Luận văn tốt nghiệp hệ thống hóa các bài toán cơ học lượng tử trong việc giải phương trình schrodinger ứng với

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:

HỆ THỐNG HĨA CÁC BÀI TỐN CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
TRONG VIỆC GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER
ỨNG VỚI CÁC TRƢỜNG THẾ NĂNG KHÁC NHAU

SVTH: Huỳnh Trúc Nhƣ
GVHD: TS. Lƣơng Lê Hải

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018


Mục lục
Lời cảm ơn

2

Phần mở đầu

3

I

6

Cơ sở của phương pháp NikiforovUvarov

Kt lun chng I

10

II Gii phng trỡnh Schră
odinger cho cỏc hố thế năng khác nhau

11

1

Hạt trong hố thế năng sâu vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2

Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3

Dao động tử điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4

Thế năng Woods–Saxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

5

Thế năng Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

6

Th nng PăoschlTeller

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

7

Thế năng Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

8

Thế năng Hulthen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

9

Thế năng Kratzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

10

Dao động giả điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Kết luận chương II

73

III Kết luận

74

IV Tài liệu tham khảo

76

Phụ chú

77

Lời cảm ơn
Để luận văn đạt kết quả tốt đẹp, trong suốt quá trình thực hiện em đã nhận được
nhiều sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của quý thầy cơ, gia đình và bạn bè.
Với tấm lịng sâu sắc đó, cho em xin được bày tỏ lịng biết ơn của mình đến:

Trước hết là thầy, TS. Lương Lê Hải, người đã định hướng, chỉ dạy em trong suốt
quá trình thực hiện luận văn. Hơn hết, thầy là người đã truyền cho em sự tự tin và niềm
đam mê, đồng thời thầy luôn là người trực tiếp hướng dẫn em ngay từ những ngày đầu.

Thứ hai, đó là quý thầy, cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Tp.HCM
đã truyền đạt cho em những kiến thức, kĩ năng và phương pháp sư phạm nền tảng cho
tương lai nghề nghiệp. Đặc biệt, TS. Cao Anh Tuấn trưởng khoa Vật lý, đã tạo điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn.

Bên cạnh, là những người quan tâm em, luôn giúp đỡ em thật nhiều trong suốt bốn
năm đại học, nhất là thời gian em làm khóa luận.

Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn.

Tp.HCM, ngày 01 tháng 04 năm 2018
Huỳnh Trúc Như


Phn m u
1. Lý do chn ti

Phng trỡnh Schrăodinger là phương trình động lực học cơ bản dùng để mơ tả các
tính chất của hệ cơ học lượng tử, tương tự như phương trình của định luật II Newton

trong cơ học cổ điển. Đối với một hệ cổ điển, thơng qua việc giải phương trình II Newton
ta có thể biết được tính chất chuyển động của một vật hoặc một hệ vật bất kì. Tuy
nhiên, hạn chế của phương trình định luật II Newton chỉ dùng để mơ tả chuyển động
của những vật có kích thước và khối lượng đáng kể (vật lý vĩ mô). Do vậy, khi nghiên
cứu đến tính chất của những vật có kích thước vi mơ, điển hình là nghiên cứu chuyển
động của hạt electron (các hạt cơ bản), ta khơng thể dùng phương trình II Newton để
mô tả mà phải thông qua việc giải phng trỡnh Schrăodinger tỡm c hm súng
(nghim ca phng trình) cũng như là giá trị năng lượng (trị riêng), từ đó ta sẽ khảo
được các tính chất của hệ đang xét hay tìm ra những tính chất mới. Chính vỡ vy m
vic gii phng trỡnh Schrăodinger cho n nay là điều cần thiết và quan trọng [1].

Dựa trên những kin thc c bn trong vic gii phng trỡnh Schrăodinger với các
hố thế cơ bản như: hố thế sâu vô hạn, hữu hạn hay hạt chuyển động qua hàng rào th
m ta cú th xõy dng phng trỡnh Schrăodinger cho những hố thế phức tạp hơn. Ví
dụ khi xét hạt chuyển động trong trường xuyên tâm, hay khi nghiên cứu đến sự tương
tác giữa neutron với hạt nhân, tán xạ của nguyên tử trên phân tử gồm hai nguyên tử...
Tuy nhiên, ở chương trình đại học, sinh viên lại chưa có cơ hội nhiều để tiếp xúc với các
dạng hố thế này. Do đó, đề tài luận văn mục đích l h thng li vic gii phng trỡnh
Schrăodinger cho cỏc hố thế các nhau, ngoài những hố thế đã được học ở chương trình
đại học, luận văn sẽ đưa vào những dạng hố thế khác là: Woods–Saxon [5],[12], Morse
[6], [12], Pă
oschlTeller [7], [12], Coulomb [8], Hulthen [9], Kratze [9] v dao động giả điều

hịa [10]. Với mục đích là sẽ đưa đến nhiều dạng hố thế khác nhau đến gần hơn với sinh
viên, như một tài liệu tham khảo bổ ích.


