Bai tap toan DAIHINH ca nam NCtong hop

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác A Chú ý : 1) B có nghĩa khi B 0 (A có nghĩa) 2)  1 s inx 1 ; -1 cosx 1. 3). sin x 0  x k ; s inx = 1  x =. ;. A có nghĩa khi A 0.    k 2 ; s inx = -1  x =   k 2 2 2.  cosx 0  x   k ; cosx = 1  x = k 2 ; cosx = -1  x =   k 2 2 4)  x   k 2 5) Hàm số y = tanx xác định khi Hàm số y = cotx xác định khi x k. Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau x 1 2) y = cos x  2 2 5) y = cos2x. 1) y = cosx + sinx 4) y = cos x  3x  2 2. 7) y =. 1  cosx 1-sinx. 3) y = sin x  4 6) y =.  8) y = tan(x + 4 ). 2  s inx.  ) 9) y = cot(2x - 3. 1 1  10) y = s inx 2cosx. II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin(-x) sin (-x) = . 2. 2. = (-sinx)2 = sin2x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x  D   x  D, x Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng  f ( x )  f ( x )  f ch½n   f ( x )  f ( x )  f lÎ Có x để f ( x ) f ( x )  f không chẳn, không lẻ  0 0 0. Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 1 4) y = 2 tan2x. 5) y = sin. x. 3) y = sin2x + 2. + x2. 6) y = cos 3x. Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn    2x  3   trên đoạn 2) y = -2cos .   ; .  2    3 ; 3  . IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác  1 s inx 1 ; -1 cosx 1 ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B Chú ý : Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số  1) y = 2sin(x- 2 ) + 3. 1 2) y = 3 – 2 cos2x. 2 4) y = 1  cos(4x ) - 2. 5) y = 2 s inx  3.  cos 2 (2x + ) 3 3) y = -1  x 4 6) y = 5cos.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2 7) y = sin x  4s inx + 3. 8) y =. 4  3cos 2 3 x  1. Chú ý : Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số      ;  1) y = sinx trên đoạn  2 3       ;0  3) y = sinx trên đoạn  2 .     ;  2) y = cosx trên đoạn  2 2   1 3  ;  4) y = cos  x trên đoạn  4 2 . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . u=v +k 2 π ¿ u=π − v +k 2 π sin u = sin v  ¿ ¿ ¿ ¿. (kZ). cos u = cos v  u =  v + k2. (kZ) tanu = tanv  u = v + k (kZ) cotu = cotv  u = v + k (kZ) 2/ Phöông trình ñaëc bieät : π. sinx = 0  x = k , sinx = 1  x = 2 cosx = 0  x =. π 2. π 2. + k2 ,sinx = -1  x = -. + k2. + k  , cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2 .. 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b2  0 Caùch 1: acosx + bsinx = c  asinx +bcosx = c . √ a2 +b2 . cos( x −ϕ) √ a2 +b2 . sin( x+ ϕ). = c với cos ϕ= = c với cos ϕ=. Caùch 2 : Xét phương trình với x =  + k , k  Z. a. 2. √ a +b 2. a √ a +b 2 . 2. x. Với x   + k đặt t = tan 2 ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm  a2 + b2 - c2  0 . Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau: 1. √ 3 cos x − sin x= √2 , 2. cos x − √ 3 sin x=− 1 π. 5. cos 7 x − sin 5 x =√3 (cos 5 x − sin7 x ) ,. 1. 4 4 4. sin x +cos (x + 4 )= 4. 3. 3 sin 3 x − √ 3 cos 9 x=1+ 4 sin3 3 x ,. 6. tan x  3cot x 4(sin x  3 cos x). 3(1  cos 2 x) cos x 2sin x. sin 2 x  sin 2 x . 1 2. 7. 8. 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1 5.. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x. 6.. cos. 4x =cos 2 x 3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3 3  2 tan 2 x 7. cos x 2 9. 6sin 3 x  cos12 x 4. 8.. 5tan x -2cotx - 3 = 0 4sin 4 x  12cos 2 x 7. 10. 5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx : a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 . Caùch 1 :  Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .  Xeùt cos x 0 chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx. 1. 1. Caùch 2: Thay sin2x = 2 (1 – cos 2x ), cos2x = 2 (1+ cos 2x) , 1. sinxcosx = 2 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =. π 2 + k ,kZ.. Baøi taäp : 1. 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 2. 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 √ 3 - 9)cos2x = 0 3. 4sin2x +3 √ 3 sin2x – 2cos2x = 4 4. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx. 1 sin 2 x  sin 2 x  2cos 2 x  2 5. 6/ Phöông trình daïng : a( cosx  sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän. − √ 2 ≤t ≤ √ 2 khi đó sinxcosx =. t 2− 1 2. Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän. − √ 2 ≤t ≤ √ 2 khi đó sinxcosx =. Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Các phương trình lượng giác khác. Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3. 1 −t 2 2. 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,. , 5/ 2tg2x + 3 = cos x , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7 Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t =sinx 4/ 2cos 2x + cosx = 1. 4x. 2 2/ cos 3 =cos x. 5π 4. +k3. ÑS : x = k3 , x= . π 4. +k3 , x = .