Tong hop cac bai tap ve PTLG lop 11 TSy

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX A. NHẬN DẠNG : * Là phương trình có dạng : a.sinx+b.cosx=c B. CÁCH GIẢI a 2  b2  0. 1. Chia hai vế phương trình cho : a. 2. Phương trình có dạng : sin  . 3. Đặt :. a 2. a b. 2. s inx+. a 2  b2. ; cos =. b 2. a b. 2. b a 2  b2. ; cos =. cosx= c 2. a b. 2. c a 2  b2 ;d/k:c 2 a 2  b 2. .. s inx.sin +cosx.cos =cos  cos  x-  cos. 4. Khi đó phương trình trở thành :  x     k 2  x     k 2   kZ x      k 2  x      k 2    5. Giải :. C. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Giải các phương trình sau : 2. x x   sin  cos   3cosx=2 2 a.  2 s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin 3 x . c. Bài 2. Giải các phương trình sau : a.. 4  sin 4 x  cos 4 x   3 sin 4 x 2 cos 2 x  3 sin 2 x  2 s inx+cosx .  c. Bài 3. Giải các phương trình sau :    .  1  2sin x  cosx 1  2sin x   1  s inx  b. .  3. d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 b.. 2 2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x. 4 4 d. sin x  cos x 2 3 s inxcosx+1. 2  4sin x sin   x  sin   x   4 3cosx.cos  x  3 3  3   a. 3. b. 2sin 4 x  16sin x.cosx  3cos 2 x 5 Bài 4. Giải các phương trình sau : a.. sin 8 x  cos6x= 3  sin 6 x  cos8x . 3 c. 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3x. 4     cos  x   2 3    3 1  sin 4 x cos 6 x  sin 6 x 8 c.. b.. cos7x-sin5x= 3  cos5x-sin7x . d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0. II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. ĐỊNH NGHĨA : *Là phương trình có dạng :.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a.sin 2 u  b sin u  c 0 a.cos 2u  b sin u  c 0 a.tan 2 u  b tan u  c 0 a.cot 2 u  b.cot u  c 0 . (1). Với u=u(x). II. CÁCH GIẢI :  sin u t  t 1   cosu=t  t 1  at 2  bt  c 0  tan u t  t  R   cot u t  t  R.  2. - Đặt : - Giải phương trình (2) để tìm t - Kiểm tra điều kiện đối với t , để chọn t phù hợp . - Sau đó giải phương trình : u=u(x)=t . III. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG . Bài 1. Giải các phương trình sau : cos3x+sin3x   5  s inx+  3  cos2x 2 2 1  2sin 2 x  a.  b. cos 3x.cos2x-cos x 0  3    cos 4 x  sin 4 x  cos  x-  .sin  3x    0 2 4 2  4  b. d. 4.s inxcosx+3sin x 6sin x. Bài 2. Giải các phương trình sau 2. 2. 2. 2. a. sin 3x  cos 4 x sin 5x  cos 6 x     tan  x   2 tan  2 x   2 2 2   c.. x x  sin 2    tan 2 x  cos2 0 2 2 4 b.. d.. 5.s inx-2=3  1-sinx  .tan 2 x. Bài 3. Giải các phương trình sau : 1 1 2sin 3x  2 cos 3 x  s inx cosx a. x 3x x 3x 1 cos x.cos .cos  s inx.sin .sin  2 2 2 2 2 c.. . . cosx 2sinx+3 2  2 cos 2 x  1. b.. 1  sin 2 x. 1. 3 d. 4 cos x  3 2 sin 2 x 8cos x. Bài 4. Giải các phương trình sau :     a.. cos  2 x    cos  2x-   4sin x 2  2  1  s inx  4 4   2. b.. 2. . . 3cot x  2 2 sin x  2  3 2 cosx. 4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x 0 cosx c.. 1 2 f ( x) s inx+ sin 3 x  sin 5 x 3 5 c. Cho : . Hãy giải phương trình : f'(x)=0.. Bài 5. Giải các phương trình sau :.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a.. sin. 5x x 5cos 2 x.sin 2 2. 