Cac bai tap ve LG co ban Don gian HD giai TSy

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (610.6 KB, 72 trang )

(1)HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài 1. Giải các phương trình sau :.  1  2sin x  cosx 1  2sin x   1  s inx  b. . 2. x x   sin  cos   3cosx=2 2 a.  2 s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin 3 x .  3. d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0. c.. Giải 2. x x 1 3 1  cosx=  sin  cos   3cosx=2  1+sinx+ 3cosx=2  sinx+ 2 2 2 2 a.  2      x    k 2 x   k 2      3 6 6  sin  x   sin    k Z  5   3 6    x    k 2  x   k 2   3 6 2    x  6  k 2  1  7 s inx  2   x   k 2  6 s inx 1   1  2sin x  cosx  3   x   k 2  1  2sin x 1  s inx   2  b.  . Điều kiện :.  1  2sin x  cosx 1  2sin x   1  s inx  Khi đó : .  3  cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin 2 x.     2cos  2x-   2cos  x   4 4      x   k 2 x   k 2  2 2 4   x k k Z k 2  3  x  x   k 2  3 4.  cosx-sinx=sin2x+cos2x    2x    2x  .  4  4. c. s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin 3 x   s inx+. sin3x+sinx 3sinx-sin3x  3cos3x=2cos4x+ 2 2.  3s inx  sin 3 x  2 3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x 1 3 sin 3 x  cos3x=cos4x 2 2     4 x  3 x   k 2  x   k 2     6 6  cos4x=cos  3x+     kZ 6   4 x  3 x    k 2  x    k 2   6 42 7 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0  3cos5x-  sin5x+sinx   s inx=0  2sin 3 x  2 3cos3x=4cos4x . d.. . 3cos5x-sin5x=2sinx . 3 1 cos5x- sin 5 x s inx 2 2.

(2)     cos  5x+  s inx=cos   6  2.    k   5 x    x  k 2 x     6 2 18 3 x     kZ   5 x    x    k 2  x    k   6 2 6 2. Bài 2. Giải các phương trình sau : a.. 4  sin 4 x  cos 4 x   3 sin 4 x 2. c.. cos 2 x  3 sin 2 x  2  s inx+cosx . b.. 2 2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x. 4 4 d. sin x  cos x 2 3 s inxcosx+1. Giải  1  4  sin 4 x  cos 4 x   3 sin 4 x 2  4  1  sin 2 2 x   3 sin 4 x 2  2  a.  3   1  2sin 2 2 x   3 sin 4 x 2  cos4x+ 3 sin 4 x  1 1 3 1  1 2  cos4x+ sin 4 x   cos  4x-   cos 2 2 2 3 2 3   2  k    4 x  3  3  k 2  x 4  2   kZ  4 x    2  k 2  x    k  3 3 12 2  2 2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x  2 sin 2 x  2 2cos 2 x 3  cos2x . b.. . 2 sin 2 x  2  1  cos2x  3  cos2x . Ta có :.  2  1 5  2 2, 2  6  4 2  36 . a 2  b 2 2 .  11  6 2    5  2. 2. 2 sin 2 x. . c2  3 .  2 2. . 2  1 cos2x=3- 2. . 2. 11  6 2 2. 32  0  c  a  b. . Do đó :. 2. . Phương trình vô nghiệm .  . cos 2 x  3 sin 2 x  2  s inx+cosx   cos2x- 3 sin 2 x 2sin  x   4  c. 1 3        cos2xsin 2 x sin  x    sin  2 x   sin  x   2 2 4 6 4      5    2 x  6  x  4  k 2  x  12  k 2   kZ  2 x    3  x  k 2  x 11  k 2  36 3 6 4  4 4 d. sin x  cos x 2 3 s inxcosx+1  cos2x+ 3 sin 2 x  1 . 1 3   2  cos2x+ sin 2 x  1  cos  2x-  cos  2 x    k 2  x   k 2 2 3 3 3 . Bài 3. Giải các phương trình sau :    . 2  4    4sin x sin   x  sin   x   4 3cosx cos  x   cos  x   2 3  3  3  3    a. 3 1  sin 4 x cos 6 x  sin 6 x 3 8 b. 2sin 4 x  16sin x.cosx  3cos 2 x 5 c.. Giải    4sin x sin   x  sin   3  3 a.. 2   x   4 3cosx.cos  x  3  . 4    cos  x  3  .   2 .

(3) 2     2  2sin x  cos2x-cos   2 3cosx  cos  2 x  2   cos  3    3  1 1  2sin xcos2x+2sinx.  2 3cosx.cos2x-2 3cosx.  2 2 2  sin 3 x  s inx+sinx  3  cos3x+cosx  - 3cosx  2  sin 3 x  3cos3x= 2 .    2 . 1 3 2    sin 3x  cos3x=  cos  3x-  cos 2 2 2 6 4 .  k 2   x  36  3   kZ  x    k 2  36 3 3 b. 2sin 4 x 16sin x.cosx  3cos 2 x 5. Ta có :. 16sin 3 xcosx 4 cos x  3sin x  sin 3x  6sin 2 x  2.2sin 3 x.cosx. =6sin2x-2  sin4x+sin2x  4sin 2 x  2sin 4 x. Cho nên (1) : 2sin 4 x  4sin 2 x  2sin 4 x+3cos2x=5  4sin2x.+3cos2x=5 4 3   sin 2 x  cos2x=1  cos  2x-  1  2 x   k 2  x   k  k  Z  5. 5 2 3 4 cos = ;sin   5 5 Và : 3 1  sin 4 x cos 6 x  sin 6 x 8 c. 3 3  1  cos4x  5 3 sin 6 x  cos 6 x 1  sin 2 2 x 1      cos4x 4 4 2   8 8 Do :. 3 5 3   1  sin 4 x   cos4x  cos4x-sin4x=1  2cos  4x+  1 8 8 8 4  Cho nên (c) trở thành : k     x 4x+   k 2    2   2 4 4  cos  4x+   cos    k Z  k    4 2 4   x    4x+   k 2   8 2 4 4. Bài 4. Giải các phương trình sau : a.. sin 8 x  cos6x= 3  sin 6 x  cos8x . b.. 3 c. 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3 x. cos7x-sin5x= 3  cos5x-sin7x . d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 Giải. sin 8 x  cos6x= 3 sin 6 x  cos8x  sin 8 x .   a. Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có :. 3cos8x= 3 sin 6 x  cos6x. 1 3 3 1     sin 8 x  cos8x= sin 6 x  cos6x  sin  8x-  sin  6 x   2 2 2 2 3 6           8 x  3 6 x  6  k 2  2 x  2  k 2  x  4  k    kZ  8 x    6 x  5  k 2  14 x  7  k 2  x    k    6 12 7 3 6 cos7x-sin5x= 3  cos5x-sin7x   cos7x+ 3 sin 7 x  3cos5x+sin5x . b..

(4) Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả : 1 3 3 1     cos7x+ sin 7 x  cos5x+ sin5x  cos  7x+  cos  5x-  2 2 2 2 3 6           7 x  3 5 x  6  k 2  2 x  2  k 2  x  4  k    k Z  7 x    5 x    k 2  12 x    k 2  x    k    6 72 6 3 6 3 c. 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3x  . 3 Từ công thức nhân ba : sin 9 x 3sin 3 x  4sin 3 x cho nên phương trình (c) viết lại :. 1 3 1 sin 9 x  cos9x= 2 2 2   k 2   k 2 x   3 18 9  kZ   k 2    k 2 x    3 27 9. 3sin 3x  4sin 3 3 x  3cos9x=1  sin 9 x  3cos9x=1 .   9x  1   6  cos  9x-  = cos   6 2 3   9x-   6. d.. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 .   5x    5x  . 3 1   cos5x+ sin5x=cos2x  cos  5x-  cos2x 2 2 6 .    k 2    k 2 x    6 3 30 5  k Z    k 2     k 2 x   6 3 10 5. II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1. Giải các phương trình sau : cos3x+sin3x   5  s inx+  3  cos2x 2 2 1  2sin 2 x  a.  b. cos 3x.cos2x-cos x 0  3    cos 4 x  sin 4 x  cos  x-  .sin  3x    0 2 4 2  4  c. d. 4.s inxcosx+3sin x 6sin x. Giải cos3x+sin3x   1 5  s inx+ sin 2 x   3  cos2x 1  2sin 2 x  2 (*) a.  . Điều kiện :. Phương trình (a) trở thành :  s inx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x   s inx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x   5  3  cos2x  5   3  cos2x 1  2sin 2 x 1  2sin 2 x     s inx+cosx+sin3x  s inx+sin3x   cosx 2sin 2 x.cosx+cosx cosx  1+2sin2x      cosx 1  2sin 2 x 1  2sin 2 x 1  2sin 2 x 1  2sin 2 x 1  cosx= 2 2   5cos x 2  2 cos x  2 cos x  5cos x  2 0  2   cosx=2>1 Cho nên (a).    x  3  k 2 1 cos x    2  x    k 2  2 Vậy : . Kiểm tra điều kiện :.

(5) 1  2   2sin   4k   1 2.  1 2 0 x   k 2 2  3  3 . Cho nên nghiệm phương trình là  2   1 2sin    4k   1 2.     1 0  3   2 Vi phạm điều kiện , cho nên loại ..  x   k 2 3 Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : 1+cos2x cos 2 3x.cos2x-cos 2 x 0  cos 2 3 x.cos2x0 2 b.  2 cos 2 3x.cos2x-  1+cos2x  0  cos2x  1+cos6x   1  cos2x=0  cos6x.cos2x=1.  cos4x=1  cos8x+cos4x=2  2 cos 4 x  cos4x-3=0    cos4x=- 3   1  2 k cos 4 x 1  4 x k 2  x   k  Z  2 Do đó : 2. c.  3 1 1    3    cos 4 x  sin 4 x  cos  x-  .sin  3 x    0  1  sin 2 2 x   sin  4 x    sin 2 x   0 4 2 2 2  2  4   2 1 1 3  1  sin 2 2 x    cos4x  sin 2 x   0  2  sin 2 2 x     1  2sin 2 2 x   sin 2 x   3 0 2 2 2  sin2x=1    sin 2 2 x  sin 2x-2=0    sin 2 x 1  2 x   k 2  x   k  k  Z   sin2x=-2<-1 2 4  s inx=0 4.s inxcosx+3sin 2 x 6sin x  s inx  4cosx+3sinx-6  0    4cosx+3sinx=6 d.  x k k  Z.   - Với sinx =0 2 2 2 - Do : 4  3 25  6 36 . Cho nên phương trình 4cosx+3sinx=6 vô nghiệm . Bài 2. Giải các phương trình sau  2 2 x. x sin    tan x  cos 2 0 2 2 4 b.. 2 2 2 2 a. sin 3x  cos 4 x sin 5 x  cos 6 x    . tan   x   2 tan  2 x   2 2 2   c.. d.. 5.s inx-2=3  1-sinx  .tan 2 x. Giải 2. 2. 2. 2. a. sin 3x  cos 4 x sin 5 x  cos 6 x . 1  cos6x 1  cos8x 1  cos10x 1  cos12x     2 2 2 2.  cos8x+cos6x .  cos10x+cos12x .    x   k   2  x  2  k    cosx=0 k  2cos7xcosx 2cos11xcosx    11x 7 x  k 2   x  kZ  2  cos11x=cos7x  11x  7 x  k 2    x  k   9 x x  sin 2    tan 2 x  cos 2 0 2 2 4 b. . Điều kiện : cosx khác không .. Khi đó phương trình trở thành :.

(6)   1  cos  x-  2 2 1  s inx   1  cos x  1  cosx  2  sin x 1  cosx    0   0 2 cos 2 x 2 2 2  1  sin 2 x  .  1  cosx   1  cosx   1  cosx 0  1  cosx   1  cosx   1 0   2 2 2  1  sin x    1  s inx  .  x   k 2  cosx=-1   t anx  1   x    k  k  Z    4 s inx  0 s inx  0          x k  k  Z  tan   x   2 tan  2 x   2  2 2 2   c. . Điều kiện : sin 2 x 0 cosx 0 cosx 2cos2x 2 cos 2 x  cos2x  cot x  2 cot 2 x 2   2  2 sinx sin 2 x s inx.cosx Phương trình (c)   2 cos 2 x  cos2x sin 2 x   1  cos2x   cos2x=sin2x  sin2x=1  x=  k  k  Z  4 1  cosx    cosx-sinx      0  2   1  s inx  .  cosx=-1  sinx+cosx=  . Nghiệm này thỏa mãn điều kiện .  cos x 0  x   k  k  Z  2 d. . Điều kiện : 2 2 2 sin x 3  1  s inx  sin x 3sin x 3sin 2 x  5.s inx-2=3  1-sinx  .    5.s inx-2= cos 2 x 1  sin 2 x 1  s inx 1  s inx d 1  s inx=2 2    5.s inx-2   1  s inx  =3sin x  2sin x  3sin x  2 0  2   s inx=2>1   x   k 2  1 6 sin x    k Z 2  x  7  k 2  6 Vậy phương trình có nghiệm : ( Thỏa mãn diều kiện ) 5.s inx-2=3  1-sinx  . tan 2 x. Bài 3. Giải các phương trình sau :. . . cosx 2sinx+3 2  2 cos 2 x  1 1 1 2sin 3x  2 cos 3 x  1 s inx cosx 1  sin 2 x a. b. x x x 3x 1 cos x.cos .cos  s inx.sin .sin  2 2 2 2 2 d. 4 cos3 x  3 2 sin 2 x 8cos x c.. Giải s inx 0  1 1  x k  k  Z   2 cos 3 x  2 s inx cosx . Điều kiện : cosx 0 a. 1 1 2sin 3 x.s inx-1 2cos3 x.cosx 1 2sin 3 x  2cos 3 x    s inx cosx s inx cosx Khi đó : 2 cos2x-cos4x-1 cos4x+cos2x 1 cos2x-2cos 2 x cos2x+2cos 2 2 x     s inx cosx s inx cosx cosx-sinx-2cos2x  cosx-sinx  0  1-2cos2 x 1+2cos2 x   cos2x    0  c os2x cosx  sinx.cosx  sinx 2sin 3x .

(7)   cos2x=0  1-2cos2x    cos2x  cosx-sinx    0   tanx=1   sinx.cosx   1  cos2x=  2.  k   x 4  2  k    x 4  2   x   k   kZ  4  x   k   6  x   k  6. Các họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện .. . . cosx 2sinx+3 2  2 cos 2 x  1 1  sin 2 x. b.. . 1. .  sin 2 x 1  x   k  k  Z  4 . Điều kiện : (*). cosx 2sinx+3 2  2 cos 2 x  1 1  sin 2 x. Khi đó :. 1  sin 2 x +3 2cosx  2 cos 2 x  1 1  sin 2 x.  2 2   cosx=  2 cos x  3 2cosx  2 0    cosx=  x   k 2 2 2 4  cosx= 2  1  x   k 2 4 Nhưng do điều kiện (*) Ta chỉ có nghiệm : , thỏa mãn .Đó cũng là nghiệm x 3x x 3x 1 cos x.cos .cos  s inx.sin .sin   cosx  cos2x+cosx   s inx  cosx-cos2x  1 2 2 2 2 2 c. 2.  cos2x  cosx+sinx   cos 2 x  sin xcosx 1  cos2x  cosx+sinx   s inxcosx-sin 2 x 0  cos2x  cosx+sinx   s inx  cosx+sinx  0   cosx+sinx   cos2x-sinx  0.   x   k  4  t anx=-1    cosx+sinx  0  k 2     x  kZ     cos2x=sinx=cos   x   6 3   cos2x-sinx  0   2   x    k 2 2 . d.. . . 4 cos3 x  3 2 sin 2 x 8cos x  2 cos x 2 cos 2 x  3 2 s inx-4 0. ..  cosx=0   2 cos x 0  cosx=0 2     sinx= 2 2  2  2sin x  3 2 s inx+2=0  2  1  sin x   3 2 s inx-4=0   s inx= 2  1.    x  2  k  cosx=0      x   k 2  k  Z   sinx= 2  4   2  x  3  k 2 4  Do đó Phương trình có nghiệm :. Bài 4. Giải các phương trình sau :     a.. cos  2 x    cos  2x-   4sin x 2  2  1  s inx  4 4   2. b.. 2. . . 3cot x  2 2 sin x  2  3 2 cosx. 4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x 0 cosx c..

(8) 1 2 f ( x) s inx+ sin 3 x  sin 5 x 3 5 d. Cho : . Hãy giải phương trình : f'(x)=0.. Giải        cos  2 x    cos  2x-   4sin x 2  2  1  s inx  4 4     2 cos 2 x.cos  4sin x 2  2  1  s inx  2 a.  x   k 2 2+ 2  sin x 4  2 2  2  s inx= sin    kZ 4 2  x     k 2. . . . . 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  2  3 2 cosx. b. . Điều kiện : sin x 0  x k 2 Chia hai vế phương trình cho : sin x 0 . Khi đó phương trình có dạng : 2.  cosx   cosx   3cot x  2 2 sin x  2  3 2 cosx  3  2   2 2  2  3 2  2   sin x   sin x  t  2 cosx 2 t  2  3t  2  3 2 t  2 2 0    t 2 sin x  3 Đặt : 2. . 2. . . . . .  cosx=- 2   1  2   cosx= 2 sin 2 x 2 c osx=  2cos x  cosx- 2 0  2     2  cosx= 2 sin 2 x 2 cos x  3cos x  2  0 1    cosx= 3  2   cosx=-2<-1.  2  cosx= 2  1   cosx= 2.    2 x   k 2  cosx=  4 2   k Z  1   x   k 2  cosx= 2  3 Do đó phương trình có nghiệm : 4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x  0 cosx 0  x   k  k  Z  cosx 2 c. . Điều kiện : 4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x 0  4  1  cos 2 2 x   3  1  cos2x   9  3cos 2 x 0 c osx Khi đó : t cos2x; t 1  t  1 t cos2x; t 1   t  1 2  4cos 2 x  6 cos 2 x  2 0   2     t  1 2 t  3 t  1  0 1    2   t  2    cos2x  1  x  2  k    cos2x  1   x   k x   k  2  3 2 . Nhưng nghiệm : vi phạm điều kiện .  x   k 2  k  Z  3 Vậy phương trình có nghiệm :.

(9) 1 2 f ( x) s inx+ sin 3 x  sin 5 x 3 5 d. Cho : . Hãy giải phương trình : f'(x)=0. f '  x  cosx+cos3x+2cos5x=0   cos5x+cosx    coss5x+cos3x  0. Ta có :. t cosx; t 1   2 cos 3xcos2x  2 cos 4 x cos x 0   3 2 2 2    4t  3t   2t  1  t  2  2t  1  1 0  t 0  cosx 0 t cosx; t 1 t cosx; t 1   5   2 9  17   4 2 3 t   2 cos 2 x 9  17 16t  18t  4t 0 2t  8t  9t  2  0   16 8  cosx 0  cosx 0     cos2x  9  17  1  cos2x  9  17  1 1  17 8 8 8     x   k 2 - Trường hợp : cosx=0  1- 17   cos x=  +k  cos2x=   2x=  +k2 8 2    kZ  1+ 17  2x=   k 2  x=   k cos  cos2x=  2  2 - Trường hợp :. Bài 5. Giải các phương trình sau : a. c.. sin. 5x x 5cos2 x.sin 2 2. 2cos 2. b.. 6x x 1 3cos 5 5. sin 2 x  cot x  tan 2 x  4 cos 2 x.   tan 3  x   t anx-1 4  d.. Giải 5x x sin 5cos 2 x.sin 2 2 a. x t   x 2t 2 2 Đặt : . Khi đó phương trình trở thành : sin 5t 5cos 2t sin t (2). Nhan hai vế với 2cost ta được :  2sin 5t.cost=5cos 2 2t.2cost.sint  sin6t+sin4t=5cos 2 2t.sin 2t 5 5  sin6t+sin4t= cos2t.2 cos 2t sin 2t  sin 4t.cos2t 2 2 3  3sin 2t  4sin 2t  2sin 2t.cos2t- 5cos 2 2t.sin2t=0. . .  sin 2t  3  4sin 2 2t  2.cos2t- 5cos 2 2t  =0  sin 2t 3  4  1  cos 2 2t   2.cos2t- 5cos 2 2t =0  sin2t=0  sin 2t  1  2.cos2t+cos 2 2t  =0     cos2t=1 sin 2 x  cot x  tan 2 x  4 cos 2 x.  2t k 2  2t k 2  x 2 k . b.. sin t 0  Điều kiện : cos2t 0 . Khi đó phương trình trở thành :  cosx sin 2 x   cos xcos2x+sin2x.sinx  2 2  sin 2 x    4cos x  sin 2 x   4 cos x sinxcos2x  sinx cos2x   .

