10 cach de suy nghi nhu la nha toan hoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>10 cách để suy nghĩ như là nhà toán học</b>

<i>Tác giả: Tiến sĩ Kevin Houston – Giảng viên Tốn tại Đại học Leeds</i>
<i>Biên dịch: Võ Hồng Trọng (hoangtrong2305), Đỗ Thị Kiều Trang (Celia)</i>
<b>1. Hãy đặt ra câu hỏi</b>

Với tôi, một trong những vẻ đẹp vĩ đại và chân thực nhất của tốn học là nó có thể
được kiểm nghiệm tính đúng đắn. Bạn khơng cần phải nghe theo ai cả. Nếu có người
cho rằng một điều nào đó là đúng, bạn có quyền yêu cầu họ chứng minh nó. Hơn
nữa, nếu bạn muốn mình có suy nghĩ và hành động như một nhà toán học, thì bản
thân bạn cũng có thể chứng minh tính đúng đắn của vấn đề đó. Đừng để họ qua mặt
bạn!

Đứng trước lời nhận xét của một số người, bạn có thể khơng tin và cố tìm ra một
trường hợp hay ví dụ chứng minh rằng nó sai.Kể cả khi điều đó đúng, thì lúc đó bạn
cũng đã phải suy nghĩ, trí óc của bạn phải hoạt động, nói chung, dù bạn đúng hay sai
thì hành động đó hồn tồn có lợi cho việc rèn luyện trí óc của bạn.Và dần dần, bạn
sẽ có những suy nghĩ tích cực hơn về những lời nhận xét của mọi người (lưu ý rằng
bạn phải thật sự khôn khéo, vì trong thực tế, có những trường hợp bạn sẽ đánh mất
tình bạn chỉ vì những lời phản bác đó,, mọi người sẽ có xu hướng khơng vui và
khơng thích nói chuyện với bạn khi bạn cứ liên tục tìm lỗi sai của họ).

Một lá thư gửi đến 1 tồ soạn báo, nói rằng việc làm ra một cỗ máy thời gian là
không thể, họ lập luận như sau: Nếu như cỗ máy thời gian có thật, thì có thể 1 người
nào đó sẽ được gặp rất nhiều người ở tương lai. Tơi có một vài lý do để cho thấy
điều này là không thể, vì có thể cỗ máy thời gian chỉ cho ta tiến tới tương lai (với số
năm mà ta muốn tiến tới), cũng có thể người du hành đến tương lai không thể liên
lạc với chúng ta đang ở hiện tại, cũng có thể cỗ máy thời gian có phạm vi nhất định,
bạn khơng thể quay về hơn 1 năm và cỗ máy thời gian ấy, vẫn phải nằm lại ở 1 năm
nào đó rất xa (và cỗ máy thời gian ấy không thể được vận chuyển được nữa).

<b>2. Viết thành câu</b>

Viết thành câu? Điều đó có ích như thế nào để giúp bạn suy nghĩ và hành động như
một nhà tốn học? Có thể bạn sẽ thắc mắc. Câu từ là nòng cốt tạo nên lý lẽ. Một cấp
độ cao hơn của toán học, lý lẽ là phần không thể thiếu trong việc chứng minh (không
chỉ đơn thuần là đưa ra đáp số đúng).

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

gắng luyện tập viết thành câu, điều này sẽ có ảnh hưởng đến bạn, làm bạn suy nghĩ
cẩn thận hơn về bài chứng minh của mình. Nếu như bạn khơng viết được thành câu
hồn chỉnh, thì bạn rất dễ mắc phải việc bạn khơng biết mình đang viết về cái gì.
Vì vậy, viết thành câu là cơ hội tốt để phát triển, nâng cao kỹ năng toán của bạn, và
nếu bạn viết tốt ở các mơn học thì điều đó chính là chìa khố hữu ích mà bạn có thể
có được.

(Lưu ý: Một cách để giúp bạn phát triển kỹ năng viết và suy nghĩ của tốn chính là
việc biết cách sử dụng các ký hiệu _; _; =>; _ _, <==>)

<b>3 .Thế cịn các mệnh đề đảo ?</b>

Cách trình bày dạng A => B chính là mấu chốt quan trọng của tốn học. Chúng ta có
thể phát biểu dưới dạng ‘Nếu A đúng thì B đúng’

Mệnh đề đảo của cách trình bày ‘A _B’ đảo là ‘B _A’. Ví dụ, mệnh để đảo của
“Nếu tơi là Ngơ Bảo Châu, thì tôi là người Việt Nam”

Là

“Nếu tôi là người Việt Nam, thì tơi là Ngơ Bảo Châu”

Ví dụ trên cho thấy, nếu như mệnh đề xi là đúng, thì khơng phải lúc nào mệnh đề
đảo cũng đúng, nó có thể đúng hoặc cũng có thể sai. Sự nghiên cứu ln là cần thiết

trước khi ta nói điều gì.