2 cos 2. b.. 6x x 1 3cos 5 5. sin 2 x  cot x  tan 2 x  4 cos 2 x.   tan 3  x   t anx-1 4  d.. c. Bài 6. Giải các phương trình sau : sin 4 2 x  cos 4 2 x cos 4 4 x     tan   x  tan   x  4  4  a. 5 sin 8 x  cos8 x 2  sin10 x  cos10 x   cos2x 4 c.. 1 2   1  cot 2 x.cot x  0 4 cos x sin 2 x b. cos2x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1+tanx 2 d. 48 . Bài 7. Giải các phương trình sau : a. sin 2 x  2 tan x 3. b.. 1  t anx 1  sin 2 x 1  t anx.   c.  Bài 8. Giải các phương trình sau :. 2 sin2x. d. sin 4 x t anx.   9   sin x  sin  x    sin 4  x    4 4 8   a. 4. cot x  t anx+4sin2x=. . 4. c. 4 cos x  3 2 sin 2 x 8cos x Bài 9. Giải các phương trình sau :  . 1  sin 2 x. b. d.. sin 2 x  2 sin  x   0 4  a. 2 c. 3cos 4 x  2 cos 3x 1. . s inx 3 2  2cos x  2sin 2 x  1. 4. cos. 1. 4x cos 2 x 3. 2cos 2. 3x 4x  1 3cos 5 5. b. 2 d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x. Bài 10. Giải các phương trình sau :  3 x  1   3 x  sin     sin    10 2  2  10 2   b.. 13 cos 6 x  sin 6 x  cos 2 2 x 8 a. 6 6 cos x  sin x 1  tan 2 x 2 2 c. cos x  sin x 4. 2 2 2 2 d. cos x  cos 2 x  cos 3 x  cos 4 x 2. III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX I. NHẬN DẠNG : * Là phương trình có dạng : a( sinx+cosx)+bsinx.cosx=c .(1) II. CÁCH GIẢI . - Đặt t= sinx+cosx , điều kiện :. t  2. ..

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  t2  1 t2  1 2  a.t  b   c  bt  2at  b  2c 0 2  2 . - Tính : sinxcosx= (2) - Giải phương trình (2) tìm t . Sau đó kiểm tra điều kiện đối với t , chọn t thích hợp .   - Cuối cùng giải :. sin x  cosx= 2 sin  x   t0 4 . III. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG : Bài 1. Giải các phương trình sau : 2. 3 sin 3 x  cos 3 x  1  sin 2 x 2 b. 3  cot x  cosx   5  t anx-sinx  2. 3. a. s inx+sin x  cos x 0 2 s inx+cosx t anx+cotx.   c. Bài 2. Giải các phương trình sau : 3 tan 3 x  t anx+. d.. 3  1+sinx   x 8cos 2    2 cos x  4 2. 3 3 a. b. 2sin x  s inx=2cos x  cosx+cos2x 2 3 4 2 3 4 c. sin x  sin x  sin x  sin x cosx+cos x  cos x  cos x Bài 3 . Giải các phương trình sau :. a.. tan 2 x  1  sin 3 x   cos3 x  1 0. c. Cho phương trình :. b. 2sin x  cot x 2 sin 2 x  1. m  s inx+cosx+1 1  sin 2 x. .  .  0; 2  Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 3 3 Bài 4. Cho phương trình : cos x  sin x m sin x cos x. a. Giải phương trình khi m= 2 b. Tìm m để phương trình có nghiệm . 1 1 1  m  s inx+cosx   1   t anx+cotx+   0 2 sinx cosx  Bài 5. Cho phương trình : .. a. Giải phương trình với m=1/2    0;  b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng  2  3 cos 2 2 x  2  sinx+cosx   3sin 2 x  m. Bài 6. Cho f(x)= a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3. .. b. Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m . Tìm m để Bài 7. Giải các phương trình :.  f ( x ). 2. 36x  R. 3 3 cos 2 x  5 2  2  cosx   s inx-cosx  a. b. cos x  sin x cos2x 2 2 c. 3tan x  4 tan x  4 cot x  3cot x  2 0 2 2 3 3 d. tan x  cot x  tan x  cot x  tan x  cot x 6 3 3 Bài 8. Cho phương trình : cos x  sin x m a. Giải phương trình với m=1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>     ;  b. Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn  4 4 . Bài 9. Cho phương trình : 2 cos 2 x  sin 2 x cos x  s inxcos 2 x m  s inx+cosx . a. Giải phương trình với m=2    0;  b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn  2  1  cot 2 x  m  t anx+cotx   2 0 2 Bài 10. Cho phương trình : cos x 5 a. Giải phương trình với m= 2. b. Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 11. Giải các phương trình sau :   sin 2 x  2 sin  x   1 4  b. sinx+cosx 1 d. sin 2 x 1. 3 3 a. sin x  cos x s inx-cosx. c. sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 . Bài 12. Giải các phương trình sau :. 1  cos2x 1  cos3 x  3 5 s inx+cosx   sin 3 x  cos3x=2 2  2  sin 2 x  a. 1  cos2x 1  sin x b.  2 2 c. sin x cos x  cos2x+sinx=cos x sin x  cosx 3 d. 4sin x  1 3sin x  3cos3x. 3  3 tan 2 x m  t anx+cotx   1 2 Bài 13. Cho phương trình : sin x. a. Giải phương trình với m=4 b. Tìm m để phương trình có nghiệm . VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX 1. Nhận dạng : * Là phương trình có dạng :  a sin 2 x  b cos 2 x  c sin x cos x  d 0  3 2 2 3  a.sin x  b sin x cos x  c sin x cos x  d cos x 0. 2. Cách giải : - Nhận xét : cosx=0 có là nghiệm hay không . Nếu là nghiệm , giải viết nghiệm . - Khi cosx . Ta chia hai vế của phương trình cho cosx (với lũy thừa bạc cao nhất) - Chuyển phương trình đã cho thành phương trình chứa một hàm số lượng giác tanx. Sau đó đặt t=tanx - Phương trình đã cho trở thành dạng f(t)=0 ( Bậc hai , bậc ba đối với t).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3. Một số bài tập áp dụng : Bài 1. Giải các phương trình sau : 3 3 2 2 a. sin x  3cos x s inxcos x  3 sin x cos x. sin 2 x t anx+1 3sin x cosx-sinx   3.    b. Bài 2. Giải các phương trình sau :  3 a.. 8cos  x   cos3x 3  2. 3 b. sin x  cosx-4sin x 0. 2. c. cos x  3 sin 2 x 1  sin x Bài 3. Giải các phương trình sau : 4 2 2 4 a. 3cos x  4sin x cos x  sin x 0 cos2x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1+tanx 2 c.. 3 3 2 d. cos x  4sin x  3cos x sin x  s inx=0 3 b. sin x sin 2 x  sin 3 x 6 cos x. d. sin3x +cos3x +2cosx=0. Bài 4. Giải các phương trình sau : a.. 6sin x  2cos3 x . 5sin 4 x.cosx 2cos 2 x. 3 b. s inx-4sin x  cosx=0. tan x sin 2 x  2sin 2 x 3  cos2x+sinxcosx . c. Bài 5. Cho phương trình :.  4  6m  sin 3 x  3  2m  1 s inx+2  m-2  sin 2 x cos x   4m  3 cosx=0 a. Giải phương trình với m=2    0; 4  b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc đoạn. Bài 6. Giải các phương trình sau : 3. 2. a. cos x  s inx-3sin x cos x 0 Bài 7. Giải các phương trình sau : 3. 3. b. 1  t anx=2 2 s inx sin 2 x  1  t anx  3sin x  cosx-sinx   3. a. sin x  cos x s inx-cosx b. 3 2 2 3 c. sin x  sin x cos x  3sin x cos x  3cos x 0 2 2 d. 3 tan x  4 tan x  4 cot x  3cot x  2 0. V. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC A. TỔNG CÁC HẠNG TỬ KHÔNG ÂM   f ( x ) 0 2 2  a. f ( x)  b. g ( x )  0    g ( x ) 0    2 m1 2 m2 2 mn 0   a1  f1 ( x)  a2  f 2 ( x )   ......  an  f n ( x )   . BÀI TẬP ÁP DỤNG.  f1 ( x) 0  ...............  