Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về định lí Ritt đối với không điểm của hàm đa thức mũ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THƯ

VỀ ĐỊNH LÍ RITT ĐỐI VỚI
KHƠNG ĐIỂM CỦA HÀM ĐA THỨC MŨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, năm 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THƯ

VỀ ĐỊNH LÍ RITT ĐỐI VỚI
KHƠNG ĐIỂM CỦA HÀM ĐA THỨC MŨ
Ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH Trần Văn Tấn

Thái Nguyên, năm 2020


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Về định lý Ritt đối với không
điểm của đa thức mũ" khơng có sự sao chép của người khác. Khi viết
luận văn tơi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều có nguồn gốc rõ ràng
và được hồn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH Trần Văn Tấn. Tơi
xin hồn tồn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020
Tác giả luận văn

Trần Thị Thư
Xác nhận

Xác nhận

của chủ nhiệm khoa Toán

của người hướng dẫn

PGS. TSKH Trần Văn Tấn

i


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn
chân thành nhất tới PGS. TSKH Trần Văn Tấn. Thầy đã dành nhiều thời
gian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc và giúp đỡ tơi hồn
thành bài luận văn này.
Tơi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viên
trong gia đình đã ln động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.
Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đại

học Sư Phạm Thái Nguyên đã luôn nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tơi trong
suốt q trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tơi
hồn thành chương trình học và bảo vệ luận văn.
Bản thân tơi trong suốt q trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cố
gắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được. Tơi rất mong
được thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020
Học viên

Trần Thị Thư

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

LỜI MỞ ĐẦU

1

Chương 1

2

ĐỊNH LÝ RITT CỔ ĐIỂN

1.1 Định lý về thương hai đa thức mũ . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Đa thức mũ với số mũ thực

7

Chương 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA THỨC

NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM

11

2.1 Giới thiệu kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2 Một số ký hiệu và kết quả trong lý thuyết Nevanlinna . . . .

13

2.3 Một số kết quả trong lý thuyết Nevanlinna cho trường hợp mục
tiêu di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4 Bổ đề Borel và định lý Green với các mục tiêu di động . . . .

23

2.5 Chứng minh Định lý 2.2 và Hệ quả 2.1 . . . . . . . . . . . .

26

Tài liệu tham khảo

37

iii


LỜI MỞ ĐẦU

Lí do chọn đề tài: Năm 1929, Ritt đạt được kết quả thú vị về các không
điểm của hàm đa thức mũ: Cho P (z) và Q(z) là hai đa thức (khác không)
P (ez )
là một hàm nguyên. Khi đó tồn tại đa thức
với hệ số phức sao cho

Q(ez )
R(z) với hệ số phức sao cho P (ez ) = Q(ez )R(ez ). Định lí trên đã là nguồn
cảm hứng cho nhiều nhà toán học sau này thiết lập các kết quả tương tự,
với các cách tiếp cận khác nhau. Với mục đích tìm hiểu về chủ đề này, chúng
tơi chọn đề tài “Về định lí Ritt đối với khơng điểm của hàm đa thức mũ”.
Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu và trình bày lại một cách chi tiết, hệ
thống kết quả cổ điển về các không điểm của hàm đa thức mũ đạt được bởi
Ritt [2] năm 1929 và một mở rộng đạt được gần đây theo một cách tiếp cận
khác bởi Ji Guo [1].
Đối tượng nghiên cứu: Hàm phân hình trên mặt phẳng phức.
Phương pháp nghiên cứu: Các phương pháp truyền thống của Giải tích
phức, Ứng dụng của Lí thuyết Nevanlinna đối với ánh xạ chỉnh hình.

1


Chương 1

ĐỊNH LÝ RITT CỔ ĐIỂN

Cho một hàm đa thức mũ

a0 eα0 z + ... + am eαm z

(1.1)

với các hệ số hằng a0 , ..., am và các α0 , ..., αm đôi một phân biệt. Sự phân
bố các không điểm của các hàm như vậy, và các hàm tổng quát hơn với
các hệ số là các đa thức biến z đã được nghiên cứu bởi Tamarkin, Pólya và
Schwenglert. Trong chương này chúng tơi trình bày lại hai kết quả sau của

Ritt [3].
- Nếu mỗi không điểm của một đa thức mũ cũng là không điểm của một
đa thức mũ thứ hai, thì thương của chúng là một đa thức mũ.
- Xét hàm

1 + a1 eα1 z + ... + am eαm z ,
với các số thực α1 , ..., αm thỏa mãn 0 < α1 < ... < αm . Với một dải nằm
ngang bất kỳ trong mặt phẳng phức, ta tính tổng của các phần thực của
các không điểm của đa thức mũ trong dải, với phần ảo bị chặn. Kết quả
này có thể coi là tương ứng với định lý nói rằng tích của các khơng điểm
của 1 + a1 eα1 z + ... + am eαm z là (−1)m /am .

