KỸ THUẬT THẾ HẰNG số TOÁN PHỨC

PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021

KĨ THUẬT THẾ HẰNG SỐ TRONG TOÁN PHỨC
Vũ Quốc Triệu , Hà Nội tháng 6.2021

A. KIẾN THỨC SỬ DỤNG
1. Cho số phứ z  a  bi  a, b 

VŨ QUỐC TRIỆU

Trong Tốn học nói chung và tốn Phức nói riêng, ngồi các phép tốn thơng thường
ta cịn có một phép tốn ‘ thế hằng số’, nghĩa là thay một hằng số bởi một biểu thức chứa
biến. Phép toán này giúp giảm sự phức tạp trong tính tốn, rút gọn các biểu thức số phức
bậc cao hoặc đơi khi nó cịn là điểm mấu chốt để giải quyết vấn đề. Một hằng số nếu chỉ
nhìn nó ở góc độ số học thì đó là điều rất bình thường, thế nhưng khi thay thế nó bởi một
biểu thức chứa biến phù hợp lại tạo ra điều bất ngờ trong việc giải quyết bài tốn.

 .Khi đó :

2

+) z.z  z  z  a 2  b 2 .
2

    z.z 

+) k  z  k 2n  z

2 n

n



 zn. z

n

 k  0 .

2. Với hai số phức bất kì z và w ,ta ln có :
+) z.w  z . w ; z n  z .
n

+)

z
z

w w

 w  0 .

+) z  w  z  w ; z  w  z  w  z  w .
VŨ QUỐC TRIỆU

3. Bất đẳng thức môđun
+) z  w  z  w . Dấu bằng xảy ra   k  , k  0 sao cho z  k.w .
+) z  w  z  w . Dấu bằng xảy ra   k  , k  0 sao cho z  k.w .

B. ÁP DỤNG
BÀI TỐN 1 ( Trích đề thi thử THPT QG – SGD Thái Bình 2021 ) : Cho các số phức z1 ; z2 ; z3 thoả
mãn

z1  4 ;

z2  5 ;

z3  2 và

4 z1 z2  16 z2 z3  25 z1 z3  80 . Giá trị của biểu thức

P  z1  z2  z3 bằng

C. 1 .

B. 2 .

A. 8 .

D. 6 .

Nhận xét : Quan sát các hệ số trong giả thiết 4 z1 z2  16 z2 z3  25 z1 z3  80 ta thấy
16  42  z1  z1.z1 ; 25  52  z2  z2 .z2 ; 4  22  z3  z3 .z3 .
2

2

2

Lời giải
Chọn B.
Từ giả thiết z1  4 , z2  5 , z3  2 ta có, z3 .z3  4 ; z1.z1  16 ; z2 .z2  25 .

/>
Trang 1


PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021

Thay các hệ số 4; 16 và 25 bởi các biểu thức tương ứng ở trên vào giả thiết
4 z1 z2  16 z2 z3  25 z1 z3  80 , ta được :
3

3

1 2

1 2 3

1

1

1

2

2 3

2

3

2

1 3

1 2 3

 80
VŨ QUỐC TRIỆU

 z . z  z z   z .z  z z   z .z  z z
  z z z   z  z  z   80  z z z

z1  z2  z3  80

 z1 . z2 . z3 . z1  z2  z3  80  4.5.2. z1  z2  z3  80
 z1  z2  z3  2 .

BÀI TỐN 2 ( Trích đề thi thử THPT QG – THPT Trần Hưng Đạo, Nam Định 2021 ) :
Cho các số phức

z; w thoả mãn z  4 , iw  5  2i  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  z 2  wz  16 bằng

B. 14 .

A. 16 .

C. 18 .

D. 17 .

Lời giải
Chọn B.
Ta có :
*) iw  5  2i  1  w  5i  2  1  tập hợp điểm biểu diễn tất cả các số phức w là đường tròn

 C  :  x  2    y  5
2

2

1

*) P  z 2  wz  z.z  z . z  w  z  4 z  z  w .

 . Vì

VŨ QUỐC TRIỆU

Đặt z  a  bi  a; b 

z  4  a 2  b2  16 .

Khi đó : P  4 2a  w .
Gọi M  w   M   C  . Chọn điểm E  2a;0  thì P  4ME .
Vì a 2  b2  16  a 2  16  4  a  4  8  2a  8 .
Chọn A  8;0  ; B 8;0  thì điểm E thuộc đoạn thẳng AB .

Từ hình vẽ suy ra ME  MH  JQ  IQ  IJ  5  1  4  P  4ME  16 .

/>
Trang 2


PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021

Vậy Pmin  16 .
Nhận xét: Mấu chốt để giải quyết bài toán là ta nhận ra: 16  42  z  z.z .
2

của biểu thức P  w.z 2  38  i bằng
C. 19 5 .

