Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------------

Nguyễn Mạnh Cường

XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG
PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHƠNG THÍCH NGHI TRONG
KHƠNG GIAN BESOV

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------------

Nguyễn Mạnh Cường

XẤP XỈ VÀ KHÔI PHỤC HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG
PHÁP THÍCH NGHI VÀ KHƠNG THÍCH NGHI TRONG
KHƠNG GIAN BESOV
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 9460101.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS.TSKH. Đinh Dũng
2. TS. Mai Xuân Thảo

HÀ NỘI - 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng
dẫn của tập thể cán bộ hướng dẫn. Các số liệu và kết quả là trung thực và chưa
từng được ai công bố trong bất kì một cơng trình nào khác.

Hà Nội, ngày

tháng 9 năm 2020

Tác giả luận án

Nguyễn Mạnh Cường


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại
học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Đinh Dũng và
TS. Mai Xuân Thảo. Trước tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
GS.TSKH Đinh Dũng và TS. Mai Xuân Thảo, các thầy đã đặt bài tốn, giúp đỡ,
chỉ bảo tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận án.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn - Cơ - Tin học
và tập thể các thầy cô giáo tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
gia Hà Nội, đặc biệt tại bộ mơn Giải tích đã luôn quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện

thuận lợi và có những ý kiến đóng góp quý báu cho tác giả trong quá trình học
tập và nghiên cứu. Xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo Trường Đại học
Hồng Đức, các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ở Bộ mơn Giải tích-Khoa
Khoa học Tự nhiên đã luôn động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập,
nghiên cứu.
Xin chân thành cám ơn PGS.TS. Ninh Văn Thu, TS. Lê Huy Chuẩn, TS. Vũ
Nhật Huy, PGS.TS. Đỗ Đức Thuận ..., các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đã góp
nhiều ý kiến quý báu trong thời gian tác giả tham dự Xêmina tại bộ mơn Giải
tích, Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Xin cảm ơn tập
thể cán bộ Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán đã tạo điều kiện để tác giả làm việc
cùng GS.TSKH Đinh Dũng trong thời gian GS.TSKH Đinh Dũng làm việc tại đây.
Cuối cùng, xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh và gia đình, bạn bè đã chia sẻ,
động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.


MỤC LỤC

Lời cam đoan

1

Lời cảm ơn
Mục lục

1

Các ký hiệu

3

Mở đầu

5

Chương 1. CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU
1.1 Không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu . . . . .
1.3 Biểu diễn lượng giác qua giá trị lấy mẫu . . . . . . . . . . .
1.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

13
13
16
29
35

Chương 2. KHÔI PHỤC HÀM SỐ KHƠNG TUẦN HỒN
CĨ ĐỘ TRƠN ĐẲNG HƯỚNG
2.1 Các đại lượng xấp xỉ và khôi phục hàm số . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Khôi phục hàm số bằng phương pháp tuyến tính . . . . . . . . . . .
2.3 Khơi phục hàm số khơng tuần hồn bằng phương pháp thích nghi
2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi .
2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37
37
40
45
45
46
58

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

Chương 3. KHÔI PHỤC VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ TUẦN HỒN
CĨ ĐỘ TRƠN HỖN HỢP

59
3.1 Xấp xỉ và khôi phục hàm số bằng phương pháp phi tuyến trong
không gian B ap,θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2

A . . . . . . . . . . 69
Xấp xỉ và khôi phục hàm số trong không gian B p,θ

3.3

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Kết luận và kiến nghị

83
1


Danh mục cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

84

Tài liệu tham khảo

85

2


CÁC KÝ HIỆU

F:X→Y

ánh xạ từ X vào Y

R

tập số thực

Rd

không gian Euclide d−chiều

Id

[0, 1]d

Td := [0, 2π ]d

hình xuyến d chiều

Z

tập số nguyên
chuẩn của véc tơ x

x
x

chuẩn của véc tơ x trong không gian X

X

∅

tập rỗng

x∈A

phần tử x thuộc tập A

x∈
/A

phần tử x không thuộc tập A

A ⊂ B( B ⊃ A)

tập A là con của tập B

A∩B

giao của hai tập A và B

A∪B

hợp của hai tập A và B

A\B

hiệu của tập A và tập B

B

tích Descartes của hai tập A và B

| A|

lực lượng của tập hữu hạn A

SX

mặt cầu đơn vị trong không gian X

span( A)

không gian tuyến tính sinh bởi tập A

{ xn }

dãy số xn

supp( ϕ)

giá của hàm ϕ

α := (α1 , α2 , ..., α N )

một đa chỉ số

x α := x1 1 x2α2 ...x NN

đơn thức cấp |α| := ∑iN=1 αi

L p ( D ), 0 < p < ∞

không gian các hàm p−khả tích trên tập D

L∞ ( D )

khơng gian các hàm f với chuẩn sup| f ( x )|

C ( A)

không gian các hàm liên tục trên tập A

A := B

A được định nghĩa bằng B

∃x

tồn tại x

α

α

x∈D

3

∀x

với mọi x

| x |1 := ∑id=1 xi

chuẩn l1 của véc tơ x = ( x1 , x2 , ..., xd )

S( A, x ) := sup( a, x )

hàm giá của A

a∈ A

Ao+

tập hợp { x ∈ Rd+ : ( a, x ) ≤ 1, a ∈ A}

α := α( A)

1/α := sup{| x |1 : x ∈ Ao+ }

s := s( A)

số chiều của tập hợp { x ∈ Ao+ : | x |1 = 1/α}

( x, y)

tích vô hướng của hai véc tơ x và y

An ( f )

Bn ( f )

∃C > 0 độc lập với n thỏa mãn An ( f ) ≤ C.Bn ( f )

