60 bài tập vận dụng cao xác suất có lời giải

XÁC SUẤT
A – BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC
Câu 1. Cho đa giác có 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để
3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác khơng có cạnh nào là cạnh của đa giác đã
cho bằng
12.8
12 +12.8
C 8 - 12.8
C 3 - 12- 12.8
.
.
.
.
A.
B. 12 3
C. 12
D.
3
3
3
C12
C12
C12
C12
Câu 2. Cho đa giác ( H ) có n đỉnh ( n ẻ Ơ , n > 4) . Bit s các tam giác có 3 đỉnh là
đỉnh của ( H ) và khơng có cạnh nào là cạnh của ( H ) gấp 5 lần số các tam giác có 3
đỉnh là đỉnh của ( H ) và có đúng 1 cạnh là cạnh của ( H ) . Khẳng định nào sau đây
đúng?
]
A. nỴ [ 4;12].
B. nỴ [13;21.

C. nỴ [ 22;30].
D. nỴ [ 31;38].
Câu 3. Cho đa giác lồi ( H ) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là
ba đỉnh của ( H ) . Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X , xác suất để chọn được 1 tam
giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ( H ) và 1 tam giác khơng có cạnh nào là
cạnh của ( H ) bằng
69
23
748
35
.
.
.
.
B.
C.
D.
70
17955
1995
10098
Câu 4. Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh ( n ³ 2, n Î ¥ ) . Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh
trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác
1
vng là . Tìm n .
5
A. n = 4.
B. n = 5.
C. n = 8.
D. n = 10.

Câu 5. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác
suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân là
3
2
8
17
.
.
.
A.
B.
C.
D.
.
19
35
57
114
Câu 6. Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba
đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M , xác suất để
tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều là
8
18
20
73
.
.
.
.
A.

B.
C.
D.
91
91
91
91
Câu 7. Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo
thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là
A. 44100.
B. 58800.
C. 78400.
D. 117600.
Câu 8. Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của đa giác, xác
suất để nhận được một tam giác nhọn là
8
25
3
8
.
.
A.
B.
C.
D.
.
.
33
33
11

11
Câu 9. Cho đa giác có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh
là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ?
A. 1700.
B. 2100.
C. 2400.
D. 39520.
Câu 10. Cho đa giác có 60 đỉnh. Người ta lập một tứ giác tùy ý có 4 đỉnh là các đỉnh
của đa giác. Xác suất để lập được một tứ giác có 4 cạnh đều là đường chéo của đa
giác đã cho gần nhất với số nào trong các số sau?
A. 13,45%.
B. 40,45%.
C. 80,70%.
D. 85,40%.
Câu 11. Có 10 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như
nhau. Tất cả 10 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn
A.


có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để có đúng 4 người cùng đứng trong đó có đúng 2
người đứng liền kề bằng
35
25
35
75
.
.
.
.
A.

B.
C.
D.
128
256
512
512
Câu 12. Có 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như
nhau (cân đối và đồng chất). Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng
xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để khơng có hai bạn liền kề
cùng đứng là
31
45
47
49
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
32
256
256
256
Câu 13. Cho một đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh
của đa giác, xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật bằng
2

13
1
32
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
15
15
33
33
Câu 14. Cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành
nhưng khơng phải là hình vng, có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho ?
A. 35.
B. 40.
C. 45.
D. 50.

B – XÁC SUẤT HÌNH HỌC

Câu 15. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình
chữ nhật ABCD với các điểm A ( - 2;0) , B ( - 2;2) ,
C ( 4;2) , D ( 4;0) (hình vẽ). Một con châu chấu
nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh
hình chữ nhật sao cho chân nó ln đáp xuống
mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là

điểm có cả hồnh độ và tung độ đều ngun).
Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M ( x; y)
mà x + y < 2.
1
3
4
8
A. .
B. .
C. .
D.
.
3
7
7
21
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là
số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4. Nếu các điểm đều có cùng xác
suất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách
đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là:
11
13
13
15
.
.
.
.
A.
B.

C.
D.
16
32
81
81
Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M ( 0;10) , N ( 100;10) và
P ( 100;0) . Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A ( x; y) với x, y Î ¢, nằm bên trong (kể cả
trên cạnh) của OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm A ( x; y) Ỵ S. Xác suất để x + y £ 90
bằng
169
86
473
845
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
200
101
500
1111
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân
biệt; cứ thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân
biệt (các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất
kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ.

8
23
68
83
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
91
91
91
91
Câu 19. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 có 6 điểm phân biệt, trên
d2 có n điểm phân biệt ( n ³ 3, n ẻ Ơ ) . Tỡm n , bit rng có 96 tam giác có đỉnh là các
điểm đã cho.
A. n = 3.

B. n = 4.

C. n = 6.

D. n = 8.


Câu 20. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt ( 4 < n ẻ Ơ ) , trong ú khơng có ba
điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt

phẳng và khơng có 4 điểm nào ngồi 4 điểm trong n điểm này là đồng phẳng. Tìm
giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt.
A. n = 6.
B. n = 8.
C. n = 10.
D. n = 16.

C – BÀI TOÁN BỐC BI
Câu 21. Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6), 5 quả bóng vàng
(được đánh số từ 1 đến 5), 4 quả bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4). Lấy ngẫu
nhiên 4 quả bóng. Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà khơng có hai
quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau.
43
48
74
381
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
91
91
455
455
Câu 22. Trong một cái hộp có đựng 40 quả bóng, gồm 10 quả bóng xanh được đánh
số từ 1 đến 10; 10 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng vàng được

đánh số từ 1 đến 10 và 10 quả bóng trắng được đánh số từ 1 đến 10. Hai quả bóng
cùng màu mang số 1 và số 10 được gọi là '' cặp may mắn '' . Người ta lấy ngẫu nhiên
từ hộp ra 6 quả bóng. Xác suất để trong 6 quả bóng lấy ra có ít nhất một '' cặp may
mắn '' là
1633
1408
2447
291484
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
9139
45695
63973
3838380
Câu 23. Các mặt của một con xúc sắc được đánh số từ 1 đến 6. Người ta gieo con
xúc sắc 3 lần liên tiếp và nhân các con số nhận được trong mỗi lần gieo lại với nhau.
Tính xác suất để tích thu được là một số chia hết cho 6.
81
83
133
135
.
.
.

.
A.
B.
C.
D.
216
216
216
216
Câu 24. Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân
đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy có ít nhất một lượt gieo được kết quả
con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp.
397
1331
1
11
.
.
A.
.
B.
.
C.
D.
1728
1728
12
12
Câu 25. Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu. Người ta bắt ngẫu nhiên
lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi nào bắt được cả 3 con thỏ trắng mới

thôi. Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là
4
4
29
31
.
.
.
A. .
B.
C.
D.
5
35
35
35

D – BÀI TOÁN VỀ CHỮ SỐ
Câu 26. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số
trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số cịn lại có mặt không quá một lần.
Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng
1
2
1
1
.
A. .
B. .
C. .
D.

3
3
15
2
Câu 27. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ
số đơi một khác nhau và ln có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A .
Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 5 bằng
2
9
11
1
.
.
A. .
B. .
C.
D.
9
26
26
4
Câu 28. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4
chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất
để số được chọn chia hết cho 6 bằng
1
4
4
9
A. .
B. .

C.
.
D.
.
9
9
27
28


Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một
số từ tập S, xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng
1 là
3
1287
1286
7
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
200
90000
90000
500
Câu 30. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9. Chọn

ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để các chữ số của nó đơi một khác nhau bằng
171
198
207
396
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
3125
3125
6250
6250

E – BÀI TỐN VỀ NHĨM
Câu 31. Một tổ học sinh lớp X có 12 học sinh trong số đó có An và Bình. Cơ giáo
thực hiện phân nhóm ngẫu nhiên thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thành viên để thực
hiện nhiệm vụ học tập. Xác suất để An và Bình cùng nhóm là
2
2 4 4
2 4 4
2 4 4
3C10
C84C44
3C10
C8 C4

3!C10
C8 C4
3!C10
C8 C4
.
1
.
.
1
.
A.
B.
C.
D.
4 4 4
4 4 4
4 4 4
4 4 4
C12C8 C4
C12C8 C4
C12C8 C4
C12C8 C4
Câu 32. Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh
nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Vinh. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi
nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Hoa và Vinh cùng
một nhóm là
1
7
7
25

.
.
A. .
B. .
C.
D.
8
8
32
32

F – BÀI TỐN VỀ MÃ ĐỀ THI
Câu 33. Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho
mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong
bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3
phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành
cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít
nhất 1 câu hỏi giống nhau là
19
21
7
17
.
.
A.
.
B.
.
C.
D.

40
40
24
24
Câu 34. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia 2018, trong đó có 2 mơn thi
trắc nghiệm là Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các
môn khác nhau có mã khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh một
cách ngẫu nhiên. Xác suất để trong 2 mơn thi đó An và Bình có chung đúng một mã
đề thi bằng
5
13
5
31
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
18
18
36
36
Câu 35. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngoài thi ba mơn Văn, Tốn,
Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thêm 2 môn tự chọn khác trong 3 mơn: Hóa
Học, Vật Lí, Sinh học dưới hình thức trắc nghiệm. Mỗi mơn tự chọn trắc nghiệm có 6
mã đề thi khác nhau và mã đề thi của các mơn khác nhau thì khác nhau. Xác suất để
An và Bình chỉ có chung đúng một mơn thi tự chọn và một mã đề thi là

2
1
3
5
.
.
A. .
B. .
C.
D.
3
9
18
18

G – BÀI TOÁN VỀ ĐỀ THI
Câu 36. Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm,
mỗi câu có 4 phương án trả lời. Phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu được trả lời 10
câu, mỗi câu chỉ chọn 1 đáp án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số
đó ln có ít nhất 2 phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi ?
A. 41.
B. 10001.
C. 1048576.
D. 1048577.
Câu 37. Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó. Người ta xây dựng
hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu


1 đến Câu 10. Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2
câu hỏi khó.

