GTLNGTNN ON THI DAI HOC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC. 2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 2.1.1. Định nghĩa Cho biểu thức P( x1 , x2 ,..., xn ) ( hàm số f ( x1 , x2 ,..., xn ) ), xác định trên D - Nếu P( x1 , x2 ,..., xn ) M (hoặc f ( x1 , x2 ,..., xn ) M ) ( x1 , x2 ,..., xn )  D và  ( x1 , x2 ,..., xn )  D sao cho: P( x1 , x2 ,..., xn ) M thì M gọi là giá trị lớn nhất của P( x1 , x2 ,..., xn ) (hoặc f ( x1 , x2 ,..., xn ) ). Kí hiệu là maxP hoặc Pmax ( max f ( x1 , x2 ,..., xn ) hoặc f ( x1 , x2 ,..., xn ) max ). - Nếu P( x1 , x2 ,..., xn ) m ( hoặc f ( x1 , x2 ,..., xn ) m ) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P( x1 , x2 ,..., xn ) ( hàm số f ( x1 , x2 ,..., xn ) min ).. f ( x1 , x2 ,..., xn ) ). Kí hiệu là minP hoặc P min (min. f ( x1 , x2 ,..., xn ) hoặc. 2.1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức (hàm số) bằng phương pháp vận dụng bất đẳng thức Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số) thì có thể kể đến các phương pháp sau: phương pháp khảo sát, phương pháp đánh giá thông thường và phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Trong các phương pháp nêu trên thì phương pháp sử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong những phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức và hàm số. Đối với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức vectơ… để đánh giá biểu thức P (hoặc hàm số f ( x1 , x2 ,..., xn ) ), từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần tìm. Phương pháp này, như tên gọi của nó, dựa trực tiếp vào định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức và hàm số. Lược đồ chung của phương pháp này có thể miêu tả như sau: - Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng P  ( x1 , x2 ,..., xn )  D với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc P  ( x1 , x2 ,..., xn )  D đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức hoặc hàm số xác định trên D. - Sau đó chỉ ra một phần tử ( x01 , x02 ,..., x0 n )  D sao cho P( x01 , x02 ,..., x0 n )  . Tùy theo dạng của bài toán cụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để áp dụng vào việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.. Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải:. f ( x)  x 2 . 3. 2 x3 ( x  0 ). 1 1 1 1 1 5 1  1 f ( x )  x 2  x 2  x 2  3  3 5 5  x 2  6  5 3 3 3 x x 27 ( BĐT Côsi) 3  x Ta có: 1 1  x 2  3  x5 3  x  5 3 3 x Dấu “ =” xảy ra.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> f x Vậy Min   =. 5. 5 27 tại x  5 3. 2.2. BÀI TẬP 2.2.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi Lưu ý: Để biết được bài toán nào sử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các thành phần của hàm số hoặc biểu thức. Nếu nó có dạng tích hoặc là tổng của hai phần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi thì xuất hiện biểu thức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 1: Cho ba số thực dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a b c P = 1+ 1+ 1+ b c a. ( )( )( ) Giải:. