Bài soạn Cac bai tap ve thiet dien

1. Thiết diện của hình chóp
1.1. Thiết diện qua ba điểm cho trớc
1.1.1.Ba điểm nằm trên ba cạnh không đồng phẳng của hình chóp
Cách giải:
Xác định mặt phẳng chứa hai điểm cho trớc.
Xác định giao điểm của đờng thẳng đi qua hai điểm đó với giai tuyến của mặt phẳng chứa
nó với mặt phẳng chứa điểm còn lại
Nối các đoạn thẳng với các giao điểm và điểm cho trớc để xác định mặt phẳng cắt các
cạnh của hình chóp
* Chú ý trong khi xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng sẽ cắt những cạnh nào
của hình chóp để dễ xác định
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của SA,
BC, CD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song với CB. Gọi M, N là trung điểm của
SB và SC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN)
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD ba điểm A; B; D nằm trên ba cạnh SA ; SB ; SD. Xác định
thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABD)
Bài 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi H, K lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đờng thẳng CD lấy
điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng
(HKM).
Bài 5: Cho hình chóp SABCD trên SA, SB lấy hai điểm M, N sao cho SM= 2MA , NB = 2SN và trên
trung điểm DC lấy điểm Q. Xác định thiết diện tạo bời hình chóp và mặt phẳng (MNQ)
Bài 6: Cho hình chóp SABCD , M là điểm trên BC, N là điểm trên SD xác định thiết diện của hình
chóp với mặt phẳng (BMN)
Bài 7: Cho hình chóp SABCD AD không song song với BC. Gọi trung điểm SC là M , trên SB lấy
điểm N sao cho 3SN = 2NB. Xác định thiết diện với hình chóp SABC cắt bởi mặt phẳng (DMN).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD . M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lợt là trung điểm của AB và
AD. Tìm thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Bài 9: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Trên BC và BD kéo dài lấy E và F sao cho CE=DF=a. Gọi M là
trung điểm AB . Tìm thiết diện của tứ diện với mp(MEF) và tính tỉ số diện tích thiết diện với BCD
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD trên SD lấy điểm N xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt

phẳng (BCN)
1.1.2.Có hai điểm nằm trên hai cạnh còn một điểm nằm trên một mặt của hình chóp
Xác định giao tuyến của các mặt, xác định giao điểm của đờng nối hai điểm trên 2 cạnh
đã cho với giao tuyến. Xác định giao điểm của đờng nối điểm đó với điểm thứ ba trên
mặt đã cho với các cạnh của hình chóp. Nếu hai điểm trên hai cạnh không cùng thuộc
một mặt bên thì tìm giao với các cạnh kéo dài và xác định các giao điểm thuộc mặt
phẳng cắt. Đặc biệt hai điểm nằm trên hai đờng chéo nhau cần xác định một mặt phẳng
chứa một điểm trên cạnh và điểm trên mặt đã cho.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên BC sao cho BN = 2NC, K là trọng
tâm của tam giác ACD. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNK).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có AB không song song với CD . Trên SA lấy điểm M, SB
lấy điểm N sao cho MN//AB. Gọi O là điểm bất kỳ nằm trong tam giác SCD. Xác định thiết diện của
hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNO)
Xác định thiết diện Đồng Thái Lâm
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Lấy M, N trên AC và AD sao cho AM = 3MC, AN =2ND, O là điểm
nằm trên đờng trung tuyến BB của BCD sao cho OB=2OB. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng
(MNO) với tứ diện.
Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song. Gọi M và P
là trung điểm của SA và BC. G là trọng tâm tam giác SCD. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi
mặt phẳng (MPG)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD . Trên AD và SC lấy hai điểm E và F sao cho AE = 3ED ; SF = 2SC.
Gọi K là trọng tâm của tam giác SAB . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFK)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD .Trên các đoạn thẳng AD và SC lấy hai điểm E và F. Gọi K là điểm
bất kỳ nằm trong tam giác SAB thuộc mặt phẳng (SAB) . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
mặt phẳng (EFK).
Bài 7: Cho tứ diện ABCD gọi M và N là hai điểm trên cạnh BC và CD. E là điểm bất kỳ trong tam
giác ABD xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EMN)
1.1.3.Có một điểm nằm trên cạnh còn hai điểm kia nằm trên hai mặt khác
Tìm mặt phẳng chứa hai trong ba điểm đã cho sau đó tìm giao điểm của đờng thẳng nối hai
điểm ấy với một mặt thích hợp của hình chóp. Xác định giao điểm của các cạnh hình chóp