2


1.1

Định lý về thương hai đa thức mũ

Định lý 1.1. Cho

A(z) = a0 eα0 z + ... + am eαm z ,
Giả sử rằng B(z) ≡ 0, và

B(z) = b0 eβ0 z + ... + bn eβn z

(1.2)

A(z)
là một hàm nguyên. Khi đó, tồn tại một

B(z)

hàm

C(z) = c0 eγ0 z + ... + cm eγp z
sao cho A(z) = B(z)C(z).
Trước hết ta mô tả vắn tắt lại một kết quả của Tamarkin, Pólya và
Schwenglert. Biểu diễn các αi trong mặt phẳng phức, và gọi A là đa giác lồi
nhỏ nhất chứa chúng. Nó giúp chúng ta thu được tính duy nhất trong phân
tích ở Bổ đề 1.1.
Giả sử các cạnh của A được xác định bởi

σ1 , ..., σl .
Xét di , (i = 1, ..., l) là tia đối xứng qua trục thực với một tia vng góc
với σi ra phía ngồi A. Các tác giả trên đã chứng minh rằng tồn tại l nửa
dải song song có hướng di (i = 1, ..., l) mà chúng chứa tất cả các không
điểm của A. Nếu si là độ dài của σi , số các khơng điểm có mơ-đun nhỏ hơn

r và nằm trong nửa dải song song với di là tương đương với rsi /(2π) (khi r
tiến ra ∞).
Bây giờ ta xét đa giác lồi B tương ứng với B(z). Vì mỗi khơng điểm của

B cũng là một khơng điểm của A nên rõ ràng, từ công thức tiệm cận cho số
không điểm trong một nửa dải, mỗi cạnh τ của B song song với một cạnh
nào đó của A và độ dài cạnh của B không bé hơn độ dài cạnh tương ứng
3


của A, và hai hướng vng góc với hai cạnh nói trên ra phía ngồi đa giác
tương ứng là trùng nhau.

Giả sử rằng α0 , ..., αm trong (1.1) được sắp xếp để phần thực tăng dần,
trong trường hợp phần thực bằng nhau thì ta xét tiếp tới sự tăng dần của
phần ảo. Khi các α0 , ..., αm là các số thực không âm và am = 0, chúng ta sẽ
gọi αm là bậc của hàm (1.1).
Bổ đề 1.1. Giả sử A(z), và B(z) ≡ 0 là hai đa thức mũ với các số mũ
thực khơng âm. Khi đó, ta có thể biểu diễn

A = QB + R,

(1.3)

ở đó Q và R là hai đa thức mũ với các số mũ thực không âm, và R hoặc
đồng nhất 0 hoặc là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của B .
Chứng minh. Nếu trong (1.2) ta có αm < βn , thì ta có ngay (1.3) với Q =

0, R = A. Do đó, bây giờ ta xét trường hợp αm ≥ βn .
Gọi αm , ..., αm−i là tập tất cả các số αi không bé hơn βn . Xét đa thức
mũ

(am eαm z + ... + am−i eαm−i z)
B,
C =A−
bn eβn z

(1.4)

ở đó, các số mũ đều không âm.
Nếu B chỉ gồm một hạng tử. Khi đó C hoặc bằng 0, hoặc có bậc nhỏ
hơn B , và ta có biểu diễn A = QB + R với R = C và Q là phân thức trong
vế phải của (1.4), tức là:

(am eαm z + ... + am−i eαm−i z)
.
Q=
bn eβn z
Bây giờ, giả sử B có ít nhất hai hạng tử. Nếu C khác 0, khi đó, bậc của

C nhỏ hơn βn hoặc bằng αm − (βn − βn−1 ). Nếu C bằng 0, hoặc có bậc nhỏ
hơn βn , từ (1.4) ta đạt được ngay biểu diễn A = QB + R. Với trường hợp
4


còn lại, ta nhân chéo và chuyển vế trong biểu thức (1.4) và nhận được (1.3).
Tiếp tục quá trình trên, do βn − βn−1 là một đại lượng cố định, sau hữu hạn
bước ta sẽ nhận được (1.3).
Từ công thức xấp xỉ số không điểm trên mỗi nửa dải song song (ứng với
cạnh của đa giác bao tuyến tính của tập các số mũ), ta có biểu diễn trong
(1.3) là duy nhất.
Chứng minh Định lý 1.1. Giả sử rằng A ≡ 0. Nhóm các số hạng của A
có các số mũ có phần thực giống nhau, ta viết

A = P1 eu1 z + ... + Pj euj z ,

(1.5)

ở đó u1 , ..., uj là các số thực, tăng dần theo các chỉ số và P1 , ..., Pj có dạng

g1 ev1 iz + ... + gp evp iz ,

(1.6)

với các số thực v1 , ..., vj tăng dần theo các chỉ số. Vì khơng làm thay đổi
các khơng điểm của A và khơng ảnh hưởng đến tính chia hết mà ta đang
nghiên cứu, sau khi nhân A với một hàm mũ, ta giả sử là u1 và số v nhỏ
nhất trong Pj đều bằng 0. Tương tự, giả sử