f ( x) 0  n.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bài 1. Giải các phương trình sau : 2 2 a. 4sin x  2 3 t anx+3tan x  4sin x  2 0 2. 2. c. 4 cos x  3 tan x  4 3cosx+2 3 t anx+4=0 Bài 2. Giải các phương trình sau :. 2 2 2 b. tan x  tan 2 x  cot 3x 1. d.. sin 2 x  sin 2 y  sin 2  x  y  . 9 4. 1 sin 2 x  sin 2 3 x s inx.sin 2 3 x 4 a. 2 2 b. 3cot x  4 cos x  2 3 cot x  4cos x  2 0 2 c. 8cos 4 x.cos 2 x  1  cos3x  1 0. d.. sin 2 x . sin 2 3x  cos3xsin 3 x  sin 3x cos3 x  s inxsin 2 3x 3sin 4 x. B. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ HAI VẾ. I.NHẬN DẠNG :.  f ( x ) M  g ( x )  f ( x ) M     f ( x )  g ( x )x  D  g ( x ) M. II. MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG : 1. Dạng 1. Bài 1. Giải các phương trình sau : a.. cos3x+ 2-cos 2 3 x 2  1  sin 2 2 x . 3 3 4 b. sin x  cos x 2  sin x.   tan 2 x  cot 2 x 2sin 5  x   4  d.. b. 3  cosx  cosx+1 2 Bài 2. Giải các phương trình sau : 13 14 a. cos x  sin x 1. 2 b. 2  2cos x  2 x sin x  x 0. 2. Dạng 2. Bài 3. Giải các phương trình sau : a. 4 cos x  2 cos 2 x  cos4x=1 2. b.. 2. c. cos 3 x cos 2 x  cos x 0 Bài 4. Giải các phương trình sau " a.. d.. sin x  cosx= 2  2  sin 3x .  cos4x-cos2x . 2. 1 0 s inxcos2xcos3x. 5  sin 3x. b. tanx+tan2x=-sin3xcos2x .  . b. sin4xcos16x=1 Bài 5. Giải các phương trình sau : 2. tan 2 x  tan 3 x . d. 2. 1   2 1  1  2   sin x  2  12  sin y  cos x  2  cos x   sin x  2 a. . 2sin  x   t anx+cotx 4 .

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 2. 2.      3x 1   3x 1  81 2  sin     cos    cos 4 x 2 sin 3 x   2 cos3 x  4  2  2 b. . MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau: 3x − 2=0 4 c) √ 1+ sin x + √ 1− sin x=2 cos x. a) cos 2 x+ cos. b). sin4 x +cos 4 x 1 = ( tan x+cot x ) sin 2 x 2. Bài 2. Giải các phương trình sau 1 2 5 tan x − + =0 2 cos x 2 3 2 c) (4 −6 m) sin x+ 3(2 m−1)sin x +2( m−2)sin x cos x −( 4 m− 3)cos x=0 (Biện luận theo m). 2 2 a) sin x cos 4 x − sin 2 x=4 sin. ( π4 − 2x ) − 72. Bài 3. Giải các phương trình sau a) 1− tan2 x=2 tan x tan 2 x. b). b) sin 4 x=2cos 2 x −1 2 d) 1+cos 2 x+ sin x=2cos. c) 8 cos 4 x −cos 4 x=1. x 2. Bài 4. Giải các phương trình sau. 3 2 c) tan x − 3 cot x=4 (sin x+ √3 cos x ) 2 2 a) sin 2 x +sin 4 x=. Bài 5. Giải các phương trình sau a) sin 4 x=tan x c) 3(cot x −cos x )−5 (tan x − sin x)=2 Bài 6. Giải các phương trình sau a) tan x − 2 √2 sin x=1 2 c) tan x=. 1+cos x 1− sin x. b) tan x +tan 2 x=sin 3 x cos x d) sin 3 x+ cos3 x=cos 2 x b) sin 4 x − 4 sin x −(cos 4 x − 4 cos x)=1 d) cos 7 x − √ 3sin 7 x=− √ 2 b) 2 cos3 x=sin 3 x. 5 6. 6 6 4 4 d) sin x+ cos x= (sin x +cos x ). Bài 7. Giải các phương trình sau sin4 2 x+ cos4 2 x =cos 4 4 x π π a) tan − x tan + x 4 4 2 c) cos 2 x+ sin x +2 cos x+ 1=0. (. ) ( ). sin 6 x+ cos6 x 1 =− 4 π π b) tan − x tan + x 4 4. (. ) ( ). Bài 8. Giải các phương trình lượng giác sau: a). 1 − tan x =1+sin 2 x 1+tan x. b) 2 √ 2 sin. c) 9 sin x+ 6 cos x − 3sin 2 x+ cos 2 x=8 Bài 9. Giải các phương trình lượng giác sau: sin 5 x =1 5 sin x 2 2 sin 4 x −cos 6 x=sin (10 ,5 π +10 x) . π Tìm các nghiệm thuộc khoảng 0 ; 2. a). ( ). ( π4 + x )=cos1 x + sin1x. 2 d) cos 2 x − cos 4 x ¿ =6 +2sin 3 x. ¿. c) Cho phương trình :.