(10) 1  cosx   2 2   2sin x.cosx   2  0  4 cos x  2cos x   sinxcos2x   cos2x     2cos 2 x=0  x  2  k   k Z  cos2x= 1   x   k  2  6 Các nghiệm thỏa mãn điều kiện . 6x x x  1 3cos t   x 5t 5 5 . Đặt : 5 c. . Khi đó phương trình có dạng : 2  2 cos 6t  1 3cos t  2  cos12t=3cost  3cost-cos12t=2 t k 2 cost=1 t k 2     l  cos12t=1 12t l 2 t  6 Chỉ xảy ra khi : . Nếu phương trình có nghiệm thì tồn 2 cos 2. tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung . Có nghĩa là : l 12k k 2   k , l  Z   12k l  x  2k 6   tan 3  x   t anx-1 4  d.    cos  x-  0  *   4 cosx 0 . Điều kiện :. k 2 . l  k,l  Z   6. 6. . Khi đó phương trình trở thành :.  4 t anx-1  tanx-1   t anx-1 0   tanx-1  1  1  0      tanx+1  tanx+1  1  t anx.tan 4   x =  k  4   x=k Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) tan x  tan.  t anx=1  tanx=0 . Bài 6. Giải các phương trình sau : sin 4 2 x  cos 4 2 x cos 4 4 x     tan   x  tan   x  4  4  a.. b.. 48 . 1 2   1  cot 2 x.cot x  0 4 cos x sin 2 x. 5 sin 8 x  cos8 x 2  sin10 x  cos10 x   cos2x 4 c. cos2x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1+tanx 2 d.. Giải 4. 4. sin 2 x  cos 2 x cos 4 4 x     tan   x  tan   x  4  4  a. .         tan   x  tan   x  tan   x  cot   x  1 4  4  4  4  Do : . Cho nên mẫu số khác không ..

(11) 1 2 sin 4 x cos 4 4 x 2 Phương trình trở thành : t 1 t cos 2 4 x.0 t 1  2 4  2   1  cos 4 x  2cos 4 x   2  1 2t  t  1 0 t  2  0 k t 1  cos 2 4 x 1  sin 4 x 0  x  4 . Vậy :     tan   x  va tan   x  4  4  có nghĩa thì ta phải bỏ đi các nghiệm Đối chiếu với điều kiện để sin 4 2 x  cos4 2 x cos 4 4 x  1 .      k 2n  1  x  4  n  cos  4  x  0         k 2n  1  x   n  cos   x  0 4 4  ứng với k là lẻ :  . Do đó phương trình chỉ có n  nZ nghiệm ứng với k là chẵn : x= 2 cosx 0  1 2  x k  48   1  cot 2 x .cot x  0   2 (*) cos 4 x sin 2 x b. . Điều kiện : sinx 0. Phương trình.  48 . 1 2  cos2 x cos x   . 1  0 4 cos x sin 2 x  sin2x s inx . 1 2  sin 2 x s inx  cos2 x cos x  1 2 cosx  .  0   0  48  4 2 4 2 cos x sin x  sin2x s inx  cos x sin x 2sin 2 x.cosx 1 1  48   0  48sin 4 x cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x 0 4 4 cos x sin x 2  t  0 2 t sin 2 x;0 t 1   1 2  3 4  3sin 2 x   1  sin 2 x  0   2   2  6t  t  2 0  t 1  2 1  k sin 2 2 x   1  2sin 2 2 x 0  cos4x=0  x=  2 8 4 . Thỏa mãn điều kiện (*) Do đó : 5  sin 8 x  cos8 x 2  sin10 x  cos10 x   cos2x 4 5   sin 8 x  2sin10 x    cos8 x  2 cos10 x   cos2x=0 4 c. 5  sin 8 x  1  2sin 2 x   cos8 x  1  2 cos 2 x   cos2x=0 4 5 5   sin 8 xcos2x-cos8 xcos2x  cos2x=0  cos2x  sin 8 x  cos8 x   0 4 4   k cos 2 x 0  x   4 2 - Trường hợp : 5 sin 8 x  cos8 x   4  sin 4 x  cos 4 x   sin 4 x  cos 4 x   5 0 4 - Trường hợp :  48 .

(12)  1   1   4  sin 2 x  cos 2 x   1  sin 2 2 x   5 0   4cos2x  1  sin 2 2 x   5 0  2   2  2   4cos2x+2cos2x  1  cos 2 x   5 0  2cos3 2x+2cos2x+5 0. Đặt :. t cos2x  t   -1;1  VT  f (t ) 2t 3  2t  5  f '(t ) 6t 2  2  0  t   1;1. Chứng tỏ f(t) đồng biến . Khi đó tại f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên với mọi Vậy phương trình vô nghiệm .. t   1;1  f (t )  0. cosx 0 cos2x 1  *  cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1+tanx 2 d. . Điều kiện :  tanx -1 cos x cos 2 x  sin 2 x   1  sin x  s inx  cosx  sinx s inx 1+ cosx Phương trình trở thành :  tan  1  t anx=1   2  cos x  s inx.cosx=0  cosx  cosx-sinx  0  t anx=-1  x=-  k  k  Z  4 Do cosx 0  Phương trình chỉ có nghiệm :  1    cosx  sin x    cosx  sin x  0   s inx . Bài 7. Giải các phương trình sau : cot x  t anx+4sin2x=. a. sin 2 x  2 tan x 3. b.. 1  t anx   1  sin 2 x  1  t anx c. . d. sin 4 x t anx. 2 sin2x. Giải a. sin 2 x  2 tan x 3 . Điều kiện : cosx 0 . Khi đó phương trình viết lại : t t anx 2 tan x   2 tan x 3   3   t  1  2t 2  t  3  0  t 1 2 2 1  tan x 2t  3t  4t  3 0  t 1  t anx=1  x=  k  k  Z  4 Vậy phương trình có nghiệm là : s inx 0 2  x m  m  Z   *  cot x  t anx+4sin2x= cosx  0  sin2x b. . Điều kiện : cos x sinx 2 2 cos 2 x 2   +4sin2x=   4sin 2 x  s inx cosx sin2x sin 2 x sin 2 x Phương trình  cos2x  2sin 2 2 x 2  cos2x=2  1-sin 2 2 x   2 cos 2 2 x  cos2x=0  cos2x=0    cos2x= 1  2.      2 x  2  k  sin 2 x sin  2  k  1 0        2 x  3  2k.  k   x 4  2   x   k  6 .. Thỏa mãn (*) 1  t anx   1  sin 2 x  1  t anx c.  . Điều kiện : cosx 0. 2 t anx     1  t anx   1  1  t anx 2   1+tan x  Khi đó phương trình trở thành :   1  t anx .  1  t anx . 2.  1  tan 2 x   2 tan 2 x  1  t anx  1  t anx  1  0  1  t anx 0       2 1+tan 2 x 1  tan 2 x  1  tan x .

(13)    x  4  k  k  Z    x k . Thỏa mãn điều kiện (*). sin 4 x  t anx c osx 0 (*) d. . Điều kiện :  t anx=1    tanx=0. Có 2 phương pháp giải : Cách 1.. sin 4 x t anx  sin 4 x . sinx  2sin 4 x.cosx=2sinx  sin5x+sin3x=2sinx cosx.   sin5x-sinx  +  sin3x-sinx  0  2 cos 3 x sin 2 x  2 cos 2 x sin x 0.  2sin x  cos4x+cos2x+cos2x  0  2sin x  2 cos 2 2x+2cos2x-1 0   s inx=0   s inx=0  x k  s inx=0 -1- 3       cos2x=   1 kZ  3 1  2  2 x   k 2cos x  2cos 2 x  1  0 cos2x=     2 2  cos2x= 3  1  2  s inx=0 sinx  2sin 2 xcos2x   s inx  4cos2x.cos 2 x  1 0   cosx  2cos2x(1+cos2x)-1=0 Cách 2.  s inx=0  s inx=0   2  cos2x= 3  1  2cos 2x+2cos2x-1=0  2 . ( Như kết quả trên ). Bài 8. Giải các phương trình sau :   9   sin x  sin  x    sin 4  x    4 4 8   a. 4. . 4. c. 4 cos x  3 2 sin 2 x 8 cos x. . s inx 3 2  2 cos x  2sin 2 x  1. 4. 1  sin 2 x. b. d.. cos. 1. 4x cos 2 x 3. Giải a. 2 2            1  cos  2x+    1  cos  2x-      9 2  2    4 4 4 4 sin x  sin  x    sin  x     8sin x  8    9  4 4 8 2 2                 2.   1  cos2 x  2  1  sin 2 x  2  1 4 8      9  sin 2 x  2  3  2cos 2 x  2sin 2 x  9 4 2 2 2        -2- 6 1  sin2x= 2 2 2   2 cos 2 x  4sin 2 x  1 0  2sin 2 x  4sin 2 x  1 0    2 6  sin 2 x   2   x   k  6 2 2 sin 2 x  sin    k Z 2  x      k  2 2 Vậy phương trình có nghiệm :.  1  cos2x  8.

(14) . . s inx 3 2  2cos x  2sin 2 x  1 1  sin 2 x b. Phương trình trở thành :. . 1. . Điều kiện : sin2x khác 1 (*). .  s inx 3 2  2cos x  2sin 2 x  1 1  sin 2 x  3 2 s inx  sin 2 x  2sin 2 x  1 1  sin 2 x.    2 x   k 2  s inx= 2 4  2sin 2 x  3 2 s inx  2 0    s inx=  kZ 2 3 2  x   k 2  s inx= 2  1  4    x   k  sin 2 x sin   k 2  1 4 2  Đối chiếu với điều kiện (*) thì với vi phậm điều. kiện . Cho nên phương trình chỉ còn nghiệm : c.. x. 3  k 2 4. . . 4 cos 4 x  3 2 sin 2 x 8cos x  2 cos x 2 cos 2 x  3 2 s inx-4 0.  cosx=0  2 cos x  2  1  sin 2 x   3 2 s inx-4  0   2  2sin x  3 2 s inx+2=0  cosx=0    x   k  2 2   sinx=  k Z  2  x   k 2  x  3  k 2  4 4  s inx= 2  1   2x  1  cos3   3  2x 4x 2x t   x  t 3     2 cos cos x  cos2     3 2 3 2  3   2 cos 2t 1  cos3t d. . Do đó : u cost  2  2 cos 2 t  1 1  4 cos3 t  3cos t   3   u  1  4u 2  4u  3  0 4u  4u  3u  3 0   u 1    u  1 0 3    u    1  2  2   4u  4u  3 0  1 u   2.  cost=1    cost= 1  2. Bài 9. Giải các phương trình sau :  . sin 2 x  2 sin  x   0 4  a. 2 c. 3cos 4 x  2 cos 3x 1.  t k 2  x 3k   k Z  t   k 2  x   3k 3 6  . 2cos 2. 3x 4x  1 3cos 5 5. b. 2 d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x Giải.   sin 2 x  2 sin  x   0  sin 2 x  s inx-cosx=0 4  a. .    1 5   t=sinx-cosx; t  2  sin 2 x 1  t 2  2 sin  x    4 2     1  5 1  5    1 5   t 1  t 2  t 0  t 2  t  1 0  t   2 sin  x     2 2 4 2  .

(15)     1 5  3  sin  x    k 2  x     k 2  sin  x     4 2 2   3 4    k Z     1 5  x     k 2  x  3    k 2  sin  x    sin   3 4 4 2 2   3x 4x 6x 4x  2x   2x  2cos 2  1 3cos  1  cos 1 3cos  cos3    2 3cos 2   5 5 5 5  5   3  b. 3  2x t   x  t   4 cos3 t  3cos t  3  2cos 2 t  1  2 0  3 2 cos3t  2 3cos 2t. u cost  2  u-1  4u  2u  5 0.  x 5k  cost=1 t  k 2      1- 21     5 121  cost= x  arxcos    5k  t   k 2  2  4  4   3cos 4 x  2 cos 2 3 x 1  3cos 2.2 x   1  cos6x   1 0.  u 1    u 1  21  u 1  21  1  4 4. c.. t cos2x  3  2 cos 2 2 x  1   4 cos3 2 x  3cos 2 x   2 0    3   t  1  4t 2  2t  5  0 2 4t  6t  3  5 0  t 1   1  21  1  21 t   t 1  4 4.  t 1    t 1  21  4.  cos2x=1    cos2x= 1- 21  4.  x k   x arccos  1- 21   k     4  . 2 d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x. cos2x 0  *  cos3x  0  Điều kiện : Phương trình trở thành : 2  3 tan 2 x  4 tan 3 x tan 3 x.tan 2 x  3  tan 2 x  tan 3 x  tan 3 x  tan 3 x.tan 2 x  1 .  tan 2 x . tan 3 x  1  tan 3 x   3 tan x tan 3 x  2 tan x   tan 3 x  t anx  0  tan 3x.tan 2 x 1 3. sin x sin 4 x sin x 4sin x cos x cos 2 x  0  2  0 cosx cos3x.cosx cosx cos3x.cosx 2cos 2 x   1  cos3x+2cos2x.cosx   2sinx    0  2s inx   0 cosx.cos3x  cosx cos3x     x k  x k  s inx=0    3 3  cos3x+cos3x+cosx=0  2  4 cos x  3cos x   cosx=0  8cos x  5cos x 0    x k  x k      cosx=0   x=  k  2  5  5  cosx= cos  x= arccos  k 2 8  8  Đối chiếu với điều kiện ta thấy nghiệm 2.     x   k  cos3x=cos  3  3k  0 2  2  . Vi phạm điều kiện , nên bị loại ..

(16)  x k  k Z  x= arccos 5  k 2 8  Vậy phương trình còn có nghiệm là :. Bài 10. Giải các phương trình sau :  3 x  1   3 x  sin     sin    10 2  2  10 2   b. 13 cos 6 x  sin 6 x  cos 2 2 x 8 a. 6 6 cos x  sin x 1  tan 2 x 2 2 c. cos x  sin x 4. 2 2 2 2 d. cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x 2. Giải 13 3 13 3  1  cos4x  13  1  cos4x  cos 6 x  sin 6 x  cos 2 2 x  1  sin 2 2 x  cos 2 2 x  1   8 4 8 4 2 8 2 a. 3 1  3  k  16  6  1  cos4x  13  1  cos4x   7 cos 4 x  3  cos4x=-  x  arccos     7 4  7 2  3 x  1   3x   3 x    3x  sin     sin     2sin    sin     10 2  2  10 2   10 2   10 2  b.  3x   3    3   y     3 y  3 x x 3 2 10  10  10 y     y  10 2 2 10 3   x  5  2 y  * Đặt : 2sin y sin    3 y  sin 3 y 3sin y  4sin 3 y. Do đó phương trình đã cho trở thành :.  sin y 0   cos 2 y  1  2 3  x   2k   3 5    y k  y k  x  5  2k         x   4k      2 y   k 2  y   k 15  x  3 2  4k  3 6    5 3  x 19  4k  15 6 6  k cos x  sin x 1  tan 2 x cos2x 0  x   kZ 2 2 4 2 c. cos x  sin x 4 . Điều kiện : . 3 2 1  sin 2 x t sin 2 x 1 sin 2 x 4   4  3sin 2 2 x sin 2 x   2 cos2x 4 cos2x 3t  t  4 0 Khi đó PTd/ trở thành :  sin y 0  4sin y  sin y 0    2 4sin y  1  0  3.  t 1   t 1   t  4   1 3 . d..  sin y 0   2 1  c os2y  1  0   .  sin 2 x 1  cos2x=0  x  . cos 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x  cos 2 4 x 2 . . Phương trình vô nghiệm .. 1  cos2x 1  cos4x 1  cos6x 1  cos8x    2 2 2 2 2.   cos8x+cos2x    cos6x+cos4x  0  2 cos 5 x.cos3x+2cos5xcosx=0.

(17)  k   x 10  5   cos5x=0  k  2 cos 5 x  cos3x+cosx  0    x  kZ  cos3x=-cosx=cos  -x 4 2      x    k 2 . III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX Bài 1. Giải các phương trình sau : 2. 3 sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x 2 b. 3  cot x  cosx   5  t anx-sinx  2. 3. a. s inx+sin x  cos x 0 c.. 2  s inx+cosx  t anx+cotx. d. Giải. 2. 3. a. s inx+sin x  cos x 0 .  s inx+sin 2 x  cos3 x 0  s inx  1  s inx   cosx  1  sin 2 x  0   1  s inx   s inx+cosx  1-sinx    t  1  2   2  l     t  2  1.  s inx=1 0     sinx+cosx-sinxcosx=0.   x   k 2  2  2  t  2t  1 0.   21   2 sin  x    2  1  sin  x    sin  4 4 2  .    x   4  k 2 k Z   x  3    k 2 4 Do đó :  3 sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x   s inx+cosx   1  s inxcosx   1 3sin xcosx 2 b. (1) 2  t2  1  t2  1  3  t 2  2  3  t  1 t s inx+cosx; t  2   1  t  1   1  3    t  2  2  2  2    Đặt :  t  1   t 3  3t 2  3t  1 0   t  1  t 2  4t  1 0   t  2  3   2  l    t  2  3. . Do đó phương trình :.

(18)    1    sin  x  4    x k 2  x  2  k 2 2        3 2  x     k 2  x 3    k 2 sin   sin  x     4 4 4 2   s inx 0   x k  *  2  s inx+cosx  t anx+cotx 2 . Điều kiện : cosx 0 . Khi đó phương trình.     2 sin  x  4  1         2 sin  x    3  2 4  . c.. (c) trở thành :. . 2  s inx+cosx  . sinx cosx 1 +   cosx sinx s inx.cosx. 2  s inx+cosx  s inxcosx=1. t s inx+cosx  t  2   t2  1 s inxcosx= 2 Đặt :  . Thay vào phương trình ta được : 2  t  1 3 3 2  2t   1  2t  2t  2 0  t  t  2 0  t  2 t  2t  1 0 2  . .  t 2. . .      2 sin  x    2  sin  x   1  x   k 2  k  Z  4 4 4  . Thỏa mãn điều kiện . s inx 0   x k  *  3 cot x  cosx   5  t anx-sinx  2 2 d.  . Điều kiện : cosx 0 .  cos x sin x   1   3   s inx-cosx  2  2sin x   1  s inx cosx   cosx  Khi đó :   cosx+ s inx   1  cosx    s inx+cosx-sinxcosx   3  cosx-sinx    1  2  s inx    1 2   cosx  s inxcosx   cosx       cosx+ s inx-sinxcosx   s inx+cosx-sinxcosx   3  cosx-sinx     2  0 s inxcosx cosx      cosx+sinx-sinxcosx   3  cosx-sinx   2  0   cosx+sinx-sinxcosx=0     cosx sinx    3  cosx-sinx  0  cosx-sinx=0  tanx=1  x=  k  k  Z  4 Trường hợp :. Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 . t s inx+cosx  t  2   t2  1 s inxcosx= 2 Đặt :  Cho nên phương trình :  t  1  2   2  l  t2  1  t 0  t 2  2t  1 0    2  t  2  1   x    k 2   21  4  sin  x    sin    kZ 4 2   x  3    k 2  4. Bài 2. Giải các phương trình sau : a.. 3 tan 3 x  t anx+. 3  1+sinx   x 8cos 2    2 cos x  4 2.   2 sin  x    2  1 4 .

(19) 3. 3. b. 2sin x  s inx=2cos x  cosx+cos2x 2 3 4 2 3 4 c. sin x  sin x  sin x  sin x cosx+cos x  cos x  cos x Giải 3 1+sinx   x 3 2. a.. 3tan x  t anx+. trình trở thành :. 8cos     4 2  . Điều kiện : cosx khác 0 . Khi đó phương 3  1+sinx   sin 2 x      t anx  3  1 + 4  1  cos   x   4  1  s inx  2 2    cos x   1  s inx   1  cosx  cos 2 x. 2  3  4 cos 2 x   3  4 cos2 x  3-4  1-sin x  3  t anx   4  1  s inx  0  t anx  0 + + 2 2  1  s inx   cos x   1  s inx   cos x   3  2  1  cos2x  0 1   t anx   3  4 cos 2 x     0    2 2 3  cos x 1  s inx   s inx-sin x  cos x 0 1   cos2x=- 2     1  s inx  0    sinx+cosx-sinxcosx  0  Vì sinx=1 làm cho cosx=0 vi phậm điều kiện . Do đó. 1  cos2x=  2     sinx+cosx-sinxcosx  0.    x  3  k    sinx+cosx-sinxcosx  0. Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 . t s inx+cosx  t  2   t2  1 s inxcosx= 2 Đặt :  Cho nên phương trình :  t  1  2   2  l  t2  1    t 0  t 2  2t  1 0    2 sin  x    2  1 2 4   t  2  1   x    k 2   21  4  sin  x    sin    k Z 4 2   x  3    k 2  4    x   4  k 2   x  3    k 2  k  Z   4   x   k 3 Vậy nghiệm của phương trình là : . b.. 2sin 3 x  s inx=2cos3 x  cosx+cos2x  2  sin 3 x  cos3 x    s inx-cosx    cos 2 x  sin 2 x  0.  s inx=cosx   s inx-cosx    1  s inxcosx    cosx  sin x   0    sinx+cosx+sinxcosx+1=0  sin x cosx  tanx=1  x=  k  k  Z  4 Trường hợp :.