B = Q1 ew1 z + ... + Qh ewh z ,

(1.7)

với các điều kiện tương tự như đối với A. Đại lượng uj là hiệu giữa hoành
độ của điểm ngoài cùng bên phải và điểm ngoài cùng bên trái của A. Vì
mỗi cạnh của B tương ứng với một cạnh của A ít nhất về chiều dài và có
cùng hướng nên rõ ràng uj ≥ wh .
Nếu B chỉ có một hạng tử, ta có ngay kết quả định lí. Bây giờ ta giả sử

B chứa ít nhất hai hạng tử, tức là, trong (1.7), ta có h ≥ 2, Q1 , Qh ≡ 0.
Đặt uj , ..., uj−r , trong đó mỗi u đều vượt quá uj − (wh − wh−1 ). Ta sẽ chứng
minh rằng thương của Pj , ..., Pj−r với Qh là đa thức mũ có dạng (1.6).
5


Nếu Qh là một hằng số, điều đó là hiển nhiên. Giả sử Qh khơng là hằng
số. Khi đó B có một cạnh dọc bên phải có chiều dài bằng giá trị v lớn nhất
trong Qh . Khi đó, A phải có một cạnh bên phải có cùng chiều dài như vậy.
Tức là, giá trị v lớn nhất trong Pj khơng nhỏ hơn nó trong Qh . Theo Bổ đề

1.1, ta có
Pj = SQh + R,
ở đó S và R có dạng (1.6) có các số mũ v khơng âm và nếu R ≡ 0 thì giá

trị v lớn nhất trong R nhỏ hơn giá trị v lớn nhất trong Qh .
Ta nói rằng R là đa thức khơng. Giả sử ngược lại, khi đó

A − SBe(uj −wh )s = ... + Reuj z .

(1.8)

Các số hạng đứng trước Reuj z trong (1.8) là các tích của các đa thức
(1.6) với edz với mỗi d ≥ 0 và nhỏ hơn uj . Bây giờ giả sử vế trái của (1.8)
có mọi khơng điểm của B . Nhưng có một cạnh dọc bên phải của đa giác
cho vế trái của (1.8) ngắn hơn cạnh tương ứng của B. Điều đó chỉ ra rằng

R ≡ 0.
Nếu uj − 1 > uj − (wh − wh−1 ), ta có

A − SBe(uj −wh )s = ... + Pj−1 euj−1 z ,
điều đó kéo theo Pj−1 là tích của Qh với đa thức dạng (1.6). Tương tự,

Pj−2 , ..., Pj−r cũng vậy.
Bây giờ ta xét

D = S1 et1 z + ... + Sk etk z ,
ở đó, S1 , ..., Sk có dạng (1.6), t1 , ..., tk không âm, tăng dần và tk ≤ uj −

(wh − wh−1 ). Nếu D khác 0, vì D có tất cả các khơng điểm của B , ta có
thể lặp lại các lập luận như trên. Vì wh − wh−1 là một đại lượng dương cố
6


định, quá trình lập luận trên chỉ gồm hữu hạn bước, do đó, đến một bước

nào đó chúng ta sẽ tìm được hàm giống như D ở trên bằng 0. Khi điều đó
xảy ra, ta có A được biểu diễn như một tích của B với một đa thức mũ.
Khi h = 1, trong (1.7) ta có B = Qh . Như vậy, mỗi P là một tích của B
với một hàm dạng (1.7). Định lý được chứng minh.

1.2

Đa thức mũ với số mũ thực

Xét hàm có dạng

f (z) = 1 + a1 eα1 z + ... + am eαm z ,
trong đó, a1 , ..., am là các hằng số và am = 0, và α1 , ..., αm là các số thực
sao cho

0 < α1 < ... < αm .
Mục đích của phần này là tính tổng phần thực của các không điểm của f (z)
trên một miền được giới hạn bởi hai đường thẳng song song với trục hồnh.
Vì f (z) dần đến phần tử đơn vị khi x (z = x + yi) dần đến −∞, và dần
đến ∞ khi x dần đến +∞ nên tập các không điểm của f (z) thuộc một dải
song song tạo bởi hai đường thẳng đứng.
Đặt R(u, v) là tổng của tất cả các phần thực của các không điểm của

f (z) với u < y < v , ở đó u và v là số thực bất kỳ với v > u. Ta sẽ chứng
minh

R(u, v) = −

(v − u) log |am |
+ O(1).

2π

(1.9)

Lấy A sao cho

|f (z) − 1| < 1
7

(1.10)


với x ≤ A và lấy B > A sao cho

f (z)
−1 <1
am eαm z

(1.11)

với mỗi x ≥ B . Với mỗi khơng điểm của f (z), ta có A < x < B .
Đặt S là tổng của các không điểm của f (z) với u < y < v . Ta có thể giả
sử rằng khơng có khơng điểm nào của f (z) thuộc các đường thẳng y = u
hay y = v ; điều này không ảnh hưởng đến kết quả của chúng ta (vì trong
tính tốn của ta, có đại lượng O(1)). Ta có

2πiS =

z

f (z)
dz,
f (z)

(1.12)

tích phân trên được tính theo chiều dương xung quanh hình chữ nhật có
các cạnh x = A, x = B, y = u, y = v .
Ta có,

z

f (z)
dz = z log f (z) −
f (z)

log f (z)dz.

