toan hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÀI TẬP NGUYÊN HÀM f ( x) dx F ( x)  C Dạng 1: Tính nguyên hàm theo công thức:  1. Phương pháp:.  f ( x)  g  x   dx f  x  dx   g  x  dx   f ( x)  g  x   dx f  x  dx   g  x  dx  kf ( x )dx k f ( x )dx Áp dụng công thức: .   Áp dụng công thức trong bảng nguyên hàm. 2. Bài tập tham khảo và bài tập luyện tập: Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số:. 1..  x  3x. 2. 1..  x  5  dx 4. 2.. x2 x5 3   x   5x  C 2 5 2.. .  x. 3.  2sin x  3cos x . 3. 2 x   e  2 dx x . x4   2cosx+3sinx-2ln x  e x  2 x  C 4 1. . 2.   3x 3  5 x  9  dx x  4 2 3x 5 x tan x+2cotx+   9x  C 4 2 1  4.  x  x x  3 x 2  3 dx x  . 3..  cos x  sin 2. 2. 2 1  1   x 2  x.x 2  x 3  x  3 dx   2 3  1   x 2  x 2  x 3  x  3 dx   3. 5. 5. x 2 x 2 x 3 x 2      C ... 3 5 5 2 2 2 3. 1. 2. 3..  x  3x  2dx  2 x  3dx  3x  3x  2dx  4sin x  5cos x  1dx 3. 2. 4. 2. 1. .  x  x  2 dx  e  x  3dx x. 3. 7.   9  dx x  7 2   2.  2    2 x  dx 2 2 sin x cos x     1 1.  x   x 3 x dx 3 2 x   2 x  x 2. 4.  dx x x x 3.  dx x x+ x  x 2 4 .  dx x 1.. 4 .. . 2.  cos x  sin 2. . x  x2 5. x4. dx. 2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. 3.  x-1 x dx  x  2 x 1 x dx  x  2 x  x  dx. 1.. x 6 2 x5 x 4   C 6 5 4 3x-1 6.  dx 3x+1 2    1 dx  3x+1  1 2  x  2. ln 3 x  1  C  x  ln 3 x  1  C 3 3. 4.. 5.. 2. 3. 5. 4. 3. . 7..  e. x.  e  x  e 2 x  e  1 2 x dx. 1  x 1 2 x 1  1 2 x e  e  e C 1 2 2 1 1 e x  e x  e 2 x  e  1 2 x  C 2 2 e x . 8.. sin5x.cos2xdx. 1  sin 7 x  sin 3x  dx 2 1 1 1     cos7x- cos3x  +C 2 7 3  . Dạng 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến: Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2x 1.  2 dx x 1 t  x 2  1  dt 2 xdx 2x dt 2  x 2 1 dx  t ln t  C ln x 1  C 2x 2.  dx x 2 1 t  x 2  1  t 2  x 2  1  2tdt 2 xdx 2xdx 2tdt 2  x 2 1  t 2dt 2t  C 2 x 1  C. 2. 3.. 2. 2. 2. 7.  x-2  x dx  3-x  x dx  1-2x  x dx  1-2x   x  2  dx 2. 9. 2x-1. 1..  2x+1 dx. 2..  x-3 dx. 2x-1. x 2 -2x-7  x+1 dx 1   1.  e x  x  1dx e   3.. . 2 x 2. 1  dx e . 2..  e. 3..  e  e  e  3dx sin5x.cos3xdx sin9x.cos5xdx cos4x.cos2xdx sin4x.sin3xdx. 1. 2. 3. 4.. 2x. . 2 x 2. 3x. 4x. 3x 2  x 3 1 dx x3 2.  dx 2-x 4. 1.. 1.. x2. dx x3 1 sinx 2.  3 dx 1  cosx. .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3.. 3 7.  2+x . x 2 dx 1 dt  x 2 dx 3. t 2  x 3  dt 3 x 2 dx  3 7.  2+x  4..  1-2x . 10. 7. 3 8. . C. dx. 2.. 2  1+x  2 xdx. 3..  1-sinx . 1 dt dx 2. 8. 11. 3. t sin x  dt=cosxdx 3. 3.  2-4sinx dx. 2..  2sinx+3 dx. 3..  9sinx+9 dx. 2. t. 4. sin x C 4. cosx. 1.. 1.. sin xcosxdx. sin xcosxdx t dt  4  C . cosxdx. 5. 10. 4. 3.  1+x  dx 2.  1+2x  dx 3.  2-3x  dx. 1 2x  C 1 1 t 11 1-2x dx  t . dt  .  C      2 2 11 22 cosx 5.  dx 2+9sinx 1 t 2+9sinx  dt=9cosxdx  dt cosxdx 9 1 dt cosx 9  1 dt  1 ln t  C 1 ln 2+9sinx  C dx   2+9sinx  t 9  t 9 9 10. 2 xdx. 7. 1.. t 1  2 x  dt  2dx  . 6..  1-x . 3. 2x 1 1 t8 x dx t . dt  C  3 38 24 2. 2 4. 1.. 1. 1.. cosx. cosx. 9. sin xcosxdx  2+sin x  cosxdx cos x sin xdx  cos x  4  sinxdx 9. 6. 9. udv uv  vdu Dạng 3: Tính nguyên hàm từng phần:  Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số: u ax  b a x+b sin xdx         dv sin xdx Loại 1: 1..  x sin xdx. u  x   dv sin xdx. 1.  du dx  v  cos x.  x sin xdx  x cos x  cos xdx  x cos x  sin x  C 2..  2x-3 sin xdx. u 2 x  3   dv sin xdx. du 2dx  v  cos x.  x sin xdx   2 x  3 cos x  2cos xdx   2 x  3 cos x  2sin x  C. 2. 3. 1..  