An ( f )

Bn ( f )

∃C > 0 độc lập với n thỏa mãn An ( f ) ≥ C.Bn ( f )

An ( f )

Bn ( f )

An ( f )

Bn ( f ) và An ( f )

tr. 5

trang 5

✷

kết thúc chứng minh

4

Bn ( f )


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán học
được ứng dụng một cách triệt để và có hiệu quả vào trong lĩnh vực xử lý tín hiệu,
xử lý ảnh và thị giác máy tính. Bài tốn khơi phục tín hiệu (hàm số) là một bài
tốn hết sức quan trọng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thực
tế khơng có một loại máy nào có thể cho ta thơng tin chính xác của tín hiệu.
Bài tốn khơi phục tín hiệu từ giá trị lấy mẫu có nguồn gốc từ Định lý ShannonKotelnikov nổi tiếng, về khơi phục tín hiệu có giải tần hữu hạn từ giá trị lấy mẫu.
Một trong những vấn đề nền tảng được đặt ra là tìm phương pháp tối ưu để khơi
phục tín hiệu hoặc nén tín hiệu từ một số hữu hạn giá trị lấy mẫu. Lý thuyết sóng
nhỏ được hình thành và phát triển trong những năm 90 của thế kỷ trước, là một
trong những công cụ biểu diễn hiệu quả nhất trong xử lý tín hiệu, đặc biệt là
trong bài tốn khơi phục hoặc nén tín hiệu từ giá trị lấy mẫu. Trong các bài toán
xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính, tín hiệu được mơ hình hóa như một
hàm số một biến hoặc nhiều biến.
Trước tiên chúng ta xét một số bài tốn truyền thống về khơi phục hàm số từ
giá trị lấy mẫu: Vấn đề đặt ra là chúng ta cần khơi phục gần đúng tín hiệu nhiều
chiều f từ n giá trị lấy mẫu. Trên cơ sở thông tin này chúng ta xây dựng một
phương pháp để khôi phục. Trong các cách tiếp cận truyền thống thông tin về
giá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số, nghĩa
là các điểm lấy mẫu và phương pháp khơi phục tín hiệu được chọn giống nhau
cho mọi tín hiệu. Các phương pháp khơi phục khơng thích nghi với hàm số từ
giá trị lấy mẫu tối ưu được nghiên cứu trong các cơng trình [9–11,27,28,32,36] do
các tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội, Đại học Tổng hợp South Carolina-Hoa
Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena-CHLB Đức,. . . Các tác giả của các cơng trình này đã

tính được tốc độ hội tụ của các đại lượng đặc trưng cho các phương pháp khơi
phục khơng thích nghi với hàm từ giá trị lấy mẫu tối ưu. Tuy nhiên, trong nhiều
5


trường hợp các phương pháp khơi phục khơng thích nghi khơng mềm dẻo linh
hoạt vì dáng điệu của các tín hiệu rất khác nhau.
Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu các phương pháp khơi phục tuyến tính khơng
thích nghi từ giá trị lấy mẫu và một cách tiếp cận mới cho bài tốn khơi phục tín
hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu
và phương pháp khơi phục phải thích nghi với tín hiệu. Cách tiếp cận này do
Giáo sư Đinh Dũng đề xuất và nghiên cứu [15, 16] có ý nghĩa quan trọng trong
nén và lưu trữ tín hiệu. Cụ thể là các điểm lấy giá trị thử và phương pháp khơi
phục tín hiệu được chọn sao cho chúng thích nghi với từng tín hiệu. Đề tài sẽ
tập trung nghiên cứu các phương pháp khơi phục thích nghi với tín hiệu từ giá
trị lấy mẫu tối ưu bằng các tín hiệu đơn giản từ các tập hợp có dung lượng hữu
hạn được đo bằng số các phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension) của chúng,
hoặc bằng các tín hiệu đơn giản là tổ hợp tuyến tính của n số hạng từ một từ
điển. Giả chiều (pseudo-dimension) [15, 29] đóng một vai trò quan trọng trong
Lý thuyết nhận dạng, đánh giá hồi quy và Lý thuyết học máy [15, 30]. Luận án
nghiên cứu các đại lượng đặc trưng cho phương pháp khôi phục tối ưu có liên
quan đến -entropy [24], độ dày phi tuyến [36] và xấp xỉ bằng n số hạng [6].
Ngoài ra đề tài luận án cũng nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ và khơi phục
khơng thích nghi tốt nhất, đó là phương pháp tuyến tính. Để xây dựng phương
pháp khơi phục thích nghi và khơng thích nghi với tín hiệu từ giá trị lấy mẫu tối
ưu, chúng tơi xây dựng các biểu diễn B-spline giả nội suy và biểu diễn lượng giác
của hàm số qua giá trị lấy mẫu. Một biểu diễn hàm số như vậy sẽ được xây dựng
dựa trên cơ sở toán tử giả nội suy [2, 4, 7] bằng B-spline và nhân lượng giác de la
Vallée Poussin. Các phương pháp khơi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấy
mẫu tối ưu sẽ cho bậc tiệm cận của sai số xấp xỉ tốt hơn các phương pháp khơi

phục khơng thích nghi đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, độ phức tạp tính tốn của
phương pháp thích nghi đơi khi lớn hơn các phương pháp khơng thích nghi, đặc
biệt là các phương pháp tuyến tính.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận án là nghiên cứu một số vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm
số trong khơng gian Besov bằng phương pháp khơi phục thích nghi và khơng
thích nghi với hàm số, các phương pháp tuyến tính và phi tuyến.
6


