Một số định lí giới hạn dạng arc sin luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẶNG NGỌC HỒNG

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC-SIN
CHO LỚP PHÂN PHỐI BIẾN ĐỔI CHÍNH QUY

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HỒNG SƠN


2

VINH- 2012


LỜI CẢM ƠN!
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
khoa học của TS. Lê Hồng Sơn. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính
trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy dành cho tác giả trong suốt quá trình nghiên
cứu và hoàn thành luận văn.
Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo
trong chuyên ngành lý thút xác śt và thớng kê tốn học, khoa Toán,
trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập và thực hiện Luận văn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy

cô khoa Sau Đại học - Đại học Vinh và các bạn học viên cao học ngành Toán
khoá 18 đã tạo điều kiện giúp đỡ, góp ý chân thành cho tác giả trong quá trình
học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin ghi nhớ cơng lao to lớn của gia đình và người thân
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!
Trong quá trình thực hiện, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,
kính mong sự góp ý của q thầy cô và các bạn đọc.
Vinh, tháng 8 năm 2012
Tác giả
Đặng Ngọc Hoàng


4


5
MỤC LỤC
Trang
Mục lục.........................................................................................................1
Mở đầu.........................................................................................................3
Chương I. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI BIẾN ĐỔI
CHÍNH QUY VÀ CÁC TÍNH CHẤT...........................................................6
1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của phân phối ổn định............6
1.1.1. Các định nghĩa của phân phối ổn định...........................................6
Định nghĩa 1.1.1.1........................................................................................6
Định nghĩa 1.1.1.2........................................................................................7
Định nghĩa 1.1.1.3........................................................................................7
Định nghĩa 1.1.1.4........................................................................................8
1.2. Các tính chất của phân phối ổn định.................................................8

Định lí 1.1.2.1……………………………………………………………...8
Định lí 1.1.2.2.............................................................................................10
1.2. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối biến đổi chính quy.......................................................................11
1.2.1. Hàm biến đổi chính quy.................................................................11
Định nghĩa 1.2.1.1……………………………………………………......11
Định lí 1.2.1.2.............................................................................................12
Định lí 1.2.1.3…………………………………………………………….13
1.2.2. Đại lượng ngẫu nhiên biến đổi chính quy....................................13
Định nghĩa 1.2.2.1......................................................................................14
Định lí 1.2.2.2.............................................................................................14
Định lí 1.2.2.3.............................................................................................15
Hệ quả 1.2.2.4............................................................................................15
Hệ quả 1.2.2.5…………………………………………………………… 15
Hệ quả 1.2.2.6…………………………………………………………… 16


6
1.2.3. Véctơ ngẫu nhiên biến đổi chính quy...........................................16
Định nghĩa 1.2.3.1......................................................................................16
Định nghĩa 1.2.3.2......................................................................................16
Chương II. ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC-SIN..................................18
2.1. Một số định lí giới hạn cho dãy Rn và Pn.........................................18
Bổ đề 2.1.1.................................................................................................19
Định lí 2.1.2................................................................................................21
Hệ quả 2.1.3……………………………………………………………. . .22
2.2. Phân phối giới hạn của Rn và Pn trong lớp phân phối ổn định.........23
Mệnh đề 2.2.1.............................................................................................23
Mệnh đề 2.2.2.............................................................................................23
Định lí 2.2.3................................................................................................24

Hệ quả 2.2.4............................................................................................... 25
Định lí 2.2.5................................................................................................25
Định lí 2.2.6................................................................................................26
2.3. Tích của các đại lượng ngẫu nhiên biến đổi chính quy.................28
Định lí 2.3.1................................................................................................28
Định lí 2.3.2................................................................................................30
Định lí 2.3.3................................................................................................32
Kết luận..........................................................................................................33
Tài liệu tham khảo.........................................................................................34


7
LỜI NĨI ĐẦU
Trong lý thuyết xác suất, định lí arc-sin được giới thiệu đầu tiên bởi
P. Lévy (1939). Kể từ đó, định lí arc-sin được sự quan tâm đặc biệt của các nhà
toán học như L. Briman (năm 1965), M. Yor (năm 1981), J. Piman và M. Yor
(năm 1991),… Trong lĩnh vực ứng dụng, định lí arc-sin được ứng dụng rộng
rãi trong các bài toán về dự báo kinh tế, tài chính, bảo hiểm, ngân hàng, …, tiêu
biểu như các kết quả của J. Piman và M. Yor (năm 2004), Y. Kasahara và
Y. Yano (năm 2003), I. Berkes và S. Hormann (năm 2008) và A. Rouault,
M. Yor, M. Zani (năm 2000), …
Khái niệm biến đối chính quy được J. Karamata giới thiệu trong một bài
báo nổi tiếng của ông năm 1930. Tuy nhiên, trước đó những tính chất liên
quan đến khái niệm biến đổi chính quy đã được đề cập bởi Landau (năm
1911); Valiron (năm1913) và Polya (năm 1917). J. Karamata đã định nghĩa
một cách chặt chẽ và ứng dụng khái niệm chính quy trong lý thuyết mới của
ơng liên quan đến định lí Tauberian (xem [4, 5, 13]). Những tính chất và ứng
dụng phong phú của khái niệm phân phối biến đổi chính quy trong lý thuyết
xác suất đã được William Feller trình bày trong cuốn sách của ơng xuất bản
lần đầu tiên năm 1968. Cuốn sách này đã thu hút được sự quan tâm đặc biệt