Mặt khác, một vấn đề luôn được quan tâm trong vic gii phng trỡnh Schrăodinger
chớnh l phng phỏp gii. chương trình đại học, đối với hố thế sâu vơ hạn và hàng
rào thế, bài toán được giải bằng cách giải phương trình vi phân cấp hai. Riêng đối

với mơ hình dao động tử điều hịa, hai phương pháp được sử dụng là giải tích và áp
dụng tốn tử sinh hủy. Tuy nhiên, phương pháp giải tích khi áp dụng cho một số hố
thế khác lại gặp khó khăn trong việc tính tốn, hoặc một số phương pháp khác thì chỉ
cho nghiệm gần đúng. Do đó, việc lựa chọn phương phỏp phự hp gii phng trỡnh
Schrăodinger cho cỏc h thế khác nhau là điều cần thiết. Có nhiều phương pháp giải khác
nhau được đưa ra, sẽ cho nghiệm gần đúng hoặc chính xác. Trong số đó, phương pháp
Nikiforov–Uvarov [3] cho nghiệm gần như là chính xác với nhiều hố thế khác nhau, có
hố thế nghiệm là chính xác ứng với mọi mức lượng tử, nhưng cũng có hố thế chỉ cho
nghiệm chính xác ứng với trạng thái cơ bản. Nhưng nhìn chung, phương pháp này lại
đơn giản hóa trong vic tớnh toỏn v gii phng trỡnh Schrăodinger i vi nhiều hố
thế phức tạp. Vì nếu xét kĩ, khi áp dụng phương pháp này, người giải chỉ cần thực hiện
tuần tự những bước làm theo một hệ thống nhất định, quan trọng chỉ cần đổi biến số
từ đầu cho phù hợp và chọn nghiệm sao cho thỏa mãn tính chất vật lý của hàm sóng.
Hơn hết, phương pháp này đã được áp dụng rất nhiều trong những bài toán phức tạp.
Chính vì vậy, đề tài luận văn sẽ đưa vào phương pháp Nikiforov–Uvarov để giải và hệ
thống lại các bài tốn cơ học lượng tử trong việc giải phương trình Schrăodinger ng vi
cỏc h th khỏc nhau. Bờn cnh vic giải để tìm nghiệm (hàm sóng) và trị riêng năng
lượng dưới dạng những biểu thức toán học, trong luận văn cũng sẽ trình bày hình vẽ
minh họa cho các kết quả tính được trên phần mền Maple.

2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu

Luận văn chủ yếu hệ thống lại một số hố thế năng khác năng khác nhau thông qua
vic gii phng trỡnh Schrăodinger bng phng phỏp NikiforovUvarov. Cỏc bài toán
được sắp xếp theo thứ tự của các hố thế năng từ đơn giản đến phức tạp. Bên cạnh đó,
luận văn cũng sử dụng phần mềm Maple để giải các bài toán về tán xạ.


3. Cấu trúc luận văn

Phần mở đầu:
Chương I: Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov.
Chương II: Hệ thống một số bài toỏn c hc lng t trong vic gii phng trỡnh
Schrăodinger ứng với các hố thế năng khác nhau.
Kết luận – Hướng phát triển.
Tài liệu tham khảo.
Phụ chú.


Chương I

I

Luận văn tốt nghiệp

Cơ sở của phương pháp Nikiforov–Uvarov
Phương pháp Nikiforov–Uvarov [3] được xây dựng bởi hai nhà vật lí người Nga,

Nikiforov và Uvarov. Cơ sở chính của phương pháp là dựa trên việc giải phương trình
vi phân bậc hai. Bng cỏch rỳt phng trỡnh Schrăodinger v phng trỡnh vi phân bậc
hai dưới dạng hàm siêu việt, ta sẽ tìm được giá trị chính xác của năng lượng và hàm
sóng tương ứng.
Ta xét phương trình vi phân bậc hai dưới dạng:

ψ (s) +

τ˜(s)
σ
˜ (s)
ψ (s) + 2 ψ(s) = 0,

σ(s)
σ (s)

(I.1)

trong đó, τ˜(s) là đa thức bậc nhất, σ(s) và σ˜ (s) là những đa thức bậc hai, ψ(s) là hàm
số có dạng của hàm hàm siêu việt.
Đưa phương trình (I.1) về dạng đơn giản hơn bằng cách đổi biến: ψ(s) = φ(s)y(s), trong
đó hàm ψ(s) được chọn sao cho thích hợp.
Ta có:
ψ (s) = φ (s)y(s) + φ(s)y (s),
ψ (s) = φ (s)y(s) + 2φ (s)y (s) + φ(s)y (s).