A. 77220.

B. 77221.

C. 5080320.

2

8
D. ( 10!) C42C16
.

Câu 38. Đề cương ơn tập mơn Lịch sử có 30 câu. Đề thi được hình thành bằng cách
chọn ngẫu nhiên 10 câu trong 30 câu trong đề cương. Một học sinh chỉ học thuộc 25
câu trong đề cương, xác suất để trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu
mà học sinh đã học thuộc là
323
3553
4346
8075
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
1827
7917

7917
23751
Câu 39. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia có mơn thi bắt buộc là mơn Tốn. Mơn thi này thi
dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D . Mỗi câu trả lời đúng
được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém
mơn Tốn nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Xác xuất để bạn Hoa đạt được 4
điểm mơn Tốn trong kỳ thi là
40
20
30
10
C10.( 3)
C 20.( 3)
C 20.( 3)
C 40.( 3)
A. 50 50 .
B. 50 50 .
C. 50 50 .
D. 50 50 .
4
4
4
4
Câu 40. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương
án trả lời. Xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi là
8
109
C8
C10
C 8 .32

.
A. 10 .
B. 10
C. 1010 .
D.
.
262144
40
4
4
Câu 41. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai mơn thi trắc nghiệm Vật lí
và Hóa học. Đề thi của mỗi mơn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa
chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi mơn thi
thí sinh A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu cịn lại thí sinh
A chọn ngẫu nhiên. Xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A khơng dưới 19
điểm là
5
5
5
5
C10
.( 3)
81922
C 5 .( 3)
C 5 .( 3) +C10
A.
B. 10 10 .
C. 10 10 10 .
D.
.

.
410
40
4
4
Câu 42. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi mơn thi trắc nghiệm Tốn. Đề
thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án
đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Bạn An làm chắc chắn đúng 42 câu, trong 8
câu cịn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do
khơng cịn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Xác suất
bạn An được 9,4 điểm là
55
455
379
499
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
1536
3456
13824
13824

H – BÀI TOÁN VỀ CẶP ĐƠI
Câu 43. Một trường THPT có 10 lớp 12 , mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ

động. Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp không bắt
tay với nhau). Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh
khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần.
A. 405.
B. 425.
C. 432.
D. 435.
Câu 44. Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng.
Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Xác suất để 3 người
được chọn khơng có cặp vợ chồng nào là
72
89
3
1
.
.
.
A.
B.
C.
D. .
1140
95
20
5
Câu 45. Một chi đồn có 40 người, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Ban chấp hành cần
chọn ra 3 người để bầu vào các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư 1, Phó bí thư 2. Xác suất
để 3 người được chọn khơng có cặp vợ chồng nào là
1
59

61
64
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
65
65
65
65


Câu 46. Hai tổ chuyên môn của một trường trung học phổ thơng có 9 giáo viên nam
và 13 giáo viên nữ trong đó có đúng 2 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
5 người trong số 22 người đó nhưng khơng có cặp vợ chồng nào ?
A. 24054.
B. 24072.
C. 24090.
D. 25704.
Câu 47. Có 20 cặp vợ chồng tham gia dự thi '' cặp đơi hồn hảo ''. Trong giờ giải lao,
ban tổ chức chọn ra ngẫu nhiên 4 người để tham gia văn nghệ. Xác suất để 4 người
được chọn khơng có cặp vợ chồng nào là
99
224
73
408

.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
323
323
481
481

K – BÀI TỐN VỀ XẾP VỊ TRÍ

Câu 48. Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố
định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác xuất để 3 người được chọn
khơng có 2 người nào đứng cạnh nhau.
1
21
7
6
.
.
.
A.
B.
C.
D.
.

20
55
110
11
Câu 49. Xếp 10 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 1 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách
tiếng Anh và 6 cuốn sách Tốn (trong đó có hai cuốn Tốn T1 và Tốn T2 ) thành một
hàng ngang trên giá sách. Xác suất để mỗi cuốn sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa
hai cuốn sách Toán, đồng thời hai cuốn Toán T1 và Tốn T2 ln được xếp cạnh nhau
bằng
1
1
1
1
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
120
210
300
450
Câu 50. Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có hai em Thảo, My và 5
học sinh nam. Xác suất để xếp 9 học sinh vào một hàng dọc sao cho Thảo và My
đứng cạnh nhau còn các em nữ cịn lại khơng đứng cạnh nhau và cũng không đứng
cạnh Thảo và My bằng
1

4
5
4
.
.
A. .
B. .
C.
D.
6
9
63
67
Câu 51. Một tổ có 10 học sinh trong đó có 3 bạn gồm An, Bình và Cúc. Hỏi có bao
nhiêu cách xếp 10 học sinh đó vào một ghế dài có 10 chỗ trống sao cho An và Bình
ln ngồi cạnh nhau nhưng An và Cúc không ngồi cạnh nhau.
A. 2!.9!- 2!.8!.
B. 2!.9!- 3.8!.
C. 2!.9!- 3!.8!.
D. 3.9!- 2.8!.
Câu 52. Sắp xếp 12 học sinh của lớp 12A gồm có 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ
vào một bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm có 6 chiếc ghế) để
thảo luận nhóm. Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau ln
khác giới.
1
1
3
1
.
.

.
.
A.
B.
C.
D.
462
924
99920
665280
Câu 53. Có 3 bi xanh, 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 3 bi vàng (các viên bi cùng màu giống
nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bị thành một hàng ngang sao cho các bi
cùng màu khơng cạnh nhau?
2
1
2
1
.
.
.
A.
.
B.
C.
D.
55
28512
35640
22
Câu 54. Có 6 viên bi gồm 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng (các viên bi bán kính khác

nhau). Tính xác suất để khi xếp 6 bi trên thành một hàng ngang thì khơng có hai viên
bi cùng màu nào đứng cạnh nhau.
1
2
4
7
.
.
.
A. .
B.
C.
D.
3
15
15
15
Câu 55. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam (trong đó có Hồng) và 5
học sinh nữ (trong đó có Lan) thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh
trên khơng có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan cũng
không đứng cạnh nhau bằng
1
1
4
8
.
.
.
.
A.

B.
C.
D.
350
450
1575
1575


Câu 56. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng
ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A khơng có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách
xếp hàng như vậy ?
D. 80640.
B. 108864.
C. 145152.
D. 322560.
Câu 57. Có 1 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 3 viên bi đỏ (các viên bi có bán kính
khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi thành một hàng ngang sao cho các
viên bi cùng màu không xếp cạnh nhau ?
A. 72.
B. 120.
C. 196.
D. 432.
Câu 58. Một nhóm gồm 11 học sinh trong đó có 3 bạn An, Bình, Cúc được xếp ngẫu
nhiên vào một bàn trịn. Xác suất để 3 bạn An, Bình, Cúc khơng có bạn nào được xếp
cạnh nhau bằng
7
4
7
11

.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
10
15
15
15
Câu 59. Có 5 học sinh nam, 8 học sinh nữ và 1 thầy giáo được xếp ngẫu nhiên vào
một bàn tròn. Xác suất để thầy giáo xếp giữa hai học sinh nữ bằng
1
7
14
25
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
39
39
39
39

Câu 60. Có 4 cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào một bàn trịn. Tính số cách xếp sao cho
có vợ chồng nhà A là ngồi cạnh nhau còn các cặp vợ chồng khác thì hai người là vợ
chồng của nhau thì khơng ngồi cạnh nhau.
A. 240.
B. 244.
C. 288.
D. 480.

----------

HẾT

----------

XÁC SUẤT
A – BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC

Bài tốn 1. Cho đa giác có n đỉnh. Xét tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác
® n( n- 4) .
 và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ¾¾
 và có đúng 2 cạnh chung với a giỏc ắắ
đ n.
đ Cn3 - n- n( n- 4) .
 và khơng có cạnh chung với đa giác ¾¾
Bài tốn 2. Cho đa giác đều có 2n đỉnh.
® n( 2n- 2) .
Số tam giác vng có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác ¾¾
Bài tốn 3. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong n
đỉnh của đa giác là
® nC

. n2- 2
đ nC
. n2- 1
n chn ắắ
n lẻ ¾¾
2

2

Bài tốn 4. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong
n đỉnh của đa giác = Cn3 - (số tam giác tù + số tam giác vuông).
Câu 1. Cho đa giác có 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để
3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác khơng có cạnh nào là cạnh của đa giác đã
cho bằng
8
3
12.8
12 +12.8
C12
- 12.8
C12
- 12- 12.8
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.

3
3
3
3
C12
C12
C12
C12
3
3
ìï n( W) = C12
C12
- 12- 12.8
ù
ắắ
đ
P
=
. Chn C.
Li gii. Ta cú í
3
3
ïï n( A) = C12
C12
- 12- 8.12
ïỵ
3
.
 Số tam giác được tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh: C12
 Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và 2 cạnh là cạnh của đa giác: cứ 3

đỉnh liên tiếp cho 1 tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác. (hoặc hiểu theo


cách khác: tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của đa giác tức là có 2 cạnh là 2
cạnh liên tiếp của đa giác, 2 cạnh này cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác này có 12 đỉnh
nên có 12 tam giác thỏa trường hợp này)
 Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Trước tiên
ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnh
cịn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề với cạnh đã
chọn). Do đó trong trường hợp này có 8.12 tam giác.
Câu 2. Cho đa giác ( H ) có n đỉnh ( n ẻ Ơ , n > 4) . Bit số các tam giác có 3 đỉnh là
đỉnh của ( H ) và khơng có cạnh nào là cạnh của ( H ) gấp 5 lần số các tam giác có 3
đỉnh là đỉnh của ( H ) và có đúng 1 cạnh là cạnh của ( H ) . Khẳng định nào sau đây
đúng?
]
A. nỴ [ 4;12].
B. nỴ [13;21.
C. nỴ [ 22;30].
D. nỴ [ 31;38].
Lời giải. Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là Cn3 .
Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n .
Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n( n- 4) (điều kiện nỴ Ơ
v n< 4 ).
3
ắắ
đ s tam giỏc to thnh khụng có cạnh nào là cạnh của đa giác là Cn - n- n( n- 4) .
én = 35( thỏ
a mã
n)
3

. Chọn D.
Theo giả thiết, ta có Cn - n- n( n- 4) = 5.n( n- 4) Û ê
ên = 4 loại
(
)
ê
ë
Câu 3. Cho đa giác lồi ( H ) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là
ba đỉnh của ( H ) . Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X , xác suất để chọn được 1 tam
giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ( H ) và 1 tam giác khơng có cạnh nào là
cạnh của ( H ) bng
A.

