LTDHCd Luong Giac 3

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề. LƯỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản sin 2   cos 2  1 sin  tan   cos .        k  2   1    tan 2   1    k  2 2 cos    2. Công thức LG thường gặp sin  a b  sinacosb sinbcosa. tan  .cot  1 cos  cot     k   sin  1 cot 2   1    k  sin 2 . cos  a b  cos a cos b sinasinb tana tanb tan  a b   1 tanatanb Công thức cộng: sin 2a 2sin a.cos a cos 2a cos 2 a  sin 2 a 2 cos 2 a  1 1  2sin 2 a cos 3a 4 cos3 a  3cos a sin 3a 3sin a  4sin 3 a Công thức nhân:. Tích thành tổng:. Tổng thành tích:. Công thức hạ bậc:. tan 3a =. 3 tan a  tan 3 a 1  3 tan 2 a. 1 cosa.cosb = 2 [cos(ab)+cos(a+b)] 1 sina.sinb = 2 [cos(ab)cos(a+b)] 1 sina.cosb = 2 [sin(ab)+sin(a+b)] ab a b cos 2 2 a b a b sin a  sin b 2 cos sin 2 2 a b a b cos a  cos b 2 cos cos 2 2 a b a b cos a  cos b  2sin sin 2 2 sin(a b) tan a tan b  cos a.cos b 1 cos2a = 2 (1+cos2a) 1 2 sin a = 2 (1cos2a) sin a  sin b 2sin.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Biểu diễn các hàm số LG theo. t  tan. a 2. 2t 1- t 2 2t sin a  ; cos a  ; tan a  . 2 2 1 t 1 t 1 t2 3. Phương trìng LG cơ bản  u v  k 2   * sinu=sinv  u   v  k 2. * cosu=cosvu=v+k2  k  Z . * cotu=cotv  u=v+k. * tanu=tanv  u=v+k 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng 2 a.sin x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG.. 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: 2 2 2 Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a  b c . b c  tan  cos  Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt a , ta được: sinx+tancosx= a c c cos  cos  ñaët sin  .  sinx cos  + sin  cosx= a  sin(x+  )= a 2 2 Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a  b , ta được: a b c sin x  cos x  a2  b2 a 2  b2 a 2  b2 a b cos  ; sin  2 2 2 a  b2 Đặt: a  b . Khi đó phương trình tương đương: ñaët c c cos  sin x  sin  cos x  sin  x     sin  a 2  b 2 hay a 2  b2 . x t tan 2. Cách 3: Đặt 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).  x   k 2 Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với . + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. 1    tan 2 x  1  x   k  2 2   Chú ý: cos x Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện t  2 ..     Lưu ýcác công thức : sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4       sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4  .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Ví dụ 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). Giải 1  cos 2 x 1  cos 6 x 1  cos 4 x 1  cos8 x    2 2 2 2 Phương trình (1) tương đương với:  cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0  2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0  2cos5x(cos3x+cosx) = 0  4cos5x.cos2x.cosx = 0 π kπ π    x 10  5  5 x  2  kπ  cos 5 x 0   π π lπ     cos 2 x 0  2 x   kπ   x   , (k , l , n  )   2 4 2    cos x 0  x  π  nπ  x  π  kπ   2 2 6 6 8 8 Ví dụ 2. Giải phương trình: cos x+sin x = 2 ( cos x+sin x) (2). Giải Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)  cos2x(sin6x–cos6x) = 0  cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0  cos2x = 0 π π kπ 2 x   kπ  x   , (k  ) 2 4 2  6 3 4 Ví dụ 3: Giải phương trình: 8 2 cos x  2 2 sin x sin 3 x  6 2 cos x  1 0 (3). Giải Ta có: (3)  2 2 cos3 x(4 cos3 x  3cos x)  2 2 sin 3 x sin 3 x  1 0.  2 cos 2 x.2 cos x cos 3 x  2sin 2 x.2sin x sin x3 x  2  (1  cos 2 x)(cos 2 x  cos 4 x )  (1  cos 2 x)(cos 2 x  cos 4 x )  2  2(cos 2 x  cos 2 x cos 4 x)  2  cos 2 x (1  cos 4 x)   cos 2 x.cos 2 2 x . 2 2. 2 4. 2 π  x   kπ , ( k  ) 2 8 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:  cos 2 x . 17 sin 8 x  cos8 x  32 Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác:. Giải Ta có (4). (4)..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4. 4. 17 1 17  1  cos 2 x   1  cos 2 x  4 2      32  8 (cos 2 x  6 cos 2 x  1)  32 2 2    . 1  t  17 13 2 t 2  6t  1   t 2  6t  0   4 4  t  13  2 Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 1 1 cos 4 x  1 1 t   cos 2 2 x    2 2 2 2 Vì t[0;1], nên π π π 4 x   kπ  x   k , ( k  ) 2 8 4 cos4x = 0 . Ví dụ 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0  (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0  cos x 1  x kπ2 ,k(  )   2sin x  2 cos x  2sin x cos x  1 0 (*) Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , khi đó phương trình (*) trở thành:  t 0 π    sin x - cos x  x   nπ, ( n  ) 4 2t + t2 – 1 + 1 = 0  t2 + 2t = 0  t  2 (lo¹i) π  nπ 4 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: ; x kπ2 , n( k,  ) Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. π |sin x |  cos x Ví dụ 6. Giải phương trình: (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 |sin x | π 0 1 , mà |cosx| ≤ 1. Do | sin x |0, nên π x .  