của các nhà nghiên cứu lý thuyết xác suất và ứng dụng trong một giai đoạn
dài sau đó, tiêu biểu nhất là các nghiên cứu về sự biến đổi chính quy. Ứng
dụng của khái niệm biến đổi chính quy trong các định lý giới hạn đã được
Laurens de Haan trình bày trong luận án của mình năm 1970. Những nghiên
cứu sau đó về các tính chất cũng như ứng dụng của khái niệm biến đổi chính
quy có thể đến như: Bingham N.H. đã tổng hợp các khái niệm cũng như tính
chất liên quan đến sự biến đổi chính quy trong cuốn sách nổi tiếng của mình
năm 1987; Resnick S.I. (1986, 1987, 1991, 1996) mơ tả khái niệm về sự biến
đổi chính quy cho trường hợp nhiều chiều và ứng dụng trong các Định lý giới


8
hạn; Kesten H. (1973) và Goldie C.M. (1991) nghiên cứu sự biến đổi chính
quy trong các kết quả liên quan đến phương trình hồi quy ngẫu nhiên;
Basrak B. (2002) và Mikosch T. (2000, 2002, 2003) đã nghiên cứu các kết
quả liên quan đến biến đổi chính quy và được áp dụng để phân tích chuỗi thời
gian trong việc giải quyết các bài tốn về tài chính; Leland W.E. (1993),
Heath D. (1998), Mikosch T. (2002) đã trình bày các ứng dụng của phép biến
đổi chính quy trong việc giải quyết các bài tốn quản lý các mạng viễn thơng;
… Với những ứng dụng của phân phối biến đổi chính quy cũng như các định
lý giới hạn dạng arc-sin, việc nghiên cứu các tính chất xác suất của phân phối
biến đổi chính quy cũng như các định lí giới hạn liên quan có một vai trị quan
trọng trong lý thuyết xác suất, đặc biệt là các định lí giới hạn dạng arc-sin liên
quan đến phân phối giới hạn của tổng có trọng số ngẫu nhiên, với trọng số là
các biến ngẫu nhiên biến đổi chính quy. Với những lý do đó chúng tơi chọn
đề tài “Một số định lí giới hạn dạng arc-sin cho lớp phân phối biến đổi
chính quy”. Trong luận văn này chúng tơi trình bày một số kết quả mà có liên
quan với định lí arc-sin, đặc biệt là lớp phân phối biến đổi chính quy và phân
phối ổn định.
Luận văn được trình bày trong 35 trang. Ngồi phần mở đầu, kết luận, luận

văn được trình bày trong 2 chương.
Chương I. Đại lượng ngẫu nhiên có phân phối biến đổi chính quy và
các tính chất
Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của phân phối
ổn định, các định nghĩa và các tính chất cơ bản của đại lượng ngẫu nhiên,
véctơ ngẫu nhiên có phân phối biến đổi chính quy.
Chương II. Định lý giới hạn dạng arc-sin
Trong chương này chúng tơi trình bày các tính chất về phân phối giới hạn


9
n

của dãy có dạng Rn =

∑XY
i =1
n

i i

∑Y
i =1

trong lớp phân phối chuẩn, đưa ra điều kiện để

i

P
Rn  0 khi n → ∞. Đặc biệt chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa hai điều kiện

→
(
Y(1)n )
P = n , Y ( n ) = max { Y } .
P
P
Rn  0 và Pn  0, với n
→
→
(1)
i
1≤i ≤ n
∑ Yi
i =1

Trong phần cuối, chúng tơi trình bày về phân phối của tích các đại lượng
ngẫu nhiên có phân phối biến đổi chính quy.


