De HD chuyen ngu 20102011

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§¹i häc quèc gia hµ néi Trờng đại học ngoại ngữ. céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc. K× thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn ngo¹i ng÷ n¨m 2010 §Ò M«n Thi : To¸n. Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề) §Ò chÝnh thøc Ngµy thi 06-06-2010 §Ò thi gåm 01 trang. ( Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm). C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc x 2x x −1 2 P= √ + : √ − 9− x 3+ √ x x −3 √ x √ x 1) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. 2) Tìm giá trị x để P=− 4 3 C©u 2 : ( 2 ®iÓm) 1) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x2 + 4x +1 =y4. (. )(. 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :. ). ¿ x 2+ xy + y 2=3 x 3+3 ( y − x)=1 ¿{ ¿. C©u 3: ( 2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m-10)x2 +2(m-10)x + 2 =0 1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . 2) Chứng minh rằng khi đó x 31+ x 32 +x 21 x 2 + x 1 x 22<−4 C©u 4:(3 ®iÓm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác trong AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC t¹i M , N 1) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn. 2) Chøng minh gãcBDM = gãcCDN . 3) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đờng thẳng AI cắt BC t¹i K .Chøng minh K lµ trung ®iÓm c¹nh BC C©u 5: ( 1 ®iÓm) Cho a , b , c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a + b+c +ab +bc+ ca=6 Chøng minh r»ng:. a3 b3 c 3 2 2 2 + + ≥ a + b +c ≥ 3 b c a. ------------------HÕt---------------Hä vµ tªn thÝ sinh....................................................Sè b¸o danh...........Phßng thi .... HD thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn ngo¹i ng÷ n¨m 2010. C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc x 2x x −1 2 P= √ + : √ − 3+ √ x 9− x x −3 √ x √ x 2) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P. 2) Tìm giá trị x để P=− 4 3 Híng dÉn 1) §KX§ x>0 ;x ≠ 9 ; x ≠ 25. (. )(. ). Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> P=. x(3− √ x )+2 x ( √ x − 1) −2( √ x − 3) : (3+ √ x)(3 − √ x ) √ x ( √ x −3). (√. P=. 2) P=. )(. ). √ x( 3+ √ x ) . √ x( √ x −3) = x (3+ √ x)(3 − √ x) 5 − √x √x − 5. −4 x −4 ⇔ = ⇔ 3 x + 4 √ x −20=0 ⇔ 3 x − 6 √ x+10 √ x − 20=0 3 √x − 5 3 ⇔( √ x −2)(3 √ x+10)=0 ⇔ x=4 ∈DKXD. C©u 2 : ( 2 ®iÓm) 3) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x2 + 4x +1 =y4 ¿ x + xy + y 2=3 x 2+3 ( y − x)=1 ¿{ ¿ 2. 4) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :. Híng dÉn 1) x2 + 4x +1 =y4 ⇔ (x+2)2-y4=3 ⇔ (x-y2+2)(x+y2+2)=3 v× x;y nªn ⇒ ¿ x − y 2 +2=1 x + y 2 +2=3 ¿ ¿ ¿ x − y 2 +2=−3 ¿ x + y 2 +2=− 1 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x=0 ¿ ¿ y=1 hoacy =−1 ¿ ¿ ¿. Ph¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm (x;y). { ( 0;1) ;(0;-1) ; ( -4; 1) ; (-4;-1) }.. 2). Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ. Z.