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu. Đề tài Luận án tập trung nghiên cứu khôi phục
và xấp xỉ hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu bằng các phương pháp thích nghi và
khơng thích nghi, cụ thể:
- Nghiên cứu các đại lượng đặc trưng cho các phương pháp khơi phục thích
nghi và khơng thích nghi tốt nhất với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu.
- Nghiên cứu các thuật toán (phương pháp) khơi phục thích nghi và khơng
thích nghi với hàm số thuộc không gian Besov từ giá trị lấy mẫu tối ưu, nghiên
cứu tốc độ hội tụ của thuật toán và tính ưu việt của chúng so với các phương
pháp khôi phục không thich nghi truyền thống.
- Nghiên cứu các biểu diễn lượng giác và B-spline giả nội suy và biểu diễn
lượng giác của hàm số một biến và nhiều biến thuộc không gian Besov và ứng
dụng trong việc xây dựng các thuật tốn (phương pháp) khơi phục thích nghi và
khơng thích nghi với hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu.
- Nghiên cứu biểu diễn thuật toán tham lam của hàm số một biến và nhiều
biến và các bài tốn xấp xỉ phi tuyến và tuyến tính có liên quan.
3.2. Phạm vi nghiên cứu. Luận án tập trung nghiên cứu các vấn đề sau:
Khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc các không gian Besov bằng phương pháp
khôi phục thích nghi, phương pháp phi tuyến, phương pháp tuyến tính.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các vấn đề nghiên cứu của Luận án về khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu
bằng phương pháp khơng thích nghi và thích nghi là các hướng nghiên cứu mới,
sử dụng phương pháp mới trong lý thuyết xấp xỉ và ứng dụng. Kết quả của Luận
án là một đóng góp mới cho hướng nghiên cứu này. Vì thế đề tài Luận án có ý
nghĩa khoa học, được nhiều nhà tốn học trong nước và trên thế giới quan tâm.
Đề tài Luận án có ý nghĩa thực tiễn trong ứng dụng các vấn đề xử lý tín hiệu, xử
lý ảnh, thị giác máy tính.
5. Tổng quan
Như phần đặt vấn đề đã nêu, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán học
được ứng dụng rất nhiều trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy
tính. Bài tốn khơi phục tín hiệu và loại nhiễu là một bài toán hết sức quan trọng
7


trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thực tế khơng có một loại máy
nào có thể cho ta thơng tin chính xác của tín hiệu, cũng như nhiễu ln xuất hiện
trong q trình truyền tải, số hóa, nhiễu xuất hiện do điều kiện tự nhiên. Sự phụ
thuộc của chất lượng tín hiệu và ảnh vào cơng nghệ xử lý thơng tin địi hỏi phải
phát triển rất mạnh và có hiệu quả các thuật tốn xử lý tín hiệu, xử lý ảnh và
ứng dụng của chúng. Biểu diễn một cách hiệu quả tín hiệu là vấn đề trọng tâm
của nhiều bài tốn xử lý tín hiệu, xử lý ảnh như khôi phục, nén, khử nhiễu. Việc
tìm kiếm các cơng cụ tốn học cho các vấn đề xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, thị giác
máy tính đóng vai trị nền tảng. Vấn đề này được nhiều nhà toán học trên thế
giới nghiên cứu, dựa trên các tính chất của tín hiệu thì tín hiệu được mơ hình hóa
như một hàm số thuộc các khơng gian hm Sobolev, Besov, Holder-Nikolskii...,
ă
khi ú vic khụi phc tớn hiu được đưa về khôi phục và xấp xỉ hàm số trong các
không gian hàm. Một trong những không gian thuận tiện cho việc khôi phục và
xấp xỉ hàm số là không gian Besov. Độ trơn Besov của hàm số là một trong những
độ trơn quan trọng phổ biến và được sử dụng rất nhiều trong các bài tốn khơi

phục và xấp xỉ, khi hàm số có độ trơn càng cao thì tốc độ xấp xỉ cũng càng cao.
Khơi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu tối ưu là một trong những bài toán cơ bản
của lý thuyết xấp xỉ, được nhiều nhà tốn học quan tâm vì ý nghĩa lý thuyết cũng
như ứng dụng của nó. Bài tốn tổng quát được phát biểu như sau: Giả sử f là
một hàm xác định trên miền D trong không gian Rd và chúng ta biết được giá trị
của hàm số này tại n điểm thuộc D. Các vấn đề được đặt ra là xây dựng phương
pháp khôi phục f dựa trên thông tin n giá trị này của hàm số, đánh giá tốc độ
hội tụ của phương pháp theo n, nghiên cứu tính tối ưu của phương pháp. Đề
tài Luận án nghiên cứu các vấn đề này của bài tốn khơi phục hàm số, cụ thể là
nghiên cứu các phương pháp khơng thích nghi (tuyến tính) và các phương pháp
thích nghi để khơi phục hàm số thuộc khơng gian Besov có độ trơn đẳng hướng
và hỗn hợp, đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp và nghiên cứu tính tối ưu
của phương pháp theo các đại lượng đặc trưng. Khôi phục hàm số từ giá trị lấy
mẫu bằng phương pháp tuyến tính là cách tiếp cận truyền thống được nhiều nhà
tốn học nghiên cứu, tuy nhiên cho đến nay nó vẫn khơng mất tính thời sự vì có
nhiều ứng dụng. Trong một số trường hợp, phương pháp này không mềm dẻo
do các điểm lấy mẫu và phương pháp khôi phục được chọn giống nhau cho mọi