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài 10. Giải các phương trình lượng giác sau: 5 4. 8 8 10 10 a) sin x+ cos x=2(sin x+ cos x )+ cos 2 x 2 2 2 c) sin x+sin 2 x+ sin 3 x=. 3 2. b) √ 3 sin2 x − 2cos 2 x =2 √ 2+2 cos 2 x d) √ 3 sin x +cos x=. Bài 11. Giải các phương trình lượng giác sau: a) cot 2x =tan 2x +2 tan 2 x+1 2 cos x+ √ 2 sin 10 x=3 √ 2+2 cos 28 x sin x c) sin 2 x +2 cos 2 x=1+sin x − 4 cos x. 1 cos x. b) d) sin 2 x +2 tan x=3. Bài 12. Giải các phương trình lượng giác sau: 1 2. a) ( √ 1− cos x+ √cos x) cos 2 x = sin 4 x 3 c) sin. b). ( π4 + x )=√ 2 sin x. 1 √2(cos x −sin x ) = tan x +cot 2 x cot x −1. d). 8 √ 2cos 6 x +2 √ 2sin 3 x sin 3 x −6 √ 2cos 4 x − 1=0. Bài 13. Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos3 x +sin 3 x=sin 2 x +sin x +cos x c) 4 √3 sin x cos x cos 2 x=sin 8 x Bài 14. Giải các phương trình lượng giác sau:. b) 3 −4 cos2 x=sin x (2 sin x +1) d) tan 2 x cot 2 2 x cot 3 x=tan 2 x −cot 2 2 x +cot 3 x. 4x − cos2 x 3 a) =0 √ 1− tan2 x c) sin x+ cos x=cos 2 x cos. (. b) sin 3 x −. π π =sin 2 x sin + x 4 4. ). ( ). Bài 15. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 9cot x + 3cot x −2=0 b) cos 2 x+ sin x+1=0 c) sin 3 x+2 cos 2 x − 2=0 d) sin 3 x −sin x +sin 2 x =0 Bài 16. Giải các phương trình lượng giác sau: a) cos 2 x+3 cos x+2=0 b) 3 cos 4 x −2 cos 2 3 x=1 c) 1+3 cos x+ cos 2 x =cos 3 x+ 2sin x sin2 x d) tan x +tan 2 x=−sin 3 x cos 2 x Bài 17. Giải các phương trình lượng giác sau: 1+ cos x cos x c) tan x +cot x=2(sin 2 x+ cos 2 x ). 3 2 d) 2 √ 2( sin x +cos x )cos x =3+cos 2 x. 2 a) tan x=. 3 3 b) 1+sin 2 x +cos 2 x= sin 4 x. Bài 18. Giải các phương trình lượng giác sau: π π 4 4 3 2 c) cos x +sin x −3 sin x cos x=0. 4 4 4 a) sin x +sin ( x − )+sin ( x + )=. 9 8. sin 2 x +2cos x =0 1+sin x d) 2 sin 3 x +cos 2 x=sin x. b). Bài 19. Giải các phương trình lượng giác sau: a) √ 3− cos x − √ 1+ cos x=2 c) cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x=. 1 16. b) sin x cos x +2 sin x+2 cos x=2 d) sin2 x+sin 2 3 x=cos 2 2 x+ cos2 4 x. Bài 20. Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin 3 x(cos x − 2sin 3 x)+cos 3 x (1+sin x − 2 cos 3 x )=0 3 b) 3 tan x − tan x+. 3( 1+ sin x ) π x −8 cos 2 − =0 2 4 2 cos x. (. ).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Bài 21. Giải các phương trình lượng giác sau: a) 2 cos3 x=sin 3 x b) cos 2 x − √ 3 sin 2 x − √3 sin x − cos x+ 4=0 2 c) cos 2 x=cos x √ 1+ tan x d) 3 cot2 x +2 √ 2sin 2 x=(2+3 √ 2) cos x Bài 22. . Giải các phương trình sau: 1 =0 b) 4 (sin 3 x − cos 2 x )=5(sin x −1) cos x c) 2 cos 2 x +sin 2 x cos x +sin x cos2 x=2(sin x+ cos x). (. a) tan x − sin 2 x −cos 2 x +2 2 cos x −. ). Bài 23. . Giải các phương trình sau: a) tan x sin 2 x −2 sin 2 x=3(cos 2 x+ sin x cos x ) f) 48 −. 