De Thi Thu So 107

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2012­2013 Môn thi: TOÁN ­ Khối: A, A1, B Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) x-2 Câu I (2.0 điểm). Cho hàm số y = . x +1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Câu II (2.0 điểm). 2 ( sin x + cos x ) - 2sin 2 x = 2 æ sin æ p - x ö - sin æ p - 3x ö ö . 1. Giải phương trình: ç ÷ ç ÷÷ 1 + cot 2 x 2 çè è 4 ø è4 øø 2 2 y + 1 ( ) x + 3y 2 y + 4x 2 5y 3x ìï3 + 6.3 =3 + 2.3 2. Giải hệ phương trình: í ïî1 + 2. x + y - 1 = 3. 3 3y - 2x TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ. e. Câu III (1.0 điểm). Tính tích phân I = ò 1. (x. 3. + 1) ln x + 2 x 2 + 1 dx . 2 + x ln x. Câu IV (1.0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, · ACB = 1200 và đường thẳng. A ' C tạo với mặt phẳng ( ABB ' A ') góc 300 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A ' B, CC ' và thể tích khối lăng trụ đã cho theo a. 36x 2y z Câu V ( 1.0 điểm). Cho ba số thực x , y , z Î [1;3] . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = + + yz xz xy PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B. A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 - 18 x - 6 y + 65 = 0 và. ( C ') : x 2 + y 2 = 9 . Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C’), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8 . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): 5x - 2y + 5z = 0 và tạo với mặt phẳng (R): x - 4y - 8z + 6 = 0 góc 45o . 2 Câu VII.a (1.0 điểm). Tìm hệ số của x 20 trong khai triển Newton của biểu thức ( 3 + x 5 ) n biết rằng: x 1 1 1 1 Cn0 - C1n + Cn2 + ... + ( -1) n Cnn = 2 3 n +1 13 B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB :2 x + y - 1 = 0 , phương trình đường thẳng AC : 3 x + 4 y + 6 = 0 và điểm M (1; - 3) nằm trên đường thẳng BC thỏa mãn 3MB = 2 MC . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;3); B(2; -2; -3) và đường thẳng D:. x - 2 y +1 z = = . Chứng minh A, B và D cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm toạ độ điểm M thuộc D 1 2 3. sao cho MA4 + MB 4 nhỏ nhất. Câu VII.b (1.0 điểm). Cho số phức z thoả mãn : z -. z 6 + 7i = . Tìm phần thực của số phức z 2013 . 1 + 3i 5. ….. Hết …..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KHỐI A, A1, B NĂM HỌC 2012­2013 (Thời gian làm bài 180 phút). TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ Câu. Ý 1. Nội dung x-2 Cho hàm số y = , có đồ thị (C). x +1 Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị (C) 3 * Tập xác định: D = R \ {-1} , y¢ = > 0, "x Î D 2 ( x + 1). Điểm 2,0 1,0 0,25. * Sự biến thiên: + Giới hạn: lim y = lim y = 1, lim+ y = -¥, lim- y = +¥ . x ®-¥. x ®+¥. x ®-1. x ®-1. Đồ thị (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y=1, tiệm cận đứng là đường thẳng x=­1. 0,25. + Bảng biến thiên: ­¥. x. ­1. y’. +¥. +. + +¥. 1. 0,25. y ­¥. 1. I. + Hàm số đồng biến trên khoảng ( -¥; -1) và ( -1; +¥ ) . * Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;­2), cắt trục hoành tại điểm (2; 0). y. I. 1 2. ­1 O. x. 0,25. ­2. 