(1.13)

Để xác định phần thực R(u, v) của S , ta phải xác định phần ảo của vế
phải của (1.13). Để ý rằng phần ảo của log f (z) tại điểm z = (A, v) thuộc

[−π, π]. Trước hết ta xác định sự biến thiên của z log f (z) khi z thay đổi
trên chu vi của hình chữ nhật, bắt đầu và quay lại điểm z(A, v). Hiển nhiên

z log f (z) tăng theo (A + vi)Ci, ở đó C là sự biến thiên trong biên độ của
f (z). Do (1.10), sự biến thiên của ampf (z) (argument của f (z)) dọc theo
cạnh x = A nhỏ hơn π . Để có được sự biến thiên dọc theo y = u và y = v ,
ta xét

ampf (z) = arctan

Y
,
X

trong đó X và Y lần lượt là phần thực và phần ảo của f (z). Vì z biến thiên
theo một đoạn của đường thẳng y = u, chẳng hạn, ampf (z) không thể chịu
8


sự biến thiên lớn như π trừ khi X bằng 0 tại một vài điểm trên đoạn đó. Do
đó sự biến thiên của ampf (z) dọc theo cạnh nằm ngang của hình chữ nhật
khơng thể vượt q π(p + 1) (p là số không điểm của X trên một cạnh).
Trên đường thẳng y = u, chẳng hạn

X = 1 + b1 eα1 x + ... + bm eαm x ,
trong đó b1 , ..., bm là các số thực phụ thuộc vào u. Ta đã biết hàm số như

X không thể có nhiều hơn n khơng điểm thực. Do đó toàn bộ sự biến thiên
của ampf (z) dọc theo y = u, y = v, x = A đều nhỏ hơn (2n + 3)π .
Do (1.11), sự biến thiên của ampf (z) dọc theo x = B khác với sự biến
thiên của biên độ của am eαm z là nhỏ hơn π . Sự biến thiên biên độ của am eαm z
dọc theo x = B là αm (v − u). Do đó sự biến thiên của ampf (z) khi z chạy
quanh hình chữ nhật khác αm (v − u) là nhỏ hơn (2n + 4)π .
Sự thay đổi của z log z vì thế nên có dạng

(A + vi)[αm (v − u) + O(1)]i,
Vì O(1) là số thực nên hệ số của i trong sự biến thiên này là

A[αm (v − u) + O(1)].

(1.14)

Chúng ta sẽ ước lượng phần ảo của tích phân của log f (z). Ta đặt A
thêm một điều kiện là log f (z) với x ≤ A, tồn tại một khai triển theo chuỗi
Dirichlet hội tụ tuyệt đối

log f (z) = c1 eρ1 z + c2 eρ2 z + ...,
ở đó, ρ1 , ρ2 , ... dương và tăng vô hạn. Ta thấy ngay
u+Ai

log f (z)dz = O(1).
v+Ai

9

(1.15)


Bây giờ chúng ta lấy cạnh y = u. Biên độ của f (z) tại (A, u) có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn biên độ tại điểm (A, v) là π và khơng vượt q 2π . Vì sự
biến thiên biên độ dọc theo y = u nhỏ hơn (n + 1)π , giá trị tuyệt đối của
biên độ f (z) nhỏ hơn (n + 3)π trên y = u. Do đó, phần ảo của tích phân
dọc theo y = u nhỏ hơn giá trị tuyệt đối

(n + 3)π(B − A).

(1.16)

Chúng ta cần tích phân dọc theo x = B của phần thực của log f (z). Ta
hạn chế B , với x ≥ B , log f (z) tăng và hội tụ tuyệt đối

log f (z) = am z + log am + d1 eσ1 z + d2 eσ2 z + ...,
ở đó, σ1 , σ2 , ... âm và giảm vơ hạn. Do đó, hệ số của i trong tích phân dọc
theo x = B là

αm B(v − u) + (v − u) log |am | + O(1).

(1.17)

Cuối cùng, chúng ta cần tích phân theo y = v của phần ảo của log f (z).
Dọc theo y = v , ta có

| ampf (z) − αm (v − u) | < (2n + 4)π.
Do đó,
v+Ai

ampf (z)dz − αm (v − u)(A − B) < (2n + 4)π(B − A).

(1.18)

v+Bi

Do A và B cố định, A = O(1), B − A = O(1), từ (1.14), (1.15), (1.16),
(1.17) và (1.18) ta nhận được khai triển (1.9) cho R(u, v).