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x 2+ xy + y 2=3(1) x3 +3 ( y − x)=1( 2) ⇔ 2 ¿ x + xy+ y 2=3 x 3+(x 2+ xy + y 2)( y − x )=1 ⇔ ¿ 2 2 ¿ x + xy+ y =3 x3 + y 3 − x 3=1 ¿ ⇔ 3 ¿ y =1 x 2 +xy + y 2=3 ⇔ ¿ y=1 x 2 + x − 2=0 ⇔ ¿ y=1 ( x −1)(x+ 2)=0 ⇔ ¿ x=1 y =1 ¿ ¿ ¿ x=−2 ¿ y =1 ¿ ¿. HÖ cã 2 nghiÖm (x;y) {(1;1) ;( -2;1)}. C¸ch kh¸c NÕu x= y tta cã x=y=1 lµ mét nghiÖm Víi x kh¸c y nh©n 2 vÕ PT(1) víi (x-y ) ta cã hÖ. Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> x 3 − y 3=3 (x − y ) x 3 −3 ( x − y)=1 ⇔ 3 3 ¿ x − y =3(x − y ) x 3 − x 3 + y 3=1 ⇔ 3 ¿ x −1=3 (x −1) y=1 ¿ ¿ ⇔ 3 ¿ x − 3 x+2=0 y=1 ⇔ 2 x −1 ¿ ( x +2)=0 ¿ y=1 ¿ ⇔ ¿ ¿ x =2 ¿ ¿¿. HÖ cã 2 nghiÖm (x;y). {(1;1) ;( -2;1)}.. C©u 3: ( 2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m-10)x2+2(m-10)x + 2 =0 1)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . 2) Chứng minh rằng khi đó x 31+ x 32 + x 21 x 2 + x 1 x 22< −4 Híng dÉn 1) §Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× m− 11 ¿2 − 1 ¿ 2 m− 11 ¿ − 1>0 ⇔ (m−11)>1 ; Hoac :(m−11)<−1 ¿ ⇔ ¿ m> 12 ¿ m<10 ¿ ¿ m− 10 −1 ¿2 − 1=¿ m −10 ¿2 − 2 ( m−10 )=¿ ¿ ¿ ¿ Δ❑ =¿. ¿ m≠ 10 Δ❑ > 0 ¿{ ¿. 2) víi §K trªn theo ViÐt ta cã. Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ¿ x 1 + x2 =−2 2 x 1. x 2= m− 10 ¿{ ¿ §Æt Q= x 31+ x 32 + x 21 x 2 + x 1 x 22 3 x 1+ x 2 ¿ −3 x1 x 2 (x1 + x 2)+ x 1 x 2 (x 1 + x2 ) ¿ 8 88 −8 m x 1+ x 2 ¿3 − 2 x 1 x2 ( x 1 + x 2)=− 8+ = m−10 m−10 ¿ ¿ Q=x 31 + x 32+ x21 x 2+ x 1 x 22=¿ ¿ m≠ 10 Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Δ❑>0 ¿{ ¿. C©u 4:(3 ®iÓm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đờng cao AD và đờng phân giác trong AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC t¹i M , N 4) Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đờng tròn. 5) Chøng minh gãcBDM = gãcCDN . 6) Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đờng thẳng AI cắt BC t¹i K .Chøng minh K lµ trung ®iÓm c¹nh BC A. O'. P. N I. Q. M B. D. O. K. C. 1) ta cã ∠ AMO= ∠ ADO= ∠ ANO=900 nªn 5 ®iÓm A, M.D, O, N thuéc đờng tròn Tâm O/ đờng kính AO 2) Ta cã ∠ ADB= ∠ ADC=900 (1) mµ ∠ ADM= ∠ ADN (2) ( gãc néi tiÕp ch¾n 2 cung b»ng nhau) tõ (1);(2) ta cã §PCM Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 3)Qua I ta kẻ đờng thẳng //BC cắt AB,AC tại P;Q ta có tứ giác OMPI; OQNI nội tiÕp nªn ∠ POI= ∠ PMI; ∠ QOI= ∠ INA mµ ∠ PMI= ∠ INA (do tam gi¸c AMN c©n t¹i A) Nên ∠ POI= ∠ QOI xét tam giác POQ có OI vừa là đờng cao vừa là pân giác nªn IP=IQ. ¸p dông hÖ qu¶ Ta-lÐt cho 2 tam gi¸c ABK vµ ACK cã PQ//BC Ta cã BK = AK = CK ⇒ BK=CK (dpcm) IP. AI. IQ. C©u 5: ( 1 ®iÓm) Cho a , b , c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a + b+c +ab +bc+ ca=6 Chøng minh r»ng:. a3 b3 c 3 2 2 2 + + ≥ a + b +c ≥ 3 b c a. Híng dÉn ¸p dông B§T x 2+ y 2 ≥ 2 xy dÊu “= “ x¶y ra khi x=y Ta cã a2 +b 2 ≥ 2 ab ; c 2+b 2 ≥ 2 cb ; c 2+ a2 ≥ 2 ca ; c 2 +1 ≥2 c ; a2 +1≥ 2 a ; b2 +1 ≥2 b Nªn 3(a2+ b2 +c 2)+3 ≥ 2(a+ b+c +ab+ bc+ ca)=12 ⇔ a2+ b2 +c 2 ≥ 3 (*) DÊu “ =” x¶y ra khi a=b=c=1 MÆt kh¸c a3 b3 c3 + ab≥ 2 a2 ; + bc ≥ 2 b2 ; + ac ≥2 c 2 ; b c a 3 3 3 T cã a + b + c +( ab+ bc+ca )≥ 2(a 2+b 2+ c 2) b c a 2 Mµ a +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ca