=
−+=
Hãy tìm các công thức nghịch đảo theo Euler.
(Giải đáp
33
tt
2
t
1
2
tt
t
21
1
xX;
ee1
x)1e(x
X;
ee1
)1e(xx
X =
−−

−−−
=
−−
−+−
=
−−
)
III. Gradient biến dạng và Gradient chuyển vị:
1. Gradient biến dạng vật chất: theo hệ tọa độ vật chất (OX
1
X
2
X
3
) và không gian (ox
1
x
2
x
3
), là vi phân từng phần của véctơ vị trí x
i
theo X
j
tạo nên tensor
j
i
X
x
∂

∂
là nhị thức sau đây:
^
3
3
^
2
2
^
1
1
X
e
X
x
e
X
x
e
X
x
.xF
∂
∂
∂
∂
∂
∂
→→→
→

++≡∇= [3.12]
Trong đó
→
=∇
i
i
X
e.
X
∂
∂
x
3
, X
3
x
2
, X
2
x
1
, X
1
t = t
A
O
Hình 3.2.
b
a
t = 0

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
46
Nhị thức F có thể viết dưới dạng ma trận sau:
ji
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
321
3
2
1
Xx
x
X

x
X

x
X

x
X

x
X

x
X
x
X

x
X

x
X
X
,
X
,
X
x
x
x

F
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
==== [3.13]
2. Gradient biến dạng không gian : Là vi phân từng phần của véc tơ vị trí X
i
theo tọa độ

không gian x
j
tạo nên tensor
j
i
X
x
∂
∂
có dạng nhị thức như sau :
^
3
3
^
2
2
^
1
1
e.
x
X
e.
x
X
e.
x
X
x.XH
∂

∂
∂
∂
∂
∂
→→→
→
++≡∇= [3.14]
Hoặc viết dưới dạng ma trận :
ji
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
321
3

2
1
xX
x
X
,
x
X
,
x
X
x
X
,
x
X
,
x
X
x
X
,
x
X
,
x
X
x
,
x

,
x
X
X
X
H
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

∂
=== [3.15]
Cả 2 tensor biến dạng không gian và vật chất được liên hệ bởi:
ik
k
i
j
i
k
j
j
i
X
x
x
X
x
X
.
X
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

== [3.16]
Gradient chuyển vị vật chất và không gian tương tự là vi phân từng phần của véctơ chuyển vị
→
u theo tọa độ vật chất X
j
và tọa độ không gian x
j
, ta có :
ij
X
x
X
u
j
i
j
i
∂
∂
∂
∂
∂
−=
hay IFuJ
x
−==
∇
→
[3.17]
và:

j
i
ij
j
i
x
X
x
u
∂
∂
δ
∂
∂
−=
hay HIuK
x
−==
∇
→
[3.18]
IV. Tensor biến dạng :
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
47
Hình 3.3
Bình phương chiều dài phần tử vi phân giữa Po và Qo :
ijijii
2
dXdXdX.dXXd.Xd)dX(
δ

===
→→
mà
j
j
i
i
dx.
X
X
dX
∂
∂
=
[3.20]
Suy ra:
jiijji
j
K
i
K
2
dx.dx.Cdx.dx.
x
X
.
x
X
)dX(
==

∂
∂
∂
∂
[3.21]
Trong đó
j
K
i
K
ij
x
X
.
x
X
C
∂
∂
∂
∂
=
gọi là tenxơ biến dạng Cauchy [3.22]
Tương tự bình phương chiều dài phần tử vi phân giữa P và Q
jiijii
2
dx.dx.dx.dxxd.xd)dx(
δ
===
→→

[3.23]
mà
j
j
i
i
dX.
X
x
dx
∂
∂
= [3.24]
Suy ra
jiijji
j
K
i
K
2
dXdXGdX.dX.
X
x
X
x
)dx( ==
∂
∂
∂
∂

[3.25]
trong đó
j
K
i
K
ij
X
x
X
x
G
∂
∂
∂
∂
= gọi là ten xơ biến dạng Green. [3.26]
Phương thức biến dạng là số đo biến dạng bằng hiệu của (dx)
2
và (dX)
2
. Nếu hiệu số = 0 ta
có sự chuyển vị của chất rắn .Ta có thể khai triển theo 2 cách :
dXjdXL2dXdX)
X
x
.
X
x
()dX()dx(

iijjiij
j
k
i
k
22
=−=−
δ
∂
∂
∂
∂
[3.27]
trong đó:
)
X
x
.
X
x
(
2
1
L
ij
j
k
i
k
ij

δ
∂
∂
∂
∂
−=
[3.28]
L
ij
được gọi là ten xơ biến dạng hữu hạn Lagrange (hay Green).
Cách khác:
dx.dx.E2dx.dx)
x
X
.
x
X
()dX()dx(
jiijji
j
k
i
k
ij
22
=−=−
∂
∂
∂
∂

δ
[3.29]
x
3
, X
3
x
2
, X
2
x
1
, X
1
O
XdX
rr
+
X
r
udu
rr
+
u
r
Xd
r
xd
r
P

o
Q
o
P
Q
ud
r
t = t
t = 0
xdx
rr
+
x
r