10

Chương 2

MỘT DẠNG ĐỊNH LÝ RITT CHO ĐA
THỨC NHIỀU BIẾN VỚI HỆ SỐ HÀM

2.1

Giới thiệu kết quả chính

Dãy số {G(n)}n∈N ⊂ C được gọi là có cơng thức truy hồi tuyến tính nếu
G(n+k) = c0 G(n)+...+ck−1 G(n+k −1) với mọi n ∈ N và c0 , ..., ck−1 ∈ C.
Dãy {G(n)}n∈N có cơng thức truy hồi tuyến tính khi và chỉ khi có cơng thức
tường minh dạng
m

gi (n)αin , với mọi n ∈ N,

G(n) =
i=1

trong đó gi ∈ C[X] là các đa thức khác đa thức không và αi ∈ C∗ là các số
phân biệt. Dãy truy hồi được gọi là "đơn" nếu mọi gi là các hằng số.
Tương tự với các kết quả số học cho thương của hai dãy truy hồi tuyến
tính đã được của Corvaja and Zannier, năm 2017 Guo và Wang đã thiết lập
một kết quả về thương của hai dãy truy hồi tuyến tính các hàm phức như
sau:
Định lý 2.1. Cho l, m ≥ 1 là hai số nguyên dương; f1 , ..., fl và g1 , ..., gm là
các hàm nguyên khác hằng số sao cho maxi=1,...,l Tfi (r)
Đặt

F (n) = a0 + a1 f1n + ... + al fln
11

maxj=1,...,m Tgj (r)


n
và G(n) = b0 + b1 g1n + ... + bm gm
,

trong đó a0 ∈ C và a1 , ..., al , b0 , ..., bm ∈ C∗ . Giả sử có ít nhất một trong hai
điều sau được thỏa mãn:
(i) F (n)/G(n) là một hàm nguyên với vô hạn các số n ∈ Z∗ ;
(ii) f1 , ..., fl và g1 , ..., gm đều là các hàm nguyên khơng có khơng điểm,
và F (1)/G(1) là hàm ngun.
jm
Khi đó f1i1 ...flil g1j1 ...gm
∈ Kg với (i1 , ..., il , j1 , ..., jm ) = (0, ..., 0) ∈ Zl+m

nào đó.
Ở đây, Tf (r) là hàm đặc trưng Nevanlinna. Ký hiệu Tf (r)

Tg (r) có

nghĩa là tồn tại các số dương a, b sao cho aTf (r) < Tg (r) < bTf (r) với r đủ
lớn.
Mục đích chính của chương này là trình bày lại kết quả của Guo [3] về sự
tổng quát hóa Định lý 2.1 tới trường hợp các hệ số là hàm với độ tăng nhỏ.
Kết quả thu được khơng chỉ tổng qt bài tốn thương của các dãy truy
hồi, mà còn mang đến một ứng dụng trong việc nghiên cứu các đa thức mũ

khởi xướng bởi Ritt mà ta đã đề cập trong chương trước.
Với mỗi hàm nguyên g1 , ..., gm , đặt
g = (g1 , ..., gm )
là một ánh xạ chỉnh hỉnh từ C vào Pm−1 . Ta nói hàm phân hình a là tăng
chậm tương ứng với g nếu Ta (r) = o(Tg (r)). Đặt

Kg := {a| a là một hàm phân hình và Ta (r) = o(Tg (r) }.
Theo các tính chất cổ điển của các hàm đặc trưng, Kg là một trường. Đặt

Rg ⊂ Kg là vành con chứa tất cả các hàm nguyên trong Kg .
Định lý 2.2. Cho l, m là hai số nguyên dương; f1 , ..., fl và g1 , ..., gm là các
hàm nguyên khác hằng sao cho max Tfi (r)
1≤i≤l

12

max Tgj (r), cho a0 ∈ Rg và

1≤j≤m


a1 , ..., al , b0 , ..., bm ∈ Rg \ {0}. Đặt
F (n) = a0 + a1 f1n + ... + al fln
n
và G(n) = b0 + b1 g1n + ... + bm gm
,

Giả sử có ít nhất một trong hai điều sau được thỏa mãn:
(i) F (n)/G(n) là một hàm nguyên với vô hạn các số n ∈ Z∗ ;
(ii) fz , ..., fl và g1 , ..., gm đều là các hàm ngun khơng có khơng điểm,

và F (1)/G(1) là hàm nguyên.
jm
Khi đó tồn tại (i1 , ..., il , j1 , ..., jm ) = (0, ..., 0) ∈ Zl+m để f1i1 ...flil g1j1 ...gm
∈

Kg ,
Áp dụng định lý trên cho các đa thức mũ, ta thu được hệ quả sau đây:
Hệ quả 2.1. Cho F và G là hai đa thức mũ được viết dưới dạng

F (n) = a0 + a1 eλ1 z + ... + al eλl z ,
G(n) = b0 + b1 eτ1 z + ... + bm eτm z ,
trong đó ai , bj là các đa thức khác 0 trong C[z] và λi , τj ∈ C. Nếu F (z)/G(z)
là một hàm nguyên, thì λ1 , ..., λl , τ1 , ..., τm phụ thuộc tuyến tính trong Q.