nªn 3 3 3 3 3 3 a b c a b c + + +a2 +b 2+ c 2 ≥ + + +(ab+ bc+ca )≥ 2(a2+ b2 +c 2) b c a b c a 3 3 3 Nªn a + b + c ≥ a2+ b2 +c 2 (**) DÊu “=” Khi a=b=c=1 b c a. (. ). (. ). (. ). Tõ (*) vµ (**) ta cã §PCM. §¹i häc quèc gia hµ néi Trờng đại học ngoại ngữ. céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc LËp -Tù Do -H¹nh Phóc. K× thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn ngo¹i ng÷ n¨m 2011 §Ò chÝnh thøc. §Ò M«n Thi : To¸n Thời gian làm bài 120 phút( không kể thời gian phát đề) Ngµy thi 12-06-2011 §Ò thi gåm 01 trang. ( Chú ý: Thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào ,CBCT không giải thích gì thêm). C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc A=. [(. 1 1 + √x √y. 3) Rót gän A. ). 3. 2 1 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y + + . : √ x+ √ y x y √ xy3 + √ x 3 y. ]. 3. Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2) T×m x ; y biÕt xy= 1 ; A=5 36 C©u 2 : ( 2 ®iÓm) ¿ x 2+ 4 y 2=5 ( x+ 2 y ) ( 5+4 xy )=27 ¿{ ¿. 5) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :. 6) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y=√ x +3+ √ 6 − x C©u 3: ( 2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh bËc 2 : x2 - 2(m+1)x + 2m+10 =0 ( m lµ h»ng sè) 1)Tìm m để phơng trình có nghiệm . 2) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1; x2 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P=x 21 + x 22+ 8 x 1 x 2. C©u 4:(3 ®iÓm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O). Cho P là điểm bất kì trên đoạn BC sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB tại N khác B và đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC tại M khác C. 1) Chøng minh r»ng ∠ OMP= ∠ OAC 2) Chøng minh r»ng ∠ MPN= ∠ BAC vµ ∠ OBC+ ∠ BAC=900 3) Chøng minh r»ng O lµ trùc t©m tam gi¸c PMN C©u 5: ( 1 ®iÓm). √. Gi¶i ph¬ng tr×nh:. 3 3 2 2 + 4 x − 2 =4 x 2 x x. √. 12−. ------------------HÕt---------------Hä vµ tªn thÝ sinh....................................................Sè b¸o danh...........Phßng thi ... thi vµo chuyªn ng÷ Hµ néi N¨m häc 2011-2012 Ngµy thi 12-06-2011 C©u 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc 3 3 1 1 2 1 1 √ x + y √ x+ x √ y+ √ y A= + + + . : √ x √ y √ x+ √ y x y √ xy3 + √ x 3 y 1)Rót gän A 2) T×m x ; y biÕt xy= 1 ; A=5. [(. ]. ). 36. Hướng dẫn: 1) A=. x+ y 2 x + y ( √ x+ √ y ) ( x − √ xy + y ) + √ xy ( √ x+ √ y ) . + . : xy √ x+ √ y xy √ xy ( x + y ). [ √√ √. ]. ( √ x + √ y )2. √ xy ( x+ y ) = √ x + √ y xy ( √ x+ √ y ) ( x + y ) √ xy 5 A=5 ⇔ √ x + √ y=5 √ xy ⇔ √ x+ √ y = theo GT √ xy= 1 A=. 2). .. 6. theo Viet đảo. 6. √ x ; √ y là nghiệm dương của phương trình bậc 2. 5 1 t 2 − t + =0 ⇔ 6t 2 −5 t+1=0 6 6 1 1 1 1 vậy ( x ; y ) = 4 ; 3 ; 3 ; 4. 1 1 Δ=1⇒ t 1= ; t 2= 2 3. ( )( ). Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> C©u 2 : ( 2 ®iÓm) 1)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :. ¿ x 2+ 4 y 2=5 ( x+ 2 y ) ( 5+4 xy )=27 ¿{ ¿. 2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y=√ x +3+ √ 6 − x Hướng dẫn:. 