69
.
70

B.

23
.
17955

C.

748
.
1995

D.

35
.
10098

ỡù X = C 3 = 1540
ùù
22
ùù
748
2
ắắ
đP =
. Chn C.
Lời giải. Ta có í n( W) = C1540 = 1185030
ïï
1995
1
1
ïï n( A) = C22´ 18 ´ C
= 444312
1540- ( 22´ 18+22)
ïỵ
Câu 4. Cho một đa giác đều gồm 2n nh ( n 2, n ẻ Ơ ) . Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh
trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác
1
vng là . Tìm n .
5
A. n = 4.
B. n = 5.

C. n = 8.
D. n = 10.
3
Lời giải. Ta có n( W) = C2n.
Để ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác vng khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba
đỉnh là hai đầu mút của một đường kính của đường trịn ngoại tiếp đa giác và đỉnh
còn lại là một trong số ( 2n- 2) đỉnh cịn lại của đa giác. Đa giác có 2n đỉnh nên có
2n
= n đường kính.
2
1
● Số cách chọn 1 đường kính là Cn = n .
1
● Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong ( 2n- 2) đỉnh là C2n- 2 = 2n- 2 .
Suy ra n( A) = n( 2n- 2) .
n( 2n- 2)

1
= Û n = 8. Chọn C.
C23n
5
Câu 5. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác
suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vng khơng cân là
Theo đề bài ta có phương trình


2
8
17
.

.
C.
D.
.
35
57
114
3
ỡù n( W) = C20
= 1140
160
8
ù
ắắ
đP =
= . Chn C.
Li giải. Ta có í
ïï n( A) = 10.18- 10.2 = 160
1140
57
ỵ
● Số tam giác vng là 10.18.
● Số tam giác vng cân: Cứ mỗi cách chọn 1 đường kính là có 2 tam giác cân ( 2
điểm tạo nên tam giác cân là giao điểm của đường thẳng qua tâm vng góc với
đường kính đã chọn với đường trịn). Do đó có 10.2 tam giác vng cân.
Câu 6. Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba
đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M , xác suất để
tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giỏc u l
8
18

20
73
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
91
91
91
91
3
ỡù n( W) = C15
= 455
90 18
ù
ắắ
đP =
= . Chọn B.
Lời giải. Ta có í
ïï n( A) = 7.15- 3.5 = 90
455 91
ỵ
 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều. Xét một đỉnh A bất kỳ của
đa giác: Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường thẳng OA , hay có 7
tam giác cân tại đỉnh A. Như vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận
nó làm đỉnh tam giác cân.

15
= 5 tam giác.
 Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là
3
 Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi
tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên tam giác đều được đếm 3 lần.
Suy ra n( A) = 7.15- 3.5 = 90.
Bài toán 5. Cho đa giác đều có n đỉnh. Cơng thức tổng qt tính số tam giác tù:
® nC
. n2- 2 .
® nC
. n2- 1.
 n chẵn ¾¾
 n lẻ ¾¾
A.

3
.
19

B.

2

2

Câu 7. Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo
thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là
A. 44100.
B. 58800.

C. 78400.
D. 117600.
Lời giải. Đánh số các đỉnh là A1, A2,..., A100.
Xét đường chéo A1A51 của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác
đều chia đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ A2 đến A50 và A52 đến
A100 .
Khi đó, mỗi tam giác có dạng A1Ai Aj là tam giác tù nếu Ai và Aj cùng nằm trong nửa
đường tròn
 Chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn.
 Chọn hai điểm Ai , A j là hai điểm tùy ý được lấy từ 49 điểm A2, A3,..., A50 có
2
C49
= 1176 cách chọn.

Giả sử Ai nằm giữa A1 và Aj thì tam giác A1Ai Aj tù tại đỉnh Ai . Mà D Aj Ai A1 º D A1Ai A j
nên kết quả bị lặp hai lần.
 Có 100 cách chọn đỉnh.
2.1176.100
Vậy số tam giác tù là
= 117600. Chọn D.
2
2
. n2- 2 = 100.C49
= 117600.
Cách 2. Áp dụng cơng thức nhanh ta có nC
2

Câu 8. Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của đa giác, xác
suất để nhận được một tam giỏc nhn l
8

25
3
8
.
.
A.
B.
C.
D.
.
.
33
33
11
11
3
ỡù n( W) = C12
8
ù
ắắ
đ P = . Chọn C.
Lời giải. Ta có í
ïï n( A) = 39200
33
ỵ


Số tam giác tù 117600, Số tam giác vuông 50.98 = 4900.
3
- 117600- 4900 = 39200.

Suy ra số tam giác nhọn: C100
Bài tốn 6. Cho đa giác có n đỉnh. Xét tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác
2
ù= A.
® n´ é
 và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ¾¾
êCn- 4 - ( n- 5) û
ú
ë
 và có đúng 2 cạnh chung với đa giác ¾¾
® n( n- 5) +

n( n- 5)
2

= B.

 và có ỳng 3 cnh chung vi a giỏc ắắ
đ n = C.
® Cn4 - ( A + B +C ) .
 và khơng có cạnh chung với đa giác ¾¾
n
Và ta cú th chng minh c ắắ
đ Cn4 - ( A + B +C ) = Cn3- 5.
4
Bài toán 7. Cho đa giác đều có 2n đỉnh.
® Cn2.
Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT ¾¾
Bài tốn 8. Cho đa giác đều có 4n đỉnh.
Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH VNG ¾¾

® n.
Chứng minh.
Tứ giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác

Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.
Chọn 2 đỉnh cịn lại trong n- 4 đỉnh (tham khảo hình vẽ trên) nên có Cn2- 4 nhưng 2
đỉnh này không được liên tiếp nên trừ cho n- 5 (vì 2 đỉnh liên tiếp sẽ tạo nên 1 cạnh
mà có n- 4 đỉnh cịn lại nên có n- 5 cạnh).
2
ù tứ giác.
Vậy trong trường hợp này có n´ é
ê
ëCn- 4 - ( n- 5) ú
û
Tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác
Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác
Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh
kề trùng với cạnh của đa giác.

Chọn 1 đỉnh còn lại trong n- 5 đỉnh (bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh hai
bên, tham khảo hình vẽ).
Do đó trường hợp này có n( n- 5) tứ giác.
Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác
Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.


Trong n- 4 đỉnh còn lại (bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kề
cạnh đã chọn, tham khảo hình vẽ) sẽ tạo nên n- 5 cạnh. Chọn 1 cạnh trong n- 5
cạnh đó nên có n- 5 cách.
Tuy nhiên trong trường hợp này số tứ giác mình đếm đến 2 lần.

n( n- 5)
Do đó trường hợp này có
tứ giác.
2
n( n- 5)
Vậy có n( n- 5) +
tứ giác thỏa mãn.
2
Tứ giác có đúng 3 cạnh chung với đa giác
Đánh số thứ tự các đỉnh của đa giác, ta có n bộ 4 số:
( 1;2;3;4) , ( 2;3;4;5) , ..., ( n- 3; n- 2; n- 1; n) , ( n- 2; n- 1; n;1) , ( n- 1;n;1;2) , ( n;1;2;3) .

Vậy trường hợp này có n tứ giác thỏa mãn.
Câu 9. Cho đa giác có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh
là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ?
A. 1700.
B. 2100.
C. 2400.
D. 39520.
2
n=20
ộ
ự
n

C
n
5
ắắ
ắ

đ
2100.
)ỳ
Li gii. Ta cú
Chn B.
ờ
ở n- 4 (
û
Bài tập tương tự. Cho đa giác có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có
các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 2 cạnh chung với đa giác ? Đáp số: 450.
Bài tập tương tự. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Tính xác suất mà hai đường chéo được
57
.
chọn một cách ngẫu nhiên sẽ cắt nhau bên trong đa giác. Đáp số:
169
2
2
® n( W) = C170
.
- 20 = 170 đường chéo ¾¾
 Đa giác 20 đỉnh có C20
 Biến cố chính là số tứ giác có 4 đỉnh được chọn từ 20 đỉnh của đa giác (vì cứ mỗi
tứ giác tạo thành sẽ có đúng một cặp đường chéo cắt nhau trong đa giác) nên
4
n( A) = C20
.
Câu 10. Cho đa giác có 60 đỉnh. Người ta lập một tứ giác tùy ý có 4 đỉnh là các đỉnh
của đa giác. Xác suất để lập được một tứ giác có 4 cạnh đều là đường chéo của đa
giác đã cho gần nhất với số nào trong các số sau?
A. 13,45%.

B. 40,45%.
C. 80,70%.
D. 85,40%.
4
ùỡù n( W) = C60
3
15.C55
ù
ắắ
đ
P
=
ằ 0,8070. Chn C.
n=60
Li giải. Ta có í
n
4
ïï n( A) = C 3 = 15.C 3
C60
n- 5
55
ïïỵ
4
Câu 11. Có 10 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như
nhau. Tất cả 10 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn
có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để có đúng 4 người cùng đứng trong đó có đúng 2
người đứng liền k bng
35
25
35

75
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
128
256
512
512
ỡù n( W) = 210
25
ù
ắắ
đP =
. Chn B.
Li gii. Ta có ïí
ïï n( A) = 10( C62 - 5)
256
ïỵ
Biến cố của bài toán được phát biểu lại như sau: '' số tứ giác được tạo thành từ đa
giác có 10 đỉnh và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ''.
Câu 12. Có 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như
nhau (cân đối và đồng chất). Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng


xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để khơng có hai bạn liền kề

cùng ng l
31
45
47
49
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
32
256
256
256
ỡù n( W) = 28
47
ù
ắắ
đP =
. Chn C.
Li gii. Ta có í
ïï n( A) = 1+ 8+ 20 +16+ 2
256
ỵ
 Khơng có bạn nào đứng: có 1 khả năng.
 Có 1 bạn đứng (7 bạn cịn lại ngồi): có 8 khả năng.
 Có 2 bạn đứng nhưng khơng cạnh nhau: Đầu tiên chọn 1 người trong 8 người để

đứng nên có 8 cách; tiếp theo chọn 1 trong 5 người còn lại đứng (trừ người đã đứng
ở trước và hai người hai bên) nên có 5 cách. Hai người đứng này khơng phân biệt nên
8.5
trường hợp này có
= 20 khả năng.
2
 Có 3 bạn đứng nhưng khơng có 2 bạn nào trong 3 bạn đứng cạnh nhau. Bài toán
quy về cho đa giác có 8 đỉnh, số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và khụng
3
cú cnh chung vi a giỏc ắắ
đ cú C8 - 8- 8.4 = 16 khả năng.
 Có 4 bạn đứng nhưng khơng có 2 bạn nào trong 4 bạn đứng cạnh nhau. Bài tốn
quy về cho đa giác có 8 đỉnh, số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và khơng có
8 3
cạnh chung với đa giỏc ắắ
đ cú .C3 = 2 kh nng.
4
Cõu 13. Cho một đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh
của đa giác, xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nht bng
2
13
1
32
.
.
.
.
A.
B.
C.