Khi đó phương trình (I.1) được viết lại:

y (s) +

2

φ (s) τ˜(s)
+
φ(s)
σ(s)

y (s) +

φ (s) φ (s) τ˜(s)
σ
˜ (s)
+

+ 2
φ(s)
φ(s) σ(s) σ (s)

y(s) = 0.

(I.2)

Đặt hệ số đứng trước y (s) bằng τ (s)/σ(s), với τ (s) là đa thức có bậc đồng nhất, ta được:

2

φ (s) τ˜(s)
τ (s)
+
=
,
φ(s)
σ(s)
σ(s)

(I.3)

φ (s)
π(s)
=
,
φ(s)
σ(s)

(I.4)

trong đó:

Trang 6


Chương I

Luận văn tốt nghiệp

với π(s) là đa thức có bậc được đồng nhất.
Từ biểu thức (I.3) và (I.4), ta biểu diễn τ (s) dưới dạng:
(I.5)

τ (s) = τ˜(s) + 2π(s).

Biểu thức φ (s)/φ(s) xuất hiện trong hệ số đứng trước y(s). Biểu diễn φ (s)/φ(s) theo
biểu thức (I.4):

φ (s)
=
φ(s)

φ (s)
φ(s)

+

φ (s)

φ(s)

2

=

π(s)
σ(s)

+

π(s)
σ(s)

2

(I.6)

và hệ số đứng trước y(s) cũng được viết lại:

φ (s) φ (s) τ˜(s)
τ˜(s)
σ(s)
+
+ 2
= 2 ,
φ(s)
φ(s) σ(s) σ (s)
σ (s)

(I.7)

σ(s) = σ
˜ (s) + π 2 (s) + π(s)[˜
τ (s) − σ (s)] + π (s)σ(s).

(I.8)

với

So sánh các vế của phương trình (I.2), (I.3) và (I.7), ta được:

y (s) +

σ(s)
τ (s)
y (s) + 2 y(s) = 0.
σ(s)
σ (s)

(I.9)

Từ phương trình (I.7), ta thấy rằng σ(s) chia hết cho σ(s), nên ta đặt:
σ(s) = λσ(s),

(I.10)

trong đó λ là một hằng số.
Khi đó phương trình (I.9) được đưa về dưới dạng:
σ(s)y (s) + τ (s)y (s) + λy(s) = 0.

(I.11)

Phương trình (I.11) cũng là phương trình có dạng của hàm siêu việt, và nghiệm của nó
cũng được biểu diễn dưới dạng hàm siêu việt.
Trang 7


Chương I

Luận văn tốt nghiệp

Tiếp theo, ta sẽ đi tìm hàm π(s) và hằng số λ bằng cách viết lại phương trình (I.8) dưới
dạng biểu thức bậc hai theo π(s):
π 2 (s) + π(s)[˜
τ (s) − σ (s)] + σ
˜ (s) − λ + π (s) = 0.

(I.12)

Nghiệm của phương trình bậc hai (I.12):

σ (s) − τ˜(s)
±
π(s) =
2

σ (s) − τ˜(s)
2

2

−σ
˜ (s) + kσ(s),

(I.13)

với
k = λ − π (s).

(I.14)

Vì π(s) là một đa thức nên biểu thức dưới dấu căn của phương trình (I.13) phải có dạng
bình phương của một đa thức. Do đó, ∆s = 0. Sau đó, dựa vào biểu thức ∆s = 0, ta tìm
được các giá trị của k , và từ đó ta sẽ tìm được các hàm π(s) tương ứng từ phương trình
(I.13). Các biểu thức τ (s), λ và φ(s) cũng được xác định bởi phương trình (I.5), (I.14)
và (I.4).
Vì đạo hàm của hàm siêu việt cũng là một hàm siêu việt. Do đó, khi lấy đạo hàm bậc
một phương trình (I.11) và đặt υ1 (s) = y (s), ta thu được:
συ1 (s) + τ1 (s)υ1 (s) + µ1 υ1 (s) = 0,

(I.15)

τ1 (s) = τ (s) + σ (s)

(I.16)

µ1 = λ + τ (s)

(I.17)

với

và

là các đa thức có bậc được đồng nhất, µ1 là tham số phụ thuộc vào biến số s.
Tương tự, đạo hàm bậc hai của phương trình (I.11), với υ2 (s) = y (s):
σ(s)υ2 (s) + τ2 (s)υ2 (s) + µ2 υ2 (s) = 0,

(I.18)

τ2 (s) = τ1 (s) + σ (s) = τ (s) + 2σ (s)

(I.19)

với

Trang 8


Chương I

Luận văn tốt nghiệp

và
µ2 = µ1 + τ1 (s) = λ + 2τ (s) + σ (s).