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:. a a 1+ ≥2 b b. b b 1+ ≥2 c c. √. √. √. Suy ra. =8 (1+ ab )(1+ bc )(1+ ca )≥8 √ abc abc. Hay. P≥8. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy. c c 1+ ≥2 a a. a=b=c=1. Pmin=8. 1 1 1 + + ≥2 Bài 2: Cho ba số thực a ,b ,c≥0 thỏa 1+a 1+b 1+ c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M abc. ¿ abc. Giải: Ta có:. 1 1 1 + + ≥2 1+a 1+b 1+ c ⇔. ⇒. 1 1 1 ≥2− − 1+a 1+b 1+c. 1 1 1 1 b c ≥ 1− + 1− ⇔ ≥ + 1+a 1+b 1+ c 1+a 1+b 1+c. (. )(. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:. ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b c bc + ≥2 ( 1+b )( 1+c ) 1+b 1+c. √. . 1 2 1 a. bc 1  b 1  c. (1). Tương tự, ta có:. 1 ac ≥2 ( 1+a )( 1+c ) 1+b. (2). 1 ab ≥2 (1+a ) (1+b ) 1+c. (3). √ √. Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được:  1  1  1      8  1 a   1 b   1 c . . 1 abc 8 1 a  1 b 1 c  1 a  1 b  1 c . M abc . Suy ra:. a 2b 2 c 2 2 2 2 1 a  1  b 1 c . 1 8. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. 1 1 1 1    a b c  1 a 1 b 1 c 2 Vậy. (thỏa điều kiện ban đầu). 1 1 a b c  8 tại 2. M max . Cách khác: Từ giả thiết ta có:.  1  b   1  c    1  a   1  c    1  a   1  b  2  1  a   1  b   1  c   2  a  b  c   3  ab  bc  ac 2  1  a   1  b   1  c .  1 2abc  ab  bc  ac. (1). Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 2abc  ab  bc  ac 4 4 2a 3b3c 3 4 3 3 3 Từ (1) và (2) ta được: 1 4 2a b c  1 8abc hay. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 Vậy Mmax = 8. tại. (2) M abc . 2abc ab bc ac  a b c . a b c . 1 2. 1 2. 1 8.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bài toán tổng quát: 1 n  1 i 1 1  ai n. Cho a1 , a2 ,..., an  0 thỏa mãn :. . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M a1.a2 ....an. n. Lập luận như trên ta được Mmax 2 tại. a1 a2 ... an . 1 n 1. 2 4 4 4 Bài 3: Cho hàm số f ( x)  1  x  1  x  1  x. xDR:1 xác định trên  . Tìm giá trị lớn nhất của f ( x) trên D.. Giải: Áp dụng bất thức Côsi ta có: 4. 4. 4. 1  x2 4 1  x.4 1  x . 1 x  1 x 2. (1). 1  x  4 1  x .1 . 1  x 1 2. (2). 1  x  4 1  x .1 . 1  x 1 2. (3). Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được: f ( x) 1  1  x  1  x. x  D. (4). Nhận thấy (4) xảy ra khi và chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi x 0 . Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:. 1 1 x 1  x  1  x .1  2. (5). 1 1 x  1  x  1  x .1  2. (6). Từ (5), (6) đưa đến:. 1  x  1  x 2  1  1  x  1  x 3. (7). Dấu “=” ở (7) xảy ra khi và chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi x 0 . Từ (4) và (7) suy ra f ( x) 3. x  D .. Ta lại có f (0) 3, và 0  D . Do đó: max f ( x) = 3..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau:. 1 1 f ( x)   x 1 x. 0  x 1. với. Giải: 1 1 1 x x x   1 1 x   1 f ( x)         x 1 x x 1  x  1  x 1  x   x x  Ta có:. 1 x x   2 x 1 x Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:. 1 x x 1 x x f ( x)    2 2 .  2 4 x 1 x x 1 x 1 x x 1   x x 1 x 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy min f ( x) 4 tại. x. 1 2. Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Đặt:. x b  c,. y c  a,. 