10
CHƯƠNG I
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỐI BIẾN ĐỔI CHÍNH
QUY VÀ CÁC TÍNH CHẤT
Trong chương này chúng tơi giới thiệu một số định nghĩa tương đương
của phân phối ổn định và đại lượng ngẫu nhiên, véctơ ngẫu nhiên biến đổi
chính quy, đưa ra biểu thức giải tích của hàm đặc trưng cũng như một số tính
chất cơ bản của lớp đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định và biến ngẫu
nhiên biến đổi chính quy.
1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của phân phối ổn định
1.1.1. Các định nghĩa của phân phối ổn định

Một tính chất quan trọng của đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
hay phân phối Gaussian là tổng của hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân
phối chuẩn cũng là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Nghĩa là:
nếu X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, X 1 và X 2 là các đại lượng
ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với X và bất kỳ hằng số dương a, b,
luôn tồn tại số dương c và d ∈ ¡ sao cho:
d

aX 1 + bX 2 = cX + d .

(1.1)

d

với " = '' ký hiệu cho khái niệm bằng nhau theo nghĩa phân phối.
Lớp các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định cũng thể hiện tính
chất đặc trưng trên của phân phối chuẩn, và chúng ta thấy rằng, phân phối
chuẩn là một trường hợp đặc biệt của lớp các phân phối ổn định. Sau đây,
chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa về phân phối ổn định.
Định nghĩa 1.1.1.1. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn
định nếu với mọi X 1 và X 2 độc lập có cùng phân phối với X và với bất kỳ
hằng số dương a, b, luôn tồn tại số dương c và d ∈ ¡ sao cho (1.1) thỏa mãn.
X được gọi là có phân phối ổn định theo nghĩa hẹp nếu (1.1) đúng với d = 0,


11
với mọi a > 0, b > 0.
Giả sử hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y được gọi là đồng dạng nếu tồn
d

tại các hằng số A > 0 và B ∈ ¡ sao cho X = AY + B. Khi đó, biến ngẫu nhiên
có phân phối ổn định có thể được phát biểu như sau:
Định nghĩa 1.1.1.2. Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn
định nếu với mọi X 1 và X 2 độc lập có cùng phân phối với X và với bất kỳ
hằng số dương a, b thì aX 1 + bX 2 luôn đồng dạng với X .
Như chúng ta đã biết, phân phối ổn định – trừ một số trường hợp đặc biệt
như phân phối Gauss, phân phối Cauchy hay phân phối Levy – đều khơng có
biểu thức giải tích cụ thể cho hàm mật độ và hàm phân phối. Tuy nhiên, lớp
các phân phối ổn định có thể được mô tả một cách đầy đủ thông qua công cụ
hàm đặc trưng. Biểu diễn hàm đặc trưng của phân phối ổn định đã được đề
cập đến trong các nghiên cứu của R. Weron [13], V.M. Zolotarev [14]. Trong
luận văn này, chúng tôi chỉ mô tả biểu diễn hàm đặc trưng của
V.M. Zolotarev trong [10].
Định nghĩa 1.1.1.3. Đại lượng ngẫu nhiên X đươc gọi là α - ổn định nếu
hàm đặc trưng của X có dạng:
πα
α

exp(−γ α t [1 − iβ tan
sign(t )] + iδ t ), α ≠ 1,


2
φ (t ) = 
 exp(−γ t [1 + i β 2 sign(t ) ln t ] + iδ t ),
α = 1,

π


(1.2)

với 0 < α ≤ 2, − 1 ≤ β ≤ 1, γ > 0, δ ∈ ¡ . Khi đó ta viết X ~ S (α , β , γ , δ ).
Nhận xét: Định nghĩa 1.1.1.3 cho thấy rằng một phân phối ổn định nói
chung phụ thuộc vào 4 tham số: tham số ổn định hoặc số đặc trưng mũ
α ∈ (0; 2]; tham số về độ lệch β ∈ [−1; 1]; tham số địa phương γ > 0 và tham số

định vị δ ∈ ¡ . Phân phối của X đối xứng quanh gốc tọa độ O khi β = 0 và
δ = 0, trong trường hợp này hàm đặc trưng X có dạng đơn giản:


12

φ (t ) = e −γ

α

t

α

.

Định nghĩa 1.1.1.4. X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn
định nếu với mọi X1, X2 độc lập cùng phân phối với X và với mọi hằng số
dương c, d , luôn tồn tại a, b ∈ ¡ , b > 0, sao cho
d

cX 1 + dX 2 = a + bX ,

hay
 x
x
 x−a
FX  ÷∗ FX  ÷ = FX 
÷,
c
d
 b 
1

2

FX , FX , FX tương ứng là các hàm phân phối của các đại lượng ngẫu nhiên
1

2

X 1 , X 2 , X , “ ∗ ” là ký hiệu cho tích chập.

1.1.2. Các tính chất của phân phối ổn định
Từ định lí giới hạn trung tâm ta có kết quả sau:
Định lí 1.1.2.1. Nếu X ~ S (α , β , γ , δ ) thì
lim xα Ρ( X > x) = Cα (1 + β )γ α ,
 x →∞

α
α
lim x Ρ( X < − x ) = Cα (1 + β )γ ,
 x →∞

với
−1

 ∞ −α

1
πα
Cα =  2 ∫ x sin( x)dx ÷ = Γ(α )sin
,
π
2
 0

Γ( x) là hàm Gamma.