D.
15
15
33
33
4
ùỡù n( W) = C12
1
ắắ
đ P = . Chn C.
Lời giải. Ta có í
ïï n( A) = C62
33
ïỵ
12
 Đa giác đều đã cho có
= 6 đường chéo lớn.
2
 Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 đỉnh trong 12 đỉnh có các đường chéo là hai
2
đường chéo lớn. Suy ra số phần tử của biến cố là n( A) = C6 .
Bài tập tương tự. Cho một đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn. Biết rằng số tam
giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là
4 trong 2n đỉnh. Tìm n . Đáp số: n = 8.
Câu 14. Cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành
nhưng khơng phải là hình vng, có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho ?
A. 35.
B. 40.
C. 45.
D. 50.

2
= 45.
Lời giải. Số hình chữ nhật được tạo thành (bao gồm cả hình vng) là C10
20
= 5.
4
Vậy số hình chữ nhật thõa mãn yêu cầu bài toán là 45- 5 = 40. Chọn B.
Số hình vng được tạo thành là

B – XÁC SUẤT HÌNH HỌC

Câu 15. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình
chữ nhật ABCD với các điểm A ( - 2;0) , B ( - 2;2) ,
C ( 4;2) , D ( 4;0) (hình vẽ). Một con châu chấu
nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh
hình chữ nhật sao cho chân nó ln đáp xuống
mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là
điểm có cả hồnh độ và tung độ đều ngun).
Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M ( x; y)
mà x + y < 2.


1
3
4
8
.
B. .
C. .
D.

.
3
7
7
21
Lời giải. Số các điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật là 7.3 = 21 điểm vì
ìï x Ỵ { - 2;- 1;0;1;2;3;4}
ï
.
í
ïï y Ỵ { 0;1;2}
ỵ
Để con châu chấu đáp xuống các điểm M ( x, y) có x + y < 2 thì con châu chấu sẽ nhảy
ìï x Ỵ { - 2;- 1;0;1;2}
ï
.
trong khu vực hình thang BEIA. Để M ( x, y) cú ta nguyờn thỡ ớ
ùù y ẻ { 0;1;2}
ợ
Nếu x Ỵ { - 2;- 1} thì { 0;1;2} Þ có 2.3 = 6 điểm.
A.

 Nếu x = 0 thỡ yẻ { 0;1} ị cú 2 im.
Nu x = 1ị y = 0 ị cú 1 im.
ắắ
đ có tất cả 6+ 2 +1= 9 điểm thỏa mãn.
9 3
Vậy xác suất cần tính P = = . Chọn B.
21 7
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là

số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4. Nếu các điểm đều có cùng xác
suất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách
đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bng 2 l:
11
13
13
15
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
16
32
81
81
ỡù x Ê 4
ù
x, y ẻ Â
M ( x; y)
Lời giải. Gọi tọa độ điểm
thỏa
và
nên
í
ïï y £ 4
ỵ

ìï x Ỵ { - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4}
ï
.
í
ïï y Ỵ { - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4}
ỵ
Suy ra n( W) = 9.9 = 81.
ỡù x, y ẻ Â
ùỡù x2 + y2 £ 2 ïìï x2 + y2 £ 4 ïïï
Û í
Û í x = 0;±1;±2.
Gọi điểm M '( x; y) thỏa x, y ẻ Â v OM Ê 2 ớ
ùù x, y ẻ Â
ùùợ x, y ẻ Â
ùù
ợ
ùùợ y2 Ê 4- x2
® y = 0;±1;±2 . Do đó có 1´ 5 = 5 cỏch chn.
Nu x = 0 ắắ
đ y = 0;±1. Do đó có 2´ 3 = 6 cách chn
Nu x = 1ắắ
đ y = 0. Do ú cú 2´ 1= 2 cách chọn.
Nếu x = ±2 ¾¾
Suy ra n( A) = 5+ 6+ 2 = 13. .
13
. Chọn C.
81
Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M ( 0;10) , N ( 100;10) và
Vậy xác suất cần tính P =

P ( 100;0) . Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A ( x; y) vi x, y ẻ Â, nm bờn trong (kể cả
trên cạnh) của OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm A ( x; y) Ỵ S. Xác suất để x + y £ 90
bằng
169
86
473
845
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
200
101
500
1111
Lời giải


Nhận thấy các điểm cần tìm nằm trên các đường thẳng y = m với m= 0;1;2;...;10.
Ứng với mỗi đường y = m, tương ứng có 101 giá trị của x thỏa mãn ( x = 0;1;2;...;100 ).
Suy ra tập S có 11´ 101= 1111 phần tử.
1
ìï n( W) = C1111
= 1111
86
ù

ắắ
đP =
. Chn C.
Ta cú ớ
ùù n( A) = 946.
101
ỵ
 Trên đường y = 0 lần lượt có 91 điểm thỏa mãn ( x = 0;1;2;...;90 ).
 Trên đường y = 1 lần lượt có 90 điểm thỏa mãn ( x = 0;1;2;...;89 ).
M
 Trên đường y = 10 lần lượt có 81 điểm thỏa mãn ( x = 0;1;2;...;80 ).
Suy ra n( A) = 91+ 90+... + 81= 946.
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân
biệt; cứ thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân
biệt (các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất
kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ.
8
23
68
83
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
91
91

91
91
Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho.
2
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C14 = 91.
Gọi A là biến cố '' Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ '' . Để xảy ra
biến cố A thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc
phần tư thứ hai và thứ tư.
● Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có C21C41 cách.
●

Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có C31C51 cách.

1 1
1 1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C2C4 +C3C5 = 23 .

Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA
W

=

23
. Chọn B.
91

Câu 19. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 . Trên d1 có 6 điểm phân biệt, trên
d2 có n điểm phân biệt ( n ³ 3, n Ỵ ¥ ) . Tìm n , biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các

điểm đã cho.
A. n = 3.
B. n = 4.
C. n = 6.
D. n = 8.
Lời giải. Cứ 3 điểm không thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác.
Do đó số tam giác được tạo thành từ n+ 6 điểm gồm: 6 điểm (thẳng hàng) thuộc d1
3
3
3
và n điểm (thẳng hàng) thuộc d2 là Cn+6 - C6 - Cn .
én = 4( thỏ
a mã
n)
3
3
3
. Chọn B.
Theo giả thiết, ta có Cn+6 - C6 - Cn = 96 Û ê
ên = - 8 loaïi
(
)
ê
ë
Bài tập tương tự. Cho hình vng ABCD . Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy
1, 2, 3 và n điểm phõn bit ( n 3, n ẻ Ơ ) khác A, B, C, D . Tìm n , biết số tam giác lấy
từ n+ 6 điểm đã cho là 439. Đáp số n = 10.
3
3
3

Hướng dẫn. Theo giả thiết, ta có Cn+6 - C3 - Cn = 439.
Câu 20. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt ( 4 < n ẻ Ơ ) , trong ú khụng cú ba
điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt
phẳng và không có 4 điểm nào ngồi 4 điểm trong n điểm này là đồng phẳng. Tìm
giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt.
A. n = 6.
B. n = 8.
C. n = 10.
D. n = 16.
Lời giải. Ta có
 n điểm đồng phẳng tạo ra một mặt phẳng.
 n điểm còn lại như giả thiết tạo ra Cn3 mặt phẳng.
 2 điểm trên n điểm đồng phẳng với n điểm còn lại tạo ra Cn2 ´ n mặt phẳng.
 2 điểm trên n điểm còn lại với n điểm đồng phẳng tạo ra Cn2 ´ n mặt phẳng.


® n = 8. Chọn B.
Theo đề bài ta có phương trình: 1+ 2nCn2 +Cn3 = 505 ¾¾

C – BÀI TỐN BỐC BI
Câu 21. Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6), 5 quả bóng vàng
(được đánh số từ 1 đến 5), 4 quả bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4). Lấy ngẫu
nhiên 4 quả bóng. Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà khơng có hai
quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau.
43
48
74
381
.
.

.
.
A.
B.
C.
D.
91
91
455
455
4
ìï n( W) = C15
74
ù
ắắ
đP =
. Chn C.
Li gii. Ta cú ớ
ùù n( A) = C42.C31.C31 +C41.C42.C31 +C41.C41.C42
455
ïỵ
2
1 1
 2 xanh, 1 vng, 1 ắắ
đ C4 .C3.C3 cỏch.
1
2
1
1 xanh, 2 vng, 1 ắắ
đ C4.C4 .C3 cỏch.

1
1
2
1 xanh, 1 vng, 2 ắắ
đ C4.C4.C4 cỏch.
Gii thớch trng hp 1: Khi bốc mình sẽ bốc bi ít hơn trước tiên. Bốc 2 viên bi xanh từ
4 viên bi xanh nên có C42 cách, tiếp theo bốc 1 viên bi vàng từ 3 viên bi vàng (do loại

2 viên cùng số với bi xanh đã bốc) nên có C31 cách, cuối cùng bốc 1 viên bi đỏ từ 3
viên bi đỏ (do loại 2 viên cùng số với bi xanh và 1 viên cùng số với bi vàng) nên có C31
cách. Tương tự cho các trường hợp còn lại.
Câu 22. Trong một cái hộp có đựng 40 quả bóng, gồm 10 quả bóng xanh được đánh
số từ 1 đến 10; 10 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng vàng được
đánh số từ 1 đến 10 và 10 quả bóng trắng được đánh số từ 1 đến 10. Hai quả bóng
cùng màu mang số 1 và số 10 được gọi là '' cặp may mắn '' . Người ta lấy ngẫu nhiên
từ hộp ra 6 quả bóng. Xác suất để trong 6 quả bóng lấy ra có ít nhất một '' cặp may
mắn '' là
1633
1408
2447
291484
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
9139

45695
63973
3838380
6
ìï n( W) = C40
ïï
291484
®P=
. Chọn
Lời giải. Ta có í
2
1
1é 4
1
2
1
2ù
ïï n( A) = C43 +C42 ( C36
3838380
- C2 ) +C4 êC38 - C3 ( C36 - C2 ) - C3 ú
ë
û
ïỵ
D.
 Trường hợp 1. Chọn được cả 3 '' cặp may mắn '' : có C43 cách.
2
2
1
 Trường hợp 2. Chọn được đúng 2 '' cặp may mắn '' : có C4 .( C36 - C2 ) cách.