1  a b  c  x  y  z 2. . a. Và. yz x , 2. b. P. a b c   b c c  a a b. z a  b.  zx y , 2. c. x y z 2. (*). Từ đó ta có: P. yz x zx y x y z 1 yz zx x y        2x 2y 2z 2 x y z. 1  y x   z x   z y             2  x y   x z   y z . . 1 3  2  2  2  3  2 2. . 3 . ( Bất đẳng thức Côsi). . 3 .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Dấu “=” xảy ra. y x x y  z x     x  y z x z z y y z . Từ (*) ta có a b c Vậy. Bài 6:. Pmin . 3 2 với mọi số thực dương a, b, c thỏa a b c .. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa:. a  b  c 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. S abc  a  b   b  c   c  a . Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có:. a  b  c 33 abc  1 33 abc.  a  b    b  c    c  a  3 3  a  b   b  c   c  a . Và.  2 3 3  a  b   b  c   c  a . Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được: 2 9 3 abc  a  b   b  c   c  a  9 3 S. 8 729. 89S 3. 1 a b c  3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy. (1). Smax . 8 729. x f ( x)   1  x  2 x 2 2 Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1  D  x  R :  1  x   2.  trên miền. Giải:. (2).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Nhận thấy D là miền xác định của f ( x) . Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 1  x  2 x  1.  1  x  2 x 2. 2. . 1  1  x  2 x2   2. x  D. 2 x 1   1  x  2x  f ( x)   2 2. Do đó:.  f ( x) 1  x 2 Từ đó suy ra:. f ( x) 1. x  D. Mặt khác để dấu “=” xảy ra thì  1 1  x  2 x 2  2  x 0  D 1  x 1  1  1  x   2 Ta lại có: f (0) 1 Vậy. max f ( x) 1 xD. 2  2 1 f ( x)  1  x   2   1 x . x Bài 8: Cho hàm số. Tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x) với x  0 Giải:  1 2    1  f ( x)  1  x   2   1   1  x    1  x   x  x  Ta có:. 2. 2. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 2.  1 f ( x )  2 x .2  16 x . Dấu “=” xảy ra  x 1 > 0. Vậy. min f ( x) 16 x 0. tại x 1. Bài 9: Cho ba số thức dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  1 1 1 a b c A  abc  1          a  b  c   a b c b c a. Giải: Ta viết biểu thức A lại dưới dạng sau: a  b  c 1 1 1  A  ab     bc     ac        a  b  c  b  c  a a b c . Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: ab . a 2a , b. Từ đó suy ra:. bc . b 2b , c. A 2a  2b  2c .  A a  b  c . ac . c 2c a. 1 1 1     a  b  c a b c. 1 1 1  1  1  1    a     b     c   a b c  a  b  c. 1 1 1  A 2 a.  2 b.  2 c. 6 a b c. (BĐT Côsi). Dấu “=” xảy ra  a b c 1 Vậy MinA = 6 tại a b c 1. Bài toán tổng quát: 1 1 1 P  a1.a2 ...an  1    ...    an   a1 a2 Cho a1 a2 an    ...    a1  a2  ...  an  a2 .a3 ...an a1.a3 ...an a1.a2 ...an 1. với ai  0. i 1, n. Thì MinP = 2n tại a1 a2 ... an 1  1  ab 2 1  bc 2 1  ca 2  P  a 3  b 3  c 3      3 3 c a b3   Bài 10: Cho biểu thức sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của P với a  0, b  0, c  0 và abc 1. Giải:  a 3 a 3 b3 b3 c3 c 3  P 3   3  3  3  3  3  3   c c a a b  b Ta có:.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  a 4b 2 ab5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4    3  3  3  3  3  3    ab 2  bc 2  ca 2  c a a b b   c. (1). Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a 3 a 3 b 3 b3 c 3 c 3 a3 a 3 b3 b3 c3 c 3 6       6 . . . . . 6 b3 c 3 c 3 a 3 a 3 b3 b3 c 3 c 3 a 3 a 3 b 3. (2). a 4b 2 ab5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4 a 4b 2 ab 5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4 6       6 . . . . . c3 c3 a3 a3 b3 b3 c 3 c 3 a 3 a 3 b3 b3 . a 4b 2 ab 5 b 4c 2 bc 5 a 5c a 2c 4  3  3  3  3  3 6abc 6 c3 c a a b b. ab 2  bc 2  ca 2 3 3 ab 2 .bc 2 .ca 2 3abc 3. (3) (4). Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: P 3  6  6  3 18. Dấu “=” xảy ra  a b c 1 Vậy Pmin = 18 tại a b c 1 x1 , x2 , x3 ,..., xn.  n 2 . thỏa mãn x1  x2  ...  xn 1 an a1 a2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S  x1 .x2 ...xn , Trong đó: a1 , a2 , a3 ,..., an là n số dương cho trước.. Bài 11: Cho n số dương. Giải: ai. bi   i 1, 2,.., n  a Đặt a a1  a2  ...  an , thì bi  0 Và b1  b2  ...  bn 1 . Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có: b1. b2. bn.  xn   x1   x2  b1 b2 bn   .   ...    x1  x2  ...  xn a1 a2 an  a1   a2   an  . 1 1  x1  x2  ..  xn   a a. 1 a1 a2 an a1 .a2 ...an aa x x x x  x  ...  xn x1 x2 x  1  2 ...  n  1 2   ...  n a1 a2 an a1  a2  ...  an a1 a2 an Dấu “=” xảy ra x a 1 x x   1  2 ...  n  xi  i  i 1, 2,..., n  a a1 a2 an a 1 Smax  a a1a1 .a2a2 ...anan a Vậy  S  x1a1 .x2a2 ...xnan .

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 2.2.2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm số hoặc biểu thức hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của các biểu thức mà chúng là tích của hai thừa số. Và sau khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski thì phải có phần đưa về biểu thức giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số.. Bài 1: Cho. 3 4 và a  b  c 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P  4a  3  4b  3  4c  3 .. a, b, c . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:.  1.. 4a  3  1. 4b  3  1. 4c  3. . 2.  1  1  1  4a  3  ab  3  ac  3  3  4  a  b  c   9 . 3  4.3  9  63.  P  4a  3  4b  3  4c  3 3 7  4a  3 4b  3 4c  3    1 1  1  a  b  c 1  a b c 1  3 a, b, c  4  Dấu “=” xảy ra Vậy MinP = 3 7 tại a b c 1 .. Bài 2: Cho các hằng số dương a, b, c và các số dương x, y, z thay đổi sao cho trị nhỏ nhất của biểu thức A  x  y  z . Giải: a b c a b c x y z x y z Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:. . a b c. . . . 2.  a b  x y  x. a b c. .  Dấu “=” xảy ra. 2. 2.  a b c c y z       x  y  z  z   x y z. x  y  z b a c x  y  z  a  b c x y z x y z. (1). a b c   1 x y z . Tìm giá.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> a b c   1 x y z Mặt khác: x a Từ (1) và (2) suy ra: y b z.  Vậy maxA =. a b c. . (2).   c.  c c. a b c a b a b. 2. 4 4 4 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x, y, z )  x  y  z , D   x, y, z  : x, y, z  0 và xy  yz  zx 1 trên miền. Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta dược:.  1.x. 2. 2.  1. y 2  1.z 2  3  x 4  y 4  z 4 . (1). Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:.  xy  yz  zx . 2.  