(20)  t2  1 t s inx+cosx; t  2  s inxcosx= 2  2 t  t  1  1 0  t 2  2t  1  t  1 2 0  2 Trường hợp : sinx+cosx+sinxcosx+1=0   x   k 2    1  t 1  cos  x-   cos  kZ 2  4 2  4  x k 2 Do đó phương trình có nghiệm : 2 3 4 2 3 4 c. sin x  sin x  sin x  sin x cosx+cos x  cos x  cos x.   cosx-sinx    cos 2 x  sin 2 x    cos3 x  sin 3 x    cos 4 x  sin 4 x  0   cosx-sinx   1   cosx+sinx    1  s inxcosx   cosx+sinx  0  t anx=1  t anx=1  2  2 t  1  2t+  2 0  t  4t  3 0  2    x   k   4  x  4  k     x   k 2 k Z  cos  x-    1 cos  3          x   k 2 2  4  4  2  . ( Đã bỏ nghiệm t=-3 <- 2 )  cosx-sinx=0    2  sinx+cosx   s inxcosx+2=0. Bài 3 . Giải các phương trình sau : a.. tan 2 x  1  sin 3 x   cos3 x  1 0. c. Cho phương trình :. b. 2sin x  cot x 2sin 2 x 1. m  s inx+cosx+1 1  sin 2 x. ..    0;  Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn  2 . Giải tan x  1  sin x   cos x  1 0 2. a.. 3. 3. . Điều kiện : cosx 0 . Khi đó phương trình trở thành :. 2.  . sin x 1  sin 3 x   cos 3 x  1 0 2  cos x  1  cosx   1  cosx   1  s inx   1  s inx+sin 2 x .   cosx-1  1  cosx+cos 2 x  0.  1  s inx   1  s inx    1  cosx   1  s inx+sin 2 x     1  cosx     1  cosx+cos 2 x   0  1  s inx      sin 2 x  cos 2 x   s inxcosx  cosx-sinx    0   1  cosx   1+sinx  .  x k 2  cosx=1 s inx+cosx-sinxcosx   1  cosx   s inx-cosx  0    kZ  x   k  1  s inx  sinx=cosx  4  t2  1 t=sinx+cosx; t  2,s inxcosx=  2 sin x  cosx-sinxcosx=0   2 t  t  1 0  t 2  2t  1  t  1 2 0  2 Còn trường hợp :.

(21)   x   k 2      1  t 1  2cos  x-  1  cos  x-   cos  kZ 2  4 2  4  4  x k 2 Do đó : b. 2sin x  cot x 2sin 2 x  1 . Điều kiện : sinx khác 0 . Khi đó phương trình trở thành : cosx  1-4sin 2 x  cos x  2sin x  1   4sin xcosx 0   2sin x  1  0 sinx s inx   1 x   k 2    cosx  2sinx+1  6  s inx= 2   2sin x  1 1    k Z  0   5 s inx    x   k 2  s inx-cosx-sin2x=0  6 * Trường hợp : sinx-cosx-sin2x=0  1 5 t  1 5 2  t 2  1 5  1(l ) t   2   x     k 2  1 5   1 5  4 t  sin  x    sin     k Z 2 4 2 2   x  5    k 2  4 Với : 2 m  s inx+cosx+1 1  sin 2 x  m  s inx+cosx   s inx+cosx   t=sinx-cosx; t  2  sin 2 x t 2  1   2 2 t   t  1 0  t  t  1 0. c. Cho phương trình :. .     0; 2  Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn t s inx+cosx  t  2  sin 2 x t 2  1 Giải . Đặt : . Thay vào phương trình ta được : s inx+cosx=0   mt 1  t 2  1 t 2    sinx+cosx=m    3      x   0;   s inx,cosx   0;1 ; x    ;   sin  x     0; 2  4 4 4  4  2  Nếu :     s inx+cosx= 2 sin  x     0; 2   0;  m   ; 2 4  Hay : . Để phương trình có nghiệm  2  thì 3 3 Bài 4. Cho phương trình : cos x  sin x m sin x cos x. a. Giải phương trình khi m= 2 b. Tìm m để phương trình có nghiệm . Giải a. Giải phương trình khi m= 2 :  cos3 x  sin 3 x  2 sin x cos x   s inx+cosx   1  s inxcosx   2 s inxcosx  t2  1 t  s inx+cosx; t  2  s inxcosx=  2    2 2 t  1  t  1   2  t  1  0  t  2 t 2  2 2t  1 0      2   2 . . . . t  2   t  2  1   2(l )   t  2  1.

(22)       cos  x- 4  1  x  4  k 2     1 2    ; k  Z   cos =  2    1 2  x    k 2    cos  x-     4 4 2  Do đó :    t2  1 t  s inx+cosx; t  2  s inxcosx=  2   2 2 3 t  1  t  1   m  t  1  0   t  3t m(*)t    2; 2         2  2  t2  1  b/. Xét hàm số :  2   t 3  3t 2t t  1 t2  2  f (t )  2  t  2  f '(t )  1  2  1   0t    2; 2  2 2 2   t 2  1  t 1 t 1 t  1    . Do vậy để phương trình có nghiệm thì :. . . f  2 m  f.  2 .  2 m  2  m    2; 2  1 1 1  m  s inx+cosx   1   t anx+cotx+   0 2 sinx cosx  Bài 5. Cho phương trình : .. a. Giải phương trình với m=1/2    0;  b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng  2 . Giải a. Giải phương trình với m=1/2. Khi đó phương trình trở thành : 1  s inx cosx 1 1   m  s inx+cosx   1   + +   0 2  cosx sinx sinx cosx  1 1 sinx+cosx   m  s inx+cosx   1   +  0 2  cosxsinx sinxcosx   m sin 2 x  s inx+cosx   sin 2 x  1  s inx+cosx 0 2.   s inx+cosx   m sin 2 x  1   sin 2 x  1 0   s inx+cosx   m sin 2 x 1   s inx+cosx  0  * t s inx+cosx; t  2  sin 2 x t 2  1  t 0 1  2   1 2  t  t  1 0    2 2 t   t  1  1   1   t  1  0  t  1   2    Khi m=   x   k        4   2 sin  x  4  0  sin  x  4  0           x   k 2  k  Z      2   1   x   k 2  2 sin  x    1  sin  x    4 4 2          3      x   0;   x    ;   sin  x    2;1  s inx+cosx  4 4 4  4  2  b/ Từ (*) Nếu :. . .   Do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta tìm m dể phương trình (*) có nghiệm  t  m  t 2  1  1  t 2 0  t  m  t  1  t  1  1  t  0  t  t  1  m  t  1  1 0.  2; 2 . 2; 2.

(23) - Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm như câu a . - Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) . Cho nên ta xét f (t ) . 1 1 m  f '(t )  0 2 t1  t  1. hàm số nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì : f. . F(t) đồng biến , cho nên phương trình có.  2   m  f  2   1  1 2  m   1  m   1  1 2 ;  1 3. cos 2 2 x  2 sinx+cosx  3sin 2 x  m.   Bài 6. Cho f(x)= a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3. .. b. Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m . Tìm m để Giải a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3 Phương trình :.  f ( x). 3. 2. 36x  R. 3.  cos 2 2 x  2  sinx+cosx   3sin 2 x  m 0   sin 2 2 x  2  s inx+cosx   3  1  sin 2 x   m  3 0  1 t s inx+cosx; t  2  sin 2 x t 2  1 2    t  t  1 0  Khi m=-3. Đặt : 0 2 2 cos 2 2 x  cosx-sinx   cosx+sinx .  t 0  t  1 . Chú ý :. 3 2 2 cos2 2 x  2  s inx+cosx   cosx+sinx    cosx-sinx   2  sinx+cosx      Cho nên : 2  cosx+sinx  1  sin 2 x  2  sinx+cosx  . Vậy : f(x)= 3. 3. cos 2 2 x  2  sinx+cosx   3sin 2 x  m cos 2 2 x  2  sinx+cosx   3  1  sin 2 x   m  3. ..  f ( x)  cosx+sinx  1  sin 2 x  2  s inx+cosx   3  m  3. . .  f ( x)  cosx+sinx     1  sin 2 x   2  s inx+cosx   1  m  3 . .Do :. 1  sin 2 x  sinx+cosx . 2. . Cho nên f(x) viết lại thành :. 2. 2.  f ( x)   s inx+cosx   s inx+cosx-1  m  3  s inx+cosx=0 f ( x) 0    s inx+cosx   s inx+cosx-1 0    sinx+cosx=1 - Khi m=-3 thì   x   k  t anx=-1   t anx=-1 4        x k 2 kZ  2 sin  x    1  sin  x+    2 sin         4 4 2 4   x   k 2 2  t s inx+cosx; t  2,sin 2 x t 2  1  g '(t )  2t  2t 2  3t  1 0   2 2  f ( x) g (t )  t  t  1  m  3 - Đặt : .  t 0   t 1  t  1  2. Ta có bảng biến thiên : t g'(t). 1 2. 0. - 2 +. 0. -. 0. 1 +. 0. 2. -.

(24) m+3 g(t). m+32. . . 2 1. m+3 m+3-2. 1 m+3- 16. 2. . Từ bảng biến thiên ta có maxf(x)=m+3 và min f(x)=m+3  6 m  3  2 f ( x ) 36   6  f ( x) 6x    m  3 6 Do đó : 2. . 2. . . 21. . 21. . 21. 2. 2. 2.   92. . . 2. 2  1 m 3. Bài 7. Giải các phương trình : 3 3 cos 2 x  5 2  2  cosx   s inx-cosx  a. b. cos x  sin x cos2x 2 2 c. 3 tan x  4 tan x  4 cot x  3cot x  2 0 2 2 3 3 d. tan x  cot x  tan x  cot x  tan x  cot x 6 Giải. a.. cos 2 x  5 2  2  cosx   s inx-cosx   2  2  cosx   sinx-cosx    sin 2 x  cos 2 x   5 0.   s inx-cosx   4  2 cos x   sin x  cosx    5 0   s inx-cosx   4   sin x  cosx    5 0  s inx-cosx=1 2   s inx-cosx   4  sin x  cosx   5 0    sinx-cosx=-5<- 2  l  sin x  cosx=1 . Vậy : b..   x   k 2   2     2 sin  x   1  sin  x    sin  k Z 2  4 4 2 4    x   k 2. cos3 x  sin 3 x cos2x   cosx+sinx  1  s inxcosx-  cosx-sinx   0.  cosx+sinx=0    cosx-sinx+sinxcosx-1=0.    t anx=-1 x   k   2 4   t+ 1-t  1 0  t cosx-sinx  2   t  1 0  2. Do vậy :  x k 2   2     t  1  2 sin  x    1  sin  x    sin      kZ  x  3  k 2 4 4 2    4  4 s inx 0  x k  k  Z   2 2 cosx  0 3 tan x  4 tan x  4 cot x  3cot x  2  0  c. . Điều kiện :. Phương trình viết lại :. 3  tan 2 x  cot 2 x   4  t anx+cotx   2 0.  1. 2  t 2  *  tan 2 x  cot 2 x t 2  2 sin2x Đặt : . Thay vào (1)  2 1  1   t  1  sin 2 x  sin 2 x 2 2    3  t  2   4t  2 0  3t  4t  4 0    2  t 2   2 2 3  sin 2 x 3  1(l )   sin 2 x 3 t t anx+cotx=.

(25)     2 x   k 2 x   k      6 12 sin 2 x sin       k Z  6  2 x  5  k 2  x  5  k   6 12 Vậy : s inx 0  x k  k  Z   2 2 3 3 cosx  0 tan x  cot x  tan x  cot x  tan x  cot x  6  d. . Điều kiện : t anx+cotx    tan 2 x  cot 2 x    tan 3 x  cot 3 x   6 0  1  Phương trình viết lại : 3 t anx+cotx  tan 3 x  cot 3 x  3 tan x cot x  t anx+cotx   t 3 tan 3 x  cot 3 x  3.1.t  Vì : 2 3  tan 3 x  cot 3 x t 3  3t . Cho nên phương trình trở thành :  t   t  2    t  3t   6 0 2     t  2   t 2  3t  4  0  t 2  2  sin 2 x 1  2 x   k 2  x   k  k  Z  sin 2 x 2 4 3 3 Bài 8. Cho phương trình : cos x  sin x m. a. Giải phương trình với m=1      4 ; 4  b. Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn. Giải a. Giải phương trình với m=1  1-t 2 t  c osx-sinx; t  2  s inxcosx=  2   2 cos 3 x  sin 3 x  cosx-sinx   1  s inxcosx  t  1  1  t  m    2   Đặt :   1  t 2   t 3  3t 3 f (t ) t  1   f '(t )   t 2  1 0  t 1  2  2 2 . Xét :.  t 3  3t 1  t 3  3t  2 0   t  1  t 2  t  2  0  2 a/ Nếu m=1. Phương trình là :   x   k 2  2     sin  x    sin  k Z 2  4 2 4   x   k 2 Với t=-2 (loại ) do đó t=1.  t 1  t  2 .      4 ; 4  b/ Nếu phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc , ta tìm điều kiện cho t :        x     x  0   1 sin  x   0   2 t 0 4 2 4 4  - Từ : 4     ;  Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm x thuộc  4 4  , thì phương trình :  t 3  3t  t 3  3t f (t )  m f (t )  2 2 có 2 ngiệm , hay đường thẳng d: y=m cắt đồ thị (C) : tại   2;0   . hai điểm với t thuộc Ta có :. f '(t ) 3  1  t 2  0  t 1. t. - 2. . Lập bảng biến thiên : -1. 0. 1.

(26) f'(t) f(t). -. 0. +. 0 0. - 2 1. Qua bảng ta thấy : với - 2 <m<1 thì d cắt f(t) tại 2 điểm , và phương trình có 2 nghiệm      4 ; 4  thuộc. Bài 9. Cho phương trình : 2 cos 2 x  sin 2 x cos x  s inxcos 2 x m  s inx+cosx . a. Giải phương trình với m=2    0; 2  b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn. Giải Phương trình viết lại :  2  cos 2 x  sin 2 x   sin x cos x  s inx  cosx  m  s inx+cosx   cosx+sinx=0   s inx  cosx   2  cos x  sin x   sin x cos x  m  0    cosx-sinx+sinxcosx-m=0 (*) 1-t 2 t cosx-sinx; t  2  s inxcosx= 2 a. Giải phương trình với m=2. Đặt :  cosx+sinx=0    cosx-sinx+sinxcosx-2=0.  t anx=-1  2   t+ 1-t  2 0  2. Vậy phương trình có nghiệm duy nhât :. x .    x  4  k   2  t  2t  3 0.   x   k  4  2   t  1  2 2 ..   k 4.    0; 2  b/ Từ (*) ta thấy : sinx+cosx=0 không có nghiệm x thuộc , cho nên để phương 2   1-t t+ m  0; 2  2 trình có ít nhất 1 nghiệm x thuộc , thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm 1-t 2 1 2 t+    t  2t  1  1; 2   . Hay đường thẳng d : y=m cắt f(t)= 2 2 t thuộc  tại ít nhất 2. điểm .     2     x    sin  x   1 2 4 4 4 2 4  Với   1  2 sin  x    2  1 t  2 4  Hay : 1  cot 2 x  m  t anx+cotx   2 0 2 Bài 10. Cho phương trình : cos x 5 a. Giải phương trình với m= 2 b. Tìm m để phương trình có nghiệm Giải 0 x .

(27) Phương trình :.  tan 2  cot 2 x  m  t anx+cotx   3 0. .. 2  t 2  tan 2 x  cot 2 x t 2  2 sin2x Đặt : t= . Cho nên phương trình trở thành 2 1 t  t 2  mt  1 0  f (t )   t 2  t  t  2 5 5 2  t  t  1 0    t  1   2(l ) 2 2  2 a/ Giải phương trình với m= 2   t  2   2  sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k  k  Z  sin 2 x 2 Do đó : tanx+cotx=. b/ Để phương trình có nghiệm thì đường thẳng d: y=m cắt đồ thị hàm số : 1 t2 t f(t)= . . 1 t2 t 2   f '(t )  0  t 1 t. Ta có bảng biến thiên : t f'(t) f(t). -2. - -. -. -1 0. 1 0. +. 2 -. + 3 2. -. 3 2 3  m  2  3  m   2 Qua bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi . Bài 11. Giải các phương trình sau :   sin 2 x  2 sin  x   1 4  b. sinx+cosx 1 d. sin 2 x  1. 3 3 a. sin x  cos x s inx-cosx. c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 . Giải a.. 3. 3. sin x  cos x s inx-cosx   sinx-cosx   s inxcosx  0.   x   k  t anx=1  4  k Z  sin2x=0     x  k  2   sin 2 x  2 sin  x   1  sin 2 x   s inx-cosx  1  s inx-cosx-  1-sin2x  0 4  b.  s inx=cosx  1   sin 2 x 0 2.

(28)   s inx-cosx    s inx-cosx . 2.    x  4  k  t anx=1   s inx-cosx=0    0      2   x   k 2 2 sin x  sinx-cosx=1   4   x   k 2 2  . c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 . Đặt :. t s inx-cosx; t  2;  sin 2 x 1  t 2   2 2 1  t  12t  12 0  t  12t  13 0.  t 1   t  13   2(l ).   x   k 2   2     2 sin  x   1  sin  x     kZ 2  4 4 2    x   k 2 Khi t=1 sinx+cosx  1 sin 2 x  1  x   k  * 4 d. sin 2 x 1 . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành  x k 2 sinx+cosx 1 2    1  1  s inx+cosx=1  sin  x+    2  x   k 2 s inx+cosx 4 2   s inx+cosx   2. Cả hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Bài 12. Giải các phương trình sau : 1  cos2x 1  cos3 x  3 5 s inx+cosx   sin 3 x  cos3x=2 2  2  sin 2 x  a. 1  cos2x 1  sin x b.  2 2 c. sin x cos x  cos2x+sinx=cos x sin x  cosx 3 d. 4sin x  1 3sin x  3cos3x. Giải    x  2  k   x   k  3 2 1  cos2x 1  cos x  x   k 2  3  2 a. 1  cos2x 1  sin x . Điều kiện : (*) 2 1  cosx   1  cosx   1  cosx   1  cosx+cos x   2 sin 2 x 1  cos3 x     2 cos 2 x 1  sin 3 x  1  s inx   1  s inx   1  s inx   1  s inx+sin 2 x  cos2x -1   sinx 1. Phương trình :. 2 1  cosx   1  cosx+cos x   1  cosx     0    1  s inx   1  s inx+sin 2 x   1  s inx      cosx=1  x k 2    sinx=cosx   x   k 2  sinx+cosx+sinxcosx=0  4.  1  cosx   cosx-sinx   cosx+sinx+sinxcosx  0    1  s inx   1+sinx+sin 2 x  1  s inx . .. s inx+cosx+sinxcosx=0  t+. Trường hợp :. t2  1 0  t 2  2t  1 0  2.   x     k 2   21  4 t  2  1  sin  x    sin    4 2   x  3    k 2  4 Khi.  t  1  2   2  l    t  1  2.   21 ; k  Z   sin   2  .

(29) b.. 5  s inx+cosx   sin 3 x  cos3x=2 2  2  sin 2 x .  5  cosx+sinx   3  cosx+sinx   4  cos3 x  sin 3 x  2 2  2  sin 2 x    cosx+sinx   8  4  1  s inxcosx   2 2  2  sin 2 x    cosx+sinx   2  sin 2 x   2  2  sin 2 x .    2  0  cosx+sinx= 2  sin  x   1  x   k 2 4 6  2 2 sin x cos x  cos2x+sinx=cos x sin x  cosx  sinxcosx  cosx-sinx    cosx-sinx  0.   2  sin 2 x    cosx+sinx  . c..  cosx-sinx=0  t anx=1    cosx-sinx   sinxcosx  1 0   1   x   k  sin 2 x  1 0 4  sin2x=-2<-1(l) 2 3 3 d. 4sin x  1 3sin x  3cos3x . Từ công thức : sin 3x 3sin x  4sin x , cho nên phương. trình trở thành : 1 3 -1 sin3xcos3x= 2 2 2   k 2    k 2 x   6 9 3  kZ 7 11 k 2    k 2 x   6 18 3.  1 3sin x  4sin 3 x . 3cos3x  sin3x- 3cos3x=-1 .   3x         3  sin  3 x   sin      3   6  3x    3 3  3tan 2 x m  t anx+cotx   1 2 sin x Bài 13. Cho phương trình : a. Giải phương trình với m=4 b. Tìm m để phương trình có nghiệm . Giải Phương trình :  3  1  cot 2 x   3 tan 2 x m  t anx+cotx   1  3  tan 2  cot 2 x   m  t anx+cotx   4 0. (1). 2 t t anx+cotx=  t 2  tan 2 x  cot 2 x t 2  2 sin2x Đặt : . Thay vào (1) ta có : 2 2  3  t  2   mt  4 0  3t  mt  2 0. (2).  2  10 2 t  3 2 3t  4t  2 0    2  10 2 t  3  a/ Với m=4 (2) trở thành : .. Cho nên phương trình vô nghiệm . . 3t 2  2 2 2 m  f (t ) 3t  m  f '(t ) 3  2  0  t  R t t t. b/ Phương trình (2) Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến . Với f(-2)=-5 ; f(2)=5 . Vậy phương trình có nghiệm  m  5  khi và chỉ khi :  m 5. VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX Bài 1. Giải các phương trình sau : 3 3 2 2 a. sin x  3cos x s inxcos x  3 sin x cos x.