(Ở đây C21 là số cách chọn 1 '' cặp may mắn '' từ 2 '' cặp may mắn '' còn lại)
1
4
1
2
1
2ù
 Trường hợp 3. Chọn được đúng 1 '' cặp may mắn '' : có C4. é
êC38 - C3 ( C36 - C2 ) - C3 û
ú
ë
cách.
1
2
1
(Ở đây C3 ( C36 - C2 ) là số cách chọn 1 '' cặp may mắn '' từ 3 '' cặp may mắn '' còn lại;
C32 là số cách
Câu 23. Các
xúc sắc 3 lần
Tính xác suất
81
.
A.
216

chọn 2 '' cặp may mắn '' từ 3 '' cặp may mắn '' còn lại)
mặt của một con xúc sắc được đánh số từ 1 đến 6. Người ta gieo con
liên tiếp và nhân các con số nhận được trong mỗi lần gieo lại với nhau.
để tích thu được là một số chia hết cho 6.
83

133
135
.
.
.
B.
C.
D.
216
216
216
Lời giải. Ta có 6 = 2´ 3 và ( 2;3) = 1.
3
Số phần tử của không gian mẫu n( W) = 6 .
Xét biến cố A : '' tích thu được là một số chia hết cho 6 ''. Ta mô tả không gian của biến
cố đối A như sau:
 Khơng có số nào chia ht cho 3 ắắ
đ cú 43.
Khụng cú s no chia ht cho 2 ắắ
đ cú 33.
Khụng cú s no chia ht cho 2 v 3 ắắ
đ cú 23.


3
3
3
Suy ra số phần tử của biến cố đối A là n( A ) = 4 + 3 - 2 .

43 + 33 - 23 133

=
. Chọn C.
63
216
Chú ý: Do trường hợp không chia hết cho 2 và trường hợp khơng chia hết cho 3 nó
bao trùm ln trường hợp khơng chia hết cho cả 2 và 3 nên mình tính đến hai lần.
Câu 24. Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân
đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy có ít nhất một lượt gieo được kết quả
con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp.
397
1331
1
11
.
.
A.
B.
C.
D.
.
.
1728
1728
12
12
Lời giải. Xét biến cố A : '' lần gieo thứ nhất con súc sc xut hin mt 1 chm, ng
xu
xut
hin
mt

sp '' ắắ
xỏc
sut
bin
c
l
A
đ
1 1 1
1 11
P ( A ) = = ắắ
đ P ( A ) = 1= .
6 2 12
12 12
3
ỉ
11ư
397
÷
Vậy xác suất cần tính của bài tốn là P = 1- ç
=
.
÷
ç
÷
ç
è12ø 1728
Câu 25. Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu. Người ta bắt ngẫu nhiên
lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi nào bắt được cả 3 con thỏ trắng mới
thôi. Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là

4
4
29
31
.
.
.
A. .
B.
C.
D.
5
35
35
35
Lời giải. Xét biến cố đối A : '' bắt được 3 thỏ trắng trong 3 hoặc 4 lần '' .
 TH1) Bắt được 3 con thỏ trắng trong 3 lần đầu:
3!
.
Ta có n( W) = 7.6.5 và n( A 1) = 3!. Suy ra P ( A 1) =
7.6.5
 TH2) Bắt được 3 con thỏ trắng trong 4 ln u:
ắắ
đ ln 4 bt c con trng; ln 1, 2 và 3 bắt được 2 con trắng và 1 con nâu.
Vậy xác suất cần tính P = 1-

T
1
2
Ta có n( W) = 7.6.5.4 và n( A 2 ) = C4.C3 .3!. Suy ra P ( A 2 ) =

C41.C32.3!
.
7.6.5.4

4
31
ắắ
đ P ( A ) = . Chọn D.
35
35
Cách 2. Ta mô tả không gian của biến cố A như sau
{ TTT; TNNN; NTNN; NNTN }
Suy ra P ( A ) = P ( A 1) + P ( A 2 ) =

Suy ra P ( A ) =

4
31
ắắ
đP( A) = .
35
35

D – BÀI TOÁN VỀ CHỮ SỐ
Câu 26. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số
trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số cịn lại có mặt khơng q một lần.
Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng
1
2

1
1
.
A. .
B. .
C. .
D.
3
3
15
2
Lời giải. Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde .
● Sắp chữ số 3 vào ba vị trí, có C53 = 10 cách.
● Cịn lại hai vị trí, chọn 2 số trong 4 số {1; 2; 4; 5} xếp vào hai vị trí đó, có A42 = 12
cách.
Do đó tập S có 10.12 = 120 phn t.
1
ỡù n( W) = C120
= 120
2
ù
ắắ
đ P = . Chọn C.
Ta có í
ïï n( A) = 20+ 20+ 20 + 20 = 80
3
ỵ


● Hai chữ số còn lại là 1 và 2 , có C53.2! = 20 số.

● Tương tự cho các trường hợp 1 và 5 ; 2 và 4; 4 và 5 .
Câu 27. Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ
số đơi một khác nhau và ln có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A .
Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 5 bằng
2
9
11
1
.
.
A. .
B. .
C.
D.
9
26
26
4
Lời giải. Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde .
● Ta có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5 , bốn chữ số còn lại có A64 cách chọn nên có
5A64 số ln có mặt chữ số 5 (kể cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên).
● Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên, khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5 ,
ba chữ số cịn lại có A53 cách chọn nên có 4A53 số.
Do đó tập S có 5A64 - 4A53 = 1560 phần t.
1
ỡù n( W) = C1560
= 1560
9
ù
ắắ

đ P = . Chn C.
Ta có í
3
3
ïï n( A) = 4.A5 + 5.A5 = 540
26
ïỵ
● e= 0 . Khi đó có 4 cách chọn vị trí cho số 5 , ba số cịn lại có A53 cách nên có 4.A53
số.
● e= 5 . Khi đó a có 5 cách chọn; b , c , d có A53 cách chọn nên có 5.A53 số.
Câu 28. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4
chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất
để số được chọn chia hết cho 6 bằng
1
4
4
9
A. .
B. .
C.
.
D.
.
9
9
27
28
ïìï n( W) = 94
4
4

ắắ
đ P = . Chn C.
Li gii. Tp S cú 9 phần tử. Ta có í
ïï n( A) = 4.92.3
27
ïỵ
Gọi số thỏa mãn biến cố là a1a2a3a4. Do a1a2a3a4 M6 ắắ
đ a1a2a3a4 M2.
Suy ra a4 ẻ { 2,4,6,8} : cú 4 cách; và a1, a2 có 92 cách chọn.
® a3 Î { 3; 6; 9} nên a3 có 3 cách chn.
Nu a1 + a2 + a4 = 3k ắắ
đ a3 Ỵ { 2; 5; 8} nên a3 có 3 cách chọn.
 Nếu a1 + a2 + a4 = 3k +1ắắ
đ a3 ẻ {1; 4; 7} nờn a3 cú 3 cách chọn.
 Nếu a1 + a2 + a4 = 3k + 2 ¾¾
Vậy a3 ln ln có 3 cách chọn nên n( A) = 4.9 .3 = 972.
Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một
số từ tập S, xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng
1 là
3
1287
1286
7
.
.
.
.
A.
B.
C.

D.
200
90000
90000
500
4
® n( W) = 9.104.
Lời giải. Số các số tự nhiên có 5 chữ số là: 9.10 ¾¾
2

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là abcd1.
Ta có abcd1= 10abcd +1= 3.abcd + 7.abcd +1 chia hết cho 7 Û 3.abcd+1 chia hết cho 7.
h- 1
Đặt 3.abcd +1= 7h Û abcd = 2h+
là số nguyên khi và chỉ khi h = 3t +1.
3
998
9997
® 1000 £ 7t + 2 £ 9999 Û
£ t£
Û t Ỵ {143,144,...,1428} .
Khi đó abcd = 7t + 2 ¾¾
7
7
Suy ra số cách chọn t sao cho số abcd1 chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1
là 1286 hay nói cách khác n( A) = 1286.
Vậy xác suất cần tìm P =

1286
. Chọn C.

