On tap ve HPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (310.82 KB, 30 trang )

(1)WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. MỤC LỤC Trang • I- Phương pháp thế. 03. • II- Phương pháp đặt ẩn phụ. 11. • III- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 21. • IV- Phương pháp đánh giá. 25. • V- Phương pháp cộng đại số. 27. • VI- Bài tập tự luyện. 29. ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.. 2.

(2) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. I- PHƯƠNG PHÁP THẾ • Mục đích: Đưa việc giải hệ phương trình hai ẩn về giải phương trình một ẩn. • Dưới đây là một số hệ phương trình mà có khả năng giải được bằng phương pháp thế. 1. Hệ phương trình có một phương trình là phương trình bậc nhất với ẩn x (hoặc y) • Phương pháp: Tính x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại. • Một số ví dụ: Ví dụ 1: x + 2y = 5 Giải hệ phương trình:  2 2  x + 2 y − 2 xy = 5. (1) (2). Giải:. y = 1 (1) ⇔ x = 5 − 2 y , thay vào (2), ta được: (2) ⇔ 10 y2 − 30 y + 20 = 0 ⇔  y = 2 • Với y = 1 ta được x = 3 • Với y = 2 ta được x = 1. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x = 3, y = 1 và x = 1, y = 2 Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2008) 4 3 2 2  x + 2 x y + x y = 2 x + 9 (1) Giải hệ phương trình:  2 (2)  x + 2 xy = 6 x + 6. (I). Giải: Cách 1: Nhận xét x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình.. −x2 + 6x + 6 Xét x ≠ 0 , ta có ( 2 ) ⇔ y = thế vào phương trình (1), ta được: 2x 2.  −x2 + 6x + 6  2  −x2 + 6x + 6  1 2 ⇔ x + x ()  + x   = 2x + 9 x x 2 2      x = 0 (lo¹i) 3 ⇔ x 4 + 12 x 3 + 48 x 2 + 64 x = 0 ⇔ x ( x + 4 ) = 0 ⇔   x = −4 4. 3. • x = −4 ⇒ y = −. 17 . 4. 17   Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm là ( x; y ) =  −4; −  . 4  ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.. 3.

(3) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________.  x 2 + xy 2 = 2 x + 9 (1)  . Cách 2: (I) ⇔  2 x  xy = 3 x + 3 − (2)  2. (. ). Thay xy = 3x + 3 −. x2 vào (1), ta được phương trình: 2. 2.  2 x = 0 x2  3 4 3 2 + + − x x 3 3   = 2 x + 9 ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = 0 ⇔ x ( x + 4 ) = 0 ⇔  2   x = −4  • x = 0 không thỏa mãn (2). • x = −4 ⇒ y = −. 17 . 4. 17   Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm là ( x; y ) =  −4; −  . 4  2. Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình tích. • Phương pháp: Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích, sau đó tính được x theo y (hoặc y theo x) rồi thế vào phương trình còn lại.. • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối A năm 2003) 1 1  x− = y−  Giải hệ phương trình:  x y 2 y = x3 + 1 . (1) (2). Giải: Cách 1: (Rút thế) Điều kiện xác định: x ≠ 0; y ≠ 0 .. (2) ⇔ y =. x3 + 1 , thế vào (1) ta được: 2. (1) ⇔ x 7 − 2 x 5 + 2 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 − 3 x + 2 = 0. (. ). ⇔ ( x − 1) x 6 + x 5 − x 4 + x 3 + 3 x 2 + x − 2 = 0 x = 1 ⇔ 6 5 4 3 2  x + x − x + x + 3x + x − 2 = 0 • Với x = 1 ta được y = 1 .. (*). ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.. 4.

(4) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. • Giải phương trình (*): (*) ⇔ x 4 x 2 + x − 1 + x x 2 + x − 1 + 2 x 2 + x − 1 = 0. (. (. ) (. )(. ) (. ). ). ⇔ x2 + x − 1 x4 + x + 2 = 0  x2 + x − 1 = 0 ⇔  x 4 + x + 2 = 0 • x2 + x − 1 = 0 ⇔ x =. −1 ± 5 2 2. 2. 1  1 3  • x 4 + x + 2 = 0 ⇔  x 2 −  +  x +  + = 0 (phương trình vô nghiệm) 2  2 2  Vậy hệ phương trình đã chó có 3 nghiệm là:.  −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5  (x ; y) = (1;1), ( x; y) =  ; ;  , ( x; y) =   2 2 2 2     Cách 2: (Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích) Điều kiện xác định: x ≠ 0; y ≠ 0 y = x  1  (1) ⇔ ( x − y)  1 +  = 0 ⇔  y = − 1 xy    x. x = 1 • Với y = x , thế vào (2), ta được: (2) ⇔ x − 2 x + 1 = 0 ⇔   x = −1 ± 5  2 3. 1 • Với y = − , thế vào (2), ta được: x 2. 2. 1  1 3  (2) ⇔ x + x + 2 = 0 ⇔  x 2 −  +  x +  + = 0 (phương trình vô nghiệm) 2  2 2  4. Vậy hệ phương trình đã chó có 3 nghiệm là:.  −1 + 5 −1 + 5   −1 − 5 −1 − 5  (x ; y) = (1;1), ( x; y) =  ; ;  , ( x; y) =   . 2 2 2 2     Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối D năm 2008)  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 Giải hệ phương trình:   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y. (1) (2). ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.. 5.

(5) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. y ≥ 0 Giải: Điều kiện xác định:  x ≥ 1. (1) ⇔ ( x + y) ( x − 2 y − 1) = 0 ⇔ x = 2 y + 1 (vì x + y > 0 do điều kiện xác định) Thay x = 2 y + 1 vào (2) ta được (2) ⇔ ( y + 1) 2 y = 2( y + 1) ⇔ y = 2 (vì y + 1 > 0 ). • Với y = 2 ta được x = 5 . Vậy hệ có một nghiệm là ( x; y) = (5;2) . Chú ý: Ta có thể phân tích (1) thành phương trình tích bằng cách sau: (1) ⇔ x 2 − ( y + 1) x − 2 y 2 − y = 0. Xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn x, ta tính được ∆ = ( 3 y + 1). 2. ( y + 1) + (3 y + 1)  x = x = 2y + 1 2 Do đó: (1) ⇔  ⇔ x = −y  x = ( y + 1) − (3 y + 1)  2 Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2011) 5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2 ( x + y ) = 0 (1)  Giải hệ phương trình:  2 2 2 (2)  xy x + y + 2 = ( x + y ). (. ). Giải: Nhận xét x = 0 và y = 0 không phải là nghiệm của hệ..  xy = 1. ( 2 ) ⇔ xy ( x 2 + y2 ) + 2 = x 2 + y2 + 2 xy ⇔ ( xy − 1) ( x 2 + y2 − 2 ) = 0 ⇔ . 2 2 x + y = 2. • xy = 1 ⇔ x =. 1 thay vào (1), ta được: (1) ⇔ y 4 − 2 y 2 + 1 = 0 ⇔ y = ±1 . y. Trong trường hợp này, hệ có hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) hoặc ( x; y ) = ( −1; −1) . • x 2 + y 2 = 2 thay vào (1), ta được:. (1) ⇔ 5x 2 y − 4 xy2 + 3y3 − ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) = 0 ⇔ 2 y3 − 5 xy 2 + 4 x 2 y − x 3 = 0 (ph−ơng trình đẳng cấp bậc 3 đối với x và y) 3. 2. y y y ⇔ 2   − 5   + 4. − 1 = 0 x x x ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.. 6.