B. 19 2 .

A. 19 .

D. 19 3 .

Nhận xét: Ta có 9  32  z  z.z; 16  42  w  w.w .Từ đó ta nghĩ đến 36  z.w.z.w .
2

2

VŨ QUỐC TRIỆU

BÀI TOÁN 3: Cho hai số phức z; w thay đổi thoả mãn z  3 , w  2 và z  w.z  3 5 . Giá trị lớn nhất

Lời giải
Chọn B.
Giả thiết  P  w.z 2  38  i  w.z 2  36   2  i  .
Áp dụng bất đẳng thức môđun : z1  z2  z1  z2 , ta có :
P  w.z 2  36   2  i   w.z 2  36  2  i .

Vì :
* 2i  5 .





* w.z 2  36  w.z 2  9.4  w.z 2  z z.ww  wz z  z.w  w . z . z  z.w  3.2.3 5 .
Suy ra P  18 5  5  P  19 5 .

Vậy M ax P  19 5 .
BÀI TỐN 4 ( Trích đề thi thử THPT QG –Cụm liên trường, SGD Quảng Nam 2021 ) : Cho số phức
z thay đổi và thoả mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
3

biểu thức P  z 5  z  6 z  2 z 4  1 . Khi đó M  m bằng
A. M  m  1 .

C. M  m  6 .

B. M  m  3 .

 

Nhận xét: Ta có: 1  12  z  z.z ; 1  12   z
2

2

2

2 2



D. M  m  7 .

2

 z 2. z .

Lời giải
Chọn A.
P  z 5  z 312  6 z  2 z 4  12   z 5  z 3 .z.z  6 z  2 z 4   z.z 
2

2

 z . z4  z 4  6  2 z2 . z2  z 2  z4  z 4  6  2 z2  z 2

  z 2  z 2   2 z 2 .z 2  6  2 z 2  z 2   z 2  z 2   4  2 z 2  z 2
2

/>
2

Trang 3

VŨ QUỐC TRIỆU

Dễ thấy khi z  3i; w  2i ( thỏa mãn các giả thiết ) thì P  19 5 .


PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021

Đặt z  x  yi,  x; y 

.

+) z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2 .





2



2

VŨ QUỐC TRIỆU

+) P  4  x 2  y 2   4  2 2  x 2  y 2   4  x 2  y 2   1  4  x 2  y 2 



2
= 4  2 x 2  1  1  4 2 x 2  1 .



 
 t   0;1 .
Lại đặt t  2 x 2  1 
2 x 2 1 1;1
x 2  0;1

Khi đó: P  f  t   4  t 2  1  4t  4t 2  4  4t  4  t 2  t  1 .

Từ bảng biến thiên suy ra M ax P  4; M in P  3 .
Vậy M  m  1 .
BÀI TOÁN 5: Cho số phức z thay đổi, thoả mãn z  2  i  z 1  i  và z  5 . Gọi M , m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 2  z  1  z 2  z  1 . Tổng M  m bằng
C. 1 .

B. 6 .

D. 4 .

VŨ QUỐC TRIỆU

A. 2 .

Lời giải
Chọn B
Ta có: z  z  z i  2  i  z   z  2    z  1 i .
Lấy môdun hai vế ta được: z 
Đặt t  z

 z  2   z  1
2

2

.

t  0

Suy ra t 

 t  2   t  1
2

2

t  1 nhaä
n
.
 t 2  t 2  4t  4  t 2  2t  1  t 2  6t  5  0  
t  5 loại 

Vậy z  1 .
Lại có: P  z 2  z  z.z  z 2  z  z.z  z . z  1  z  z . z  1  z  z  1  z  z  1  z .
Đặt z  x  yi  x; y  

 x 2  y 2  1

.
 P  2 x  1  2 x  1

Vì x 2  y 2  1  y 2  1  x 2 và x 2   0;1 .
/>
Trang 4


PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021

Ta có: P 2  8 x 2  2  2 4 x 2  1
Đặt u  x 2  u   0;1 .
VŨ QUỐC TRIỆU



1 
16u ; u   4 ;1



Suy ra P 2  8u  2  2 4u  1  f  u   
.
1


4 ; u  0;
 4 


Từ đồ thị hàm số f  u   f  u    4;16  P 2   4;16  P   2; 4 .
Vậy M ax P  4; M in P  2 .
Nhận xét: Mấu chốt để giải quyết nhanh việc rút gọn biểu thức là sử dụng: 1  12  z  z.z .
2

biểu thức P  9 z1 z2  z2 z3  4 z3 z1 bằng
B. 31 .

A. 27 .

C. 35 .

D. 24 .

BÀI TẬP 2: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z  z 4  1  1 .
B. 1 .