x kπ, ( k   )  x kπ2 2 k π2 n k n 0 | sin x |0 (6)        x 0  x nπ  x nπ | cos x |1  x nπ, ( n  ) Do đó (Vì k, n  Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. x2 1 cos x 2 Ví dụ 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: . Giải x2 f ( x)= cos x  2 . Dễ thấy f(x) = f(x), x   , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét Đặt với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.  π  0;  Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng  2  thoả mãn n n phương trình: sin x  cos x 2. 2 n 2. ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Giải Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)     2 n  0;    2 4     2 Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng , ta có minf(x) = f = 2  Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. BÀI TẬP Giải các phương trình sau:.  x k 2 ; x   n2 2 ĐS:. 1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) 2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) 2. HD: Chia hai vế cho sin x 3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại). ĐS:. x .    k ; x   n 2 4 3.    7 x   k ; x   n ; x   m . 4 4 12 12 ĐS:  x k 2. ĐS:. 4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) 5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)  1 x   k 2 ; x   n 2 ; x     l 2 ; sin   2 4. ĐS: với  x   k 4 6. sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS: .       sin  3 x   sin 2 x.sin  x   x  k 4 4  ; (Học Viện BCVT)   4 2 7. ĐS: 8. sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x.  12 . ĐS:    x  4  k   x     k  8   x  5  k 8 ĐS:  x k. HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x. 1  sin x. 9. 3 10. sin x . 1.  7  4 sin   x 3    4  sin  x   2  . 3 cos3 x sin x cos 2 x . 3 sin 2 x cos x. HD: Chia hai vế cho cos3x 11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx. ĐS: x =. .    k x   k 3 4 ,.  2 x   k  x   k 2 (k  ) 4 3 ĐS:. HD: Đưa về cung x đặt thừa số 12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải (1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. 2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. 2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đặt t=cosx, ĐK t 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2. 1  1  t 2  cos x   2  t sin x - 2  loại  …(biết giải). 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK t 1 . 2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2. 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 2  cos x  sin x  1  cot x  1 15. Giải phương trình lượng giác: tan x  cot 2 x Giải cos x.sin 2 x.sin x.  tan x  cot 2 x  0  cot x 1 Điều kiện:  2  cos x  sin x  1 cos x.sin 2 x    2 sin x sin x cos 2 x cos x cos x  1 sin x Từ (1) ta có: cos x sin 2 x  2sin x.cos x  2 sin x   x   k 2  2 4  cos x    k   2  x    k 2  4  x   k 2  k   4 So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là sin 4 x  cos 4 x 1   tan x  cot x  sin 2 x 2 16. Giải phương trình: Giải sin 4 x  cos 4 x 1   tan x  cot x  sin 2 x 2 (1) sin 2 x  0 Điều kiện: 1 1 1  sin 2 2 x 1  sin 2 2 x 1 sin x cos x   1 1 2 2 (1)       1  sin 2 2 x 1  sin 2 x 0  sin 2 x 2  cos x sin x  sin 2 x sin 2 x 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.   2 sin 2  x   2 sin 2 x  tan x 4  17. Giải phương trình: .. Giải   2 sin 2  x   2 sin 2 x  tan x 4  Pt. . .  . 2 0 ¿   1  cos  2 x    cos x 2sin x.cos x  sin x 2    (cosx ⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔ sin2x = 1 hoặc tanx = 1..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> . . sin 2 x  cos x  3  2 3cos3 x  3 3cos2 x  8 3 cos x  s inx  3 3 0 18. Giải phương trình: . Giải sin 2 x(cos x  3)  2 3.cos3 x  3 3.cos 2 x  8( 3.cos x  sin x)  3 3 0  2sin x.cos 2 x  6sin x.cos x  2 3.cos3 x  6 3 cos 2 x  3 3  8( 3.cos x  sin x)  3 3 0 ⇔ − 2cos 2 x ( √ 3 cos x − sin x) −6 . cos x ( √ 3 cos x − sin x )+ 8( √ 3 cos x − sin x)=0  ( 3 cos x  sin x )(  2 cos 2 x  6 cos x  8) 0  tan x  3   cos x 1  cos x 4 (loai) .  3 cos x  sin x 0     cos 2 x  3cos x  4 0.   x   k   ,k Z 3   x k 2.   x  6 19. Giải phương trình: cosx=8sin3  Giải   x  6   cosx = 3 sin x  cos x cosx=8sin3 . . . 3. 3 2 2 3  3 3 sin x  9sin x cos x  3 3 sin x cos x  cos x  cos x  0 (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm 3 2 (3)  3 3 tan x  8 tan x  3 3 tan x  0  tan x  0  x  k 2  cos x  sin x  1  cot x  1 20. Giải phương trình lượng giác: tan x  cot 2 x Giải cos x.sin 2 x.sin x.  tan x  cot 2 x  0  cot x 1 Điều kiện:  2  cos x  sin x  1 cos x.sin 2 x    2 sin x sin x cos 2 x cos x cos x  1 sin x Từ (1) ta có: cos x sin 2 x  2sin x.cos x  2 sin x   x   k 2  2 4  cos x    k   2  x    k 2  4  x   k 2  k  Z  4 So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 21. Giải phương trình: cos 2 x  5 2(2  cos x)(sin x  cos x). Giải Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0  cos x  sin x  1    cos x  sin x 5 (loai vi cos x  sin x  2).