(6) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. y x =1 x = y ⇔ ⇔ x = 2y y = 1  x 2 • Với x = y , ta cũng giải ra được ( x; y ) = (1;1) hoặc ( x; y ) = ( −1; −1) . • Với x = 2 y , thay vào (2), ta được: (2) ⇔ 5 y 2 = 2 ⇔ y = ±. 2 2 , suy ra x = ±2 . 5 5.   2 2  2 2   Tóm lại, hệ đã cho có tập nghiệm: S = (1;1) , ( −1; −1) ,  ;2  ,  − ; −2   . 5 5 5 5      Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối D năm 2012) 2 x 3 − x 2 y + x 2 + y 2 − 2 xy − y = 0 Giải hệ phương trình:   xy + x − 2 = 0. (1) (2). Giải: Cách 1: (Rút thế) Nhận xét x = 0 không thỏa mãn (2) nên (2) ⇔ y =. 2−x , thay vào (1), ta được: x. 2. 2−x 2−x − 2 (2 − x ) − = 0 ⇔ x 5 + x 4 − x 2 − 3x + 2 = 0 (1) ⇔ 2 x − x ( 2 − x ) + x +   x x   x = 1 ⇔ ( x − 1) x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x − 2 = 0 ⇔  4 3 2  x + 2 x + 2 x + x − 2 = 0 (*) 3. 2. (. ). • Với x = 1 , ta được y = 1 .. 1 1 35 5 Giải (*): Đặt x = t − , (*) trở thành: t 4 + t 2 − =0⇔t =± . 2 2 16 2 • Với t =. 5 5 −1 , ta được x = và y = 5 . 2 2. • Với t = −. − 5 −1 5 , ta được x = và y = − 5 . 2 2. Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm:.  5 −1   − 5 −1  ; 5  , ( x; y) =  ; − 5  . (x ; y) = (1;1), ( x; y) =   2   2  ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.. 7.

(7) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. Chú ý:. • Đồ thị hàm số f ( x ) = x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x − 2 có trục đối xứng là đường thẳng x = −. 1 2. 1 là nghiệm chung của phương trình f ' ( x ) = 0 và f ''' ( x ) = 0 ). Do đó ta đặt 2 1 x = t − thì phương trình (*) sẽ đưa về được phương trình trùng phương. 2. (x =−. • Có thể phân tích f ( x ) = x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x − 2 thành tích hai tam thức bậc hai bằng cách sử dụng máy tính Casio 570ES như sau: + Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được một nghiệm là x1 ≈ 0,6180339887 → A (gán cho biến nhớ A). + Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được một nghiệm nữa là x2 ≈ −1,618033989 → B (gán cho biến nhớ B). + Tính được A + B = −1; A.B = −1 , suy ra x1 ; x2 là nghiệm của phương trình x 2 + x − 1 = 0 . + Thực hiện phép chia x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + x − 2 cho x 2 + x − 1 , ta được:. (. )(. x 4 + 2 x3 + 2 x2 + x − 2 = x2 + x − 1 x2 + x + 2. ). Cách 2: (Phân tích một phương trình của hệ về phương trình tích) y = 2x + 1 (2) ⇔ ( 2 x − y + 1) x 2 − y = 0 ⇔  2 y = x −1 ± 5 • Với y = 2 x + 1 , thay vào (1) ta được (1) ⇔ x 2 + x − 1 = 0 ⇔ x = . 2  5 −1   − 5 −1  Do đó ta được nghiệm ( x; y) =  ; 5  , ( x; y) =  ; − 5  .  2   2  3 2 • Với y = x , thay vào (1) ta được (1) ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ x = 1 . Do đó ta được nghiệm (x ; y) = (1;1).. (. ). Vậy hệ đã cho có ba nghiệm:.  5 −1   − 5 −1  , ( x; y ) =  (x ; y) = (1;1), ( x; y) =  ; 5 ; − 5    2   2 .     3. Hệ phương trình có một phương trình đưa về được phương trình đẳng cấp đối với x và y sau khi rút thế. • Phương trình đẳng cấp bậc n đối với x và y là phương trình có dạng:. a0 x n + a1 x n−1 y + a2 x n −2 y 2 + ... + an−1 xy n −1 + an y n = 0 (1) với a0 ≠ 0 . • Phương pháp giải (1): ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.. 8.

(8) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. Xét y = 0; x = 0 có phải là nghiệm của (1) hay không. Xét y ≠ 0 , chia hai vế của (1) cho y n , ta được: n. x x (1) ⇔ a0   + a1   y y. n −1. + ... + an −1. x x + an = 0 (2) . Đặt t = thì (2) trở thành: y y. a0t n + a1t n−1 + ... + an −1t + an = 0 (3) Giải phương trình (3) ta tìm được t, có t ta tính được x theo y. Sau đó dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình đã cho.. • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006).  x 3 − 8 x = y3 + 2 y Giải hệ phương trình:  2 2  x − 3 = 3 y + 1. (. ). (I). Giải: 3 3  x 3 − y3 = 2 ( 4 x + y ) 3 x − y = 6 ( 4 x + y ) (1) (I) ⇔  ⇔ 2 2  x − 3 y = 6 (2)  x 2 − 3 y 2 = 6. (. ). Thế x 2 − 3y 2 = 6 vào (1), ta được:. (1) ⇔ 3 ( x 3 − y3 ) = ( x 2 − 3y2 ) ( 4 x + y ) ⇔ x 3 + x 2 y − 12 xy2 = 0. (*) .. Ta thấy (*) là một phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x và y. x = 0 (*) ⇔  x = 3 y  x = −4 y. • x = 0 thế vào (2) ta được −3y2 = 6 (vô nghiệm) • x = 3y thế vào (2) ta được y2 = 1 ⇔ y = ±1 • x = −4 y thế vào (2) ta được y2 =. 6 6 ⇔y=± 13 13. Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:. . ( x; y ) = ( 3;1) , ( x; y ) = ( −3; −1) , ( x; y ) =  4 .  6 6  6 6  ;− ;  , ( x; y ) =  −4 . 13 13  13 13  . Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học lần 1 khối A trường THPT chuyên Vĩnh Phúc năm 2013).  x 3 + 4 y = y3 + 16 x (1) Giải hệ phương trình:  2 2 (2) 1 + y = 5 1 + x. (. ). ____________________________________________________________________________ Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế.. 9.