với mặt phẳng thiết diện.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F ,M là trung điểm của BD , CD và BC. Trên AE, AF lấy hai điểm
I , J sao cho AI = IE , AJ = 2JF. Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi mp(MIJ)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC gọi E,F là trọng tâm của các tam giác SBC, và SCD. M là trung điểm
của SA . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MEF)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD , M là điểm trên cạnh AB, N và P lần lợt nằm trong tam giác BCD và tam
giác ACD. Xác định thiết diện cắt tứ diện bởi mặt phẳng MNP.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD . M là trung điểm của SA, N và P lần lợt là trọng tâm các tam giác
SBC và tam giác ACD. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP).
1.1.4.Ba điểm nằm trên ba mặt khác nhau
Xác định mặt phẳng chứa hai trong ba điểm và giao tuyến của nó với mặt không chứa điểm
nào.
Xác định giao điểm của đờng thẳng nối hai điểm với giao tuyến trên và xác định các giao điểm
của đờng thẳng nối các giao điểm với các cạnh của hình chóp.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là trung điểm các cạnh BD, BC, CD. Trên AE, AF, AG lấy các
điểm M,N,P sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng (BCD). Xác định thiết diện
với tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lấy các điểm M, N, P nằm
trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tơng ứng của các mặt sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với
mặt phẳng đáy. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP)
Tuỳ theo vị trí của các điểm M,N,P biện luận nghiệm hình của bài toán.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ABC) lấy các điểm M,N,P nằm
trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tơng ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh
nào của hình chóp. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận nghiệm
hình của bài toán.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD . Trên các mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lấy các điểm M,N,P nằm
trong tam giác tạo bởi ba đỉnh tơng ứng. Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với bất kỳ cạnh
2
Xác định thiết diện Đồng Thái Lâm
nào của hình chóp. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) và biện luận nghiệm

hình của bài toán.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD trên mp(SAB), mp(SCD) lấy các điểm M,N nằm trong tam giác tạo
bởi ba đỉnh tơng ứng và lấy điểm P nằm trong đoạn BC. Xác định thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt
phẳng (MNP)
1.1.5.Thiết diện có một điểm nằm trong khối của hình chóp
Tìm cách chuyển điểm trong khối chóp ra mặt ngoài của hình chóp bằng cách xác định
giao tuyến của mặt phẳng chứa điểm nằm trong khối chóp và một điểm nằm trên mặt hoặc
cạnh của khối chóp.
Xác định giao điểm của đờng thẳng giao tuyến với đờng thẳng nối hai điểm của mặt phẳng
thiết diện cho trớc.
Chuyển về bài xác định thiết diện có các điểm cho trớc nằm trên mặt của hình chóp đã
nêu trên.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD , tứ giác ABCD có AB không song song với CD. Gọi G là trọng tâm
của ABD, I là trung điểm của SG. Xác định thiết diện với chóp cắt bởi mặt phẳng (CDI)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I = AC BD, O là trung điểm SI,
gọi M và N lần lợt là trung điểm của BC và CD xác định thiết diện cắt bởi hình chóp với mặt phẳng
(MNO)
Bài 3: Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là trung điểm của AG, M và N lần lợt là
trung điểm của BC và BD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI).
Bài 4: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là điểm trên đoạn AG sao cho
2AI = IG, M và N lần lợt là trung điểm của CD và AD. Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt
phẳng (MNI).
Bài 5: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G là trọng tâm tam giác BCD, I là điểm trên đoạn AG sao cho AI
= 2IG, M và N lần lợt là các điểm trên AB và CD sao cho MB = 2AM, DN = 3NC. Xác định thiết diện
của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNI).
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi
M và N là trung điểm của AB và BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi
M và N là trung điểm của BC và CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi

M và N là trung điểm của AB và CD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi
M và N là trung điểm của SA và BC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD, I là trung điểm của SG. Gọi
M và N là trung điểm của SA và SC . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNI)
3
Xác định thiết diện Đồng Thái Lâm
1.2.Thiết diện song song
Để xác định thiết diện song song cần xác định mặt phẳng thiết diện song song với những đờng thẳng
chứa cạnh nào của hình chóp. Vận dụng tính chất song song đó xác định các đờng thẳng tơng ứng và
tìm giao điểm của mặt phẳng thiết diện với hình chóp.
1.2.1.Đi qua hai điểm và song song với một đờng thẳng
Xác định mặt phẳng chứa một điểm đờng cho trớc, xác định đờng thẳng đi qua điểm và song song
với đờng cho trớc qua đó xác định giao điểm với các cạnh của hình chóp
1.2.2.Đi qua một điểm và song song với một mặt
Dựng các đờng thẳng song song với các giao tuyến của mặt phẳng cho trớc với các mặt bên với điều
kiện các đờng thẳng này cần dựng phải đi qua các điểm cho trớc. Xác định các giao điểm với các
cạnh của hình chóp với các đờng thẳng đợc xác định.
1.2.3.Đi qua một điểm và song song với cặp đờng thẳng chéo nhau
Từ các điểm đã cho lần lợt dựng các đờng thẳng song song với hai đờng thẳng chéo nhau với điều
kiện các đờng thẳng đó phải nằm trên các mặt của hình chóp để xác định các giao điểm với các cạnh
Các bài tập minh hoạ cho thiết diện song song
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm trên AB và CD, là mặt phẳng qua MN và song
song với SA. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD . M và N là hai điểm bất kỳ trên SB và CD, là mặt phẳng qua MN và
song song với SC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ().
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Đoạn IJ nối trung điểm I của AB và trung điểm J của
CD. Giả sử AB CD , mp() qua diểm M trên IJ và song song với AB và CD.
Xác định thiết diện của ABCD với mặt phẳng (). Thiết diện là hình gì ?
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SB. Xác

định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng () trong hai trờng hợp sau.
a) () qua M và song song với SO và AD.
b) () qua O và song song với AM và SC
Bài 5: Cho hình chóp SABC. Gọi M,N lần lợt là trung điểm các cạnh AB và SC. Trên đoạn BM lấy
điểm H, mặt phẳng (P) qua H và song song với CM và BN cắt hình chóp theo một thiết diện . Tìm
thiết diện đó.
Bài 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H là giao điểm các đờng chéo của
đáy. I là điểm trên đoạn AH. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua I và song song với các đờng
thẳng SA và BD cắt hình chóp.
Bài 7: Cho hình chóp SABC gọi M, N lần lợt là trung điểm của SB và SC; E là điểm tuỳ ý trên AB.
Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng () đi qua E và song song với các đờng AM và BN cắt hình chóp.
Bài 8: Cho hình chóp SABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm cạnh SB. Trên đoạn
thẳng SM lấy điểm E. Mặt phẳng () đi qua E và song song với các đờng thẳng AM, SG. Tìm thiết
diện tạo bởi mp() cắt hình chóp.
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm của hai đờng chéo
đáy. Tìm thiết diện tạo bởi mp(P) đi qua H, song song với AB và SC cắt hình chóp
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, M
là điểm trên đoạn AC. Mặt phẳng P đi qua M song song với các đờng thẳng AG và BD cắt hình chóp
theo một thiết diện. Tìm thiết diện đó.
Bài 11: Cho hình chóp SABC . Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, SC. Trên đoạn AM ta
lấy điểm H. Mặt phẳng (P) đi qua H song song với CM và BN cắt hình chóp theo một thiết diện. Hãy
tìm thiết diện đó.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáu ABCD là hình bình hành. Gọi H là giao điểm các đờng chéo đáy.
Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và song song với mặt phẳng (SAB) cắt hình chóp.
4
Xác định thiết diện Đồng Thái Lâm
Bài 13: Cho tứ diện ABCD gọi M, N lần lợt là trung điểm cạnh AB và CD , E là điểm chia BC theo tỉ
số BE:EC = 2 : 1. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua H và
song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện đã cho.
Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD . Gọi M, N, E lần lợt là trung điểm các