(30) b.. sin 2 x  t anx+1 3sin x  cosx-sinx   3. Giải 3. 3. 2. 2. a. sin x  3cos x s inxcos x  3 sin x cos x Có 2 cách giải : Cách 1. 3 Chia 2 vế phương trình cho cos x 0 , ta có phương trình : sin 2 x  tan 3 x  3 t an 2 x-tanx- 3 0 cos 2 x   x   k   t anx=- 3 3  t anx+ 3  tan 2 x  1 0     k Z    x   k  t anx= 1  4 . sin 3 x  cos3 x. 3. . . s inx  cosx. 3. Cách 2.  sin 3 x  s inxcos 2 x  3 sin 2 x cos x . 3cos3 x 0. . .  s inx  sin 2 x  cos2 x   3cosx  sin 2 x  cos2 x  0   sin 2 x  cos 2 x  s inx+ 3cosx 0  sin 2 x  cos 2 x 0    s inx+ 3cosx=0.   cos2x=0    tanx=- 3.   k    2 x  2  k  x 4  2   kZ  x    k  x    k  3 3 .  sinx  sin 2 x  +1 3sin x  cosx-sinx   3 cosx   b. . Với điều kiện : cosx 0 , ta chia 2 vế phương 2 trình cho cos x 0 . Khi đó phương trình trở thanh: . sin 2 x sin x  cosx-sinx  3 tanx+1 3   2  cos x cosx  cosx  cos 2 x.  tan 2 x  tanx+1 3 t anx  1  t anx   3  1  tan 2 x   t anx=-1   tanx+1  tan 2 x  3 0     tanx=  3.    x  4  k  k Z  x   k  3. Bài 2. Giải các phương trình sau :  3. 8cos  x   cos3x 3  a. 2 2 c. cos x  3 sin 2 x 1  sin x. 3 b. sin x  cosx-4sin x 0 3 3 2 d. cos x  4sin x  3cos x sin x  s inx=0. Giải         8cos3  x   cos3x  2  cos3  x+   3cos  x    cos3x 3 3 3      a.        2  -cos3x  3cos  x    cos3x  3cos  x   3cos 3x 3  3        3 x  x   k 2 x   k      3 6  cos3x=cos  x+     kZ 3   3 x  x    k 2  x    k   3 12 2.

(31) 3. b. sin x  cosx-4sin x 0 . Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0 . 3 Chia 2 vế phương trình cho cos x 0 , ta có phương trinh : sin x 1 cosx sin 3 x  -4 0  t anx  1+tan 2 x    1  tan 2 x  -4tan 3 x 0 cosx cos 2 x cos3 x cos3 x  t anx  1+tan 2 x    1  tan 2 x  -4tan 3 x 0   t anx-1  3 tan 2 x  2 tan x 1 0 .  tan x 1  x   k  k  Z  4 Suy ra : 2 cos x  3 sin 2 x 1  sin 2 x   cos 2 x  sin 2 x  . c.. 3 sin 2 x 1  cos2x- 3 sin 2 x 1.  2 x k 2  x k 1 3 1      cos2xsin 2 x   cos  2x+  cos   k Z 2   x    k 2 2 2 3 3 2 x   k 2  3 3   3 3 2 d. cos x  4 sin x  3cos x sin x  s inx=0 .. Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0 . Chia 2 vế phương trình cho cos3 x 0 , ta có phương trinh : cos3 x sin 3 x cos x sin 2 x s inx 1  4 3  =0  1  4 tan 3 x  3 tan 2 x  t anx  1+tan 2 x  =0 3 3 2 2 cos x cos x cosx cos x cosx cos x    t anx=-1 x   k  4  3tan 3 x  3 tan 2 x  t anx-1=0   tanx+1  3 tan 2 x  1 0     tanx=  1  x   k  3  6. Bài 3. Giải các phương trình sau : 4 2 2 4 a. 3cos x  4sin x cos x  sin x 0. 3 b. sin x sin 2 x  sin 3x 6 cos x. cos2x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1+tanx 2 c.. d. sin3x +cos3x +2cosx=0 Giải. sin 2 x sin 4 x 3cos x  4sin x cos x  sin x 0  3  4  0  tan 4 x  4 tan 2 x  3 0 2 4 cos x cos x a.    x  4  k  t an 2 x=1  t anx= 1  2   k Z  tanx=  3 tan x=3    x   k  3 3 b. sin x sin 2 x  sin 3x 6 cos x . Có 2 cách giải 4. 2. 2. 4. Cách 1. 1 cos3x+3cosx   cosx-cos3x   sin 3 x 6    cosx-cos3x+2sin3x=3cos3x+9cosx 2 4   1 1  2sin3x-4cos3x=8cosx  sin 3x  cos3x=cosx 4 2 . Giải theo phương trình : . a.sinx+bcosx=c , ta tìm đượcnghiệm . Cách 2. Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm cho nên cosx khác 0 . Chia 2 vế phương trình cho cos3 x 0 , ta có phương trinh : 2. sin 2 xcosx sin x sin 3 x  3  4 6  2 tan 2 x  3 tan x  1  tan 2 x   4 tan 3 x  6 0 3 3 3 cos x cos x cos x.

(32)  t anx=2  2 tan x  3tan x  tan x  6 0   t anx-2   3  tan x  0     tanx=  3 2. 3. 2. s inx 0  cosx 0   tanx -1 .  x arctan2+k   x=   k 3 .    x k 2  *    x   k  4. cos2x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1+tanx 2 c. . Điều kiện : cos x cos2x   1  sin 2 x  sin xcosx sinx s inx 1+ cosx Khi đó : cos x  s inx  cosx-sinx   cosx+sinx     sin x  sin x  cosx  sinx+cosx s inx cosx  cosx-sinx=0  1    cosx-sinx    cosx-sin x  0    2 1-sinxcosx-sin x  0  s inx     cosx=sinx  tanx=1  x=  k 4 . Thỏa mãn điều kiện ..  cosx=sinx   cosx  cosx-sinx  0. 3 3 d. sin3x +cos3x +2cosx=0  3sin x  4sin x  4 cos x  3cos x  2 cos x 0  3sin x  4sin 3 x  4cos3 x  cos x 0 . Chia hai vế phương trình cho cos3 x 0 . Ta được :. sin x sin 3 x cos x  4 4 0  3 tan x  1  tan 2 x   4 tan 3 x  4   1  tan 2 x  0 3 3 3 cos x cos x cos x   x   k  t anx=-1  4  tan 3 x  tan 2 x  3 tan x  3 0   t anx+1  tan 2 x  3  0     x   k  tanx=  3  3 3. Bài 4. Giải các phương trình sau : a. c.. 6sin x  2 cos3 x . 5sin 4 x.cosx 2 cos 2 x. 3 b. s inx-4sin x  cosx=0. tan x sin 2 x  2sin 2 x 3  cos2x+sinxcosx . Giải 6sin x  2 cos3 x . 5sin 4 x.cosx  k cos2x 0  x    * 2 cos 2 x . Điều kiện : 4 2 .. a. Khi đó phương trình trở thành. 5.2sin 2 x.cos2xcosx 5sin 2 x.cosx  6sin x  2 cos3 x 5sin 2 x.cosx 2cos 2 x sin x sin x  3sin x  cos3 x 5sin x.cos 2 x  3  1 5  3 tan x  1  tan 2 x   1 5 tan x 3 cos x cosx 2 3  3tan x  1  tan x   1 5 tan x  3tan x  2 tan x  1 0   t anx-1  3 tan 2 x  3 tan x 1 0  6sin x  2 cos3 x .  tan x 1  x   k 4 Suy ra :. k Z. b. s inx sin 3 x cosx -4  =0  tanx  1+tan 2 x   4 tan 3 x   1  tan 2 x  0 3 3 3 cos x cos x cos x 2 3  tanx  1+tan x   4 tan x   1  tan 2 x  0  3 tan 3 x  tan 2 x  t anx-1=0. s inx-4sin 3 x  cosx=0 .

(33)   1  t anx   3tan 2 x  2 tan x  1 0  t anx=1  x= tan x sin 2 x  2sin 2 x 3  cos2x+sinxcosx . c. Phương trình.   k 4. k Z . . Điều kiện : cos x 0.  tan x sin 2 x  2sin 2 x 3  cos2x+sinxcosx  3  1  2sin 2 x  s inxcosx  3  6sin 2 x  3sin x cos x  tan x sin 2 x  2sin 2 x 3  6sin 2 x  3sin x cos x  tan x sin 2 x  4sin 2 x  3sin x cos x  3 0 sin 2 x sin 2 x sin x 3  tan x  4 3  0  tan 3 x  4 tan 2 x  3tan x  3  1  tan 2 x  0 2 2 2 cos x cos x cosx cos x 3 2  tan x  4 tan x  3tan x  3  1  tan 2 x  0  tan 3 x  tan 2 x  3  t anx+1 0  t anx=-1   t anx+1  tan 2 x  3 0     tanx=  3.    x  4  k  kZ  x   k  3. * Chú ý : Bài này ta còn có thể sử dụng các công thức sau : -. cos 2 x . tan 2 x  1 tanx 1 ;s inxcosx= ;sin 2 x 1  cos 2 x 1  2 2 tan x  1 1+tan x 1  tan 2 x.  1 t2 1  t   t  2 1   3 +   t  2  t 2 3  1  t  t 2     2  2 2   1 t   1  t 1+t  - Sau đó đặt t=tanx  t  1   t  2  t 2 3  1  t  t 2   t 3  t 2  3  t  1 0   t  1  t 2  3  0    t  3. Bài 5. Cho phương trình :.  4  6m  sin 3 x  3  2m  1 s inx+2  m-2  sin 2 x cos x   4m  3 cosx=0 a. Giải phương trình với m=2    0;  b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn  4 . Giải 3. 4  6m sin x  3 2m  1 s inx+2 m-2 sin 2 x cos x   4m  3  cosx=0.      Phương trình :  Nhận xét : Nếu cosx=0 thì sinx= 1 , phương trình có dạng :  1 0  4  6m   6m  3 0   7  12m 0    1  12m 0. 7   m 12   m  1  12 . Xét cosx 0 , chia 2 vế cho. cos3 x 0 .Khi đó phương trình trở thành :   4  6m . sin 3 x s inx sin 2 x cosx  3 2 m  1 +2 m-2   4m  3 =0     3 3 2 cos x cos x cos x cos3 x . Đặt : t=tanx , ta có ..   4  6m  t 3  3  2m  1 t  1  t 2  +2  m-2  t 2   4m  3  1  t 2  =0  t 1   t  1  t  3  2m  t  2   0   t 2  3   2m  t  2 2.  t 1   t  2  1 2m  ** t 2  . Phương trình luôn.    x    0;  4  4  , Cho nên để phương trình có nghiệm duy nhất thì (**) vô có nghiệm. nghiệm . Bằng cách tính đạo hàm và xét dấu , ta thấy :.

(34) 1. 1.  t  2. 2.  m(t ) 2  0t   0;1     maxf(t)=f(0)= 3  2. F'(t)= Bài 6. Giải các phương trình sau :. 3 2 a. cos x  s inx-3sin x cos x 0. 3   2m  2  1 m  3  4  2m 2. b. 1  t anx=2 2 s inx Giải. t t anx  2 2 1+t  1+t   3t 0 a.   2t 3  t  1 0   t  1  2t 2  2t  1 0  t 1  t anx=1  x=  k  k  Z  4 sinx 1  t anx=2 2 s inx  1+  2 2 s inx=0  cosx+sinx-2 2 s inxcosx=0 cosx b. s inx sin 2 x cos x  s inx-3sin x cos x 0  1  -3 0  cos3 x cos2 x 3. 2. 5  x   k 2     1 12 1    sin  x  4   2 t s inx+cosx; t  2;sin 2 x t 2  1 t      x 11  k 2  2     2 2     12  t  2  t  1 0  2t  t  2 0  t  2   sin  x   1 4    x   k  4. Bài 7. Giải các phương trình sau : 3. sin 2 x  1  t anx  3sin x  cosx-sinx   3. 3. a. sin x  cos x s inx-cosx b. 3 2 2 3 c. sin x  sin x cos x  3sin x cos x  3cos x 0 2 2 d. 3 tan x  4 tan x  4 cot x  3cot x  2 0 Giải a.. sin 3 x  cos3 x s inx-cosx . sin 3 x s inx cosx 1  3  t 3 1 t  1  t 2  -  1  t 2  3 3 cos x cos x cos x.  t 3  1 t  1  t 2  -  1  t 2   t 2  t  2 0. . Phương trình vô nghiệm. sin x  1  t anx  3sin x  cosx-sinx   3 3  s inxcosx-sin 2 x 1 3  s inxcosx+cos 2 x  2. b..  sin 2 x   sin 2 x  1  t anx  3cos x  s inx+cosx    s inx+cosx    3cos x  0  cosx    x   k  t anx=-1 s inx+cosx=0   4  2   kZ 2  x   k  sin x  3cos x 0  tanx=  3  3 3 2 2 3 c. sin x  sin x cos x  3sin x cos x  3cos x 0 . sin 3 x sin 2 x cos x sin x cos 2 x   3  3 0  t 3  t 2  3t  3 0 3 3 3 cos x cos x cos x.   x   k   t 1  t anx=1 4 2 2  t  t  1  3  t  1 0   t  1  t  3  0      kZ  t  3 tanx=  3    x   k  3 2 2 2 2 3 tan x  4 tan x  4 cot x  3cot x  2 0  3  tan x  cot x   4  t anx+cotx   2 0. d..

(35) 2   2 2 2 2 t t anx+cotx= sin2x  t 2; tan x  cot x t  2  sin 2 x  1  sin 2 x  1    2 2 2 2 2  sin 2 x 3  1(l )  3  t  2   4t  2 0  3t  4t  4 0  t  2, t     3  sin 2 x 3 Đặt     sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k  k  Z  2 4 Vậy :. V. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC A. TỔNG CÁC HẠNG TỬ KHÔNG ÂM Bài 1. Giải các phương trình sau : 2 2 a. 4sin x  2 3 t anx+3tan x  4sin x  2 0 2. 2. c. 4 cos x  3 tan x  4 3cosx+2 3 t anx+4=0 Giải. 2 2 2 b. tan x  tan 2 x  cot 3x 1. d. 2. a.. 4sin 2 x  2 3 t anx+3tan 2 x  4sin x  2 0   2sin x  1 . sin 2 x  sin 2 y  sin 2  x  y  . . . 9 4. 2. 3 t anx+1 0.   x   k 2   1  6  s inx= 2 2sin x  1 0  5      x   k 2  6  3 t anx+1=0  t anx=- 1   3    x   k 6  . Bằng cách biểu diễn các nghiệm trên 5 x   k 2 6 đường tròn đơn vị ta thấy có nghiệm chung là : thỏa mãn . 2 2 2 b. tan x  tan 2 x  cot 3x 1. 1  t anxtan2x cot 3 x cot  x  2 x    t anxcot3x+tan2xcot3x+tanxtan2x=1 t anx+tan2x Do : 2 2 2  t anx-tan2x    tan 2 x  cot 3x    cot 3x  t anx  0. Cho nên phương trình có dạng :  t anx=tan2x=cot3x  x   . Phương trình vô nghiệm c.. . 4 cos 2 x  3 tan 2 x  4 3cosx+2 3 t anx+4=0  2cosx- 3. 2.  . . 2. 3 t anx+1 0.   x   k 2    3 6  cosx=  2      x   k 2 6  t anx=- 1     3  x   l 6  . Khi biểu diễn nghiệm trên vòng tròn đơn vị ta thấy  x   k 2  k  Z  6 nghiệm chung là : 9 1  cos2x 1  cos2y 1  cos2  x+y  9 sin 2 x  sin 2 y  sin 2  x  y       4 2 2 2 4 d.  2  cos2x+cos2y+cos2  x+y    3 0  2.2cos  x  y  cos  x-y  +2  2cos 2  x  y   1  3 0  4 cos 2  x  y   2.2 cos  x  y  .cos  x-y   1 0.

(36) sin  x  y 0   1    2 cos  x  y   cos  x  y    sin  x  y  0   1 cos  x+y   cos  x-y   2   2 - Xét : x  y k  y x  k , thay vào (2). 2. 2. 1  cos2x=-  k 2n  1 2  cos  2 x  k   cosk   2  cos2x= 1  k 2n  1  2    x  3  n  n, k  Z    y    m  k   3 Giải ta tìm được :  hoặc.   x    y  .   n 3  m, k  Z    m  k  3. Bài 2. Giải các phương trình sau : 1 sin 2 x  sin 2 3 x s inx.sin 2 3 x 4 a. 2 2 b. 3cot x  4 cos x  2 3 cot x  4cos x  2 0 2 c. 8cos 4 x.cos 2 x  1  cos3x  1 0. d.. sin 2 x . sin 2 3x cos3xsin 3 x  sin 3x cos3 x  s inxsin 2 3x  3sin 4 x. Giải a. 1 1 1 1 1  sin 2 x  sin 2 3 x s inx.sin 2 3x  sin 2 x  2. s inxsin 2 3 x  sin 4 3 x  sin 2 3 x  sin 4 3x 0 4 2 4 4 4 2 2 1 1   1   1   sinx- sin 2 3 x   sin 2 3x  1  sin 2 3 x  0   sinx- sin 2 3 x   sin 2 3 xcos 2 3 x 0 2 2   4   4  x k   x k    s inx=0      x k     x=k    x  6  l 2 sin3x=0 1 2        3   s inx= sin 3x         x   l 2 2 5 1    x   l 2  6  s inx= sin 2 3x.cos 2 3x 0  s inx= 1 6      2  5  2   x   l 2  cos3x=0  sin 2 3x=1   x   k  6    6 3  2 2 b. 3cot x  4cos x  2 3 cot x  4 cos x  2 0. 1    cot x  x   k   2  2   3 3  3 cot x  1   2cos x  1 0     x   m2  m  Z  3 cosx= 1  x   l 2 3   2 2 8cos 4 x.cos 2 x  1  cos3x  1 0  4 cos 4 x  1  cos4x   1  cos3x  1 0. . . c.. 1  2 cos4x=  2cos4x+1  1  cos3x 0   2 cos3x=1.  k   x  6  2 2  x   m 2  m  Z   3  x  l 2  3.

(37) sin 2 3 x sin x  cos3xsin 3 x  sin 3 x cos3 x  s inxsin 2 3 x  3sin 4 x d. 2. *Nhận xét : sin 2 3x sin 2 3 x 3 3  s in 3 x  4cos3 x  3cos x   cos3 x  3sinx-4sin 3 x    c os3xsin x  sin 3 x cos x     3sin 4 x 3sin 4 x  2 2 2 sin 3 x  sin 3x 3 sin 3 x 1 1  3sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x    . sin 2 x.cos2x= sin 4 x  sin 2 3x  3sin 4 x 3sin 4 x 2 sin 4 x 4 4 . Cho nên phương trình d chính là phương trình a mà ta đã giải . B. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ 1. Dạng 1. Bài 1. Giải các phương trình sau : a.. cos3x+ 2-cos 2 3 x 2  1  sin 2 2 x . 3 3 4 b. sin x  cos x 2  sin x.   tan 2 x  cot 2 x 2sin 5  x   4  d.. c. 3  cosx  cosx+1 2 Giải cos3x+ 2-cos 3 x 2  1  sin 2 x  2. a.. Ta có :. 2. . VT 2  1.cos3x+1. 2-cos 2 3x. . 2.  1 1  cos 2 3x  2  cos 2 3x  4  VT 2.  VP=  Cho nên phương trình có nghiệm khi cả hai vế xáy ra dấu đẳng thức : 2 1  sin 2 2 x 2 . 1  1  cos 2 3x 1  cos3x= 2  cos 2 3x   cos3x   2  cos 2 3 x   sin 2 x 0 sin 2 x 0 sin 2 x 0 . cos6x=1  sin2x=0. k  x  6 x k 2  3    2 x l  x  l  2 . Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k,l thuộc Z sao cho hai k l 3   k l 2 2 nghiệm : 3 chọn : l=2n . n  n  Z  Khi đó phương trình có nghiệm là : x= 3 3 4 b. sin x  cos x 2  sin x 3 3 2 2 VT= sin x  cos x sin x  cos x 1 4 4 VP= 2  sin x 2  1 1 . ( Do 0 sin x 1 ) Do đó phương trình chỉ xảy ra khi :. sin 3 x sin 2 x   cos3 x cos 2 x  sin 4 x 1 . sin 2 x  1  s inx  0  2 cos x  1  cosx  0   2 sin x 1. s inx=1   x   k 2  2 cosx=0. c. 3  cosx  cosx+1 2 Ta có. . VT 2 . 3  cosx . cosx+1. . 2.  1  1  3  cosx+cosx+1 4  VT 2.

(38) Chỉ xáy ra khi :. 1 1   3  cosx cosx+1. 3  cosx  cosx+1  cosx=1  x=k2.   tan 2 x  cot 2 x 2sin 5  x   4  d. VT tan 2 x  cot 2 x 2 tan 2 x cot 2 x 2     2sin 5  x   2  sin  x   1 4 4  . Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :   VP=.  tan 2 x cot 2 x      sin x   1    4  .  sin 2 x cos 2 x cos2x=0  cos 2 x  sin 2 x       sin x+  1      sin x   4  1     4. Bài 2. Giải các phương trình sau : 13 14 a. cos x  sin x 1.    x   k  4 2  x   l 2  4  x   l 2  4. 2 2 b. cos x  4cos x  2 x sin x  x  3 0. Giải 13. 14. a. cos x  sin x 1  cosx 1 cos13 x cos 2 x   14  cos13 x  sin14 x cos 2 x  sin 2 x 1  2 s inx 1 sin x sin x Do : . Vậy :  cosx=0 2 11   12  cos13 x cos 2 x cos x  cos x  1 0  sin x=1    14    2  cosx=1 2 12 sin x sin x sin x  sin x  1 0   sinx=0 2. b..     x= 2  k    x   k   x=   k  2   2    x l 2   x=k2   x=k . 2. 2  2 cos x  2 x sin x  x 2 0   cosx-1   x  s inx  0. cosx-1=0 cosx=1      x-sinx=0 x=sinx.  x k 2  x k 2   x 0  2  2 2 x  0 c os x  sin x  x  1  . 2. Dạng 2. Bài 3. Giải các phương trình sau : tan 2 x  tan 3 x . a. 4 cos x  2 cos 2 x  cos4x=1. b.. 2 2 c. cos 3 x cos 2 x  cos x 0. cos4x-cos2x  d. . 2. 1 0 s inxcos2xcos3x. 5  sin 3x. Giải 2 a. 4 cos x  2cos 2 x  cos4x=1  4cosx=1+cos4x+2cos2x  4cosx=2cos 2 x  2cos 2 x 2. 1 1 1  1  2cosx+ =cos 2 2 x  cos 2 x   2cosx+  cos2x+  4 4 4  2 2 2  1  1 9  VP  cos2x+   1     2  2 4  cos2x=1   x k  x m 2 m  Z       cosx=1 x  l 2  1 1 9   VT=2cosx+ 2    4 4 4.