(9) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. Giải:. (1) ⇔ x 3 + 4 ( y − 4 x ) − y3 = 0. (2) ⇔ y 2 − 5x 2 = 4 thế vào (1) ta được:. (. (1) ⇔ x 3 + y 2 − 5x 2. )( y − 4x ) − y. 3. = 0 ⇔ 21x 3 − 5 x 2 y − 4 xy 2 = 0 ⇔ x = 0 hoÆc x =. −1 4 y hoÆc x = y 3 7. • x = 0 thế vào (2) ta được y 2 = 4 ⇔ y = ±2 . • x=. −1 y thế vào (2) ta được y 2 = 9 ⇔ y = ±3 3. • x=. 4 31 y thế vào (2) ta được − y 2 = 4 (vô nghiệm) 49 7. Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( x; y ) = ( 0;2 ) , ( x; y ) = ( 0; −2 ) , ( x; y ) = (1; −3) , ( x; y ) = ( −1;3) . . ____________________________________________________________________________ 10 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(10) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. II- PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ • Mục đích: đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình đơn giản hơn có thể giải được bằng phương pháp rút thế.. • Phương pháp chung: đặt a = f ( x, y) và b = g ( x; y) rồi tìm điều kiện của a và b (nếu có). Sau đó đưa hệ đã cho về hệ phương trình hai ẩn a và b mà có thể giải được bằng phương pháp thế. • Các kỹ thuật hay dùng: + Sử dụng hằng đẳng thức để nhóm các số hạng. + Chia hai vế cho một biểu thức khác 0.. • Chú ý: Muốn đặt được ẩn phụ ta phải quan sát, phân tích, tìm mối liên hệ giữa các biểu thức, số hạng trong mỗi phương trình. Do đó, chúng ta phải làm nhiều bài tập, từ đó mới tích lũy được các kinh nghiệm, sự linh hoạt trong các phép đặt ẩn phụ. Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B năm 2002) 3 x − y = Giải hệ phương trình:   x + y =. x− y. (1). x+ y+2. (2). Giải: Cách 1: (Phương pháp thế). x − y ≥ 0 . Khi đó Điều kiện xác định:  x + y + 2 ≥ 0 x − y = 0 x = y (1) ⇔ ( x − y)2 = ( x − y)3 ⇔  ⇔ x − y = 1 x = y +1 • Với x = y , thế vào (2), ta được:. y ≥ 0  y ≥ 0  (2) ⇔ 2 y = 2 y + 2 ⇔  2 ⇔ 1 ⇔ y =1 1 y y = ∨ = − 4 y − 2 y − 2 = 0  2 • Với x = y + 1 , thế vào (2), ta được: 1  y≥−  2 1 0 + ≥ y  1  2 (2) ⇔ 2 y + 1 = 2 y + 3 ⇔  2 ⇔ ⇔y= 2  4 y + 2 y − 2 = 0  y = −1 ∨ y = 1  2. 3 1 Vậy hệ có hai nghiệm x = 1, y = 1 và x = , y = . 2 2 Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Đặt u = 6 x − y và v = x + y + 2 (điều kiện u ≥ 0 và v ≥ 0 ). Hệ đã cho trở thành: ____________________________________________________________________________ 11 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(11) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. u2 = u3 u = 0 hoÆc u = 1 ⇔  2 v = 2 hoÆc v = −1 (lo¹i) v − 2 = v. • Với u = 0 và v = 2, ta có hệ:. x − y = 0 x = 1 ⇔  x + y + 2 = 4 y = 1. • Với u = 1 và v = 2, ta có hệ:. 3  x =  x − y = 1 2 ⇔  x + y + 2 = 4 y = 1  2. 3 1 Vậy hệ có hai nghiệm x = 1, y = 1 và x = , y = . 2 2 Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2006).  x + y − xy = 3 Giải hệ phương trình:   x + 1 + y + 1 = 4. (1) (2). Giải: Điều kiện: xy ≥ 0; x ≥ −1; y ≥ −1. (2) ⇔ x + y + 2 + 2 x + y + xy + 1 = 16 ⇔ x + y + 2 x + y + xy + 1 = 14 Đặt a = x + y và b = xy (điều kiện: b ≥ 0 ), ta có hệ:. a − b = 3 a = 3 + b a = 3 + b ⇔ ⇔  2 2 2 a + 2 a + b + 1 = 14 3 + b + 2 3 + b + b + 1 = 14 2 b + b + 4 = 11 − b (*) 0 ≤ b ≤ 11 0 ≤ b ≤ 11 • (*) ⇔  ⇔ ⇔ b = 3 , ta được a = 6.  2 2 2 3b + 26b − 105 = 0 4 b + b + 4 = (11 − b ). (. ). x + y = 6 •  ⇔ x = y=3  xy = 9 Vậy hệ đã cho có một nghiệm là ( x; y ) = ( 3;3) Ví dụ 3: (Đề thi đại học khối A năm 2008). 5  2 3 2  x + y + x y + xy + xy = − 4 (1) Giải hệ phương trình:  (I)  x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5 (2)  4 ____________________________________________________________________________ 12 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(12) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. Giải:. 5  2 2  x + y + xy x + y + xy = − 4 . (I) ⇔   x 2 + y 2 + xy = − 5  4. (. (. ). ). Đặt a = x 2 + y; b = xy thì hệ trở thành:. 5 5 5    2 a + b + ab = − 4 b = − a − 4  a = 0; b = − 4 ⇔ ⇔  a = − 1 ; b = − 3 a2 + b = − 5 a3 + a 2 + a = 0  4 4 2 2   5 • Với a = 0; b = − ta có hệ 4. x2 + y = 0 5 25  .  5 ⇔ x = 3 và y = − 3 4 16 = − xy   4. 1 3 • Với a = − ; b = − ta có hệ 2 2. 1  2 3x   x + y = − 2 3 y = − ⇔ ⇔ x = 1 và y = − . 2  2  xy = − 3 2 x 3 + x − 3 = 0   2.  5 3 25   và ( x; y ) =  1; −  . Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) =  3 ; − 3   4 16  2   Ví dụ 4: (Đề thi đại học khối B năm 2009) 1 + xy + x 2 y 2 = 13 y2 Giải hệ phương trình:   x + 1 + xy = 7 y. (1) (2). Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) Nhận xét x = 7 không thỏa mãn (2) nên (2) ⇔ y = 2. x +1  x +1   x +1  (1) ⇔ 1 + x. + x2  = 13    7− x 7− x  7− x . x +1 , thay vào (1), ta được: 7− x. 2. ⇔ x 4 + x 3 − 5 x 2 − 33 x + 36 = 0. (. ). ⇔ ( x − 1)( x − 3) x 2 + 5 x + 12 = 0 x = 1 ⇔ x = 3 ____________________________________________________________________________ 13 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(13) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. • Với x = 1 ta được y =. 1 3. • Với x = 3 ta được y = 1 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x = 3, y = 1 và x = 1, y = . 3. Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Nhận xét y = 0 không phải là nghiệm của hệ. Chia hai vế của (1) cho y2 và của (2) cho y, ta được: 2  1  x 1 x 2  + x  − = 13  y 2 + y + x = 13 1 + xy + x 2 y 2 = 13 y 2   y  y ⇔ ⇔   x  x + 1 + xy = 7 y x + 1 + x = 7  1 + + =7 x    y y  y y   . 