x 2  y 2  z 2   x 2  y 2  z 2   x 2  y 2  z 2 . 2. Vì xy  yz  zx 1 nên:. x. 2. 2.  y 2  z 2  1. Từ (1) và (2) ta có:. . 4. 4. 3 x y z. (2) 4.  1. 1 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra  x2  y 2 z 2   x y z  y  z x  kết hợp với điều kiện xy  yz  zx 1 3 x  y z  3 Ta được: 1 Max f ( x, y, z )  3 Vậy ( x , y , z )D  f ( x, y , z ) . 2 2 2 Bài 4: Cho các số dương a, b, c thỏa a  b  c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 P   a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b. Giải: Ta có:.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> a4 b4 c4 P 2   a  2ab  3ac b 2  2bc  3ba c 2  2ca  3cb. (1). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai dãy số sau: a 2  2ab  3ac , b2  2bc  3ba , c 2  2ca  3cb và. a2 a 2  2ab  3ac. a. 2. ,. b2 b 2  2bc  3ba. ,. c2 c 2  2ca  3cb ta có:. 2   a4 b4 c4  b 2  c 2   2  2  2 .  a  2ab  3ac b  2bc  3ba c  2ca  3cb . .  a 2  2ab  3ac  b 2  2bc  3ba  c 2  2ca  3cb  2.   a 2  b 2  c 2  P  a 2  b 2  c 2  5  ab  bc  ca  . (2). 2 2 2 Mà a  b  c 1 , từ (2) suy ra. 1 P 1  5  ab  bc  ca . (3). Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi ta có: a 2  b 2 2ab   b 2  c 2 2bc   ab  bc  ca a 2  b 2  c 2 1 c 2  a 2 2ca . Từ (3) ta có:. 1 1 1 P   1  5  ab  bc  ca  1  5.1 6. Dấu “=” xảy ra.  a b c . 3 3. 1 Vậy MinP = 6. Bài 5: Cho hai số dương a, b thỏa 0  a  1,0  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 1 M   a b 1 a 1 b a  b Giải: Ta có:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> a2 b2 1 M 1  a  1  b  2 1 a 1 b a b a 2  1  a 2 b2  1  b2 1    2 1 a 1 b a b 1 1 1    2 1 a 1 b a  b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2. 1 1  1  1 a  1 b  a b    1 b a b  1 a  1 1   1      1  a    1  b    a  b    1  a 1  b a  b . . 1 1 1 9 9 5     M  2 1 a 1 b a  b 2 2 2. 1  1 1  a  a  b 1   a b  3  1  1 1  b a  b Dấu “=” xảy ra 5 Vậy minM = 2 Bài toán tổng quát: a2 a2 a2 1 P  1  2  ...  n  1  a1 1  a2 1  an a1  a2  ...  an với 0  ai  1 i 1, n Cho 2n  1  n Thì minP. . f ( x)  x 2007  2009  x 2. Bài 6: Cho hàm số thực f ( x) trên miền xác định của nó..  . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ. Giải: Ta có miền xác định của. . f ( x) : D   2009; 2009 . . f ( x)  x 2007  2009  x 2  f ( x)  f ( x) là hàm Mặt khác: lẻ  f ( x) 0, x  D  0; 2009  Và max f ( x) max f ( x) min f ( x)  max f ( x) xD xD Do đó: xD và xD  Với x  D , ta có: f ( x)  x. . 2007. 2007  1. 2009  x 2. . nhất của.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Theo bất đẳng thức Bunhiacopski thì: 2007. 2007  1. 2009  x 2  2008  2007  2009  x 2   2008  4016  x 2  f ( x)  x 2008  4016  x 2   2008. x 2  4016  x 2 . Suy ra: Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x 2  4016  x 2 f ( x)  2008.  2008.2008 2  2007 1  2009  x 2    2007  x  2008  x 2 4016  x 2  Dấu “=” xảy ra Vậy. max f ( x) 2008 2008 xD. min f ( x )  2008 2008 xD. tại x  2008 tại x  2008. Bài 7: Cho x, y, z  0 thỏa mãn x2 y2 z2 T   xy yz zx. xy  yz  zx 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1  x y  y z  z x  x  y  z y  z  x x  y  z.  x  y  z. 2.  