90000


Câu 30. Gọi S là
ngẫu nhiên một số
171
.
A.
3125
Lời giải. Số có 7
thuộc vào tổng 6
n( W) = 106.

tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9. Chọn
từ S , xác suất để các chữ số của nó đơi một khác nhau bằng
198
207
396
.
.
.
B.
C.
D.
3125
6250
6250
chữ số, 6 chữ số sau đều có 10 cách chọn, cịn chữ số đầu phụ
chữ số sau nên chỉ có một cỏch chn ắắ
đ Khụng gian mu:

Vỡ tng cỏc ch s từ 0 đến 9 bằng 45 chia hết cho 9, nên muốn viết số có 7 chữ số
đơi một khác nhau và chia hết cho 9 thì ta cần bỏ 3 chữ số trong các chữ số từ 0
đến 9 sao cho tổng của 3 số đó chia hết cho 9. Các bộ ba số có tổng chia hết cho 9
là:
( 0;1;8) , ( 0;2;7) , ( 0;3;6) , ( 0;4;5) ,

( 1;2;6) , ( 1;3;5) , ( 1;8;9) , ( 2;3;4) , ( 2;7;9) , ( 3;6;9) , ( 3;7;8) , ( 4;5;9) , ( 4;6;8) , ( 5;6;7) .
 Trường hợp 1. Bỏ một trong các bộ số: ( 0;1;8) , ( 0;2;7) , ( 0;3;6) , ( 0;4;5) : có 4 cách
chọn.
Trong 7 chữ số cịn lại khơng có chữ số 0, nên mỗi bộ 7 số cịn lại viết được: 7! số.
Do đó trường hợp này có 4.7! số.
 Trường hợp 2. Bỏ một trong các bộ số: ( 1;2;6) , ( 1;3;5) , ( 1;8;9) , ( 2;3;4) , ( 2;7;9) ,

( 3;6;9) , ( 3;7;8) , ( 4;5;9) , ( 4;6;8) , ( 5;6;7) : có 10 cách chọn.
Với mỗi cách bỏ ba số đi, trong 7 số còn lại viết được: 6.6! số.
Do đó trong trường hợp này có 10.6.6! số.
Suy ra n( A) = 4.7!+10.6.6!.
Vậy xác suất cần tính P =

4.7!+10.6.6! 198
=
. Chọn B.
106
3125

E – BÀI TỐN VỀ NHĨM

Câu 31. Một tổ học sinh lớp X có 12 học sinh trong số đó có An và Bình. Cơ giáo
thực hiện phân nhóm ngẫu nhiên thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thành viên để thực

hiện nhiệm vụ học tập. Xác suất để An và Bình cùng nhóm là
2
2 4 4
2 4 4
2 4 4
3C10
C84C44
3C10
C8 C4
3!C10
C8 C4
3!C10
C8 C4
.
1
.
.
1
.
A.
B.
C.
D.
4 4 4
4 4 4
4 4 4
4 4 4
C12C8 C4
C12C8 C4
C12C8 C4

C12C8 C4
4 4 4
2 4 4
ỡù n( W) = C12
C8 C4
3C10
C8 C4
ù
ắắ
đ
P
=
. Chn A.
Li gii. Ta có í
4 4 4
2 4 4
ïï n( A) = 3C10
C
C
C
C
12 8 C4
8 4
ïỵ
Đầu tiên có 3 cách chọn nhóm để cho An và Bình vào nhóm đó, sau khi đã chọn An
2
và Bình thì chọn thêm 2 bạn nữa nên có C10
cách. Chọn 4 bạn cho nhóm tiếp theo

nên có C84 cách. 4 bạn cịn lại vào nhóm cuối cùng nên có C44 cách.

Câu 32. Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh
nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Vinh. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi
nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Hoa và Vinh cùng
một nhóm là
1
7
7
25
.
.
A. .
B. .
C.
D.
8
8
32
32
Lời giải. Khơng gian mẫu là số cách chia 12 học sinh thành 3 nhóm và phải đảm bảo
mỗi nhóm có ít nhất 1 học sinh nữ. Giả sử
2
2
● Nhóm thứ nhất có 2 nữ và 2 nam, có C4 .C8 cách.
1
3
● Nhóm thứ hai có 1 nữ và 3 nam, có C2.C6 .
● Sau khi chia nhóm thứ nhất và thứ hai xong thì cịn lại 1 nữ và 3 nam nên nhóm
thứ ba có duy nhất 1 cách.
2
2

1
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n( W) = C4 .C8 .C2.C6 = 6720 .
Gọi A là biến cố '' Hoa và Vinh cùng một nhóm '' . Ta mơ tả các khả năng thuận lợi cho
biến cố A như sau:


● Trường hợp thứ nhất. Hoa và Vinh cùng với 1 bạn nam và 1 bạn nữ thành một
nhóm nên có C71.C31 cách. Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có C63.C21 . Cuối
cùng cịn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba. Do đó
trong trường hợp này có C71.C31.C63.C21 = 840 cách.
● Trường hợp thứ hai. Hoa và Vinh cùng với 2 bạn nam thành một nhóm nên có
C72 cách. Nhóm thứ hai có 2 bạn nam và 2 bạn nữ nên có C52.C32 . Cuối cùng còn lại 3
bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba. Do đó trong trường
hợp này có C72.C52.C32 = 630 cách.
● Trường hợp thứ ba. Hoa và Vinh cùng với 2 bạn nam thành một nhóm. Nhóm
thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ. Suy ra nhóm thứ ba có 2 bạn nam và 2 bạn nữ.
Trường hợp này trùng với trường hợp thứ hai nên ta không tính.
Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A) = 840+ 630 = 1470 .
Vậy xác suất cần tính P =

1470
7
= . Chọn C.
6720 32

F – BÀI TỐN VỀ MÃ ĐỀ THI
Câu 33. Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho
mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong
bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3

phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành
cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít
nhất 1 câu hỏi giống nhau là
19
21
7
17
.
.
A.
B.
C.
D.
.
.
40
40
24
24
Lời giải. Không gian mẫu là tập hợp gồm các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở vị trí thứ
nhất của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ 3 câu hỏi
thí sinh B chọn.
3
● Thí sinh A có C10
cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi.
●

3
Thí sinh B có C10
cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi.

3
3
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W= C10.C10 .
Gọi X là biến cố '' 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống
nhau '' . Để tìm số phần tử của X , ta đi tìm số phần tử của X như sau
3
● Giả sử A chọn trước nên có C10
cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi.
● Để B chọn khác A thì B phải chọn 3 trong 7 câu hỏi cịn lại từ bộ 10 câu hỏi nên
có C73 cách chọn.
3
3
Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C10.C7 .

Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX
W

=

W- WX
W

=

3
3
3

7
C10
.C10
- C10
.C10
17
=
. Chọn B.
3
3
C10.C10
24

Bài tập tương tự. Với đề bài như trên và câu hỏi là tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn
21
.
và 3 câu hỏi B chọn có đúng 1 câu hỏi giống nhau. Đáp số:
40
Câu 34. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia 2018, trong đó có 2 mơn thi
trắc nghiệm là Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các
mơn khác nhau có mã khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh một
cách ngẫu nhiên. Xác suất để trong 2 mơn thi đó An và Bình có chung đúng một mã
đề thi bằng
5
13
5
31
.
.
.

.
A.
B.
C.
D.
18
18
36
36
ìï n( W) = ( 6.6) ( 6.6) = 64
5
ù
ắắ
đ P = . Chọn A.
Lời giải. Ta có í
ï n( A) = 2´ ( 6.6) ( 1.5)
18
ïỵ
4
● Mỗi người có 6 cách chọn mã đề cho mỗi môn nên n( W) = ( 6.6) ( 6.6) = 6 .


● Có 2 trường hợp trùng mã đề (Vật lí hoặc Hóa học). Nếu An chọn đề trước thì An
có 6.6 cách chọn. Bình chọn đề sau mà để trùng với mã đề của An thì mơn trùng chỉ
có 1 cách chọn (An chọn gì thì bắt buộc Bình chọn nấy), mơn cịn lại Bình phải chọn
khác An nên có 5 cách chọn (chọn 5 mã đề còn lại trừ mã đề An đã chọn ra). Vậy
n( A) = 2´ ( 6.6) ( 1.5) .
Câu 35. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngoài thi ba mơn Văn, Tốn,
Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thêm 2 môn tự chọn khác trong 3 mơn: Hóa
Học, Vật Lí, Sinh học dưới hình thức trắc nghiệm. Mỗi mơn tự chọn trắc nghiệm có 6

mã đề thi khác nhau và mã đề thi của các môn khác nhau thì khác nhau. Xác suất để
An và Bình chỉ có chung đúng một mơn thi tự chọn và một mã đề thi là
2
1
3
5
.
.
A. .
B. .
C.
D.
3
9
18
18
Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn môn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận
được của An và Bình.
● An có C32 cách chọn mơn tự chọn, có C61.C61 mã đề thi có thể nhận cho 2 mơn tự
chọn của An.
● Bình có C32 cách chọn mơn tự chọn, có C61.C61 mã đề thi có thể nhận cho 2 mơn tự
chọn của Bình.
2

Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là W= ( C32C61.C61 ) .
Gọi A là biến cố '' An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề
thi '' . Để tính số kết quả thuận lợi cho A , ta mô tả cách chọn 2 môn tự chọn của An
và Bình và cách nhận mã đề thi thỏa mãn u cầu bài tốn.
● Cách chọn mơn. Giả sử An chọn trước 2 môn tự chọn trong 3 môn nên có C32
cách. Để Bình chọn 2 trong 3 mơn tự chọn nhưng chỉ có đúng 1 mơn trùng với An nên

Bình phải chọn 1 trong 2 mơn An đã chọn và 1 mơn cịn lại An khơng chọn, suy ra
Bình có C21.C11 cách. Do đó có C32.C21.C11 cách chọn mơn thỏa u cầu bài tốn.
● Cách chọn mã đề. Vì An chọn trước nên cách chọn mã đề của An là C61.C61 . Để
Bình có chung đúng 1 mã đề với An thì trong 2 mơn Bình chọn, mơn trùng với An phải
chọn mã đề giống như An nên có 1 cách, mơn khơng trùng với An thì được chọn tùy ý
nên có C61 cách, suy ra số cách chọn mã đề của Bình là 1.C61 . Do đó có C61.C61.1.C61 cách
chọn mã đề thỏa u cầu bài tốn.
2
1 1
1 1
1
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = ( C3 .C2.C1 ) .( C6.C6.1.C6 ) .
Vậy xác suất cần tính

( C32.C21.C11) .( C61.C61.1.C61) 1
P=
= .
2
9
( C32C61.C61 )

Chọn B.

G – BÀI TOÁN VỀ ĐỀ THI
Câu 36. Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm,
mỗi câu có 4 phương án trả lời. Phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu được trả lời 10
câu, mỗi câu chỉ chọn 1 đáp án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số
đó ln có ít nhất 2 phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi ?
A. 41.
B. 10001.

C. 1048576.
D. 1048577.
Lời giải. Mỗi phiếu có 4 phương án trả lời (hay nói cách khác mỗi phiếu có 4 cách
chọn đáp án). Do đó có 410 kết quả khác nhau có thể xảy ra đối với các phiếu hợp lệ.
10

Vậy cần tối thiểu ( C41 ) +1= 1048577 phiếu hợp lệ để có hai phiếu trả lời giống hệt
nhau cả 10 câu. Chọn D.
Câu 37. Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó. Người ta xây dựng
hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu
1 đến Câu 10. Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2
câu hỏi khó.
A. 77220.

