THI OLYMPIC HA NOI AMSTERDAM 2011

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI OLYMPIC HÀ NỘI – AMSTERDAM 2011 Môn thi: Toán lớp 7 Ngày thi: 25/3/2011 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (5 điểm) Cho f(x) = x3 – 2x2.x – 7x.x – 3x2 – 5x – 2; g(x) = x4 – 3x3 – 15x – 6 ; A(x) = – 3f(x) + g(x). Chứng minh rằng giá trị của đa thức A(x) không âm với mọi x. Bài 2: (4 điểm) a/ Tìm các cặp số x, y thỏa mãn: |x4 – 1| + |y2 – 3| = 0. b/ Cho hàm số f(x) thỏa mãn: f(f(x)) = x + 10. Biết f(2001) = 2011. Tính f(2011)? Bài 3: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD, một điểm M tùy ý trong tam giác BCD, điểm N thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C sao cho BN vuông góc và bằng BM. a/ Chứng minh CM = AN và CM ⊥ AN. b/ Lấy điểm P trong hình vuông sao cho AP//CM và AP2 + CM2 = PM2. Tính độ lớn góc PBM ? Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Gọi E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Kẻ ED ⊥ BF (D ∈ BF). Tam giác CAD là tam giác gì? Bài 5: (3 điểm) Cho A = (29)1945 và S(A) = a; S(a) = b; S(b) = c. Tìm c? (S(m) là kí hiệu tổng các chữ số của số m). --------------------------HẾT----------------------. SƯU TẦM: Page 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN Bài 1: f(x) = – x3 – 10x2 – 5x – 2 ; A(x) = x4 + 30x2 . Vì x4 và x2 nhận giá trị không âm với mọi x nên A nhận giá trị không âm với mọi x. Bài 2: 𝑥 = ±1 𝑥4 − 1 = 0 𝑥4 = 1 a/ |x4 – 1| + |y2 – 3| = 0 ↔ 2 ↔ 2 ↔ . 𝑦 −3=0 𝑦 =3 𝑦=± 3 Có 4 cặp số (x, y) ∈ {(1; 3 ); (– 1; 3 ); (1; – 3 ); (– 1; – 3 )}. b/ Ta có f(2011) = f(f(2001) = 2001 + 10 = 2011. Bài 3: a/ Xét ∆BCM và ∆BAN có: N BC = BA (Tính chất hình vuông) X 𝐶𝐵𝑀 = 𝐴𝐵𝑁 (cùng phụ với góc 𝐴𝐵𝑀 ) BM = BN (gt) A B Suy ra: ∆BCM = ∆BAN (c.g.c) → CM = AN. Ngoài ra: 𝐵𝐶𝑀 = 𝐵𝐴𝑁 P x → 𝑁𝐴𝐶 + 𝑀𝐶𝐴 = 𝐵𝐴𝐶 + 𝐵𝐴𝑁 + 𝑀𝐶𝐴 M = 𝐵𝐴𝐶 + 𝐵𝐶𝑀 + 𝑀𝐶𝐴 0 0 0 = 45 + 45 = 90 . Vậy: CM ⊥ AN. D C b/ Ta có AP2 + CM2 = AP2 + AN2 = PN2 = PM2 → PN = PM → ∆PBN = ∆PBM (c.c.c) → 𝑃𝐵𝑁 = 𝑃𝐵𝑀. 1 Vậy 𝑃𝐵𝑀 = 2 𝑀𝐵𝑁= 450. Bài 4: B Hạ AK ⊥ BF (K∈BF). Đặt AF = a, ta có AB = AC = 2a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABFcó: D E 2 BF =a 5 ; AK = 5 a. Vì ED là đường trung bình của 𝑎 2 K tam giác BAK nên ED =1/2 AK = 5 →BD =DK = 5 a = AK. A F C Từ đó suy ra tam giác KAD vuông cân tại K → 𝐴𝐷𝐵 = 1350. Xét ∆BAD và ∆ACK có: BA = AC 𝐴𝐵𝐷 = 𝐶𝐴𝐾 (cùng phụ với góc 𝐵𝐴𝐾 ) BD = AK Suy ra ∆BAD = ∆ACK → 𝐴𝐾𝐶 = 𝐵𝐷𝐴 =1350 → 𝐷𝐾𝐶 =1350. Từ đây tiếp tục suy ra ∆KAC = ∆KDC (c.g.c) → CA = CD. Vậy tam giác CAD cân tại C. Bài 5: Ta có 29 = 512 (1) suy ra A =(29)1945 < (103)1945 → Số chữ số của A ≤ 3.1945 = 5835 (chữ số) → a = S(A) ≤ 5835.9 = 52515 → b = S(a) ≤ 4 + 4.9 = 40 → c = S(b) ≤ 3 + 9 =12 (2). Mặt khác từ (1) suy ra: 29 ≡ – 1 (mod 9) → A ≡ – 1 (mod 9) → c ≡ – 1 (mod 9) (3). Từ (2) & (3) suy ra c = 8. Đáp số: c =8.. SƯU TẦM: Page 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>