(I.20)

Bằng cách tương tự, đạo hàm bậc n phương trình (I.11) với υn (s) = y (n) (s), ta được:

σ(s)υn (s) + τn (n)υn (s) + µn υn (n) = 0,

(I.21)

τn (s) = τ (s) + nσ (s)

(I.22)

với

và
µn = λ + nτ (s) +

n(n − 1)
σ (s).
2

(I.23)

Tất cả các nghiệm của phương trình (I.21) được biểu diễn dưới dạng υn (s) = y (n) (s), với
y(s) là nghiệm của phương trình (I.11). Khi µn = 0, phương trình (I.21) sẽ có nghiệm

đặc biệt υn (s) = const, do đó phương trình (I.23) trở thành:

λn = −nτ (s) −

n(n − 1)
σ (s), n = 0, 1, 2...
2

(I.24)

yn (s) là hàm có dạng hàm siêu việt:

yn (s) =

Bn dn n
[σ (s)ρ(s)] ,
ρ(s) dsn

(I.25)

với Bn là hằng số chuẩn hóa và ρ(s) phải thỏa điều kiện:
[σ(s)ρ(s)] = τ (s)ρ(s).

Trang 9

(I.26)


Chương I

Luận văn tốt nghiệp

Kết luận chương I
• Ta thấy vic gii phng trỡnh Schră
odinger bng phng phỏp NikiforovUvarov

s cho nghiệm (hàm sóng) chính xác. Việc tính tốn cũng sẽ đơn giản hóa hơn khi
ta đưa phương trình về dạng phương trình siêu việt, sau đó áp dụng các tính chất

đặc biệt của hàm này để giải tìm nghiệm.
• Một lu ý khi gii phng trỡnh Schră
odinger bng phng phỏp Nikiforov–Uvarov

là cần đổi biến số mới phù hợp để rút về dưới dạng phương trình (I.1). Thứ hai,
cần chọn giá trị của k và hàm π(s) thích hợp sao cho đạo hàm bậc nhất của hàm
τ (s) khi đó phải mang giá trị âm (τ (s) < 0).
• Tuy nhiên, phương pháp này cũng có hạn chế khi khơng áp dụng được cho các hố

thế như: hạt chuyển động trong hố thế sâu vô hạn hay hiệu ứng đường ngầm.

Trang 10


Chng II

II

Lun vn tt nghip

Gii phng trỡnh Schră
odinger cho cỏc hố thế
năng khác nhau
Trong chương II, đề tài khóa luận s h thng li vic gii phng trỡnh Schrăodinger

cho 10 hố thế năng khác nhau, đó là các hố thế: hố thế sâu vô hạn, hàng rào thế, dao
động tử iu hũa, WoodsSaxon, Morse, PăoschlTeller, Coulomb, Hulthen, Kratze v
dao ng giả điều hịa. Trong đó, với hố thế sâu vơ hạn và hàng rào thế, đề tài khóa luận
sẽ giải phng trỡnh Schrăodinger bng cỏch gii phng trỡnh vi phõn cấp hai cơ bản.
Riêng đối với tám hố thế năng còn lại, đề tài sẽ áp dụng phương pháp Nikiforov–Uvarov

như đã trình bày ở chương I.

1

Hạt trong hố thế năng sâu vô hạn
Hố thế năng sâu vô hạn [1],[2] là một mơ hình đơn giản mơ tả chuyển động và tính

chất lượng tử của một hạt vi mơ. Ta xét một hạt có khối lượng m, chuyển động trong
hố thế có thành cao vơ hạn, bề rộng a và biểu thức hàm thế năng được xác định bởi:

Hình II.1: Hố thế năng sâu vô hạn
0,

0≤x≤a

(II.1a)

+∞,

x < 0, x > a

(II.1b)

V (x) =

Trang 11


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Xét thấy hàm thế năng không phụ thuộc thời gian nên ta có thể viết phương trỡnh
Schrăodinger di dng dng:

d2

+ V (x) (x) = E(x).
2m dx2
2

(II.2)

Ta viết lại phương trình (II.2) dưới dạng phương trình vi phân:

ψ (s) −

2m
2

[V (x) − E] ψ(x) = 0.

(II.3)

• Xét trong hai miền x < 0 và x > a: V (x) = +∞

Nhận thấy phương trình chỉ có nghiệm khi ψ(x) = 0 (nghiệm tầm thường), nên ta không
nhận trường hợp này.
• Xét cho miền 0 ≤ x ≤ a: V=0

Phương trình (II.2) khi đó được viết lại dưới dạng:

với k =

√

ψ (x) + k 2 ψ(x) = 0,

(II.4)

ψ(x) = A cos kx + B sin kx.

(II.5)

2mE/ , (E ≥ 0).