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  x   k 2 2  2 sin x   1  sin x   sin    (k  Z ) 4 4 4  x   k 2  22. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 Giải. . . . . 3 sin x  cos x  2cos 3 x  0.    x    cos 3x 3  cos    k  x 3  2    x   k 3  . .   sin 3 sinx + cos 3 cosx = – cos3x.. .    x   cos(  3x) 3 cos . (k Z).  k  2  x= 3 (kZ) 23 2 3 3 8 23. Giải phương trình cos3xcos x – sin3xsin x = Giải 23 2 23 2 8 8 Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x =  cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = cos 2 3x  sin 2 3x  3  cos 3x cos x  sin 3x sin x  . 23 2 2   cos 4 x   x   k , k  Z 2 2 16 2  ..  24. Định m để phương trình sau có nghiệm       4sin 3x sin x  4cos  3 x   cos  x    cos 2  2 x    m 0 4 4 4    Giải Ta có: 4sin 3x sin x  2  cos 2 x  cos 4 x  * ;         4cos  3 x   cos  x   2  cos  2 x    cos 4 x  2  sin 2 x  cos 4 x  4 4 2      *.   1   1   cos 2  2 x     1  cos  4 x      1  sin 4 x  4 2 2     2  * Do đó phương trình đã cho tương đương: 1 1 2  cos 2 x  sin 2 x   sin 4 x  m  0 (1) 2 2   t cos 2 x  sin 2 x  2 cos  2 x   4  (điều kiện:  2 t  2 ).  Đặt 2 Khi đó sin 4 x  2sin 2 x cos 2 x  t  1 . Phương trình (1) trở thành: t 2  4t  2m  2 0 (2) với  2 t  2. (2)  t 2  4t 2  2m Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y 2  2m (là đường song song với Ox và cắt 2 trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y t  4t với  2 t  2 . x y’ y.  2. 2. + 24 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2 4 2.   2; 2  2  , hàm số y t  4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2  4 2 tại t  2 và đạt giá trị lớn Trong đoạn  nhất là 2  4 2 tại t  2 . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2  4 2 2  2m 2  4 2   2 2 m 2 2 . o0o.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A cos 3x  sin 3x   5  sin x   cos 2 x  3 1  2sin 2 x   1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: Giải. (Khối A_2002)..  5 x  ;x  3 3 . ĐS: cos 2 x 1 cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1  tan x 2 2. Giải phương trình: Giải.  x   k   k  Z 4 ĐS: 2 2 3. Giải phương trình: cos 3 x cos 2 x  cos x 0 Giải. (Khối A_2003). (Khối A_2005).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ĐS:. x. k  k  Z 2. . . 2 cos6 x  sin 6 x  sin x cos x 2  2 sin x. 4. Giải phương trình: Giải. ĐS:. x. 0 (Khối A_2006). 5  k 2  k  Z 4.  1  sin x  cos x   1  cos x  sin x 1  sin 2 x 2. 5. Giải phương trình: Giải.    k , x   k 2 , x k 2  k  Z 4 2 ĐS: 1 1  7   4 sin   x 3  sin x 4    sin  x   2   6. Giải. 2. (Khối A_2007). x . (Khối A_2008).