1 2 − 2 (1+cot 2 x cot x)=0 4 cos x sin x. b) sin 2 x (cot x + tan2 x)=4 cos 2 x g) sin 6 x+ cos6 x=cos 4 x x 2. c) cos3 x +cos2 x+ 2sin x − 2=0. d) 2+cos x=2 tan. Bài 24. . Giải các phương trình sau: a) cos 3 x+ √2 − cos2 3 x=2(1+ sin2 2 x) c) cot x − tan x=sin x+ cos x Bài 25. . Giải các phương trình sau:. b) sin x+ sin2 x +sin 3 x=0 d) sin 3 x+cos 2 x=1+2 sin x cos 2 x. a) 2 cos 2 x −8 cos x +7=. 3 3 3 b) cos 3 x cos x −sin 3 x sin x=cos 4 x +. 1 cos x 9 sin x+ 6 cos x − 3sin 2 x+ cos 2 x=8 c). d) sin 3 x cos 3 x +cos 3 x sin3 x=sin 3 4 x. Bài 26. . Giải các phương trình sau: a) sin x+ sin2 x +sin 3 x+ sin 4 x=cos x +cos 2 x +cos 3 x +cos 4 x b) 2 sin 2 x −sin x cos x −cos 2 x=− 1 Bài 27. . Giải các phương trình sau: a) 2 sin3 x −cos 2 x+ cos x=0 c) 1+cos x +cos 2 x+ cos 3 x =0 e) cos 2 x+ sin3 x +cos x =0 Bài 28. Giải các phương trình sau: a) 2+cos 2 x=−5 sin x. sin 2 2 x +cos 4 2 x −1 =0 √ sin x cos x. c). b) 1+cos3 x − sin3 x =sin 2 x d) cos x +cos 2 x+ cos 3 x+cos 4 x=0 f) cos x sin x +¿ cos x +sin x∨¿ 1 b) sin 3 x+ cos3 x=2(sin5 x+ cos5 x). ( π3 )=cos 3 x. c) sin 2 x=cos2 2 x +cos 2 3 x. 3 d) 8 cos x+. Bài 29. Giải các phương trình sau: a) ¿ sin x − cos x∨+¿ sin x+ cos x∨¿ 2. b) 2 sin x +cot x=2 sin 2 x +1. 13 2 c) cos x − sin x= cos 2 x 8 6. 6. d) 1+3 tan x=2 sin 2 x. Bài 30. Giải các phương trình sau: a) sin 3 x=cos x cos 2 x (tan 2 x + tan2 x). b) 9sin x +9cos x =10. c) 4 cos3 x+3 √ 2 sin 2 x=8 cos x. d) 1−. ( π4 )=√ 2 sin x. 3 e) sin x +. 2. 2. 2. x =cos x 2 sin 3 x sin 5 x = f) 3 5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1. Giải các hệ phương trình lượng giác sau:. 1 4.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> tan x tan y=. a) d). 1 3. π 3 sin x+ sin y=√ 2 cos x +cos y= √2 x+ y =. b). 1 4 3 tan x=tan y. sin x cos y =. c). 2. e). sin x=cos x cos y 2 cos x=sin x sin y. ( π4 + y ) π tan y +cot y=2sin ( x − ) 4 tan x +cot x=2 sin. g). x + y + z=π tan x tan y=3 tan y tan z=6. h). f). tan y − tan x − tan x tan y=1 cos 2 y + √ 3cos 2 x=− 1. 3 sin x+ cos y= √ 2 5 cos 2 x+ sin 2 y= 4. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHÁC Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1− 5 sin x +2 cos 2 x=0 thoả mãn cos x ≥ 0 . Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=sin x √cos x+cos x √ sin x . Bài 3. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin 2 A +sin2 B+sin2 C=m . Nếu m = 2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù. Bài 4. Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: sin A +sin B+sin C −2 sin Chứng minh rằng số đo của góc C là 120o. Bài 5. Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan. A B C sin =2 sin . 2 2 2. A B + tan =1 . Chứng minh rằng: 2 2. 3 C ≤ tan <1 . 4 2. Bài 6. Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT: √ 2− x2 sin x+ √2+ x 2 cos x=¿ a+1∨+ ¿ a −1∨¿ . Bài 7. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức: 1 1 1 + + −(cot A+ cot B+ cotC )=√ 3 sin A sin B sin C. Bài 8. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2 A +cos 2 B+cos 2 C+1=0 thì tam giác đó là tam giác vuông. Bài 9. Chứng minh rằng trong tam giác có: (b2 +c 2 )sin (C − B)=(c 2 − b2) sin(C + B) thì tam giác đó vuông hoặc cân. Bài 10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: Bài 11. Cho phương trình:. y=5 cos x −cos 5 x. trên. msin x − 2 mcos x −2 = m−2 cos x m− 2sin x. [. −. π π ; 4 4. ].. a) Giải phương trình khi m = 1. b) Khi m≠ 0 và m≠ ± √2 , phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [20 π , 30 π ] . Bài 12. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2 b=a+c ⇔ cot. A C cot =3 . 2 2. A B tan =1 . Chứng minh rằng: 3 c=2( a+b) . 2 2 Bài 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f (x)=2 sin 2 x+ 4 sin x cos x+ √5 . Bài 15. Tìm các giá trị x ∈(0,2 π) sao cho cos x − sin x − cos 2 x >0 .. Bài 13. Cho tam giác ABC có: 5 tan.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 2 sin x +1 =t . sin x+2 a2 +b2 +c 2 cot A +cot B+cot C= . 4S. Bài 16. Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm x ∈[0 , π ] : Bài 17. Cho tam giác ABC. Chứng minh: Bài 18. Chứng minh với 0< x <. π 2. 3. thì: 22 sin x +2 tan x >2 2 x +1 .. Bài 19. Cho tam giác ABC thoả mãn:. a cos A +b cos B+ c cos C 1 = . Chứng minh tam giác ABC a+ b+c 2. đều.. 1 y=2(1+sin 2 x cos 4 x )− (cos 4 x − cos 8 x) . 2 Bài 21. Giải phương trình sau: 9cot x + 3cot x −2=0 . b c a + = Bài 22. Cho tam giác ABC thoả mãn: . Chứng minh tam giác ABC cos B cos C sin B sin C. Bài 20. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:. vuông. Bài 23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: cos A+cos B+ cos C>1 . Bài 24. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi a cos B −b cos A=a sin A − b sin B . Bài 25. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: tan A+ tan B=2 cot Bài 26. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn: Bài 27. Cho. y=sin 2 5 x . Tính. C 2. thì tam giác ABC cân.. y=sin x −cos 2 x +. 1 . 2. y(n) .. 3sin x . 2+cos x 2x 4x +cos +1 . Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: y=sin 2 1+ x 1+ x2 π Bài 30. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong 0 ; : 4 mcos 2 2 x − 4 sin x cos x +m− 2=0 . Bài 31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=cot 4 a+cot 4 b+2 tan2 a tan2 b+ 2 . Bài 32. Với giá trị nào của a thì phương trình: 1+sin2 na=cos x có nghiệm duy nhất. π Bài 33. Tìm m để bất phương trình: 2 sin2 x −m cos x −3 ≤ 0 nghiệm đúng ∀ x ∈ 0 ; 2. Bài 28. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:. y=1+. ( ). ( ). .. Bài 34. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn: 5 cos 2 A + √ 3(cos 2 B+cos 2 C)+ =0 . 2. Bài 35. Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A+ btanB=(a+b)tan. A+ B . Chứng minh tam giác 2. ABC cân. Bài 36. Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi cos 2 A+cos 2 B+cos 2 C >1 . Bài 37. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn cos B+cos C= vuông. Bài 38. Cho phương trình: cos3 x +sin3 x=k sin x cos x . a) Giải phương trình với k =√2 .. b+ c a. thì tam giác ABC.