x   x y . xy . y yz. z yz  zx. 2.  zx   .  x2 y2 z2       x  y  y  z  z  x  2T  x  y  z   xy yz zx 1 1  T   x  y  z  2 2 1  x  y z  3 Dấu “=” xảy ra 1 1 x  y z  3. Vậy minT = 2 tại Bài 8: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 1 P 2    2 2 a b c ab bc ca Giải:.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: 2.   1 1 1 1 100  a 2  b2  c2  3 ab  3 bc  3 ca   2 2 2 ab bc ca  a b c  1 1 1 1    2      a 2  b 2  c 2  9ab  9bc  9ca  2 2 ab bc ca   a b c 2 P   a  b  c   7  ab  bc  ca   P  1  7  ab  bc  ca     Mà ta lại có: 1 2  a  b  c  ab  bc  ca 3 Thật vậy, từ trên ta có: 2  a  b  c  3  ab  bc  ca .  a 2  b 2  c 2 ab  bc  ca (suy ra từ bất đẳng thức Cosi) Do đó: 10 2  7 100 P 1   a  b  c    P  3  3  P 30 1  a b c  3 Dấu “=” xảy ra 2.3. Sử dụng bất đẳng thức vectơ Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạng tổng bình phương của các số hạng hoặc căn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số. Bài 1: Cho hai số thực x , y thỏa mãn 2 x+3 y=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng. S=3 x 2 +2 y 2. Giải: 2. 2 2 Ta có S=3 x +2 y =( √ 3 x ) + ( √ 2 y ). 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn. ⃗u=. ( √23 , √32 ) ⇒|⃗u|=√ 43 + 92 =√ 356. ⃗v =( √ 3x , √2 y ) ⇒|⃗v|= √3 x 2 +2 y 2 35 6 ⃗u .⃗v =2 x+3 y=1≤|⃗u||. ⃗v|= . √3 x 2 +2 y 2 ⇔3 x 2 +2 y 2≥ 6 35. √. Dấu “=” xảy ra. ⇔. 2 3 = ⇔ 4 y =9 x 3x 2 y. Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được:. x=. 4 9 , y= 35 35.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 6 Vậy minS = 35. tại. x=. 4 9 , y= 35 35. 2 2 2 Bài 2: Cho x  y  z 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y  z. Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:. u⃗ = ( x , y ,z ) ⇒|⃗u|=√ x2 + y 2 +z 2 ⃗v =( z, x , y ) ⇒|⃗v|= √ x 2 + y 2 + z 2. ⃗u .⃗v ≤|⃗u|.|⃗v|⇒ xz+ xy+ yz≤x 2+ y 2 +z2. Ta có:. ⇔2 ( x 2 + y 2 + z 2 )≥2 xz+2 xy +2 yz ⇔3 ( x 2 + y 2 + z2 )≥x 2 + y 2 + z 2 +2 xz+ 2 xy +2 yz ⇔3 ( x 2 + y 2 + z2 )≥ ( x + y + z )2 =1 2 2 2 1 ⇔x +y +z ≥ 3 x y z 1 ⇔ = = ⇔ x= y=z = z x y 3 Dấu “=” xảy ra 1 1 x= y=z = 3 Vậy minP = 3 khi 2. 2. A=a √1+b +b √ 1+a. Bài 3: Cho a +b =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: 2 2. u⃗ = ( a,b ) ⇒|⃗u|=√ a +b =1 ⃗v =( √1+b, √1+a ) ⇒|⃗v|=√ a+b+2. √. 2. 2. Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1. a+1 . b≤ 2 ( a +b )= √2. |⃗v|≤√ 2+ √ 2 A=⃗u .⃗v =a √ 1+b+b √ 1+a≤|⃗u|.|⃗v|=√ x+ y+2≤√ 2+ √2. Do đó:. a b = √1+b √1+a Dấu “=” xảy ra 2 2 Kết hợp với điều kiện ban đầu a +b =1 ⇔. 2 a=b= √ 2 Suy ra:. √2 a=b= A max = √ 2+ √2 khi 2 Vậy.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> x+ y+ z=1 . 1 1 1 P= x 2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau Bài 4: Cho ba số dương x , y , z. và. √. Giải:. √. √. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:. 1 1 ⇒|⃗u|= x2 + 2 x x. ( ) √ 1 1 ⃗v =( y , ) ⇒|⃗v|= y + y y √ 1 1 w =( z , ) ⇒|⃗ ⃗ w|= z + x √ z ⃗u= x ,. 2. 2. 2. 2. 1 1 1 ⇒ u⃗ + ⃗v +⃗ w = x+ y + z , + + x y z. (. ). |⃗u|+|⃗v|+|⃗w|≥|⃗u +⃗v +⃗w|. Áp dụng bất đẳng thức. ta có:. 