Bộ 18 đề thi thử tốt nghiệp THPT 2021 môn toán mới nhất

BỘ 18 ĐỀ THI THỬ
TỐT NGHIỆP THPT 2021

MƠN TỐN
MỚI NHẤT


1. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 môn Tốn có đáp án - Trường THPT
chun Hạ Long (Lần 1)
2. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 môn Tốn có đáp án - Trường THPT
chun Nguyễn Trãi (Lần 1)
3. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 môn Tốn có đáp án - Trường THPT
Hàn Thun (Lần 2)
4. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 mơn Tốn có đáp án - Trường THPT
Hồng Lĩnh (Lần 1)
5. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 mơn Tốn có đáp án - Trường THPT
Trần Nhân Tông
6. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 mơn Tốn có đáp án - Trường THPT
Trần Phú (Lần 1)
7. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 mơn Tốn có đáp án - Trường THPT
Yên Phong số 1 (Lần 1)
8. Đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia mơn Tốn năm 2020-2021 có đáp án - Trường
THPT Kinh Môn (Lần 2)
9. Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2021 mơn Tốn 12 có đáp án - Trường THPT
chuyên Quốc học Huế (Lần 1)
10. Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2021 mơn Tốn có đáp án - Trường Đại học
EDX (Lần 1)
11. Đề thi thử tốt nghiệp THPT mơn Tốn năm 2020-2021 có đáp án - Trường THPT
Cẩm Xuyên (Lần 1)
12. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 mơn Tốn - Sở GD&ĐT tỉnh Thái Nguyên
(Đợt 1)

13. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 mơn Tốn - Trường THCS&THPT
Lương Thế Vinh (Lần 1)
14. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 mơn Tốn - Trường THPT
Nguyễn Đăng Đạo (Lần 2)
15. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 mơn Tốn - Trường THPT
Nguyễn Thị Minh Khai (Lần 1)
16. Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2021 mơn Tốn - Trường Đại học
EDX (Lần 2)
17. Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2021 mơn Tốn 12 - Trường THPT
Kim Sơn A
18. Đề thi thử Đại học mơn Tốn 12 năm 2020-2021 - Trường THPT chuyên
Quang Trung (Lần 1)


ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.

KÌ THI THỬ TN THPT LẦN 1
NĂM HỌC 2020 – 2021
Mơn thi: TỐN
Thời gian: 90 phút (khơng kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 50 câu trắc nghiệm

Đường cong hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho dưới đây, hỏi đó là hàm số
nào?

A. y   x3  3 x 2  2 .
B. y  x 3  3 x 2  2 .
C. y  x 4  3 x 2  2 . D. y  x 4  3 x 2  2 .
Cho khối lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích của khối
lăng trụ đó theo a.
a3 3
a3 6
a3 3
a3 6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
12
12
Tính diện tích xung quanh S của hình nón có bán kính đáy r  4 và chiều cao h  3 .
A. S  40 .
B. S  12 .
C. S  20 .
D. S  10 .

Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 và công sai d  2 . Tính u9 .
A. u9  26 .
B. u9  19 .
C. u9  16 .
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
A. 20 .
B. 120 .
C. 25 .
Thể tích V của khối cầu có đường kính 6 cm là
A. V  18  cm3  .
B. V  12  cm3  .
C. V  108  cm3  .

D. u9  29 .
D. 53 .
D. V  36  cm3  .

Diện tích xung quanh S xq của hình trụ trịn xoay có bán kính đáy r và đường cao h là
A. S xq  2 rh .

B. S xq   rh .

C. Sxq  2 r 2 h .

D. S xq   r 2 h .

Câu 8.


Tìm tọa độ véc tơ AB biết A 1; 2;  3 , B  3;5; 2





A. AB   2;3;  5  .
B. AB   2 ;3;5  .
C. AB   2;  3;  5 . D. AB   2;  3;5  .

Câu 9.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2 .

 f  x  dx  6 x  C .
C.  f  x  dx  x  C .
A.

3

 f  x  dx  x  C .
1
D.  f  x  dx  x  C .
3

B.

3

1
Câu 10. Tìm tập nghiệm S của phương trình 32 x1  .
3

A. S  0; 1 .
B. S  1 .
C. S  0;1 .
D. S  1 .
Câu 11. Cho khối nón có bán kính hình trịn đáy, độ dài đường cao và độ dài đường sinh lần lượt là r , h , l .
Thể tích V của khối nón đó là:
1
1
A. V   rl .
B. V   rlh .
C. V   r 2 h .
D. V   r 2h .
3
3
Trang 1/6 - Mã đề 107


Câu 12. Cho hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c có đồ thị hình dưới đây. Hỏ phương trình 2 f  x   1 có
bao nhiêu nghiệm?

A. 2 .
B. 1.
C. 3 .
D. 0 .
4
2
Câu 13. Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c có đồ thị hình dưới đây. Hỏi phương trình 2 f  x   1 có
bao nhiêu nghiệm?

A. 2 .

B. 1.
Câu 14. Nghiệm của phương trình log 2  x  1  3 là:

C. 3 .

D. 0 .

A. x  7 .
B. x  2 .
C. x  2 .
D. x  8 .
y

f
x
Câu 15. Cho hàm số
  có đạo hàm trên  và có bảng biến thiên như sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
A.  2;4  .
B.  1;   .
C.  ; 1 .

D.  1;3 .

Câu 16. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f 'x   ln x  1  e  2019   x  1 trên khoảng  0;  . Hỏi
x

hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
4
2
Câu 17. Cho hàm số bậc bốn y  f  x   ax  bx  c có đồ thị sau

Giá trị cực đại của hàm số là
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
Câu 18. Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:
1
A. V  B 2 h .
B. V  B 2 h .
C. V  Bh .
3
Câu 19. Thể tích của khối hộp chữ nhật có kích thước 1, 2,3 là:
A. 3 .
B. 1.
C. 2 .
Trang 02/06 – Mã đề 107

D. 1.

D. 1.
1
D. V  Bh .
3

D. 6 .


Câu 20. Tìm tập xác định D của hàm số y  ln x 2  3 x  2
A. D  (1;2) .