1 x + x và b = , hệ đã cho trở thành: y y a2 − b = 13  a2 + a − 20 = 0  a = 4; b = 3 ⇔ ⇔   a = −5; b = 12 a + b = 7  b = 7 − a 1  1  x + y = 4 x = 1; y =  xy + 1 = 4 y   • Với a = 4; b = 3 ta có hệ:  ⇔ ⇔ 3   x = 3y x = 3  x = 3; y = 1  y 1   x + y = −5  vô nghiệm. • Với a = −5; b = 12 ta có hệ   x = 12  y. Đặt a =.  1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) =  1;  và ( x; y ) = ( 3;1) .  3. Chú ý: Thao tác chia hai vế của hệ phương trình cho một lượng khác 0 thường sử dụng cho những hệ phương trình mà trong mỗi phương trình của hệ có một số hạng có hệ số khác biệt so với hệ số của các số hạng còn lại. Chẳng hạn ở ví dụ trên, trong phương trình (1) số hạng 13y 2 có hệ số là 13 khác biệt so với hệ số của các số hạng 1; xy; x 2 y 2 . Cũng thế, trong phương trình (2) số hạng 7y có hệ số là 7 cũng khác biệt so với hệ số của các số hạng x ;1; xy . Dưới đây là một ví dụ tương tự: Ví dụ 5: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2006) ____________________________________________________________________________ 14 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(14) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________.  x 2 + 1 + y ( x + y ) = 4 y (1) Giải hệ phương trình:  (I) 2 ( x + y − 2 ) x + 1 = y (2). (. ). Giải: • Với y = 0 hệ vô nghiệm. • Với y ≠ 0 , chia hai vế của (1) và (2) cho y, ta được:.  x2 + 1 + ( x + y) = 4   y . (I) ⇔  2 x + 1  x + y−2 =1 ) ( y. a + b = 2 x2 + 1 Đặt a = và b = x + y − 2 , hệ trở thành:  ⇔ a = b = 1. y ab = 1  x2 + 1 2 =1  x = 1; y = 2   y = x + 1 . • Với a = b = 1 , ta có hệ:  y ⇔ 2 ⇔  x = −2; y = 5  x + y − 2 = 1  x + x − 2 = 0  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;2 ) và ( x; y ) = ( −2;5) . Ví dụ 6: (Đề thi đại học khối D năm 2009)  x ( x + y + 1) − 3 = 0 (1)  Giải hệ phương trình:  5 2 ( x + y ) − x 2 + 1 = 0 (2). Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) Điều kiện xác định: x ≠ 0 3 (1) ⇔ y = − x − 1 thế vào (2), ta được: x. 1 x =1 x = 1 5 1 1 3  (2) ⇔  − 1  − 2 + 1 = 0 ⇔ 2 2 − 3. + 1 = 0 ⇔  ⇔ x x x  x x = 2 1 = 1  x 2 • Với x = 1 ta được y = 1. 3 • Với x = 2 ta được y = − . 2 2. ____________________________________________________________________________ 15 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(15) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. 3  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) =  2; −  . 2  Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Điều kiện xác định: x ≠ 0 3   x + y + 1 − x = 0 Chia hai vế của (1) cho x, ta được hệ đã cho tương đương với hệ:  (*) 5 2 ( x + y ) − + 1 = 0  x2 1 Đặt a = x + y và b = , hệ (*) trở thành: x  a = 2; b = 1 a − 3b + 1 = 0 ⇔  2 2 a = 1 ; b = 1 a − 5b + 1 = 0  2 2 • Với a = 2; b = 1 ta được x = y = 1 . 1 1 3 • Với a = ; b = ta được x = 2; y = − . 2 2 2 3  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) =  2; −  . 2 . Ví dụ 7: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2005) (1) 3 x + 2 y = 4 Giải hệ phương trình:   2 x + y + 1 − x + y = 1 (2). Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) 4 − 3x thế vào (2), ta được: (1) ⇔ y = 2. (2) ⇔.  −6 ≤ x ≤ 4 4−x x +6  − =1⇔ x +6 = 2 + 4 − x ⇔  2 2  x + 6 = 2 + 4 − x. (. (**) ⇔ x + 6 = 6 − x + 2 2 ( 4 − x ) ⇔ x =. (*). ). 2. (**). x ≥ 0 2(4 − x) ⇔  2 ⇔ x = 2 (thỏa (*)). x + 2x − 8 = 0. • x = 2 ⇒ y = −1 Vậy hệ có nghiệm là ( x; y ) = ( 2; −1) .. Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ) ____________________________________________________________________________ 16 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(16) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. Đặt a = 2 x + y + 1 và b = x + y với điều kiện a ≥ 0 và b ≥ 0 thì hệ đã cho trở thành:. a2 + b2 = 5 b2 + b − 2 = 0  a = 2; b = 1 ⇔ ⇔   a = −1; b = −2 (lo¹i) a − b = 1 a = 1 + b  2 x + y + 1 = 2 2 x + y = 3  x = 2 • Với a = 2; b = 1 ta có hệ  ⇔ ⇔ 1 x y + = 1 x y + =   y = −1  Vậy hệ có nghiệm là ( x; y ) = ( 2; −1) . Ví dụ 8: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2005)  x 2 + y 2 + x + y = 4 Giải hệ phương trình:   x ( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2. Giải: Đặt a = x + y và b = xy thì hệ đã cho trở thành:. a2 + a − 2b = 4 a2 + a = 0 a = 0 a = −1 hoÆc  ⇔ ⇔  b = −2 b = −2 b = −2 b = −2  x = 2  x = − 2 x + y = 0 •  hoÆc  ⇔  xy = −2  y = − 2  y = 2  x + y = −1  x = 1  x = −2 hoÆc  ⇔ •   xy = −2  y = −2 y = 1 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là:. ( x; y ) = (1; −2 ) ; ( x; y ) = ( −2;1) ; ( x; y ) = ( −. ). 2; 2 ; ( x; y ) =. (. ). 2; − 2 .. Ví dụ 9: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2005).  x 2 + y2  Giải hệ phương trình:  2 2  x − y. ( (. ) ( x − y ) = 13 ) ( x + y ) = 25. (1) (2). (I). Giải: Cách 1: (Phương pháp thế) 25 x 2 + y 2 ( x − y ) = 13.25 (* )  (I) ⇔  2 2  x − y ( x + y ) = 25 Thế x 2 − y 2 ( x + y ) = 25 vào (*), ta có:. (. ). (. (. ). ). (* ) ⇔ 25 ( x 2 + y2 ) ( x − y ) = 13 ( x 2 − y2 ) ( x + y ) ____________________________________________________________________________ 17 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(17) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. x − y = 0 3y 2y hoặc x = . ⇔ 2 ⇔ x = y hoặc x = 2 2 2 3 25 x + y = 13 ( x + y ) • Với x = y thì hệ vô nghiệm. 