8


hàm số, dẫn đến sai số xấp xỉ của phương pháp khơng tốt. Khi đó các phương
pháp thích nghi phi tuyến được xây dựng cho từng hàm số có ưu thế hơn, đặc
biệt trong các bài toán nén và lưu trữ tín hiệu. Chính vì thế mà nội dung nghiên
cứu cũng như các kết quả dự kiến của Luận án có khả năng ứng dụng trong các
lĩnh vực thực tế nêu trên.
Những điều nêu trên dẫn đến bài tốn khơi phục và xấp xỉ hàm số thuộc
các không gian khác nhau, in hỡnh l cỏc khụng gian Sobolev, Besov, Holderă
Nikolskii...Cn chú ý rằng bài tốn khơi phục và xấp xỉ là bài toán gồm các bước
liên tiếp nhau, trước hết là khôi phục một hàm số dựa trên các giá trị lấy mẫu, sau

đó là xấp xỉ hàm số đó từ phương pháp khơi phục. Các nhà tốn học Vladimir
N. Temlyakov, Tino Ullrich nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số thuộc không
gian Sobolev Wpr bằng phương pháp khôi phục khơng thích nghi, đánh giá tiệm
cận sai số của phương pháp trong các trường hợp đặc biệt (xem [20, Chương 5]).
Trong [33,35], nhà toán học Vladimir N. Temlyakov nghiên cứu khôi phục hàm số
trong không gian Sobolev cho lớp hàm số tuần hồn. Ngồi ra trong [21, 22], nhà
tốn học E. M. Galeev đã nghiên cứu khôi phục hàm số cho lớp hàm thuộc không
gian Holder-Nikol’skii
H pr . GS. inh Dng nghiờn cu bi toỏn khụi phc v xp
ă
x hàm số tuần hồn với độ trơn khơng đẳng hướng thuộc khơng gian Sobolev
Wpr bằng phương pháp tuyến tính trên lưới Smolyak (xem [19]). Cụ thể, Giáo sư
đã xây dựng phương pháp tuyến tính và ước lượng được sai số của phương pháp
qua đại lượng đặc trưng cho lớp hàm số nêu trên. So với các khơng gian khác thì
khơng gian Besov thuận tiện cho biểu diễn qua giá trị thử và thích hợp cho xấp
xỉ và khơi phục thích nghi. Vì vậy trong Luận án này chúng ta nghiên cứu khôi
phục và xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov. Khi đó dựa trên thơng tin về giá
trị lấy mẫu, một tín hiệu được mơ hình hóa như một hàm số thỏa mãn một số
tính chất thuộc khơng gian Besov.
Luận án nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng các phương pháp
khơng thích nghi và thích nghi, nhìn chung phương pháp thích nghi cho ta sai số
xấp xỉ là tốt hơn phương pháp khơng thích nghi nhưng độ phức tạp trong tính
tốn thì lớn hơn. Chẳng hạn, từ các Định lý 2.1, 2.5 và 2.6 của Chương 2 chúng
ta nhận thấy khi p < q thì phương pháp thích nghi cho sai số tốt hơn phương
pháp khơng thích nghi (phương pháp tuyến tính). Ngược lại với p ≥ q thì sai số
9


của phương pháp thích nghi và phương pháp khơng thích nghi là như nhau và
do đó trong trường hợp này phương pháp khơng thích nghi lại có ưu điểm hơn

phương pháp thích nghi vì độ phức tạp trong tính tốn đơn giản hơn.
Đầu tiên, Luận án nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ lớp hàm số khơng tuần
hồn thuộc khơng gian Besov có độ trơn đẳng hướng bằng phương pháp thích
nghi và khơng thích nghi (phương pháp tuyến tính). Khơi phục và xấp xỉ hàm số
bằng phương pháp tuyến tính đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và đã có
nhiều cơng trình được cơng bố. Trong [14] các tác giả đã nghiên cứu khôi phục
và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyến tính cho lớp hàm số tuần hồn thuộc
khơng gian Besov Bω
p,θ với modul trơn đẳng hướng, các tác giả đã xây dựng được
phương pháp tuyến tính và đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp đó.
Trong [17, 18] GS.TSKH Đinh Dũng đã nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số
cho lớp hàm số khơng tuần hồn bằng phương pháp tuyến tính trong các không
α,β

gian Besov Bαp,θ và B p,θ với modul trơn không đẳng hướng, Giáo sư đã xây dựng
các phương pháp tuyến tính và đánh giá tiệm cận tốc độ hội tụ của phương pháp.
Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số
không tuần hồn bằng phương pháp tuyến tính trong khơng gian Besov BΩ
p,θ với
modul trơn đẳng hướng, chúng tôi xây dựng được phương pháp tuyến tính qua
các B-spline và đánh giá tiệm cận được tốc độ hội tụ của phương pháp. Chúng ta
nhận thấy rằng kết quả này là mở rộng các kết quả trong [17, 18], đây là kết quả
mới của luận án đã được đăng trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica (xem
[CT2]).
Trong [15, 16], GS.TSKH Đinh Dũng đã xây dựng và đánh giá sự hội tụ của
phương pháp khôi phục thích nghi với giá trị lấy mẫu tối ưu cho hàm số thuộc
không gian Besov Bαp,θ bằng lực lượng hoặc giả chiều của một tập hợp hữu hạn.
Một trong những kết quả của luận án là tổng quát và mở rộng kết quả này cho lớp
hàm số một biến thuộc không gian Besov-type BΩ
p,θ với modul trơn đẳng hướng.