Một nhà tốn học giỏi, khi trình bày dạng A suy ra B, thì họ sẽ hỏi: “Vậy điều ngược
lại đúng chứ?”. Hãy tiếp thu câu hỏi này và biến nó trở thành một cơng cụ hữu ích
khi làm tốn. Cho dù mệnh đề đảo là đúng hay sai cũng chả mấy quan trọng vì
những dạng bài tập đấy sẽ làm tăng khả sự nhạy bén của bạn khi học toán.

(Thêm nữa, một sai lầm lớn mà nhiều người mắc phải khi trình bày dạng A _B là họ
cho rằng nếu A sai thì B cũng sai. Điều đó khơng chính xác, cấu trúc trên chỉ trình
bày điều gì xảy ra khi A đúng, nó khơng nói gì về việc điều gì sẽ xảy ra nếu A sai.
Bây giờ, bạn hãy suy nghĩ như một nhà toán học và cho ra ví dụ.)

<b>4. Sử dụng sự đối lập ( phủ định)</b>
Sự đối lập của mệnh đề ‘A _ B’ là

Không (B) _ khơng (A)
Ví dụ:

* ‘Nếu tơi là Ngơ Bảo Châu, thì tơi là người Việt Nam’ có mệnh đề đối lập là ‘Nếu
tôi không phải Ngô Bảo Châu, thì tơi khơng phải người Việt Nam’.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

* ‘x2−4x−5=0 _ x≥2’ có mệnh đề đối là “x<2Rightarrowx2−4x−5neq0”

Khá ngẫu nhiên là mệnh đề đối lập đúng cũng tương đồng với mệnh đề A _ B đúng.
Có nghĩa là, nếu A _ B là đúng, thì Khơng (B) _ khơng (A) cũng đúng và ngược lại.
Bạn có thể kiểm chứng ở những ví dụ trên. Sẽ rất khó khi bạn mới bắt đầu làm quen
với các mệnh đề – điều mà có nhiều người khơng tin. Thực ra, nó là kinh nghiệm nổi
tiếng trong giáo dục được kết nối với ý tưởng mệnh đề đối lập, được gọi là thử thách
trong sự lựa chọn của Wason (Wason’s selection task). Bạn hãy tìm hiểu phương
pháp đó và thử xem bạn có vượt qua bài kiểm tra khơng nhé ! Có thể bạn chỉ trả lời

được đúng 10% số câu hỏi thơi đấy.

Bởi vì việc sử dụng sự đối lập thường được dùng trong việc chứng minh, và vì trong
cuộc sống chúng ta ln có nhiều điều đối lập lẫn nhau nên bạn hãy học cách sử
dụng sự đối lập thật tốt nhé !

<b>5. Nghiên cứu các ví dụ một cách cẩn thận</b>

Được áp dụng khi cho một định lý và các ví dụ đơn giản cũng như phức tạp về định
lý đó vào trong giả thuyết. Chuyện gì sẽ xảy ra khi các số đặc biệt là 0 hoặc 1 ?
Chuyện gì sẽ xảy ra nếu ta lấy các hàm thông thường xác định bởi hàm f(x)=0 ?
Chuyển gì sẽ xảy ra nếu chúng ta có 1 tập rỗng ? Chuyện gì sẽ xảy ra khi chúng ta
có 1 dãy số thơng thường như 1;1;1;1;1;1;……… ? Chuyện gì xảy ra với đường
cong hay đường thẳng ?

Những ví dụ trên sẽ giúp ta hiểu rõ thêm về vấn đề. Nó đôi khi cũng giúp chúng ta
mường tượng rõ hơn khi các định lý được áp dụng.

Một ví dụ đặc biệt được phát biểu như sau ‘y=x2 và z=y2 thì z≠x’. Dường như ví dụ
trên đúng khi rõ ràng y và y2_{khác nhau, nhưng điều đấy thật ra khơng đúng, giả sử}

y=1 thì lúc này ví dụ trên chỉ đúng khi x=1.