A. 0 .

C. 4 .

D. 8 .

BÀI TẬP 3: Cho số phức z thay đổi và thoả mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  z 4  1  z 4  1 . Tích M .m bằng
B. 4 .

A. 2 .

C.

2.

D. 4 2 .

BÀI TẬP 4 : Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2, z2  1 và z1  2 z2  2 . Giá trị của biểu thức

T  2

A.

3 z2
bằng
z1

3 10

.
2

B.

/>
8
.
3

C.

19
.
2

D.

37
.
2

Trang 5

VŨ QUỐC TRIỆU

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI TẬP 1: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thoả mãn z1  1 , z2  2 , z3  3 và z1  z2  z3  4 . Giá trị của

PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021

BÀI TẬP 5: Cho hai số phức z; w thay đổi thoả mãn z  1 , w  2 và w.z  w.z  1 . Giá trị lớn nhất của
biểu thức P  w2 .z 2  1  3i bằng

BÀI TẬP 6: ( Trích đề thi thử THPT QG –Cụm liên trường, SGD Quảng Nam 2021 ) : Cho các số
phức z1 ; z2 ; z3 thoả mãn z1  z2  z3  k  0 và z1  z2  z3  0 . Giá trị của biểu thức
P

z1 z2  z2 z3  z3 z1
bằng
z1  z2  z3

B. k 2 .

A. k .

VŨ QUỐC TRIỆU

D. 7 2  7 .

C. 2 7  2 .

B. 5 .

A. 3 .

D. k 3 .

C. 1 .

HƯỚNG DẪN GIẢI
1.D

2.D

3.B

4.A

5.C

6.A

BÀI TẬP 1: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thoả mãn z1  1 , z2  2 , z3  3 và z1  z2  z3  4 . Giá trị của
biểu thức P  9 z1 z2  z2 z3  4 z3 z1 bằng
D. 24 .

C. 35 .

B. 31 .

A. 27 .

Lời giải
Chọn D.



= z1.z2 .z3 . z3  z1  z2



= z1 . z2 . z3 . z3  z1  z2  z1 . z2 z3 . z1  z2  z3  z1 . z2 z3 . z1  z2  z3  24
BÀI TẬP 2: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z  z 4  1  1 .
A. 0 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn D.
Đặt z  x  yi,  x; y 

.

Ta có:
+) z  1  a 2  b 2  1  a 2  1  b 2 .

+) z 4  1  1  z 4  12   1  z 4  z 2 .z  1  z 2 . z 2  z  1
2

/>
2

2

Trang 6

VŨ QUỐC TRIỆU

Ta có : P = z1.z2 .z3 .z3  z1.z1.z2 .z3  z2 .z2 .z3 .z1


PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021

 2 2 1
a  b  2
.
 z 2  z  1  2 a 2  b2  1  
a 2  b2   1

2
2

VŨ QUỐC TRIỆU


 2 3
3
 2 2 1
a 
a



a

b




4
2  có 4 số phức thỏa mãn.

Trường hợp 1: 
2
a 2  b 2  1
b 2  1
b   1



4
2
1

 2 1
a
1
 2 2
a 



a

b


2



4

Trường hợp 2: 
 có 4 số phức thỏa mãn.
2
a 2  b 2  1
b 2  3
b 2   3



4
2
Vậy có tất cả 8 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Nhận xét: Mấu chốt để giải quyết nhanh việc rút gọn là sử dụng: 1  12   z
2

2 2



2

 z2. z .

BÀI TẬP 3: Cho số phức z thay đổi và thoả mãn z  1 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  z 4  1  z 4  1 . Tích M .m bằng
A. 2 .

B. 4 2 .

D. 4 .

2.

C.
Lời giải

Chọn B
2 2

2

2

2

 z 2 .z .



2

Khi đó: P  z 4  z 2 .z  z 4  z 2 .z  z 2 z 2  z
2

2

VŨ QUỐC TRIỆU

    z.z 

Ta có: 1  12  z

2

2

  z z  z 
2

2

2

2

 z2 z2  z  z2 z2  z  z2  z  z2  z .

Đặt z  x  yi,  x; y 

.

+) z  1  x 2  y 2  1  y 2  1  x 2 .
+) P  2 x 2  y 2  4 xy
Bình phương hai vế, ta được P 2  4  x 2  y 2   16 x 2 y 2  16 xy x 2  y 2
2

 4 x  y

2

 x  y

2

 16 x 2 y 2  16 xy

 4 1  2 xy 1  2 xy   16 x 2 y 2  16 xy

 x  y  . x  y 
2

2

1  2 xy 1  2 xy 

 4  16 xy 1  4 x 2 y 2 .

/>
Trang 7


PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021

Đặt t  xy .Vì 0  xy 

x2  y 2 1
 1
  t  0; 
2
2
 2

Suy ra: P 2  4  16t 1  4t 2  f  t  .