cạnh AB, AD, SC. Trên đoạn AM lấy điểm K . Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song
song với (MNE) cắt hìh chóp.
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm các
cạnh AB, AD. Trên đoạn AC lấy điểm K . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua K song song với
mp(AMN) cắt hình chóp.
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm SC, H là giao
điểm các đờng chéo đáy hình chóp. Trên đoạn AH lấy điểm M . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi
qua M song song với mp(BDE) cắt hình chóp.
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của SC , M là một điểm
di dộng trên cạnh SA , () là mặt phẳng luôn đi qua CM và song song với BC. Xác định thiết diện mà
() cắt hình chóp S.ABCD . Khi nào thiết diện là hình bình hành ?
Bài 18: Cho tứ diện ABCD gọi G
1
; G
2
; G
3
lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB. Tìm
thiét diện của tứ diện với mặt phẳng G
1
G
2
G
3
1.3.Thiết diện vuông góc
1.3.1.Thiết diện qua một điểm cho trớc và vuông góc với một đờng thẳng
Mặt phẳng đợc xác định khi biết ba điểm không thẳng hàng vận dụng vấn đề đó mặt phẳng
cũng đợc xác định khi biết hai đờng thẳng cắt nhau, hai đờng thẳng song song với nhau, biết một
điểm thuộc nó và một đờng thẳng vuông góc với nó. Do vậy mặt phẳng đợc xác định khi biết một
điểm thuộc nó và một đờng vuông góc với nó cho ta xác định đợc một mặt phẳng đi qua một điẻm

vuông góc với một đờng thẳng và có thể phát biểu thành mệnh đề nh sau : Nếu n đ ờng thẳng trong
không gian cùng đi qua một điểm M và vuông góc với đờng thẳng cho trớc thì chúng đồng
phẳng
Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) vuông góc với đờng thẳng d cho trớc có hai tr-
ờng hợp sảy ra :
Tr ờng hợp 1: Nếu có hai đờng thẳng a và b cùng vuông góc với d và a không song song với b thì ta
có (P) // a và (P) // b (Có thể (P) chứa một hoặc hai đờng thẳng đó). Vận dụng các phơng pháp xác
định thiết diện song song đã nêu trớc để xác định thiết diện
Tr ờng hợp 2: Nếu không có hai đờng thẳng cùng vuông góc với d ta dựng hai đờng thẳng cắt nhau
cùng vuông góc với d trong đó có ít nhất một đờng đi qua điểm cho trớc. Mặt phẳng đợc xác định
chính là (P) sau đó vận dụng các kiến thức đã nêu xác định thiết diện.
Chú ý : Đế xác định đờng thẳng thứ hai trong trờng hợp hai cần nắm trắc định lí ba đờng vuông góc
và điều kiện để đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB AD, AB AC, AD AC, gọi G là trọng tâm tâm tam giác BCD.
Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(P) đi qua G và vuông góc với AD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều có SA (ABC). Gọi () là mặt phẳng qua C và
vuông góc với SB. Xác định thiết diện của hình chóp với mp().
Bài 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC nhọn và SA (ABC). Xác định thiết diện của tứ diện cắt
bởi mặt phẳng qua S và vuông góc với BC.
5