(39) 1 0 s inxcos2xcos3x b. .   x k s inx 0      cos2x  0    x   k  * 4 2 cos3x 0       x  6  k 3 Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành : tan 2 x  tan 3 x . sin 2 x sin 3 x 1 sin 2 xcos3x+sin3x.cos2x 1   0   0 cos2x cos3x s inxcos2xcos3x cos2xcos3x s inxcos2xcos3x sin 5 x 1 sin 5 x.s inx+1   0  0  sin 5 x.s inx+1=0 cos2xcos3x sinxcos2xcos3x s inxcos2xcos3x   l x=  cos4x=-1  4 2 cos4x-cos6x  +1=0  cos4x-cos6x=-2    2 cos6x=0  x=   m  12 6  l  m    Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại m,l thuộc Z sao cho : 4 2 12 6 3l  2 l  3  3l 1  2m  m  l  1  2 2 . Chọn l=2n , thì m=3n+1  l  x     n  n  Z  4 2 4 Suy ra phương trình có nghiệm : . Nhưng lại vi phạm điều . kiện do làm cho cos2x=0 . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . 1  cos2x 0  2 cos 2 3 x cos 2 x  1  cos2x=0 2 c. cos8x=1  cos2x  2 cos 2 3 x  1 1  cos2x.cos6x=1  cos8x+cos4x=2   cos4x=1 cos 2 3x cos 2 x  cos 2 x 0  cos 2 3 x cos 2 x . k  x  8x=k2  4  : k , l  Z  k  l  k 2l  x l  l  Z     4 2 2 4x=l2  x  l  2 l x lZ 2 Nghiệm của phương trình là :. d..  cos4x-cos2x . 2. 5  sin 3x. VT  cos4x-cos2x. 2.   Ta có : VP= 5  sin 3x 5  1 4 Cho nên suy ra chỉ xảy ra :. 4sin 2 3 x sin 2 x 4.  k 2  x    sin 3 x  1 sin 3 x  1 sin 3 x  1  6 3  2    2 2 c osx=0   sin 3 x.sin x 1 sin x 1  x   l  2 .. Phương trình có nghiệm khi tồn tại k,l thuộc Z sao cho :.

(40)  k 2  2  3l l    l   1  4k 3  6l  k  1  l  6 3 2 2 2  x   n 2 2 Chọn l=2n thì k=3n+1 , khi đó phương trình có nghiệm : .  nZ . Bài 4. Giải các phương trình sau " a.. sin x  cosx= 2  2  sin 3x . b. tanx+tan2x=-sin3xcos2x .  . c. sin4xcos16x=1. d.. 2sin  x   t anx+cotx 4 . Giải a.. sin x  cosx= 2  2  sin 3 x . VT s inx+cosx  2 s inx+cosx= 2    VP  2  2  sin 3 x   2  1 1  sin 3 x   2.1 sin 3 x 1 Nhận xét :       x   k 2  s in x+ =1   l 2   4      : k , l  Z   k 2    3  24k 2  8l 4   4 6 3 sin 3x 1  x   l 2   6 3  2  12k  4l   1. . Vô nghiệm vì : VT là một số chẵn với mọi k,l thuộc Z còn vế phải là một số lẻ với mọi k,l . Vậy phương trình vô nghiệm . cosx 0  *  b. tanx+tan2x=-sin3xcos2x . Điều kiện : cos2x 0 s inx sin 2 x    sin 3 x.cos2x cosx cos2x Phương trình trở thành : s inxcos2x+sin2x.cosx sin3x   sin 3 x.cos2x   sin 3x.cos2x=0 cosxcos2x cosxcos2x  sin3x=0  1+cosx.cos 2 2 x   sin 3 x  =0    2  cosxcos2x   1+cosx.cos 2 x 0 k k Z 3 - Trường hợp : là một họ nghiệm , thỏa mãn điều kiện (*) c osx  1+cos4x  0  2  cosx+ cos5x+cos3x 0 1+cosx.cos 2 2 x 0  1  2 2 - Trường hợp : 3 cos3x=-1  4 cos x  3cos x  1 1  cosx=-1   4  2cosx+cos5x+cos3x 0  cos5x=-1  cos5x=-1 2   cos5x=-1 cosx=-1  cosx=-1 3      x= +l2  m2     m2  : l , m  Z  +   2l 5 5  x= 5 + 5 . ( Do thay (3) vào (1) thỏa mãn ) sin 3x 0  x . 10l  4 1  2m 5 10l  m  5l  2  x   l 2  l  Z  2 x   l 2  l  Z . Vậy phương trình có thêm nghiệm nữa là :.

(41) sin 20 x 1  sin 20 x  sin12 x 2    sin12 x  1.  k   x  40  10   x    l  24 6 .. c. sin4xcos16x=1 Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k,l thuộc Z sao cho :. 1  4k 1  4l  2  5l l 2   3  1  4k  5   4l  1  12k  20l  8  k   2l  40 24 3 3   3m  2   7 m l  2 3m  l 3m  2  x      mZ  24 6 24 2 Đặt : 7 m x   m Z  24 2 Vậy phương trình có nghiệm : s inx 0    * 2sin  x   t anx+cotx  4  d. . Điều kiện : cosx 0 . Phương trình đã cho trở thành : .   s inx cosx 2   2sin  x    +  4  cosx sinx sin 2 x , cho nên ta có nhận xét sau :  2  VP  sin 2 x 2      VT 2sin  x   2 4  . sin 2 x 1      sin x   1    4  .  x   l 2 4 Vậy phương trình có nghiệm là :.    x  4  k   x   l 2  4  x   l 2  4. lZ. lZ. Bài 5. Giải các phương trình sau : 2. 2. 1   2 1  1  2   sin x  2  12  sin y  cos x  2  cos x   sin x  2 a.  2. 2.      3x 1   1  81 2 3 x  sin     cos    cos 4 x x x 2 sin 3   2 cos3  4  2  2 b. . Giải 2. 2. 1   2 1  1  2   sin x  2  12  sin y  cos x  2  cos x   sin x  2 a. . Ta có : 2 2 2  2   2 1  1  1   1    2 2   1  sin x  sin 2 x    1  cos x  cos 2 x    1  1   sin x  sin 2 x    cos x  cos 2 x              . 2 2 2  2 1   1   1 4  1 25 2 2  VT   sin x  2    cos x   1 2    1 4  2   sin x   cos x   2  sin 2 x  2 2   1 1 25 12  sin y 12   2 2 2 VP=.

(42) Suy ra :. 1 1  2 2 cos 2 x sin 2 x cos2x=0 sin x  2 cos x  2    sin x cos x   siny=1 sin y  1   sin y 1 2.  k   x  4  2   y   l 2  2. 2.      3x   1 x 1  81 2   cos3   sin     cos 4 x x x 2 sin 3   2 cos3  4  2  2 b. . Ta có : 2. 2.      3x  1   x 1 x x 1 1   cos3  sin 6  cos 6   4  sin    2 sin 3 x   2 cos 3 x  2 2 sin 6 x cos 6 x  2  2 2 2 VT=      x 64 x x  64   6x    sin  cos 6   1   4  sin 6  cos 6   1  6   4   2 2   26 sin 6 x cos 6 x  2 2   sin x     2 2 3  x x x x x x   64  4    sin 2  cos 2   3sin 2 cos 2  sin 2  cos 2    1  6  2 2 2 2 2 2    sin x    64  81  3   3 4   1  sin 2 x   1  6  4   1    1  64   4  4   sin x   4 2 sin x 1 2  6 sin x 1 c os x  1   x   2 81 c os x  1  cos 4 x 1   VP 4 . Suy ra ta có hệ :  . Phương trình vô nghiệm .. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau: 3x − 2=0 4 c) √ 1+ sin x + √ 1− sin x=2 cos x. a) cos 2 x+ cos. b). sin4 x +cos 4 x 1 = (tan x+cot x ) sin 2 x 2. Giải 3x 3x cos 2 x  cos  2 0  cos 2 x  cos 2  4 4. cos2x=1    3x cos 4 1. a) Phương trình có nghiệm khi tồn tại k,l thuộc Z sao cho : k 8n l 8 3k k  l     x 8n  n  Z  3 8 l 3n . Vậy phương trình có nghiệm là :.  x=k   l 8  x  3. x 8n  n  Z . s inx 0 sin4 x +cos 4 x 1  *  = (tan x+cot x ) cosx  0  2 b) sin 2 x . Điều kiện : . Suy ra : . sin 4 x  cos 4 x 1 sin x cos x 1  (  )  sin 4 x  cos 4 x 1 sin 2 x 2 cosx s inx sin 2 x.

(43)  1. 1 2 sin 2 x 1  sin 2 x 0 2 . Nhưng lại vi phạm điều kiện .. Vậy phương trình vô nghiệm . c) √ 1+ sin x + √ 1− sin x=2 cos x Ta có :. . VT 2  1  sin x  1  sin x. . 2.  1  1  1  s inx+1-sinx  2.2  VT 2. VP=2cosx 2  1  s inx  1  s inx s inx=0   x k 2  cosx=1 c osx=1   Cho nên : .  k Z . Bài 2. Giải các phương trình sau 1 2 5 tan x − + =0 2 cos x 2 3 2 c) (4 −6 m) sin x+ 3(2 m−1)sin x +2( m−2)sin x cos x −( 4 m− 3)cos x=0 (Biện luận theo 2 2 a) sin x cos 4 x − sin 2 x=4 sin. ( π4 − 2x ) − 72. b). m). Giải 1-cos4x   x 7   7 sin x cos 4 x  sin 2 2 x 4sin 2      s inxcos4x2 1  cos   x    2  4 2 2 2  2  a) 2s inxcos4x 1-cos4x 4  1  s inx  7     cos4x  2s inx+1  2  2sin x  1 0 2 2 2 2   x   k 2  1 6   2s inx+1  cos4x+2  0  s inx=-   k Z 7  2  x   k 2  6 1 2 5 cosx 0  * b) 2 tan x − cos x + 2 =0 . Điều kiện : . Suy ra phương trình trở thành : 1 sin x 2 5    0  s inx-4+5cosx=0  sinx+5cosx=4 2 cosx cos x 2 . Ta thấy : a 2  b2 1  25 26  c 2 42 16 . Ta chia 2 vế phương trình cho. 26.  x     k 2 1 5 4 sinx+ cosx=  sin  x    sin    26 26 26  x         k 2 5 1  sin   26 ; cos = 26  sin   4 ; k  Z  26 Với :  . c) (4 −6 m) sin 3 x+ 3(2 m−1)sin x +2( m−2)sin 2 x cos x −( 4 m− 3)cos x=0 3 Chia 2 vế phương trình cho cos x 0 , ta có : sin 3 x sin x 1 sin 2 x 1  (4  6m)  3(2m  1)  2( m  2)  (4m  3) 0 3 2 2 cos x cosx cos x cos x cos 2 x  (4  6m) tan 3 x  3(2m  1) t anx  1+tan 2 x   2( m  2) tan 2 x  (4m  3)  1  tan 2 x  0  tan 3 x  (4  6m)  6m  3  3(2m  1) t anx  tan 2 x  2m  4  4m  3   (4m  3) 0  tan 3 x- tan 2 x  2m  1  3(2m  1) t anx  (4m  3) 0.

(44) t t anx  t 1   2 2  t  2mt  4m  3 0  t-1  t  2mt  4m  3  0   '  0  1  m  3  ptvon0   m 1  t0 m 1 2  ' m  4m  3    ' 0    m 3  t0 3     '  0  m  1  m  3  t t1  t t2 Ta có : f(1;m)=2m-2. Như vậy ta có biện luận sau :   x   k 4 - Nếu : 1<m<3 Phương trình có 1 nghiệm : tanx=1   x   k 4 - Nếu m=1 . Phương trình có nghiệm kép : tanx=1    t anx=1  x   k 4  tanx=3     x arxtan3+k - Nếu m=3 . Phương trình có 2 nghiệm :  t anx=1  2  tanx=m- m  4m  3  t anx=m+ m 2  4m  3 m  1  m  3 - Nếu : phương trình có 3 nghiệm : . Bài 3. Giải các phương trình sau a) 1− tan 2 x=2 tan x tan 2 x. b) sin 4 x=2cos 2 x −1 2 d) 1+cos 2 x+sin x=2cos. c) 8 cos 4 x −cos 4 x=1. x 2. Giải cosx 0  *  cos2x  0  a) . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành 2 sin x sin x sin 2 x cos2x sin x sin 2 x  1 2  2  cos 2 2x 2sin xcosxsin2x=sin 2 2x 2 2 cos x cosx cos2x cos x cosx cos2x  k  cos 2 2 x  sin 2 2 x 0  cos4x=0  x=  8 4 . 1− tan 2 x=2 tan x tan 2 x.  2  k  cos2x=cos   k   0  x   2 2 8 4 thỏa mãn điều kiện (*) 4 Ta có :  cos2x=0 2 sin 4 x 2cos x  1  2sin 2 xcos2x cos2x  cos2x  2sin2x-1 0    sin2x= 1  2 b)     k  2x= 2  k  x= 4  2       2x=  k 2   x=  k  k Z    12 6    2 x  5  k 2  x  5  k   12 6 2.  1  cos2x  2 2 2 8cos x  cos 4 x 1  8   2 cos 2 x  1  2 cos 2 x  cos 2 x cos 2 x 2   c) 4.

(45) 1 2   cos2x=-  2 x   k 2  x   k  k  Z  2 3 3 x 1  cos 2 x  sin x 2cos 2  cos2x  s inx=cosx  cos 2 x  s in 2 x=cosx-sinx 2 d).   x   k  t anx=1  4   cosx=sinx    cosx-sinx   cosx+sinx-1 0    k Z    x k 2    cosx+sinx=1  sin  x+  sin   4 4    x   k 2 2 . Bài 4. Giải các phương trình sau 3 2 c) tan x − 3 cot x=4 (sin x+ √3 cos x ) 2 2 a) sin 2 x +sin 4 x=. b) tan x +tan 2 x=sin 3 x cos x d) sin 3 x+ cos3 x=cos 2 x Giải. 3 sin 2 2 x  sin 2 4 x   1  cos4x+2sin 2 4 x  3 0  2  1  cos 2 4 x   cos4x-2=0 2 a)  k  x   cos4x=0  8 4  2cos 2 4 x  cos4x=0    kZ  cos4x=- 1  x   k  2  6 2 cosx 0  *  tan x +tan 2 x=sin 3 x cos x cos2x  0  b) . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành sin x sin 2 x sin 3 x  sin 3 x cos x  sin 3 x cos x  sin 3 x  1  cos 2 x cos 2 x  0 cosx cos2x cosxcos2x  sin 3x 0  sin 3 x 0  sin 3 x 0  sin 3 x 0    cos2x  1+cos2x    2 2  1  cos 2 x  cos2x-2=0  cos2x=1  1  cos x cos 2 x 0  2 . k  x  3 x k    3   2 x k 2 x  k  . c). kZ . Đối chiếu với điều kiện , thì các nghiệm thỏa mãn .. tan x − 3 cot x=4 (sin x+ √3 cos x ). thành :. . s inx 0  *  cosx  0  . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở. sin x 3cos x  4(sin x  3 cos x)  cosx s inx.  (sin x  3 cos x) 0    s inx+ 3cosx-4sinxcosx=0.   x= k  3     x   k 2  3   x  2  k 2 9 3 .  k Z. sin 2 x . . 3cosx. s inxcosx.  t anx=- 3   3 1 s inx+ c osx=sin2x  2 2. . 2.  4(sin x  3 cos x) 0.  t anx=- 3   sin 2 x sin  x       3 .

(46)  1  sin 3 x  cos3 x cos 2 x   s inx+cosx   1  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2  d)  s inx+cosx=0  t anx=-1 1      s inx+cosx   cosx-sinx-1+ sin 2 x  0   1  cosx-sinx-1+ 1 sin 2 x  t+  1  t 2   1 0 2    2  2   x   k    4   x   k     x   k  x   k 4  4       x =  k 2 k  Z 4    2 2      t  1 0  x   k 2  cosx-sinx 1  sin  x-  =sin 4   4  . Bài 5. Giải các phương trình sau a) sin 4 x=tan x c) 3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2. b) sin 4 x − 4 sin x −(cos 4 x − 4 cos x)=1 d) cos 7 x − √ 3sin 7 x=− √ 2 Giải. s inx sin5x+sin3x sin 4 x tan x  sin 4 x   sin 4 x.cosx=sinx  s inx cosx 2 a)  sin5x+sin3x 2s inx   sin5x-sinx    sin 3 x  s inx  0  2 cos 3 x sin 2 x  2cos2x.sinx=0  s inx=0  sinx=0  2s inx  2 cos 3 xcosx  cos2x. =0    2  cos4x+2cos2x=0  2cos 2 x  2 cos 2 x  1 0   s inx=0   x k   s inx=0 -1- 3 3  1    cos2x=   1(l )     k  Z ; cos =    x   k  cos2x=cos 2 2     2  cos2x= 3  1 cos  2 sin 4 x  4sin x  (cos 4 x  4 cos x) 1   sin 4 x  cos4x-1  4  cosx-sinx  0. b).   2sin 2 x cos 2 x  2 cos 2 2 x   4  cosx-sinx  0  cos2x  sin2x-cos2x   2  cosx-sinx  0  cosx=sinx   cosx-sinx    cosx+sinx   sin 2 x  cos2x   2 0    2sin  x+   sin  2 x     2 0  4  4    x   k   t anx=1 4  t anx=1           cos  x-   1   x   k 2  k  Z      cos  x-   cos3x=-2   2  2    2  k 2  cos3x=1 x  3  s inx 0  *  3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2 cosx  0  c) . Điều kiện : . Suy ra :  3(cot x  cos x)  5(tan x  sin x) 2  3(cot x  cos x)  3(tan x  sin x) 2  2(tan x  sin x) s inx  cos x s inx   cosx+sinx-sinxcosx   3(   cos x  s inx)  2  2(  sin x) 2   cosx cosx  s inx cosx   .

(47) cosx+ s inx-sinxcosx  cosx+sinx   3  cos x  s inx    1 2( ) cosx  s inxcosx  1 2     cos x  s inx    cosx+sinx   s inxcosx   3   0  s inxcosx cosx    t anx=1   x= 4  k   cos x  s inx  0    t2  1    cosx+sinx   s inxcosx   t0   t 1  2  t 1  2  1 l   2   3cosx-sin2x=0   cosx 0  s inx= 3  1 l   c osx 3-2sinx  0     2     x   k x   k   4 4     1 2    x      k 2  x  3    k 2  sin  x  4   2 sin   4 4    .. Do điều kiện : cosx 0 . Còn các nghiệm trên thỏa mãn điều kiện . d). cos 7 x . 3 sin 7 x  2 . 1 3 2  3  cos 7 x  sin 7 x   cos  7x+  cos 2 2 2 6 4 .  3  k 2      7 x  6  4  k 2  x 14  7 7 x   k 2     2   7 x    3  k 2  x    k 2  7 x    k 2   6 4 7 7. Bài 6. Giải các phương trình sau a) tan x − 2 √2 sin x=1. kZ. b) 2 cos3 x=sin 3 x. 1+cos x 1− sin x 5 6 6 4 4 sin x+ cos x= (sin x +cos x ) 6. 2 c) tan x=. d). Giải a) tan x − 2 √2 sin x=1 . Điều kiện : cos x 0 . Phương trình :  t  2 t s inx-cosx; t  2     2 2 t  2  1  t  0  t  2  2(l )         2 sin  x    2  sin  x    1  x    k 2  x   k 2 4 4 4 2 4   Do đó :  x   k 2  k  Z  4 Vậy nghiệm phương trình là : sin x   2 2 sin x 1  s inx-cosx- 2 sin 2 x 0  cosx. 3. 3. 3. b) 2cos x sin 3 x  2 cos x  3sin x  4sin x 0 . Vì cosx=0 không là nghiệm , cho nên ta 3 chia cả hai vế của phương trình cho cos x 0 , suy ra : sin x sin 3 x  2 3 4 0  4 tan 3 x  3 tan x  1  tan 2 x   2 0 3 3 cos x cos x  t anx=1  tan x  3tan x  2 0   t anx-1  tan x  t anx-2  0     tanx=2 3. 2.    x  4  k   x arxtan2+k.