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> b) Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm. 2 Bài 39. Giải và biện luận phương trình: 2 m( cos x+ sin x )=2 m + cos x − sin x +. Bài 40. Cho phương trình: cos 2 x=m(cos 2 x) √ 1+ tan x . a) Giải phương trình với m = 1. b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn. π 2. Bài 41. Chứng minh rằng ∀ x ∈(0 ; ) ta có: cos x +sin x+ tan x+ cot x + Bài 42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Bài 43. Chứng minh rằng nếu cot cot. 3 . 2. 1 1 + >6 sin x cos x. 20 20 y=sin x+ cos x .. A B C ,cot ,cot theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì 2 2 2. A C . cot =3 . 2 2. Bài 44. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:. y=. 1 1 + với sin x cos x. ( π2 ). x∈ 0;. .. C (a tan A +b tan B) thì nó cân. 2 f ( x)= √ sin 4 x +cos 4 x − 2m sin x cos x .. Bài 45. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn a+b=tan Bài 46. Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x:. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCTRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC. x   0;14 nghiệm đúng pt: cos3x  4cos2 x  3cos x  4 0 2 2 2 2 KB-2002: sin 3 x  cos 4 x sin 5 x  cos 6 x cos3 x  sin 3 x   5  sinx   cos2 x  3 0;2    1  2sin 2 x   KA-2002: Tìm nghiệm thuộc của pt: KD-2002: Tìm. x x  sin 2    tan 2 x  cos 2 0 2 2 4 KD-2003: 2 cotx  t anx  4sin 2 x  sin 2 x KB-2003: cos2 x 1 cotx  1   sin 2 x  sin 2 x 1  t anx 2 KA-2003: 2cos x  1  2sinx  cos x  sin 2 x  sinx KD-2004:  2 5sin x  2  3 1  sinx tan x   KB-2004:. KA-2004: Không hỏi về giải pt LG (thay bởi bài hệ thức lượng trong tam giác).   3   cos 4 x  sin 4 x  cos  x   .sin  3 x    0 4 4 2   KD-2005: KB-2005: 1  sinx  cos x  sin 2 x  cos2 x 0 2 2 KA-2005: cos 3 x.cos2 x  cos x 0.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> KD-2006: cos3 x  cos2 x  cos x  1 0. x  cotx  sinx  1  t anx.tan  4 2  KB-2006: 2  cos 6 x  sin 6 x   sin x cos x 2  2sinx. KA-2006:. 0. 2. x x   sin  cos   3 cos x 2 2 2 KD-2007:  2 KB-2007: 2sin 2 x  sin 7 x  1 sin x.  1  sin x  cos x   1  cos x  sin x 1  sin 2 x 2. KA-2007:. CĐ-2008: cos3x  KD-2008:. 2. 3 cos3 x 2sin 2 x. 2sin  1  cos 2 x   sin 2 x 1  2cos x. 3 KB-2008: sin x . 1  sin x KA-2008:. 3 cos3 x sin x.cos2 x .  7  4sin   4 3    4  sin  x   2  . 1  2sin x  CĐ-2009:  KD-2009: KB-2009:. 3 sin 2 x.cos x. 1. 2. cos x 1  sin x  cos x. 3 cos5 x  2sin 3 x.cos 2 x  sin x 0. sin x  cos x.sin 2 x  3 cos3 x 2  cos 4 x  sin 3 x . 1 . KA-2009:. 2sin x  cos x  3  1  2sin x   1  sin x . KD-2010: sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x  1 0 KB-2010:.  sin 2 x  cos 2 x  cos x  2cos 2 x  sin x 0  1  sin x  cos 2 x  sin  x  . KA-2010:. 1  tan x.   4. . 1 cos x 2. sin 2 x  2cos x  sin x  1 0 tan x  3 KD-2011: KB-2011: sin 2 x.cos x  sin x.cos x cos 2 x  sin x  cos x.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 1  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x.sin 2 x 2 1  cot x KA-2011: KD-2012: sin 3 x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x KB-2012: KA-2012:. . . 2 cos x  3 sin x cos x cos x  3 sin 2 x  cos 2 x 2cos x  1. 3 sin x  1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>