Vì hàm sóng phải liên tục, đơn trị và hữu hạn nên ta đặt điều kiện liên tục tại hai biên:
ψ(0) = 0, ψ(a) = 0. Vì vậy, hàm sóng phải thỏa mãn đồng thời hai phương trình:



A cos k0 + B sin k0 = 0

(II.6)


A cos ka + B sin ka = 0
Giải hệ phương trình ta tìm được:
k=

nπ
, n = 1, 2, 3, ...
a
Trang 12

(II.7)


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Vì thế, hàm sóng có dạng:
ψ(x) = B sin

nπ
x .
a

(II.8)

Bằng cách chuẩn hóa hàm sóng, ta tìm được hệ số B như sau:
+∞

|ψ(x)|2 dx = 1

(II.9)

−∞

⇒B=

2
.
a

(II.10)

Vậy, hàm sóng khi hạt chuyển động trong hố thế sâu vơ hạn có dạng:

ψ(x) =

với số sóng: k =

nπx
2
sin
, n = 1, 2, 3...
a
a

(II.11)

nπ
nπ
, xung lượng: p = k =
, và biểu thức năng lượng:
a
a
p2

( k)2
n2 π 2 2
En =
=
=
.
2m
2m
2ma2

(II.12)

Nhận xét:
• Bằng cách giải phương trình vi phân bậc hai cho hố thế sâu vơ hạn, ta đã tìm

được nghiệm chính xác của hàm sóng và giá trị năng lượng ứng với các mức lượng
tử khác nhau.
• Với biểu thức năng lượng vừa tìm được, ta nhận thấy rằng năng lượng của hạt khi

chuyển động trong thế giới vi mô không thể nhận giá trị liên tục tùy ý như khi
chuyển động trong thế giới vĩ mơ mà chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn theo
từng mức năng lượng.
• Khi hạt chuyển động ở mức năng lượng thấp nhất ứng với n = 1, E1 =

π2 2
> 0,
2ma2

ta thấy năng lượng ln lớn hơn khơng. Điều này có nghĩa là, trong thế giới vi mô
không tồn tại một hạt ở trạng thái đứng yên, mà các hạt luôn ln ở trạng thái

chuyển động.
Những tính chất này khơng thể gặp trong cơ học cổ điển.

Trang 13


Chương II

2

Luận văn tốt nghiệp

Hàng rào thế - Hiệu ứng đường ngầm
Trong cơ học lượng tử, hàng rào thế là bài tốn một chiều phổ biến mơ tả hiện tượng

truyền qua và phản xạ của các hạt khi chuyển động qua những rào thế khác nhau [1],[2].
Ở bài toán này, chỳng ta s gii phng trỡnh Schrăodinger dng cho mt hạt tự do để
khảo sát những hiệu ứng lượng tử tương ứng của nó.
Trong trường hợp hàng rào thế năng, ta sẽ xét hai dạng hàng rào thế đơn giản là rào
thế bậc thang và rào thế chữ nhật.

a) Rào thế bậc thang
Xét một hạt chuyển động một chiều trong hố thế năng dạng bậc thang vng góc với
hàm thế năng có dạng:

Hình II.2: Rào thế bậc thang
0,

x<0

(II.13a)

V0 ,

x≥0

(II.13b)

V (x) =

Vì hàm thế năng khơng phụ thuộc vào thời gian nờn phng trỡnh Schrăodinger khi ú
c vit di dng dng:
2



d2
+ V (x) ψ(x) = Eψ(x),
2m d2 x
Trang 14

(II.14)


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

hay dưới dạng vi phân:
ψ (x) −

2m
2

[V (x) − E(x)]ψ(x) = 0.

(II.15)

Để giải tìm hàm sóng cho hố thế dạng này, ta chia không gian thành hai min v gii
phng trỡnh Scgrăodinger ng vi hai trng hợp của năng lượng so với hàng rào thế:
E > V0 và E ≤ V0 .

Trước hết, ta xét trường hợp năng lượng cao hơn chiều cao rào thế:
E > V0
ã Min I: (x < 0)

Phng trỡnh Schrăodinger cho min I sẽ là:
ψ (x) + k12 ψ(x) = 0,

với k1 =

(II.16)

√
2mE/ .

Giải phương trình vi phân (II.16), ta tìm được nghiệm cho miền I dưới dạng:
ψI (x) = Aeik1 x + Be−ik1 x .

(II.17)

• Miền II: (x ≥ 0)

Phương trình Schrăodinger cho min II:
(x) + k22 (x) = 0,

vi: k2 =

(II.18)

2m(E − V0 )/

Giải phương trình vi phân (II.18), ta tìm được nghiệm cho miền II dưới dạng:
ψII (x) = Ceik2 x + De−ik2 x .

(II.19)

Xét thấy miền II chỉ có sóng truyền qua nên D = 0. Đồng thời, dựa vào điều kiện chuẩn
hóa ta sẽ chọn: A = 1.
Khi ú, nghim ca ca phng trỡnh Schrăodinger cho miền I và miền II lần lượt là:
ψI (x) = eik1 x + Be−ik1 x ,

(II.20)

ψII (x) = Ceik2 x .