<span class='text_page_counter'>(12)</span>   5  k , x   k  , x   k  ,  k  Z 4 8 8 ĐS:  1  2 sin x  cos x  3 1  2 sin x   1  sin x   7. Giải phương trình: . Giải x. ĐS:. x . (Khối A_2009).  2 k ,  k  Z 18 3. KHỐI B 2 2 2 2 8. Giải phương trình sin 3x  cos 4 x sin 5 x  cos 6 x Giải. ĐS:. x k. (Khối B_2002).   ; x k ,  k  Z 9 2. 9. Giải phương trình Giải. cot x  tan x  4 sin 2 x . 2 sin 2 x. (Khối B_2003).

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  x   k ,  k  Z 3 ĐS: 5sin x  2 3  1  sin x  tan 2 x 10. Giải phương trình Giải.  5  k 2 ; x   k 2 ,  k Z 6 6 ĐS: 1 11. Giải phương trình  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x 0 Giải. (Khối B_2004). x. ĐS:. x . (Khối B_2005). 2  k 2  k  Z 3. x  cot x  sin x  1  tan x tan  4 2  12. Giải phương trình: Giải. (Khối B_2006).

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  5 x   k  ; x   k ,  k  Z  12 12 ĐS: 2 13. Giải phương trình: 2 sin 2 x  sin 7 x  1 sin x Giải.  2 5 2 x k ;x k ,  k  Z 18 3 18 3 ĐS: 3 3 2 14. Giải phương trình sin x  3 cos x sin x cos x . (Khối B_2007). 3 sin 2 x cos x. (Khối B_2008). Giải.    x   k ; x   k ,  k Z 4 2 3 ĐS: sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3 x 2  cos 4 x  sin 3 x  15. Giải phương trình: . Giải. ĐS:. x.  2k    , x   2k ,  k  Z 42 7 6. (Khối B_2009).

<span class='text_page_counter'>(15)</span> KHỐI D 16. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0 Giải.  3 5 7 x  ;x  ;x  ;x  2 2 2 2 ĐS: x x  sin 2    tan 2 x  cos 2 0 2 2 4 17. Giải. ĐS:. x   k 2 , x . 18. Giải phương trình Giải.   k ,  k  Z 4  2 cos x  1  2 sin x  cos x  sin 2 x  sin x. (Khối D_2002). (Khối D_2003). (Khối D_2004).   x   k 2 , x   k  ,  k  Z 3 4 ĐS:.    3  cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x    0 4  4 2  19. Giải phương trình: Giải. (Khối D_2005).

<span class='text_page_counter'>(16)</span>  x   k  ,  k  Z 4 ĐS: 20. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 Giải. ĐS:. x . (Khối D_2006). 2  k 2 ,  k  Z 3 2. x x   sin 2  cos 2   3 cos x 2  21. Giải phương trình  Giải.   x   k 2 , x   k 2 ,  k  Z 2 6 ĐS: 22. Giải phương trình sin 3 x  3 cos 3x 2 sin 2 x Giải. (Khối D_2007). (CĐ_A_B_D_2008).

<span class='text_page_counter'>(17)</span>  4 2 x   k 2 , x  k ,  k  Z 3 15 5 ĐS: 23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx Giải. (Khối D_2008). 2   k 2 , x   k ,  k  Z 3 4 ĐS: 24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx Giải x . (CĐ_A_B_D_2009).  5 x   k , x   k ,  k Z 12 12 ĐS: 25. Giải phương trình 3 cos 5 x  2 sin 3x cos 2 x  sin x 0 Giải.     x   k , x   k ,  k  Z 18 3 6 2 ĐS: Hết. (Khối D_2009).

<span class='text_page_counter'>(18)</span>