B. D   2;   .

C. D   ;1 .

D. D   ;1   2;   .

Câu 21. Cho khối chóp S. ABC có tam giác ABC vng tại B , AB  3, BC  3, SA   ABC  và góc giữa

SC với đáy bằng 450 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

3.
B. 2 3 .
C. 3 .
D. 6 .
x
Câu 22. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  xe tại điểm thuộc đồ thị tại điểm có hồnh độ
x0  1 .
A. y  e(2 x  1) .
B. y  e(2 x  1) .
C. y  2 x  e .
D. y  2 x  e .
Câu 23. Cho lăng trụ tam giác đều ABC . ABC  có tất cả các cạnh bằng a . Khối trụ tròn xoay có hai
đường trịn đáy ngoại tiếp hai tam giác đều ABC và AB C  có thể tích bằng
 a3

 a3
 a3 3
A.
.
B.
.
C.  a 3 .
D.
.
3
9
3
Câu 24. Biết  f  x  dx  x 2  C . Tính  f  2 x  dx
A.

1

 f  2 x  dx  2 x  C .
C.  f  2 x  dx  2 x  C .
A.

1

 f  2 x  dx  4 x  C .
D.  f  2 x  dx  4 x  C .

2

B.

2

2

2

Câu 25. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y   x 3  3 x 2  mx  2 có cực đại và cực tiểu?
A. m  3 .
B. m  3 .
C. m  3 .
D. m  3 .
Câu 26. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

2  3

x



m 2 3



x

 1 có hai nghiệm phân biệt là khoảng  a; b  . Tính T  3a  8b .

A. T  5 .
B. T  7 .
C. T  2 .

D. T  1 .
Câu 27. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x  cos 2 x.
1
1
A. x 2  sin 2 x  C .
B. x 2  sin 2 x  C . C. x 2  sin 2 x  C .
D. x 2  sin 2 x  C .
2
2
Câu 28. Cho khối chóp S . ABC có SA  ( ABC ) , SA  a, tam giác ABC đều có cạnh 2a . Tính thể tích
khối chóp S . ABC .

a3 3
a3 3
a3 3
.
C.
.
D.
.
3
2
6
Câu 29. Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp ABCD. AB C D  . Tìm tọa độ đỉnh A biết tọa độ các điểm
A  0; 0;0  ; B 1; 0; 0  ; C 1; 2;0  ; D  1;3;5  .
A. a 3 3 .

B.

A. A 1; 1;5 .

B. A 1;1;5 .

Câu 30. Đồ thị hàm số y 

C. A  1; 1;5 .

D. A  1;1;5  .

9x 1

có bao nhiêu đường tiệm cận?
2020  x 2
A. 4 .
B. 1 .
C. 2 .
4
2
Câu 31. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  20 x trên đoạn [  1;10] là

D. 3 .

A. 100 .
B. 100 .
C. 10 10 .
D. 10 10 .
Câu 32. Cho khối lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có tam giác ABC vng cân tại B và AA '  AB  a . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm hai cạnh AA ' và BB ' . Tính thể tích khối đa diện ABCMNC ' theo
a.
a3

a3
a3 2
a3 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
6
3
6
Câu 33. Biết tập nghiệm của bất phương trình 3x

2

x

 9 là  a; b  . Tính T  a  b .
Trang 03/06 - Mã đề 107


A. T  3 .

B. T  1 .

C. T  3 .

D. T  1 .
3

Câu 34. Cho khối tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng
bên và mặt đáy?
A. 60o .

B. 30o .

D. arctan  2  .

C. 45o .

Câu 35. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5 và góc ở đỉnh bằng
đã cho bằng

a
. Tính góc giữa cạnh
4 3

o

90 . Diện tích xung quanh của hình nón

B. 5 10 .

A. 25 2 .

C. 5 5 .

D. 10 5 .
Câu 36. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường trịn
đáy là đường trịn nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều
ABCD .

16 2
16 3 .
D. S xq 
.

3
3
2
Câu 37. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x    x  1  x 2  2 x  , với mọi x  R. Có bao nhiêu giá trị
B. S xq  8 2 .

A. S xq  8 3 .

C. S xq 

nguyên dương của tham số m để hàm số y  f  x 2  8 x  m  có 5 điểm cực trị?
A. 18.

B. 16.

C. 17.

D. 15

Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y  x3  mx 

khoảng  0;   ?

1
đồng biến trên
5x2

A. 0.
B. 4.
C. 5.
D. 3.
Câu 39. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Lấy N , M là trung điểm của AB và AC . Tính khoảng cách d
giữa CN và DM .
A. d  a

3
.
2

B. d 

a 10
.
10

C. d 

a 3
.
2

D. d 

Câu 40. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x 

a 70
.
35

2
bằng
3

82
80
.
B.
.
C. 9 .
D. 0 .
9
9
Câu 41. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC có cạnh đáy bằng a .Trên các tia AA, BB, CC  lần lượt lấy
a
3a
A1 , B1 , C1 cách mặt phẳng đáy  ABC  một khoảng lần lượt là , a, . Tính góc giữa hai mặt
2
2
phẳng  ABC  và  A1 B1C1  .
A.

A. 60 .
B. 90 .
C. 45 .
D. 30 .
3
Câu 42. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y  x   a  10  x 2  x  1 cắt trục hoành
tại đúng một điểm?
A. 10 .
B. 8 .
C. 11.
D. 9 .
1
2
Câu 43. Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn  Cn  55 , số hạng không chứa x trong khai triển của
n

2 

biểu thức  x 3  2  bằng
x 

A. 80640 .
B. 13440 .
C. 322560 .
D. 3360 .
2
2
Câu 44. Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x  x  2  a ln x  x  1  0 nghiệm đúng với

mọi x   . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a   6;7 .
B. a   2;3 .
Trang 04/06 – Mã đề 107



C. a   6; 5 .



D. a   8;   .


Câu 45. Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình a x  9 x  1 nghiệm đúng với mọi x  . Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A. a  0;102  .
B. a  102 ;103  .
C. a  104 ;   .
D. a  103 ;104  .