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> x. 3/ 1+ sin 2 sinx - cos x 2. x π 2 2 − sin x = 2cos ( 2 4. x 2. ). ÑS: sinx =1 v sin. =1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x. . π 4. HD : ñaët t = tanx , ÑS : x = 1. π 3 1 ÑS : cosx = 0 , cos 2x = 2. 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = cos x. ÑS : x = k2 , x = . 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x. +k2. 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 2. x. 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx. HD :ñaët t = tan 2. 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x. HD :ñaët t =cos 2x. 12/ tan3( x -. ÑS : x = k v x =. π 4. +k. ) = tanx - 1. π 4. + k 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2. HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx.. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2. ÑS : x =. π 4 + k. 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX. Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 . 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) 5/ sin3(x -. π 4 )=. ÑS : x=. √ 2 sinx. π kπ 4 + 2. ÑS : x =. 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0. ÑS :x = . π 3. π 4 +k. + k v x=. π 4. kπ 2. +. 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x =. 3 2 sin2x. 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6. =0 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx. 6/. 1 1 10 + +sin x+ cos x= cos x sin x 3. 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6 8/. 2 sin2 x. + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0. 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x. 10/ cos3x – sin3x = - 1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VAØ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC . Giaûi caùc phöông trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 x. x. 5/ sin4 2 + cos4 2 = 1 – 2sinx 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x. 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x. 9/ 3sin3x - √ 3 cos 9x = 1 + 4sin3x. x. π. x. 11/ sin2 ( 2 − 4 ) tan2x – cos2 2 = 0 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 15/. 5(sin x +. 1 4. 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +. cos 3 x+ sin 3 x )=cos 2 x +3 1+ 2sin 2 x. 10/. cos x +sin x =sin x 1− cos x. 1. 12/ cotx – tanx + 4sinx = sin x 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x. (2  sin 2 2 x)sin 3 x tan x  1  cos 4 x 18/ 4. 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0.. x. 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan 2 ) cos 2 x 1  sin 2 x  sin 2 x 2 20/ cotx – 1 = 1  tan x 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx =.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> D. TỔ HỢP Tóm tắt giáo khoa I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k   mà 1 k n . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. k b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu A n là: A kn n.  n  1 ...  n  k  1 . n!.  n  k! .. 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k   mà 1 k n . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. n  n  1 ...  n  k  1 n! Ckn   k k! n  k ! k!   b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Cn là: c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: Cho a, k  * : C kn C nn  k C kn 1 C nk  C nk  1.  0 k  n   1 k  n . III. Khai triển nhị thức Newton.  a  b. n. n.  Ckn a n  k b k C0n a n  C1n a n  1 b  ..  Ckn a n  k bk  ..  C nn b n k 0. Nhận xét: – Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. – Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. – Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. k n k k – Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: Tk 1 Cn a b –. C0n  C1n  C2n  ...  C nn 2n k. – Chú ý: – –. n. C0n  C1n  C n2  C3n  ...    1 C nk  ...    1 C nn 0.  a  b. n. n.  C kn a n  k b k k 0.  a  b. n. là khai triển theo số mũ của a giảm dần.. n.  Ckn a k b n  k k 0. là khai triển theo số mũ của a tăng dần.. Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập A  0;1; 2;3; 4 . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3: Từ tập A  1, 2, 3, 4,5 hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị. Phương pháp giải:  Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n  Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: A kn n.  n  1 ...  n  k  1 . n!  n  k !. Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Bài 6: Từ tập A  0,1, 2,3, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: C kn . n! k! n  k  !.  0 k n . Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? k k * Dạng 5: Tìm n   trong phương trình chứa Pn , An ,Cn Phương pháp giải: Dùng các công thức: Pn n!. Bài 8: Tìm Bài 9: Tìm.  n 1 ; *. n. *. n. A nk n  n  1 ...  n  k  1 . , nếu có: , nếu có:. 2Pn A 3n Pn  1.  1. n! n   k!.  1 k n  ;. C nk . n! k! n  k  !.  