Định lí 1.1.2.1 nói lên tính chất đi “heavy-tail” của phân phối ổn định:
Khi x → ∞, ta có
F ( x) = 1 − F ( x) ~ ax −α , khi x → +∞
F ( x) ~ a | x |−α , khi x → −∞,

với a = Cα (1 + β )γ α , Cα xác định như trên.
Khi β > 0, phân phối của phân phối ổn định lệch sang bên phải, nghĩa là


13
đi phía bên phải của phân phối ổn định “nặng” hơn đi bên trái, hay
nói cách khác:
Ρ( X > x) > Ρ( X < − x), với mọi x > 0.

Khi β = 1, phân phối của phân phối ổn định hồn tồn lệch sang bên phải.
Từ tính chất phản xạ ta có: khi β = −1, phân phối ổn định hoàn toàn lệch sang
bên trái, và khi β < 0, phân phối của phân phối ổn định lệch sang bên trái,
nghĩa là đi phía bên trái của phân phối ổn định “nặng” hơn đi bên phải,
hay nói cách khác:
Ρ( X > x) < Ρ( X < − x), với mọi x > 0.

Khi β = 0, phân phối của phân phối ổn định đối xứng quanh trục x = δ .
Các phân phối đặc trưng như phân phối chuẩn, phân phối Levy hay phân phối
Cauchy là các ví dụ cụ thể cho tính chất trên cũng như tính chất “heavy-tail”
của phân phối ổn định.
Ví dụ 1. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N ( µ ; σ 2 ) với hàm mật
độ của X có dạng:
f ( x) =

1
( x − µ )2
exp{−
}, x ∈ ¡
2σ 2
σ 2π

là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định với các tham số: α = 2, β = 0,
γ=

σ
σ
, δ = µ , hay X ~ S (2,0,
, µ ).
2

2

Ví dụ 2. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Cauchy C (γ ; σ ) với hàm mật
độ của X có dạng:
f ( x) =

1
γ
, x∈¡
2
π γ + ( x − σ )2

là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định với các tham số: α = 1, β = 0,
γ = 1, δ = σ , hay X ~ S (1,0,1,σ ).

Ví dụ 3. Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Levy (a; b) với các tham số


14
a > 0, b ∈ ¡ có hàm mật độ:
a
1
a
exp{−
}, x ∈ ¡
3/2
2π ( x − b)
2( x − b)

f ( x) =

1
2

là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định với các tham số: α = , β = 1,
1
γ = a, δ = b, hay X ~ S ( ,1, a, b).
2

Như chúng ta đã biết, giả sử X 1 , X 2 ,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên độc
lập cùng phân phối,
n

Zn =

∑X
j =1

j

− an

(1.3)

bn

với an , bn ∈ ¡ , bn > 0. Khi đó, nếu {Z n }n∈¥ hội tụ về đại lượng ngẫu nhiên X khi
n → ∞, thì X phải là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định.

Khi X 1 có kỳ vọng m = ΕX 1 và phương sai D = DX 1 hữu hạn thì

n

Zn =

∑X
j =1

j

− nm

D n

n → ∞,
D
 X , khi
→

với X ~ N (0, 1).
Trong toàn bộ luận văn này, ta ký hiệu f ( x) ~ g ( x) khi x → ∞, nghĩa là
f ( x) / g ( x) → 1 khi x → ∞.

Định lí 1.1.2.2. (Định lí giới hạn trung tâm dạng tổng quát) Giả sử
X 1 , X 2 ,..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên độ lập cùng phân phối với hàm phân

phối F ( x), x ∈ ¡ thỏa mãn điều kiện
1 − F ( x) ~ cx −α khi x → ∞,
F ( x) ~ d | x |−α khi x → ∞,

với c, d ∈ ¡ , c + d ≠ 0, 0 < α ≤ 2. Khi đó tồn tại dãy số an và bn > 0, n=1, 2,…

sao cho dãy đại lượng ngẫu nhiên:


15

n

Zn =

∑X
j =1

j

− an
,

bn

hội tụ theo phân phối đến đại lượng ngẫu nhiên X ~ Sα (α , β ,1,0) với tham số
β=

c−d
,
c+d

các dãy số { an } và { bn } được xác định bởi:
a) nếu 0 < α < 1, thì an = 0, bn = [ π (c + d )]

1/α

b) nếu α = 1, thì an = β (c + d )n ln(n), bn =

πα 

2Γ(α )sin

2 



−1/α

n1/α ,

π
( c + d ) n,
2

πα 
1/α 
c) nếu 1 < α < 2, thì an = nΕX 1 , bn = [ π (c + d )]  2Γ(α )sin 
2 


−1/α

n1/α ,

1/ 2

d) nếu α = 2, thì an = nΕX 1 , bn = (c + d )1/2 [ n ln(n) ] .