2.2

Một số ký hiệu và kết quả trong lý thuyết
Nevanlinna

Để có thể chứng minh định lý chính, ta điểm lại một vài ký hiệu, định
nghĩa, và một số kết quả trong lý thuyết Nevanlinna.
Cho f là một hàm phân hình và z ∈ C là một số phức. Ký hiệu vz (f ) :=
ordz (f ),

vz− := − min{0; vz (f )}.

vz+ := max{0; vz (f )},
13

Ký hiệu nf (∞, r) là số cực điểm của f trong {z : |z| ≤ r} đếm cả bội.
Hàm đến của f tại ∞ được định nghĩa bởi
r

Nf (∞, r) :=
0

=

nf (∞, t) − nf (∞, 0)
dt + nf (∞, 0) log r
t
r
vz− (f ) log
+ v0− (f ) log r.
z

0<|z|≤r

Khi đó, hàm đếm Nf (a; r) với a ∈ C được định nghĩa là

Nf (a, r) := N1/(f −a) (∞, r).
Hàm xấp xỉ mf (∞, r) được định nghĩa bởi
2π

log+ |f (reiθ )|

mf (∞, r) :=
0

dθ
,
2π

trong đó log+ x = max{0, log x} với mỗi x ≥ 0. Với a ∈ C bất kỳ, hàm xấp
xỉ mf (a, r) được định nghĩa bởi

mf (a, r) := m1/(f −a) (∞, r).
Hàm đặc trưng được định nghĩa bởi

Tf (r) := mf (∞, r) + Nf (∞, r).
Hàm đặc trưng thỏa mãn bất đẳng thức Tf g (r) ≤ Tf (r) + Tg (r) + O(1) và

Tf +g (r) ≤ Tf (r) + Tg (r) + O(1) với f, g là các hàm nguyên bất kỳ. Đồng
thời cũng thỏa mãn Định lý cơ bản thứ nhất sau đây:
Định lý 2.3. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C. Khi đó với
mỗi a ∈ C và với mỗi số thực dương r ta có

mf (a, r) + Nf (a, r) = Tf (a, r) + O(1),
trong đó, O(1) khơng phụ thuộc vào r.
14


Định lý trên có thể được suy ra từ cơng thức Jensen.
Định lý 2.4. Cho f là một hàm phân hình khác 0 trên {z : |z| ≤ r. Khi đó
2π

log |f (reiθ )|
0

dθ
= Nf (r, 0) − Nf (r, ∞) + log |cf |,
2π

trong đó cf là hệ số cao nhất của f trong khai triển chuỗi Laurent theo z ,
tức là f = cf z m + ... với cf = 0.
Với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : C → Pn (C) với một biểu diễn rút gọn
f = (f0 , ..., fn ), tức là f0 , ..., fn là các hàm nguyên trên C không có khơng
điểm chung. Hàm đặc trưng Nevanlinna - Cartan Tf (r) được định nghĩa bởi
2π

log ||f(reiθ )||

Tf (r) :=
0

dθ
+ O(1),
2π

trong đó ||f(z)|| = max{|f0 (z)|, ..., |fn (z)|. Định nghĩa này không phụ thuộc
vào cách chọn dạng rút gọn của hàm f, cộng với một hằng số. Một cách tổng
quát, nếu f = (f0 , ..., fn ) không là một dạng rút gọn, ta định nghĩa độ cao
của f là
2π

log ||f(reiθ )||

Tf (r) :=
0

dθ
− max
i
2π

ordz fi log
|z|≤r

r
+ O(1).
z

Từ định nghĩa hàm đặc trưng, chúng ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.1. Cho f = (f0 , ..., fn ) : C → Pn (C), là một đường cong chỉnh
hình, ở đó f0 , ..., fn là các hàm ngun khơng có khơng điểm chung. Khi đó,
n

Tfj /fi (r) + O(1) ≤ Tf (r) ≤

Tfj /f0 (r) + O(1)

(2.1)

j=0

Cho H là một siêu phẳng trong Pn (C) (n > 0) và đặt a0 X0 + ... + an Xn
là một dạng tuyến tính xác định nó. Đặt P = [xo : ... : xn ] ∈ Pn (C) \ H là
một điểm. Hàm Weil λH : Pn (C) \ H → R được định nghĩa bởi

λH (P ) = − log

|a0 x0 + ... + an xn |
.
max{|x0 |, ..., |xn |}
15

(2.2)


Định nghĩa này phụ thuộc vào a0 , ..., an nhưng chỉ sai khác một hằng số
và nó khơng phụ thuộc vào cách chọn hệ toạ độ thuần nhất cho P . Hàm
xấp xỉ của f tương ứng với H được định nghĩa bởi
2π

λH (f(reiθ ))

mf (H, r) :=
0

dθ
2π

(Q)

Đặt nf (H, r) (tương ứng nf (H, r)) là số các không điểm của a0 f0 +

... + an fn trong đĩa |z| ≤ r đếm cả bội, (tương ứng không tính bội lớn hơn
Q ∈ N). Hàm đếm tương ứng với H được định nghĩa bởi
r

Nf (H, r) =
0

nf (H, t) − nf (H, 0)
dt + nf (H, 0) log r
t

và hàm đếm Q-truncated tương ứng với H được định nghĩa là
r

Nf f

(Q)

(H, r) =
0

nf f (Q) (H, t) − nf f (Q) (H, 0)
dt + nf f (Q) (H, 0) log r
t

Ta có Định lý cơ bản thứ nhất sau đối với f và siêu phẳng H.
Định lý 2.5. Cho f : C → Pn (C) là một ánh xạ chỉnh hình và H là một
siêu phẳng trong Pn (C). Nếu f (C) ⊂ H , khi đó với r > 0,

Tf (r) = mf (H, r) + Nf (H, r) + O(1),
trong đó O(1) bị chặn khơng phụ thuộc vào r.
Ta có dạng tổng quát sau đây của Định lý cơ bản thứ hai được đưa ra
bởi Vojita.