3y thì (1) ⇔ y3 = 8 ⇔ y = 2 , suy ra x = 3 . • Với x = 2 2y thì (1) ⇔ y3 = −27 ⇔ y = −3 , suy ra x = −2 . • Với x = 3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ( 3;2 ) và ( x; y ) = ( −2; −3) . Cách 2: (Phương pháp đặt ẩn phụ)  ( x − y )2 + 2 xy  ( x − y ) = 13   (I) ⇔  2 ( x − y ) ( x − y ) + 4 xy  = 25     2 3 a = 1  a + 2 b a = 13 a + 2ab = 13 Đặt a = x − y và b = xy , hệ trở thành:  ⇔ 3 ⇔ 2 a a + 4b = 25 a + 4 ab = 25  b = 6  x − y = 1  x = 3; y = 2 ⇔ •   xy = 6  x = −2; y = −3. (. ). (. ). (. ). Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ( 3;2 ) và ( x; y ) = ( −2; −3) . Cách 3: (Phương pháp đặt ẩn phụ) • Nhận xét với y = 0 thì hệ (I) vô nghiệm. • Xét y ≠ 0 , đặt x = ty thì (I) trở thành:.  3 2  t 2 + 1 ( t − 1) = 13 (3)  y t + 1 ( t − 1) = 13  (*) ⇔  3 2 2  y t − 1 ( t + 1) = 25  t − 1 ( t + 1) = 25 (4) Nhận xét t = 1 không phải là nghiệm của (*) nên lấy (4) chia (3), vế theo vế ta được: ( t + 1)( t + 1) = 25 ⇔ 6t 2 − 13t + 6 = 0 ⇔ t = 3 ∨ t = 2 13 2 3 t2 + 1 3 3y • Với t = hay x = thì (1) ⇔ y3 = 8 ⇔ y = 2 , suy ra x = 3 . 2 2 2 2y thì (1) ⇔ y3 = −27 ⇔ y = −3 , suy ra x = −2 . • Với t = hay x = 3 3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = ( 3;2 ) và ( x; y ) = ( −2; −3) . Chú ý: Hệ (I) ở ví dụ trên là một trường hợp đặc biệt của hệ sau đây (hệ đẳng cấp): a0 x n + a1 x n−1 y + ... + an−1 xy n−1 + an y n = b0 x m + b1 x m −1 y + ... + bm −1 xy m −1 + bm y m (*)  p p −1 p −1 p q q −1 q −1 q c0 x + c1 x y + ... + c p −1 xy + c p y = d0 x + d1 x y + ... + dq −1 xy + dq y Trong đó m, n, p, q ∈ và n + q = m + p .. ( (. ) ). ( (. ) ). ____________________________________________________________________________ 18 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(18) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. Để giải hệ (*) ta đặt x = ty , rồi tìm t. Có t thì ta sẽ tính được x; y . Sau đây là một ví dụ minh họa. Ví dụ 10: (Đề thi thử đại học lần 1 trường Hà Nội - Amsterdam năm 2013 - khối A). 5x 2 − 3y = x − 3 xy (*) Giải hệ phương trình:  3 2 2 3  x − x = y − 3 y Giải:. 5 x 2 + 3 xy = x + 3 y (Hệ này ứng với n = 2; m = 1; p = 3; q = 2 ) (*) ⇔  3 3 2 2  x + 3 y = x + y. 5x 2 = x • Với y = 0 thì (*) ⇔  3 ⇔ x =0 2  x = x • Với y ≠ 0 , đặt đặt x = ty thì (*) trở thành:  y 2 5t 2 + 3t = y ( t + 3)  y 5t 2 + 3t = t + 3 (1)   ⇔  3 3 2 2 3 2  y t + 3 = y t + 1  y t + 3 = t + 1 (2) Vì t 3 = −3 không thỏa (2) nên t 3 + 3 ≠ 0 . Lấy (2) chia (1), vế theo vế ta được phương trình: 5t 2 + 3t t + 3 = 2 ⇔ 4t 4 + 5t 2 − 9 = 0 ⇔ t = ±1 . 3 t +3 t +1 1 1 • Với t = 1 thì (1) ⇔ y = và x = y nên suy ra x = . 2 2 • Với t = −1 thì (1) ⇔ y = 1 và x = − y nên suy ra x = −1 . 1 1 Vậy hệ phương trình (*) có 3 nghiệm là ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( x; y ) =  ;  , ( x; y ) = ( −1;1) . 2 2. ( (. ). ). (. ). ( (. ). ). Ví dụ 11: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2007).  x 4 − x 3 y + x 2 y 2 = 1 Giải hệ phương trình:  3 (I) 2  x y − x + xy = 1 Giải: Cách 1: Đặt a = x 2 ( a ≥ 0 ) và b = xy thì hệ trở thành:. ( a − b )2 = b − a a 2 − ab + b 2 = 1 a 2 − ab + b 2 = ab − a + b a = b = 1 ⇔ ⇔ ⇔     a = 0; b = 1 ab − a + b = 1 ab − a + b = 1 ab − a + b = 1 • Với a = b = 1 , ta có ( x; y ) = (1;1) hoặc ( x; y ) = ( −1; −1) . • Với a = 0; b = 1 thì không có x, y thỏa mãn. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) = ( −1; −1) . ____________________________________________________________________________ 19 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(19) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. Cách 2:  − x 2 + xy 2 + x 3 y = 1  (I) ⇔   − x 2 + xy + x 3 y = 1  Đặt a = − x 2 + xy; b = x 3 y thì hệ trở thành:. ( (. ) ). a2 + b = 1  a = 0; b = 1 ⇔   a = 1; b = 0 a + b = 1 2 x = y = 1 − x + xy = 0 • Với a = 0; b = 1 ta có hệ:  3 ⇔  x = y = −1  x y = 1 2 − x + xy = 1 (vô nghiệm) • Với a = 1; b = 0 ta có hệ:  3  x y = 0. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) = ( −1; −1) . . ____________________________________________________________________________ 20 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(20) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. III- PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ • Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa một trong hai phương trình của hệ về dạng f ( u( x ) ) = f ( v( y) ) với y = f ( t ) là một hàm số đơn điệu trên tập D (dựa vào các phương trình của hệ ta tìm D). Từ đó suy ra u( x ) = v( y) , suy ra mối liên hệ giữa hai ẩn x và y . • Chú ý: Phương pháp hàm số thường dùng cho các hệ phương trình mà một trong hai phương trình của hệ có thể đưa về một phương trình mà có đặc điểm là vế trái chỉ chứa ẩn x, vế phải chỉ chứa ẩn y (hoặc ngược lại). • Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối A năm 2010). 4( x 2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 (1) Giải hệ phương trình:  2 2 (2) 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7 Giải:. 3 5 Điều kiện: x ≤ ; y ≤ . 4 2 (1) ⇔ 4 x 2 + 1 2 x = ( 5 − 2 y + 1) 5 − 2 y (*). (. ). Nhận xét (*) có dạng f ( 2 x ) = f. (. ). (. ). 