1.2. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đại lượng ngẫu nhiên có phân
phối biến đổi chính quy
1.2.1. Hàm biến đổi chính quy
Định nghĩa 1.2.1.1. Một hàm đo được khơng âm f được gọi là hàm biến
đổi chính quy (tại vơ cùng) với tham số α ∈ ¡ nếu thỏa mãn các điều kiện:
1) Tồn tại x0 ∈ ¡ sao cho hàm f được xác định với mọi x ≥ x0 .
2) lim
x →∞

f (tx) α
= t với mọi t > 0.
x

(1.4)

Nếu α = 0 thì f được gọi là hàm biến đổi chậm.
Chú ý: 1. Trong [9] chương VIII đã chứng minh được rằng: mọi hàm
biến đổi chính quy f với tham số α đều có thể biểu diễn được dưới dạng:
f ( x) = xα L( x),

với L là hàm biến đổi chậm.
2. Ta cũng có thể định nghĩa khái niệm chính quy tại mọi điểm x0 ∈ ¡


16
như sau: hàm f được gọi là hàm biến đổi chính quy tại điểm x0 ∈ ¡ nếu
f ( x − x0 −1 ) là hàm biến đổi chính quy tại vơ cùng.

Ví dụ. Một số ví dụ đơn giản của hàm biến đổi chậm là các hằng số dương,
các hàm hội tụ đến một hằng số dương khi x → +∞, hàm logarit, … và với
mọi số thực α , các hàm:
xα , xα ln(1 + x), ( x ln(1 + x))α , xα ln(ln(e + x))

cũng là các hàm biến đổi chính quy tại vơ cùng với tham số α .
Cịn các hàm sau khơng phải là các hàm biến đổi chính quy:
2 + sin x, e[ln(1+ x )] ,

trong đó, [x] là ký hiệu cho phần nguyên của x.
Định lí 1.2.1.2. Một hàm L xác định dương trên [ x0 ; ∞) là hàm biến đổi
chậm khi và chỉ khi L biểu diễn được dưới dạng
 x ε ( y) 


L( x) = c( x) exp  ∫
dy  ,
x y




(1.5)

0

với c( x) là một hàm đo được không âm thỏa mãn: lim c( x) = c0 ∈ (0; ∞) và
x →∞
ε ( x) → 0 khi x → ∞.

Chú ý: 1. Từ biểu diễn (1.5) ta có: mọi hàm biến đổi chính quy tại vơ
hạn với tham số α đều có thể biểu diễn dưới dạng:
 x ε ( y) 


f ( x) = x c( x) exp  ∫
dy  ,
x y



α

0

với c( x) và ε ( x) xác định như trên.
2. Cũng từ biểu diễn trên ta có: mọi hàm biến đổi chính quy tại vơ cùng
với tham số α ≠ 0 đều có:
∞ khi α > 0,
f ( x) → 
khi x → ∞.
0 khi α < 0,

Hơn thế nữa, nếu L là hàm biến đổi chậm thì với mới ε > 0


17
x −ε L( x) → 0 và xε L( x) →∞ khi x →∞.

Một trong những tính chất của hàm biến đổi chính quy được sử dụng

rộng rãi là kết quả sau của Karamata trong [9].
Định lí 1.2.1.3. Giả sử L là hàm biến đổi chậm và bị chặn địa phương
trong [ x0 , ∞) với x0 ≥ 0. Khi đó
1. Với α > −1,
x

∫t

α

L(t )dt ~ (α + 1) −1 xα +1 L( x), x → ∞.

x0

2. Với α < −1,
∞

∫t

α

L(t )dt ~ −(α + 1) −1 xα +1L( x), x → ∞.

x

3. Với α = −1,
1 x L(t )
dt → ∞, x → ∞,
∫
L( x) x t

0

x

và

∫

x0

L(t )
dt là hàm biến đổi chậm.
t
∞

Nếu

∫

x0

L(t )
1 ∞ L (t )
dt < ∞ thì
dt → ∞, x → ∞, và
t
L( x) ∫ t
x

∞

∫
x

L(t )
dt là hàm biến
t

đổi chậm.
1.2.2. Đại lượng ngẫu nhiên biến đổi chính quy
Tính biến đổi chính quy xuất hiện một cách tự nhiên trong các lĩnh vực
khác nhau của lý thuyết xác suất như: các định lí giới hạn, chuỗi thời gian, lý
thuyết phục hồi,… Trong phần này, chúng tơi giới thiệu các khái niệm và tính
chất của đại lượng ngẫu nhiên biến đổi chính quy.
Cho đại lượng ngẫu nhiên X, ta ký hiệu:
FX ( x) = Ρ( X ≤ x), x ∈ ¡ ,

cho hàm phân phối của Z, và


18

F X ( x ) = 1 − FX ( x ), x ∈ ¡ ,

cho đuôi phải của phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X.
Định nghĩa 1.2.2.1. Một đại lượng ngẫu nhiên không âm X và phân phối
của nó được gọi là biến đổi chính quy với tham số α ≥ 0 nếu F X là hàm biến
đổi chính quy với tham số −α .
Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tơi gọi đại lượng ngẫu nhiên X
như trên là đại lượng ngẫu nhiên biến đổi chính quy.