Ở đây, chúng tôi xây dựng các phương pháp khôi phục thích nghi dựa trên thuật
tốn lấy trội n phần tử lớn nhất gọi là thuật toán tham lam. Vấn đề đặt ra tiếp
theo đối với hàm số nhiều biến, để giải quyết vấn đề này chúng tôi mở rộng và
chứng minh định lý biểu diễn trong [18] cho lớp hàm nhiều biến khơng tuần
hồn có độ trơn đẳng hướng xác định trên Id := [0, 1]d thuộc không gian Besov

10


BΩ
p,θ , 0 < p, θ ≤ ∞, qua đó chúng tôi tổng quát và mở rộng kết quả trên cho
trường hợp nhiều biến. Mặt khác, nhờ định lý biểu diễn B-spline giả nội suy
chúng tôi xây dựng và đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp tuyến tính để khôi
phục xấp xỉ hàm số thuộc không gian Besov BΩ
p,θ với modul trơn đẳng hướng, đây
cũng là một trong những kết quả chính của luận án.
Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu về khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hồn
có độ trơn hỗn hợp bằng phương pháp phi tuyến. Phương pháp phi tuyến có thể
khơng thích nghi, nhưng trong luận án này chúng ta chỉ nghiên cứu phương pháp
phi tuyến thích nghi. Khơi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp phi tuyến
được nhiều nhà toán học nghiên cứu, chúng ta sẽ nghiên cứu sai số của phương
pháp phi tuyến qua các đại lượng đặc trưng entropy

n

và độ dày phi tuyến ρn .

Nhà toán học V. N. Temlyakov đã có những cơng trình nghiên cứu về đại lượng
entropy

n (xem [34,37]). Trong [15], GS.TSKH Đinh Dũng đã nghiên cứu phương

pháp phi tuyến cho bài tốn khơi phục và xấp xỉ hàm số khơng tuần hồn bằng
B-spline trong khơng gian Besov Bαp,θ với modul trơn đẳng hướng. Trong [13],
Giáo sư nghiên cứu cho lớp hàm số tuần hoàn trong không gian Besov Brp,θ với
modul trơn hỗn hợp không đẳng hướng. Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên
cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn bằng phương pháp phi tuyến cho lớp
A với modul trơn
hàm số xác định trên Td := [0, 2π ]d thuộc không gian Besov B p,θ

hỗn hợp, trong đó A là tập con hữu hạn của Rd+ . Chúng tôi đạt được các kết quả
mới cho trường hợp A = { a} và A là tập con hữu hạn bất kỳ của Rd+ , cụ thể đó là
xây dựng được phương pháp phi tuyến để khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hoàn
A , 0 < p, θ ≤ ∞ bởi lực lượng hoặc giả chiều của một
trong không gian Besov B p,θ

tập hợp hữu hạn, đánh giá được sai số, tốc độ hội tụ thơng qua các đại lượng đặc
trưng.
Ngồi phần Mở đầu, luận án gồm 3 chương, Kết luận và kiến nghị, Danh mục
cơng trình của tác giả liên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến luận
án. Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suy
qua giá trị lấy mẫu và Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác.
Chương 2: Nghiên cứu khôi phục và xấp xỉ hàm số khơng tuần hồn có độ
trơn đẳng hướng.
11


Chương 3: Nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số tuần hồn có độ
trơn hỗn hợp.

Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại:
- Xêmina tại Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.
- Xêmina tại phòng thư viện, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán.
- Xêmina tại Bộ mơn Tốn giải tích, Khoa KHTN, Trường ĐH Hồng Đức.
Các kết quả chính của luận án đã được đăng trong 04 bài báo trên các tạp chí
Acta Mathematica Vietnamica , Journal of Computer Science and Cybernetics, Southeast
Asian Bulletin of Mathematics.

12


Chương 1
CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN QUA GIÁ TRỊ LẤY MẪU

Chương này trình bày những kết quả mới của luận án, đó là các định lý biểu
diễn qua giá trị lấy mẫu một hàm số thuộc không gian Besov thành chuỗi bởi các
B-spline và đa thức lượng giác và chứng minh các tương đương chuẩn. Đây là cơ
sở để chúng ta xây dựng được phương pháp khôi phục và xấp xỉ hàm số, đánh
giá tiệm cận sai số của phương pháp đó qua các đại lượng đặc trưng ở các chương
tiếp theo. Trong Mục 1.1, chúng tơi trình bày các khái niệm về không gian Besov
của lớp các hàm số có độ trơn đẳng hướng và độ trơn hỗn hợp. Trong Mục 1.2,
chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn giả nội suy bởi các B-spline
cho lớp các hàm số khơng tuần hồn có độ trơn đẳng hướng, đây là một phần
của bài báo [CT2] được công bố trên tạp chí Acta Math. Vietnamica. Trong Mục 1.3
chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý biểu diễn tương đương chuẩn bởi các
đa thức lượng giác cho lớp các hàm số tuần hồn có độ trơn hỗn hợp, trình bày
trên cơ sở bài báo [CT4] được chấp nhận đăng trên tạp chí Southeast Asian Bulletin
of Mathematics.

1.1

Khơng gian Besov

Cho 0 < p ≤ ∞ và D là một miền nào đó trong Rd . Để đơn giản ta ký hiệu
chuẩn trong L p ( D ) là .

p,D .

Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ L p (Id ) và l ∈ N. Toán tử sai phân cấp l được định
nghĩa bởi
∆lh f ( x )

l

:=

∑ (−1)l− j

j =0

13

l
f ( x + jh).
j


Định nghĩa 1.2. Nếu f ∈ L p (Id ) thì
ωl ( f , t) p := sup ∆lh f

|h|
p,Id (lh)

được gọi là modul trơn cấp l của f , ở đây Id (lh) :=

x : x, x + lh ∈ Id .