Hãy sử dụng trường hợp đặc biệt để cho thấy định lý sau đây sai :

‘Định lý’ : Giả sử a,b,c và d là các số nguyên, nếu a.b=c.d và a=c thì b=d

Để sử dụng những ví dụ đặc biệt thì bạn phải dùng đến rất nhiều ví dụ, nên bạn cần
phải lựa chọn và có một chút “khéo tay”. Một cách để làm được việc này là bạn hãy
tưởng tượng bạn sẽ nói gì khi có người kêu bạn dậy vào lúc nửa đêm và nói “Nhanh

lên, chuyện khẩn cấp đấy, hãy cho tơi 1 ví dụ thật tốt về tập X′ khi X có thể là một
vài phần của tốn học như nhóm, khơng gian Vector, hàm số, ….. “.

<b>6. Hãy tạo ra một ví dụ cho riêng bạn.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

chúng ta tìm những giá trị mà tại đó, đạo hàm của hàm số bằng khơng. Sau đó,
chúng ta sẽ có 3 loại giá trị khác nhau : cực đại, cực tiểu và điểm uốn. Điểm uốn
được biểu diễn bằng đạo hàm cấp 2 của hàm số đó và điểm uốn chính là nghiệm của
phương trình đạo hàm cấp 2 bằng không. Sau khi làm những ví dụ đó, chúng ta có
hàm số, có các loại giá trị, có từng giá trị của mỗi loại giá trị., quá trình này thì dễ.
Áp dụng vào hàm f khác, hãy giải phương trình f′(x)=0, tính đạo hàm một lần nữa và
giải f′′(x)=0 và dùng giá trị của f′′(x) để tìm từng giá trị thích hợp.

Đó là cách thức cơ bản của việc sử dụng những ví dụ đã có. Nếu bạn biết được ví dụ
đó thì khi cho bạn 1 hàm số nào đó, bạn sẽ dễ dàng tìm cực đại và cực tiểu. Nhưng,
giả sử tơi làm điều ngược lại, muốn bạn tìm 1 hàmf sao cho hàm số ấy đạt cực đại tại
tại x=2 và đạt cực tiểu tại x=−6 ? Đây là cách kiểm tra khả năng hiểu của bạn. Nó
khó hơn, nhưng nó sẽ là cơng cụ hỗ trợ rất nhiều trong việc học toán của bạn.
<b>7. Khi nào các tính chất mới được sử dụng ?</b>

Một số học sinh nói với tơi rằng, họ rất khó để hiểu được 1 bài chứng minh. Thực ra,
các học sinh ấy mong muốn rằng bài chứng minh được viết 1 cách có logic và ngắn
gọn để giúp cho học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về nội dung của định lý hay định lý
ấy được khám phá như thế nào. Một học sinh bình thường, trước khi nhờ sự giúp đỡ
thường nói : “Em cịn khơng biết nên bắt đầu như thế nào “.

Vì vậy, để hiểu được bài chứng mình là phần khó nhất khi ta học toán, toán bộ
chương 18 của cuốn “Làm thế nào để nghĩ như một nhà toán học” dành cho những
công thức khác nhau được giải quyết khi đọc bài chứng minh. Hãy tách nó ra, áp
dụng bài chứng minh vào ví dụ, chúng ta sẽ xem xét các kỹ thuật sau đây.

Mỗi định lý thường có những tính chất. Ví dụ, định lý Pitago có tính chất của tam
giác vng. Những tính chất này sẽ được dùng để chứng minh, cịn các trường hợp
khác thì đơi khi chúng khơng cần thiết cho lắm. Vì vậy, hãy chú ý đến vị trí sử dụng
tính chất và từ đó bạn sẽ hiểu được bài chứng minh.

Một số tính chất đước cho dưới dạng ẩn. Ví dụ, có bài chứng minh nói rằng ” …..bởi
định lý 5.7, chúng ta thấy………….. ” và điều đó cho thấy rằng định lý 5.7 được sử
dụng để tạo ra tính chất của một định lý nào đó (Tiện thể, nếu định lý được lặp đi lặp
lại nhiều lần trong nhiều bài chứng minh, điều đó cho thấy tầm quan trọng và nhiều
khả năng định lý ấy cũng được được sử dụng trong bài chứng minh của bạn, vì vậy,
hãy nguyên cứu kỹ nhé !).

Bằng cách tìm hiểu về các tính chất, bạn sẽ biết cách bắt đầu bài chứng minh và nhìn
cấu trúc nó như thế nào.