Định lí 1.2.2.2. Giả sử F(x) là một hàm phân phối với F ( x) < 1, ∀ x ≥ 0.
Khi đó:
1. Nếu hai dãy số {an } và {xn } thỏa mãn điều kiện: an / an+1 → 1, xn → ∞,
và tồn tại hàm g(x) xác định trên (0; + ∞) sao cho
lim an F (λ xn ) = g (λ ) ∈ (0; + ∞) với λ > 0,
n →∞

thì g (λ ) = λ −α với α ≥ 0 và F là hàm biến đổi chính quy.
2. Giả sử F là hàm liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f để với mọi α > 0,
lim
x →∞

xf ( x)
= α . Khi đó f là hàm biến đổi chính quy với tham số −(1 + α ) và F là
F ( x)

hàm biến đổi chính quy với tham số −α .
3. Giả sử hàm mật độ f của hàm phân phối F là hàm biến đổi chính quy
với tham số −(1 + α ) với α > 0. Khi đó lim
x →∞

xf ( x)
= α.
F ( x)

4. Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên khơng âm, biến đổi chính quy với
tham số α > 0. Khi đó
ΕX β < ∞ nếu β < α ,
ΕX β = ∞ nếu β ≥ α .

5. Giả sử F là hàm biến đổi chính quy với tham số −α với α > 0, β ≥ α .
Khi đó


19

x β F ( x)

lim

x →∞ x

∫y

β

dF ( y )

=

β −α
.
α

0

6. Hai mệnh đề sau là tương đương:
x

2

a. ∫ y dF ( y ) là hàm biến đổi chậm;
0

b. F ( x) = o( x

−2

x

∫ y dF ( y )),
2

x → ∞.

0

Chú ý: Khẳng định ngược lại của mệnh đề thứ 5 vẫn đúng cho trường
hợp β > α . Trường hợp β = α thì điều ngược lại của mệnh đề thứ 5 cũng
đúng nếu bổ sung điều kiện: F ( x) = o( x −α L( x)) với L(x) là hàm biến đổi chậm.
Định lí 1.2.2.3. Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên không âm độc
lập, có phân phối biến đổi chính quy với tham số α ≥ 0. Khi đó X + Y cũng là
đại lượng ngẫu nhiên biến đổi chính quy với tham số α và
Ρ( X + Y > x) ~ Ρ( X > x) + Ρ(Y > x), x → ∞.

Hệ quả 1.2.2.4. Giả sử X , X 1 , X 2 , ..., X n là các đại lượng ngẫu nhiên
khơng âm, độc lập, có cùng phân phối biến đổi chính quy. Khi đó
Ρ( X 1 + X 2 + ... + X n > x) ~ nΡ( X > x), x → ∞.

Chú ý: Từ hệ quả 1.2.2.4 thu được kết quả sau:
Hệ quả 1.2.2.5. Với các giả thuyết của hệ quả 1.2.2.4, với

M n = max X i , n ≥ 1, S n = X 1 + X 2 + ... + X n , khi đó
i =1, 2,... n
Ρ( S n > x) ~ nΡ( X > x) ~ Ρ( M n > x).

Khẳng định trên có nghĩa là: Với x đủ lớn, thì bản chất của sự kiện
{S n > x} được suy ra từ sự kiện {M n > x}. Mối quan hệ Ρ( M n > x) ~ nΡ( X > x)

khi x → ∞ cũng cho thấy rằng, M n cũng là đại lượng ngẫu nhiên biến đổi
chính quy cùng tham số chính quy với X.
Các tính chất liên quan đến tính chính quy của đại lượng ngẫu nhiên được


20
trình bày chi tiết trong Bingham [4], Feller [9].
Hệ quả 1.2.2.6. Nếu F ( x) = xα L( x), α > 0, L là hàm biến đổi chậm thì với
mọi số nguyên dương n đều có
F n ~ nF , khi x → ∞.