(48) 1+cos x tan x= 1− sin x . Điều kiện : c) 2. cosx 0   x   k 2  *  2 sinx 1 . Phương trình :. sin 2 x 1  cos x  1  cos x   1  cosx   1  cos x    cosx-sinx     1 0      0 2 cos x 1  sin x  1  sin x   1+sinx   1  sin x   1+sinx   x k 2  cosx=1  cosx=1    k Z   cosx+sinx=0  tanx=-1  x   k  4 . . Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) . 5 3 5 1  sin 6 x  cos6 x  (sin 4 x  cos 4 x)  1  sin 2 2 x   1  sin 2 2 x  6 4 6 2  d) 5 1 1  k  5 3     sin 2 2 x   1  sin 2 2 x   2sin 2 2 x 1  cos4x=0  x=  6 3 6 8 4  12 4   k x=  k Z 8 4 Vậy phương trình có nghiệm là :. Bài 7. Giải các phương trình sau sin 4 2 x+ cos4 2 x =cos 4 4 x π π a) tan − x tan + x 4 4 2 c) cos 2 x+ sin x +2 cos x+ 1=0. (. sin 6 x+ cos6 x 1 =− 4 π π b) tan − x tan + x 4 4. ) ( ). (. ) ( ). Giải 4. 4. sin 2 x+ cos 2 x =cos 4 4 x π π a) tan − x tan + x 4 4. (. . ) ( ).     tan   x  tan   x  0  * 4  4  . Điều kiện :. 2 sin 4 2 x  cos 4 2 x 1 cos 4 4 x  sin 4 2 x  cos 4 2 x cos 4 4 x  1  sin 2 4 x  1  sin 2 4 x  2     cot   x  tan   x  4  4 . t sin 2 4 x; t   0;1 2 k  t sin 4 x; t   0;1  1  2  t 0  sin 2 4 x 0  x  2 4 2t  3t 0 1  t t  2t  1  2. Kiểm tra điều kiện (*) .  n. - Nếu k=2n thì x= 2  x.  x.   n     n     tan  x   tan    1 0 4 4 2 4  4 2 .  2n 1    n.  x. 4 4 2 - Nếu k=2n+1 không xác định cho nên với k lẻ thì loại . .   n     n     tan  x   tan    4 2 2 4   2 2 ,. n x  4 2 Tóm lại phương trình có nghiệm là :.  nZ . 6 6     sin x+ cos x 1 tan   x  tan   x  0  * =− 4 . Điều kiện : 4  4  b) tan π − x tan π + x 4 4. (. ) ( ). kZ.

(49) sin 6 x  cos 6 x 1 1 3 1    sin 6 x  cos 6 x   1  sin 2 2 x  4 4 4 4     cot   x  tan   x  4  4  5 3 1  cos4x 7   sin 2 2 x  5 3  cos4x=-   1 loai  4 4 2 3 . Vậy phương trình vô nghiệm .. c) cos 2 x+ sin2 x +2 cos x+ 1=0 t cosx; t 1  2 cos 2 x  1  cos 2 x  2 cos x 0   2  t  1  cosx=-1  x= +k2 t  2t  1 0 x   k 2. Do đó phương trình có nghiệm là : Bài 8. Giải các phương trình lượng giác sau: a). 1 − tan x =1+sin 2 x 1+tan x. kZ b) 2 √ 2 sin. ( π4 + x )=cos1 x + sin1x. 2 d) cos 2 x − cos 4 x ¿ =6 +2sin 3 x. c) 9 sin x+ 6 cos x − 3sin 2 x+ cos 2 x=8. ¿. Giải a).  1 − tan x tan x  1  x   l  * =1+sin 2 x 4 . Điều kiện : . Khi đó : 1+tan x. 2 t t anx 1  t anx   1  tan x 2 tan x 2  1     3  t  t  t  2  0  t 0 2 2 2 1  tan x 1  tan x 1  tan x  1-t   1  t   1  t  tan x 0  x k  k  Z . Vậy phương trình có nghiệm là :.   2 sin  x   1 1 4     s inx+cosx  2 2 sin   x     2 2 sin   x    s inx cos x 4  cos x sin x 4  s inx cos x b)      x   k  1  k    4  sin  x  4  0    2 sin   x   2   x    0    s inx cos x  4 2 4   x   k   sin 2 x 1  4  k x  k Z 4 2 Vậy phương trình có nghiệm : , thỏa mãn điều kiện (*). c). 9sin x  6 cos x  3sin 2 x  cos 2 x 8  2cos 2 x  6cosx  sinx-1  9  sinx-1 0.  s inx=1     sinx-1  2s inx+6cosx-7  0    x   k 2 2  2s inx+6cosx=7 2 2 2 Vì : 2s inx+6cosx=7 có : a  b 4  36 40  c 49 .. kZ. 2 d) cos 2 x − cos 4 x ¿ =6 +2sin 3 x. ¿ VT (cos 2 x  cos 4 x) 2 4sin 2 3 x sin 2 x 4 VP 6  2sin 3 x 6  2 4.  k 2  x    sin 3 x  1 sin 3 x  1  6 3    2 cosx 0 sin x 1  x   l  2 Suy ra : . Để phương trình có nghiệm thì ,tồn  k 2      l   1  4k 3  6l   2k  3l  2 3 2 tại k,l thuộc Z sao cho : 6.

(50) k. 2  3l l 1  l   2 2. l 2n   x   n2  n  Z   k 3n  1 . Vậy phương trình có nghiệm : 2. Bài 9. Giải các phương trình lượng giác sau:. sin 5 x =1 c) Cho phương trình: 5 sin x sin 2 4 x −cos 2 6 x=sin (10 ,5 π +10 x) . π Tìm các nghiệm thuộc khoảng 0 ; 2. a). ( ). Giải sin 5 x. a) 5 sin x =1 . Điều kiện :. s inx 0  *. . Khi đó phương trình trở thành :.  sin 5 x 5sin x  sin 5 x  s inx=4sinx  2cos3xsin2x-4sinx=0 cos4x+cos2x  4sin x  cos3xcosx-1 =0   cos3xcosx-1 0  1  2 cos 2 2 x  cos2x-3=0 2  cos2x=1   cos2x=1  x=k  cos2x=- 3  2 . Nhưng lại vi phạm điều kiện làm cho sinx=0 .. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . c/. sin 2 4 x  cos 2 6 x sin(10,5  10 x) . 1  cos8x-  1+cos12x    sin   10 x  2 2 .    cos12x+cos8x   2cos10x  2cos10x.cos2x-2cos10x=0  2cos10x  cos2x-1 0.  k     10 x  2  k   x  20  10  k  Z     2 x k 2  x k  3 5 7 9   x   0;   x  ; x  ; x  ; x  ; x  20 20 20 20 20 . Tất cả có 5 nghiệm .  2 Với :  cos10x=0    cos2x=1. Bài 10. Giải các phương trình lượng giác sau: 5 4. 8 8 10 10 a) sin x+ cos x=2(sin x+ cos x )+ cos 2 x 2 2 2 c) sin x+sin 2 x+ sin 3 x=. 3 2. b) √ 3 sin2 x − 2cos 2 x =2 √ 2+2 cos 2 x d) √ 3 sin x +cos x=. 1 cos x. Giải 5 5   sin 8 x  2sin 2 x  1  cos8 x  2cos 2 x  1  cos2x=0  cos2x  sin 8 x  cos8 x   0 4 4  a)  cos2x=0  cos2x=0      cos 2 x  sin 2 x   1  1 sin 2 2 x   5   cos 4 x  sin 4 x   cos 4 x  sin 4 x   5   4  2  4  cos2x=0  cos2x=0  cos2x=0     1 5 1 5     2 2 3  cos2x  1  sin 2 x    cos2x  1   1  cos 2 x     2cos 2 x  2 cos 2 x  5 0    2  4  2  4  k  x   k Z  4 2 Trường hợp : cos2x=0 3 Trường hợp : 2 cos 2 x  2cos 2 x  5 0 . Đặt : t=cos2x ,.  t 1  f (t ) 2t 3  2t  5  f '(t ) 6t 2  2  0t    1;1.

(51) Nhưng : f(-1)=-9, và f(1)=-1 do đó f(t) luôn âm với mọi x thuộc [-1;1]. Phương trình vô  k x  kZ 4 2 nghiệm . Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là : b) √ 3 sin2 x − 2cos 2 x =2 √ 2+2 cos 2 x Vì :. 2  2 cos 2 x  2  1  cos2x   2.2 cos 2 x 2 cosx. . Cho nên phương trình trở thành :. 3 1 s inx- cosx=1 2 2 +/ Nếu cosx>0 :   2 1    2   s in  x-  =1  x=   k 2   k 2 cos   k 2    0 2 6 3 2  6  3  Hay : . Nhưng . 2 x   k 2  k  Z  3 Cho nên : . Loại . 3 sin 2 x  2 cos 2 x 4 cos x  3 s inx-cosx=2 . 3 1 s inx- cosx=-1 2 2 +/ Nếu cosx<0 :        1  s in  x-  =-1  x=-   k 2   k 2 cos   k 2    0 2 6 3  6 3  2 Hay : . Nhưng .  x   k 2  k  Z  3 Cho nên : . Loại . 3 sin 2 x  2cos 2 x  4 cos x . 3 s inx-cosx=-2 . +/ Cosx=0 . Đương nhiên 2 là nghiệm của phương trình .  x   k  k  Z  2 Vậy nghiệm : 3 sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x    1  cos2x    1  cos4x    1  cos6x  3 2 c)   cos6x+cos2x  +cos4x=0  2cos4xcos2x+cos4x=0  cos4x  2cos2x+1 0.    k   cos4x=0  x= 8  4  4x= 2  k      k Z  cos2x=- 1  x=   k  2x= 2  k 2  2   3 3 1 d) √ 3 sin x +cos x= . Nhận xét : cosx=0 không là nghiệm , cho nên chia 2 vế của cos x cos x 0  3 t anx+1=1+tan 2 x  t anx tanx- 3 0. . phương trình cho  t anx=0    tanx= 3.  x k   x   k  3 . . k Z. * Chú ý: Ta còn có cách : . 3 sin xcosx  cos 2 x 1 .  s inx=0  s inx=0 3 sin xcosx=1  cos 2 x sin 2 x     3cosx=sinx  tanx= 3. Bài 11. Giải các phương trình lượng giác sau: a) cot 2x =tan 2x +2 tan 2 x+1. b). 2 cos x+ √ 2 sin 10 x=3 √ 2+2 cos 28 x sin x c) sin 2 x +2 cos 2 x=1+sin x − 4 cos x d) sin 2 x +2 tan x=3. Giải x. x. a) cot 2 =tan 2 +2 tan 2. x+1. . Đặt. x. y 2  0  x log 2 y  *. . Phương trình trở thành :.

(52) 1 4 tan y 1  tan 2 y 4 tan y  cot y tan y  2 tan 2 y   tan y    2 tan y 1  tan y tan y 1  tan 2 y  1  tan 2 y 2 tan y  tan 2 y  2 tan y  1 0   1  tan y  4 tan y    2 2  1  tan y  2 tan y  tan y  2 tan y  1 0  tan y  1  2  tan y 1  2   tan y  1  2  Ta tìm được các giá trị sau :  và  tan y 1  2  tan y  1  2  0    arctan -1- 2  0  y arctan -1- 2  k 2 Vì : 2. 2. 2. . . . .   . .  x log  arctan -1+ 2  k   y arctan -1+ 2  k 2       y arctan 1- 2  k  x log  arctan 1- 2  k  2        x log 2  arctan 1+ 2  k   y arctan 1+ 2  k    Tương tự ta tìm được: b)  2 cos x  2 sin10 x 3 2  2 cos 28 x sin x  2 cos x  2 cos 28 x sin x 3 2  2 sin10 x.   . . . . . . 2. -. VT 2  2 cos x  2 cos 28 x sin x   4  4 cos 2 28 x   cos 2 x  sin 2 x   4  4 cos 2 28 x  4  4 8. Cho nên suy ra : VT  2 - VP 3 2  2 sin10 x 3 2  2 2 2 Do đó phương trình chỉ có thể xảy ra khi :    x  4  k  k  x  28   l   x  20  5  . Hệ có nghiệm khi tồn tại k.l sao  1  4l  28 5  6l  2  2l  l k 1  4l k      k 20 28 20 5 cho : 20 5 28 2  5n n 2  2l 5n  l  1  2n  2 2 . Lại đặt : n=2m suy ra : l=1-5m và k=11-20m Đặt : k   11  20m  11 5m x     mZ  28 28 28 7 Do đó hệ có nghiệm : 2 cos 28 x  2  cosx  s inx cosx s inx  2   cos 28 x 1  sin 28 x 0  sin10 x 1 sin10 x 1   . c). sin 2 x  2 cos 2 x 1  sin x  4 cos x  sin 2 x  2  1  2sin 2  1  s inx-4cosx. cos x 0  * d) sin 2 x +2 tan x=3 . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành :.  2 tan 3 x  3 tan 2 x  4 tan x  3 0  2 tan x  2 tan x  3  sin 2 x  2 tan x 3   1  tan 2 x   s inx-cosx 2 2   s inx-cosx    2  t anx-1 1  sin 2 x cosx 2   t anx-1  2 tan x  tan x  3  0  t anx=1    2  s inxcosx+cos 2 x  2   0  s inx-cosx    s inx-cosx   cosx   s inx-cosx   0  cosx   . Trên đây tạm trình bày 2 cách giải.  1.

(53) - Trường hợp giải theo cách 1 :  tan x 1  x   k  k  Z  4 Ta có nghiệm phương trình là :. - Trường hợp giải theo cách 2:   s inx-cosx  0   2  2  s inxcosx+cos x.  t anx=1  t anx=1  1   t anx=1 1  c os2x  2- sin 2 x  0  cos2x-sin2x=-5  2 2. Vì : cos2x-sin2x=-5 vô nghiệm . * Chú ý : Ngoài 2 cách trên , ta còn quan niệm đây là phương trình đẳng cấp bậc cao đối 3 với sinx và cosx , cho nên ta chia 2 vế của phương trình cho cos x 0 . sin x sin x cos 2 x sin x cos x 3  2sin x cos 2 x  2sin x 3cos x  2 2 3 3 3 cosx cos x cos x cos3 x  2 t anx  2 t anx  1+tan 2 x  3  1+tan 2 x   2 tan 3 x  3 tan 2 x  4 tan x  3 0  sin 2 x  2. . Như (1). Bài 12. Giải các phương trình lượng giác sau: 1 2. a) ( √ 1− cos x+ √cos x) cos 2 x = sin 4 x 3 c) sin. ( π4 + x )=√ 2 sin x. b). 1 √2(cos x −sin x ) = tan x +cot 2 x cot x −1. d) 8 √ 2cos 6 x +2 √ 2sin 3 x sin3 x −6 √ 2cos 4 x − 1=0 Giải. 1  ( 1  cos x  cos x ) cos 2 x  sin 4 x sin 2 x.cos2x 2 a)  cos2x=0  cos2x  ( 1  cos x  cos x )  sin 2 x  0    1  cos x  cos x sin 2 x  k cos2x=0  x=   k Z 4 2 - Trương hợp : Là một nghiệm của phương trình. - Trường hợp : 1  cos x  cos x sin 2 x. . VT 2  1  cos x  cos x. . 2.  1  1  1  cosx+cosx  2   2 VT  2. Ta có : VP=sin2x thuộc [0;1] Nếu cosx=0 , thì phương trình trở thành : 1=0 vô lý .Cho nên cosx=0 không là nghiệm Nếu cosx=1 , thì phương trình trở thành : 1=0 vô lý .Cho nên cosx=1 không là nghiệm 1  2  1  cosx  cosx  cosx=  x   k 2  cosx 0  2 3 Nếu VT= (1)    sin 2 x  2 sin  2 x   k 2  x   k 4 4 8 Khi đó VP= (2) Từ (1) và (2) phương trình vô nghiệm .Vậy trường hợp này phương trình vô nghiệm .  t anx+cot2x 0 2(cos x −sin x ) 1 √  *  = b) tan x +cot 2 x cot x −1 . Điều kiện : cotx 1 . Phương trình : . 1 2(cos x  sin x) cosx.sin2x 2(cos x  sin x)s inx    s inx cos 2 x cos x s inxsin2x+cosxcos2x cos x  s inx  1 cosx sin 2 x s inx.

(54) cosx.sin2x 2(cos x  sin x)s inx   sin 2 x  2 s inx  cosx cos x  s inx . Vì sinx khác không cho nên 2   2 cos x  2  cosx=  x   k 2 2 4 chia 2 vế phương trình cho sinx : .   x   k  cot x 1 x   k 4 4 Nhưng với , vi phậm điều kiện , cho nên chỉ còn :  x   k  k  Z  4 Vậy phương trình có nghiệm là :   3 π y   x  x  y   * sin + x =√ 2 sin x 4 4 c) . Đặt : . Do đó phương trình : 4 . ( ).    sin 3 y  2 sin  y   sin y  cosy  siny  1-sin 2 y   cosy=0  sin ycos 2 y  cosy=0 4      y   k x   k   cosy=0   k 2 4  cosy  sin ycosy  1 =0      x   kZ 4 2  sin2y=0  y  k  x    k  2  4 2 6 3 4 d) 8 √ 2cos x +2 √ 2sin x sin3 x −6 √ 2cos x − 1=0  8 2 cos6 x  2 2 sin 3 x  3sin x  4sin 3 x   6 2 cos 4 x  1 0  8 2  cos6 x  sin 6   6 2  sin 4 x  cos 4 x  1  8 2  cos 2 x  sin 2 x   cos 4 x  sin 4 x  sin 2 xcos2 x   6 2  sin 2 x  cos 2 x  1  1   8 2cos2x  1  sin 2 2 x   6 2cos2x 1  8 2cos2x-2 2 sin 2 2 xcos2x  6 2cos2x=1  4  1 2  2 2cos2x-2 2 sin 2 2 xcos2x=1  2 2cos2x  1-sin 2 2 x  1  cos3 2 x   4 2 2  cos2x= 3. 2 2     2 x   k 2  x   k 4 2 4 8. k Z. Bài 13. Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos3 x +sin 3 x=sin 2 x +sin x +cos x b) 3 −4 cos2 x=sin x (2 sin x +1) c) 4 √3 sin x cos x cos 2 x=sin 8 x d) tan 2 x cot 2 2 x cot 3 x=tan 2 x −cot2 2 x +cot 3 x Giải a). cos3 x  sin 3 x sin 2 x  sin x  cos x   cosx  cos3 x    s inx-sin 3 x   sin 2 x 0.  cosx  1-cos 2 x   s inx  1-sin 2 x   sin 2 x 0  cosx.sin 2 x  s inxcos 2 x  2sin xcosx=0  sin 2 x 0 k  s inxcosx  cosx+sinx+2  0    sin 2 x 0  x   k  Z  2  cosx+sinx+2=0 2 2 2 Còn : cosx+sinx+2=0 vô nghiệm vì a  b 2  c 4. * Chú ý : Đây là phw[ng trình đối xứng đối với sinx,cosx . Ta có thể đặt :. . Biến đổi phương trình theo t .. 3  4 cos x sin x(2sin x  1)  3  4  1  sin x  s inx  2sinx+1 2. b). t s inx+cosx; t  2;sin 2 x t 2  1 2.  4sin 2 x  1  s inx  2sinx+1 0   2sinx+1  2sin x  1  s inx  0.

(55) 1  s inx=   2   s inx=-1. 2.  5   x  6  k 2 ; x  6  k 2   x    k 2  2. 2. 2. k Z. 2. tan x cot 2 x cot 3 x=tan x −cot 2 x +cot 3 x. d). . Điều kiện :. cot 3 x  tan 2 x cot 2 2 x  1 tan 2 x  cot 2 2 x  cot 3 x   cot 3x . 2. cosx 0  sin2x 0  * sin3x 0 . . Phương trình :. 2. tan x  cot 2 x tan 2 x cot 2 2 x  1.  tan x  cot 2x  .  tan x  cot 2 x   tan x cot 2 x  1  tan x cot 2 x  1 (1). 1 1 tan2x  t anxtan2x-1    cot 3x 1 t anx+tan2x tan 3 x     tanx 1 tan2x Nhưng : . 1  tan x  cot 2 x   t anx+ tan2x  t anxtan2x+1  1  cot x  tan x cot 2 x  1 tanx 1  1  t anx-tan2x  tan   x  tan2x Tương tự :  k  x    cot 3 x 0  cos3x=0 6 3  cot 3 x cot 3 x.cot x     kZ cot x  1 cotx=1     x   k  4 Do đó (1) t anx-.  tan x  cot 2 x   tan x cot 2 x  1. Bài 14. Giải các phương trình lượng giác sau: 4x − cos2 x 3 a) =0 √ 1− tan2 x π π sin 3 x − =sin 2 x sin + x 4 4 c) sin x+ cos x=cos 2 x cos. (. ). b). ( ) Giải. cosx 0 4x 2  cos − cos x  2 3 1-tan x  0  =0 . Điều kiện : a) √ 1− tan2 x. cosx 0  *   1  t anx<1 . Khi đó phương. trình :  cos. 4x 4x 1  cos2x 4x  2x   cos 2 x 0  cos  0  2cos  1  cos3   0 3 3 2 3  3  .. y. Đặt :. 2x 3y 3  x   .y 3 2 2.  **. . Thay vào phương trình ta được :.  2cos2y  1  cos3y 0  2  2 cos y  1  1   4 cos3 y  3cos y  0 2.  4t  4t  3t  3 0  4t  t  1  3  t  1 0   t  1  4t  1 0 3. 2. 2. 2. . Đặt : t=cosy , suy ra :.