B. 77221.

C. 5080320.

2

8
D. ( 10!) C42C16
.

Lời giải. ● Chọn ra 2 câu hỏi khó trong 4 câu và 8 câu hỏi dễ trong 16 câu cho đề
8
.10!
thứ nhất, sau đó sắp xếp 10 câu này theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có C42.C16
cách.

● 10 câu còn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có
10! cách.
2

8
8
Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C42.C16
.10!.10! = ( 10!) .C42.C16
. Chọn D.

Câu 38. Đề cương ôn tập môn Lịch sử có 30 câu. Đề thi được hình thành bằng cách
chọn ngẫu nhiên 10 câu trong 30 câu trong đề cương. Một học sinh chỉ học thuộc 25
câu trong đề cương, xác suất để trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu
mà học sinh đã học thuc l
323
3553
4346
8075
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
1827
7917
7917

23751
10
9 1
10
ỡù n( W) = C30
C25
C5 +C25
3553
ù
ắắ
đ
P
=
=
. Chn B.
Li giải. Ta có í
10
9
1
10
ïï n( A) = C25C5 +C25
C30
7917
ïỵ
9 1
C5 khả năng.
 9 câu thuộc – 1 câu không thuộc: có C25
10
 10 câu đã học thuộc hết: có C25
khả năng.

Câu 39. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia có mơn thi bắt buộc là mơn Tốn. Mơn thi này thi
dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D . Mỗi câu trả lời đúng
được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém
mơn Toán nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Xác xuất để bạn Hoa đạt được 4
điểm mơn Tốn trong kỳ thi là
40
20
30
10
C10.( 3)
C 20.( 3)
C 20.( 3)
C 40.( 3)
A. 50 50 .
B. 50 50 .
C. 50 50 .
D. 50 50 .
4
4
4
4
Lời giải. Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50- x là số câu trả lời sai.
Ta có số điểm của Hoa là 0,2.x - 0,1.( 50- x) = 4 Û x = 30 .
Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu.
Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên. Mỗi
câu có 4 phương án trả lời nên có 450 khả năng. Suy ra số phần tử của không gian
50
mẫu là W= 4 .
Gọi X là biến cố '' Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu '' . Vì mỗi câu đúng có 1
30

phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. Vì vậy có C50
.( 3)

20

khả năng

20

30
thuận lợi cho biến cố X . Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C50
.( 3) .

Vậy xác suất cần tính P =

30
C50
.( 3)

20

20
C50
.( 3)

20

=
. Chọn B.
450

450
Câu 40. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương
án trả lời. Xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi là
8
109
C8
C10
C 8 .32
.
A. 10 .
B. 10
C. 1010 .
D.
.
262144
40
4
4
ìï n( W) = 410
109
ù
ắắ
đP =
. Chn B.
Li gii. Ta cú ớ
ùù n( A) = C 8 .( 3) 2 +C 9 .3+C10
262144
10
10
10

ïỵ
Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời.
8
● 8 câu đúng – 2 câu sai: có C10
.( 3)

2

khả năng thuận lợi.

9
10

● 9 câu đúng – 1 câu sai: có C .3 khả năng thuận lợi.
10
● 10 câu đúng: có C10
khả năng thuận lợi.
Câu 41. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí
và Hóa học. Đề thi của mỗi mơn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa
chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi mơn thi
thí sinh A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu cịn lại thí sinh
A chọn ngẫu nhiên. Xác suất để tổng điểm 2 mơn thi của thí sinh A không dưới 19
điểm là
5
5
5
C 5 .( 3)
81922
C 5 .( 3)
C 5 .( 3) +C10

A. 10
B. 10 10 .
C. 10 10 10 .
D.
.
.
410
40
4
4


Lời giải. Thí sinh A khơng dưới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu trả lời
ngẫu nhiên ở cả hai mơn Vậy lí và Hóa học thì phải đúng ít nhất 5 câu.
Khơng gian mẫu là số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn ngẫu nhiên.
10
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n( W) = 4 .
Gọi X là biến cố '' Thí sinh A làm được ít nhất 5 câu trong 10 được cho là chọn ngẫu
nhiên '' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố X .
Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời.
5

5
● 5 câu đúng – 5 câu sai: có C10.( 3) khả năng thuận lợi.
6
● 6 câu đúng – 4 câu sai: có C10.( 3)

4

khả năng thuận lợi.

3

7
● 7 câu đúng – 3 câu sai: có C10.( 3) khả năng thuận lợi.
8
● 8 câu đúng – 2 câu sai: có C10.( 3)

2

khả năng thuận lợi.

9
10

● 9 câu đúng – 1 câu sai: có C .3 khả năng thuận lợi.
10
● 10 câu đúng: có C10 khả năng thuận lợi.
5

4

3

2

5
6
7
8

9
10
Suy ra n( X ) = C10
.( 3) +C10
.( 3) +C10
.( 3) +C10
.( 3) +C10
.3+C10
= 81922.

Vậy xác suất cần tính P =

81922
.
410

1
3
, trả li sai l . Ta cú cỏc trng hp:
4
4
5
5
ổ
ử
ổ
ử
1
3ữ
5

ữ
ỗ
.
Xỏc suất thí sinh A trả lời đúng 5 trên 10 cõu l C10 ỗ
ữ
ữ
ỗ ữỗ
ỗ ;
ỗ
ố4ứ ố4ữ
ứ
Cỏch 2. Xỏc sut tr li ỳng 1 cõu hi l

6

4

7

3

8

2

ổ3ử
1ử
6 ổ
ữ
ữ

.ỗ
Xỏc sut thí sinh A trả lời đúng 6 trên 10 câu l C10 ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ;
ỗ
ỗ4ứ
ố4ứ ố
ổ1ử
ổ3ử
ữ
ữ
ỗ
Xỏc sut thớ sinh A tr li ỳng 7 trờn 10 cõu l C ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ.ố
ữ;
ỗ4ứ
ỗ4ứ
ố
7
10

1ử

3ử
8 ổ
ữ.ổ
ữ;
ỗ
Xác suất thí sinh A trả lời đúng 8 trên 10 cõu l C10 ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ4ứ ố
ỗ4ứ
ố
9

1ử
3
9 ổ
ữ
. ;
Xỏc sut thí sinh A trả lời đúng 9 trên 10 câu l C10 ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố4ứ 4
10

1ử
10 ổ
ữ
Xỏc sut thớ sinh A tr li ỳng 10 trờn 10 cõu l C10 ỗ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố4ứ
Cng các xác suất trên ta được xác suất cần tính.
Câu 42. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi mơn thi trắc nghiệm Tốn. Đề
thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án
đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Bạn An làm chắc chắn đúng 42 câu, trong 8
câu cịn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do
khơng cịn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Xác suất
bạn An được 9,4 điểm là
55
455
379
499
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
1536
3456

13824
13824
Lời giải. Ta chỉ quan tâm 8 câu cịn lại. Trong 8 câu cịn lại mình chia làm 2 loại:
 Loại 1: gồm 3 câu có 3 ỏp ỏn A, B, C
1
2
ắắ
đ xỏc sut chn ỏp án đúng là , xác suất chọn đáp án đúng là .
3
3
 Loại 2: gồm 5 câu có 4 đáp ỏn A, B, C, D
1
3
ắắ
đ xỏc sut chn ỏp ỏn đúng là , xác suất chọn đáp án đúng là .
4
4
Để bạn An đạt được 9,4 điểm (tức cần đúng thêm 5 câu trong 8 câu cịn lại) thì xảy ra
mt trong cỏc kh nng sau
3
5
ổử
2ữ 5 ổ
1ử
ữ
ỗ
ỳng 0 cõu loi 1 & ỳng 5 cõu loi 3: ắắ

C
.

ữ
ữ
đ xỏc sut ỗ
ỗ ữ 5ỗ
ỗ ữ.
ỗ
ố3ứ
ố4ứ


2

4

ỉ1ư
2÷
1 1 ỉư
÷. 3.
Đúng 1 câu loại 1 & Đúng 4 cõu loi 3: ắắ
C54.ỗ
ữ
ữ
đ xỏc sut C3. .ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ 4
ỗ3ứ
ỗ4ứ
ố

3ố
2

3

2

ổ1ử
ổ3ử
1ữ 2
2 ổử
ỳng 2 cõu loi 1 & ỳng 3 cõu loi 3: ắắ
. C53.ỗ
.ỗ
ữ
ữ
ữ
đ xỏc sut C3 .ỗ
ỗ
ỗ ữ
ỗ ữ
ữ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ỗ
ố3ứ 3
ố4ứ ố
4ứ

3

2

3

ổ3ử
1ữ 2 ổ
1ử
3 ổử
ữ
ữ
ỳng 3 cõu loi 1 & ỳng 2 cõu loi 3: ắắ
C5 .ỗ
.ỗ
ữ
ữ
ữ
đ xỏc sut C3 .ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ỗ4ứ
ố3ứ
ố4ứ ố

499
. Chn D.
Cng cỏc xỏc sut lại ta được xác suất cần tính P =
13824

H – BÀI TỐN VỀ CẶP ĐƠI
Câu 43. Một trường THPT có 10 lớp 12, mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ
động. Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp không bắt
tay với nhau). Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh
khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần.
A. 405.
B. 425.
C. 432.
D. 435.
Lời giải. Mỗi lớp cử ra 3 học sinh nên 10lớp cử ra 30 học sinh.
2
Suy ra số lần bắt tay là C30
(bao gồm các học sinh cùng lớp bắt tay với nhau).
Số lần bắt tay của các học sinh học cùng một lớp là 10.C32 .
2
- 10.C32 = 405.
Vậy số lần bắt tay của các học sinh với nhau thỏa mãn yêu cầu là C30
Chọn A.
Bài tập tương tự. Có tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau
(tất nhiên mỗi người khơng bắt tay vợ hoặc chồng của mình) trong một buổi gặp mặt,
biết rằng có tất cả có 40 cái bắt tay. Đáp số: 5 cặp vợ chồng.
Câu 44. Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng.
Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Xác suất để 3 người
được chọn khơng có cặp vợ chng no l
72

89
3
1
.
.
.
A.
B.
C.
D. .
1140
95
20
5
3
ỡù n( W) = C20 = 1140
ù
72
89
ắắ
đ P = 1= . Chọn B.
Lời giải. Ta có ïí
1
ïï n( A) = C41.C18
1140 95
= 72
ïỵ
Biến cố A là 3 người được chọn ln có 1 cặp vợ chồng.
● Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng, có C41 cách.
1