1.2.3. Véctơ ngẫu nhiên biến đổi chính quy
Định nghĩa 1.2.3.1. Véctơ ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối
biến đổi chính quy với độ đo Radon μ trên σ-đại số Borel B( R0d ) , với
( R0d ) = ( R0d ) \ {0} nếu
Ρ( x −1 X ∈ .) ϑ
 µ (.) khi x → ∞,
→
Ρ( X > x)

(1.6)

ϑ

trong đó |·| là chuẩn bất kỳ trên R d và “  ” dùng để chỉ sự hội tụ yếu trên
→

B( R0d ).

Nhận xét: Độ đo µ trong (1.6) có tính chất sau: tồn tại số α > 0 sao cho
µ (tA) = t −α µ ( A), với mọi t > 0 và A ⊂ ( R0d ). Đại lượng ngẫu nhiên X biến đổi

chính quy với chỉ số α ứng với độ đo giới hạn μ được kí hiệu X ∈ RV (α , µ ).
Nếu độ đo giới hạn μ là không phụ thuộc X chúng ta cũng có thể viết
X ∈ RV (α , µ ). Ta cũng dễ dàng chứng minh được rằng (1.6) tương đương với

định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2.3.2. Véctơ ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối biến
đổi chính quy nếu tồn tại dãy { cn } với cn → ∞ sao cho
−
ϑ
nΡ(cn 1 X ∈ .)  µ (.).
→

Nhận xét: Nếu X là véctơ ngẫu nhiên biến đổi chính quy thì ta có thể chọn
được dãy { cn } là dãy đơn điệu tăng sao cho nΡ( X > cn ) ~ 1.
d −1
d
%
Với mọi x ≠ 0, ta kí hiệu x = x / x và S = { x ∈ R : x = 1} , khi đó (1.6)

tương đương với

21
%
Ρ( X > xt , X ∈ .) ϑ
 t −α Ρ(Θ ∈ .) với mọi t > 0,
→
Ρ( X > x)
ϑ
trong đó Θ là một véctơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong S d −1 và  kí
→

hiệu cho sự hội tụ yếu trên σ –đại số Borel trong S d −1.


22
CHƯƠNG II
ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN DẠNG ARC-SIN
Trong lý thuyết xác suất, định lí arc-sin được trình bày bởi P. Lévy
(1939). Phân phối xác suất của thời gian để một quá trình Wiener xác định
dương tỉ lệ với hàm arcsin x .
Giả sử W là một quá trình Wiener. Với mỗi T > 0, ta xét
m(t ) = m{t ∈ [0; T ] : W (t ) > 0}

là độ đo tập hợp các giá trị t thuộc đoạn [0; T ] sao cho W (t ) > 0. Khi đó với
mọi x ∈ [0; 1], ta có
 m(t )
 2
Ρ
≤ x ÷ = arcsin( x ).
 T
 π

Kết quả trên cịn được gọi là ‘‘định lí arc-sin đầu tiên’’.
Trong luận văn này, chúng tơi trình bày các phân phối giới hạn của dãy
n

biến ngẫu nhiên có dạng Rn =

∑XY
i =1
n

i i

∑Y
i =1

i

và

Pn =

(
Y(1)n )
n

∑Y
i =1

i

(n)
trong đó Y(1) = max { Yi } ;
1≤i ≤ n

{ Yn } là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng phân phối; { X n } là
dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân phối, độc lập với

{ Yn } sao cho

P
Ε X 1 < ∞, ΕX 1 = 0 , đồng thời đưa ra mối liên hệ giữa hai điều kiện Rn  0
→
P
→
và Pn  0, và cùng một số tính chất khác. Cuối cùng chúng tơi trình bày

một số tính chất của tích hai đại lượng ngẫu nhiên biến đổi chính quy.
2.1. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN CHO DÃY Rn VÀ Pn
Khi Y1 ≥ 0 , ta có một biến ngẫu nhiên V1 với phân phối đối xứng sao cho
n

V12 = Y1 , và đặt S n = ∑ Yi .
i =1


23
Ta kí hiệu đại lượng ngẫu nhiên X ∈ DANL (domain of attraction
of the normal law) nếu với mọi dãy biến ngẫu nhiên { X n } độc lập cùng phân
phối với X, luôn tồn tại hai dãy { an } ; { bn } với an > 0, n = 1, 2,... sao cho

n

∑X
i =1

i

− bn

an

→ N (0; 1).