(56)  t 1  2  4 t  1  0 .  cosy=0   2 4cos y  1  0 .  cosy=0   2 1+cos2y  1  0   .  3   x  2  2  k       3    x     k  2 3  Thay vào (**) ta được : .  cosy=0    cos2y=- 1  2. 3 3k  x  4  2   x   3k  2 2.    y  2  k   y   k  3. .. Kiểm tra diều kiện (*) 3   x  4  3n     3    cos    3n  0; tan   3n  1  2   4   x   3n   2 - Nếu k là chẵn : k=2n .. Phương trình đã cho vô nghiệm . 9  x   3n  3 3  2n  1 3 3   4 x   x  4  2  3n  4 2     x   3n   3  2n  1  x   3  3n  x 2  3n  x  2   2 2  2  - Nếu k là lẻ : k=2n+1 9   x  4  3n   x   3n  x 2  3n  Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) . Vậy nghiệm phương trình :  .   π π y   x  x y   * sin 3 x − =sin 2 x sin + x 4 4 b) . Đặt . Khi đó phương trình : 4 4. (. ). ( ).          sin  3  y     sin 2  y   sin y  sin  3 y    sin  2 y   sin y 4  4 4 2     3 2   sin 3 y  cos2y sin y  4sin y  3sin y  sin y  1  2sin y  0  2sin 3 y  2sin y 0  y k  sin y 0  2sin y  sin y  1 0     y   k  c osy=0   2 . Thay vào (*) ta tìm được các nghiệm      x  4  k  x  4  k    k  x      k  x    k  x   k Z  4 2  4 4 2 . Thu gọn 2 nghiệm ta được :  cosx+sinx=0 sin x  cos x cos 2 x cos 2 x  sin 2 x   cosx+sinx   cosx-sinx-1 0    cosx-sinx=1 c) 2.  t anx=-1    2sin  x-   =1   4.    x  4  k kZ   x   k 2  x   k 2  2.

(57) Bài 15. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 9cot x + 3cot x −2=0 b) cos 2 x+ sin x+1=0 c) sin 3 x+2 cos 2 x − 2=0 d) sin 3 x −sin x +sin 2 x =0 Giải 9. a). cot x. cot x. 3. t 3cot x  0  2 0   2  t  t  2 0.  t 1 cot x 0  t  2  0(loai )  t 1  3 1 3 .  cot x 0  x   k  k  Z  2 Vậy nghiệm phương trình :  t=sinx; t 1 cos2 x  sin x  1 0  1  sin 2 x  s inx+1=0   2  t  t  2  0   b). Vậy phương trình có nghiệm :.  s inx=-1  x=-.  t  1  t 2  1(l ) .   k 2  k  Z  2. t s inx; t 1 sin 3x  2 cos 2 x  2 0  3sin x  4sin 3 x  2  1  2sin 2 x   2 0   3 2  4t  4t  3t 0 c)    x k  t 0 s inx=0     t 0 3     2  t    1(l )    x   k 2 k Z 1  sinx=   2 6  4t  4t  3 0  2   1 5  x   k 2 t   2 6  sin 3x  sin x  sin 2 x 0  2 cos 2 x sin x  2sin x cos x 0  2sin x  cos2x+cosx  0. d).  x k  x k  x k   s inx=0  k 2      2 x   x  k 2   x      x   k 2 cos2x=-cosx=cos  -x 3 3      3 3   2 x  x    k 2  x    k 2 . k Z . Bài 16. Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos 2 x+3 cos x+2=0 b) 3 cos 4 x −2 cos 2 3 x=1 c) 1+3 cos x+ cos 2 x =cos 3 x+ 2sin x sin2 x d) tan x +tan 2 x=−sin 3 x cos 2 x Giải  x   k 2  cosx=-1 2  cos 2 x  3cos x  2 0  2cos x  3cos x 1 0   kZ  x 2  k 2  cosx=- 1 3  2  a) b) 3cos 4 x  2 cos 2 3x 1  3cos 4 x   1  cos6x  1  3  2cos2 2 x  1   4 cos3 2 x  3cos 2 x   2 0   t 1  t cos2x; t 1 1  21 t cos2x; t 1  3    t   2 2 4  t  1  4t  2t  5  0 4t  6t  3t  5 0   t 1  21  1(l )  4.  t 1   t 1  21  4.

(58)  cos2x=1  x k 2   2 x k 2 1- 21       k  Z ; cos =    121   cos2x=  x   k  4  cos  2 x   k 2   2 4 2 c) 1  3cos x  cos 2 x cos 3x  2sin x sin 2 x  1  3cos x  2 cos x  1 cos3x+cosx-cos3x   x   k  cosx=0 2   2 cos x  2 cos x 0    k Z 2  cosx=-1  x   k 2  cosx 0  *  tan x +tan 2 x=−sin 3 x cos 2 x cos2x  0  d) . Điều kiện : . Khi đó phương trình : sin x sin 2 x s inxcos2x+sin2xcosx   sin 3 x cos 2 x   sin 3 x cos 2 x 0 cosx cos2x cosxcos2x  sin 3x 0  1  cosx.cos 2 2 x  sin 3x    sin 3x cos 2 x 0  sin 3 x   cos3x+cosx   0   1  cos2x  cosxcos2x c osx.cos2x    0  2   .  sin 3x 0  sin 3 x 0    2  cos5x+cosx + cos3x+cosx =0 2  c os2xcos3x+cos2xcosx=0   2 2 k  x 3   sin 3 x 0   x   k 2  cos5x=-1    sin 3 x 0 k 5 5       x  cos3x=-1    l 2 3  4  cos5x+cos3x+2cosx=0 x     3 3  cosx=-1   x   n 2   . kZ. Do hệ trên vô nghiệm . ( Kiểm tra bằng phương pháp tìm nghiệm nguyên hay biểu diến trên đường tròn đơn vị cũng được ). Bài 17. Giải các phương trình lượng giác sau: 1+ cos x cos x c) tan x +cot x=2(sin 2 x+ cos 2 x ) 2 √ 2( sin x +cos x )cos x =3+cos 2 x 2 a) tan x=. 3 2. 3 3 b) 1+sin 2 x +cos 2 x= sin 4 x. d) Giải. 1+ cos x . Bài này đã giải rồi . cos x 3 1  sin 3 2 x  cos3 2 x  sin 4 x  1  sin 2 x  1  cos 2 2 x   cos2x  1-sin 2 2 x  3sin 2 x cos 2 x 2 b)  1   sin 2 x  cos2x   sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos2 x  3sin 2 x cos 2 x 2 a) tan x=.  1   sin 2 x  cos2x   1  sin 2 x cos 2 x  3sin 2 x cos 2 x. . Đặt :. t sin 2 x  cos2x; t  2.  t2  1 t2  1  1 t 1  3  2  t  3  t 2  3  t 2  1  t 3  3t 2  3t  5 0  2 2  .

(59)  t  1 t  1  t  1     t  1  t 2  2t  2  0   2   t  1  6   1    t  2t  5 0  t  1  6  t  1  6      1    sin  2 x    2 sin  2 x    1    sin 2 x  cos2x  1 4 4 2           61   sin 2 x  cos2x  1  6 sin   sin  2 x     2 sin  2 x    1  6 4 4  2   .      5    x  4  k  x  2  k  2 x  4  4  k 2  2 x  4  4  k 2   kZ  x     k  x  3    k  2 x     k 2  2 x       k 2   2 8 8 2 4 4 s inx 0  *  tan x +cot x=2(sin 2 x+ cos 2 x ) c) . Điều kiện : cosx 0 . Khi đó phương trình trở. thành sin x cos x 2  2(sin 2 x  cos 2 x)  2(sin 2 x  cos 2 x)  1 sin 2 2 x  sin 2 x.cos2x cosx s inx sin 2 x  cos2x=0  k  1  sin 2 2 x sin 2 x.cos2x  cos2x  1-sin2x  0    x  kZ 4 2  sin2x=1 . Nghiệm này thỏa mãn diều kiện (*) 2 d) 2 2(sin x  cos x) cos x 3  cos 2 x  2 2 s inxcosx+2 2cos x 3  cos 2 x. . 2 s in2x+ 2  1  cos2x  3  cos 2 x . 2 s in2x+. . . 2  1 cos2x 3 . 2. Nhận xét : 2.  2 . a 2  b2  c2 . 2.  . 2  1  3. 2. . 2. 4 2  6  32 . Vậy phương trình vô nghiệm . Bài 18. Giải các phương trình lượng giác sau: π π 4 4 3 2 c) cos x +sin x −3 sin x cos x=0. 4 4 4 a) sin x +sin ( x − )+sin ( x + )=. π 4. π 4. 9 8. 36  0  a 2  b2  c 2. sin 2 x + 2cos x =0 1+sin x d) 2 sin3 x +cos 2 x=sin x. b) Giải. 9 . ( Bài này đã giải rồi ) 8 s inx 0 sin 2 x  *  + 2cos x =0 sinx  -1  b) 1+sin x . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành : 4 4 4 a) sin x +sin ( x − )+sin ( x + )=.    sin 2 x  2 cos x  1  s inx  0  2sin 2 x  2 cos x 0  sin 2 x  cosx=-sin   x  2      x   k 2 2 x  x   k 2     2 2  sin 2 x sin  x      2   x   k 2  2 x     x  k 2  2 3 2     k 2 Ta thấy : Với x= 2 , vi phạm điều kiện do làm cho cosx=0 ( loại ).

(60)   2n  k 3n   loai   k 2  2 x   2 3  7  2n  k 3n  1 chon   6 Còn nghiệm : . 7 x=  n 2  n  Z  6 Vậy nghiệm : c) cos3 x +sin x −3 sin 2 x cos x=0 . Do cosx=0 không là nghiệm , cho nên chia 2 vế 3 phương trình cho cos x 0 , ta được phương trình : t t anx t t anx t t anx sin x sin 2 x cos x  1  3 0   3 2  2 2 2 3 3 cos x cos x  t -3t +t+1=0 1+t  1+t   3t  t-1  t -2t-1 =0   x   k   t 1  t anx 1 4   t 1    2   t 1  2   t anx 1  2   x arctan 1  2  k  k  Z    t  2t  1 0  t 1  2  t anx 1  2  x arctan 1  2  k    2sin 3 x  cos 2 x sin x  cos2x=sinx  1-2sin 2 x  s inx.cos2x  cos2x  sinx-1 0 d)   k   2 x   k x    cos2x=0  2 4 2     k Z  sinx=1  x   k 2  x   k 2  2  2 Bài 19. Giải các phương trình lượng giác sau: a) √ 3− cos x − √ 1+ cos x=2 b) sin x cos x +2 sin x+2 cos x=2 1 c) cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x= d) sin2 x+sin 2 3 x=cos 2 2 x+ cos2 4 x 16 Giải 3  cos x  1  cos x 2  2  2  3  cosx   1  cosx  4   3  cosx   1  cosx  1 a) t cosx; t 1 t 1  3   3  cosx   1  cosx  1   2   t 1  3 t  2t  2 0 t 1  3  1(l ).  . Vậy : b).  cosx=1- 3 cos  x=  +k2.  .  k  Z;cos =1- 3 . sin x cos x  2sin x  2 cos x 2  sin x cos x  2  sin x  cos x  2. t2  1 t s inx+cosx; t  2;s inxcosx= 2 . Thay vào phương trình , ta được : Đặt :  t 1 t2  1     2t 2  t 2  4t  5 0    t 1  2 sin  x   1 2 4   t  5   2(l )    x    k 2  x k 2   1   4 4  sin  x    sin    kZ    3  4 4 x   k 2  2   x    k 2  2  4 4 1 cos x cos 2 x cos 4 x cos8 x   16sin xcosxcos2xcos4xcos8x=sinx 16 c)  8sin 2 xcos2xcos4xcos8x=sinx  4sin 4 xcos4xcos8x=sinx  2sin 8 xcos8x=sinx.

(61)  k2  x= 15  16x=x+k2  sin16 x =sinx    k Z  16x= -x+k2  x=  + k2  17 17 1  cos2x 1  cos6x 1  cos4x 1  cos8x sin 2 x  sin 2 3x cos2 2 x  cos 2 4 x     2 2 2 2 d)   cos8x+cos2x    cos6x+cos4x  0  2 cos 5 x cos 3x  2cos5xcosx=0.  k  x     10 5  5 x  2  k   cos5x=0   k  2 cos 5 x  cos3x+cosx  0     3 x   x  k 2   x   x   4 2  cos3x=-cosx=cos   -x   3 x x    k 2     x   k   2. Bài 20. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin 3 x(cos x − 2sin 3 x)+cos 3 x (1+sin x − 2 cos 3 x )=0 3 b) 3 tan x − tan x+. 3( 1+ sin x ) π x −8 cos 2 − =0 2 4 2 cos x. (. ). Giải a) sin 3 x(cos x − 2sin 3 x)+cos 3 x (1+sin x − 2 cos 3 x )=0   sin 3xcosx  cos 3x s inx  -2  sin 2 3x+cos 2 3 x  +cos3x 0  k   x    sin 4 x 1 4 x   k 2  8 2  sin 4 x  cos3x=2     2 cos3x=1 3 x l 2  x l 2  3 .. Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k,l sao cho :  k l 2 k 2l 1 3k  4l 1 8. . 2. . 3. . 2. . 3.   8. 6.  12k  16l 3  2  6k  8l  3 8. Phương trình vô nghiệm ví : Vế trái là một số chẵn , còn vế phải là một số lẻ . 3( 1+ sin x ) π x −8 cos 2 − 2 4 2 cos x 3(1  sin x)    3 tan 3 x  tan x   4  1  cos   2 1  sin x 2 . 3 b) 3 tan x − tan x+. (. )=0. . Điều kiện :. cos x 0  *. Phương trình :.  x   0  2  3  1  cos 2 x   cos 2 x  3  4cos 2 x  sin 2 x  3  4  1  sin x    t anx  3  1  0  t anx  0 2   1  sin x 1  sin x cos2 x  cos x     3   1  cos2x  0  cos2x=2 1   t anx   3  4cos 2 x    0    2   cos x 1  sin x   sinx+cosx+sinxcosx=0  t anx+1+sinx=0  t2  1 t s inx+cosx; t  2;s inxcosx= 2    2  t  t  1 0  t 2  2t  1 0   t  1  2   2(l )  2  t  1  2 .   2 sin  x    2  1 4 .

(62)     x    k 2 x    k 2    2  1   4 4  sin  x    sin     kZ 4 2   x       k 2  x  3    k 2   4 4 Bài 21. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 2 cos3 x=sin 3 x b) cos 2 x − √ 3 sin 2 x − √3 sin x − cos x+ 4=0 2 c) cos 2 x=cos x √ 1+ tan x d) 3 cot 2 x +2 √ 2sin 2 x=(2+3 √ 2) cos x Giải 3sin x sin 3 x 2 cos 3 x 3sin x  4sin 3 x  2  3  4  4 tan 3 x  3 tan x  1  tan 2 x   2 0 3 c os x c os x a)  t 1 2  tan 3 x  3 tan x  2 0   t  1  t 2  t  2  0   t  1  t  2  0    t 2   x   k  t anx 1    kZ 4   t anx 2  x arctan2+k b) cos 2 x − √ 3 sin 2 x − √3 sin x − cos x+ 4=0 . Chia 2 vế cho 2 ta được :  3  1 3 1      cos 2 x  sin 2 x   sin x  cos x   2 0  sin  2 x    sin  x    2 2 2 2 3 6    2     sin  2 x  3   1      sin  x     1    6.      x   k  2 x  3   2  k 2     12    x       l 2  x    l 2    3  6 2 . Phương trình có nghiệm.    k   l 2  1  12k  4  24l  12k  24l  5 3 khi : 12 . Vô nghiệm với mọi k,l thuộc Z ví Vt là một số chẵn , còn VP là một số lẻ . cosx 0  *  cos 2 x=cos 2 x √ 1+ tan x tanx  -1  c) . Điều kiện : . Khi đó phương trình trở thành : t t anx 0 2  0 t 1  1  t 2  1 t2  1 t     1  t    1  t   1  t   1 0 1 2 2    1 t   1  t  1  t 2 2 1 t 1  t  2   1  t   1  t   1  t 3  t 2  t  1 0   t  1  t 2  1 0  t 1  t anx=1  x=  k 4 2 2  0 d) 3 cot x +2 √ 2sin x=(2+3 √ 2) cos x . Điều kiện : sinx . Khi đó phương trình là : 3  1   3  2  1  2 2 sin 2 x (2  3 2) cos x   2 2 sin 2 x  3 (2  3 2) cos x 2 sin x  sin x   3  2 2 sin 4 x  3sin 2 x (2  3 2) cos x sin 2 x  3   1  cos 2 x   2 2 1  cos 2 x   3 (2  3 2) cos x  1  cos 2 x  t cosx  t 1  4 3 2 2 2t  2  3 2 t  3  4 2 t  2  3 2 t  2 2 0 t cosx  t 1    2 1  1 2 2  t  t 2   2  3 2  t  t   3  4 2 0     . .  . . . . . .

(63) 1 1  2 2 u t  t  t  t 2 u  2   2 2 2  u  2   2  3 2 u  3  4 2 0 . 1 1  2 2 u t  t  t  t 2 u  2  2 2u 2  2  3 2 u  3 0    2 3 2 2 3 2  3 2  u1  2 2 2   2  3 2  8 2.3  3 2  2     2  3 2  2 3 2  2  u2   2 Ta có :  1  3 2  22 22  3 2  t  t  3 2  t 2  3 2t  1 0   1 t   t    2  2 2  t  2t  1 0  t  1  2  t  1  2   1(loai )  t  2  1  t  22  3 2  cos  x   k 2  22  3 2  cosx    , cos = 2  1 2  k  Z , cos = 2  x   k 2    cosx= 2  1 cos. . . . . . . . . Bài 22. . Giải các phương trình sau: 1 =0 b) 4 (sin 3 x − cos 2 x )=5(sin x −1) cos x c) 2 cos 2 x +sin 2 x cos x +sin x cos2 x=2(sin x+ cos x). (. a) tan x − sin 2 x −cos 2 x +2 2 cos x −. ). Giải 1 =0 . Điều kiện : cos x 0 . Phương trình : cos x  2 cos 2 x  1   1  2 cos2 x   2 cos2 x  1  sin x   sin 2 x  cos 2 x  2   0  s inx  cos 2 x  2      0 cosx  cosx   cosx   cosx  cos2x s inx   cos2x   2   s inx  0  cos2x   1   cos 2 x  2  0 cosx cosx   cosx   cosx   k   2 x   k x   cos2x=0  k      2 kZ 4 2  x    4 2 2 2 2 2  sinx+cosx=2  a  b 1  2 c  x . (. a) tan x − sin 2 x −cos 2 x +2 2 cos x −. b). ). 4(sin 3 x  cos 2 x) 5(sin x  1)  4  3sin x  4sin 3 x  1  2sin 2 x  5  s inx-1.  16sin 3 x  8sin 2 x  7 sin x  1 0   s inx-1  16sin 2 x  8sin x 1 0.   x   k 2  2  s inx=1  s inx=1  s inx=1  1        x   k 2 k  Z , cos =-  1 2  2  sinx=4   4sinx+1 0  16sin x  8sin x  1 0  x     k 2   4   2 2 c/ 2 cos 2 x +sin x cos x +sin x cos x=2(sin x+ cos x)  2  cos 2 x  sin 2 x   sin x cos x  cosx+sinx   2(sin x  cos x) 0  cosx+sinx=0   cosx+sinx   2  cos x  sin x   sin x cos x  2  0   1-t 2   t+  2 0  2.  cosx+sinx=0  2  t -2t-3=0.

(64)    x  4  k  t anx==-1  t anx=-1       cosx-sinx=-1    x=  k 2  k  Z   1    cos  x+  = 2  cosx-sinx=3> 2(loai )  4  x    k 2 2      . Bài 23. . Giải các phương trình sau: a) tan x sin 2 x −2 sin 2 x=3(cos 2 x+ sin x cos x ) c) 48 −. 1 2 − 2 (1+cot 2 x cot x)=0 4 cos x sin x. b) sin 2 x (cot x + tan2 x)=4 cos 2 x d) sin 6 x+ cos6 x=cos 4 x f) 2+cos x=2 tan. e) cos3 x +cos2 x+ 2sin x − 2=0. x 2. Giải a) tan x sin x −2 sin x=3(cos 2 x+ sin x cos x ) . Điều kiện : cos x 0 . Phương trình : 2. 2.  t anx sin 2 x  2sin 2 x 3cos 2 x  3sin 2 x  3sin xx cos x  cosx+sinx   t anx sin 2 x  sin 2 x 3cos 2 x  3sin x cos x  sin 2 x    3cos x  cosx+sinx  0  cosx   cosx+sinx=0  t anx=-1  cosx+sinx=0  sin 2 x   2   cosx+sinx    3cos x  0   2    sin x 2  3  cosx   sin x  3cos x 0  tanx=  3 2  cos x.    x=- 4  k   x=   k  3.  k Z . s inx 0 s inx 0   *  sin2x  0 cosx  0   b) . Điều kiện : . cos x s in2 x  2sin xcosx(  )  4 cos 2 x 0 s inx cos2x Khi đó phương trình trở thành : 2 2 2 sin 2 x s in 2 x 2 2 2 2  2sin x  cos2x   2cos x+  4 cos x 0   2 cos x 0  2 cos x   0 cos2x cos2x cos2x   2. sin 2 x (cot x + tan2 x)=4 cos x.  1  cos2x-cos2x=0  cos2x=. 1    2 x   k 2  x   k  k  Z  2 3 6. ( Vì cosx khác 0 và cả hai nghiệm trên thỏa mãn điều kiện (*) ) s inx 0 1 2  *  48 − 4 − 2 (1+cot 2 x cot x)=0 cosx  0  cos x sin x c) . Điều kiện : . Khi đó : 1 2 co 2 x cos x 1 2 cos x  (1  ) 0  48   ( ) 0 4 2 4 2 cos x sin x sin 2 x.s inx cos x sin x 2sin 2 x.cosx 1 1 1  48   0  cos 4 x  sin 4 x  48sin 4 x cos 4 x 0  1  sin 2 2 x  3sin 4 2 x 0 4 4 cos x sin x 2 1  t t sin 2 2 x  0 t 1  1  k 2  2   sin 2 2 x   cos4x=0  x=  kZ 2 8 4 6t  t  2 0  t  2  0(loai )  3  48 .

