Decuongtoan7HKII

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ôn toán HKII. A.HÌNH HỌC I. LÝ THUYẾT 1. Ba trường hợp bằng nhau của hai tam giác: a. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác: ( c.c.c) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau. b.Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác( c.g.c) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau. C. Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: (g.c.g) Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng với một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau. 3. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: -Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này …. -Nếu hai cạnh của tam giác vuông này… -Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng của … -Nếu cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông này … 4. Định nghĩa tam giác cân, tính chất về góc của tam giác cân. Nêu các cách chứng minh một tam giác là tam giác cân. Định nghĩa : Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Tam giác ABC cân tại A ⇔ AB = AC Tính chất: Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Tam giác ABC cân tại A ⇒ góc B = góc C Chú ý : Ngược lại ta có tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân. Các cách chứng minh một tam giác là tam giác cân: - Chứng minh hai cạnh bằng nhau. -Chứng minh có hai góc bằng nhau. - Tam giác có hai trong 4 loại 5.Phát biểu định nghĩa tam giác đều, tính chất về góc của tam giác đều. Nêu các cách chứng minh một tam giác là tam giác đều. Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Δ ABC đều ⇔ AB = AC = CA Tính chất: Trong tam giác đều ba góc bằng nhau, mỗi góc bằng 600 Các cách chứng minh một tam giác là tam giác đều: - Chứng minh ba góc bằng nhau - Chứng minh hai góc bằng 600 - Chứng minh đó là tam giác cân và có một góc bằng 600 6.Phát biểu định lí Pitago ( thuận và đảo) -Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương các cạnh góc vuông. Δ ABC vuông tại A ⇒ BC2 = AB2 + AC2 -Trong một tam giác nếu bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông. Δ ABC có AB2 + AC2 = BC2 ⇒ góc BAC = 900 7. Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 8.Tính chất góc ngoài của tam giác: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ôn toán HKII. Giả sử AC> AB ta có AC – AB < BC< AC + AB. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.. 9.. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: a/ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn; b/Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn; c/Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai. 10.. 9.. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ôn toán HKII. Với ba điểm A, B , C bất kì, luôn có : AB+AC>BC. . hoặc AB+AC=BC (điều này xảy ra <=>A nằm giữa B và C ). Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.. 11.. Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng 2 3 bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ¿❑ ❑ ấy.. 12.. Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC. Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. IK = IL = IM:. 13. Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó: OA=OB=OC Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 14.. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ôn toán HKII. Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. AI,BK,CL đồng quy tại điểm H. Điểm H là trực tâm của tam giác ABC.. 15. Tam giác ABC cân tại A<=> Hai trong bốn đường sau trùng nhau : đường trung trực của cạnh BC(cạnh đáy), đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác cùng xuất phát từ đỉnh A (từ đó, cả bốn đường trùng nhau). Nếu tam giác ABC đều thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh và điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau. Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy của tam giác cân. Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường(đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 17. II. ĐẠI SỐ 1.Thu thập số liệu thống kê. a.Dấu hiệu: Là vấn đề hay hiện tượng mà người điều tra quan tâm tìm hiểu( thường được kí hiệu bằng các chữ in hoa X, Y, …) b. Số liệu thống kê: Là các số liệu thu thập được khi điều tra về một dấu hiệu. Mỗi số liệu là một giá trị của dấu hiệu. c.Số các giá trị của dấu hiệu ( không nhất thiết khác nhau) bằng số đơn vị điều tra thường được kí hiệu là N. c. Tần số : Là số lần xuất hiện của một giá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu. Giá trị dấu hiệu thường được kí hiệu là x, tần số kí hiệu là n d. Bảng tần số: Thường là khung hình chữ nhật gồm: + Dòng trên ghi các giá trị khác nhau của dấu hiệu +Dòng dưới ghi các tần số tương ứng với mỗi giá trị đó. + Sau khi lập bảng tần số trong đó nêu rõ các giá trị khác nhau của dấu hiệu là các tần số tương ứng với các giá trị đó và rút ra nhận xét : - Số các giá trị của dấu hiệu - Số các giá trị khác nhau -Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất - Các giá trị thuộc khoảng nào là chủ yếu vv… Ví dụ: Dấu hiệu: số điểm đạt được sau mỗi lần bắn của một xạ thủ. - Xạ thủ bắn: 30 phút. Bảng tần số: 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ôn toán HKII. Số điểm (x) 7 8 9 10 Số lần bắn (n) 3 9 10 8 N Nhận xét: - Điểm số thấp nhất là 7 - Điểm số cao nhất là 10 -Số điểm 8 và 9 chiếm tỉ lệ cao. e. Biểu đồ: + Biểu đồ đoạn thẳng: Hệ trục toạ độ, trục hoành biểu diễn các giá trị x, trục tung biểu diễn tần số n +Biểu đồ hình chữ nhật +Biểu đồ hình quạt. Ví dụ: x n. 28 2. 30 8. 35 7. 50 3. ?.. Biểu đồ vừa dựng trên được gọi là biểu đồ đoạn thẳng.. Biểu đồ đánh giá xếp loại học lực của lớp 6A.. f. Số trung bình cộng của dấu hiệu, kí hiệu là Ví dụ: Bảng thống kê số điểm của lớp 7C là: Điểm Tần số Các (x) (n) tích (x.n) 2 3 6 3 2 6 4 3 12 5 3 15 6 8 48 7 9 63 8 9 72. X. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ôn toán HKII. 9 10. 2 1. 18 10. N = 40. Tổng: 150. X. 250 6,25 40. *Nhận xét. Ta có X 6,25 là điểm trung bình của lớp 7C. và số 6,25 gọi là số trung bình cộng. Kí hiệu: X. X * Công thức.. X. x1.n1  x 2 .n 2  ...  x k .n k n1  n 2  ...  n k. x1.n1  x 2 .n 2  ...  x k .n k N. hay : Trong đó:x1 ; x2 ; … ; xk là các giá trị khác nhau của dấu hiệu X có tần số tương ứng là n1 ; n2 ; … ; nk Ýnghĩa của số trung bình cộng: Số trung bình cộng thường được dùng làm đại diện cho dấu hiệu, đặc biệt là khi muốn so sánh các dấu hiệu cùng loại *Chú ý : - Khi các giá trị của dấu hiệu có khoảng cách chênh lệch rất lớn đối với nhau thì không nên lấy số trung bình cộng là đại diện cho dấu hiệu đó. - Số trung bình cộng có thể không thuộc dãy giá trị của dấu hiệu. Ví dụ : Không thể lấy số trung bình cộng để đại diện cho các dãy giá trị : 4000 ; 1000 ; 500 ; 100. 3. Mốt của dấu hiệu Ví dụ :. Cho bảng thống kê một của một cửa hàng bán dép. Cỡ dép (x) 36 37 38 39 40 Số dép 13 45 110 185 126 bán được (n) * Nhận xét. Cỡ dép 39 bán được nhiều nhất : 185 chiếc. Do đó, ta nói giá trị 39 với tần số lớn nhất là 185 được gọi là mốt. Vậy : Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số . Kí hiệu : M0. Ví dụ : M0 = 39. 2.Biểu thức đại số: Trong toán học, vật lí… ta thường gặp những biểu thức mà trong đó ngoài các số, các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ (đại diện cho các số), người ta gọi những biểu thức như vậy là biểu thức đại số. Ví dụ: 1 150 Các biểu thức: 4x ; 2.(5 + a) ; 3.(x + y) ; x2 ; xy ; t ; x  0,5 là những biểu thức đại số. Để cho gọn, khi viết các biểu thức đại số ta thường: - Không viết dấu nhân giữa các chữ, giữa số và chữ. - Không viết thừa số 1 trong một tích. - Thừa số (-1) được thay bằng bằng dấu (-). a. Biến : Trong biểu thức đại số, chữ đại diện cho một số tùy ý nào đó được gọi là biến số (còn gọi tắt là biến). Biểu thức a + 2; a(a + 2) có a là biến. Biểu thức 5x + 35y có x và y là biến. b.Chú ý :. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ôn toán HKII. Trong biểu thức đại số: -Người ta cũng dùng các dấu ngoặc để chỉ thứ tự thực hiện các phép tính. -Khi thực hiện các phép toán trên chữ, ta có thể áp dụng những tính chất, quy tắc phép toán như trên các số (vì chữ đại diện cho số). -Các biểu thức đại số có chứa biến ở mẫu chưa được xét đến trong chương này. 3/ Giá trị của biểu thức đại số: a. Khái niệm: Để tính giá trị của một biểu thức đại số tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính. b. Áp dụng: 2 Ví dụ: Thay x = 1 vào biểu thức 3x  9 x ta có 3.12  9.1 = 3  9  6 1 2 Thay x = 3 vào biểu thức 3x  9 x 2. 1 1 1 2 3    9.  3  2 3 = 3  2 3 4/ Đơn thức: a. Khái niệm: là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến. Chú ý Số 0 được gọi là đơn thức không 2.Đơn thức thu gọn: là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Chú ý: Ta coi một số là đơn thức thu gọn. Những đơn thức thu gọn là: 4 xy 2 ; 2 x 2 y ;  2 y ; 5; x ; y 2. b.Bậc của đơn thức: 5 3 Đơn thức 2x y z là đơn thức thu gọn 5 3 2 là hệ số. x y z là phần biến. Số mũ của x là 5; của y là 3; của z là 1. Tổng các số mũ của các biến là 5 + 3 + 1 = 9 Ta nói 9 là bậc của đơn thức đã cho. Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó 4 Chú ý: *Số thực khác 0 là đơn thức bậc không. Ví dụ 12; 3 … *Số 0 được coi là một đơn thức không có bậc c. Nhân hai đơn thức: 2 7 4 6 A.B = (3 .16 ).(3 .16 ) 2 4 7 6 6 13 = (3 .3 ).(16 .16 ) 3 .16 2 4 2 4 3 5 VD: (2 x y ).(9 xy ) (2.9).( x .x).( y. y ) 18x y. Muốn nhân hai đơn thức ta nhân hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau. 5/ Đơn thức đồng dạng: a.Khái niệm: là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. Chú ý: Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng. 3  ; VD: -5; 5 0, 5 là các đơn thức đồng dạng. b.Cộng trừ các đơn thức dồng dạng: Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến. Ví dụ:. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ôn toán HKII. *. xy 2  ( 2 xy 2 )  8 xy 2 = (1  2  8) x 2 7 xy 2. 5ab  7ab  4ab (5  7  4)ab  6ab * Khi nào số a được gọi là nghiệm của đa thức P(x)? - Số a được gọi là nghiệm của đa thức P(x) khi P(a) = 0. 6/ Đa thức : a. Khái niệm: Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. Để cho gọn ta có thể kí hiệu đa thức bằng các chữ cái in hoa như A, B, C, M, N, 1 A  x 2  y 2  xy 2 Ví dụ: Chú ý : Mỗi đơn thức được coi là một đa thức b.Thu gọn đa thức: Trong đa thức 1 N  x 2 y  3xy  3x 2 y  3  xy  x  5 2 2 2 Những hạng tử đồng dạng là: x y và 3x y ; -3xy và xy; -3 và 5 Thu gọn ta có 1 x2 2 Sau khi thu gọn trong đa thức đó không còn hạng tử nào đồng dạng với nhau. c.Bậc của đa thức: 2 5 4 6 Cho đa thức M  x y  xy  y  1 N  4 x 2 y  2 xy . 2 5 Hạng tử x y có bậc 7 4 Hạng tử  xy có bậc 5 6 Hạng tử y có bậc 6 Hạng tử 1 có bậc 0 2 5 Bậc cao nhất có trong các bậc đó là bậc 7 của hạng tử x y Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. 7. Cộng trừ đa thức a.Cộng đa thức VD: cho hai đa thức: M 5x 2 y  5x  3. N xyz  4x 2 y  5x . 1 2. Tính M + N. 1  M  N  5x 2 y  5x  3   xyz  4x 2 y  5x   2  1 5x 2 y  5x  3  xyz  4x 2 y  5x  2 1  5x 2 y  4x 2 y   5x  5x   xyz  ( 3  ) 2 1 x 2 y  10x  xyz  3 2 1 x 2 y  10 x  xyz  3 2 là tổng của hai đa thức M và N Ta nói đa thức: Các bước: - Bỏ dấu ngoặc. - Áp dụng t/c giao hoán và kết hợp của phép cộng.. . . . . 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ôn toán HKII. - Thu gọn các hạng tử đồng dạng. b.Trừ đa thức: Ví dụ: Cho hai đa thức. P 5x 2 y  4x 2 y  5x  3. Q xyz  4x 2 y  xy 2  5x . 