Các Định nghĩa 1.1, 1.2 có thể xem trong [5].
Cho hàm số Ω : R+ → R+ thỏa mãn các điều kiện
(i) Ω(t) > 0, ∀t > 0,
(ii) Ω(t) ≤ c.Ω(t ), ∀t, t ∈ R+ , t ≤ t ,
(iii) ∀γ ≥ 1, ∃C = C (γ) sao cho Ω(γt) ≤ C .Ω(t), t ∈ R+ .
Chú ý rằng điều kiện (iii) chỉ cần thỏa mãn với một số γ > 1 cố định (chẳng hạn
γ = 2).
Định nghĩa 1.3. Cho 0 < p, θ ≤ ∞. Không gian Besov BΩ
p,θ được định nghĩa là
tập hợp các hàm f ∈ L p (Id ) sao cho chuẩn Besov sau là hữu hạn
f

BΩ
p,θ

:= f

p

+ | f | BΩ ,
p,θ

ở đây | f | BΩ là nửa chuẩn Besov, xác định bởi
p,θ

| f | BΩ : =
p,θ








1
θ

I

ωl ( f , t ) p Ω ( t )





sup ωl ( f , t) p Ω(t)
t ∈I

θ dt
t

θ<∞
θ = ∞.

Trong Định nghĩa 1.2 thì modul trơn cấp l là hàm một biến với t nên gọi là
modul trơn đẳng hướng, vì vậy không gian Besov BΩ
p,θ gọi là không gian các hàm
Ω là hình cầu đơn vị của khơng gian BΩ .
số có độ trơn đẳng hướng. Kí hiệu U p,θ
p,θ

Định nghĩa 1.4. Hàm số tuần hồn trên Rd có chu kỳ 2π theo từng biến được
định nghĩa như hàm số trên hình xuyến d chiều Td := [0, 2π ]d với các điểm mút
đồng nhất.

14


Định nghĩa 1.5. Cho f là một hàm số tuần hồn thuộc khơng gian Lq (Td ), e là
tập con bất kỳ của [d] := {1, 2, . . . , d}, toán tử sai phân bậc (l, e) của hàm số nhiều
biến xác định trên Td kí hiệu là ∆l,e
h và được xác định bởi
∆l,e
h :=

∏ ∆lhi ,
i ∈e

∆l,Ø
h = I,

ở đây toán tử ∆lh là toán tử sai phân tương ứng với hàm số khi xem f là hàm số
i

một biến của biến xi với các biến còn lại cố định. Đặt
ωle ( f , t) p :=

sup
|hi |
∆l,e
h f

p

, t ∈ Td ,

là modun trơn hỗn hợp bậc (l, e) của f . Đặc biệt, ωlØ ( f , t) p = f

p.

Cho 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < θ ≤ ∞, a = ( a1 , a2 , . . . , ad ) ∈ Rd+ . Chúng ta xây dựng
nửa chuẩn | f | Ba,e của hàm số f ∈ L p (Td ) như sau:
p,θ

| f | Ba,e :=
p,θ









∏

Td





 sup

t ∈Td

i ∈e

−a
ti i ωle ( f , t) p
− ai

∏ ti

i ∈e

Trường hợp đặc biệt, | f | Ba,Ø =

f

p,θ

θ

1/θ

∏ ti−1 dt

i ∈e

θ < ∞,
θ = ∞.

ωle ( f , t) p ,
p,

,

l là một số tự nhiên thỏa mãn l > max ai .
1≤ i ≤ d

Định nghĩa nửa chuẩn này khơng phụ thuộc vào l, hay nói cách khác các giá trị
khác nhau của l xác định các nửa chuẩn tương đương. Không gian B ap,θ là tập hợp
tất cả các hàm số f ∈ L p (Td ) sao cho chuẩn Besov sau đây là hữu hạn
f

B ap,θ

:=

∑

| f | Ba,e .
p,θ

e⊂[d]

Trong suốt luận án này ta luôn giả thiết A là một tập con hữu hạn của Rd+ . Kí
A là khơng gian Besov của tất cả các hàm trên Td , với chuẩn Besov sau
hiệu B p,θ

đây hữu hạn
f

A
B p,θ

:=

∑

a∈ A

f

B ap,θ .

Trong Định ngĩa này vì modul trơn hỗn hợp bậc (l, e) là hàm nhiều biến theo
A gọi là khơng gian các hàm có độ trơn hỗn
t1 , t2 , ..., td nên không gian Besov B p,θ

A là hình cầu đơn vị của B A .
hợp (khơng đẳng hướng). Kí hiệu U p,θ
p,θ

Định nghĩa trên có thể xem trong [18].
15


Ví dụ 1.1. Chúng ta có thể lấy các ví dụ về hàm số thuộc không gian Besov như sau:
f ( x ) = 0, ∀ x ∈ I; g( x ) = x, ∀ x ∈ I; h( x ) = sin x, ∀ x ∈ T.

1.2

Biểu diễn B-spline giả nội suy qua giá trị lấy mẫu

Định nghĩa 1.6. Ký hiệu Nr là B-spline chuẩn tắc bậc r với các nút tại các điểm
0, 1, . . . , r được xác định như sau: N1 là hàm đặc trưng trên nửa khoảng [0, 1); với
r ≥ 2, Nr được định nghĩa bởi tích chập
∞

Nr−1 ( x − y) N1 (y)dy.

