DE THI HSG CAP HUYEN 0809

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT VĨNH THUẬN. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN Năm học 2008-2009 Môn toán Thời gian 150 phút ( không kể thời gian giao đề ). ĐỀ CHÍNH THỨC. Câu 1: (3đ) Thực hiện các phép tính sau : 3 3 3 5 5 4 6 4 1+ 27 . 4 5 . 2 2 . 3 : . 3 a/. 1+ b/. 8 4 4 1+ 6 10 6 3 1+ 5 1 1 1 1 + + +.. .+ c/. 5.6 6.7 7.8 24 . 25 Câu 2: (4 đ) a/. Tính giá trị của biểu thức : 2 5 7 + − A= 3 √ 10 −5 √ 10− 2 √ 10 b/. Đơn giản biểu thức : B = 13+30 √ 2+ √ 9+ 4 √ 2 c/. Chứng minh C là số nguyên C= √|40 √ 2− 57|− √ 40 √ 2+57 Câu 3 : ( 4 đ) Giải các phương trình sau : ( x −a )( x −c ) ( x − b ) ( x − c ) + =1 , trong đó a,b,c là hằng và khác nhau đôi một . a/. ( b −a )( b − c ) ( a− b ) ( a − c ) b/. ||x +1|−1|=a Câu 4 : (4 đ) Trong một buổi họp mặt giữa hai lớp 9A và 9B có tất cả 50 học sinh tham gia. Các bạn lớp 9B tính số người quen ở lớp 9A và thấy rằng bạn Anh quen 11 bạn , bạn Bắc quen 12 bạn, bạn Châu quen 13 bạn … và cứ như vậy đến bạn cuối cùng là bạn Yến quen tất cả các bạn của lớp 9A. Tính số học sinh mỗi lớp tham gia buổi họp mặt . Câu 5 : (5 đ) Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác. Gọi ha ,hb, hc là độ dài các đường cao ứng với các cạnh a,b,c và da , db, dc là các khoảng cách từ O đến các cạnh a,b,c da db dc + + =1 a/. Chứng minh rằng : ha h b hc b/. Gọi r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC . chứng tỏ rằng : 1 1 1 1 + + = ha hb hc r c/. Gọi A’, B’ ,C’ là chân các đường vuông góc từ O tới các cạnh BC, AC, AB . Chứng minh rằng AB’2 +BC’2 + CA’2 = AC’2 +BA’2 + CB’2. (. (. √. ). ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN : TOÁN Câu 1 : ( 3 đ ). 3 8 1+ = ( 0,25) 5 5 3 23 1+ = 8 8 ( 0,25) 5 3 47 1+ = 23 23 (0,25) 8 3 116 22 1+ = =2 47 47 47 ( 0,25đ) 23 9 10 5 4 6 4 3 .2 5 .2 2 .3 : . b/. Ta có : (0,5đ) 28 . 38 54 . 24 24 .3 4 3 . 22 3 = = (0,5 đ) 5 . 22 5 1 1 1 1 1 1 − + − +.. .+ − c/. Ta có : ( 0,5đ) 5 6 6 7 24 25 1 1 4 − = = ( 0,5đ) 5 25 25 Câu 2: ( 4 đ) 2 5 − 2 √ 2+5 √ 5 −7 √ 5+7 √ 2 ❑ + )=3 a/. ta có : 3( ❑ 10− 5 10− 2 √ √ − √10 ( √ 2− √ 5 ) a/. Ta có. (. ). (. ). ( 0,5đ). √10 ( √ 2− √ 5 ) =3 ( 0,5đ) √10 ( √ 2− √ 5 ) b/. Ta có : B= √ 13+30 √2+ ( 2 √ 2+1 )2=√ 13+30 √ 3+ 2 √ 2 ( 0,5đ) = √ 13+30 √( √ 2+1 )2= √ 43+30 √2 ( 0,5đ) = √ ( 5+3 √2 ) 2=5+3 √ 2 ( 0,5đ) 2 c/. Ta có : C = |40 √ 2 −57|+ ( 40 √ 2+ 57 ) −2 √|40 √ 2− 57|( 40 √ 2+57 ) ( 0,25đ) ¿ 57 − 40 √ 2+ 40 √ 2+57 −2 √ ( 57 − 40 √2 ) ( 57+ 40 √ 2 ) ( 0,25đ) = 