Định lý 2.6. Cho f : C → Pn (C) là một đường cong chỉnh hình có ảnh
khơng chứa trong bất kỳ một khơng gian con chính quy nào và (f0 , ..., fn ) là
một dạng rút gọn của f. Cho H1 , ..., Hq là các siêu phẳng tùy ý trong Pn (C).
Ký hiệu W (f) là Wronskian của f0 , ..., fn . Khi đó với ε > 0 bất kỳ ta có
2π

√

max
0

K

λHk (f(re
k∈K

−1θ

))

dθ
+ NW (f) (0, r) ≤exc (n + 1 + ε)Tf (r),
2π
16


ở đó giá trị lớn nhất được lấy trên mọi tập con K của {1, ..., q} sao cho

Hk (k ∈ K) có vị trí tổng qt và ≤exc là ước lượng cố định trừ ra r trong
tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.

Để chuẩn bị cho việc ngắt bội, nhắc lại một đánh giá quen thuộc sau
trong lý thuyết Nevanlinna.
Bổ đề 2.1. Cho f : C → Pn (C) là một đường cong chỉnh hình có ảnh khơng
chứa trong bất kỳ một khơng gian con chính quy nào và f0 , ..., fn là các hàm
ngun khơng có khơng điểm chung. Cho H1 , ..., Hq là các siêu phẳng trong
Pn (C) có vị trí tổng qt. Khi đó
q

q
(n)

Nf (Hj , r) − NW (f) (0, r) ≤
j=1

Nf (Hj , r).

(2.3)

j=1

Cuối cùng, ta nhắc lại bổ đề Borel.
Định lý 2.7. Cho f : C → Pn (C) là một ánh xạ chỉnh hình và f0 , ..., fn là
các hàm ngun khơng có khơng điểm chung. Giả sử rằng fn+1 là một hàm
chỉnh hình thỏa mãn đẳng thức f0 + ... + fn + fn+1 = 0. Nếu

fi = 0 với
i∈I

mọi tập con chính quy I ⊂ {0, ..., n + 1}, khi đó
n+1

(n)

Nfi (0, r) + O(log+ Tf (f )).

Tf (r) ≤exc
i=1

2.3

Một số kết quả trong lý thuyết Nevanlinna cho trường hợp mục tiêu di động

Chúng ta sẽ phát biểu lại định lý cơ bản thứ hai với các mục tiêu di động
để phù hợp với mục đích của chúng ta. Đặt f := (f0 , ..., fn ) là một ánh xạ
chỉnh hình từ C vào Pn , trong đó f0 , ..., fn là các hàm chỉnh hình khơng có
17


không điểm chung. Với các hàm nguyên γ0 , ..., γn , ta đặt

L = γ0 X0 + ... + γn Xn .

(2.4)

Khi đó, nó xác định một siêu phẳng (di động) H trong Pn (K), ở đó trường

K chứa γj với mọi 0 ≤ γj ≤ n. Chúng ta ký hiệu với mỗi z ∈ C, H(z) là một
siêu phẳng xác định bởi một dạng tuyến tính L(z) = γ0 (z)X0 +...+γn (z)Xn .
Theo quy ước, một siêu phẳng (di động) H trong Pn (K) được giả thiết liên
kết với một dạng tuyến tính như trong (2.4).
Với 1 ≤ j ≤ q , đặt γj0 , ..., γjn là các hàm nguyên của các hàm độ tăng

nhỏ tương ứng với f và đặt Kγ là một trường được tạo bởi tất cả các γji .
Đặt

Lj = γj0 X0 + ... + γjn Xn .

(2.5)

Khi đó, mỗi Lj xác định một siêu phẳng Hj trong Pn (Kγ ). Các siêu
phẳng di động H1 , ..., Hq được gọi là có vị trí tổng quát nếu mỗi cách chọn

n + 1 các dạng tuyến tính Li1 , ..., Lin+1 trong {L1 , ..., Lq } là độc lập tuyến
tính trong Kγ , hoặc tương đương nếu với mỗi cách chọn n+1 các dạng tuyến
tính Li1 , ..., Lin+1 trong {L1 , ..., Lq }, tồn tại z ∈ C sao cho Li1 (z), ..., Lin+1 (z)
độc lập tuyến tính trong C. Cho một siêu phẳng di động H xác định bởi
dạng tuyến tính L = γ0 X0 + ... + γn Xn với γ0 , ..., γn ∈ Kγ , hàm Weil λH
được định nghĩa như sau:

λH(z) (P ) = − log

|γ0 (z)x0 + ... + γn (z)xn |
,
max{|x0 |, ..., |xn |} max{|λ0 (z)|, ..., |λn (z)|}