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 x + 2 + y + 2 + z + 2≥ ( x+ y+z) + + + x y z x y z (1) 2 1 1 1 ( x+ y+ z )2 + + + =81 ( x+ y+z )2 −80 ( x + y +z )2 + x y z Nhận thấy:. √. √. 2. √. √. (. ). (. ). 1 1 1 + + + x y z. (. ). 2. (2). Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được: 2. 1 1 1 1 1 1 81 ( x + y +z ) + + + ≥2. 9 ( x + y +z ) + + ≥ x y z x y z 3 3 1 ¿2.9 .3 √ xyz .3 =2 .81 xyz 2. (. ). (. √. Từ (2) và (3) ta có:. √. 1 1 1 2 ( x+ y +z ) + + + ≥√ 2. 81−80=√ 82 x y z 2. (. ). Và do (1) nên:. 1 1 2 2 1 + y + + z + 2 ≥√ 82 x2 y2 z 1 x= y=z = 3 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 x= y=z = 3 . Vậy Pmin = √82 khi. √. P= x 2 +. √. √. ). (3).

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bài 5: Cho a+b +c=2 và ax +by+cz=6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P=√ 16 a2 + ( ax )2 + √16 b2 + ( by )2 + √16 c 2 + ( cz )2 Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn: 2 2. u⃗ = ( 4a,ax ) ⇒|⃗u|=√ 16a + ( ax ) ⃗v =( 4b ,by ) ⇒|⃗v|= √16b 2 + ( by )2. 2. w⃗ =( 4 c,cz ) ⇒|⃗w|=√ 16c 2 + ( cz ) ⃗u +⃗v +⃗w =( 4 ( a+b+c ) ,ax+by+cz ) =( 8,6 ) ⇒|⃗u +⃗v +⃗w|=10 Ta có:. |⃗u+vw≥. ⇒ P=√16a 2 + ( ax )2 + √ 16 b2 + ( by )2 + √ 16 c 2 + ( cz )2 ≥10. Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = 10 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:. a. Có hai trong ba vectơ bằng vectơ ⃗0 b. Có một trong ba vectơ bằng vectơ ⃗0 Giả sử ⃗u= ⃗0 thì. ⃗w =k ⃗v. ( k >0 ). c. Không có vectơ nào bằng vectơ ⃗0. a ax = =k > 0 b by b by = =m > 0 c cz ⇒ ¿ a = kb ax = kby by = mcz k , m >0 a + b + c =2 ax + by + cz = 0 ⇒ ¿ x = y = z =3 a + b + c =2 a , b , c >0 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿. Bài 6: Cho các số dương x , y , z 4. 4. F=x + y + z. 4. thỏa. xy + yz+zx=4 . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức. Giải: Trong không gian Oxyz chọn: 2 2 2 4 4. u⃗ =( x , y , z ) ⇒|⃗u|= √ x + y +z 4 ⃗v =( 1,1,1 ) ⇒|⃗v|=√ 3 2. 2. 2. Ta có: ⃗u . ⃗v =x + y + z. ( ⃗u .⃗v )2≤|⃗u|2 .|⃗v|2. Mà: Mặt khác ta có:. ⇒3 ( x 4 + y 4 + z 4 )≥ ( x2 + y 2 + z 2 ). 2.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> x 2 + y 2 ≥2 xy 2 2 y +z ≥2 yz z 2 +x 2≥2 zx ⇒2 ( x 2 + y 2 + z2 )≥2 ( xy + yz + zx ) ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≥xy + yz + zx 16 3 ( x 4 + y 4 + z 4 )≥42 =16 ⇒ x 4 + y 4 + z 4 ≥ 3 Từ đó ta có: 2 x= y=z =± √13 Vậy: minF = 16 khi Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A= √ a2−4 a+8+ √ a2 +2 ab+b 2 +4 + √ b2 −6 b+10 Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: 2. ⃗u= ( a−2,2 ) ⇒|⃗u|= √a −4a+8. Ta có:. |⃗u+vw≤. v⃗ =(−a−b,2 ) ⇒|⃗v|=√ ( a+b )2+4 ⃗w =( b−3,1 ) ⇒|⃗w|= √b 2−6 b+10 ⃗u +⃗v +⃗w =(−5,5 ) ⇒|⃗u +⃗v +⃗w|=5 √ 2 ⇒ √ a 2−4 a+8+ √ a2 +2ab +b2 +4+ √ b2 −6 b+10≥5 √ 2. Dấu “=” xảy ra Vậy A min =5 √2. ⇔ a−2 =2 b −3 a−2 =1 − a−b ⇔ a =0 , b =2 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿. tại a=0 , b=2. Bài 8: Cho a∈R . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. M =√ a2 −4 a+13+ √ a 2 +2 a+5 Giải:. √. 