Nr ( x ) :=
−∞

Mr ( x ) := Nr ( x + r/2) được gọi là B-spline trung tâm bậc r.
Định nghĩa 1.6 có thể xem trong các tài liệu [3, 5].
Cho một số nguyên dương r, gọi M là một B - spline trung tâm bậc 2r với giá

[−r, r ] và các nốt là các điểm nguyên −r, . . . , 0, . . . , r. Định nghĩa d-biến B-spline

như sau

d

M( x ) :=

∏ M ( x i ),

x = ( x1 , x2 , . . . , x d ),

(1.1)

i =0

và định nghĩa B - spline sóng nhỏ
Mk,s ( x ) := M (2k x − s),
cho một số không âm k và s ∈ Zd . Ký hiệu M là tập hợp tất cả Mk,s không triệt
tiêu trên Id . Cho λ = {λ( j)} j∈ Pd (µ) là dãy chẵn hữu hạn, tức là λ( j) = λ(− j), ở
đây Pd (µ) :=

j = ( j1 , . . . , jd ) ∈ Zd : | ji | ≤ µ, i = 1, . . . , d và µ ≥ r − 1. Tốn tử

tuyến tính Q tác động lên hàm f xác định trên Rd được định nghĩa bởi
Q( f , x ) :=

∑

Λ ( f , s ) M ( x − s ),

(1.2)

s ∈Zd

ở đây
Λ( f , s) :=

∑

λ ( j ) f ( s − j ).

j∈ Pd (µ)

Khi đó, từ định nghĩa của B-spline suy ra toán tử Q bị chặn trên C (Rd ) và
Q( f )

C (Rd )

≤ Λ
16

f

C (Rd ) ,

(1.3)


trong đó Λ =

∑

|λ( j)|.

j∈ Pd (µ)

Ký hiệu P2r−1 là tập hợp các đa thức đại số có bậc khơng vượt quá 2r − 1. Toán
tử Q được xác định từ (1.2 − 1.3) được gọi là toán tử giả nội suy trong C (Rd ) nếu
toán tử này tái tạo lại P2r−1 , tức là
Q( p) = p, p ∈ P2r−1 .
Ví dụ 1.2. Chúng ta có thể lấy một số ví dụ về tốn tử giả nội suy như sau:
(i) Nếu M là B-spline có giá [−1, 1] thì
Q( f , x ) :=

∑

f ( s ) M ( x − s ).

s ∈Zd

(ii) Nếu M là B-spline có giá [−2, 2] thì
Q( f , x ) :=

∑

s ∈Zd

1
{− f (s − 1) + 8 f (s) − f (s + 1)} M( x − s).
6

Giả sử Q là một toán tử giả nội suy từ (1.2 − 1.3), cho h > 0 và một hàm f xác
định trên Rd , chúng ta xác định toán tử Q(.; h) bởi
Q( f ; h) := σh ◦ Q ◦ σ1/h ( f ),
ở đây σh ( f , x ) = f ( x/h). Từ định nghĩa của Q( f ; h), ta có
Q( f , x; h) =

∑

Λ( f , k; h) M(h−1 x − k ),

k ∈Zd

với Λ( f , k; h) =

∑

λ( j) f h(k − j) .

j∈ Pd (µ)

Tốn tử Q(.; h) có các tính chất tương tự như toán tử Q, cũng được gọi là một
toán tử giả nội suy trên C (Rd ). Nhưng Q(.; h) không được định nghĩa cho f trên
Id , và do đó khơng khơi phục được hàm số f với các điểm lấy mẫu trong Id .
Một cách tiếp cận được GS.TSKH Đinh Dũng đề xuất trong [15, 16] để xây dựng
toán tử giả nội suy cho một hàm số trên Id là mở rộng nó bằng các đa thức nội
suy Lagrange.
Cho một số nguyên không âm k, đặt x j = j2−k , j ∈ Z. Với f là một hàm số
trên I, ký hiệu Uk ( f ) và Vk ( f ) lần lượt là các đa thức nội suy Lagrange tại 2r điểm
bên trái x0 , x1 , . . . , x2r−1 và 2r điểm bên phải x2k −2r+1 , x2k −2r+3 , . . . , x2k trên đoạn
17

I được xác định bởi:
2r −1

Uk ( f , x ) := f ( x0 ) +

∑

2sk ∆2s −k f ( x0 ) s−1

∏ ( x − x j ),

s!

s =1
2r −1

Vk ( f , x ) := f ( x2k −2r+1 ) +

∑

j =0

2sk ∆2s −k f ( x2k −2r+1 ) s−1
s!

s =1

∏ (x − x2k −2r+1+ j ).

j =0

Ký hiệu f k là hàm số mở rộng của f trên R và được xác định bởi:



Uk ( f , x ), x < 0,



f k ( x ) = f ( x ),
0 ≤ x ≤ 1,




V ( f , x ), x > 1.
k
Nếu f liên tục trên I thì f k liên tục trên R. Giả sử Q là một toán tử giả nội suy

(1.2 − 1.3) trên C (R). Xây dựng toán tử Qk xác định bởi
Qk ( f , x ) := Q f k , x; 2−k , x ∈ I,
với hàm f xác định trên I. Khi đó,
Qk ( f , x ) =

∑

ak,s ( f ) Mk,s ( x ), ∀ x ∈ I,

s∈ J (k)

trong đó
J (k ) := s ∈ Z, −r < s < 2k + r
và
ak,s ( f ) := Λ f k , s; 2−k =

∑

λ ( j ) f k 2− k ( s − j ) .

| j|≤µ

Chúng ta nhận thấy Qk cũng là toán tử giả nội suy trên C (I).
Cho f là hàm số trên Id . Giả sử Q là một tốn tử giả nội suy có dạng (1.2)-(1.3)
xác định trên C (Rd ). Xây dựng toán tử nhiều biến Qk được xác định bởi
Qk ( f , x ) =

∑

ak,s ( f ) Mk,s ( x ), ∀ x ∈ Id ,

s∈ J (k)

ở đây
J (k ) := s ∈ Zd , −r < si < 2k+k0 + r, i = 1, 2, . . . , d

18


là tập hợp các giá trị của s sao cho Mk,s không đồng nhất bằng 0 trên Id . Chú ý

rằng
ak,s ( f ) = ak,s1 (( ak,s2 (. . . ak,sd ( f ))),

(1.4)