1 2. Tính P – Q? Giải: 1  P  Q  5x 2 y  4x 2 y  5x  3   xyz  4x 2 y  xy 2  5x   2  1 5x 2 y  4x 2 y  5x  3  xyz  4x 2 y  xy 2  5x  2 1 9x 2 y  5xy 2  xyz  2 2 1 9x 2 y  5xy 2  xyz  2 2 là hiệu của hai đa thức P và Q Ta nói đa thức 8. Đa thức một biến a. Đa thức một biến: 1 A 5 y 2  2 y  3 là đa thức của biến y. VD:. . . B  x5  2 x  2 x3  4 x 5  3 là đa thức của biến x. * Đa thức một biến là tổng của những đơn thức có cùng một biến. 1 1 0 1  y Vì 3 3 nên 3 được coi là đơn thức của biến y.  Mỗi số được coi là một đa thức một biến.  Để chỉ rõ A là đa thức của biến y, B là đa thức của biến x , … ta viết A(y), B(x). Giá trị của A(y) tại y = -1 kí hiệu là A(-1) Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đó thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó. b. Sắp xếp một đa thức: -Phải thu gọn đa thức. -Có 2 cách sắp xếp: sắp xếp theo luỹ thừa giảm hoặc tăng của biến. 1 B ( x)   3 x  7 x 3  6 x 5 2 1 B ( x) 6 x 5  7 x 3  3 x  2 Sắp xếp:. Q( x ) 4 x3  2 x  5 x 2  2 x 3  1  2 x3 (4 x 3  2 x3  2 x 3 )  5 x 2  2 x  1 2 = 5x  2x 1 R ( x)  x 2  2 x 4  2 x  3x 4  10  x 4 (2 x 4  3 x 4  x 4 )  x 2  2 x  10  x 2  2 x  10 2 Đa thức Q (x) = 5 x  2 x  1 có hằng số (hằng) a = 5; b = -2; c = 1 2 R(x) =  x  2 x  10 có a = -1; b = 2; c = -10 c. Hệ số: 1 P ( x) 6 x5  7 x 3  3 x  2 Xét đa thức: 5 6x là hạng tử có bậc cao nhất của P (x) nên 6 gọi là hệ số cao nhất.. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ôn toán HKII. 1 2 là hệ số của luỹ thừa bậc 0 còn gọi là hệ số tự do. Chú ý: Đa thức P(x)có thể viết đầy đủ từ lũy thừa bậc cao nhất đến lũy thừa bậc 0 là : 1 P(x) = 6x5 + 0x4 + 7x3 + 0x2 + 2 9. Cộng, trừ đa thức một biến a. Cộng hai đa thức một biến: VD 1: Cho hai đa thức : P( x) 2 x 5  5 x 4  x 3  x 2  x  1 Q( x)  x 4  x 3  5 x  2 Tính P(x) + Q(x) ? Giải: Cách 1: P ( x )  Q ( x)  2 x 5  5 x 4  x 3  x 2  x  1  x 4  x3  5 x  2 5 4 4 3 3 2 = 2 x  (5 x  x )  ( x  x )  x  ( x  5 x)  ( 1  2) 5 4 2 = 2 x  4 x  x  4 x 1. Cách 2:. +. P( x) 2 x 5  5 x 4  x 3  x 2  x  1  x 4  x3. Q ( x)  5. P( x)  Q( x) 2 x  4 x. 4.  5x  2 2.  x  4 x 1. b.Trừ hai đa thức một biến: Ví dụ 2: Tính P (x) – Q(x) với P(x) và Q(x) VD 1 Giải: Cách 1: P( x)  Q( x) (2 x 5  5 x 4  x 3  x 2  x  1)  ( x 4  x 3  5 x  2) 2 x 5  5 x 4  x 3  x 2  x  1  x 4  x3  5x  2 5 4 4 3 3 2 = 2 x  (5 x  x )  ( x  x )  x  (  x  5 x)  (  1  2). P( x)  Q( x) 2 x 5  6 x 4  2 x 3  x 2  6 x  3 Cách 2: 5 4 3 2 _ P( x) 2 x  5 x  x  x  x  1 Q ( x) .  x 4  x3.  5x  2. P( x)  Q( x) 2 x 5  6 x 4  2 x 3  x 2  6 x  3 4 3 P(x) - Q( x ) x  x  5 x  2 Lưu ý : + Khi thu gọn cần đồng thời sắp xếp đa thức theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến. + Khi cộng trừ các đơn thức đồng dạng chỉ cộng trừ các hệ số, phần biến giữ nguyên. + Khi lấy đa thức đối của một đa thức phải lấy đối tất cả các hạng tử của đa thức. IX/ Nghiệm của đa thức một biến 1. Khái niệm: Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a ( hoặc x = a ) là một nghiệm của đa thức đó.. ÔN TẬP Bài 58. 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ôn toán HKII. •. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau tại: x=1 ; y = -1 ; z = -2 a/ 2xy(5x2y + 3x - z) b/ xy2 + y2z3 + z3x4 Đáp số: a) 2.1.(-1)[5.12.(-1) + 3.1 – (-2)] = -2.[-5+3+2] = 0 b) 1.(-1)2 +(-1)2.13 +13.(-2)4 =1 + 1+16 = 18 Bài 60: • Có hai vòi nước: vòi thứ nhất chảy vào bể A, vòi thứ hai chảy vào bể B. Bể A đã có sẵn 100 lít nước. Bể B chưa có nước. Mỗi phút vòi thứ nhất chảy được 30 lít, vòi thứ hai chảy được 40 lít. a) Tính lượng nước có trong mỗi bể sau thời gian 1, 2, 3, 4, 10 phút rồi điền kết quả vào bảng sau (giả thiết bể đủ lớn để chứa nước) b) Viết biểu thức đại số biểu thị số lít nước trong mỗi bể sau thời gian x phút. • b) -Số lít nước trong bể A sau x phút: 100+30.x (lít) -Số lít nước trong bể B sau x phút: 40.x (lít). 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span>