Câu 46. Giả sử a , b là các số thực sao cho x3  y 3  a.103 z  b.102 z đúng với mọi số thực dương x, y, z
thỏa mãn log  x  y   z và log  x 2  y 2   z  1 . Giá trị của a  b bằng

31
29
31
25
.
B.
.
C.  .
D. 
.
2
2
2
2
Câu 47. Cho một mơ hình tứ diện đều ABCD cạnh 1 và vịng trịn thép có bán kính R . Hỏi có thể cho mơ
hình tứ diện trên đi qua vịng trịn đó (bỏ qua bề dày của vịng trịn) thì bán kính R nhỏ nhất gần
với số nào trong các số sau?
A. 0, 461 .
B. 0, 441 .
C. 0, 468 .
D. 0, 448 .
A.

Câu 48. Cho phương trình sin 2 x  cos 2 x  sin x  cos x  2 cos 2 x  m  m  0 . Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm thực?
A. 9.
B. 2.

C. 3.
D. 5.
Câu 49. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  1;3 . Bảng biến thiên của hàm số y  f   x 
 x
được cho như hình vẽ sau. Hàm số y  f  1    x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
 2

A.  4; 2  .

B.  2; 0  .

C.  0; 2  .

D.  2; 4  .

Câu 50. Một mặt cầu tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S. ABC có tất cả các
cạnh bằng nhau, các đỉnh A, B, C thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài l ,
các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?
 3 
A. l  1; 2 .
B. l  2;3 2 .
C. l  3; 2 .
D. l  
.
 2 ;1


------------------------ HẾT ------------------------













Trang 05/06 - Mã đề 107


ĐÁP ÁN THAM KHẢO
1.B
11.D
21.C
31.A
41.C

2.A
12.A
22.A
32.C
42.A

Trang 06/06 – Mã đề 107

3.C

13.A
23.D
33.B
43.B

4.B
14.A
24.C
34.A
44.A

5.B
15.D
25.B
35.A
45.D

6.D
16.A
26.C
36.D
46.B

7.A
17.B
27.B
37.D
47.D

8.B

18.C
28.B
38.A
48.C

9.C
19.D
29.D
39.D
49.A

10.B
20.D
30.C
40.A
50.D


1.B
11.D
21.C
31.A
41.C

2.A
12.A
22.A
32.C
42.A

3.C
13.A
23.D
33.B
43.B

4.B
14.A
24.C
34.A
44.A

BẢNG ĐÁP ÁN
5.B
6.D
15.D
16.A
25.B
26.C
35.A
36.D
45.D
46.B

7.A
17.B
27.B
37.D
47.D

8.B
18.C
28.B
38.A
48.C

9.C
19.D
29.D
39.D
49.A

10.B
20.D
30.C
40.A
50.D

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Đường cong hình sau là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho dưới đây, hỏi đó là hàm số
nào?

A. y   x3  3 x 2  2 .

B. y  x 3  3x 2  2 .
C. y  x 4  3 x 2  2 .
Lời giải

D. y  x 4  3x 2  2 .

Chọn B
Ta thấy đồ thị như hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d nên loại C, D.
Dựa vào đồ thị ta có lim y   nên a  0 suy ra loại A.
x 

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Vậy ta chọn đáp án B.
Cho khối lăng trụ đều ABC. ABC  có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích của khối
lăng trụ đó theo a.
a3 3
a3 6
a3 3
a3 6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4

12
12
Lời giải
Chọn A
Vì ABC. ABC  là khối lăng trụ đều nên có đáy ABC là tam giác đều và chiều cao AA  a.
a 2 3 a3 3
Khi đó thể tích của khối lăng trụ đã cho là V  AA.S ABC  a.
(đvtt).

4
4
Tính diện tích xung quanh S của hình nón có bán kính đáy r  4 và chiều cao h  3 .
A. S  40 .
B. S  12 .
C. S  20 .
D. S  10 .
Lời giải
Chọn C
Độ dài đường sinh của hình nón l  r 2  h 2  42  32  5 .
Diện tích xung quanh của hình nón S   rl  4.5  20 .
Cho cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  3 và cơng sai d  2 . Tính u9 .
A. u9  26 .

B. u9  19 .

C. u9  16 .

D. u9  29 .

Lời giải

Chọn B
Ta có u9  u1   9  1 d  3  8.2  19 .
Câu 5.

Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
A. 20 .
B. 120 .
C. 25 .

Trang 6/23 – Diễn đàn giáo viên Toán

D. 53 .


Câu 6.

Lời giải
Chọn B
Mỗi cách sắp xếp 5 học sinh là một hốn vị của 5 phần tử.
Vậy có 5!  120 cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc.
Thể tích V của khối cầu có đường kính 6 cm là
A. V  18  cm3  .
B. V  12  cm3  .
C. V  108  cm3  .

D. V  36  cm3  .

Lời giải
Chọn D
4

4
 R 3  . .33  36  cm3  .
3
3
của hình trụ trịn xoay có bán kính đáy r và đường cao h là

Thể tích V của khối cầu có đường kính 6 cm là
Câu 7.

Diện tích xung quanh S xq
A. S xq  2 rh .

Câu 8.

C. S xq  2 r 2 h .

B. S xq   rh .

D. S xq   r 2 h .

Lời giải
Chọn A
Theo cơng thức tính diện tích xung quanh của hình trụ ta có S xq  2 rl  2 rh (Do h  l ).

Tìm tọa độ véc tơ AB biết A 1; 2;  3 , B  3;5; 2 




A. AB   2;3;  5  .

B. AB   2 ;3;5  .
C. AB   2;  3;  5 . D. AB   2;  3;5  .
Lời giải
Chọn B

Ta có AB   3  1;5  2; 2  3   2;3;5  .

Câu 9.

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f  x   3 x 2 .

 f  x  dx  6 x  C .
C.  f  x  dx  x  C .

 f  x  dx  x  C .
1
D.  f  x  dx  x  C .
3

A.

B.