1). x 2+ 4 y 2=5 ( x+ 2 y ) ( 5+4 xy )=27 ⇔ 2 x+ 2 y ¿ =5+ 4 xy ¿ x +2 y ¿ 3=27 ¿ ⇔ ¿ ¿ 5+4 xy=9 ¿ x +2 y=3 ¿ ⇔ ¿ ¿ x=3 − 2 y ¿ y (3 −2 y)=1 ¿ ¿ ¿ ⇔ ¿ ¿ x=3 − 2 y ¿ 2 2 y − 3 y+ 1=0 ¿ ⇔ ¿ ¿ ¿ x=3 − 2 y ¿ ¿¿. 2)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = x  3  6  x ®k :-3 x 6 Cách 1 áp dụng BBĐT Bunhia cho √ x+3 ; √ 6 − x và 1; 1 Ta có 2 2 2 ( x +3+6 − x ) ≥ ( √ x+3+ √6 − x ) ⇔ ( √ x +3+ √ 6 − x ) ≤18 ⇔0< y ≤ 3 √ 2 Cách 2 Ta cã y2 = 9 + 2 x  3. 6  x 9 min y = 3 khi x = -3 hoÆc x = 6 áp dụng bất đẳng thức cô si y2 9  3  6 18 suy ra :max y = 3 2 khi x= 4.5 C©u 3: ( 2 ®iÓm) Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Cho ph¬ng tr×nh bËc 2 : x2 - 2(m+1)x + 2m+10 =0 ( m lµ h»ng sè) 1)Tìm m để phơng trình có nghiệm . 2) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1; x2 .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 2. 2. P=x 1 + x 2+ 8 x 1 x 2. Hướng dẫn:. 1). Δ❑ =m2+ 2m+1 −2 m−10=m2 − 9 ≥ 0⇔ m≥ 3 ¿ m≤ −3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. 2)Với m thỏa mãn ĐK trên P=x 21 + x 22+ 8 x 1 x 2=( x1 + x 2 )2 +6 x 1 x 2=4 m2 +8 m+ 4+12 m+ 60 2. P=4 m + 20 m+64 2 T a có P=4 m + 12m+8 m+24+ 40=(m+3)(4 m+ 8)+ 40 với m −3 m+ 3 ≤0 ; 4 m+ 8<⇒ P ≥ 40 (1) Mặt khác P=4 m2 − 12m+32 m− 96+160=(m −3)(4 m+32)+160 với m≥ 3 ; m− 3≥ 0 ; 4 m+ 32> 0 ⇒ P≥ 160 (2). từ (1) và (2 ) suy ra Min(P)=40 khi m=-3 C©u 4:(3 ®iÓm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O). Cho P là điểm bất kì trên đoạn BC sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB tại N khác B và đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC tại M khác C. 1)Chøng minh r»ng ∠ OMP= ∠ OAC 2)Chøng minh r»ng ∠ MPN= ∠ BAC vµ ∠ OBC+ ∠ BAC=900 3) Chøng minh r»ng O lµ trùc t©m tam gi¸c PMN Hướng dẫn: A. M. N O. H. K. B. C. P. D. 1) ∠ OPM=∠OCM ( nội tiếp chắn cung ON) mà ∠OAM =∠OCM ( tam giác OAC cân) nên ∠ OPM=∠OAC (1) ( đpcm) 2)Tương tự ∠ OPN =∠OAB (2) từ (1) và (2) ta có ∠ MPN =∠BAC Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> kéo dài AO cắt (O) tại D ta có ∠ CBD=∠CAD ; ∠ OBA =∠OAB nên 900 =∠DBA =∠DBC +∠CBO+∠OBA =∠ DAC+∠CBO+∠ OAB=∠OBC+∠ BAC 0 ⇒∠ OBC+∠ BAC=90 (dpcm) 3)Gọi NO cắt MP tại H ; MO cắt NP tại K ta có ∠ HNP =∠OBC 0 0 ∠OBC+∠ BAC=90 mà ∠ BAC=∠ HPN suy ∠ HNP +∠HPN=90 hay NH MP (3) tương tự MK NP (4) từ (3) và (4). nên O là trực tâm tam giác MNP ( đpcm) C©u 5: ( 1 ®iÓm). √. Gi¶i ph¬ng tr×nh: Hướng dẫn: 12  . 12−. 3 3 2 2 + 4 x − 2 =4 x 2 x x. √. 3 3  4 x 2  2 4 x 2 2 x x. 3 3 (4 x 2  1)  (4 x 2  2 ).1 4 x 2 2 x x. Cách 1 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopsky cho 2 dãy 3 3 ; 4 x 2 − 2 và √ 4 x 2 − 1; 1 ta có 2 x x 2 3 3 3 3 2 2 2 +4 x − 2 ( 4 x −1+1 ) ≥ 12 − 2 + √ 4 x − 1 ⇔ 12− 2 + √ 4 x 2 −1 ≤ 4 x 2 2 x x x x. √ √ (. ). (√. kết hợp với GT dấu ‘=” xảy ra khi. ) √. 3 x2 3 3 3 = 4 x2 − 2 ⇔ 4 x 2 − 2 ( 4 x2 −1 ) = 2 2 x x x √ 4 x −1. √ √. (. ). giải ra x=1 hoặc x=-1 thay vào thỏa mãn. 4 x2  1 . Cỏch 2 áp dụng bất đẳng thức cô si ta có vế trái. . 3 3  4x2  2 1 2 x x 4 x 2 2. Biên tập: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Lâm Thao- Phú Thọ. mà.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>