2. √. Ta có: M= ( a−2 ) +9+ ( a+1 ) Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn: 2. ⃗u= (−a+2,3 ) ⇒|⃗u|= √( a−2 ) +9 v⃗ =( a+1,2 ) ⇒|⃗v|= √( a+1 )2+4 ⇒⃗u +⃗v =( 3,5 ) ⇒|⃗u +⃗v|=√ 34. 2. +4. =4.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 2. 2. |⃗u|+|⃗v|≥|⃗u +⃗v|⇒ √ ( a−2 ) +9+ √ ( a+1 ) +4≥√ 34. Mà:. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. a=. 1 5. 1 a= M = 34 5 min √ Vậy: khi. Bài 9: Cho ba số dương a,b,c. B= √. thỏa: ab+ bc+ ca=abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. b2 +2 a 2 √ c 2 +2 b2 √ a2 + 2c 2 + + ab bc ca. Giải: 1 2 1 2 1 2 B= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 a b b c c a Ta có: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:. √. √. √. 1 √2 1 2 , ⇒|⃗u|= 2 + 2 a b a b 1 2 1 2 ⃗v = , √ ⇒|⃗v|= 2 + 2 b c b c 1 √2 1 2 w= , ⃗ ⇒|⃗ w|= 2 + 2 c a c a ⃗u=. ( ) ( ) ( ) (. w= ⃗u + ⃗v + ⃗ Và. √ √ √. 1 1 1 1 1 1 + + ,√ 2 + + a b c a b c. (. )). 1 1 1 ab+ bc+ ca=abc ⇔ + + =1 a b c Mặt khác: Do đó: Mà:. ⃗u +⃗v +⃗w =( 1, √ 2 ) ⇒|⃗u +⃗v +⃗w|=√ 3. |⃗u+vw≥. 1 2 1 2 1 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥√ 3 2 a b b c c a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3 ⇒ B=. Vậy B min = √ 3. √. √. √. khi a=b=c=3. 2.4. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức sau: a3 b3 c3 M   1  b 1  c 1  a  1 c 1 a  1  b Với b  0, b  0, c  0 và abc 1.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 1  1  1  f ( x, y, z )  2    2    2   x  y  z  Bài 2: Tìm GTLN của hàm số D   x, y , z  : x  0, y  0, z  0 và x  y  z 1 trên miền Bai 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ab  bc  2ca với a, b, c là các số thực thỏa a 2  b 2  c 2 1 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P abc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Trong đó a, b, c là các số thực thỏa a  2b  2a c  b c  3a b c 9 Bài 5: Cho. x 2 + y 2 =1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 2 2 M=√ 5 x +2xy−√5 y. Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số x32 x12 x22 f ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )    x2  x3  x4 x3  x4  x5 x4  x5  x1 . x52 x42  x5  x3  x2 x1  x2  x3. D   x1 , x2 , x3 , x4 , x5  : x12  x22  x32  x42  x52 1 Trên miền Bài 7: Cho x, y∈R . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:. A= √9 x 2 + y 2 + √ x 2 +9 y 2 + √ 4 x 2 + y 2 + √ x 2 +4 y 2. 2 2 2 Bài 8: Cho biết x  y  z 27 . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số f ( x, y, z )  x  y  z  xy  yz  zx 100 10 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a  10a  10 2. 2. x + xy + y =3 y 2 + yz + z 2 =16 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. Bài 10: Cho x , y , z thỏa mãn hệ sau: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P=xy + yz + zx a, b, c  0  a  b  c 1 Bài 11: Cho  . 2 2 2 1  1  1  P  a     b     c   a  b  c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 12: Cho a  b  c 1 và a, b, c 0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F  a b  bc  bc Bài 13: Cho a , b∈ [ 0,1 ] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:. P=√ ( 1+x )( 1+ y ) + √ ( 1−x ) ( 1− y ).

<span class='text_page_counter'>(22)</span>