2. Đồ thị (C) nhận giao điểm hai tiệm cận I(­1; 1) làm tâm đối xứng Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)…….. x -2 3 PT tiếp tuyến d có dạng y = x - xo ) + o , (với x o là hoành độ tiếp điểm) 2 ( xo +1 ( x o + 1) æ x -5ö Giao điểm của d lần lượt với tc đứng, tc ngang là: A ç -1; o ÷ ; B ( 2x o + 1;1) xo +1 ø è 6 IA = ; IB = 2x o + 2 Þ IA.IB = 12 xo +1. 1,0. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bán kính r =. IA.IB IA.IB IA.IB 6 = £ = 2 2 IA + IB + AB IA + IB + IA + IB 2 IA.IB + 2IA.IB 2 3 + 6. 0,25. 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IA = IB Û x o + 1 = 3 Û x o = -1 ± 3 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = x + 2 - 2 3 hoặc y = x + 2 + 2 3 1 Giải phương trình. ( sin x + cos x ). 2. - 2sin 2 x. 2. 1 + cot x. =. 2 æ æp ö æp öö sin ç - x ÷ - sin ç - 3 x ÷ ÷ . ç 2 è è4 ø è4 øø. 0,25. 1,0. Điều kiện: sin x ¹ 0 (*). Khi đó: æp ö Phương trình đã cho tương đương với: ( s in2x + cos 2 x ) .sin 2 x = 2 cos ç - 2 x ÷ .sin x è4 ø. pö pö pö æ æ æ Û cos ç 2 x - ÷ .sin x = cos ç 2 x - ÷ Û ( sin x - 1) .cos ç 2 x - ÷ = 0 4ø 4ø 4ø è è è + sin x = 1 Û x =. II. p 2. + k 2p. ( k Î ¢) ,. thỏa (*). 0,25. ( k Î ¢ ). 1,0. 2. Giải hệ phương trình :. 0,25 0,25. pö 3p k p æ + cos ç 2 x - ÷ = 0 Û x = + ( k Î ¢ ) , thỏa (*) 4ø 8 2 è p 3p kp Vậy, phương trình có nghiệm: x = + k 2p ; x = + 2 8 2 2. 0,25. ìï3x +3y -2 + 6.3y2 +4x -2 = 35y -3x + 2.3( y +1) (1) í (2) ïî1 + 2. x + y - 1 = 3. 3 3y - 2x. Đk: x + y - 1 ³ 0 (*). (1) Û ( 34x - 2+3y -3x + 6.3y + 4x - 2 ) - ( 32 y + 3y -3x + 2.3y +1+ 2y ) = 0 2. (. Û ( 34 x - 2 - 32 y ) 27 y - x + 6.3y. 2. 2. )=0Û3. 4 x-2. 0,25. - 32 y = 0 Û y = 2x - 1. 2 3 ì1 + 2a = 3b ( 3 ) Đặt a = 3x - 2 ³ 0; b = 3 4x - 3 ta có hệ í 2 3 î 4a - 3b = 1 ( 4 ). Thay vào (2) ta có: 1 + 2 3x - 2 = 3. 3 4x - 3, x ³. 0,25. -1 é êb = 0 Þ a = 2 ê 3b - 1 Từ ( 3) Þ a = thay vào pt (4) ta được 3b 3 - 9b 2 + 6b = 0 Û ê b = 1 Þ a = 1 2 ê 5 êb = 2 Þ a = 2 ë +) b = 0;a =. -1 không thõa mãn 2. ìa = 1 ì x = 1 +) í Ûí îb = 1 î y = 1. æ 11 9 ö Kết hợp đk (*) suy ra hệ có nghiệm (x; y) là (1;1) , ç ; ÷ è 4 2ø 3 2 e ( x + 1) ln x + 2 x + 1dx Tính tích phân: I = ò 2 + x ln x 1 e. I=ò 1. (x. 3. e e + 1) ln x + 2 x 2 + 1 1 + ln x dx = ò x 2 dx + ò dx 2 + x ln x 2 + x ln x 1 1. 11 ì 5 x= ì ï ïa = ï 4 +) í 2Ûí ïî b = 2 ïy = 9 ïî 2. 0,25. 0,25. 1,0 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> e. e. III. æ x3 ö e3 - 1 x dx = = ç ÷ ò1 3 è 3 ø1. 0,25. e d ( 2 + x ln x ) e+2 1 + ln x ò1 2 + x ln x dx = ò1 2 + x ln x = ( ln 2 + x ln x ) 1 = ln ( e + 2 ) - ln 2 = ln 2. 0,25. 2. e. e. 0,25. e3 - 1 e+2 + ln . 3 2 Tính thể tích……... Vậy I =. 1,0. 0,25 Trong (ABC), kẻ CH ^ AB IV. ( H Î AB ) , suy ra CH ^ ( ABB ' A ') nên A’H là hình chiếu vuông. góc của A’C lên (ABB’A’). Do đó: · · éë A ' C , ( ABB ' A ' ) ùû = (· A ' C , A ' H ) = CA ' H = 300 . Do CC '/ / AA ' Þ CC '/ / ( ABB ' A ') . Suy ra: d ( A ' B, CC ') = d ( CC ', ( ABB ' A ' ) ) = d ( C , ( ABB ' A ') ) = CH S DABC =. ·. 