3

3

Lời giải
Chọn C
Ta có

1

 f  x  dx   3x dx  3. 3 x
2

3

 C  x3  C .

1
Câu 10. Tìm tập nghiệm S của phương trình 32 x1  .
3
A. S  0; 1 .
B. S  1 .
C. S  0;1 .
Lời giải
Chọn B
1
Ta có 32 x 1   32 x 1  31  2 x  1  1  x  1 .
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  1 .

D. S  1 .

Câu 11. Cho khối nón có bán kính hình trịn đáy, độ dài đường cao và độ dài đường sinh lần lượt là r , h, l .
Thể tích V của khối nón đó là:
1
1 2
A. V   rl .

B. V   rlh .
C. V   r 2 h .
D. V   r h .
3
3
Lời giải
Chọn D
Câu 12. Cho hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c có đồ thị hình dưới đây. Hỏ phương trình 2 f  x   1 có
bao nhiêu nghiệm?

Trang 7/23 - WordToan


A. 2 .

B. 1.

C. 3 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn A
1
Ta có 2 f  x   1  f  x    .
2
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  với đường thẳng
1
y .
2

Phương trình 2 f  x   1 có 2 nghiệm.
Câu 13. Cho hàm số y  f  x   ax 4  bx 2  c có đồ thị hình dưới đây. Hỏi phương trình 2 f  x   1 có
bao nhiêu nghiệm?

A. 2 .

B. 1.

C. 3 .

D. 0 .

Lời giải
Chọn A

1
.
2
Suy ra số nghiệm của phương trình 2 f  x   1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và

Ta có: 2 f  x   1  f  x  

đường thẳng y 

1
.
2

Dựa vào hình vẽ trên, suy ra phương trình 2 f  x   1 có 2 nghiệm.

Câu 14. Nghiệm của phương trình log 2  x  1  3 là:
A. x  7 .

B. x  2 .

C. x  2 .
Lời giải

Chọn A
Trang 8/23 – Diễn đàn giáo viên Toán

D. x  8 .


ĐKXĐ: x  1  0  x  1 .
Ta có: log 2  x  1  3  x  1  23  8  x  7 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nghiệm của phương trình log 2  x  1  3 là x  7 .
Câu 15. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và có bảng biến thiên như sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
A.  2;4  .
B.  1;   .
C.  ; 1 .

D.  1;3 .

Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên  ; 1 và  3;  ; hàm số nghịch biến
trên  1;3

Câu 16. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f 'x   ln x  1  e x  2019   x  1 trên khoảng  0;  . Hỏi
hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2 .

B. 3 .

C. 0 .

D. 1.

Lời giải
Chọn A
Tập xác định: D   0;   .

f 'x   0  ln x  1  e x  2019   x  1  0

1

x    0;  

ln
x

1

0
ln
x



1


e

 x
 x
 e  2019  0   e  2019   x  ln 2019   0;  

x 1  0
 x  1


 x  1   0;  

Bảng biến thiên

1
Hàm số đạt cực đại tại x  . Đạt cực tiểu tại x  ln 2019
e
Vậy trên khoảng  0;  thì hàm số y  f  x  có 2 điểm cực trị.

Câu 17. Cho hàm số bậc bốn y  f  x   ax 4  bx 2  c có đồ thị sau

Giá trị cực đại của hàm số là
Trang 9/23 - WordToan


A. 2 .

B. 1 .

C. 0 .

D. 1.

Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị, nhận thấy hàm số đạt cực đại tại x  0 và yCD  1 .
Câu 18. Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:
1
1
A. V  B 2 h .
B. V  B 2 h .
C. V  Bh .
D. V  Bh .
3
3
Lời giải
Chọn C
Khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h có thể tích là V  Bh .
Câu 19. Thể tích của khối hộp chữ nhật có kích thước 1, 2,3 là:
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn D
Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là:

V  1.2.3  6 .
Câu 20. Tìm tập xác định D của hàm số y  ln x 2  3x  2
A. D  (1;2) .

B. D   2;   .

C. D   ;1 .

D. D   ;1   2;   .
Lời giải

Chọn D
x  2
Điều kiện: x 2  3 x  2  0  
x  1
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: D   ;1   2;  
Câu 21. Cho khối chóp S . ABC có tam giác ABC vng tại B , AB  3, BC  3, SA   ABC  và góc giữa
SC với đáy bằng 450 . Thể tích của khối chóp S. ABC bằng

A.

3.

C. 3 .

B. 2 3 .

D. 6 .

Lời giải

Chọn C

  450 .
Ta có góc giữa SC với đáy là SCA

Tam giác ABC vuông tại B  AC  AB 2  BC 2  2 3 ,
 2 3,
SAC vuông tại A suy ra SA  AC.tan SCA
1 1
VS . ABC  . .BA.BC.SA  3 .
3 2
Câu 22. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  xe x tại điểm thuộc đồ thị tại điểm có hồnh độ
x0  1 .
Trang 10/23 – Diễn đàn giáo viên Toán


A. y  e(2 x  1) .

B. y  e(2 x  1) .
C. y  2 x  e .
Lời giải

D. y  2 x  e .

Chọn A
Ta có x0  1  y0  e ,
y  e x ( x  1)  y(1)  2e .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là y  2e( x  1)  e  y  e(2 x  1) .
Câu 23. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có tất cả các cạnh bằng a . Khối trụ trịn xoay có hai
đường tròn đáy ngoại tiếp hai tam giác đều ABC và AB C  có thể tích bằng

A.

 a3 3
3

.

B.

 a3
9

C.  a 3 .

.

D.

 a3
3

.

Lời giải
Chọn D

2 a 3 a 3

Bán kính đường trịn ngọai tiếp tam giác đều ABC là: R  .

.
3 2
3
Bán kính đường trịn đáy ngoại tiếp tam giác đều ABC và AB C  chính là bán kính đáy khối trụ:
2

a 3
a 3
 a3
R
. Thể tích khối trụ trịn xoay cần tìm: V   R 2 h   . 
.
.
a


 3 
3
3


Câu 24. Biết

 f  x  dx  x

2

1

 C . Tính

 f  2 x  dx

 f  2 x  dx  2 x  C .
C.  f  2 x  dx  2 x  C .
A.