5 − 2 y , với f ( t ) = t 2 + 1 t .. Ta có f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên .. x ≥ 0  Do đó: (* ) ⇔ 2 x = 5 − 2 y ⇔  5 − 4 x 2 , thế vào phương trình (2) ta được: y =  2  2. 5 ( 2 ) ⇔ 4 x +  − 2 x 2  + 2 3 − 4 x − 7 = 0 (3) 2  3 Nhận xét x = 0 và x = không phải là nghiệm của (3). 4 2. 2. 5   3 Xét hàm số g ( x ) = 4 x 2 +  − 2 x 2  + 2 3 − 4 x − 7 trên khoảng  0;  . 2   4 4 4 5  g ' ( x ) = 8x − 8x  − 2 x2  − = 4x 4x2 − 3 − < 0 , suy ra hàm số g ( x ) 3 − 4x 3 − 4x 2   3 nghịch biến trên khoảng  0;  .  4 1 1 Mặt khác g   = 0 nên phương trình (3) có một nghiệm duy nhất là x = , suy ra y = 2 . 2 2 1  Vậy hệ đã cho có nghiệm là: ( x; y ) =  ;2  . 2 . (. ). ____________________________________________________________________________ 21 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(21) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. Ví dụ 2: (Đề thi đại học khối A năm 2012).  x 3 − 3 x 2 − 9 x + 22 = y3 + 3 y 2 − 9 y  Giải hệ phương trình:  2 1 2 x + y − x + y =  2 Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ). t 3 + y3 + 3t 2 + 3 y 2 − 9t − 9 y = 22  Đặt t = − x thì hệ đã cho trở thành:  2 . 1 2 t y t y + + + =   2 Đặt S = t + y; P = ty thì hệ trở thành:.  S 3 − 3PS + 3 S 2 − 2 P − 9 S = 22 2 S 3 + 6 S 2 + 45S + 82 = 0  S = −2    ⇔ ⇔  2 1 2 1 3 . 1 = P S S P = + − 2 − + = S P S      2 2 4  2 . (. ). 3 1  x = ;y = − − x + y = −2   2 2. •  3 ⇔ − x. y = x = 1 ; y = − 3  4  2 2 3 1 1 3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) =  ; −  , ( x; y ) =  ; −  . 2 2 2 2 Cách 2: (Sử dụng tính đơn điệu của hàm số) ( x − 1)3 − 12 ( x − 1) = ( y + 1)3 − 12 ( y + 1)  2 2 Hệ đã cho tương đương với:  1  1   x −  +  y +  = 1 2  2 . (1) (2). 3 1 1 3 Từ (2) suy ra − ≤ x − 1 ≤ và − ≤ y − 1 ≤ . 2 2 2 2  3 3 Xét hàm số f ( t ) = t 3 − 12t trên đoạn  − ;  .  2 2  3 3 Ta có f ' ( t ) = 3t 2 − 12 < 0, ∀t ∈  − ;  suy ra hàm số f ( t ) nghịch biến trên  2 2.  3 3 − 2 ; 2  .  . Do đó (1) ⇔ x − 1 = y + 1 ⇔ y = x − 2 , thay vào (2) ta được: 2. 2. 1  3 1 3  2  x − 2  +  x − 2  = 1 ⇔ 4 x − 8 x + 3 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 2 .     ____________________________________________________________________________ 22 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(22) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. 3 1 1 3 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) =  ; −  , ( x; y ) =  ; −  . 2 2 2 2 Ví dụ 3: (Đề thi đại học dự bị khối D năm 2006). ln ( x + 1) − ln ( y + 1) = x − y (1) Giải hệ phương trình:  2 2 (2)  x − 12 xy + 20 y = 0. Giải: Điều kiện: x > −1; y > −1 . (1) ⇔ ln (1 + x ) − x = ln (1 + y ) − y (*) Nhận xét (*) có dạng f ( x ) = f ( y ) , với f ( t ) = ln (1 + t ) − t và t ∈ ( −1; +∞ ) .. 1 1 −1 = − < 0 nên hàm số f ( t ) đồng biến trên ( −1; +∞ ) . t +1 t +1 Do đó: (* ) ⇔ x = y thế vào phương trình (2) ta được:. Ta có f ' ( t ) =. ( 2 ) ⇔ x 2 − 12 x. x + 20 x 2 = 0 ⇔ x = 0 suy ra y = 0 . Vậy hệ đã cho có một nghiệm là: ( x; y ) = ( 0;0 ) . Ví dụ 4: (Đề thi đại học dự bị khối A năm 2007).  x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1 Giải hệ phương trình:  x −1 2  y + y − 2 y + 2 = 3 + 1 Giải:. a + a 2 + 1 = 3b (1) Đặt a = x − 1 và b = y − 1 thì hệ đã cho trở thành:  2 a b + b + 1 = 3 (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được phương trình: a + a2 + 1 + 3a = b + b2 + 1 + 3b (3). Nhận xét (*) có dạng f ( a ) = f ( b ) , với f ( t ) = t + t 2 + 1 + 3t . Ta có f ' ( t ) = 1 + 2. 2. t 2. t +1. t. + 3 ln 3 =. t2 + 1 + t 2. t +1. + 3t ln 3 .. 2. Vì t + 1 > t ≥ −t nên t + 1 + t > 0 , do đó f ' ( t ) > 0, ∀t ∈ . Suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên . Do đó (* ) ⇔ a = b , thế vào phương trình (1) ta được:. (1) ⇔ a +. (. ). a 2 + 1 = 3a ⇔ ln a + a 2 + 1 − a ln 3 = 0 (4). ____________________________________________________________________________ 23 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(23) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. (. ). Xét hàm số g ( a ) = ln a + a2 + 1 − a ln 3 với a ∈ .. 1. − ln 3 < 1 − ln 3 < 0, ∀a ∈ . Suy ra hàm số g ( a ) nghịch biến trên . a +1 Mặt khác g (1) = 0 nên phương trình (4) có một nghiệm duy nhất là a = 0 , suy ra b = 0 .. Ta có g ' ( a ) =. 2. Từ đó ta có hệ đã cho có một nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) . Ví dụ 5: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2008).  x − 1 − y = 8 − x 3 (1) Giải hệ phương trình:  4 ( x − 1) = y Giải: Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ 0 . 4. Thế y = ( x − 1) vào phương trình (1), ta được:. (1) ⇔. 2. x − 1 − ( x − 1) + x 3 − 8 = 0 (2). Nhận xét x = 1 không phải là nghiệm của (2). 2. Xét hàm số f ( x ) = x − 1 − ( x − 1) + x 3 − 8 trên khoảng (1;+∞ ) .. 1 + 3 x 2 − 2 x + 2 > 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) . 2 x −1 Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1;+∞ ) . Mặt khác f ( 2 ) = 0 nên phương trình (2) có một nghiệm duy nhất là x = 2 , suy ra y = 1 . Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là ( x; y ) = ( 2;1) . Ta có f ' ( x ) =. . ____________________________________________________________________________ 24 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(24) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. IV- PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ • Phương pháp chung: Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức vectơ để đánh giá từng vế của phương trình trong hệ. • Chú ý: Phương pháp đánh giá thường sử dụng cho các hệ phương trình mà các phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ,… khó có thể giải được.. • Ví dụ 1: (Đề thi đại học dự bị khối B năm 2007). 2 xy  x + = x2 + y  3 2 x − 2x + 9  Giải hệ phương trình:  2 xy y + = y2 + x 2 3  y − 2y + 9  Giải: Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được phương trình sau: 2 xy 2 xy + = x 2 + y 2 (*) 3 2 3 2 x − 2x + 9 y − 2y + 9 Ta có:. 3. x2 − 2 x + 9 =. Tương tự. 3. 2 xy 3. y2 − 2 y + 9. ( x − 1). 2. +8 ≥ 2 ⇒. ≤ xy . Suy ra. 3. 2 xy 3. ≤. 2 xy. ≤. 2 xy = xy . 2. x2 − 2x + 9 3 x2 − 2x + 9 2 xy 2 xy + ≤ 2 xy . x 2 − 2 x + 9 3 y2 − 2 y + 9. x = y = 0 Mặt khác x 2 + y 2 ≥ 2 xy . Do đó (* ) ⇔  x = y = 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: ( x; y ) = (1;1) và ( x; y ) = ( 0;0 ) . Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học lần 4 trường THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối B năm 2011)  3 x + 3 y = 6 Giải hệ phương trình:   3 x + 16 + 3 y + 16 = 10. Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ và rút thế) Đặt a = 3 x ; b = 3y với a ≥ 0; b ≥ 0 . Hệ phương trình đã cho trở thành:. (1) a + b = 6 b = 6 − a ⇔  2 2 2 2  a + 16 + b + 16 = 10  a + 16 + a − 12a + 52 = 10 (2). ( 2 ) ⇔ 2a2 − 12a + 68 + 2 ⇔. (a. 2. )(. (a. 2. )(. ). + 16 a2 − 12 a + 52 = 100. ). + 16 a2 − 12a + 52 = −a2 + 6 a + 16. ____________________________________________________________________________ 25 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(25) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. ⇒ a 4 − 12 a3 + 68a2 − 192 a + 832 = a 4 − 12 a3 + 4 a 2 + 192 a + 256 ⇒ a2 − 6a + 9 = 0 ⇒a=3 Thử lại thấy thỏa mãn. Do đó ta được a = 3 , suy ra b = 6 − a = 6 − 3 = 3 .. x = 3  3 x = 3 •  ⇔ y = 3  3 y = 3 Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là ( x; y ) = ( 3;3) . Cách 2: (Đánh giá) Đặt a = 3x ;4 , b = 3x ;4 , a + b = ( 6;8 ) thì a = 3 x + 16; b = 3 y + 16; a + b = 10 . Ta có a + b ≥ a + b ⇔ 3x + 16 + 3y + 16 ≥ 10 . Dấu “=” xảy ra ⇔ a , b cùng hướng ⇔ x = y = 3 . Thử lại thấy đúng. Vậy hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là ( x; y ) = ( 3;3) .. (. ). (. ). . ____________________________________________________________________________ 26 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(26) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. V- PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ • Mục đích: Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai ẩn x và y mà từ đó ta có thể tính được y theo x (hoặc x theo y) rồi sử dụng phương pháp rút thế để giải hệ phương trình đã cho. • Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: (Đề thi thử đại học trên báo Toán học và tuổi trẻ - Số 400 (tháng 10 năm 2010)  y2 + 2 3 y =  x2 Giải hệ phương trình:  2 3 x = x + 2  y2. (1) (*). (2). Giải: Nhận xét: Từ (1) ta suy ra y > 0 và từ (2) suy ra x > 0 .  3 yx 2 = y 2 + 2 (3) (*) ⇔  2 2  3 xy = x + 2 (4). x = y Lấy (3) trừ (4) vế theo vế ta được: 3xy ( x − y ) = ( y − x )( y + x ) ⇔  3xy = −( x + y) • Với x = y thì ( 3) ⇔ 3 x 3 − x 2 − 2 = 0 ⇔ x = 1 , suy ra y = 1 • Với 3xy = −( x + y) . Ta có xy > 0 và − ( x + y ) < 0 nên trường hợp này hệ vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( x; y ) = (1;1) ..  f ( x; y ) = 0 (1) • Chú ý: Hệ phương trình có dạng  với f ( x; y ) = g ( y; x ) được gọi là hệ g ( x; y ) = 0 (2) đối xứng loại II. Để giải hệ này ta lấy (1) trừ (2) vế theo vế. Ví dụ 2: (Đề thi thử đại học trên báo Toán học và tuổi trẻ - Số 400 (tháng 10 năm 2010).  x 3 − y3 = 9 (1) (*) Giải hệ phương trình:  2 2  x + 2 y = x − 4 y (2) Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) 3. (. (2) ⇔ ( x − 4 y ) = x 2 + 2 y 2. ). 3. (3). Nhận xét y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình (*). Xét y ≠ 0 , đặt x = ty thì từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:.  y3 t 3 − 1 = 9   3  y3 ( t − 4 ) = y6 t 2 + 2 . (. ). (. (4). ). 3. (5). ____________________________________________________________________________ 27 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(27) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. Vì t = 4 không thỏa (5) nên lấy (4) nhân (5) vế theo vế ta được phương trình: 1  3 t=− 3 3 3 2 2  t − 1 ( t − 4 ) = 9 t + 2 ⇔ ( 2t + 1) ( t + 2 ) t − 2t + 4 = 0 ⇔ 2   t = −2. (. ). • t=−. (. ). (. ). 1 ta được y = −2 x thay vào (1) ta được (1) ⇔ 9 x 3 = 9 ⇔ x = 1 nên y = −2 . 2. • t = −2 ta được x = −2 y thay vào (1) ta được (1) ⇔ −9 y3 = 9 ⇔ y = −1 nên x = 2 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = ( 2; −1) và ( x; y ) = (1; −2 ) . Cách 2: (Phương pháp cộng đại số) Nhân hai vế của phương trình (2) với −3 rồi cộng với phương trình (1), ta được: 3 3 x 3 − 3 x 2 + 3x = y3 + 6 y 2 + 12 y + 9 ⇔ ( x − 1) = ( y + 2 ) ⇔ x − 1 = y + 2 ⇔ x = y + 3 , thế vào.  y = −1 phương trình (2), ta được ( 2 ) ⇔ y 2 + 3y + 2 = 0 ⇔   y = −2 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = ( 2; −1) và ( x; y ) = (1; −2 ) . Nhận xét: Lời giải cách 2 này tuy ngắn gọn nhưng không tự nhiên. Ví dụ 3: (Đề thi thử đại học lần 2 trường THPT chuyên Quốc Học Huế - Khối B)  x + y = 3 7 (1) Giải hệ phương trình:  4 4  x − y = 4 x − 3 y (2) Giải:.  