ở đây các hàm hệ số ak,si được áp dụng tương tự cho hàm số một biến khi xem f
là hàm số một biến xi với các biến cịn lại cố định.
Tương tự như tốn tử Q và Q(.; h), thì tốn tử Qk là tuyến tính bị chặn trên
C (Id ) và tái tạo P2r−1 . Đặc biệt, ta có:
Qk ( f )

≤C Λ

C (Rd )

f

C (Rd ) ,

(1.5)

với mỗi f ∈ C (Id ), với hằng số C không phụ thuộc k và
Qk ( ϕ∗) = ϕ,

∀ ϕ ∈ P2r−1 ,

ở đây ϕ∗ là hạn chế của ϕ trên Id . Toán tử nhiều biến Qk được gọi là toán tử giả
nội suy trên C (Id ).
Cho k ∈ Z+ , đặt qk := Qk − Qk−1 với quy ước Q−1 ( f ) = 0, ta có

∑

Qk =

qk .

k ≤k

Bổ đề 1.1. Giả sử f ∈ C (Id ). Khi đó, ta có
f − Qk ( f )

∞

≤ Cω2r ( f , 2−k )∞ .

(1.6)

→ 0, k → ∞.

(1.7)

Do đó,
f − Qk ( f )

∞

Chứng minh. Bất đẳng thức (1.6) được suy ra từ (2.29)-(2.31) trong [16] và bất
đẳng thức (1.5).
Cho bất kỳ f ∈ C (Id ), từ (1.7) hàm f có thể biểu diễn thành chuỗi
f =

∑

k ∈Z+

q k ( f ),

với
qk ( f ) =

∑

s∈ J (k)

19

ck,s ( f ) Mk,s ,

(1.8)


chuỗi này hội tụ theo chuẩn trong L∞ (Id ), ở đây ck,s là các phiếm hàm hệ số của f ,
được xác định như dưới đây. Đầu tiên xác định ck,s cho hàm số một biến (d = 1).
Cụ thể
ck,s ( f ) := ak,s ( f ) − ak,s ( f ), k ≥ 0,

∑

ak,s ( f ) := 2−2r+1

(m,j)∈Cr (k,s)

2r
ak−1,m ( f ), k > 0, a0,s ( f ) := 0,
j

ở đây
Cr (k, s) := {(m, j) : 2m + j − r = s, m ∈ J (k − 1), 0 ≤ j ≤ 2r } ,
với k > 0, Cr (0, s) := {0} .
Trong trường hợp hàm nhiều biến, chúng ta xác định ck,s tương tự như (1.4)
cho ak,s , tức là
ck,s ( f ) = ck,s1 ((ck,s2 (. . . ck,sd ( f ))),
ở đây các hàm hệ số ck,si áp dụng cho hàm số một biến f khi xem f là hàm số với
biến xi với các biến còn lại cố định.
Ký hiệu An ( f )

Bn ( f ) nếu An ( f ) ≤ C.Bn ( f ) ở đây C là hằng số độc lập

với n và f ∈ W; An ( f )

Bn ( f ) nếu An ( f )

Bn ( f ) và Bn ( f )

A n ( f ).

Cho k ∈ Z+ , ký hiệu Σ(k ) là không gian sinh bởi các B-splines Mk,s , s ∈ J (k ).
Nếu 0 < p ≤ ∞ thì g ∈ Σ(k ) được biểu diễn bởi
g=

∑

as Mk,s

s∈ J (k)

và đẳng thức sau (xem [16])
g

p

2−dk/p { as }

p,k

(1.9)

,

ở đây
1/p



{ as }

p,k

:= 

∑

| as | p 

,

s∈ J (k)

với vế phải thay bằng supremum khi p = ∞.
Từ (1.9), với hàm số liên tục f trên Id , các nửa chuẩn sau đây tương đương với

20


nhau
1/θ

B2 ( f ) :=

∑

qk ( f )

k ∈Z+

p /Ω (2

−k

)

θ

,
1/θ

B3 ( f ) :=

∑

2

−dk/p

k ∈Z+

ck,s ( f )

p,k /Ω (2

−k

θ

)

.

Bổ đề sau đây đã được chứng minh cho trường hợp hàm số tuần hồn thuộc
khơng gian Besov Bω

p,θ (xem [14]).
Bổ đề 1.2. Cho 0 < p, θ ≤ ∞, ta có:
1/θ

∑

| f | BΩ

p,θ

k ∈Z+

ω2r ( f , 2

−k

) p /Ω(2

−k

θ

)

.

Chứng minh. Theo định nghĩa của nửa chuẩn Besov, ta có


1/θ

1

{ω2r ( f , t)/Ω(t)}θ dt/t

| f | BΩ = 
p,θ

.

0

Hơn nữa,
1

ω2r ( f , t) p /Ω (t)

θ

∞

dt/t =

∑

2− k

ω2r ( f , t) p /Ω (t)

θ

dt/t.

k =0 − k −1
2

0

Sử dụng các tính chất (i)-(iii) của hàm số Ω (t) với 2−k−1 ≤ t ≤ 2−k , ta có
Ω (2− k −1 )

Ω(t)

Ω (2− k ), Ω (2− k −1 )

Ω (2− k ).

Do đó,
Ω(t)

Ω (2− k ), t ∈ [ 2− k −1 , 2− k ] .

(1.10)

Rõ ràng rằng từ các tính chất của modulus thì ta có
ω2r ( f , t) p ≤ ω2r ( f , 2−k ) p , t ∈ [2−k−1 , 2−k ],
ω2r ( f , 2−k ) p ≤ ω2r ( f , 2t) p ≤ 22r ω2r ( f , t) p , t ∈ [2−k−1 , 2−k ].
Vì vậy,
ω2r ( f , t) p

ω2r ( f , 2−k ) p , t ∈ [2−k−1 , 2−k ].
21

(1.11)