1

 f  2x  dx  4 x  C .
D.  f  2 x  dx  4 x  C .

2

B.

2

2

2

Lời giải
Chọn C
Ta có:  f  x  dx  x 2  C  f  x   2 x .
Suy ra:

 f  2 x  dx   2.2 xdx  2x

2

C .

Câu 25. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y   x 3  3 x 2  mx  2 có cực đại và cực tiểu?
A. m  3 .
B. m  3 .
C. m  3 .
D. m  3 .
Lời giải
Chọn B
Ta có y  3 x 2  6 x  m . Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y   0 có hai nghiệm phân
biệt    0  9  3m  0  m  3 .
Câu 26. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

2  3

x



m 2 3

A. T  5 .



x

 1 có hai nghiệm phân biệt là khoảng  a; b  . Tính T  3a  8b .

C. T  2 .

B. T  7 .

D. T  1 .

Lời giải
Chọn C





x

Đặt t  2  3 , t  0 , khi đó x  log 2 3 t và mỗi t  0 cho ta đúng một nghiệm x .
 
m
Phương trình đã cho được viết lại t   1  0  t 2  t  m  0 (*) . Bài toán trở thành tìm m để
t
phương trình * có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 .
  0
1  4m  0
1
1

  P  t1t2  0  
 0  m  . Suy ra: a  0; b  .
4
4

m  0
S  t  t  0

1
2
Vậy T  3a  8b  2 .
Trang 11/23 - WordToan


Câu 27. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x )  2 x  cos 2 x.
1
1
A. x 2  sin 2 x  C .
B. x 2  sin 2 x  C . C. x 2  sin 2 x  C .
D. x 2  sin 2 x  C .
2
2
Lời giải
Chọn B
1
Ta có:   2 x  cos 2 x  dx   2 xdx   cos 2 xdx  x 2  sin 2 x  C .
2
Câu 28. Cho khối chóp S . ABC có SA  ( ABC ) , SA  a, tam giác ABC đều có cạnh 2a . Tính thể tích
khối chóp S . ABC .
a3 3
a3 3
a3 3
A. a 3 3 .
B.
.

C.
.
D.
.
3
2
6
Lời giải
Chọn B
S

C

A

B

3
2
  2a   a 2 3
4

Ta có: SABC 

1
1
a3 3
VS . ABC  S ABC .SA  a 2 3.a 
.
3

3
3
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD. AB C D  . Tìm tọa độ đỉnh A biết tọa độ các điểm
A  0; 0; 0  ; B 1; 0; 0  ; C 1; 2;0  ; D   1;3;5  .

A. A 1; 1;5  .

B. A 1;1;5  .

C. A  1; 1;5  .

D. A  1;1;5  .

Lời giải
Chọn D
 
 
Hình hộp ABCD. AB C D   AD  BC và AA  DD
 xD  xA  xC  xB
 xD  0  1  1
 xD  0
 



 AD  BC   y D  y A  yC  y B   yD  0  2  0   yD  2
z  z  z  z
z  0  0  0
z  0
 D

A
C
B
 D
 D
x

x

x

x
x

0


1

0
 A
 A
 x A  1
A
D
D
 




 AA  DD   y A  y A  yD  y D   y A  0  3  2   y A  1
z  z  z  z
z  0  5  0
z  5
D
D
 A A
 A
 A
Vậy A  1;1;5  .
Câu 30. Đồ thị hàm số y 
A. 4 .

9x  1
2020  x 2
B. 1 .

có bao nhiêu đường tiệm cận?
C. 2 .
Lời giải

Chọn C
Hàm số y 

9x 1
2020  x 2

Trang 12/23 – Diễn đàn giáo viên Toán

D. 3 .



TXĐ: D   2020; 2020
Ta có:



lim

x   2020





y   ;
x



lim  y  
 2020 

 đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x   2020 và x  2020
9x 1
Vậy đồ thị hàm số y 
có 2 đường tiệm cận.
2020  x 2

Câu 31. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 4  20 x2 trên đoạn [  1;10] là
A. 100 .

B. 100 .

C.10 10 .

D. 10 10 .

Lời giải
Chọn A
Xét hàm số y  x 4  20 x2 liên tục trên [  1;10] và có

x  0

y   4 x 3  40 x  4 x  x 2  10  nên y  0  4 x  x  10   0   x  10
.

 x   10  L 
Mà y  1  1 , y  0   0 , y 10  100 nên giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 4  20 x 2 trên
2

 

đoạn [  1;10] là 100 .
Câu 32. Cho khối lăng trụ đứng ABCA ' B ' C ' có tam giác ABC vuông cân tại B và AA '  AB  a . Gọi
M , N lần lượt là trung điểm hai cạnh AA ' và BB ' . Tính thể tích khối đa diện ABCMNC ' theo
a.
a3
a3

a3 2
a3 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
3
6
3
6
Lời giải
Chọn C

1
a2
Diện tích đáy là: S ABC  .a.a 
.
2
2

a2
a3
.a 
V .
2
2

Gọi P là trung điểm cạnh CC ' ta có
2
2 1  2
2 a3 a3
VABCMNC '  V  VA ' B 'C ' MN  V  .VA ' B ' C ' MNP  V  .  V   V  .  .
3
3 2  3
3 2
3

Thể tích khối lăng trụ là: VABCA ' B 'C ' 

 9 là  a; b  . Tính T  a  b .
C. T  3 .
D. T  1 .
Lời giải

Câu 33. Biết tập nghiệm của bất phương trình 3x
B. T  1 .

A. T  3 .

2

x

Chọn B
Ta có: 3x

2

x

 9  3x

2

x

 32  x 2  x  2  x 2  x  2  0  x   1; 2  .
Trang 13/23 - WordToan


Vậy T  a  b  1  2  1 .
Câu 34. Cho khối tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng
bên và mặt đáy?
A. 60o .

B. 30o .

C. 45o .

a3
. Tính góc giữa cạnh
4 3
D. arctan  2  .