0 k n . .. 6n  6  C3n C3n 1..  2. Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n. Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:.  a  b. n. n.  C kn a n  k b k C0n a n  C1n a n  1b  C 2n a n  2 b 2  ..  C kn a n  k b k  ..  C nn b n k 0. (khai triển theo lũy thừa của a. tăng, b giảm).  a  b. n. n.  C kn a k b n  k. k 0 (Chú ý: khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11.. Bài 11: Trong khai triển. 3   3 2 x   x . 10. , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x. 8  1  x 2  1  x   8 Bài 12: Tìm hệ số của x trong khai triển.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 10. 2 10 Bài 13: Cho khai triển:  1  2x  a 0  a1x  a 2 x  ..  a10 x , có các hệ số số lớn nhất Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau 25 1) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3 - x). a 0 , a1 , a 2 ,.., a10 .. Tìm hệ. 2 25 2) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2 - x ) æ 1÷ ö12 ç x+ ÷ ç ç x÷ è ø 3) Số hạng không chứa x trong khai triển 12 28 ö æ ÷ ç 3 ç x x + x 15 ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ è ø 4) 32) Số hạng không chứa x trong khai triển 5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển. æ a ö21 b ÷ ç 3 ÷ + ç ç 3 ÷ ç è b ø a÷ Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau 12 æx 3 ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç 4 3 xø è 1) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển æ1 ö12 5÷ ç + x ÷ ç ÷ çx3 8 è ø x 2) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển é1 + x2(1 - x) ù8 ú ë û 3) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển ê 8. 5. 4) Hệ số của số hạng chứa x. ( 1 + x + x2 + x3 ) trong khai triển. 10. 2 10 3 5) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển (x - x + 2) 2 10 4 6) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển (1 + x + 3x ) 3 7) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển: 3 4 5 50 8) S(x) = (1 + x) + (1 + x) + (1 + x) + ... + (1 + x) 3 9) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển: 3 4 5 22 10) S(x) = (1 + 2x) + (1 + 2x) + (1 + 2x) + ... + (1 + 2x) 10 10 11)Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x) (x + 1) . k. Dạng 7: Tìm tổng có chứa Cn Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả. k n 0 1 2 n 0 1 2 k n Bài 16: Tính tổng: S1 Cn  Cn  Cn  ...  Cn ; S2 Cn  Cn  Cn  ...    1 Cn  ...    1 Cn Bài 17: Tính tổng: Bài 18: Tính tổng:. 2n  1 S3 C02n  C22n  C42n  ...  C 2n S4 C12n  C32n  ...  C2n 2n ; n. T C 0n  2C1n  2 2 C n2  23 C3n  ...    2  C nn. E. CAÁP SOÁ COÄNG Kiến thức cần nhớ:.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai. Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: un+1 = un + d (n = 1, 2, ...). Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều baèng nhau. Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu u1, u2, ..., un, .... 2. Soá haïng toång quaùt Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d 3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá coäng Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là. uk =. uk − 1+u k+1 2. (k. 2).. 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:  Sn tính theo u1 vaø d  Sn tính theo u1 vaø un. n [2 u1 +( n −1)d ] 2 n S n= (u1 +un ) 2. S n=. BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Bài 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: a /❑2,5,8, .. . tìm u15. b/ ❑2+ √ 3 , 4,2− √ 3 ,. .. tìmu20. ÑS:. a/u15=44 b/u20 =40 −18 √ 3. Baøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng cuoái laø 12 vaø coù toång baèng 30. ¿ u2 +u5 −u3=10 Baøi 3: Cho caáp soá coäng: u4 +u 6=26 ¿{ ¿. Tìm số hạng đầu và công sai của nó. Baøi 4: Tìm caáp soá coäng coù 5 soá haïng bieát toång laø 25 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 165. Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chuùng laø 1140. Baøi 6: Tìm chieàu daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng bieát chuùng taïo thaønh moät cấp số cộng với công sai là 25. Baøi 7: Cho caáp soá coäng u1, u2, u3, ... Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16. Baøi 8: Moät caáp soá coäng (an) coù a3 + a13 = 80. Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Baøi 9: Moät caáp soá coäng coù 11 soá haïng. Toång cuûa chuùng laø 176. Hieäu cuûa soá haïng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó. Baøi 10: cho caáp soá coäng (an) coù a1 = 4, d = -3. Tính a10. Baøi 11: Tính u1, d trong caùc caáp soá coäng sau ñaây: u3 +u5=14 ¿ S13=129 ¿ u5 =19 u9 =35 ¿ 1 /❑{ ¿ ¿¿ ¿. S 4=9 ¿ 45 S6 = 2 ¿ u3 +u10=− 31 2u 4 − u9=7 ¿ 3/❑ { ¿ ¿ ¿¿ 53 38 ÑS: 1/ u1 = 13 vaø d = 39 ; 2/ u1 = 3 vaø d = 4. 