(II.21)

Trang 15

Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Dựa vào điều kiện liên tục của hàm sóng: ψI (0) = ψII (0), ψ˙I (0) = ψ˙II (0), ta có hệ phương
trình:


1 + B = C

(II.22)


1 − B = k2 C
k1

(II.23)
Giải hệ phương trình (II.22), ta tính được các hệ số B và C như sau:



C =

2
1 + k2 /k1
1 − k2 /k1


B =

1 + k2 /k1

(II.24)

Do đó, ta cũng tìm được hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T dưới dạng:

1 − k2 /k1
R = |B| =
1 + k2 /k1

2

2

T = |C|2

,

4k2 /k1
k2
=
.
k1
(1 + k2 /k1 )2

(II.25)

(II.26)

Nhận xét [1]:

• Từ các biểu thức (II.25) và (II.26) tương ứng xác định hệ số phản xạ R và hệ số

truyền qua T như trên, ta nhận thấy rằng: R + T = 1 với mọi giá trị k1 và k2 , điều
này cho thấy số hạt trung bình ln được bảo tồn.
• Tiếp theo, ta xét các giá trị giới hạn khi E → ∞ và E → V0 :

Xét tỉ số:
k2
=
k1

1−

V0
,
E

(II.27)

nên hệ số phản xạ được viết lại như sau:
R=

1−

1 − V0 /E

1+

1 − V0 /E

2

.

(II.28)

Dựa vào biểu thức (II.28) ta thấy khi E → ∞ : R → 0, T → 1 nên khơng có hạt bị phản
xạ tại rào thế. Ngược lại, khi E → V0 : R → 1, T → 0 nên hạt bị phản xạ hoàn toàn tại
rào thế.
Trang 16


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Tiếp theo, ta xét trường hợp năng lượng thấp hơn hoặc bằng chiều cao
rào thế:
E ≤ V0
ã Min I: (x < 0)

Phng trỡnh Schră0dinger tng t như đối với trường hợp E > V0 .
• Miền II: (x 0)

Phng trỡnh Schră0dinger trong trng hp ny được viết lại dưới dạng:
ψ (x) − κ2 ψ(x) = 0,

với κ =

(II.29)

2m(V0 − E)/ .

Vì hàm sóng phải thỏa điều kiện hữu hạn nên ta chọn nghiệm trong miền II sao cho
khi x → ±∞ thì hàm sóng triệt tiêu. Do đó hàm sóng cho miền II được chọn sẽ là:
ψII (x) = Ce−κx .

Vì vậy, hàm sóng cho miền I và miền II lần lượt là:
ψI (x) = eik1 x + Be−ik1 x ,

(II.30)

ψII (x) = Ce−κx .

(II.31)

Tương tự như đối với miền I, ta xét điều kiện liên tục của hàm sóng tại biên (x = 0) và
thu được hệ phương trình sau:



1 + B = C

1 − B = κ C

(II.32)

ik1

Giải hệ phương trình (II.32), ta tìm được hệ số B và C tương ứng:



1 − iκ/k1

B =


C =

1 + iκ/k1
2
1 + iκ/k1

Trang 17

(II.33)


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Từ hệ phương trình (II.33) xác định hệ số B và C , ta cũng tương tự tính được hệ số
phản xạ R và hệ số truyền qua T như sau:

R=

1 − iκ/k1
1 + iκ/k1

2

= 1,

T = 0.

(II.34)

(II.35)

Nhận xét:

Khi hạt chuyển động với năng lượng nhỏ hơn so với chiều cao rào thế (E ≤ V0 ), ta
thấy hạt sẽ bị phản xạ (do R = 1). Nếu hạt có truyền qua được rào thế thì cũng bị triệt
tiêu rất nhanh nên trong trường hợp này ta có thể xem như hạt bị phản xạ tồn phần.

Kết luận cho trường hợp hạt chuyển động qua rào thế bậc thang:

Bằng việc giải phương trình vi phân bậc hai cho rào thế bậc thang, ta cũng tìm được
nghiệm chính xác của hàm sóng ứng với mỗi vùng khơng gian khác nhau. Tính được
xác suất truyền qua và phản xạ khi hạt chuyển động ứng với mức năng lượng cao hơn
hay thấp hơn hàng rào thế năng. Dựa vào đó, ta nhận thấy khi một hạt chuyển động
qua rào thế có những tính chất khác biệt mà chúng ta khơng thể có trong thế giới vĩ mơ.

b) Rào thế hình chữ nhật
Ngồi dạng rào thế bậc thang như đã xét bên trên, ta sẽ xét thêm một trường hợp
khác, khi một hạt chuyển động qua rào thế vng góc có bề rộng hữu hạn. Tương tự,
ta sẽ sẽ đi tìm hàm sóng cho từng miền tương ứng với từng trường hợp của năng lượng
so với chiều cao rào thế, sau đó nhận xét xác suất truyền qua và phản xạ của một hạt

khi chuyển động qua hố thế dạng này.
Rào thế được xác định bởi hàm thế năng:

Trang 18


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Hình II.3: Rào thế chữ nhật

0,

khi |x| > a

(II.36a)

V0 ,

khi −a ≤ x ≤ a

(II.36b)

V (x) =

Vì hàm thế năng khơng phụ thuộc vào thời gian, nờn ta cú th vit c phng trỡnh
Schrăodinger dng di dạng vi phân:

ψ (x) −

2m
2

[V (x) − E]ψ(x) = 0.