114 -2 √ 3249− 3200=100 ( 0,25đ) A =3. C = ±10 Vì : |40 √ 2 −57|< 40 √ 2+ 57 nên √|40 √ 2− 57|< √ 40 √ 2+57 ⇒ C< 0 ⇒ C=−10 , C ∈ Z Câu3 : ( 4đ) a−x x −b + =1 a/. ( x − c ) ( a − b ) ( b −c ) ( a− b ) ( a − c ) ( a − x ) ( a −c ) + ( x − b ) ( b − c ) (x−c) =1 ( a − b ) ( b −c ) ( a −c ) ( x − c ) [ ( a2 − b2 ) − x ( a −b ) − c ( a− b ) ] =( a −b )( b− c ) ( a −c ) ( x − c )( a − b ) ( a+b − x − c )=( a − b ) ( b −c ) ( a −c ). [. ( x − c )( a+ b − x − c ) − ( b − c ) ( a − c )=0 ( x − a ) ( x − b )=0 S= { a ,b }. ]. ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ). ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,25đ) ( 0,5đ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b/. ||x +1|−1|=a (1) * Nếu a<0 PT (1) vô nghiệm ( 0,25đ) * Nếu a= 0 ⇔ ||x +1|−1|=0 x+1 =1 hoặc x+1= -1 ⇔ x =0 hoặc x=-2 ( 0,5đ) ⇔ |x +1|− 1=0 , |x +1|=1 ⇔ |x +1|=a+1 ( 2) hoặc |x +1|=1 − a (3) * Nếu a>0 ⇔ ( 0,25đ) + Giải (2) : a +1>0 nên x+1 =a+1 hoặc x+1 = -a-1 ⇔ x= a hoặc x= - a -2 ( 0,25đ) + giải (3 ) : 1-a< 0 hay a>1 thì (3) vô nghiệm ( 0,25đ) 1-a = 0 hay a = 1 thì (3) trở thành |x +1|=0 hay x=-1 ( 0,25đ) 1-a>0 hay a<1 thì (3) trở thành x + 1 = 1-a hoặc x+1 = a -1 Hay x= -a hoặc x= a-2 ( 0,25đ) Câu: 4 ( 4 đ) Gọi số học sinh lớp 9B là x ( 0,5đ) Bạn thứ nhất của lớp 9B (bạn Anh ) quen 10 + 1 bạn lớp 9A ( 0,5đ) Bạn thứ hai của lớp 9B (bạn Bắc ) quen 10 + 2 bạn lớp 9A Bạn thứ ba của lớp 9B ( bạn Châu ) quen 10 + 3 bạn lớp 9A ( 0,5đ) ……………………………………………………………… Bạn thứ x của lớp 9B (bạn Yến ) quen 10 + x bạn lớp 9A . ( 0,5đ) Đó là tất cả học sinh lớp 9A . Nên ta có phương trình : x +(10 +x) = 50 ( 1đ) Giải phương trình ta được : x= 20 ( 0,5đ) Vậy số học sinh của lớp 9B là : 20 bạn A số học sinh của lớp 9A là : 50 – 20 = 30 bạn ( 0,5đ) Cậu 5 : ( 5 đ) ad a + bdb +cd c B’ a/. Ta có : =S (Δ ABC)=S ( 0,5đ) 2 C’ dc db ad a bdb cd c ( 0,5đ) O ⇔ + + =1 2S 2 S 2S Thay 2S = aha =bhb=chc ( 0,5đ) da C B da db dc A’ + + =1 Ta có : ( 0,5đ) ha h b hc b/. Xét O trùng tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có : da = db =dc = r ( 0,5đ) r r r ( 0,5đ) + + =1 ⇒ ha hb hc 1 1 1 1 + + = Do đó : ( 0,5đ) ha hb hc r c/. Các tam giác vuông B’OA và B’OC cho ta : AB’2 = OA2 – OB’2 và CB’2 = OC2 – OB’2 2 2 2 2 ( 0,5đ) ⇒ AB’ –CB’ = OA –OC (1 ) Tương tự ta có : BC’2 –AC’2= OB2- OA2 ( 2) CA’2 – BA’2 = OC2 – OB2 ( 3) ( 0,5đ) 2 2 2 2 2 2 Cộng (1) , (2) ,(3 ) : (AB’ –CB’ ) +(BC’ –AC’ ) +(CA’ - BA’ ) = 0 ( đpcm) ( 0,5đ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span>