3 3/ u1 = 0 vaø d = 2 ; 4/ u1 = vaø d = .. Baøi 12: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. Baøi 13: Cho caáp soá coäng (un) coù u1 = 17, d = 3. Tính u20 vaø S20. ÑS: u20 = 74, S20 = 910 Baøi 14: Cho caáp soá coäng (un) coù a10 = 10, d = -4. Tính u1 vaø S10. ÑS: u1 = 46, S10 = 280 Baøi 15: Cho caáp soá coäng (un) coù u6 = 17 vaø u11 = -1. ÑS: d =. Tính d vaø S11.. −. 18 5. vaø S11 = 187. Baøi 16: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u4 = 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. ÑS: S20 = 1350 CAÁP SOÁ NHAÂN Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội. Goïi q laø coâng boäi, theo ñònh nghóa ta coù un+1 =un.q (n = 1, 2, ...). Ñaëc bieät: Khi q = 0 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, 0, 0, ..., 0, ... Khi q = 1 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, u1, ..., u1, ... Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ..., ... Để chỉ dãy số (un) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu .. ... u1, u2, ..., un, ..... 2. Soá haïng toång quaùt Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: un = u1 q n− 1 (q 0 ) 3. Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là:. |uk|=√ uk −1 .u k+1. (k ≥ 2). 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. Cho một cấp số nhân với công bội q 1 u1, u2, ...,un, ... Ñònh lí: Ta coù:. S n=u 1. qn −1 q−1. (q. 1). BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân bieát: 1/ Caáp soá nhaân coù 6 soá haïng maø u1 = 243 vaø u6 = 1 2/ Cho q =. 1 4 , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6.. Baøi 2: Cho caáp soá nhaân coù: u3 = 18 vaø u6 = -486. Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó Baøi 3: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân bieát:. ¿ u4 −u 2=72 u5 −u3=144 ¿{ ¿. Baøi 4: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) coù: u3=12, u5=48. Baøi 5: Tìm u vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) bieát:. ¿ u1 +u2 +u3 =13 u4 +u 5+u 6=351 ¿{ ¿. Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai. Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> PHẦN II. HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH . Caâu 1: Trong maët phaúng oxy,pheùp tònh tieán theo vectô v ( a; b) bieán ñieåm M(x;y) thành M’(x’;y’) . Tìm tọa độ điểm M' . Caâu 2:Trong maët phaúng oxy cho ñieåm M (1;2) .Pheùp tònh tieán theo vectô v(2;3) bieán điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N. Caâu 3: Trong maët phaúng oxy cho ñieåm A(4;5). Tìm ñieåm B(x,y) sao cho A laø aûnh cuûa ñieåm B qua pheùp tònh tieán theo v(2;1) : Câu4 : Trong các hình sau đây, hình nào có ba trục đối xứng: A) tam giác đều B) hình chữ nhật C) Hình vuoâng D)Hình thoi Câu5: Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3). Phép đối xứng qua trục ox biến điểm M thành M’. Tìm tọa độ điểm M' Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 .Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến vectơ v(1;1) ? Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x+5y-4=0.Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục ox. Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3).Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N? Câu 8 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 3x+4y6=0, phép đối xứng qua gốc toạ độ biến d thành d’. Tìm phương trình d' Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2. =36 . Pheùp tònh tieán theo vectô v(1; 2) bieán (C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C') Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =25 . Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C') Câu 12 :Trong các phép biến hình sau phép nào không phải là phép dời hình ? A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vị tự tỉ số k= 1 ; C) phép tịnh tiến ; D)pheùp chieáu vuoâng goùc Câu 13 : Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 . Phép dời hình có được bằng cách thự c hiện liên tiếp phép đối xứng qua gốc toạ  độ biến (C) thành (C') và phép tịnh tiến v(1; 4) biến (C') thành (C’'). Tìm phương trình cuûa (C''). Câu 14 :Cho hình vuông ABCD .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo .Thực hiện pheùp quay taâm O bieán hình vuoâng ABCD thaønh chính noù. Tìm soá ño cuûa goùc quay đó? Câu 15 : Phép vị tự tâm O tỉ số k (k 0) là một phép biến hình biến điểm M thành ñieåm M’ sao cho :   A) OM = k OM '.   B) OM ' = k OM. 1   D) OM ' = k OM. C) OM’ =k OM Câu 16 : trong mp oxy cho điểm M( -2;4 ). Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N Câu 17 : trong mpoxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – 4 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 3 biến d thành đường thẳng d'. Tìm phương trình d'? Câu 18 : trong mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 ) 2 + y2 = 16. phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn (C'). Tìm phương trình (C').