1 a2 3 AC.BC .s in1200 = 2 2 AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2 AC.BC.cos1200 = 7 a 2 Þ AB = a 7. 0,5. 2.S DABC a 21 = AB 7 CH 2a 21 Suy ra: A ' C = = 0 s in30 7. ·. CH =. Xét tam giác vuông AA’C ta được: AA ' = Suy ra: V = S DABC . AA ' =. A ' C 2 - AC 2 =. a 35 . 7. a 3 105 . 14. Cho ba số x, y, z Î [1;3] . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =. f (x) =. 0,25. 36x 2y z + + . yz xz xy. 36x 2y z + + , x Î [1;3] , y, z là tham sô yz zx xy. 36 2y z 36x 2 - 2y 2 - z 2 36 - 2.9 - 9 f '(x) = - 2- 2 = ³ >0 yz zx x y x 2 yz x 2 yz Suy ra f (x) đồng biến trên [1;3] nên. 1,0. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> f (x) ³ f (1) =. 36 2y z + + = g(y), y Î [1;3] , z là tham sô yz z y. 0,25. 36 2 z -36 + 2y 2 - z 2 -36 + 2.9 - 12 g '(y) = - 2 + - 2 = £ <0 y z z y y2 z y2z. V. Suy ra g(y) nghịch biến trên [1;3]. Þ g(y) ³ g(3) =. 12 6 z 18 1 18 1 + + = h(z), z Î [1;3] ; h '(z) = - 2 + £ - + < 0. z z 3 9 3 z 3. 0,25. 18 +1 = 7 3 Vậy P ³ 7 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x=1 và y = z = 3; Do đó Min P = 7. Þ h(z) nghịch biến trên [1;3] Þ h(z) ³ h(3) =. 1. 2. 2. 2. 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn ( C ) : x + y - 18 x - 6 y + 65 = 0 và ( C ' ) : x + y = 9. 0,25 1,0. Từ điểm M thuộc đường tròn (C) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C’), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M, biết độ dài đoạn AB bằng 4,8 .. 0,25. Đường tròn (C’) có tâm O ( 0;0 ) , bán kính R = OA = 3 . Gọi H = AB I OM , do H là trung điểm. VIa. OA 2 12 9 2 2 của AB nên AH = . Suy ra: OH = OA - AH = và OM = =5 5 5 OH 2 2 ïì M Î ( C ) ïì x + y - 18 x - 6 y + 65 = 0 Đặt M ( x; y ) , ta có: í Ûí 2 2 ïîOM = 5 îï x + y = 25 ì3 x + y - 15 = 0 ì x 2 - 9 x + 20 = 0 Ûí 2 Ûí 2 î x + y = 25 î y = 15 - 3 x ìx = 4 ìx = 5 Ûí Úí îy = 3 îy = 0. 0,25 0,25 0,25. Vậy, trên (C) có hai điểm M thỏa đề bài là: M ( 4;3 ) hoặc M ( 5; 0 ) . 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): 5x - 2y + 5z = 0 và tạo với mặt phẳng (R): x - 4y - 8z + 6 = 0 góc 45o . Mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) nên có pt dạng : Ax + By + Cz = 0 với A 2 + B2 + C 2 > 0 5 ( P ) ^ ( Q ) Û 5A - 2B + 5C = 0 Û B = ( A + C ) (1) 2 (P) tạo với (R) góc 45o nên cos45o =. A - 4B - 8C A 2 + B2 + C 2 1 + 16 + 64. Từ (1) , ( 2 ) Þ 2 A - 10 ( A + C ) - 8C = 9 A 2 +. Û. A - 4B - 8C 1 (2) = 2 A 2 + B2 + C 2 .9. 25 2 ( A + C ) + C 2 Û 21A 2 + 18AC - 3C2 = 0 4. 1,0. 0,25. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> éA ê C = -1 Þê êA = 1 êë C 7. *) chọn A = -1, C = 1 Þ B = 0 Þ Phương trình mặt phẳng (P) là x – z = 0 0,25 *) chọn A = 1, C = 7 Þ B = 20 Þ Phương trình mặt phẳng (P) là x + 20y + 7z = 0 2. Tìm hệ số của x 20 trong khai triển Newton của biểu thức (. x Cn0. biết rằng:. 3. + x5 ) n. 1,0. 