<b>8. Hãy bắt đầu với mặt phức tạp.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

trình bằng nhau. Để chứng minh 2 vế của phương trình bằng nhau thì tốt nhất ta nên
bắt đầu ở vế phức tạp hơn và bắt đầu biến đổi để cho bằng với vế cịn lại của phương
trình

Ví dụ, để chứng minh tanx+cotx=2cosec2x với mọi x R và có điều kiện x≠nπ2 với
n∈N, chúng ta làm như sau :

tanx+cotx=sinxcosx+cosxsinx ; (bằng cách phân tích cơng thức của tan và cot)
=sin2x+cos2xcosx.sinx

=1cosx.sinx, sử dụng sinx+cosx=1
=11/2sin2x, sử dụng cơng thức nửa góc

=2.cosec2x, theo định nghĩa của cosec

Nhớ rằng phần phức tạp (hay nói cách khác là phần mà ta có thể biến đổi và đơn
giản hoá) nằm ở một vế và được sử dụng xuyên suốt để giải bài.

Nếu bạn bắt đầu với một phương trình và cố gắng chuyển vế qua lại chúng (như
nhiều người hay làm) thì bạn rất dễ đi vào vịng luẩn quẩn.

<b>9. Hãy hỏi “Chuyện gì sẽ xảy ra nếu……….?”</b>

Một nhà toán học giỏi họ thường tự đặt câu hỏi: “Chuyện gì sẽ xảu ra
nếu………?”.

Ví dụ, chuyện gì sẽ xảy ra nếu như tơi ngừng việc sử dụng tính chất đó? Bằng cách
tự đặt câu hỏi như thế này chúng ta sẽ có khả năng hiểu rõ hơn vì sao kết quả bài
tốn đúng hay tại sao người ta lại có được định nghĩa như thế. Đôi khi chúng ta tạo
ra một định lý bằng cách làm cho tính chất cũ trước đây trở nên yếu đi.

Thêm một ví dụ nữa về “Chuyện gì nếu”. Lưu ý rằng đơi khi một vài vấn đề toán
học được điều chỉnh bằng cách thêm vài điều kiện. Ở cấp độ thông thường chúng ta
có thể nói một tập hợp hữu hạn là một tập hợp với hữu hạn những con số hay những
yếu tố nào đó, nhưng thực ra nó cịn một số ví dụ phức tạp hơn nhiều, ví dụ như
nhóm (Nhóm là một tập hợp mà các phần tử được “nhân lên” nhiều lần so với tập
hợp thông thường. Sự nhân lên này phải đáp ứng theo một số yêu cầu được đặt ra).
Bây giờ, với hai tập A và B, chúng ta có thể làm phép tính A.B. Chúng ta có thể hỏi
nếu A và B có 1 số giá trị nào đó, vậy liệu có tồn tại phép tính A.B ? Ví dụ, giả sử A
và B là hai tập hữu hạn, thì liệu tích A.B cũng là tập hữu hạn? Trong trường hợp này
thì đúng là như vậy. Vậy nếu 2 tập A và B là vơ hạn, thì tích A.B cũng là vơ hạn?
Hay nếu A và B là nhóm, thì tích A.B cũng là nhóm? Hay nếu A và B là khơng gian
tơ pơ, thì tích A.B cũng vậy chứ? Và rất nhiều những câu hỏi khác.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>10. Sự liên hệ / liên lạc!</b>

Khi ngài Christopher Zeeman thành lập Viện toán tại Đại học Warwick, một trong
những ý tưởng quan trọng của ông ta là để tạo điều kiện, mơi trường thuận lợi để học
tốn thì trong các dãy hành lang của học viện đều phải có bảng đen, khơng chỉ đơn
thuần là nằm trong phịng giảng dạy, vì vậy mọi người có thể dễ dàng trao đổi với
nhau và thuận tiện hơn khi trình bày cơng việc của mình. Điều này sẽ thúc đẩy sự
hợp tác, nhưng cũng quan trọng không kém là cho phép mọi người có thể kiểm tra
công việc lẫn nhau. (Học viện Issac Newton ở Cambridge đã có những bước tiến xa
hơn trong việc sử dụng bảng đen. Họ đặt chúng ngay cả trong nhà vệ sinh và trong
một cái ở thang máy chỉ sử dụng cho 2 tầng lầu)

Có nhiều lợi ích trong việc tạo ra mối liên lạc với người khác. Giải thích về việc làm
của bạn sẽ làm bạn suy nghĩ kỹ hơn, sâu sắc hơn. Và khi bạn nghiên cứu cùng với
những người khác, họ có thể tìm ra lỗi sai trong suy nghĩ hay ý tưởng của bạn về
cách giải quyết một bài tốn nào đó. Thậm chí bạn cũng có thể học tập từ những lời
giải thích.

</div>

<!--links-->