1  4t 2

; f  t   0  t 

1
Mà f  0   4; f    4; f
2

VŨ QUỐC TRIỆU

Ta có f   t  

16 1  8t 2 

 1
 0;  .
2 2  2
1

 1 

  8 . Từ đó M ax f  t   8; M in f  t   4 .
2 2

Vậy M  2 2;m  2 .
BÀI TẬP 4 : Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2, z2  1 và z1  2 z2  2 . Giá trị của biểu thức

T  2

A.

3 z2
bằng
z1

37
.
2

8
.
3

B.

C.

19
.
2

D.

3 10
.
2

Lời giải
Chọn A.







Ta có 4  z1  2 z2   z1  2 z2  z1  2 z2   z1  2 z2  z1  2 z2
2











 z1  4 z2  2 z1.z2  z1.z2  8  2 z1.z2  z1.z2 .
2

2

VŨ QUỐC TRIỆU

Suy ra z1.z2  z1.z2  2
Lại có T  2 

2 z  3 z2
2 z  3 z2
3 z2
 1
 1
z1
z1
2



Suy ra 4T 2  2 z1  3z2   2 z1  3z2  2 z1  3z2
2














  2 z1  3z2  2 z1  3 z2  4 z1  9 z2  6 z1.z2  z1.z2  25  6 z1.z2  z1.z2  37

Vậy T 

2

2

37
.
2

BÀI TẬP 5: Cho hai số phức z; w thay đổi thoả mãn z  1 , w  2 và w.z  w.z  1 . Giá trị lớn nhất của

biểu thức P  w2 .z 2  1  3i bằng
A. 3 .

C. 2 7  2 .

B. 5 .

D. 7 2  7 .

Nhận xét: Ta có 1  12  z  z.z; 4  22  w  w.w .Từ đó ta nghĩ đến 4  1.4  z.w.z.w .
2

2

Lời giải
Chọn C.
/>
Trang 8


PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021





Giả thiết  P  w2 .z 2  1  3i  w2 .z 2  4  5  3i .
Áp dụng bất đẳng thức môđun : z1  z2  z1  z2 , ta có :



Vì :
*) 5  3i  2 7 .





*) w2 .z 2  4  w2 .z 2  1.4  w2 .z 2  z.z.w.w  w.z. wz  z.w  w . z . w.z  z.w  2.1.1  2 .

VŨ QUỐC TRIỆU



P  w2 .z 2  4  5  3i  w2 .z 2  4  5  3i .

Suy ra P  2 7  2 .
Dễ thấy khi z 

3 1
 i; w  2i ( thỏa mãn các giả thiết ) thì P  2 7  2 .
2 2

Vậy M ax P  2 7  2 .
BÀI TẬP 6 ( Trích đề thi thử THPT QG –Cụm liên trường, SGD Quảng Nam 2021 ) : Cho các số
phức z1 ; z2 ; z3 thoả mãn z1  z2  z3  k  0 và z1  z2  z3  0 . Giá trị của biểu thức
P

z1 z2  z2 z3  z3 z1
bằng
z1  z2  z3

B. k 2 .

A. k .

C. 1 .

D. k 3 .

Nhận xét : k 2  z1  z2  z3  z1.z1  z2 .z2  z3 .z3 .
2

2

2

VŨ QUỐC TRIỆU

Lời giải
Chọn A.
Từ giả thiết suy ra k 2  z1  z2  z3  z1.z1  z2 .z2  z3 .z3 .
2

Ta có P 

2

2

z1 z2  z2 z3  z3 z1 1 z1 z2 .k 2  z2 z3 .k 2  z3 z1.k 2
= 2
k
z1  z2  z3
z1  z2  z3

/>
=

1 z1 z2 .z3 .z3  z2 z3 .z1.z1  z3 z1 z2 .z2
k2
z1  z2  z3

=

z z z
1
zz z . 3 1 2
2  1 2 3
k
z1  z2  z3

=

z3  z1  z2
z3  z1  z2
1
1

z
z
z
.

z
.
z
.
z
.
1 2 3
1
1
1
k2
z1  z2  z3 k 2
z1  z2  z3

=

z1  z2  z3
z z z
1
1
z
.
z
.
z

.
 2 z1 . z1 . z1 . 1 2 3
1
1
1
2
k
z1  z2  z3 k
z1  z2  z3

Trang 9


PHIẾU HỌC TẬP-SỐ PHỨC

NĂM HỌC 2020 – 2021

=

1
1
z1 . z1 . z1  2 .k .k .k  k .
2
k
k

Lưu ý : Cách trắc nghiệm nhanh, có thể chọn z1  z2  z3  k  P 

…………………………………………………HẾT…………………………………………………

VŨ QUỐC TRIỆU

k2  k2  k2
k .
k k k

VŨ QUỐC TRIỆU

/>
Trang 10