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Câu 19 : Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song là pheùp naoø sau ñaây: A) phép đối xứng trục B) phép tịnh tiến C) phép quay D) phép đối xứng tâm Câu 20 : Trong mp oxy cho điểm M(1;2) . phép đồng dạng có được bằng cách thực 2. hiện liên tiếp phép V o và phép đối xứng qua trục oy biến M thành điểm N. Tìm N? Câu 21 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+ y+2=0 . phép 1 đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 2 và phép. đối xứng qua trục ox biến d thành d’. Tìm phương trình d'? Caâu 22 : Trong caùc pheùp bieán hình sau ñaây pheùp bieán hình naøo khoâng coù tính chaát “biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với nó”: A) phép đối xứng tâm B) pheùp tònh tieán C) phép vị tự D) phép đối xứng trục Câu 23: Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 .Phép đồng dạng có được bằ ng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=3 và phép tịnh tiến theo . vectô V (1;2) bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C') ? Câu 24 : Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 . Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=3 và phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C'). Tìm (C')? Caâu 25 : Choïn khaúng ñònh sai trong caùc khaúng ñònh sau : A)phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính B) phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính C) phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính D) phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính CHÖÔNG 2. QUAN HEÄ SONG SONG Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG  VÀ  :  I. . J . . Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng  và  ta đi tìm hai điểm chung I ; J của  và      = I J Khi tìm điểm chung ta chú ý :  Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung  M  d và d    M   . a  b M trong(P)  a   ; b  .  M là điểm chung. 1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của : a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC).

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng : a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD) 1 1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM = 4 MB ; N nằm trên AC sao cho. AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD) 1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC . a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD) b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN) 1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b  (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ? 1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho : AM AN  MB NC . Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD). 1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ? 1. 10 : Trong mặt phẳng  cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của : a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD) 1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC) Vấn đề 2:. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY . A B . . . C . Chứng minh A; B; C thẳng hàng :. Chỉ ra A ; B ; C   Chỉ ra A ; B ; C   Kết luận : A; B; C     A; B; C thẳng hàng.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> a. b. P  . M N. Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :. Đặt a  b = P Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P 2. 1: Cho hai mặt phẳng  và  cắt nhau theo giao tuyến d .Trên  lấy hai điểm A ; B nhưng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần lượt cắt  tại A’ ; B’. AB cắt d tại C a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ? b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy 2. 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ; trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC cắt A’C’ tại F. Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ? 2. 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng  . Gọi M ; N ; P lần lượt là giao điểm AB ; BC ; AC với . Chứng minh M; N; P thẳng hàng ? 2. 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai đường chéo ; M ; N lần lượt là trung điểm SA ; SD. Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng  không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD lần lượt tại M ; N ; R ; S . Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ? 2. 5: Chứng minh trong một tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ? 2.6. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD) c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b. Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ? Vấn đề 3:. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG. Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau : b . a.  Giả sử : a không chéo b  Từ đó suy ra hai đường thẳng a và b nằm trong cùng mặt phẳng  ( đồng phẳng )  Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc mâu thuẫn với một điều đúng nào đó Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> . A. C. . D B . . . . C. A. . thẳng tạo thành từ bốn điểm đó cắt nhau hoặc song song với nhau. . D. . B.  Chứng minh hai đường. 3. 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng a)Chứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ? 3. 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai điểm C, D a)Chứng minh AC chéo BD ? b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song AB hoặc CD không ? c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng 3. 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b và c. Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng không ? Tại sao ? 3. 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là trung điểm AD; BC. a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ?. d a . M. . Vấn đề 4:. TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ. MẶT PHẲNG  Giả sử phải tìm giao điểm d   = ? Phương pháp 1: Tìm a   Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và chúng cắt nhau tại M  d   = M ( hình vẽ ) . a. M.  . d. Phương pháp 2: Tìm  chứa d thích hợp Giải bài toán tìm giao tuyến a của  và  Trong  : a  d = M  d   = M ( hình vẽ b) 4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong SAB ; SBC. MN cắt (ABC) tại P. Xác định giao điểm P.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm : a) MN với (BCD) b) BD với (MNP) c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD) 4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của : a) CD với (MNP) b) AD với (MNP) 4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong ABC ; D và E là các điểm năm trên SB ; SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO) b) SO với (ADE) 4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS. a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ? b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ? 4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm trên SA; SB; SC .Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC 4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong ABC; ABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB) 4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ? b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ? c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ? Vấn đề 5:. THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG  VỚI KHỐI ĐA DIỆN B. A C F E. D. . Lần lượt xét giao tuyến của  với các mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của các cạnh của đa diện với mặt phẳng  Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm. Việc chứng minh tiết diện có hình dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ; . . . trong mặt phẳng  cũng nhờ vào quá trình đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản : I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ 5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’ ; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ? 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’) 5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K 2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ; SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp *5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N 1 2. là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA = MD ; ND = a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ? b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ? c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?. 1 2. NC. *5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm ABC ; DBC ; M là trung điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ? 2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp 5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC . a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ? b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ? c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp *5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ? c)Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ? *5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm SB ; SD ; OC a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ? c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1 5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tâm SAD a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ? b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ? c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ? d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> *5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm SAB ; SAD a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ? b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp 5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP 1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng  qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q. a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ? b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ? 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh BC a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ? b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ? c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB . a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ? c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ? 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi .F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC . a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ? b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ? 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là trọng tâm SAD a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và IC = 2ID ? JA b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số JD KA c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính KS. HD: b) 2 c) 2. 7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho 1 AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ = 4 BC. a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID b) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ không song song với BC. Mặt phẳng  quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ? c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ? 9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả : 1 1 1 SA’ = n  1 SA ; SB’ = 2n  1 SB ; SC’ = 3n  1 SC. a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay đổi ? b) Chứng minh (A’B’C’) chừa một đường thẳng cố định HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ Vấn đề 6 HAI ĐT SONG SONG Phương pháp : Có thể dùng một trong các cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ...) - Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3. - Áp dụng định lý về giao tuyến . 6.1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN // DE 6.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM'  AB với M' trên AD; NN'  AB với N' trên AF. Chứng minh : a) MM' và NN' // CD b) M’N// DF Vấn đề 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P Phương pháp : Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) . Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) . 7.1 Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất kì.Gọi ( a )  là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD . a)Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với ( a )  ? b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ? 7.2 Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB.( a ) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD. a)Mặt phẳng ( a )  cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ? b)Chứng minh SA //  7.3 Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( a )  di động luôn luôn song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC . a)Mặt phẳng ( a )  cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lượt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ là hình gì ?.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> b)Chứng minh rằng ( a )  khi chuyển động luôn luôn chứa một đường thẳng cố định c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi ( a )  di động thì M di động trên đường thẳng cố định 7.4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt phẳng () chứa AM và  BD a)Chứng minh () luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh SC b) () cắt SB và SD tại E ; F .Trình bày cách dựng E và F ? c)Gọi I là giao điểm của ME và CB; J là giao điểm của MF và CD . Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng Vấn ñề 8: MAËT PHAÚNG SONG SONG 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp : * Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia . 8.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H,I,K lần lượt là trung ñieåm cuûa SA,SB,SC. a) Chứng minh (HIK)// (ABCD). b) Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI .Chứng minh (SMN) //(HIK). 8.2 Cho hình hoäp ABCD.AÙB’C’D’. a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C). b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ của tam giác A’BD và CB’D’ 8.3 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung ñieåm cuûa SA ,CD. a) Cm: (OMN) //(SBC). b) Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE,A F là các đường phân giaùc trong cuûa tam giaùc ACD vaø SAB . Cm: E F //(SAD). 8.4 Cho hai hình vuoâng ABCD, ABE F khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng . Treân các đường chéo AC,BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM=BN . Các dường thẳng // AB vẽ từ M,N lần lượt cắt AD, A F tại M’,N’. a)Cm: (CBE) //(AD F). b) Cm: (DE F)//(MNN’M’)..

<span class='text_page_counter'>(22)</span>