(2.6)

trong đó P = (x0 , ..., xn ) ∈ Pn (C) và z ∈ C. Hàm trên được định nghĩa tốt
trừ khi trong một tập có độ đo Lebesgue khơng và nó khơng phụ thuộc vào
cách chọn các tọa độ thuần nhất cho P . Hàm xấp xỉ của f tương ứng với H
được định nghĩa bởi
2π

mf (H, r) =
0

√

λH(re√−1θ ) (f(re
18

−1θ

))

dθ
.
2π


Tích phân cũng được định nghĩa tốt trừ khi trong một tập có độ đo
Lebesgue khơng. Đặt nf (H, r) là số không điểm của γ0 f0 + ... + γn fn trong
đĩa |z| ≤ r đếm cả bội. Hàm đếm tương ứng với H được định nghĩa là
r

Nf (H, r) =
0

nf (H, t) − nf (H, 0)
dt + nf (H, 0) log r.
t

Khi đó, định lý cơ bản thứ nhất cho siêu phẳng di động H có thể phát biểu
như sau:

Tf (r) = Nf (H, r) + mf (H, r) + o(Tf (r)).

(2.7)

Cho t là một số nguyên dương và V (t) là một không gian vector sinh ra
trên C bởi




q

q

n

n

n

γjkjk njk ≥ 0,
j=1 k=0

njk ≤ t
j=1 k=0





.

(2.8)



Chọn các hàm nguyên h1 = 1, h2 , ..., hw là một cơ sở của V (t + 1) sao
cho h1 , h2 , ..., hu (u ≤ w) là một cơ sở của V (t). Hơn nữa, ta có

lim inf dim V (t + 1)/ dim V (t) = 1.
t→∞

(2.9)

Bây giờ, chúng ta phát biểu dạng tổng quát của định lý cơ bản thứ hai
với mục tiêu di động.
Định lý 2.8. Cho f : C → Pn (C) là một đường cong chỉnh hình với biểu
diễn rút gọn (f0 , ..., fn ). Cho Hj (1 ≤ j ≤ q) là các siêu phẳng (di động)
tùy ý trong Pn (Kγ ) xác định bởi các dạng tuyến tính Lj như (2.5). Các
ký hiệu u, w, h1 , ..., hw được cho như trên. Ký hiệu W là Wronskian của

{hm fk |1 ≤ m ≤ w, 0 ≤ k ≤ n}. Giả sử rẳng f0 , ..., fn là độc lập tuyến tính
trên Kγ .
(i) Với ε > 0 bất kỳ, ta có bất đẳng thức
2π

√

max
0

J

λHj (re√−1θ ) (f(re
j∈J

−1θ

))

dθ 1
+ NW (0, r) ≤exc (n + 1 + ε)Tf (r),
2π u
19


√

trong đó, max được lấy trên mọi tập con J ⊂ {1, ..., q} sao cho Hj (re

−1θ

)

(j ∈ J) ở vị trí tổng quát.
(ii) Nếu các mặt phẳng di động Hj1 , ..., Hjl có vị trí tổng qt với hầu
hết z ∈ C, ở đó {j1 , ..., jl } là tập con của {1, ..., q}, khi đó tồn tại một số
nguyên dương Q sao cho

l

1
Nf (Hjt , r) − NW (0, r) ≤
u
t=1

l
(Q)

Nf (Hjt , r) + o(Tf (r)).
t=1

Chứng minh. Từ (2.7) định lý cơ bản thứ nhất, chúng ta có thể giả sử rằng

q ≥ n + 1 sao cho ít nhất n + 1 siêu phẳng trong {H1 , ..., Hq } có vị trí tổng
qt. Định nghĩa ánh xạ chỉnh hình
F := (h1 f0 , h2 f0 , ..., hw f0 , h1 f1 , ..., hw fn ) : C → Pw(n+1)−1 (C).

(2.10)

Chú ý rằng đây là một dạng rút gọn, tức là hm fk , 1 ≤ m ≤ w, 0 ≤ k ≤ n
là các hàm ngun khơng có khơng điểm chung, vì h1 = 1 và fk , 0 ≤ k ≤ n
khơng có khơng điểm chung. Hơn nữa, F tuyến tính khơng suy biến trên C
vì f tuyến tính khơng suy biến trên K và hàm đặc trưng của nó có cùng tỉ
lệ với f theo ước lượng sau:
2π

√

log max |hi (re

TF (r) =

1≤i≤w
0≤j≤n

0
2π

√

log ||f(re

=

−1θ

−1θ

√

)fj (re

−1θ

1≤i≤w

log+ |hi (re
i=1

2π w

= Tf (r) +

dθ
2π

)|| + log max |hi (re

2π w
0

)|

√

0

≤ Tf (r) +

−1θ

√

−1θ

)|

dθ
2π

mhi (∞, r)
0

i=1
2π w

≤ Tf (r) +

Thi (r)
0

i=1

≤ Tf (r) + o(Tf (r)).
20

(Theo định lý 2.3)

)|

dθ
2π
(2.11)