● Chọn thêm 1 người trong 18 người, có C18
cách.
Câu 45. Một chi đồn có 40 người, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Ban chấp hành cần
chọn ra 3 người để bầu vào các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư 1, Phó bí thư 2. Xác suất
để 3 người được chọn khơng có cặp vợ chồng nào l
1
59
61
64
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
65
65
65
65
3
ỡù n( W) = A40
= 59280
ùù
912
64
ắắ
đ P = 1= . Chọn D.
Lời giải. Ta có í

1
ïï n( A) = C41.C38
59280 65
.3! = 912
ïỵ
Câu 46. Hai tổ chun mơn của một trường trung học phổ thơng có 9 giáo viên nam
và 13 giáo viên nữ trong đó có đúng 2 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
5 người trong số 22 người đó nhưng khơng có cặp vợ chồng nào ?
A. 24054.
B. 24072.
C. 24090.
D. 25704.
Lời giải. Ta có các trường hợp sau
5
 TH1: chọn 5 người từ 18 người: có C18
cách.
4
 TH2: chọn 1 người từ 2 cặp vợ chồng và 4 người từ 18 người: có C41.C18
cách.
 TH3: chọn 2 người từ 2 cặp vợ chồng sao cho không phải là một cặp và 3 người từ
2
3
18 người: có ( C4 - 2) .C18 cách.
5
1
4
2
3
Vậy có C18 +C4.C18 +( C4 - 2) .C18 = 24072 cách. Chọn B.

Cách 2. Tính theo phần bù. Tính số cách chọn 5 người tùy ý - (cách chọn 5 người
có đúng 1 cặp vợ chồng + cách chọn 5 người có đúng 2 cặp vợ chồng).
5
= 26334 cách.
 Số cách chọn 5 người tùy ý: có C22
 Số cách chọn 5 người có đúng 1 cặp vợ chồng: Chọn 1 cặp vợ chồng có 2 cách
chọn, chọn 3 người cịn lại có hai khả năng
Khả năng thứ nhất: 1 người từ cặp vợ chồng còn lại và 2 người từ 18 người
Khả năng thứ hai: 3 người từ 18 người
1 2
3
Do đó trường hợp này có 2.( C2C18 +C18 ) cách.
 Số cách chọn 5 có đúng 2 cặp vợ chồng: Chọn 2 cặp vợ chồng có duy nhất 1 cách,
chọn thêm 1 người từ 18 người nên có 18 cách: có 1.18 = 18 cách.
5
3
2. C1C 2 +C18
Vậy có C22 = 26334- é
) +18ùúû= 24072 cách.
ê
ë ( 2 18
Câu 47. Có 20 cặp vợ chồng tham gia dự thi '' cặp đơi hồn hảo ''. Trong giờ giải lao,
ban tổ chức chọn ra ngẫu nhiên 4 người để tham gia văn nghệ. Xác suất để 4 người
được chọn khơng có cp v chng no l
99
224
73
408
.

.
.
.
A.
B.
C.
D.
323
323
481
481
4
ùỡù n( W) = C40
= 91390
408
ù
ắắ
đP =
. Chọn D.
Lời giải. Ta có í
ïï n( A) = C 4 .( C1 ) 4 = 77520
481
20
2
ïỵ
4
Số cách chọn 4 cặp từ 20 cặp là C20
.
Mỗi cặp chọn ra 1 người, do đó 4 cặp có nên có ( C21 )

4

cách chọn.

K – BÀI TỐN VỀ XẾP VỊ TRÍ
Câu 48. Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố
định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác xuất để 3 người được chọn
khơng có 2 người nào đứng cạnh nhau.
1
21
7
6
.
.
.
A.
.
B.
C.
D.
20
55
110
11
3
ìï n( W) = C12
6
ù
ắắ
đ P = . Chn A.

Li gii. Ta có í
3
ïï n( A) = C10
11
ïỵ
Biến cố cần tính bằng số cách đặt 3 người vào 3 trong 10 khoảng trống tảo bởi 9
3
người (cứ đặt đâu lấy đó) nên có C10
cách.
Bài tập tương tự. Một nhóm gồm 12 học sinh trong đó có Hoa, Anh, Vinh. Hỏi có bao
nhiêu cách xếp 12 bạn đó thành một hàng ngang mà khơng có hai bạn trong ba bạn
6
Hoa, Anh, Vinh đứng cạnh nhau? Đáp số:
.
11
3
Hướng dẫn. Thực chất bài này như bài tốn trên. Ta có n( W) = 12! và n( A) = 9!.A10.
Câu 49. Xếp 10 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 1 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách
tiếng Anh và 6 cuốn sách Tốn (trong đó có hai cuốn Tốn T1 và Tốn T2 ) thành một
hàng ngang trên giá sách. Xác suất để mỗi cuốn sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa
hai cuốn sách Toán, đồng thời hai cuốn Toán T1 và Toán T2 luụn c xp cnh nhau
bng
1
1
1
1
.
.
.
.

A.
B.
C.
D.
120
210
300
450
ỡù n( W) = 10!
1
ù
ắắ
đP =
. Chọn B.
Lời giải. Ta có í
3
ïï n( A) = 5!.2!.A4 .3
210
ỵ
 Xếp 5 quyển tốn (coi T1 và T2 là một khối) nên có 5!.2! cách. Tạo ra 4 khoảng
trống giữa các cuốn Tốn (khơng kể hai đầu).
T
T
T
T
T
 Xếp 3 cuốn sách tiếng Anh vào 4 khoảng trống có A43 cách.
 Xếp 1 cuốn Văn vào 3 vị trí cịn lại (một khoảng trống mà tiếng Anh sắp còn lại,
cùng với 2 khoảng trống 2 đầu cuốn Tốn) nên có 3 cách.

Câu 50. Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có hai em Thảo, My và 5
học sinh nam. Xác suất để xếp 9 học sinh vào một hàng dọc sao cho Thảo và My
đứng cạnh nhau cịn các em nữ cịn lại khơng đứng cạnh nhau và cũng không đứng
cạnh Thảo và My bằng
1
4
5
4
.
.
A. .
B. .
C.
D.
6
9
63
67
ỡù n( W) = 9!
5
ù
ắắ
đ P = . Chn C.
Lời giải. Ta có í
ïï n( A) = 5!.A63.2!
63
ỵ
 Xếp 5 bạn nam trước (tạo ra 6 khoảng trống kể cả hai đầu): có 5! cách.
 Coi Thảo và My là 1 khối và 2 bạn nữ còn lại ta xếp vào 3 trong 6 chỗ trống nên có

A63 cách. Giữa Thảo và My đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách.
Câu 51. Một tổ có 10 học sinh trong đó có 3 bạn gồm An, Bình và Cúc. Hỏi có bao
nhiêu cách xếp 10 học sinh đó vào một ghế dài có 10 chỗ trống sao cho An và Bình
ln ngồi cạnh nhau nhưng An và Cúc khơng ngồi cạnh nhau.
A. 2!.9!- 2!.8!.
B. 2!.9!- 3.8!.
C. 2!.9!- 3!.8!.
D. 3.9!- 2.8!.
Lời giải.
● Vì An và Bình ln ngồi cạnh nhau nên xem như là 1 khối, giữa 2 người này đổi
chỗ cho nhau nên có 2! cách. Một khối (An và Bình) cùng với 8 người cịn lại hốn đổi
vị trí cho nhau nên có 9! cách. Nhưng đếm thế này mình đã đếm ln trường hợp An
và Cúc ngồi cạnh nhau.
● Ta đếm xem có bao nhiêu trường hợp An và Cúc ngồi cạnh nhau (dĩ nhiên An và
Bình cũng ngồi cạnh nhau). Xem An, Bình và Cúc như 1 khối nhưng để An ngồi cạnh
Bình và cũng ngồi cạnh Cúc thì An phải ngồi giữa Bình và Cúc, giữa Bình và Cúc đổi
chỗ cho nhau nên có 2! cách. Một khối (Bình, An, Cúc) cùng với 7 người cịn lại hốn
đổi vị trí cho nhau nên có 8! cách.
Vậy có 2!.9!- 2.8! cách thỏa mãn u cầu bài tốn. Chọn A.
Câu 52. Sắp xếp 12 học sinh của lớp 12A gồm có 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ
vào một bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm có 6 chiếc ghế) để
thảo luận nhóm. Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau ln
khác giới.
1
1
3
1
.
.
.

.
A.
B.
C.
D.
462
924
99920
665280
ìï n( W) = 12!
1
ù
ắắ
đP =
. Chn A.
Li gii. Ta cú ớ
ùù n( A) = 2.6!.6!
462
ỵ
Đánh số thứ tự ghế từ 1 đến 12.
1
2
3
4
5
6
12
11
10
9

8
7
Chọn 1 trong 2 bộ số chẵn hoặc lẻ xếp 6 bạn nam vào, sau đó xếp 6 bạn nữ vào bộ
ghế cịn lại.
Câu 53. Có 3 bi xanh, 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 3 bi vàng (các viên bi cùng màu giống
nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bị thành một hàng ngang sao cho cỏc bi
cựng mu khụng cnh nhau?
2
1
2
1
.
.
.
A.
B.
C.
D.
.
55
28512
35640
22
ỡù
12!
ùù n( W) =
2
3!.3!.3!.3!
ắắ
đ P = . Chọn B.

Lời giải. Ta có í
ïï
55
3
3
3
3
3
ïïỵ n( A) = 1.C4 .C7 .C10 - 2.C6 .C9
 Xếp 3 bi xanh trước: có 1 cách (tạo ra 4 khoảng trống kể cả hai đầu). Tiếp theo xếp
3 bi đỏ vào 4 khoảng trống: có C43 cách. Bây giờ có tất cả 6 viên bi (gồm 3 bi xanh và
3 bi đỏ) tạo nên 7 khoảng trống, tiếp tục xếp 3 bi trắng vào 7 khoảng trống: có C73
cách. Thời điểm này có tất cả 9 viên bi (gồm 3 bi xanh, 3 bi đỏ và 3 bi trắng), tiếp tục
3
3
xếp 3 bi vàng vào 10 khoảng trống: có C10
cách. Vậy có 1.C43.C73.C10
cách.