Lời giải
Chọn A

Gọi M , G lần lượt là trung điểm của BC và trọng tâm ABC .
Do S . ABC là khối chóp tam giác đều nên hình chiếu của S lên  ABC  là trọng tâm ABC .
Suy ra SG   ABC  .

.
Khi đó góc giữa cạnh bên và mặt đáy là SAG
a 3
2
2 a 3 a 3
a2 3

; AG  AM  .
; SABC 
.
2
3
3 2
3
4
a3
1
a3
1
a2 3
a3
 .SG.SABC 
 .SG.

 SG  a .
Theo đề bài: VS . ABC 

3
3
4
4 3
4 3
4 3
  SG  a  3  SAG
  60o .
Trong SAG vng tại G ta có: tan SAG
AG a 3
3
o
Câu 35. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5 và góc ở đỉnh bằng 90 . Diện tích xung quanh của hình nón
đã cho bằng
Ta có: AM 

A. 25 2 .
C. 5 5 .

B. 5 10 .
D. 10 5 .
Lời giải

Chọn A

o
  45o , Suy ra SOA vuông cân tại O . Khi đó
Hình nón có góc ở đỉnh bằng 90 nên OSA

h  r  5, l  h 2  r 2  52  52  5 2.

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là S xq   .r.l   .5.5 2  25 2 .
Trang 14/23 – Diễn đàn giáo viên Toán


Câu 36. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường trịn
đáy là đường trịn nội tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện đều
ABCD .
B. S xq  8 2 .

A. S xq  8 3 .

C. S xq 

16 3 .

3

D. S xq 

16 2
.
3

Lời giải
Chọn D

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD .
Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD . Khi đó HI 

2 3

4 3
.
, BH 
3
3

Gọi H là trọng tâm của tam giác đều BCD nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD
Và HI là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác BCD . Suy ra bán kính đường trịn đáy của hình
trụ là r  HI 

2 3
.
3

Tứ diện ABCD đều nên AH  ( BCD )  H . Suy ra AH là chiều cao của khối tứ diện.
Áp dụng định lý py – ta – go vào tam giác AHB vng tại H ta có
2

 4 3  32
4 6
.
AB 2  AH 2  BH 2  AH 2  AB 2  BH 2  42  
 AH 
 
3
3
3


4 6

Vậy chiều cao của hình trụ là h  AH 
. Suy ra độ dài đường sinh của hình trụ là
3
4 6
2 3 4 6 16 2
. Diện tích xung quang của hình trụ là S xq  2 rl  2 .
l
.

.
3
3
3
3





Câu 37. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x    x  1 x 2  2 x , với mọi x  R. Có bao nhiêu giá trị
2

nguyên dương của tham số m để hàm số y  f  x  8 x  m  có 5 điểm cực trị?
2

A. 18.

B. 16.

C. 17.

Lời giải

D. 15

Chọn D
Ta có y '   2 x  8  f '  x 2  8 x  m  . Hàm số y  f  x 2  8 x  m  có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi
phương trình f '  x 2  8 x  m   0 có bốn nghiệm phân biệt khác 4. Mà f '  x   0 có hai nghiệm

Trang 15/23 - WordToan


 x2  8x  m  0
 x2  8x  m  0
đơn là x  0 và x  2 nên f '  x 2  8 x  m   0   2
có bốn
 2
 x  8x  m  2
 x  8x  m  2  0
 '  16  m  0
m  16
16  32  m  0
m  16


nghiệm phân biệt khác 4 khi và chỉ khi 
 m  16 .

 '  16  m  2  0
m  18
16  32  m  2  0

m  18
Kết hợp điều kiện m nguyên dương nên có 15 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài ra.
1
Câu 38. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y  x 3  mx  2 đồng biến trên
5x
khoảng  0;   ?

A. 0.

B. 4.

C. 5.
Lời giải

D. 3.

Chọn A
1
đồng biến trên khoảng  0;   khi và chỉ khi
5x2
2
2
2 

y '  3 x 2  m  3  0 x  0  m  3 x 2  3 x  0  m  max  3 x 2  3  mà
0;



5x

5x
5x 

2
 3 x 2  3  0 x  0 nên khơng có giá trị nguyên âm nào của tham số m để thỏa mãn bài ra.
5x
Câu 39. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Lấy N , M là trung điểm của AB và AC . Tính khoảng cách d
giữa CN và DM .

Hàm số y  x 3  mx 

A. d  a

3
.
2

B. d 

a 10
.
10

C. d 

a 3
.
2

D. d 

a 70
.
35

Lời giải
Chọn D

Gọi P là trung điểm của AN  MP // CN , MP   DMP   CN //  DMP 

 d  CN , DM   d  CN ,  DMP    d  N ,  DMP    d  A,  DMP   .
a3 2
.
12
1
a3 2
.
 VA.DBC 
8
96

Ta có ABCD là tứ diện đều cạnh a  VABCD 
Ta có

VA. DMP AP AM 1

.
  VA. DMP
VA.DBC AB AC 8

a 3
.
2
a 3
1
a 3
Tam giác ABC đều cạnh a , có N là trung điểm của AB  CN 
.
 MP  CN 
2
2
4

Tam giác ACD đều cạnh a , có M là trung điểm của AC  DM 

Trang 16/23 – Diễn đàn giáo viên Toán


a
  60
, AD  a, PAD
4
  a 13 .
AD 2  AP 2  2 AD. AP.cos PAD
4

Tam giác ADP , có AP 
 DP 

Đặt p 

DM  DP  MP a

2

 S DMP 



13  3 3



8

p  p  DM  p  DP  p  MP  

a 2 35
32

3V
1
Lại có VA. DMP  S DMP .d  A,  DMP    d  A,  DMP    A. DMP
3
S DMP
Vậy d  CN , DM  

a3 2
a 70
.

 2 96 
35
a 35
32
3.

a 70
.
35

Câu 40. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x 
A.

82
.
9

B.

