DE THI HSG CAP HUYEN 1011

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT VĨNH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN Năm học 2009-2010 Môn Toán Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề ). Câu 1: (4đ) Tính a/ √ 6 −2 √5 − √5 1. −3+ 1+. b/. 1 1+. 1 3. c/ 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 - 12 d/. A=. 1 1 1 1 + + +⋅+ 1 .2 2 . 3 3 . 4 99. 100. Câu 2: (4đ) a/ Cho a, b, c là ba số thực bất kì. Chứng minh a2 + b2 + c2 + 1 > a + b + c b/ Chứng minh 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 (n N) c/ Cho hàm số y = √ x2 −2x +1+ √ x 2 −6x+ 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x Câu 3: (4đ) a/ Rút gọn A = ( √ 6+ √ 2 ) ( 2− √3 ) √√ 3+2 b/ Giải phương trình : |1 −|x||=1 . c/ So sánh √ 4+ √ 7 − √ 4 − √ 7 và √ 2 Câu 4: (3đ) Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi khởi hành 24 phút ô tô giảm vận tốc đi 10 km/h nên đã đến B chậm hơn dự định 18 phút. Hỏi thời gian dự định đi của ô tô . Câu 5 : (5đ) 1. (3đ) Cho nửa đường tròn tâm (O;R) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia tiếp tuyến tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D a. Chứng minh. 1 1 1 = 2+ 2 2 OM OC OD. b. Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho tổng AC + BD ngắn nhất 2. (2đ) Cho tam giác đều ABC cạnh a và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác không phụ thuộc vị trí của điểm M nằm trong tam giác.. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> MÔN: TOÁN Câu 1 : ( 4 đ ) a/. Ta có √ 6 −2 √ 5 − √5=¿ √ 5− 2 √5+1 − √ 5=¿ 2 ( √5 − 1 ) − √5=¿ |√ 5− 1|− √ 5 = √ 5− 1− √ 5=−1 1 1 −3+ −3+ 1 1 1+ 1+ b/. = 1 4 1+ 3 3 1 −3+ 3 = 1+ 4 1 −3+ 7 = 4 4 17 = −3+ = − 7 7 2 2 c/. (a + b)(a – b) = a – b (a, b Q) 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 - 12 = (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) + …+ (2 + 1)(2 – 1) = 100 + 99 + 98 + 97 + …+ 3 + 2 + 1 = 5050 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − = − = − d/. Ta có: ; ; 1.2 1 2 2.3 2 3 3.4 3 4 1 1 1 1 1 A = 1+ − + + − + 2 2 3 3 100 1 99 = = 1− 100 100 Câu 2: a/ Ta có: (a2 + b2 + c2 + 1) – (a + b + c) = 1 1 1 1 2 2 2 = a − a+ + b −b + + c −c+ + 4 4 4 4 2 2 2 1 1 1 1 = a− + b− + c− + >0 4 2 2 2 Từ đó ta có đpcm b/ Vì an – bn = (a – b)(an-1 + an-1.b + …+ bn-1) nên với a, b Z; n N ta có an – bn ⋮ a – b do đó 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n ⋮ 19 vì 25n – 6n ⋮ 25 – 6 ; 19.6n ⋮ 19 c/. y = |x − 1|+|x − 3| = |x − 1|+|3 − x| ≥ |x − 1+ 3− x|=2 vậy giá trị nhỏ nhất của y = 2 dấu “=” xảy ra khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0 ⇔ -x2 + 4x – 3 ≥ 0 ⇔ x2 - 4x + 3 ≤ 0 ⇔ ( x − 2 )2 −1 ≤ 0 ⇔ |x − 2|≤1 ⇔ -1 ≤ x – 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 Câu 3: 2 2 a/. Ta có: A = ( √ 6+ √ 2 ) ( 2 − √ 3 ) ( 2+ √ 3 ) = √ ( 8+4 √3 )( 2− √3 ) ( 4 −3 ) = √ 4 ( 2+ √3 ) ( 2 − √ 3 ) =2 b/. * với x ≥ 0 phương trình đã cho trở thành |1 − x|=1 * với x ≥ 1 ta có -1 + x = 1 ⇔ x = 2 (nhận). ( 0,5đ). √. (. ) (. ( ) ( ( ) ( ). √. ( 0,5đ). ( 0,5đ). ( 0,5đ). ( 0,5đ) ( 0,5đ). ). ) ( ( ). ( 0,5đ) ( 0,5đ). ). ( 0,5đ) ( 0,5đ). ( 0,5đ) ( 0,5đ) ( 0,5đ) ( 0,5đ) ( 0,5đ) ( 0,5đ) ( 0,5đ) ( 0,5đ) ( 0,5đ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> * với 0 ≤ x < 1 ta có 1 – x = 1 ⇔ x = 0 (nhận) ( 0,5đ) * với x < 0 phương trình đã cho có dạng |1+ x|=1 với x < -1 ta có -1 – x = 1 ⇔ x = -2 (nhận) ( 0,5đ) với -1 ≤ x < 0 ta có 1 + x = 1 ⇔ x = 0 (loại) Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là S= {− 2; 0; 2 } ( 0,5đ) 2 c/. Ta có ( √ 4 + √ 7− √ 4 − √ 7 ) =4 + √ 7 - 2 √ 9 + 4 - √ 7 = 2 ( 0,5đ) vậy √ 4+ √ 7 − √ 4 − √ 7 = √ 2 ( 0,5đ) 50 ⋅24 =20 km ( 0,5đ) Câu 4: Quãng đường ô tô đi với vận tốc 50 km/h là: 60 Gọi x là quãng đường AB (x > 0) ( 0,5đ) Theo đề bài ta có phươg trình x −20 x −20 3 − = ( 1đ) 40 50 10 Giải phương trình tìm được x = 80 (thoả đk) ( 0,5đ) Trả lời: thời gian dự định đi là 1 giờ 36 phút ( 0,5đ) Cậu 5 : ( 5 đ) 1. a. Ta có: Ax AB; By AB và OM CD (tính chất của tiếp tuyến) ^ OC là tia phân giác của A O M ( 0,5đ) ^ Và OD là tia phân giác của B O M (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ^ M và B O ^ M là 2 góc kề bù nên OC OD ( 0,5đ) AO Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD, ta có: 1 1 1 = 2+ ( 0,5đ) 2 OM OC OD2 1.b. Ta có CA = CM; DM = DB (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ AC + BD = CD ( 0,5đ) 2 2 và AC.BD = CM.MD = OM = R (hệ thức lượng trong tam giác vuông COD) tổng AC + BD ngắn nhất khi và chỉ khi CD ngắn nhất mà tích AC.BD không đổi do đó AC = BD = R ⇒ CD = 2R = AB ( 0,5đ) ⇒ tứ giác ACDB là hình chữ nhật ⇒ CD // AB Vậy M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) đã cho ( 0,5đ) 2. Kẻ MH AB, MI BC, MK CA Ta có SMAB + SMBC + SMCA = SABC (0,5đ) 1 1 a √3 ⇔ a⋅ a(MH + MI + MK) = (0,5đ) 2 2 2 a √3 ⇔ MH + MI + MK = (không đổi) (0,5đ) 2 Vậy tổng các khoảng cách từ M đến 3 cạnh của tam giác đều ABC không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trong tam giác (0,5đ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>