(II.37)

Tương tự như đối với rào thế bậc thang, trong rào thế chữ nhật này ta cũng sẽ khảo
sát bài toán khi hạt chuyển động ứng với hai trường hợp của năng lượng, khi E > V0 và
khi E ≤ V0 .
Trước tiên, ta xét trường hợp năng lượng cao hơn chiều cao rào thế:
E > V0
• Miền I (x < −a) và miền III (x > a): V0 = 0

Phương trỡnh Schrăodinger khi ú:
(x) + k12 (x) = 0,
Trang 19

(II.38)


Chương II

với k1 =

Luận văn tốt nghiệp

√
2mE/ .

Giải phương trình (II.38), ta tỡm c nghim ca phng trỡnh Schrăodinger cho miền
I và miền III lần lượt là:

ψI (x) = A1 eik1 x + B1 e−ik1 x ,

(II.39)

ψIII (x) = A3 eik1 x + B3 e−ik1 x .

(II.40)

Bằng việc chuẩn hóa hàm sóng, ta chọn A1 = 1. Và xét thấy miền III chỉ có sóng truyền
qua khơng có sóng phản xạ nên B3 = 0.
• Miền II: (−a ≤ x a)

Phng trỡnh Schrăodinger cho min II s l:
(x) + k22 ψ(x) = 0,

với k2 =

(II.41)

2m(E − V0 )/ .

Giải phương trình (II.41), ta được nghiệm của phương trình Schrăodinger cho min II cú
dng:
II (x) = A2 eik2 x + B2 e−ik2 x .

(II.42)

Khi đó, hàm sóng thu được cho ba miền I, II, III:




ψI (x) = eikI x + B1 e−ik1 x



ik2 x

ψII (x) = A2 e
+ B2 e





ψIII (x) = A3 eik1 x

−ik2 x

(II.43)

Hàm sóng phải liên tục tại các biên, nên ta có hệ phương trình sau:



e−ik1 a + B1 eik1 a = A2 e−ik2 a + B2 eik22 a







−ik2 a
ik1 a
 ik2 a
A2 e

+ B2 e

= A3 e




ik1 e−ik1 a − ik1 B1 eik1 a = ik2 A2 e−ik2 a − ik2 B2 eik2 a





ik A eik2 a − ik B e−ik2 a = ik A eik1 a
2

2

2

2

1

Trang 20

3

(II.44)


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Giải hệ phương trình (II.44), ta thu được hệ số B1 và A3 (do ta chỉ quan tâm đến hệ số
phản xạ và hệ số truyền qua):

B1 = iA3

k22 − k12
sin(2k2 a)
2k1 k2

(II.45)

k 2 + k22
cos(2k2 a) − i 1
sin(2k2 a)

2k1 k2

−2ik1 a

A3 = e

−1

(II.46)

.

Dựa vào (II.44) và (II.45), ta tính được hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T lần lượt là:

R=

|B12 |

=

k22 − k12
2k1 k2

T =

|A23 |

=

2

2

sin (2k2 a)

1+

k12 − k22
2k1 k2

1+

k12 − k22
2k1 k2

−1

2
2

sin (2k2 a)

,

(II.47)

−1

2
2

sin (2k2 a)

.

(II.48)

Nhận xét:
• Ta xét thấy, năng lượng chuyển động của hạt trong trường hợp này lớn hơn so với

hàng rào thế năng, nhưng ta vẫn tìm được xác suất hạt bị phản xạ trở lại rào thế
(do R = 0).
• Mặt khác, ta luôn thấy rằng R + T = 1, điều này có nghĩa số hạt ln được bảo

tồn, tức là mật độ của dịng tới ln bằng tổng mật độ dịng phản xạ và dịng
truyền qua.
Những tính chất này khơng có tương tự trong thế giới cổ điển.

Trang 21


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Tiếp theo, ta xét trường hợp năng lượng thấp hơn hoặc bằng chiều cao
rào thế:
E ≤ V0
• Miền I: (x < −a) và miền III: (x > a)

Phng trỡnh Schrăodinger cho min I v min III tương tự như trường hợp E > V0 .

• Miền II: (a x a)

Phng trỡnh Schrăodinger cho min II được viết dưới dạng:
ψ (x) − κ2 ψ(x) = 0,

với κ =

(II.49)

2m(V0 − E)/ .