(65) 3 2 3  1  cos4x  5  3cos 4 x sin 2 x cos4x  cos4x=1-   4 4 2 8   d) k  8cos 4 x 5  3cos 4 x  cos4x=1  4x=k2  x= k Z 2 cos3 x  cos 2 x  2sin x  2 0  cos 2 x  cosx-1  2  s inx-1 0 sin 6 x  cos6 x cos 4 x  1 . e).   1  sin 2 x   cosx-1  2  s inx-1 0   1  s inx    1  s inx   cosx-1  2  0  s inx=1  s inx=1  1  s inx=0  s inx=1    1-t 2  2  t   2 0  cosx-sinx+sinxcosx-2=0  '=1-3=-2<0  t  2t  3 0  2  s inx=1    s inx=1  x=  k 2  k  Z  2  x  x x cos 0  x   k 2  * 2+cos x=2 tan 2 f) . Khi đó phương trình : 2 . Điều kiện : x x  sin   2  2 1 2  cos 2 x  sin 2 x 0 2  cos x 2  x x 2 2  cos  cos 2  2   x x  2 x x x x  x x x    cos  sin  0   cos  sin   2  cos 2  sin cos  0  cos  sin   x 2 2   cos 2 2 2 2 2 2 2    2  x  tan 1 x x  1  cosx 1 x      sin x  0     k 2  cos  sin   2   2 2  2 2 2 4    s inx+cosx+5=0  x   k 2  k  Z  2 . { Vì : Phương trình : s inx+cosx+5=0 vô nghiệm ) sin. . . . . Bài 24. . Giải các phương trình sau: a) cos 3 x+ √2 − cos2 3 x=2(1+ sin2 2 x) c) cot x − tan x=sin x+ cos x. b) sin x+ sin2 x +sin 3 x=0 d). sin 3 x+cos 2 x=1+2 sin x cos 2 x. Giải a) cos 3 x+ √2 − cos 3 x=2(1+ sin 2 x) Ta có nhận xét sau : 2. . VT 2  cos 3x  2  cos 2 3x. 2. . 2.  1  1  cos 2 3x  2  cos 2 3x  4  VT 2. VP 2(1  sin 2 2 x) 2 cos3x= 2-cos 2 3 x cos 2 3x 1    2 sin 2 x 0 sin 2 x 0.  k  x    1  cos6x=-1  6 3   sin2x=0  x l   2   2 .. Vậy chỉ xảy ra khi : Nếu phương trình có nghiệm thì tồn tại k,l thuộc Z sao cho :  k l 3l  1 l 1      1  2k 3l  k  l  6 3 2 2 2 . Để k là nguyên thì ta chọn : l  1 2n  l 2n  1 ..

(66) Thay vào (2) nghiêm : b). x.  2n  1  2.    n 2.  nZ . sin x  sin 2 x  sin 3x 0   sin 3x  s inx   sin 2 x 0  2sin 2 x cos x  sin 2 x 0.  2 x k 2  x k   kZ  x 2  k 2  x 2  k 2 3 3   s inx 0  *  cot x − tan x=sin x+ cos x cosx  0  c) . Điều kiện : . Khi dó phương trình : 2 2 cos x sin x cos x  sin x   sin x  cos x    s inx+cosx  0 s inx cosx s inxcosx  t anx=-1  s inx+cosx=0  cosx  sin x    s inx+cosx    1 0     1 t2 t  cosx-sinx-sinxcosx=0 0  s inxcosx    2  t anx=-1  t anx=-1  t anx=-1   2   t  1  2   2(loai )    2cos  x+    2  1  t  2t  1 0 t  2  1 4         t anx=-1 x=-  k x=-  k    2  1 4 4     k  Z ; cos =  21      cos  x+   2     x+   k 2 x    k 2  4 2   4  4 d) sin 3x  cos 2 x 1  2sin x cos 2 x  sin 3x  cos2x=1+sin3x-sinx  1-cos2x-sinx=0  sin 2 x 0  sin 2 x  2 cos x  1 0     cosx=- 1  2.  sinx=0  2sin x-sinx=0     sinx= 1  2 2.  x k  kZ  x   k 2  x 5  k 2 6 6 . Bài 25. . Giải các phương trình sau: a) 2 cos 2 x −8 cos x +7=. 1 cos x. b). 1 4 c) 9 sin x+ 6 cos x − 3sin 2 x+ cos 2 x=8 3. 3. 3. cos 3 x cos x −sin 3 x sin x=cos 4 x +. d) sin 3 x cos 3 x +cos 3 x sin3 x=sin 3 4 x Giải. 1 a) 2 cos 2 x −8 cos x +7= . Điều kiện : cosx 0 . Khi đó phương trình trở thành : cos x 1  4 cos 2 x  8cos x  5   4 cos3 x  8cos 2 x  5cosx-1 0 cos x  cosx=1  cosx=1   cosx-1  4 cos 2 x  4 cos x  1 0    2 2   2 cos x  1 0   4 cos x  4 cos x 1 0  cosx=1    cosx= 1  2. b).  x k 2   x   k 2 3 . k Z. cos 3x cos3 x  sin 3 x sin 3 x cos3 4 x . 1 4.  cos 3 x 4cos3 x  sin 3 x 4sin 3 x 4 cos3 4 x  1.

(67)  cos 3 x  cos3x+3cosx   sin 3 x  3sin x  sin 3 x  4 cos 3 4 x 1.   cos 2 3x  sin 2 3x   3  cos 3x cos x  sin 3 x sin x  4 cos 3 4 x 1  cos4x=0  1  3cos4x 4 cos 4 x  1  cos4x  4cos 4 x  3 0     2  1+cos8x  3 3. 2.  cos4x=0   cos8x= 1  2.     k  4x= 2  k  x= 8  4   kZ  8x=   k 2  x=    k   3 24 4 9 sin x  6 cos x  3sin 2 x  cos 2 x 8   9sin x  9   6 cos x  6sin xcosx  1  cos 2 x 0. c).  9  sin x  1  6 cos x  1  sin x   2 cos 2 x 0  9  sin x  1  6 cos x  1  sin x   2  1  sin 2 x  0  s inx=1    sin x  1  9  6 cos x  2  1  sin x   0    sinx=1  x= +k2  k  Z  2  6cosx+2sinx=-11 2 2 2 2 2 a  b 36  4 40; c   11 121  a  b 2  c 2 6cosx+2sinx=-11. Vì : vô nghiêm d) sin 3 x cos 3 x +cos 3 x sin3 x=sin 3 4 x.  4sin 3 x cos 3x  4 cos3 x sin 3x 4sin 3 4 x   3sin x  sin 3 x  cos 3 x   cos3x+3cosx  sin 3 x 4sin 3 4 x  3  sin xcos3x+cosx sin 3x  4sin 3 4 x  3sin 4 x 4sin 3 4 x  sin 4 x  sin 2 4 x  3 0  sin 4 x 0  sin 4 x  2  1  cos8x   3 0     cos8x= 1  2. k  x 4   x    k  24 4. kZ. Bài 26. . Giải các phương trình sau: a) sin x+ sin2 x +sin 3 x+ sin 4 x=cos x +cos 2 x +cos 3 x +cos 4 x b) 2 sin2 x −sin x cos x −cos 2 x=− 1. c). sin2 2 x +cos 4 2 x −1 =0 √ sin x cos x. Giải 2. 3. 4. 2. a) sin x+ sin x +sin x+ sin x=cos x +cos x +cos 3 x +cos 4 x cos x  s inx  cos 2 x  sin 2 x  cos3 x  sin 3 x  cos4 x  sin 4 x 0  cosx-sinx=0  2  sinx+cosx   s inxcosx+1=0.  cos x  s inx   cos x  sin x  1  s inx cos x  cos x  sin x  0    t anx=1 2    2t+ t  1  1=0  2.  t anx=1   2  t  4t  1 0.  t anx=1    t=-2+ 3  t  2  3   2 .  t anx=1   2 sin  x     3  2  4 .    x= 4    t anx=1   x= 4  x     k 2  k  Z ;sin   3  2         3 2   4 sin x    2   x     k 2     4 2  4  x  3    k 2 4  2 2 b) 2 sin x −sin x cos x −cos x=− 1.

(68) 3 1 3 cos 2 x  sin 2 x  10 10 10  3      cos = ; x   k      2 x     k 2 3 10 2  k  Z;    cos  2 x     cos    3  10   2 x     k 2  x     k    cos = 10   2     sin 2 2 x +cos 4 2 x −1 =0 . Điều kiện : s inxcosx>0  sin2x>0  0<2x<  0<x< 2  * c) sin x cos x  2  1  cos2x   sin 2 x   1  cos2x   2  3cos 2 x  sin 2 x 3 . √.  sin 2 2 x  cos 4 2 x  1 0  1 . 1 2 k sin 4 x  1 0  sin 4 x 0  x  2 4. Khi biểu diễn nghiệm trên tren vòng tròn đơn vị .Ta thấy chỉ có 2 đỉnh cung thỏa mãn   x   2n   3 4 ;    nZ  4 4  x  3  2n  4 điều kiện là : Bài 27. . Giải các phương trình sau: a) 2 sin3 x −cos 2 x+ cos x=0 b) 1+cos3 x − sin 3 x =sin 2 x c) 1+cos x +cos 2 x+ cos 3 x =0 d) cos x +cos 2 x+ cos 3 x+cos 4 x=0 2 3 e) cos x+ sin x +cos x =0 f) cos x sin x +¿ cos x +sin x∨¿ 1 Giải a). 2sin 3 x  cos 2 x  cos x 0  2s in 3x-  1-2sin 2 x   cosx=0  2s in 3x-2sin 2 x  cosx-1=0.  2s in 2 x  sinx-1 x   1  cosx  =0  2  1  cos 2 x   sinx-1 x   1  cosx  =0  cosx=1  cosx=1   1  cosx   2  1  cosx   sinx-1  1 =0    2  2t   1-t  -3=0  2  sinx-cosx  +sin2x-3=0  cosx=1  cosx=1  2   cosx=1  x=k2  k  Z    ' 1  2  0  t  2t  2=0 1  cos3 x  sin 3 x sin 2 x   1  sin 2 x    cosx-sinx   1  s inxcosx  0. b). 2.   cosx  sin x    cosx-sinx   1  s inxcosx  0   cosx  sin x    cosx-sinx    1  s inxcosx   0.  cosx-sinx=0    cosx-sinx+sinxcosx+1=0.  t anx=1  2   t+ 1-t  1 0  2.  t anx=1  t anx=1    t=-1   2  t -2t-3=0  t=3> 2 .      x= 4  k  x= 4  k  t anx=1          x    k 2   x   k 2  1    sin  x      4 4 2 4   x   k 2 2    5   x    k 2  4 4   1  cos x  cos 2 x  cos 3x 0   1  cos2x    cos3x+cosx  0.  t anx=1   2 sin  x     1  4 . k Z. c).  cosx=0  2 cos 2 x  2 cos 2 x cos x 0  2cos x  cosx+cos2x  0    cos2x=-cosx=cos    x .

(69)    x   k   2  x  2  k    k 2   2x=  x  k 2   x=  k Z  3 3  2 x  x    k 2  x    k 2     cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x 0   cos3x+cosx    cos4x+cos2x  0. d).  cosx=0  2 cos 2 x cos x  2 cos 3 x cos x 0  2 cos x  cos2x+cos3x  0    cos3x=-cos2x=cos   -2x       x= 2  k x=  k    2   k 2   3x=  2 x  k 2   x=  kZ  5 5  3 x 2 x    k 2  x    k 2    . e). cos2 x  sin 3 x  cos x 0  cosx  cosx+1  s inx  1-cos 2 x  0  cosx=-1  2  t- t  1 =0  2  cosx=-1      1 2 2 sin  x    cos   4 2.  cosx+1=0   cosx+1  cosx  s inx  1-cosx   0     sinx+cosx-sinxcosx=0  cosx=-1  2  t -2t-1=0 .  cosx=-1    t=1- 2  t=1+ 2  2 .  cosx=-1   2 sin  x    1   4 .    x=- +k2  x=- +k2       x    k 2   x    k 2   4 4    5  x      k 2  x     k 2  4  4 f) cos x sin x +¿ cos x +sin x∨¿ 1 .. Đặt :. k Z. t  s inx+cosx ;0 t  2  *  t 2 1  2sin xcosx  sinxcosx=. t2  1 2.  t 1  t  3  0(loai )  t 1        1    x   k 2  x   k 2  2 sin  x  4   1  sin  x  4    2     2  s inx+cosx 1          1   x k 2  x   k 2  2 sin  x   1  sin  x     2 4 4 2     k  x kZ 2 Thu gọn 4 nghiệm trên ta được : là nghiệm của phương trình . . t2  1  t  1 0  t 2  2t  3 0  2. Bài 28. Giải các phương trình sau: a) 2+cos 2 x=−5 sin x c) sin2 x=cos2 2 x +cos 2 3 x. b) sin 3 x+ cos3 x=2(sin5 x+ cos5 x). ( π3 )=cos 3 x. 3 d) 8 cos x+.

(70) Giải t s inx; t 1 2  cos 2 x  5sin x  2  1  2sin x  5sin x   2  2t  5t  3 0 2. a). 1   t  2   t 3  1. 1   cosx=-  x   k 2  k  Z  2 3 Vậy phương trình có nghiệm : sin 3 x  cos 3 x 2(sin 5 x  cos5 x)  sin 3  1  2s in 2 x  cos 3 x  2cos 2 x  1. b).  cos2x=0  cos2x  sin x  cos x  0      sinx-cosx   1  s inxcosx  0 3. 3.  cos2x=0  tanx=1    sin2x=-2.  cos2x=0  tanx=1 .     k  2x= 2  k  x= 4  2    k  x=   k  x=   k x  k Z  4  4 4 2 . Thu gọn 2 nghiệm trên ta được :       8cos3  x   cos 3 x  2  cos  3x+   3cos  x    cos3x 3 3     d).         2cos3x+6cos  x   cos3x  2cos  x   cos3x y  x   x  y   * 3 3   3 3 . Đặt :   2 cos y cos3  y-  cos  3y-  cos   -3y   cos3y  3 Thay vào ta có :  cosy=0 2 cos y  4 cos 3 y  3cos y 0  cosy  4cos 2 y  3  0    2  1+cos2y   3 0 Do đó :    x= 6  k          cosy=0  x= 2  3  k  y= 2  k  y= 2  k          x=-  k 1   cos2y= 6  x=     k  2y=   k 2  y=   k   2 3 6 6 3     x    k  (k  Z ). Bài 29. Giải các phương trình sau: a) ¿ sin x − cos x∨+¿ sin x+ cos x∨¿ 2 6 6 c) cos x − sin x=. 13 cos 2 2 x 8. b) 2 sin x +cot x=2 sin 2 x +1 d) 1+3 tan x=2 sin 2 x. Giải a) ¿ sin x − cos x∨+¿ sin x+ cos x∨¿ 2 . Bình phương 2 vế :ta được  1  1  2  s inx-cosx   s inx+cosx  2  cos2x 0  cos2x=0  x=  cosx  2sin x  cot x 2sin 2 x 1   2s inx-1    4sin xcosx  0  sinx  b).  k  k Z  4 2.

(71)  1  4sin 2 x   cosx   2sinx-1  cosx   1  2sin x   0  0   2s inx-1 1   sinx   sinx  1  1 s inx=   s inx=  2sin x 1 2  s inx-cosx-sin2x     2s inx-1   2  0   s inx-cosx-sin2x=0   1  t 2  2 s inx  t   0  t  2t  1 0  2 1 1   s inx= 1 s inx=    s inx= 2 2 2       2 sin  x     2  1  sin  x     2  1 sin   t  1  2  t  1  2   2       4 4  2   5    x= 6  k 2  x  6  k 2  k Z  x     k 2  x  3    k 2  4 4 13 13 cos6 x  sin 6 x  cos 2 2 x   cos 2 x  sin 2 x   sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x   cos 2 2 x 8 8 c) 13  1  13  1   cos2x  1  sin 2 2 x   cos2 2 x  cos2x  1  sin 2 2 x  cos2x  0 8  4  8  4   cos2x=0  k  x   cos2x=0   c os2x=0  1 4 2    cos2x=   k Z 1 2  cos2x= 2   x   k  2cos 2 x  13cos 2 x  6 0 2  cos2x=6>1   6  d) 1+3 tan x=2 sin 2 x . Điều kiện : cos x 0 . Khi đó phương trình trở thành : sin x  1 3 4sin xcosx  cosx+3sinx=4sinxcos 2 x 3 cosx . Chia 2 vế phương trình cho cos x 0 . Ta được :. t t anx 1 sinx sinx +3 =4  2  2 2 3 1+t  3 t 1  t  4 t  0 cos x cos x cosx   . t t anx   2  t+1  3t  2t  1 0.  t  1 0   2  3t  2t  1 0. t t anx  3 2 3t  t  t  1 0.  t  1    ' 1  3  2  0  t anx=-1  x=- 4  k . Bài 30. Giải các phương trình sau: a) sin 3 x=cos x cos 2 x (tan 2 x + tan2 x). b) 9sin x +9cos x =10. c) 4 cos3 x+3 √ 2 sin 2 x=8 cos x. d) 1−. 2. 2. x2 =cos x 2 sin 3 x sin 5 x = f) 3 5. ( π4 )=√ 2 sin x. 3 e) sin x +. Giải a). sin 3 x=cos x cos 2 x (tan 2 x + tan2 x). cosx 0  *  cos2x  0  . Điều kiện : . Khi đó phương trình :.

(72) sin 2 x sin 2 x cos2x.sin 2 x sin 3x cos x cos 2 x  cos x cos 2 x   cosxsin2x cos2 x cos2x cosx cos2x.sin 2 x cos2x.sin 2 x sin 3 x  s inx sin 3x   cosxsin2x=  cosx cosx 2 2. sin x cos x t 9cos x  1 t 9  * b) 9 +9 =10 . Đặt : . Khi đó phương trình trở thành : 2    9cos x 1  cos 2 x 0 x   k  t 1  cosx=0 9 2    t 10  t  10t  9 0    2    2 2  t  t 9  9cos x 9  sinx=0  cos x 1  x k 3 c) 4 cos x+3 √ 2 sin 2 x=8 cos x  x   k 2 Nhận xét : cosx=0 là nghiệm của phương trình do đó pt có nghiệm : . 2. 2. 3 Khi cosx 0 Ta chia 2 vé phương trình cho cos x 0 , ta được phương trình :.  4cos 2 x  6 2 sin x 8  4  1  sin 2 x   6 2 sin x 8  4sin 2 x  6 2 sin x  4 0 t s inx; t 1 t s inx; t 1 2     s inx=  2 2 2  t  2 1 t  4t  6 2t  4 0  2 1.  x 0  x 0 x2 x2 cos x  1  cosx=    x 0 2 2 cosx=1  x=k2 .. d) Phương trình có nghiệm duy nhất : x=0  π e).  x   k 2 4 kZ 3 x   k 2 4 .. ( 4). sin3 x +. =√ 2 sin x. . Đặt :. y x . 4.  x y .   * 4 . Thay vào phương trình ta có :.    sin 3 y  2 sin  y   sin y  cosy  siny  sin 2 y  1  cosy=0   sinycos 2 y  cosy=0 4   cosy=0    cosy  1-sinycosy  =0    cosy=0  y=  k  x   k  k  Z  2 4  sin2y=2>1 sin 3 x sin 5 x   5sin 3 x 3sin 5 x  2sin 3 x 3  sin 5 x  sin 3 x  5 f) 3  2sin 3 x 3.2cos 4 x sin x  2  3sin x  4sin 3 x   6s inxcos4x=0  sinx  6-4sin 2 x  6 cos 4 x  0  s inx=0  s inx=0  s inx=0    2 2  cos2x=1  cos2x=- 5 6-2 1-cos2x  6 2cos 2 x  1  0   12 cos 2 x -cos2x-10=0     6  -Trường hợp : s inx=0  x=k - Trường hợp : cos2x=1  2x=k2  x=k 5  cos2x=- cos  2x=  +k2  x=   k 6 2 - Trường hợp :  x k 5   k  Z ; cos =-     x   k  6 2 Tóm lại phương trình có nghiệm là : .

(73)

Cac bai tap ve LG co ban Don gian HD giai TSy

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về