80
.
9

C. 9 .

2
bằng
3

D. 0 .

Lời giải
Chọn A
Điều kiện: x  0 .
2
1
2
4

 log 3 x  
3
2.3.4
3
x  9
log 3 x  2
4
(thỏa mãn điều kiện).
  log 3 x   16  

x  1
log
x


2
 3
9

82
Vậy tổng các nghiệm bằng

.
9
Câu 41. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. ABC  có cạnh đáy bằng a .Trên các tia AA, BB, CC  lần lượt lấy
a
3a
A1 , B1 , C1 cách mặt phẳng đáy  ABC  một khoảng lần lượt là , a, . Tính góc giữa hai mặt
2
2
phẳng  ABC  và  A1 B1C1  .

Ta có log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x 

A. 60 .

B. 90 .

C. 45 .

D. 30 .

Lời giải
Chọn C

Từ B1 dựng mặt phẳng song song với  ABC  cắt AA và CC  tại A2 , C 2 .
Trang 17/23 - WordToan


Ta có A1 A2  BB1  AA1 
B1C1 

a
 A1 B1 
2

A1 A2 2  A2 B1  a 2 

a2 a 5
, tương tự

4
2

a 5
, A1C1  a 2 . Vậy tam giác A1 B1C1 cân tại B1 .
2

Khi đó đường cao ứng với đỉnh B1 của tam giác A1 B1C1 là

B1C12 

A1C12 a 3

4
2

a2 6
a2 3
, mặt khác tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A1 B1C1 trên
; S ABC 
4

4
mặt phẳng  ABC  .
S A1B1C1 

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  A1 B1C1  .
Ta có cos  

S ABC
2

   45.
S A1B1C1
2

Câu 42. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y  x 3   a  10  x 2  x  1 cắt trục hoành
tại đúng một điểm?
A. 10 .

C. 11.

B. 8 .

D. 9 .

Lời giải
Chọn A
Xét phương trình hồnh độ giao điểm x 3   a  10  x 2  x  1  0 1  x3  10 x 2  x  1   ax 2 ,
Nhận thấy x  0 không phải là nghiệm của phương trình nên
x3  10 x 2  x  1
x3   a  10  x 2  x  1  0 1 

a,
 x2

2
x3  10 x 2  x  1
 x3  x  2   x  x  2   x  1
 f  x 

Xét hàm số f  x  
 x2
x3
x3

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có một nghiệm khi a  11 suy ra a  10; 9;...; 1
Câu 43. Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn1  Cn2  55 , số hạng không chứa x trong khai triển của
n

2 

biểu thức  x 3  2  bằng
x 

A. 80640 .
B. 13440 .

C. 322560 .
Lời giải

Chọn B
*) Xét phương trình Cn1  Cn2  55

n  
Điều kiện 
.
n  2

Cn1  Cn2  55 
 n

n  n  1

n!
n!

 55
 n  1!  n  2 !2!

 55
2
 n 2  n  110  0
Trang 18/23 – Diễn đàn giáo viên Toán

D. 3360 .


 n  11

 n  10
n

10

2  
2 

Với điều kiện n  2 ta chỉ chọn n  10 , khi đó  x 3  2    x 3  2 
x  
x 

10

2k
2 

*) Số hạng tổng quát trong khai triển  x3  2  là: C10k x 310 k  . 2 k  C10k .2k .x 305k .
x
x 

Số hạng không chứa x ứng với 30  5k  0  k  6 .
Số hạng cần tìm là C106 26  13440 .

Câu 44. Gọi a là số thực lớn nhất để bất phương trình x 2  x  2  a ln  x 2  x  1  0 nghiệm đúng với
mọi x   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a   6;7 .
B. a   2;3 .

C. a   6; 5 .

D. a   8;   .

Lời giải

Chọn A
Với a  0 có x 2  x  2  a ln  x 2  x  1  0  x 2  x  2  0, x   suy ra a  0 thỏa mãn.
Vậy ta chỉ cần tìm các giá trị a  0 .
3
Đặt t  x 2  x  1 , có t  .
4
Bất phương trình đưa về tìm a  0 để t  1  a ln t  0, t 
Đặt f  t   t  1  a ln t có f   t   1 

3
.
4

a
3
 0, a  0, t  .
t
4

Bảng biến thiên

7
3
7
3
 6, 08  a   6;7 .
khi và chỉ khi  a ln  0  a 
3
4
4

4
4ln
4
x
Câu 45. Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình a  9 x  1 nghiệm đúng với mọi x   . Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A. a  0;102  .
B. a  102 ;103  .
C. a  104 ;   .
D. a  103 ;104  .
Có f  t   0, t 











Lời giải
Chọn D
Xét hàm số y  a x có tiếp tuyến tại điểm M  0;1 là đường thẳng y  x ln a  1 .
Đường thẳng y  9 x  1 cũng đi qua điểm M .
Đồ thị hàm y  a x có bề lõm quay lên trên nên ta có a x  x ln a  1; x  .

Từ giả thiết a x  9 x  1 với mọi x   nên ta có ln a  9  a  e9  103 ;104  .
Câu 46. Giả sử a , b là các số thực sao cho x3  y 3  a.103 z  b.102 z đúng với mọi số thực dương x, y , z

thỏa mãn log  x  y   z và log  x 2  y 2   z  1 . Giá trị của a  b bằng
A.

31
.
2

B.

29
.
2

C. 

31
.
2

D. 

25
.
2

Trang 19/23 - WordToan


Lời giải
Chọn B

Từ giả thiết:
z
log  x  y   z
1
102 z  10 z 1
 x  y  10
2
2
2 


xy

x

y

x

y

.