1 1 1 1 - Cn1 + Cn2 + ... + ( -1) n Cnn = 2 3 n +1 13. Theo Newton thì: (1 - x ) n = Cn0 - Cn1 x + Cn2 x 2 - .... + ( -1) n Cnn x n = B 1. Vì ò (1 - x)n dx = 0. VIIa. 1 , n +1. 1. 1. 0. 1. 1. 2. ò Bdx = Cn - 2 Cn + 3 Cn + ... + (-1). n. 0. 1 Cnn n +1. 0,5. Þ n + 1 = 13 Þ n = 12. Lại có: (. 1. 2 x. 3. + x5 )12 =. 12. 12 -k. æ 2 ö å C12k . çè x3 ÷ø k =0. k 12 -k 8k -36 .( x5 ) k , Tk +1 = C12 .2 .x. Số hạng ứng với x 20 thoả mãn: 8k - 36 = 20 Û k = 7 7 5 .2 = 25344 Þ Hệ số của x 20 là: C12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng AB :2 x + y - 1 = 0 , phương trình đường thẳng AC : 3 x + 4 y + 6 = 0 và điểm M (1; - 3) nằm trên đường thẳng BC thỏa mãn 3MB = 2 MC . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Vì B thuộc đường thẳng (AB) nên B ( a;1 - 2a ) , C thuộc (AC) nên C ( -2 - 4b;3b ) uuur uuuur Ta có: MB = ( a - 1; 4 - 2 a ) , MC = ( -3 - 4b;3b + 3) : Ta có ( AB ) Ç ( AC ) = { A} Þ A ( 2; -3) .. uuur uuuur uuur uuuur Vì B, M, C thẳng hàng, 3MB = 2 MC nên ta có: 3MB = 2 MC hoặc 3MB = -2 MC 11 ì uuur uuuur ïï a = 5 ìï3 ( a - 1) = 2 ( -3 - 4b ) TH1: 3MB = 2 MC Û í Ûí ïî3 ( 4 - 2 a ) = 2 ( 3b + 3 ) ïb = -6 ïî 5. VIb. 0,25 0,25 1,0. 0,25. 0,25. 0,25. æ 11 17 ö æ 14 18 ö æ 7 10 ö Þ B ç ;- ÷ , C ç ;- ÷ Þ G ç ;- ÷ 5ø 5ø 3ø è5 è 5 è3 uuur uuuur ìï3 ( a - 1) = -2 ( -3 - 4b ) ìa = 3 TH2: 3MB = -2 MC Û í Ûí îb = 0 ïî3 ( 4 - 2a ) = -2 ( 3b + 3 ) 8ö æ Þ B ( 3; -5 ) , C ( -2;0 ) Þ G ç 1; - ÷ 3ø è 8ö æ 7 10 ö æ Vậy có hai điểm G ç ; - ÷ và G ç1; - ÷ thỏa mãn đề bài. 3ø 3ø è3 è. 2. x - 2 y +1 z = = . 1 2 3 CM: A, B và D cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm M thuộc D sao cho MA + MB nhỏ nhất. Trong tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2, 0,3); B (2, -2, -3) và đường thẳng D :. ìx = 2 ï Phương trình đường thẳng AB: í y = t ï z = 3 + 3t î. 0,25. 1,0. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ìx = 2 + t ' ì2 = 2 + t ' ìt = - 1 ï ï Phương trình D : í y = -1 + 2t ' ,Gọi I = AB Ç D Þ ít = -1 + 2t ' Þ í Þ I (2; -1; 0) ît ' = 0 ï z = 3t ' ï3 + 3t = 3t ' î î Vậy AB và D cắt nhau tại I nên A, B và D đồng phẳng uur uur uur uur Ta có IA = (0;1;3), IB = (0; -1; -3) Þ IA = - IB Þ IA + IB = AB. 0,25. 0,25. 2. 2 1 1æ1 1 1 2ö 4 Khi đó MA + MB ³ ( MA2 + MB 2 ) ³ ç ( MA + MB ) ÷ ³ AB 4 = ( IA + IB ) 2 2è2 8 ø 8 4. 4. 0,25. Þ MA4 + MB4 nhỏ nhất khi M trùng với I (2; -1;0) . VIIb. z 6 + 7i = . Tìm phần thực của số phức z 2013 . 1 + 3i 5 a - bi 6 + 7i Gọi số phức z = a + bi ( a, b Î ¡ ) Þ z = a - bi thay vào (1) ta có a + bi = 1 + 3i 5 (a - bi )(1 - 3i ) 6 + 7i a + bi = Û 10a + 10bi - a + 3b + i (b + 3a ) = 12 + 14i 10 5 Û 9a + 3b + i (11b + 3a ) = 12 + 14i. 0,25. ì9a + 3b = 12 ìa = 1 Ûí Ûí î11b + 3a = 14 îb = 1. 0,25. Cho số phức z thoả mãn : z -. a = b = 1Þ z = 1+ i Þ z. 2013. = (1+i). 2013. é æ p p ứ = ê 2 ç cos + i sin ÷ ú 4 4 øû ë è. 2013p 2013p ö æ = 21006 2 ç cos + i sin ÷ 4 4 ø è. Vậy phần thực của z 2013 là 21006 2.cos. 1,0. 0,25. 2013. 0,25 2013p = - 21006 4.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>