2x sin xdx 3x sin xdx 9x sin xdx.  3x+4  sin xdx 2.  1-2x  sin xdx 3.  8-9x  sin xdx.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1..  x sin 3xdx. 1.. du dx   1 v  3 cos 3x 1 1 1 1  x sin 3xdx  3 x cos 3x  3 cos 3xdx  3 x cos 3x  3 sin 3x  C u ax  b  ax+b  co s xdx   dv cos xdx Loại 2:. 2.. u  x   dv sin 3 xdx. 3.. 1.. 1..  x cos xdx. u  x   dv cos xdx. du dx  v sin x.  x cos xdx x sin x  2.. 2. 3.. sin xdx x sin x  cos x  C.  9x+1 cos xdx. 1.. u 9 x  1 du 9dx    dv cos xdx v sin x. 2..  9x+1 cos xdx  9 x 1 sin x  9sin xdx  9 x  1 sin x  9 cos x  C 3..  x cos 9 xdx. 1..  du dx   1 v  9 sin 9 x 1 1 1 1  x cos 9 xdx 9 x sin 9 x  9 sin 9 xdx 9 x sin 9 x  9 cos 9 x  C u ax  b x  ax+b  e dx   dv e xdx Loại 3: u  x   dv cos 9 xdx. 1.. x. x. x. x.  xe dx xe  e dx xe. x.  ex  C. x.  x cos 2 xdx 3x cos 4 xdx  x cos 5xdx. x.  2+3x e dx  2  3x  e. 2xe dx 2. 7xe dx 3. 5xe dx 1.  2x+3e dx 2.  2-7x e dx 3.  2 xe dx x. x. u 2  3 x du 3dx    x x  dv e dx v e. Loại 4:. 3..  2x+4  cos xdx  1-3x  cos xdx  3-7x  cos xdx. x.  2+3x e dx. x. 2..  2x cos xdx 3x cos xdx 7x cos xdx. 1..  xe dx. u x du dx     x x dv e dx v e 2.. 3.. 2x sin 2 xdx 3x sin 3xdx  x sin 6 xdx. x. 3x. x. x. x. x.  3e dx  2  3x  e  3e  C u ln x dv  ax  b  dx.  ax+b  lnxdx   .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1..  x ln xdx. 1.. 1  du  dx  u ln x x2  x   x ln xdx  ln x     2 2 dv xdx v  x  2 2 x 1 x2 1 x2  ln x   xdx  ln x  .  C 2 2 2 2 2 2.. x. 5. x2 1  2 . x dx. 2. 3.. 1.. ln xdx.  2x ln xdx  xlnx+lnx  8x ln xdx. 3.  x ln xdx 4x ln xdx. 2 1  2. du  dx 6 6  u ln x x x 1  x 3     x 5 ln xdx  ln x   . dx  5 6 6 6 x 3. 2x dv  x dx x  v   ln xdx  6 4.  x 4 ln xdx 6 6 6 x 1 x 1 x  ln x   x 5 dx  ln x  .  C 6 6 6 6 6 ln x ln x 1.  3 dx  x5 dx x 2 ln x 1  2. dx du  dx u ln x  u ln x x4   x     1  5 -4 5ln x dv  dx dv  x dx    v= x 3.  7 dx x5 x   4 ln x x -4 x -4 1 x -4 1 x -4 1 x 4 5 dx  ln x  . dx  ln x  x dx  ln x  . C  x5 4 x 4 4 4 4 4 4 Dạng 4: Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện cho trước. Bước 1: Tìm họ các nguyên hàm. Bước 2: Thế điều kiện vào tìm hằng số C. Bước 3: Thế C vừa tìm được vào nguyên hàm ở bước 1 ta được một nguyên hàm cần tìm. f  x  4 x 3  3 x 2  2 x  2 Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số biết F(1)=9. Bài giải. Ta có:. F  x   4 x 3  3x 2  2 x  2  dx  x 4  x 3  x 2  2 x  C. 4 3 2 Vì F(0)=9    1  1  2.1  C 9   1  C 9  C=10. Vậy:. F  x   4 x 3  3 x 2  2 x  2  dx x 4  x 3  x 2  2 x 10. Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số. f  x  sin x+x. biết F(0)=19.. Bài giải x2 F  x   sin x+x  dx  cosx+  C 2 Ta có: 2 0   cos0+  C 19   1  C 19  C=20 2 Vì F(0)=19 Vậy:. F  x   sin x+x  dx  cosx+. x2  20 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 3: Tìm một nguyên hàm của hàm số. 1   2x 2 sin x , biết tại x= 4 nguyên hàm đó bằng -1. Bài giải. f  x .  1  F  x   2  2 x dx  cot x+x 2  C  sin x  Ta có:  Vì tại x= 4 nguyên hàm đó bằng -1: 2.    2   F   1   cot     C  1  C  4  4 16 Nên  4  2  1  F  x   2  2 x dx  cot x+x 2  16  sin x  Vậy: Bài 4: Tìm nguyên hàm của hàm số. f  x  x 3  2 x 2  3. biết F(1)=3. 1 f  x  2  3 cos x Bài 5: Tìm nguyên hàm của hàm số biết F(0)=3. x 2x f  x  e  e  2 Bài 6: Tìm một nguyên hàm của hàm số , biết tại x=ln2 nguyên hàm đó bằng 1. 9. f  x   x 2  2  2 x. Bài 7: Tìm nguyên hàm của hàm số biết F(1)=3. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>