 2
2
2

2
z 1
2
2
log  x  y   z  1  x  y  10
1
Khi đó: x 3  y 3   x  y   x 2  y 2  xy    .103 z  15.10 2 z  a.103 z  b.102 z .
2
1
29
Vậy a   ; b  15  a  b 
.
2
2
Câu 47. Cho một mơ hình tứ diện đều ABCD cạnh 1 và vịng trịn thép có bán kính R . Hỏi có thể cho mơ
hình tứ diện trên đi qua vịng trịn đó (bỏ qua bề dày của vịng trịn) thì bán kính R nhỏ nhất gần
với số nào trong các số sau?
A. 0, 461 .
B. 0, 441 .
C. 0, 468 .
D. 0, 448 .
Lời giải
Chọn D

Gọi tứ diện đều là ABCD , rõ ràng nếu bán kính R của vịng thép bằng bán kính của đường trịn
ngoại tiếp tam giác ABD ta có thể cho mơ hình tứ diện đi qua được vịng trịn, do đó ta chỉ cần xét
các vịng trịn có bán kính khơng lớn hơn bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD .
Đưa đỉnh C qua vòng thép và đặt đỉnh A lên vòng thép, giả sử vòng thép tiếp xúc với hai cạnh
BC và CD lần lượt tại M và N , có thể thấy trong trường hợp này ta ln đưa được mơ hình tứ
diện qua vòng thép bằng cách cho đỉnh A đi qua trước rồi đổi sang các đỉnh B hoặc D .

Do vậy để tìm vịng thép có bán kính nhỏ nhất ta chỉ cần tìm các điểm M , N lần lượt trên các
cạnh BC , CD sao cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN nhỏ nhất.
Do tính đối xứng của hình ta chỉ cần xét với tam giác AMN cân tại A .
Đặt CM  x ,  0  x  1 , ta có MN  CM  CN  x .
1
AM 2  CM 2  CA2  2CM .CA.cos 60  x 2  1  2 x.  x 2  x  1  AM  x 2  x  1
2

AN  AM  x 2  x  1 .

2
2
AM 2  AN 2  MN 2 2  x  x  1  x
x2  2x  2

Ta có cos MAN 


2 AM . AN
2  x 2  x  1
2  x 2  x  1

 x2  2x  2 
x 2  3x2  4 x  4

 
sin MAN  1  
 2  x 2  x  1 
2  x 2  x  1



Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN là
2

Trang 20/23 – Diễn đàn giáo viên Toán


MN
x2  x  1


2sin MAN
3x 2  4 x  4
trên khoảng  0;1 .

RAMN 

R chính là giá trị nhỏ nhất của R AMN
Xét f  x  

x2  x  1
3x 2  4 x  4

, x   0;1 , sử dụng Casio ta được giá trị nhỏ nhất gần đùng của f  x  là

0.4478 .
Vậy giá trị nhỏ nhất mà R có thể nhận được gần với 0.448 .

Câu 48. Cho phương trình sin 2 x  cos 2 x  sin x  cos x  2 cos 2 x  m  m  0 . Có bao nhiêu giá trị
ngun của tham số m để phương trình có nghiệm thực?

A. 9.
B. 2.
C. 3.

D. 5.

Lời giải
Chọn C
Ta có
sin 2 x  cos 2 x  sin x  cos x  2 cos 2 x  m  m  0
 sin 2 x  1  sin x  cos x  1  cos 2 x  2 cos 2 x  m  m
2

 sin x  cos x  sin x  cos x  2 cos 2 x  m  2 cos 2 x  m (1)

Xét hàm f  t   t 2  t đồng biến trên  0;    .
Ta có phương trình (1) được viết lại f  sin x  cos x   f
Vì f  t   t 2  t đồng biến trên  0;    nên





2 cos 2  m .

(1)  sin x  cos x  2 cos 2 x  m

 sin 2 x  cos 2 x  m (2)
Suy ra phương trinh đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi (2) có nghiệm thực.
(2) có nghiệm thực khi và chỉ khi m    2; 2  .

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán m 1;0;1
Câu 49. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  1;3 . Bảng biến thiên của hàm số y  f   x 
 x
được cho như hình vẽ sau. Hàm số y  f  1    x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
 2

A.  4; 2  .

B.  2; 0  .

C.  0; 2  .

D.  2; 4  .

Lời giải
Chọn A
 x
Xét hàm số: y  f  1    x .
 2
 x  1
Ta có: y  f  1   .     1 .
 2  2
Trang 21/23 - WordToan


 x
 x
Hàm số y  f  1    x nghịch biến khi f   1    2 *
 2
 2

Từ bảng biến thiên ta có:
x

 2  1  2  3  4  x  2.
 *  
 a  1  x  1   1  a  0   4  x  1  a .

2
2
Trong các đáp án ta chỉ có thể chọn đáp án A .
Câu 50. Một mặt cầu tâm O nằm trên mặt phẳng đáy của hình chóp tam giác đều S. ABC có tất cả các
cạnh bằng nhau, các đỉnh A, B, C thuộc mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu là 1. Tính tổng độ dài l ,
các giao tuyến của mặt cầu với các mặt bên của hình chóp thỏa mãn?
 3 
A. l  1; 2 .
B. l  2;3 2 .
C. l  3;2 .
D. l  
.
 2 ;1


Lời giải
Chọn D













S

M
N

K

C

I
O

B

D

A

Gọi D là trung điểm của đoạn AB , kẻ OI  SD , dễ dàng chứng minh được OI   SAB  .
Suy ra I là tâm đường tròn  C  giao tuyến của mặt cầu tâm O với mặt phẳng  SAB  . Gọi
M , N lần lượt là giao điểm của đường tròn  C  với SB , SA ; K là trung đểm của MB .

a 3

1 a  3 .
3
SO.OD
2
3
1

Ta có SD  CD  , OD  , SO  SC 2  OC 2  2 , OI 
,
2
2
SD
3
OD 2 1
4
ID 
 , SI  .
SD
6
3
7
Gọi r là bán kính đường trịn  C  , khi đó r  1  OI 2 
.
3
1
2
Ta có tam giác SIK vng tại K và góc ISK  30 suy ra IK  IS 
2
3
IK

2
Xét tam giác MIK có cos I 

 I  28  MIN  64
IM
7
Giả sử AB  a , theo giả thiết ta suy ra OC  1 

64 7 16 7
.

. Vậy tổng độ dài l , các giao tuyến của mặt
180 3
135
16 7
 0,94 .
cầu với các mặt bên của hình chóp là l 
45
Khi đó chiều dài cung MN bằng

Trang 22/23 – Diễn đàn giáo viên Toán