x ( x + y )3 = 7 x (3) (1) ⇔ ( x + y ) = 7 ⇒  3  y ( x + y ) = 7 y (4) Lấy (3) trừ (2) vế theo vế, lấy (4) cộng (2) vế theo vế, ta có: 3 2 2 2 2 4 4     x ( x + y ) − x + y = 3( x + y )  x ( x + y ) 3x + y = 3 ( x + y )  x 3 x + y = 3 (6) ⇔ ⇔  3 2 2 2 2 4 4  y ( x + y ) + x − y = 4 ( x + y )  x ( x + y ) x + 3 y = 4 ( x + y )  x x + 3 y = 4 (5) 3. ( (. ) ). ( (. ) ). 3. Lấy ( 6 ) trừ ( 5) vế theo vế, ta có ( x − y ) = 1 ⇔ x − y = 1 (7) 3. 3 7 +1 7 −1 ;y = . Thử lại thỏa (2). 2 2 3 3 7 +1 7 −1 Vậy hệ đã cho có một nghiệm là: x = ;y = . 2 2. Từ (1) và (7) ta có x =. ____________________________________________________________________________ 28 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(28) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. VI- BÀI TẬP TỰ LUYỆN Sau đây là những bài tập được trích từ các đề thi thử Đại học của một số trường THPT trên toàn quốc. NĂM 2011  x 2 + 8 y 2 = 12 • Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Giải hệ phương trình  3 2  x + 2 xy + 12 y = 0 Đáp số: ( x; y ) = ( 2; −1) , ( x; y ) = ( −2;1). 2 xy  2 2 x + y + x + y = 1 • Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng: Giải hệ phương trình   x + y = x2 − y  Đáp số: ( x; y ) = (1;0 ) , ( x; y ) = ( −2;3).  x + y = 8 • Chu Văn An - Hà Nội: Giải hệ phương trình  2 2  x + 9 + y + 9 = 10 Đáp số: ( x; y ) = ( 4;4 ) 2 x 2 − x ( y − 1) + y 2 = 3 y • Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An: Giải hệ phương trình  2 2  x + xy − 3 y = x − 2 y  7 3  Đáp số: ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( x; y ) = (1;1) , ( x; y ) = ( −1;1) , ( x; y ) =  ;   43 43  4 2  x + 4 x + y 2 − 4 y = 2 • Chuyên Đại học Vinh: Giải hệ phương trình  2 2  x y + 2 x + 6 y = 23 Đáp số: ( x; y ) = (1;3) , ( x; y ) = ( −1;3). • Chuyên Lê Hồng Phong - TP Hồ Chí Minh:  x 2 + y 2 − xy + 4 y + 1 = 0 Giải hệ phương trình  2 2  y 7 − ( x − y)  = 2( x + 1) Đáp số: ( x; y ) = (1; −2 ) , ( x; y ) = ( −2; −5) 2 2 8 x + 18 y + 36 xy − 5(2 x + 3 y) 6 xy = 0 • Chuyên Hà Tĩnh: Giải hệ phương trình  2 2 2 x + 3 y = 30. Đáp số: ( x; y ) = ( 3;2 ) . ____________________________________________________________________________ 29 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(29) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. NĂM 2012 2  x + xy − 3 x + y = 0 • Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Giải hệ phương trình  4 2 2 2  x + 3 x y − 5 x + y = 0 Đáp số: ( x; y ) = (1;1) , ( x; y ) = ( 0;0 ) 2  x ( x + y) + y = 4 x − 1 • Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Giải hệ phương trình  2 2  x ( x + y) − 2 y = 7 x + 2 Đáp số: ( x; y ) = ( 2;1) , ( x; y ) = ( 5; −2 ).  x − 2 − y − 1 = 27 − x 3 • Chuyên Vĩnh Phúc: Giải hệ phương trình  4 ( x − 2) + 1 = y Đáp số: ( x; y ) = ( 3;2 ). 5  2 2 8( x + y ) + 4 xy + ( x + y)2 = 13  • Chuyên Vĩnh Phúc: Giải hệ phương trình  2 x + 1 = 1  x+y Đáp số: ( x; y ) = ( 0;1).  x3  − xy = 216 y • Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị: Giải hệ phương trình  y3   xy − x = 24 Đáp số: ( x; y ) = ( 9;3) , ( x; y ) = ( −9; −3) • Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp: 2 x − 2 y + 2 = 3 Giải hệ phương trình  4 y + 8( x − 2) x + 2 = −7 7  Đáp số: ( x; y ) =  2; −  4  • Chuyên Trần Phú - Hải Phòng:  x 3 (4 y 2 + 1) + 2( x 2 + 1) x = 6  Giải hệ phương trình  2 2 2  x y 2 + 2 4 y + 1 = x + x + 1  1 Đáp số: ( x; y ) =  1;   2. (. ). . ____________________________________________________________________________ 30 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(30) WWW.VNMATH.COM. Một số phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn số _______________________________________________________________________________. NĂM 2013. ( 6 − x ) x 2 + y 2 = 6 x + 8 y  • Tạp chí toán học và tuổi trẻ: Giải hệ phương trình  2 2 ( 3 − y ) x + y = 8 x − 6 y Đáp số: ( x; y ) = ( 0;0 ) , ( x; y ) = ( 2;1) , ( x; y ) = ( 4;2 ). ( (. ) ).  x 3 y − y 4 = 7 • Tạp chí toán học và tuổi trẻ: Giải hệ phương trình  2 2 3  x y + 2 xy + y = 9 Đáp số: ( x; y ) = ( 2;1) ( x + 1)2 + ( x + 1) y + 1 + y = 6 • Tạp chí toán học và tuổi trẻ: Giải hệ phương trình   x + ( 2 + x ) y + 1 = 4 Đáp số: ( x; y ) = ( 0;3) , ( x; y ) = (1;0 ).  x − x − y − 1 = 1. • Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh: Giải hệ phương trình . 2 2  y + x + 2 y x − y x = 0. Đáp số: ( x; y ) = ( 4;2 ).  x + y + x 2 − y 2 = 12 • Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng: Giải hệ phương trình   y x 2 − y 2 = 12 Đáp số: ( x; y ) = ( 5;3) , ( x; y ) = ( 5;4 ) • Chuyên Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội:  x 2 + y 2 − 7 ( x + y )2 + 2 = 0 Giải hệ phương trình  ( x − 3)( x + y ) + 1 = 0 5 1 Đáp số: ( x; y ) =  ; −  , ( x; y ) = ( 2; −1) 2 2  x 2 + xy + x + 3 = 0  • Chuyên Đại học Vinh: Giải hệ phương trình  2 2 ( x + 1) + 3 ( y + 1) + 2 xy − x y + 2 y = 0 Đáp số: ( x; y ) = ( −1;3). (. ). (. ). . --------------------HẾT--------------------. ____________________________________________________________________________ 31 Giáo viên: Nguyễn Trung Nghĩa - Trường THPT chuyên Quốc Học - Huế..

(31)

On tap ve HPT

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về