Khi đó, nghiệm của phương trỡnh Schrăodinger cho min II cú dng:
II (x) = A2 eκx + B2 e−κx

(II.50)

Hàm sóng thu được cho miền I, II và III có dạng:




ψI (x) = eik1 x + B1 e−ik1 x




ψII (x) = A2 (x)eκx + B2 e−κx






ψ (x) = A eik1 x

(II.51)

3

III

Hàm sóng phải liên tục tại biên nên ta có hệ phương trình sau:



e−ik1 a + B1 eik1 a = A2 e−κa + B2 eκa






A2 eκa + B1 e−κa = A3 eik1 a

(II.52)




ik1 e−ik1 a − ik1 B1 eik1 a = κA2 e−κa − κB2 eκa






κA eκa − κB e−κa = ik A eik1 a
2

2

1

3

Giải hệ phương trình trên ta tìm được hệ số B1 và A3 :

k12 + κ2
B1 = A3
sinh(2κa)
2ik1 κ
Trang 22

(II.53)


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

A3 = e

k 2 − κ2
cosh(2κa) − i 1
sinh(2κa)
2k1 κ

−2ik1 a

−1

(II.54)

.

Dựa vào (II.53) và (II.54) ta tính được hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T lần lượt là:

R=

|B12 |

=

k12 + κ2
2ik1 κ

T =

|A23 |

=

2
2

sinh (2κa)

1
1+
4

k12 + κ2
k1 κ

1
1+
4

k12 + κ2
k1 κ

−1

2
2

sinh (2κa)

.

(II.55)

−1

2
2

sinh (2κa)

.

(II.56)

Nhận xét:
Ứng với mức năng lượng nhỏ hơn so với chiều cao thế năng, ta tìm được xác suất
để hạt xuyên qua rào thế này (vì T = 0). Điều này cho thấy vẫn có xác suất hạt tồn
tại trong miền cấm cổ điển. Dựa vào hiệu ứng này, mà ngày nay người ta đã ứng dụng
được rất nhiều vào đời sống kĩ thuật.
Kết luận cho trường hợp hạt chuyển động qua rào thế chữ nhật:

Cũng tương tự, giải phương trình vi phân bậc hai cho từng miền cụ thể, ta đã tìm
được nghiệm chính xác cho hàm sóng ứng với mỗi miền. Đồng thời, ta cũng tính được
xác suất truyền qua và phản xạ của một hạt khi mức năng lượng của hạt cao hoặc nhỏ
hơn mức thế năng đang xét. Dựa vào đó, ta thấy rằng khi hạt chuyển động qua rào thế
có những tính chất đặc biệt mà ta chỉ tìm được trong thế giới vi mơ, nhất là hiệu ứng
xuyên hầm lượng tử là một hiệu ứng thường gặp khi giải bài toán cho một hạt mà năng
lượng của nó thấp hơn so với rào thế năng đang xét.

Trang 23


Chương II

Luận văn tốt nghiệp

Đối với những hố thế năng tip theo, ta s gii phng trỡnh Schrăodinger bng phng
phỏp Nikiforov–Uvarov như đã trình bày ở chương I.

3

Dao động tử điều hòa
Hố thế dao động tử điều hòa là một mơ hình được sử dụng để mơ tả nhiều hệ của

vật lí bằng phương trình dao động điều hịa, như sự dao động của các phân tử, dao
động âm học của vật rắn, sóng điện từ [4] ... Đây được xem là một trong những hố thế
thường gặp khi xét các bài toán vật lý.
Biểu thức hố thế dao động tử điều hịa trong khơng gian ba chiều được viết dưới dạng:

1
V (r) = mω 2 r2 ,
2

(II.57)

với ω là tham số của hố thế.
Vì hố thế năng khơng phụ thuc thi gian nờn ta vit phng trỡnh Schrăodinger di
dng dừng. Tuy nhiên, xét thấy biểu thức hố thế năng chỉ phụ thuộc vào bán kính r
nên ta sẽ xét phương trình hàm bán kính trong hệ tọa độ cầu:

l(l + 1)
d2 R(r) 2 dR(r) 2m
+

+ 2 E − V (r) −
R(r) = 0.
2
dr
r dr
2mr2

Đặt R(r) =

(II.58)

U (r)
, ta thu được phương trình tương đương với phương trình (II.58):
r

d2 U (r) 2m
1
+
E
−
mω 2 r2 −
2
dr2
2

2 l(l

Để giải phương trình (II.59) ta tiếp tục đặt: ε =

+ 1)

U (r) = 0.
2mr2

2mE
2

,β=

m2 ω 2
2

(II.59)

, s = r2 , U (r) −→ ψ(s),

khi đó phương trình (II.58) được đưa về dưới dạng:

d2 ψ(s)
1 dψ(s)
1
+
+ 2 βs2 + εs − l(l + 1) ψ(s) = 0.
2
ds
2s ds
4s

Trang 24

(II.60)