Bổ đề 2.1.1. Điều kiện cần và đủ để

(
Y(1)n )

P
 0 là tồn tại dãy hằng số
→

Sn

n
Sn p
 1 trong đó S n = ∑ Yi .
→
Bn ↑ ∞ sao cho
Bn

i =1

Sn
→ 1 với Bn ↑ ∞ thì
Bn

Chứng minh. Trong [6] chương 6, nếu

n(1 − F (ε Bn )) → 0, với mọi ε > 0 trong đó F là hàm phân phối của Y1. Khi đó
(
Y(1)n )

(
Y(1)n ) Bn
=
. ,
Sn
Bn S n

ta chứng minh

(
Y(1)n )

Bn

→ 0. Thật vậy, rõ ràng:
(
Ρ(Y(1)n ) < ε Bn ) = [ F (ε Bn )]n ~ e − n (1− F (ε B )) → 1.
n

(n)
Nếu F liên tục, chọn Cn (ε ) sao cho Ρ(Y(1) ≥ Cn (ε )) = ε , ta đặt

Yk < Cn (ε ),

Yk ,
Yk , n = 
Cn (ε ),
n

Yk ≥ Cn (ε ),

và kí hiệu S n = ∑ Yk , n , Y (1) = max { Yk , n } . Khi đó:
(n)

k =1

Sn
S
= (n )
n
(n)
Y(1)
Y (1)
Sn
=
(
Y(1)n )

∑ Y I (Y
k

k

(n)
nếu Y(1) < Cn (ε ),

< Cn (ε ))

k

(
Y(1)n )

+

∑ Y I (Y
k

k

≥ Cn (ε ))

k

(
Y(1)n )

24

≤

∑

k ; Yk
Yk

Cn (ε )

+

∑ ε 1=

k ; Yk ≥Cn ( )

Sn
Y

(n)
(1)

(n)
nếu Y(1) ≥ Cn (ε ).

Do vậy
(n)

(
P
P
S n / Y(1)n )  , ⇒ S n / Y (1)  .
→∞
→∞

Chú ý rằng:
Ρ(

Sn
(n)

Y (1)

< x) ≥ Ρ(

(n)
Sn
< x, Y (1) = Cn (ε ))
Cn (ε )

= εΡ(

(n)
Sn
< x, Y (1) = Cn (ε )),
Cn ( n )

mà theo Darling D.A. [5] ta có

Y1, n + ... + Yn −1, n + Cn (ε ), do đó

n −1

∑Y

k, n

k =1

cùng phân phối với tổng

Sn

Cn (ε ) → ∞. Điều này có nghĩa là

n −1
1
n −1
Ε(∑ Yk , n ) → ∞ hoặc
ΕY1, n → ∞.
Cn (ε ) k =1
Cn (ε )

Mặt khác
n −1
Cn (ε )

Cn ( ε )

∫

ydF ( y ) + (n − 1)[1 − F (Cn (ε ))] → ∞,

0

từ
(
Ρ(Y(1)n ) < Cn (ε )) = 1 − ε ~ e n (1− F (C

n ( ε )))

,

ta có
n
Cn (ε )

Cn ( ε )

∫

ydF ( y ) → ∞.

0

Nếu ε n → 0 thì
n
n[1 − F (Cn (ε n ))] → 0,
Cn (ε n )

%
Cn

Cn ( ε n )

∫

ydF ( y ) → ∞.

0

P
%
→
Đặt Cn = Cn (ε n ), nếu Bn = n ∫ ydF ( y ) thì Sn / Bn  1.
0


25
ˆ
Nếu F không liên tục, đặt Y = Y1 + U1 , Y1 và U1 độc lập, U1 có hàm phân
(n)
(
P
ˆ(
→
phối liên tục và 0 ≤ U1 ≤ 1. Nếu Y(1) → ∞ hầu chắc chắn, thì Y(1)n ) / Y(1)n )  1.
(n)
P
P

ˆ ˆ(
ˆ
→∞
→∞
Ngoài ra, do S n ≤ Yn , từ Sn / Y(1)  ta có Yn / Y(1)n )  , nếu tồn tại hằng

số

%
Cn

sao

cho

ˆ %
n(1 − F (Cn )) → 0,

%
Cn

%
ˆ
n ∫ ydF ( y ) / Cn → ∞,

khi

đó

đặt

0

%
Cn

ˆ
ˆ
Bn = n ∫ ydF ( y ), chúng ta chia ra hai trường hợp:
0

(i) ΕY1 < ∞;
(ii) ΕY1 = ∞.
Trường hợp (i) là tầm thường chúng ta có thể cho Bn = nΕY1. Trong
ˆ
trường hợp (ii), Bn / n =

%
Cn

ˆ
∫ ydF ( y ) → ∞, thật vậy
0

U1 + ... + U n P
 0,
→
ˆ
Bn
P

ˆ
→
với chú ý rằng Sn / Bn  1. Bổ đề được chứng minh.

Định lí 2.1.2. Điều kiện cần và đủ để

(
Y(1)n )

Sn

P
 0 là V1 ∈ DANL.
→

Chứng minh. Điều kiện đủ được suy ra từ bổ đề trên, bây giờ ta giả sử
(
P
Y(1)n ) / S n  0. Ta định nghĩa:
→

 Vk
 , Vk > 0,
Tk =  Vk
0,
Vk = 0,


và đặt